Տարրական ֆունկցիաների տարբերակման բանաձևեր. Տարբերակման բանաձևեր և կանոններ (ածանցյալը գտնելը)

Ստացեք A վիդեո դասընթացը ներառում է ձեզ անհրաժեշտ բոլոր թեմաները հաջող առաքումՄաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննություն 60-65 միավորով. Մաթեմատիկայի պրոֆիլի միասնական պետական ​​քննության 1-13 առաջադրանքները ամբողջությամբ։ Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական քննություն հանձնելու համար։ Եթե ​​ցանկանում եք քննությունը հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Քննությանը նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար. Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության 1-ին մասը (առաջին 12 խնդիր) և 13-րդ խնդիրը (եռանկյունաչափություն) լուծելու համար: Իսկ սա քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ հարյուր միավոր, ոչ հումանիտար ուսանողն առանց դրանց չի կարող։

Ձեզ անհրաժեշտ բոլոր տեսությունները: Արագ ուղիներքննության լուծումներ, թակարդներ և գաղտնիքներ. FIPI-ի առաջադրանքների բանկի 1-ին մասի բոլոր համապատասխան առաջադրանքները ապամոնտաժվել են: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է քննություն-2018թ.

Դասընթացը պարունակում է 5 խոշոր թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ և պարզ:

Հարյուրավոր USE առաջադրանքներ: Բառի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող ալգորիթմներ խնդիրների լուծման համար: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, USE-ի բոլոր տեսակի առաջադրանքների վերլուծություն: Ստերեոմետրիա. Խորամանկ հնարքներլուծումներ, օգտակար խաբեության թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում։ Եռանկյունաչափություն զրոյից մինչև խնդիր 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների տեսողական բացատրություն: Հանրահաշիվ. Արմատներ, աստիճաններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Լուծման հիմքը բարդ առաջադրանքներՔննության 2 մաս.

Թող y = f (x) ֆունկցիան սահմանվի X միջակայքում: Ածանցյալ y = f (x) ֆունկցիան x o կետում կոչվում է սահման

Եթե ​​այս սահմանը վերջավոր,ապա կանչվում է f (x) ֆունկցիան տարբերակելիկետում x o; ընդ որում, պարզվում է, որ այս պահին պարտադիր և շարունակական է։

Եթե ​​դիտարկվող սահմանը ¥ է (կամ - ¥), ապա պայմանով, որ ֆունկցիան կետում x oշարունակական է, ասում ենք, որ f (x) ֆունկցիան ունի կետում x o անսահման ածանցյալ.

Ածանցյալը նշվում է նշաններով

y ¢, f ¢ (x o),,.

Ածանցյալը գտնելը կոչվում է տարբերակումգործառույթները։ Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունըայն է, որ ածանցյալն է լանջինՏրված կետում y = f (x) կորին շոշափող x o; ֆիզիկական իմաստ -այն է, որ ուղու ժամանակային ածանցյալը շարժական կետի ակնթարթային արագությունն է ուղղագիծ շարժման մեջ s = s (t) t o պահին:

Եթե հետհաստատուն թիվ է, իսկ u = u (x), v = v (x) որոշ տարբերվող ֆունկցիաներ են, ապա հետևելով կանոններինտարբերակում:

1) (c) "= 0, (cu)" = cu ";

2) (u + v) "= u" + v ";

3) (uv) «= u» v + v «u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) եթե y = f (u), u = j (x), այսինքն. y = f (j (x)) - բարդ ֆունկցիա,կամ սուպերպոզիցիակազմված j և f տարբերվող ֆունկցիաներից, ապա, or

6) եթե y = f (x) ֆունկցիայի համար կա x = g (y) հակադարձ տարբերակվող ֆունկցիա, և ¹ 0, ապա.

Ելնելով ածանցյալի սահմանումից և տարբերակման կանոններից՝ կարելի է կազմել հիմնական տարրական ֆունկցիաների աղյուսակային ածանցյալների ցանկը։

1. (u m) «= m u m - 1 u» (m Î Ռ).

2. (ա u) «= a u lna × u».

3. (e u) «= e u u».

4. (log a u) «= u» / (u ln a).

5. (ln u) «= u» / u.

6. (sin u) «= cos u × u».

7. (cos u) «= - sin u × u».

8. (tg u) «= 1 / cos 2 u × u»:

9. (ctg u) «= - u» / sin 2 u.

10. (arcsin u) «= u» /.

11. (arccos u) «= - u» /.

12. (arctan u) «= u» / (1 + u 2):

13. (arcctg u) «= - u» / (1 + u 2):

Հաշվում ենք էքսպոնենցիալ արտահայտության ածանցյալը
y = u v, (u> 0), որտեղ uև vֆունկցիայի էությունը ից Ն.Սունենալով ածանցյալներ տվյալ կետում դու",v".

Հաշվի առնելով y = u v հավասարության լոգարիթմը, մենք ստանում ենք ln y = v ln u:

Հավասարեցնելով ածանցյալները Ն.ՍՍտացված հավասարության երկու կողմերից՝ օգտագործելով 3, 5 կանոնները և լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը, կունենանք.

y "/ y = vu" / u + v "ln u, որտեղից y" = y (vu "/ u + v" ln u):

(u v) "= u v (vu" / u + v "ln u), u> 0:

Օրինակ, եթե y = x sin x, ապա y "= x sin x (sin x / x + cos x × ln x):

Եթե ​​y = f (x) ֆունկցիան կետում տարբերվող է x, այսինքն. ունի վերջավոր ածանցյալ այս կետում y", ապա = y "+ a, որտեղ a®0 Dх® 0-ի համար, հետևաբար D y = y" Dх + a x:

Ֆունկցիայի աճի հիմնական մասը՝ Dx-ի նկատմամբ գծային, կոչվում է դիֆերենցիալ ֆունկցիաև նշանակվում է dy-ով. dy = y «Dх: Եթե այս բանաձևում դնենք y = x, ապա կստանանք dx = x» Dх = 1 × Dх = Dх, հետևաբար dy = y «dx, այսինքն՝ նշանը. Նշել ածանցյալը կարելի է համարել որպես կոտորակ:

Դ ֆունկցիայի ավելացում yկորի օրդինատի աճն է, իսկ դիֆերենցիալը դ yշոշափողի օրդինատի աճն է։

Ենթադրենք, մենք գտել ենք y = f (x) ֆունկցիայի համար նրա ածանցյալը y ¢ = f ¢ (x): Այս ածանցյալի ածանցյալը կոչվում է երկրորդ կարգի ածանցյալֆունկցիա f (x), կամ երկրորդ ածանցյալ,և նշվում է.

