Bestimme 1 Varianz. Streuung und Standardabweichung

Wir berechnen inFRAUEXCELVarianz und Standardabweichung der Stichprobe. Wir berechnen auch die Varianz einer Zufallsvariablen, wenn ihre Verteilung bekannt ist.

Überlege zuerst Abweichung, dann Standardabweichung.

Stichprobenabweichung

Stichprobenabweichung (Stichprobenvarianz,StichprobeAbweichung) charakterisiert die Streuung der Werte im Array relativ zu.

Alle 3 Formeln sind mathematisch äquivalent.

Aus der ersten Formel ist ersichtlich, dass Stichprobenabweichung ist die Summe der quadrierten Abweichungen jedes Wertes im Array vom Durchschnitt geteilt durch Stichprobengröße minus 1.

Abweichung Probenahme die Funktion DISP() wird verwendet. VAR-Name, d.h. Varianz. Seit der Version MS EXCEL 2010 wird empfohlen, dessen analoges DISP.B (), eng. der Name VARS, d.h. Beispielvarianz. Zusätzlich gibt es seit der MS EXCEL 2010 Version eine DISP.G (), englische Funktion. der Name des VARP, d.h. Populationsvarianz, die berechnet Abweichung zum die allgemeine Bevölkerung... Der ganze Unterschied kommt auf den Nenner an: Statt n-1 wie in DISP.B () ist der Nenner in DISP.G () nur n. Vor MS EXCEL 2010 wurde die Funktion VARP() verwendet, um die Varianz der Gesamtbevölkerung zu berechnen.

Stichprobenabweichung
= QUADRAT (Probe) / (ANZAHL (Probe) -1)
= (SUMME (Sample) -COUNT (Sample) * DURCHSCHNITT (Sample) ^ 2) / (COUNT (Sample) -1)- die übliche Formel
= SUMME ((Probe - AVERAGE (Probe)) ^ 2) / (ANZAHL (Probe) -1) –

Stichprobenabweichung ist gleich 0, nur wenn alle Werte gleich und dementsprechend gleich sind Durchschnitt... Normalerweise, je größer der Wert Abweichung, desto größer ist die Streuung der Werte im Array.

Stichprobenabweichung ist eine Punktschätzung Abweichung Verteilung der Zufallsvariablen, aus der die Stichprobe... Über das Bauen Vertrauensintervalle bei der Auswertung Abweichung ist im Artikel nachzulesen.

Varianz einer Zufallsvariablen

Berechnen Abweichung Zufallsvariable, das müssen Sie wissen.

Zum Abweichung Zufallsvariable X wird oft als Notation Var (X) verwendet. Dispersion gleich dem Quadrat der Abweichung vom Mittelwert E (X): Var (X) = E [(X-E (X)) 2]

Dispersion berechnet nach der Formel:

wobei x i der Wert ist, den die Zufallsvariable annehmen kann, und μ der Durchschnittswert ist (), p (x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert x annehmen wird.

Wenn die Zufallsvariable hat, dann Dispersion berechnet nach der Formel:

Abmessungen Abweichung entspricht dem Quadrat der Maßeinheit der Originalwerte. Wenn die Werte in der Probe beispielsweise Maße des Gewichts des Teils (in kg) sind, beträgt die Abweichungsgröße kg 2. Dies kann daher schwierig zu interpretieren sein, um die Streuung von Werten zu charakterisieren, ein Wert gleich der Quadratwurzel von Abweichung – Standardabweichung.

Einige Eigenschaften Abweichung:

Var (X + a) = Var (X), wobei X eine Zufallsvariable und a eine Konstante ist.

Var (aX) = a 2 Var (X)

Var (X) = E [(XE (X)) 2] = E = E (X 2) -E (2 * X * E (X)) + (E (X)) 2 = E (X 2) - 2 * E (X) * E (X) + (E (X)) 2 = E (X 2) - (E (X)) 2

Diese Varianzeigenschaft wird verwendet in Artikel über lineare Regression.

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 * Cov (X; Y), wobei X und Y Zufallsvariablen sind, Cov (X; Y) ist die Kovarianz dieser Zufallsvariablen.

Wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind, dann sind ihre Kovarianz ist gleich 0, und daher gilt Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y). Diese Varianzeigenschaft wird in der Ausgabe verwendet.

Zeigen wir, dass für unabhängige Größen Var (X-Y) = Var (X + Y) ist. Tatsächlich ist Var (X-Y) = Var (X-Y) = Var (X + (-Y)) = Var (X) + Var (-Y) = Var (X) + Var (-Y) = Var (X) + ( - 1) 2 Var (Y) = Var (X) + Var (Y) = Var (X + Y). Diese Varianzeigenschaft wird zum Plotten verwendet.

Standardabweichung der Stichprobe

Standardabweichung der Stichprobe ist ein Maß dafür, wie stark die Werte in der Stichprobe relativ zu ihren gestreut sind.

A-Priorität, Standardabweichung gleich der Quadratwurzel von Abweichung:

Standardabweichung berücksichtigt nicht die Größe der Werte in Stichprobe, aber nur der Grad der Streuung der Werte um sie herum Mitte... Hier ist ein Beispiel, um dies zu veranschaulichen.

Berechnen wir die Standardabweichung für 2 Stichproben: (1; 5; 9) und (1001; 1005; 1009). In beiden Fällen ist s = 4. Offensichtlich unterscheidet sich das Verhältnis der Standardabweichung zu den Werten des Arrays für die Proben erheblich. Verwenden Sie in solchen Fällen Der Variationskoeffizient(Variationskoeffizient, CV) - Verhältnis Standardabweichung zur Mitte Arithmetik in Prozent ausgedrückt.

In MS EXCEL 2007 und früher zur Berechnung Standardabweichung der Stichprobe die Funktion wird verwendet = STABW (), eng. Name STDEV, d.h. Standardabweichung. Seit der Version MS EXCEL 2010 wird empfohlen, sein analoges = STDEV.V (), eng. der Name STDEV.S, d.h. Beispiel für eine Standardabweichung.

Zusätzlich gibt es ab der MS EXCEL 2010 Version eine Funktion STDEV.G (), eng. Name STDEV.P, d.h. Population STandard DEViation, die berechnet Standardabweichung zum die allgemeine Bevölkerung... Der ganze Unterschied hängt vom Nenner ab: Statt n-1 wie STABW.V() hat STABW.G() nur n im Nenner.

Standardabweichung kann auch direkt nach folgenden Formeln berechnet werden (siehe Beispieldatei)
= WURZEL (SQUARE (Beispiel) / (ANZAHL (Beispiel) -1))
= ROOT ((SUMME (Probe) -ANZAHL (Probe) * DURCHSCHNITT (Probe) ^ 2) / (ANZAHL (Probe) -1))

Andere Ausbreitungsmaßnahmen

Die Funktion SQUARE() berechnet mit umma quadrierte Abweichungen von Werten von ihren Mitte... Diese Funktion liefert das gleiche Ergebnis wie die Formel = DISP.G ( Stichprobe)*PRÜFEN( Stichprobe) , wo Stichprobe- Verweis auf einen Bereich, der ein Array von Beispielwerten enthält (). Berechnungen in der Funktion SQUARE() erfolgen nach der Formel:

Die Funktion AVEDEV() ist auch ein Maß für die Streuung eines Datensatzes. Die Funktion AVEDV() berechnet den Durchschnitt der Absolutwerte von Abweichungen von Werten von Mitte... Diese Funktion liefert das gleiche Ergebnis wie die Formel = SUMMENPRODUKT (ABS (Probe-Durchschnitt (Probe))) / ANZAHL (Probe), wo Stichprobe- ein Verweis auf einen Bereich, der ein Array von Abtastwerten enthält.

Berechnungen in der Funktion AVEDV() erfolgen nach der Formel:

Der mathematische Erwartungswert und die Varianz sind die am häufigsten verwendeten numerischen Merkmale einer Zufallsvariablen. Sie charakterisieren die wichtigsten Merkmale der Verteilung: ihre Lage und den Grad der Streuung. In vielen praktischen Problemen kann eine vollständige, erschöpfende Charakteristik einer Zufallsvariablen - das Verteilungsgesetz - entweder gar nicht erhalten werden oder wird überhaupt nicht benötigt. In diesen Fällen beschränken sie sich auf eine näherungsweise Beschreibung einer Zufallsvariablen anhand numerischer Merkmale.