Նմանապես, դրանք սահմանվում և նշվում են.

երրորդ կարգի ածանցյալ - ,

չորրորդ կարգի ածանցյալ -

և ընդհանրապես n-րդ կարգի ածանցյալ - .

Օրինակ 15.Գնահատե՛ք y = (3x 3 -2x + 1) × sin x ֆունկցիայի ածանցյալը։

Լուծում.Ըստ կանոն 3, y "= (3x 3 -2x + 1)" × sin x + (3x 3 -2x + 1) × (sin x) "=
= (9x 2 -2) sin x + (3x 3 -2x + 1) cos x.

Օրինակ 16... Գտեք y», y = tg x +:

Լուծում.Օգտագործելով գումարը և քանորդը տարբերելու կանոնները՝ ստանում ենք՝ y "= (tgx +)" = (tgx) "+ ()" = + =:

Օրինակ 17.Գտի՛ր ածանցյալը բարդ գործառույթ y =,
u = x 4 +1.

Լուծում.Համաձայն բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի՝ ստանում ենք՝ y "x = y" u u "x = ()" u (x 4 +1) "x = (2u +. Քանի u = x 4 + 1, ապա
(2 x 4 +2+.

Օրինակ 18.

Լուծում.Մենք ներկայացնում ենք y = ֆունկցիան որպես երկու ֆունկցիաների սուպերպոզիցիա՝ y = e u և u = x 2: Մենք ունենք՝ y "x = y" u u "x = (e u)" u (x 2) "x = e u × 2x. Փոխարինող x 2փոխարեն u, ստանում ենք y = 2x:

Օրինակ 19.Գտե՛ք y = ln sin x ֆունկցիայի ածանցյալը:

Լուծում.Նշեք u = sin x, ապա y = ln u բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկվում է y "= (ln u)" u (sin x) "x =" բանաձևով:

Օրինակ 20.Գտե՛ք y = ֆունկցիայի ածանցյալը:

Լուծում.Մի քանի սուպերպոզիցիայի արդյունքում առաջացող բարդ ֆունկցիայի դեպքը սպառվում է 5-րդ կանոնի հաջորդական կիրառմամբ.

Օրինակ 21... Հաշվե՛ք y = ln ածանցյալը:

Լուծում.Հաշվի առնելով լոգարիթմը և օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները, մենք ստանում ենք.

y = 5 / 3ln (x 2 +4) + 7 / 3ln (3x-1) -2 / 3ln (6x 3 +1) -1 / 3tg 5x:

Վերջին հավասարության երկու կողմերն էլ տարբերելով՝ ստանում ենք.

2.2. Մարգինալ վերլուծություն տնտեսագիտության մեջ. Գործառույթի առաձգականություն

Տնտեսական հետազոտություններում ածանցյալները նշելու համար հաճախ օգտագործվում է հատուկ տերմինաբանություն։ Օրինակ, եթե f (x)կա արտադրական գործառույթ, արտահայտելով ցանկացած ապրանքի արտադրանքի կախվածությունը գործոնի ծախսերից x, ապա f "(x)կոչվում են սահմանային արտադրանք; եթե g (x)ծախսերի ֆունկցիան է, այսինքն՝ ֆունկցիան g (x)արտահայտում է ընդհանուր ծախսերի կախվածությունը արտադրանքի ծավալից x, ապա g "(x)կոչվում են սահմանային ծախսեր .

Մարգինալ վերլուծություն տնտեսագիտության մեջ- արտադրության, սպառման և այլնի ծավալը փոխելու ժամանակ ծախսերի կամ արդյունքների փոփոխվող արժեքների ուսումնասիրման տեխնիկայի մի շարք: դրանց սահմանային արժեքների վերլուծության հիման վրա։ Մեծ մասի համարպայմանական վիճակագրական տվյալների վրա հիմնված պլանային հաշվարկներն իրականացվում են հանրագումարների տեսքով: Այս դեպքում վերլուծությունը հիմնականում բաղկացած է միջին արժեքների հաշվարկից: Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում անհրաժեշտ է ավելի մանրամասն ուսումնասիրություն՝ հաշվի առնելով սահմանային արժեքները։ Օրինակ, ապագայում տարածաշրջանում հացահատիկի արտադրության ծախսերը որոշելիս հաշվի է առնվում, որ ծախսերը կարող են տարբեր լինել՝ կախված հացահատիկի բերքի ակնկալվող ծավալներից, քանի որ նոր ներգրավված ավելի վատ հողերում. մշակության մեջ արտադրական ծախսերը միջինից բարձր կլինեն շրջանայինից։

Եթե ​​հարաբերությունները երկու ցուցանիշների vև xտրվում է վերլուծական՝ v = f (x) - ապա միջին արժեքը հարաբերություն է v / x, ա վերջնական- ածանցյալ.

Գտեք աշխատանքի արտադրողականությունը:Թող գործառույթը
u = u (t), արտահայտելով արտադրված արտադրանքի քանակը uաշխատելիս տ... Հաշվարկենք ժամանակի ընթացքում արտադրված ապրանքների քանակը
Dt = t 1 - t 0: Du = u (t 1) - u (t 0) = u (t 0 + Dt) - u (t 0): Աշխատանքի միջին արտադրողականությունըկոչվում է արտադրված արտադրանքի քանակի հարաբերակցությունը ծախսված ժամանակին, այսինքն. z տես = Du / Dt.

Աշխատողների արտադրողականությունը z (t 0) t 0 պահին այն սահմանն է, որին ձգտում է z cf-ը: ժամը Dt®0: Այսպիսով, աշխատանքի արտադրողականության հաշվարկը կրճատվում է մինչև ածանցյալի հաշվարկը. z (t 0) = u "(t 0):

Միատարր արտադրանքի արտադրության ծախսերը K-ն արտադրանքի քանակից է x... Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել K = K (x): Ենթադրենք, արտադրության քանակն ավելանում է Դ Ն.Ս... Արտադրության ծախսերը K (x + Dx) համապատասխանում են արտադրանքի քանակին x + Dх: Հետևաբար արտադրության քանակի աճը Դ Ն.Սհամապատասխանում է արտադրության ծախսերի ավելացմանը DK = K (x + Dх) - K (x):

Արտադրության ծախսերի միջին աճը DK / Dx է: Սա արտադրական ծախսերի ավելացումն է արտադրանքի քանակի մեկ միավորի ավելացման համար:

Սահմանը կոչվում է մարգինալ արտադրության ծախսեր.