Der mathematische Erwartungswert wird oft einfach als Mittelwert einer Zufallsvariablen bezeichnet. Die Streuung einer Zufallsvariablen ist ein Merkmal der Streuung, die Streuung einer Zufallsvariablen um ihre mathematische Erwartung.

Die mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen

Nähern wir uns dem Konzept der mathematischen Erwartung, indem wir zunächst von einer mechanischen Interpretation der Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen ausgehen. Die Einheitsmasse sei auf die Punkte der Abszissenachse verteilt x1 , x 2 , ..., x n, und jeder materielle Punkt hat eine entsprechende Masse von P1 , P 2 , ..., P n... Es ist erforderlich, einen Punkt auf der Abszissenachse auszuwählen, der die Position des gesamten Systems von Materialpunkten unter Berücksichtigung ihrer Massen charakterisiert. Es ist natürlich, den Massenschwerpunkt des Systems materieller Punkte als einen solchen Punkt zu nehmen. Dies ist der gewichtete Durchschnitt einer Zufallsvariablen x, bei der die Abszisse jedes Punktes xich tritt mit einem "Gewicht" gleich der entsprechenden Wahrscheinlichkeit ein. Der so erhaltene Mittelwert der Zufallsvariablen x heißt seine mathematische Erwartung.

Die mathematische Erwartung einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller ihrer möglichen Werte durch die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte:

Beispiel 1. Es wurde eine Win-Win-Lotterie organisiert. Es gibt 1000 Siege, davon 400 je 10 Rubel. 300 - 20 Rubel je 200 - 100 Rubel jeweils und 100 - 200 Rubel jeweils. Wie hoch ist der durchschnittliche Gewinn für einen Ticketkäufer?

Lösung. Wir finden den durchschnittlichen Gewinn, wenn der Gesamtgewinnbetrag, der 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50.000 Rubel beträgt, durch 1000 (der Gesamtgewinnbetrag) geteilt wird. Dann bekommen wir 50.000/1000 = 50 Rubel. Der Ausdruck zur Berechnung der durchschnittlichen Auszahlung kann jedoch in der folgenden Form dargestellt werden:

Andererseits ist die Höhe des Gewinns unter diesen Bedingungen eine Zufallsvariable, die die Werte 10, 20, 100 und 200 Rubel annehmen kann. mit Wahrscheinlichkeiten von jeweils 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Folglich ist die erwartete durchschnittliche Auszahlung gleich der Summe der Produkte der Höhe der Auszahlungen nach der Wahrscheinlichkeit ihres Erhalts.

Beispiel 2. Der Verlag beschloss, ein neues Buch zu veröffentlichen. Er beabsichtigt, das Buch für 280 Rubel zu verkaufen, von denen er 200, 50 - die Buchhandlung und 30 - den Autor erhält. Die Tabelle enthält Informationen über die Kosten für die Veröffentlichung eines Buches und die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Exemplaren des Buches zu verkaufen.

Ermitteln Sie den erwarteten Gewinn des Publishers.

Lösung. Der Zufallswert "Gewinn" entspricht der Differenz zwischen dem Verkaufserlös und den Kosten der Ausgaben. Wenn beispielsweise 500 Exemplare eines Buches verkauft werden, beträgt der Verkaufserlös 200 * 500 = 100.000 und die Veröffentlichungskosten 225.000 Rubel. Damit droht dem Verlag ein Verlust von 125.000 Rubel. Die folgende Tabelle fasst die Erwartungswerte der Zufallsvariablen – Gewinn – zusammen:

Nummer	Profitieren xich	Wahrscheinlichkeit Pich	xich P ich
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Gesamt:		1,00	25000

Somit erhalten wir die mathematische Erwartung des Verlagsgewinns:

.