Եթե ​​նշանակենք դրանով u (x)վաճառքի հասույթը xապրանքների միավորներ, ապա այն կոչվում է սահմանային եկամուտ.

Օգտագործելով ածանցյալ, կարող եք հաշվարկել արգումենտի ավելացմանը համապատասխանող ֆունկցիայի աճը: Շատ խնդիրների դեպքում ավելի հարմար է հաշվարկել կախված փոփոխականի տոկոսային շահույթը (հարաբերական շահույթը), որը համապատասխանում է անկախ փոփոխականի տոկոսային շահին։ Սա մեզ բերում է ֆունկցիայի առաձգականության հայեցակարգին (երբեմն կոչվում է հարաբերական ածանցյալ): Այսպիսով, թող տրվի y = f (x) ֆունկցիա, որի համար կա y ¢ = f ¢ (x) ածանցյալ: Գործառույթի առաձգականություն y = f (x) փոփոխականի համեմատ xզանգահարել սահմանաչափը

Այն նշվում է E x (y) = x / y f ¢ (x) =:

Էլաստիկության հարաբերական xկա ֆունկցիայի մոտավոր տոկոսային աճ (աճ կամ նվազում), որը համապատասխանում է անկախ փոփոխականի 1%-ով ավելացմանը: Տնտեսագետները չափում են սպառողների զգայունության կամ զգայունության աստիճանը ապրանքի գնի փոփոխության նկատմամբ՝ օգտագործելով գների առաձգականության հայեցակարգը: Որոշ ապրանքների պահանջարկը բնութագրվում է գնային փոփոխությունների նկատմամբ սպառողների հարաբերական զգայունությամբ, գնի փոքր փոփոխությունները հանգեցնում են գնված ապրանքների քանակի զգալի փոփոխության: Նման ապրանքների պահանջարկը սովորաբար կոչվում է համեմատաբար առաձգականկամ պարզապես առաձգական: Մյուս ապրանքների դեպքում սպառողները համեմատաբար անզգույշ են գների փոփոխության նկատմամբ, այսինքն՝ գնի զգալի փոփոխությունը հանգեցնում է գնումների քանակի միայն փոքր փոփոխության։ Նման դեպքերում պահանջարկը համեմատաբար ոչ առաձգականկամ պարզապես անառաձգական: Ժամկետ կատարյալ անառաձգականպահանջարկը նշանակում է ծայրահեղ դեպք, երբ գնի փոփոխությունը չի հանգեցնում պահանջվող ապրանքների քանակի փոփոխության: Օրինակ է հիվանդների պահանջարկը սուր ձևշաքարախտը ինսուլինի համար կամ թմրամոլների պահանջարկը հերոինի համար: Ընդհակառակը, երբ գնորդների գնի նվազագույն նվազման դեպքում գնորդները մեծացնում են գնումները մինչև իրենց հնարավորությունների սահմանը, ապա մենք ասում ենք, որ պահանջարկը կատարյալ առաձգական:

Էքստրեմալ ֆունկցիա

Կանչվում է y = f (x) ֆունկցիան աճող (նվազում) որոշ ընդմիջումով, եթե x 1-ի համար< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f (x 2)).

Եթե ​​դիֆերենցիալ ֆունկցիան y = f (x) մեծանում (նվազում է) մի միջակայքում, ապա դրա ածանցյալն այս միջակայքում f ¢ (x)> 0 (f ¢ (x)< 0).

Կետ x մասինկանչեց կետ տեղական առավելագույնը (նվազագույնը) f (x) ֆունկցիայի, եթե կա կետի հարևանություն x մասին, բոլոր կետերի համար, որոնց համար գործում է f (x) £ f (x о) (f (x) ³ f (x о)) անհավասարությունը։

Առավելագույն և նվազագույն միավորները կոչվում են ծայրահեղ կետեր, և այս կետերում ֆունկցիայի արժեքներն են ծայրահեղություն.

Անհրաժեշտ պայմաններըծայրահեղություն... Եթե ​​կետ x մասին f (x) ֆունկցիայի ծայրահեղ կետն է, ապա կամ f ¢ (x о) = 0, կամ f ¢ (x о) գոյություն չունի: Նման կետերը կոչվում են քննադատականԱվելին, ֆունկցիան ինքնին սահմանվում է կրիտիկական կետում: Ֆունկցիայի ծայրահեղությունը պետք է փնտրել նրա կրիտիկական կետերի շարքում:

Առաջին բավարար պայման.Թող լինի x մասին- կրիտիկական կետ. Եթե ​​f ¢ (x) կետով անցնող x մասինգումարած նշանը փոխում է մինուսի, այնուհետև կետում x մասինֆունկցիան ունի առավելագույնը, հակառակ դեպքում՝ նվազագույնը։ Եթե ​​կրիտիկական կետով անցնելիս ածանցյալը նշան չի փոխում, ապա կետում x մասինծայրահեղություն չկա.

Երկրորդ բավարար պայման.Թող f (x) ֆունկցիան ունենա ածանցյալ
f ¢ (x) կետի հարևանությամբ x մասինիսկ երկրորդ ածանցյալը հենց կետում x մասին... Եթե ​​f ¢ (x о) = 0,> 0 (<0), то точка x մասին f (x) ֆունկցիայի տեղական նվազագույնի (առավելագույնի) կետն է։ Եթե ​​= 0, ապա կամ օգտագործեք առաջին բավարար պայմանը կամ ներգրավեք ավելի բարձր ածանցյալներ:

Հատվածի վրա y = f (x) ֆունկցիան կարող է հասնել ամենափոքր կամ ամենամեծ արժեքին կամ կրիտիկական կետերում կամ հատվածի ծայրերում:

Օրինակ 22.Գտե՛ք f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ֆունկցիայի ծայրահեղությունը։

Լուծում.Քանի որ f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), ապա ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը x 1 = 2 և x 2 = 3: Ծայրահեղությունը կարող է լինել միայն այս կետերում: . Քանի որ x 1 = 2 կետով անցնելիս ածանցյալը գումարած նշանը փոխում է մինուսի, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի առավելագույնը։ x 2 = 3 կետով անցնելիս ածանցյալը փոխում է իր մինուս նշանը գումարածի, հետևաբար x 2 = 3 կետում ֆունկցիան ունի նվազագույնը։ Ֆունկցիայի արժեքների հաշվարկը կետերով
x 1 = 2 և x 2 = 3, մենք գտնում ենք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը՝ առավելագույնը f (2) = 14 և նվազագույնը f (3) = 13:

Օրինակ 23.Քարե պարսպի մոտ պետք է ուղղանկյուն տարածք կառուցել, որպեսզի երեք կողմից պարսպապատված լինի մետաղյա ցանցով, իսկ չորրորդ կողմից կից պատին։ Դրա համար կա ավազող մետր ցանց: Ինչ հարաբերակցությամբ կայքը կունենա ամենամեծ տարածքը:

Լուծում.Կայքի կողմերը նշում ենք ըստ xև y... Կայքի տարածքը S = xy է: Թող լինի yպատին հարող կողմի երկարությունն է։ Այնուհետև, ըստ պայմանի, պետք է կատարվի 2x + y = a հավասարությունը։ Հետևաբար, y = a - 2x և S = x (a - 2x), որտեղ 0 £ x £ a / 2 (տարածքի երկարությունը և լայնությունը չեն կարող բացասական լինել): S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 x = a / 4-ի համար, որտեղից
y = a - 2 × a / 4 = a / 2: Քանի որ x = a / 4-ը միակ կրիտիկական կետն է, եկեք ստուգենք, թե արդյոք ածանցյալի նշանը փոխվում է այս կետով անցնելիս: x-ի համար< a/4 S ¢ >0, իսկ x> a / 4 S ¢-ի համար<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Քանի որ S-ը շարունակական է, և դրա արժեքները S (0) և S (a / 2) ծայրերում հավասար են զրոյի, հայտնաբերված արժեքը կլինի ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը: Այսպիսով, կայքի առավել շահավետ հարաբերակցությունը խնդրի տվյալ պայմաններում y = 2x է:

Օրինակ 24.Պահանջվում է V = 16p «50 մ 3» հզորությամբ փակ գլանաձև տանկի արտադրություն: Ինչպիսի՞ն պետք է լինի տանկի չափսերը (շառավիղը R և բարձրությունը H), որպեսզի դրա պատրաստման համար օգտագործվի նվազագույն քանակությամբ նյութ:

Լուծում.Մխոցի ընդհանուր մակերեսը S = 2pR է (R + H): Մենք գիտենք մխոցի ծավալը V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2: Այսպիսով, S (R) = 2p (R 2 + 16 / R): Գտեք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.
S ¢ (R) = 2p (2R- 16 / R 2) = 4p (R- 8 / R 2): S ¢ (R) = 0 R 3 = 8-ի համար, հետևաբար,
R = 2, H = 16/4 = 4:

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալ աղյուսակ

Սահմանում 1

Ածանցյալի հաշվարկը կոչվում է տարբերակում.

Նշում է $ y «$ կամ $ \ frac (dy) (dx) $ ածանցյալը:

Դիտողություն 1

Ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար, ըստ տարբերակման հիմնական կանոնների, այն վերածվում է մեկ այլ ֆունկցիայի։

Դիտարկենք ածանցյալների աղյուսակը: Ուշադրություն դարձրեք, որ ֆունկցիաները իրենց ածանցյալները գտնելուց հետո փոխակերպվում են այլ ֆունկցիաների։

Միակ բացառությունը $ y = e ^ x $ է, որը վերածվում է ինքն իրեն։

Ածանցյալ տարբերակման կանոններ

Ամենից հաճախ, ածանցյալ գտնելիս պետք է ոչ միայն նայել ածանցյալների աղյուսակը, այլ նախ կիրառել տարբերակման կանոնները և արտադրանքի ածանցյալի ապացույցը, և միայն դրանից հետո օգտագործել տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը:

1. հաստատունը դուրս է բերվում ածանցյալի նշանից այն կողմ

$ C $-ը հաստատուն է (հաստատուն):

Օրինակ 1

Տարբերեք $ y = 7x ^ 4 $ ֆունկցիան:

Լուծում.

Գտեք $ y "= (7x ^ 4)" $: Ածանցյալի նշանի համար հանում ենք $7 $ թիվը, ստանում ենք.

$ y "= (7x ^ 4)" = 7 (x ^ 4) "= $

օգտագործելով աղյուսակը, դուք պետք է գտնեք հզորության ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը.

$ = 7 \ cdot 4x ^ 3 = $

Արդյունքը վերածում ենք մաթեմատիկայի մեջ ընդունված ձևի.

Պատասխան.$ 28x ^ 3 $.

2. Գումարի (տարբերության) ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին (տարբերությանը).

$ (u \ pm v) "= u" \ pm v "$.

Օրինակ 2

Տարբերակել $ y = 7 + x-5x ^ 3 + 4 \ sin x-9 \ sqrt (x ^ 2) + \ frac (4) (x ^ 4) -11 \ cot x $ ֆունկցիան։

Լուծում.

$ y "= (7 + x-5x ^ 5 + 4 \ sin x-9 \ sqrt (x ^ 2) + \ frac (4) (x ^ 4) -11 \ cot x)" = $.

կիրառել ստացված գումարը և տարբերությունը տարբերելու կանոնը.

$ = (7) "+ (x)" - (5x ^ 5) "+ (4 \ sin x)" - (9 \ sqrt (x ^ 2)) "+ (\ frac (4) (x ^ 4) ) "- (11 \ cot x)" = $

Նկատի ունեցեք, որ տարբերակման ժամանակ բոլոր աստիճաններն ու արմատները պետք է փոխակերպվեն $ x ^ (\ frac (a) (b)) $ ձևով;

վերցնել բոլոր հաստատունները ածանցյալի նշանից դուրս.

$ = (7) "+ (x)" - (5x ^ 5) "+ (4 \ sin x)" - (9x ^ (\ frac (2) (5))) "+ (4x ^ (- 4) ) "- (11 \ cot x)" = $

$ = (7) "+ (x)" - 5 (x ^ 5) "+ 4 (\ sin x)" - 9 (x ^ (\ frac (2) (5))) "+ 4 (x ^ ( -4)) «- 11 (\ cot x)» = $

հասկանալով տարբերակման կանոնները, դրանցից մի քանիսը (օրինակ, ինչպես վերջին երկուսը) կիրառվում են միաժամանակ՝ երկար արտահայտությունը վերագրելուց խուսափելու համար.

տարրական ֆունկցիաներից արտահայտություն ստացանք ածանցյալի նշանի տակ. եկեք օգտագործենք ածանցյալների աղյուսակը.

$ = 0 + 1-5 \ cdot 5x ^ 4 + 4 \ cos x-9 \ cdot \ frac (2) (5) x ^ (- \ frac (3) (5)) + 12x ^ (- 5) - 11 \ cdot \ frac (-1) (\ sin ^ 2 x) = $

մենք վերածվում ենք մաթեմատիկայի մեջ ընդունված ձևի.