Beispiel 3. Trefferwahrscheinlichkeit pro Schuss P= 0,2. Bestimmen Sie den Verbrauch von Projektilen, indem Sie eine mathematische Erwartung der Anzahl von Treffern von 5 erstellen.

Lösung. Aus der gleichen mathematischen Erwartungsformel, die wir bisher verwendet haben, drücken wir x- Projektilverbrauch:

.

Beispiel 4. Bestimmen Sie den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen x die Anzahl der Treffer für drei Schüsse, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit für jeden Schuss P = 0,4 .

Hinweis: Die Wahrscheinlichkeit von Werten einer Zufallsvariablen wird gefunden durch Bernoulli-Formel .

Mathematische Erwartungseigenschaften

Betrachten Sie die Eigenschaften des mathematischen Erwartungswerts.

Eigentum 1. Der mathematische Erwartungswert einer Konstanten ist gleich dieser Konstante:

Eigentum 2. Der konstante Faktor kann außerhalb des Vorzeichens des mathematischen Erwartungswerts genommen werden:

Eigentum 3. Die mathematische Erwartung der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer mathematischen Erwartungen:

Eigentum 4. Die mathematische Erwartung des Produkts von Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:

Eigentum 5. Wenn alle Werte der Zufallsvariablen x abnehmen (erhöhen) um dieselbe Zahl MIT, dann wird seine mathematische Erwartung um dieselbe Zahl kleiner (erhöht):

Wenn Sie nicht nur durch die mathematische Erwartung eingeschränkt werden können

In den meisten Fällen kann der mathematische Erwartungswert allein eine Zufallsvariable nicht ausreichend charakterisieren.

Lassen Sie die Zufallsvariablen x und Ja sind durch folgende Verteilungsgesetze gegeben:

Bedeutung x	Wahrscheinlichkeit
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Bedeutung Ja	Wahrscheinlichkeit
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Die mathematischen Erwartungen dieser Größen sind gleich - gleich Null:

Die Art ihrer Verteilung ist jedoch unterschiedlich. Zufallswert x kann nur Werte annehmen, die wenig von der mathematischen Erwartung abweichen, und die Zufallsvariable Ja Werte annehmen können, die deutlich von der mathematischen Erwartung abweichen. Ein ähnliches Beispiel: Der Durchschnittslohn macht es unmöglich, den Anteil von Hoch- und Niedriglohnarbeitern zu beurteilen. Mit anderen Worten, anhand der mathematischen Erwartung lässt sich nicht beurteilen, welche Abweichungen davon zumindest im Mittel möglich sind. Dazu müssen Sie die Varianz der Zufallsvariablen ermitteln.

Streuung einer diskreten Zufallsvariablen

Dispersion diskrete Zufallsvariable x ist der mathematische Erwartungswert des Quadrats seiner Abweichung vom mathematischen Erwartungswert:

Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen x der arithmetische Wert der Quadratwurzel seiner Varianz heißt:

.

Beispiel 5. Varianzen und Standardabweichungen von Zufallsvariablen berechnen x und Ja, deren Verteilungsgesetze in den obigen Tabellen angegeben sind.

Lösung. Mathematische Erwartungen von Zufallsvariablen x und Ja, wie oben gefunden, sind gleich Null. Nach der Dispersionsformel at E(NS)=E(ja) = 0 erhalten wir:

Dann sind die Standardabweichungen der Zufallsvariablen x und Ja bilden

.

Somit ist bei gleichen mathematischen Erwartungen die Varianz der Zufallsvariablen x ist sehr klein, aber eine Zufallsvariable Ja- wesentlich. Dies ist eine Folge der unterschiedlichen Verteilung.

Beispiel 6. Der Investor hat 4 alternative Investitionsprojekte. Die Tabelle fasst den erwarteten Gewinn bei diesen Projekten mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit zusammen.

Projekt 1	Projekt 2	Projekt 3	Projekt 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Ermitteln Sie die mathematische Erwartung, Varianz und Standardabweichung für jede Alternative.

Lösung. Lassen Sie uns zeigen, wie diese Werte für die 3. Alternative berechnet werden:

Die Tabelle fasst die gefundenen Werte für alle Alternativen zusammen.

Alle Alternativen haben die gleichen mathematischen Erwartungen. Das bedeutet, dass auf Dauer alle das gleiche Einkommen haben. Die Standardabweichung kann als Maßeinheit für das Risiko interpretiert werden – je größer sie ist, desto größer ist das Risiko der Anlage. Ein Investor, der nicht viel Risiko eingehen möchte, wird Projekt 1 wählen, da es die kleinste Standardabweichung (0) hat. Wenn der Investor Risiko und hohe Renditen in kurzer Zeit bevorzugt, wählt er das Projekt mit der größten Standardabweichung - Projekt 4.

Dispergiereigenschaften

Hier sind die Eigenschaften der Varianz.

Eigentum 1. Die Varianz der Konstanten ist Null:

Eigentum 2. Der konstante Faktor kann durch Quadrieren aus dem Varianzzeichen herausgenommen werden:

.

Eigentum 3. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist gleich dem mathematischen Erwartungswert des Quadrats dieser Größe, von dem das Quadrat des mathematischen Erwartungswerts der Größe selbst abgezogen wird:

,

wo .

Eigentum 4. Die Varianz der Summe (Differenz) von Zufallsvariablen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Varianzen:

Beispiel 7. Es ist bekannt, dass eine diskrete Zufallsvariable x nimmt nur zwei Werte an: −3 und 7. Außerdem ist der mathematische Erwartungswert bekannt: E(x) = 4. Bestimmen Sie die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen.

Lösung. Bezeichnen wir mit P die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable einen Wert annimmt x1 = −3 ... Dann ist die Wahrscheinlichkeit des Wertes x2 = 7 wird 1 sein - P... Wir leiten die Gleichung für den mathematischen Erwartungswert her:

E(x) = x 1 P + x 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,

woraus wir die Wahrscheinlichkeiten erhalten: P= 0,3 und 1 - P = 0,7 .

Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:

x	−3	7
P	0,3	0,7

Die Varianz dieser Zufallsvariablen berechnen wir nach der Formel aus Eigenschaft 3 der Varianz:

D(x) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Finden Sie selbst die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen und schauen Sie sich dann die Lösung an

Beispiel 8. Diskrete Zufallsvariable x nimmt nur zwei Werte an. Es akzeptiert den größeren der Werte 3 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4. Außerdem ist die Varianz der Zufallsvariablen bekannt D(x) = 6. Finden Sie die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen.

Beispiel 9. In der Urne befinden sich 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. 3 Kugeln werden aus der Urne genommen. Die Anzahl der weißen Kugeln unter den herausgenommenen Kugeln ist eine diskrete Zufallsvariable x... Ermitteln Sie die mathematische Erwartung und Varianz dieser Zufallsvariablen.

Lösung. Zufallswert x kann die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten lassen sich berechnen aus Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten... Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen:

x	0	1	2	3
P	1/30	3/10	1/2	1/6

Daher die mathematische Erwartung einer gegebenen Zufallsvariablen:

m(x) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Die Varianz einer gegebenen Zufallsvariablen:

D(x) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Mathematischer Erwartungswert und Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen

Für eine stetige Zufallsvariable behält die mechanische Interpretation des mathematischen Erwartungswerts dieselbe Bedeutung: der Massenschwerpunkt für eine auf der Abszissenachse kontinuierlich verteilte Masseneinheit mit Dichte F(x). Im Gegensatz zu einer diskreten Zufallsvariablen, bei der das Argument der Funktion xichändert sich abrupt, für eine stetige Zufallsvariable ändert sich das Argument stetig. Der mathematische Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen hängt aber auch mit ihrem Mittelwert zusammen.

Um die mathematische Erwartung und Varianz einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu bestimmen, müssen Sie bestimmte Integrale finden ... Ist eine Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen gegeben, so geht sie direkt in den Integranden ein. Wenn eine Wahrscgegeben ist, müssen Sie diese differenzieren und die Dichtefunktion finden.