$ = 1-25x ^ 4 + 4 \ cos x- \ frac (18) (5 \ sqrt (x ^ 3)) + \ frac (12) (x ^ 5) + \ frac (11) (\ sin ^ 2 x) $

Նկատի ունեցեք, որ արդյունքը գտնելիս ընդունված է կոտորակային հզորություններ ունեցող տերմինները վերածել արմատների, իսկ բացասական ուժ ունեցողները՝ կոտորակների։

Պատասխանել$ 1-25x ^ 4 + 4 \ cos x- \ frac (18) (5 \ sqrt (x ^ 3)) + \ frac (12) (x ^ 5) + \ frac (11) (\ sin ^ 2 x) $.

3. Գործառույթների արտադրյալի ածանցյալի բանաձևը.

$ (uv) "= u" v + uv "$.

Օրինակ 3

Տարբերակել $ y = x ^ (11) \ ln x $ ֆունկցիան։

Լուծում.

Նախ, մենք կիրառում ենք ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկելու կանոնը, այնուհետև օգտագործում ենք ածանցյալների աղյուսակը.

$ y "= (x ^ (11) \ ln x)" = (x ^ (11)) "\ ln x + x ^ (11) (\ lnтx)" = 11x ^ (10) \ ln x + x ^ (11) \ cdot \ frac (1) (x) = 11x ^ (10) \ ln x- \ frac (x ^ (11)) (x) = 11x ^ (10) \ ln xx ^ (10) = x ^ (10) (11 \ ln x-1) $.

Պատասխանել$ x ^ (10) (11 \ ln x-1) $.

4. Մասնակի ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը.

$ (\ frac (u) (v)) "= \ frac (u" v-uv ") (v ^ 2) $.

Օրինակ 4

Տարբերակել $ y = \ frac (3x-8) (x ^ 5-7) $ ֆունկցիան։

Լուծում.

$ y "= (\ frac (3x-8) (x ^ 5-7))" = $

ըստ մաթեմատիկական գործողությունների առաջնահերթության կանոնների՝ նախ կկատարենք բաժանում, իսկ հետո գումարում և հանում, հետևաբար նախ կիրառում ենք քանորդի ածանցյալը հաշվարկելու կանոնը.

$ = \ ֆրակ ((3x-8) "(x ^ 5-7) - (3x-8) (x ^ 5-7)") ((x ^ 5-7) ^ 2) = $

կիրառել գումարի և տարբերության ածանցյալների կանոնները, ընդլայնել փակագծերը և պարզեցնել արտահայտությունը.

$ = \ ֆրակ (3 (x ^ 5-7) -5x ^ 4 (3x-8)) ((x ^ 5-7) ^ 2) = \ ֆրակ (3x ^ 5-21-15x ^ 5 + 40x ^ 4) ((x ^ 5-7) ^ 2) = \ ֆրակ (-12x ^ 5 + 40x ^ 4-21) ((x ^ 5-7) ^ 2) $.

Պատասխան.$ \ ֆրակ (-12x ^ 5 + 40x ^ 4-21) ((x ^ 5-7) ^ 2) $.

Օրինակ 5

Տարբերեք $ y = \ frac (x ^ 7-2x + 3) (x) $ ֆունկցիան։

Լուծում.

y ֆունկցիան երկու ֆունկցիայի քանորդ է, ուստի կարելի է կիրառել քանորդի ածանցյալը հաշվարկելու կանոնը, սակայն այս դեպքում ստանում ենք ծանրաբեռնված ֆունկցիա։ Այս ֆունկցիան պարզեցնելու համար դուք կարող եք համարիչը բաժանել հայտարարի անդամով.

$ y = \ ֆրակ (x ^ 7-13x + 9) (x) = x ^ 6-13 + \ ֆրակ (9) (x) $:

Գործառույթների գումարը և տարբերությունը պարզեցված ֆունկցիային կիրառենք.

$ y "= (x ^ 6-13 + \ ֆրակ (9) (x))" = (x ^ 6) "+ (- 13)" + 9 (x ^ (- 1)) "= 6x ^ 5 + 0 + 9 \ cdot (-x ^ (- 2)) = $

$ = 6x ^ 5- \ ֆրակ (9) (x ^ 2) $.

Պատասխանել$ 6x ^ 5- \ frac (9) (x ^ 2) $.

Ստորև բերված բոլոր բանաձևերում տառերը uև vնշվում են անկախ փոփոխականի տարբերվող ֆունկցիաները x: , և տառեր ա, գ, ն- մշտական:

1.

3.

4.

5.

6.

Մնացած բանաձևերը գրված են ինչպես անկախ փոփոխականի, այնպես էլ բարդ ֆունկցիաների համար.

8.

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7 ա.

8 ա.

9 ա.

11 ա.

12 ա.

13 ա.

16 ա.

17 ա.

Մանրամասն նշումներ են արվել ստորև բերված օրինակները լուծելիս։ Այնուամենայնիվ, պետք է սովորել տարբերակել առանց միջանկյալ գրառումների:

Օրինակ 1.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը .

Լուծում. Այս ֆունկցիան ֆունկցիաների հանրահաշվական գումար է։ Մենք այն տարբերում ենք՝ օգտագործելով 3, 5, 7 և 8 բանաձևերը.

Օրինակ 2.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Կիրառելով 6, 3, 7 և 1 բանաձևերը՝ ստանում ենք

Օրինակ 3.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը և հաշվարկել դրա արժեքը

Լուծում. Սա բարդ ֆունկցիա է միջանկյալ փաստարկով: Օգտագործելով 7ա և 10 բանաձևերը, մենք ունենք

.

Օրինակ 4.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը .

Լուծում. Սա բարդ ֆունկցիա է միջանկյալ փաստարկով: Կիրառելով 3, 5, 7ա, 11, 16ա բանաձևերը՝ ստանում ենք

Օրինակ 5.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը .

Լուծում. Մենք տարբերակում ենք այս ֆունկցիան 6, 12, 3 և 1 բանաձևերով.

Օրինակ 6.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը և հաշվարկել դրա արժեքը.

Լուծում. Նախ, մենք փոխակերպում ենք ֆունկցիան՝ օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները.

Այժմ մենք տարբերակում ենք 3, 16ա, 7 և 1 բանաձևերով.

.

Եկեք հաշվարկենք ածանցյալի արժեքը at.

Օրինակ 7.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը և հաշվե՛ք դրա արժեքը:

Լուծում. Մենք օգտագործում ենք 6, 3, 14ա, 9ա, 5 և 1 բանաձևերը.