Der arithmetische Mittelwert aller möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen heißt its mathematische Erwartung, bezeichnet mit oder.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein spezieller Zweig der Mathematik, der nur von Universitätsstudenten studiert wird. Mögen Sie Berechnungen und Formeln? Haben Sie keine Angst vor der Bekanntschaft mit Normalverteilung, Ensembleentropie, mathematischer Erwartung und Varianz einer diskreten Zufallsvariablen? Dann wird dieses Thema für Sie sehr interessant sein. Machen wir uns mit einigen der wichtigsten Grundkonzepte in diesem Wissenschaftszweig vertraut.

Erinnern wir uns an die Grundlagen

Auch wenn Sie sich an die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie erinnern, vernachlässigen Sie nicht die ersten Absätze des Artikels. Tatsache ist, dass Sie ohne ein klares Verständnis der Grundlagen nicht mit den unten diskutierten Formeln arbeiten können.

Also passiert ein zufälliges Ereignis, ein Experiment. Als Ergebnis der durchgeführten Aktionen können wir mehrere Ergebnisse erzielen - einige davon sind häufiger, andere weniger häufig. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der tatsächlich erzielten Ergebnisse einer Art zur Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse. Nur wenn Sie die klassische Definition dieses Konzepts kennen, können Sie damit beginnen, die mathematische Erwartung und Varianz stetiger Zufallsvariablen zu untersuchen.

Arithmetische Mittel

In der Schule hast du im Mathematikunterricht angefangen, mit dem arithmetischen Mittel zu arbeiten. Dieses Konzept ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie weit verbreitet und kann daher nicht ignoriert werden. Das Wichtigste für uns ist im Moment, dass wir es in den Formeln für den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen antreffen werden.

Wir haben eine Zahlenfolge und wollen das arithmetische Mittel ermitteln. Alles, was von uns verlangt wird, ist, alles verfügbare zu summieren und durch die Anzahl der Elemente in der Sequenz zu dividieren. Angenommen, wir haben Zahlen von 1 bis 9. Die Summe der Elemente ist 45, und wir teilen diesen Wert durch 9. Antwort: - 5.

Dispersion

In wissenschaftlicher Hinsicht ist Varianz das mittlere Quadrat der Abweichungen der erhaltenen Werte eines Merkmals vom arithmetischen Mittel. Einer wird mit einem großen lateinischen Buchstaben D bezeichnet. Was brauchen Sie, um ihn zu berechnen? Berechnen Sie für jedes Element der Folge die Differenz zwischen der verfügbaren Zahl und dem arithmetischen Mittel und quadrieren Sie diese. Es wird genau so viele Werte geben, wie es Ergebnisse für das von uns in Betracht gezogene Ereignis geben können. Als nächstes fassen wir alles empfangene zusammen und dividieren durch die Anzahl der Elemente in der Sequenz. Wenn wir fünf mögliche Ergebnisse haben, teilen wir durch fünf.

Varianz hat auch Eigenschaften, die man sich merken muss, um bei der Lösung von Problemen angewendet zu werden. Wenn beispielsweise die Zufallsvariable um das X-fache erhöht wird, wird die Varianz um das X-fache zum Quadrat erhöht (d. h. X * X). Sie ist nie kleiner als Null und hängt nicht von der Verschiebung von Werten um einen gleichen Wert nach oben oder unten ab. Außerdem ist bei unabhängigen Tests die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen.

Nun müssen wir unbedingt Beispiele für die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert betrachten.

Nehmen wir an, wir haben 21 Experimente durchgeführt und 7 verschiedene Ergebnisse erhalten. Wir haben jeden von ihnen 1,2,2,3,4,4 bzw. 5 Mal beobachtet. Was ist die Varianz?

Zuerst berechnen wir das arithmetische Mittel: Die Summe der Elemente ist natürlich gleich 21. Dividieren Sie es durch 7, und erhalten Sie 3. Nun subtrahieren Sie von jeder Zahl in der ursprünglichen Folge 3, quadrieren Sie jeden Wert und addieren Sie die Ergebnisse zusammen. Es ergibt sich 12. Jetzt müssen wir noch die Zahl durch die Zahl der Elemente dividieren, und das war's, wie es scheint. Aber es gibt einen Haken! Lassen Sie uns darüber diskutieren.