.

Եկեք հաշվարկենք ածանցյալի արժեքը հետևյալում.

.

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.

Ֆունկցիայի ածանցյալն ունի պարզ և կարևոր երկրաչափական մեկնաբանություն։

Եթե ​​ֆունկցիան տարբերվող կետում Ն.Ս, ապա այս ֆունկցիայի գրաֆիկը համապատասխան կետում ունի շոշափող, իսկ շոշափողի թեքությունը հավասար է դիտարկվող կետում ածանցյալի արժեքին։

Ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի թեքություն կետում ( Ն.Ս 0 , ժամը 0), հավասար է at ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքին x = x 0, այսինքն. .

Այս շոշափողի հավասարումն է

Օրինակ 8... Հավասարեցնել շոշափող գիծը ֆունկցիայի գրաֆիկին Ա կետում (3.6).

Լուծում. Շոշափողի թեքությունը գտնելու համար մենք գտնում ենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.

Ն.Ս= 3:

Շոշափող հավասարումն ունի ձև

, կամ , այսինքն.

Օրինակ 9.Գործառույթի գրաֆիկին գծված շոշափող գծի հավասարումը աբսցիսայով կետում x = 2.

Լուծում. Նախ, գտեք հպման կետի օրդինատը: Քանի որ A կետը գտնվում է կորի վրա, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են կորի հավասարումը, այսինքն.

; .

Կետում կորի վրա գծված շոշափող գծի հավասարումն ունի ձև ... Շոշափողի թեքությունը գտնելու համար մենք գտնում ենք ածանցյալը.

.

Շոշափողի գծի թեքությունը հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքին Ն.Ս= 2:

Շոշափող հավասարումը հետևյալն է.

, , այսինքն.

Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը.Եթե ​​մարմինը շարժվում է ուղիղ գծով օրենքի համաձայն s = s (t), այնուհետև որոշակի ժամանակահատվածով (այս պահից սկսած տմինչև պահը ) ինչ-որ կերպ կանցնի: Այնուհետև կա շարժման միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում:

Արագությունմարմնի շարժումները տվյալ պահին տկոչվում է ճանապարհի հարաբերակցության սահմանը ժամանակի աճին, երբ ժամանակի աճը ձգտում է զրոյի.

.

Հետևաբար, ճանապարհի ժամանակային ածանցյալը s տհավասար է տվյալ պահին մարմնի ուղղագիծ շարժման արագությանը.

.

Ֆիզիկական, քիմիական և այլ գործընթացների առաջացման արագությունը նույնպես արտահայտվում է ածանցյալի միջոցով:

Ֆունկցիայի ածանցյալ հավասար է այս ֆունկցիայի փոփոխության արագությանը արգումենտի տվյալ արժեքի համար Ն.Ս:

Օրինակ 10.Ուղիղ գծով կետի շարժման օրենքը տրված է բանաձևով (s - մետրերով, t - վայրկյաններով): Գտեք կետի արագությունը առաջին վայրկյանի վերջում:

Լուծում. Տվյալ պահին կետի շարժման արագությունը հավասար է ուղու ածանցյալին սժամանակով տ:

,

Այսպիսով, կետի արագությունը առաջին վայրկյանի վերջում 9 մ / վ է:

Օրինակ 11.Ուղղահայաց վեր նետված մարմինը շարժվում է օրենքի համաձայն, որտեղ v 0 - սկզբնական արագություն, է- մարմնի ազատ անկման արագացում. Գտեք այս շարժման արագությունը ժամանակի ցանկացած պահի համար տ... Որքա՞ն ժամանակ կբարձրանա մարմինը և որքան կբարձրանա, եթե v 0= 40 մ / վ:

Լուծում. Նշեք շարժման արագությունը տվյալ պահին տհավասար է ճանապարհի ածանցյալին սժամանակով t:

.

Վերելքի ամենաբարձր կետում մարմնի արագությունը զրո է.

, , , , հետ։

40-ից բարձր / էվայրկյանում մարմինը բարձրանում է բարձրության վրա

, մ.

Երկրորդ ածանցյալ.

Ֆունկցիայի ածանցյալ ընդհանուր առմամբ ֆունկցիա է Ն.Ս... Եթե ​​հաշվում ենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը, ապա ստանում ենք ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալ կամ երկրորդ ածանցյալ. .

Երկրորդ ածանցյալգործառույթները նրա առաջին ածանցյալի ածանցյալը կոչվում է .

Ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը նշվում է -,, նշաններից մեկով: Այսպիսով, .

Ցանկացած կարգի ածանցյալները սահմանվում և նշվում են նույն կերպ: Օրինակ, երրորդ կարգի ածանցյալ.

կամ ,

Օրինակ 12. .

Լուծում. Նախ, գտեք առաջին ածանցյալը

Օրինակ 13.Գտե՛ք ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալը և հաշվարկել դրա արժեքը x = 2.

Լուծում. Նախ, եկեք գտնենք առաջին ածանցյալը.

Կրկին տարբերակելով՝ մենք գտնում ենք երկրորդ ածանցյալը.

Եկեք հաշվարկենք երկրորդ ածանցյալի արժեքը at x = 2; մենք ունենք

Երկրորդ ածանցյալի ֆիզիկական իմաստը.

Եթե ​​մարմինը շարժվում է ուղիղ գծով օրենքի համաձայն s = s (t), ապա ճանապարհի երկրորդ ածանցյալը սժամանակով տհավասար է տվյալ պահին մարմնի շարժման արագացմանը t:

Այսպիսով, առաջին ածանցյալը բնութագրում է որոշակի գործընթացի արագությունը, իսկ երկրորդ ածանցյալը բնութագրում է նույն գործընթացի արագացումը:

Օրինակ 14.Կետը շարժվում է ուղիղ գծով՝ ըստ օրենքի ... Գտեք շարժման արագությունը և արագացումը .

Լուծում. Մարմնի արագությունը տվյալ պահին հավասար է ուղու ածանցյալին սժամանակով տ,իսկ արագացումը ճանապարհի երկրորդ ածանցյալն է սժամանակով տ... Մենք գտնում ենք.

; ապա ;

; ապա

Օրինակ 15.Ուղիղ շարժման արագությունը համաչափ է անցած տարածության քառակուսի արմատին (ինչպես, օրինակ, ազատ անկման դեպքում): Ապացուցեք, որ այս շարժումը տեղի է ունենում մշտական ​​ուժի ազդեցության տակ:

Լուծում. Ըստ Նյուտոնի օրենքի՝ շարժում առաջացնող F ուժը համաչափ է արագացմանը, այսինքն.