Abhängigkeit von der Anzahl der Experimente

Es stellt sich heraus, dass der Nenner bei der Berechnung der Varianz eine von zwei Zahlen sein kann: entweder N oder N-1. Hier ist N die Anzahl der durchgeführten Experimente oder die Anzahl der Elemente in der Sequenz (die im Wesentlichen gleich sind). Wovon hängt es ab?

Wenn die Anzahl der Tests in Hunderten gemessen wird, sollten wir den Nenner N eingeben. Wenn in Einheiten, dann N-1. Die Wissenschaftler beschlossen, die Grenze ganz symbolisch zu ziehen: Heute läuft sie bei der Zahl 30. Wenn wir weniger als 30 Experimente durchgeführt haben, teilen wir die Summe durch N-1, und wenn mehr, dann durch N.

Aufgabe

Kehren wir zu unserem Beispiel der Lösung des Varianz- und Erwartungsproblems zurück. Wir erhielten eine Zwischenzahl 12, die durch N oder N-1 geteilt werden musste. Da wir 21 Experimente durchgeführt haben, also weniger als 30, wählen wir die zweite Option. Die Antwort lautet also: Die Varianz beträgt 12/2 = 2.

Erwarteter Wert

Kommen wir zum zweiten Konzept, das wir in diesem Artikel unbedingt berücksichtigen müssen. Der Erwartungswert ist die Summe aller möglichen Ergebnisse multipliziert mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Es ist wichtig zu verstehen, dass der erhaltene Wert sowie das Ergebnis der Varianzberechnung nur einmal für das gesamte Problem erhalten werden, unabhängig davon, wie viele Ergebnisse darin berücksichtigt werden.

Die mathematische Erwartungsformel ist ganz einfach: Wir nehmen das Ergebnis, multiplizieren es mit seiner Wahrscheinlichkeit, addieren dasselbe für das zweite, dritte Ergebnis usw. Alles, was mit diesem Konzept zu tun hat, ist leicht zu berechnen. Zum Beispiel ist die Summe der Erwartung gleich der Erwartung der Summe. Das gleiche gilt für ein Werk. Nicht jeder Wert in der Wahrscheinlichkeitstheorie erlaubt es, solche einfachen Operationen mit sich selbst durchzuführen. Nehmen wir ein Problem und berechnen die Bedeutung der beiden Konzepte, die wir gleichzeitig untersucht haben. Außerdem wurden wir von der Theorie abgelenkt – es ist Zeit für die Praxis.

Noch ein Beispiel

Wir führten 50 Studien durch und erhielten 10 Arten von Ergebnissen – Zahlen von 0 bis 9 – die in unterschiedlichen Prozentsätzen auftraten. Dies sind jeweils: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Denken Sie daran, dass Sie die Werte in Prozent durch 100 teilen müssen, um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten. Somit erhalten wir 0,02; 0,1 usw. Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems für die Varianz einer Zufallsvariablen und einen mathematischen Erwartungswert präsentieren.

Das arithmetische Mittel berechnen wir nach der Formel, die wir aus der Grundschule kennen: 50/10 = 5.

Lassen Sie uns nun die Wahrscheinlichkeiten in die Anzahl der Ergebnisse "in Stücken" umrechnen, um das Zählen zu erleichtern. Wir erhalten 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 und 9. Ziehen Sie das arithmetische Mittel von jedem erhaltenen Wert ab und quadrieren Sie jedes der erhaltenen Ergebnisse. Sehen Sie sich dies am Beispiel des ersten Elements an: 1 - 5 = (-4). Als nächstes: (-4) * (-4) = 16. Für den Rest der Werte führen Sie diese Operationen selbst durch. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, erhalten Sie nach dem Hinzufügen aller 90.

Lassen Sie uns die Varianz und den Mittelwert weiter berechnen, indem wir 90 durch N teilen. Warum wählen wir N und nicht N-1? Das ist richtig, denn die Anzahl der durchgeführten Experimente überschreitet 30. Also: 90/10 = 9. Wir haben die Varianz. Wenn Sie eine andere Nummer erhalten, verzweifeln Sie nicht. Höchstwahrscheinlich haben Sie bei den Berechnungen einen häufigen Fehler gemacht. Überprüfen Sie noch einmal, was Sie geschrieben haben, und sicher ist, dass alles zusammenpasst.