կամ

Ըստ պայմանի՝ ... Տարբերակելով այս հավասարությունը՝ մենք գտնում ենք

Հետեւաբար, գործող ուժը .

Ածանցյալի կիրառությունները ֆունկցիայի ուսումնասիրության համար.

1) ֆունկցիայի բարձրացման պայման y = f (x) տարբերակվող ֆունկցիան միապաղաղ մեծանում է X միջակայքում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա ածանցյալը զրոյից մեծ է, այսինքն. y = f (x) f '(x)> 0... Այս պայմանը երկրաչափորեն նշանակում է, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը կազմում է սուր անկյուն՝ դրական ուղղվածությամբ oX առանցքի:

2) Նվազող ֆունկցիայի պայման y = f (x) տարբերակվող ֆունկցիան միապաղաղորեն նվազում է X միջակայքում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա ածանցյալը զրոյից փոքր է, այսինքն.

y = f (x) ↓ f '(x) Այս պայմանը երկրաչափորեն նշանակում է, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը բութ անկյուն է կազմում oX առանցքի դրական ուղղության հետ)

3) ֆունկցիայի կայունության պայմանը. y = f (x) տարբերակվող ֆունկցիան հաստատուն է X միջակայքում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա ածանցյալը հավասար է զրոյի, այսինքն. y = f (x) - հաստատուն f '(x) = 0:Այս պայմանը երկրաչափորեն նշանակում է, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը զուգահեռ է oX առանցքին, այսինքն՝ α = 0)

Ֆունկցիոնալ ծայրահեղություն:

Սահմանում 1 x = x 0 կետը կոչվում է նվազագույն միավոր y = f (x), եթե այս կետն ունի հարևանություն, որի բոլոր կետերի համար (բացի բուն կետից) անհավասարությունը f (x)> f (x 0)

Սահմանում 2:Կանչվում է x = x 0 կետը առավելագույն միավոր y = f (x), եթե այս կետը հարևանություն ունի բոլոր կետերի համար, որոնց (բացառությամբ բուն կետի) անհավասարությունը f (x)< f(x 0).

Սահմանում 3. ֆունկցիայի նվազագույնի կամ առավելագույնի կետը կոչվում է կետ ծայրահեղություն... Այս պահին ֆունկցիայի արժեքը կոչվում է ծայրահեղ:

Դիտողություններ 1. Առավելագույնը (նվազագույնը) պարտադիր չէ, որ ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը լինի.

2. Ֆունկցիան կարող է ունենալ մի քանի առավելագույն կամ նվազագույն;

3. Հատվածի վրա սահմանված ֆունկցիան կարող է ծայրահեղության հասնել միայն այս հատվածի ներքին կետերում:

5) էքստրեմի համար անհրաժեշտ պայման.Եթե ​​y = f (x) ֆունկցիան ունի ծայրահեղություն x = x 0 կետում, ապա այս պահին ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի: Այս կետերը կոչվում են 1-ին տեսակի կրիտիկական կետեր.

6) ֆունկցիայի էքստրեմումի առկայության համար բավարար պայմաններ.Թող y = f (x) ֆունկցիան շարունակական լինի X միջակայքում և այս միջակայքում ունի x = x 0 սեռի կրիտիկական կետ 1, ապա.

ա) եթե այս կետը հարևանություն ունի x-ի համար< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f '(x)> 0, ապա x = x 0 կետ է նվազագույնըֆունկցիաներ y = f (x);

բ) եթե այս կետը հարևանություն ունի x-ի համար< х 0 f’(x) >0, իսկ x> x 0-ի համար

f '(x)< 0, то х = х 0 является точкой առավելագույնըֆունկցիաներ y = f (x);

գ) եթե այս կետն ունի այնպիսի հարևանություն, որ x 0 կետից և՛ աջ, և՛ ձախ կողմում ածանցյալի նշանները նույնն են, ապա x 0 կետում ծայրահեղություն չկա:

Ֆունկցիայի նվազման կամ մեծացման միջակայքերը կոչվում են ինտերվալներ: միապաղաղություն.

Սահմանում 1: y = f (x) կորը կոչվում է ուռուցիկ ներքեւընդմիջման վրա ա< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется ուռուցիկ վերընդմիջման վրա ա< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Սահմանում 2:Այն ինտերվալները, որոնցում ֆունկցիայի գրաֆիկը ուռուցիկ է վեր կամ վար, կոչվում են ուռուցիկության ընդմիջումներովֆունկցիայի գրաֆիկա։

Բավարար պայման կորի ուռուցիկության համար։ Y = f (x) դիֆերենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկն է ուռուցիկ վերընդմիջման վրա ա< х <в, если f”(x) < 0 и ուռուցիկ ներքեւեթե f ”(x)> 0:

Սահմանում 1:Այն կետերը, որոնցում երկրորդ ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի, կոչվում են երկրորդ տեսակի կրիտիկական կետեր.

Սահմանում 2: Y = f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկի կետը, որն առանձնացնում է այս գրաֆիկի հակառակ ուղղությունների ուռուցիկության միջակայքերը, կոչվում է կետ. թեքում.

թեքման կետ

ՕրինակՏրվում է y = x 3 - 2x 2 + 6x - 4 ֆունկցիան: Հետազոտեք ֆունկցիան միապաղաղության և ծայրահեղ կետերի ընդմիջումների համար: Որոշեք ուռուցքի ուղղությունը և թեքման կետը:

Լուծում՝ 1. Գտե՛ք ֆունկցիայի տիրույթը՝ D (y) =;

2. Գտի՛ր առաջին ածանցյալը՝ y '= 3x 2 - 4x + 6;

3. Լուծե՛ք հավասարումը` y ’= 0, 3x 2 - 4x + 6 = 0, D 0, ապա այս հավասարումը լուծում չունի, հետևաբար չկան ծայրահեղ կետեր: y ', այնուհետև ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում:

4. Գտե՛ք երկրորդ ածանցյալը՝ y ”= 6x - 4;

5. Լուծենք հավասարումը` y "= 0, 6x - 4 = 0, x =

Պատասխան՝ (; -) - թեքության կետ, ֆունկցիան ուռուցիկ է վերև x-ում և ուռուցիկ վերև x-ում

Ասիմպտոտներ.

1. ՍահմանումԿորի ասիմպտոտը ուղիղ գիծ է, որին տրված ֆունկցիայի գրաֆիկը մոտենում է առանց սահմանի:

2. Ասիմպտոտների տեսակները:

1) Ուղղահայաց ասիմպտոտներ... y = f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի ուղղահայաց ասիմպտոտ, եթե. Ուղղահայաց ասիմպտոտային հավասարումն ունի x = a ձև

2) Հորիզոնական ասիմպտոտներ... y = f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հորիզոնական ասիմպտոտ, եթե ... Հորիզոնական ասիմպտոտային հավասարումն ունի y = b ձև:

Օրինակ 1. y ֆունկցիայի համար գտե՛ք ասիմպտոտները:

3) թեք ասիմպտոտներ. y = kx + b ուղիղը կոչվում է y = f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկի թեք ասիմպտոտ, եթե. k և b արժեքները հաշվարկվում են բանաձևերով. k =; բ =.

Լուծում: , ապա y = 0 հորիզոնական ասիմպտոտն է;

(քանի որ x - 3 ≠ 0, x ≠ 3), ապա x = 3-ը ուղղահայաց ասիմպտոտն է: ,Տ. այսինքն, k = 0, ապա կորը չունի թեք ասիմպտոտ:

Օրինակ 2. y = ֆունկցիայի համար գտե՛ք ասիմպտոտները:

Լուծում. x 2 - 25 ≠ 0 x ≠ ± 5-ի համար, ապա x = 5 և x = - 5 հորիզոնական ասիմպտոտներ են;

y =, ապա կորը չունի ուղղահայաց ասիմպտոտ;

k =; b =, այսինքն. y = 5x-ը թեք ասիմպտոտն է:

Գծագրական ֆունկցիաների օրինակներ.

Օրինակ 1.

Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և գծեք y = x 3 - 6x 2 + 9x - 3 ֆունկցիան

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը՝ D (y) = R

y (- x) = (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 = - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 = - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3) , այսինքն

(y = x 5 - x 3 - կենտ, y = x 4 + x 2 - զույգ)

3. Պարբերական չէ։

4. Գտե՛ք կոորդինատային առանցքների հատման կետերը. եթե x = 0, ապա y = - 3 (0; - 3)

եթե Y = 0, x-ը դժվար է գտնել:

5. Գտե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները. Ուղղահայաց ասիմպտոտներ չկան, քանի որ չկան x արժեքներ, որոնց համար ֆունկցիան չսահմանված է. y =, այսինքն, չկան հորիզոնական ասիմպտոտներ;

k =, այսինքն, չկան թեք ասիմպտոտներ:

6. Եկեք քննենք միապաղաղության միջակայքերի և դրա ծայրահեղությունների ֆունկցիան՝ y’= 3x 2 - 12x + 9,

y '= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - 1-ին տեսակի կրիտիկական կետեր:

Սահմանենք ածանցյալի նշանները՝ y '(0) = 9> 0; y '(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y (1) = 1, (1; 1) - առավելագույն միավոր; y min = y (3) = - 3, (3; - 3) - նվազագույն կետ, ֆունկցիա y x-ում և y-ում .

7. Եկեք քննենք ուռուցիկության միջակայքերի և թեքման կետերի ֆունկցիան.

y ”= (y’) ’= (3x 2 - 12x + 9)” = 6x - 12, y ”= 0, 6x - 12 = 0 x = 2 1-ին տեսակի կրիտիկական կետն է:

Եկեք որոշենք երկրորդ ածանցյալի նշանները. y ”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y (2) = - 1 (2; - 1) թեքման կետն է, ֆունկցիան x-ում ուռուցիկ է դեպի վեր և x-ում՝ դեպի ներքև:

8. Լրացուցիչ միավորներ.

Ն.Ս	- 1
ժամը	- 19

9. Եկեք գծագրենք ֆունկցիան.

Ուսումնասիրեք ֆունկցիան և գծեք y = ֆունկցիան

1. Գտնենք ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը՝ 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D (y) =:

2. Պարզենք՝ տրված ֆունկցիան զույգ է, թե կենտ. ,

y (- x) ≠ y (x) - զույգ չէ և y (- x) ≠ - y (x) - կենտ չէ

3. Պարբերական չէ։

4. Գտի՛ր կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը՝ x = 0, ապա y = - 2; y = 0, ապա , այսինքն (0; - 2); ().

5. Գտնենք ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները. x ≠ 1, ապա ուղիղ գիծը x = 1 ուղղահայաց ասիմպտոտն է;

Տարբերակումը ածանցյալի հաշվարկն է։

1. Տարբերակման բանաձեւեր.

Տարբերակման հիմնական բանաձևերը ներկայացված են աղյուսակում: Պարտադիր չէ, որ դրանք անգիր լինեն: Հասկանալով որոշ օրինաչափություններ՝ դուք կկարողանաք ինքնուրույն բխել մյուսներին որոշ բանաձևերից:

1) Սկսենք բանաձևից (k x+ մ) ′ = k.
Դրա հատուկ դեպքերը բանաձևերն են x′ = 1 և C ′ = 0:

y = kx + m ձևի ցանկացած ֆունկցիայի դեպքում ածանցյալը հավասար է k թեքությանը:

Օրինակ, տրված է y = 2 ֆունկցիա Ն.Ս+ 4. Նրա ածանցյալը ցանկացած կետում հավասար կլինի 2:

(2 x + 4) ′ = 2 .

Ֆունկցիայի ածանցյալ ժամը = 9 Ն.Ս+ 5 ցանկացած կետում 9 ... և այլն:

Գտնենք y = 5 ֆունկցիայի ածանցյալը Ն.Ս... Դրա համար մենք ներկայացնում ենք 5 Ն.Սձևով (5 Ն.Ս+ 0): Մենք ստացանք նախորդի նման արտահայտություն. Նշանակում է.

(5Ն.Ս) ′ = (5 Ն.Ս+ 0) ′ = 5.

Ի վերջո, եկեք պարզենք, թե ինչին է հավասար x′.
Կիրառենք նախորդ օրինակի տեխնիկան՝ պատկերացրեք Ն.Սորպես 1 Ն.Ս+ 0. Այնուհետև մենք ստանում ենք.

x′ = (1 Ն.Ս+ 0) ′ = 1.

Այսպիսով, մենք անկախ բանաձև ենք ստացել աղյուսակից.

(0 · x+ մ) ′ = 0:

Բայց հետո պարզվում է, որ m ′-ը նույնպես հավասար է 0-ի: Թող m = C, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է: Հետո գալիս ենք մեկ այլ ճշմարտության՝ հաստատունի ածանցյալը զրո է։ Այսինքն՝ աղյուսակից ստանում ենք մեկ այլ բանաձեւ.