Erinnern wir uns schließlich an die Formel für den mathematischen Erwartungswert. Wir geben nicht alle Berechnungen an, wir schreiben nur die Antwort, mit der Sie nach Abschluss aller erforderlichen Verfahren überprüfen können. Die Erwartung wird 5,48 sein. Erinnern wir uns nur an die Ausführung von Operationen am Beispiel der ersten Elemente: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... und so weiter. Wie Sie sehen, multiplizieren wir einfach den Wert des Ergebnisses mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Abweichung

Ein weiteres Konzept, das eng mit der Varianz und der mathematischen Erwartung verbunden ist, ist die Standardabweichung. Es wird entweder mit den lateinischen Buchstaben sd oder mit dem griechischen Kleinbuchstaben "sigma" bezeichnet. Dieses Konzept zeigt, wie stark die Werte im Durchschnitt vom zentralen Merkmal abweichen. Um seinen Wert zu ermitteln, müssen Sie die Quadratwurzel der Varianz berechnen.

Wenn Sie die Normalverteilung plotten und die Standardabweichung direkt darauf sehen möchten, kann dies in mehreren Schritten erfolgen. Nehmen Sie die Hälfte des Bildes links oder rechts vom Modus (zentraler Wert) und zeichnen Sie eine Senkrechte zur horizontalen Achse, damit die Flächen der resultierenden Formen gleich sind. Der Wert des Segments zwischen der Mitte der Verteilung und der resultierenden Projektion auf die horizontale Achse repräsentiert die Standardabweichung.

Software

Wie aus den Beschreibungen der Formeln und den vorgestellten Beispielen ersichtlich ist, ist die Berechnung von Varianz und mathematischem Erwartungswert aus arithmetischer Sicht nicht das einfachste Verfahren. Um keine Zeit zu verschwenden, ist es sinnvoll, das in der Hochschulbildung verwendete Programm zu verwenden - es heißt "R". Es verfügt über Funktionen, mit denen Sie Werte für viele Konzepte aus Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie berechnen können.

Sie definieren beispielsweise einen Vektor von Werten. Dies geschieht wie folgt: Vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Abschließend

Streuung und mathematische Erwartung - ohne die es in Zukunft schwer ist, etwas zu berechnen. Im Hauptstudium der Vorlesungen an Universitäten werden sie bereits in den ersten Monaten des Studiums berücksichtigt. Aufgrund des mangelnden Verständnisses dieser einfachen Konzepte und der Unfähigkeit, sie zu berechnen, beginnen viele Studenten sofort im Programm zurückzubleiben und später in der Sitzung schlechte Noten zu erhalten, was ihnen Stipendien vorenthält.

Üben Sie mindestens eine Woche lang eine halbe Stunde am Tag und lösen Sie Aufgaben, die den in diesem Artikel vorgestellten ähneln. Dann kommen Sie bei jedem Test zur Wahrscheinlichkeitstheorie mit Beispielen ohne überflüssige Tipps und Spickzettel zurecht.

Dieses Merkmal allein reicht jedoch noch nicht aus, um eine Zufallsvariable zu untersuchen. Stellen Sie sich zwei Schützen vor, die auf ein Ziel schießen. Der eine schießt genau und trifft nah an der Mitte, und der andere ... hat einfach Spaß und zielt nicht einmal. Aber was lustig ist, ist seine Durchschnitt Das Ergebnis wird genau das gleiche sein wie beim ersten Schützen! Diese Situation wird konventionell durch die folgenden Zufallsvariablen veranschaulicht:

Die mathematische Erwartung des "Scharfschützen" ist jedoch für eine "interessante Persönlichkeit" gleich: - sie ist auch Null!

Es muss also quantifiziert werden, wie weit verstreut Kugeln (Werte einer Zufallsvariablen) relativ zum Zentrum des Ziels (mathematische Erwartung). gut und Streuung aus dem Lateinischen wird es nur übersetzt als Dispersion .

Sehen wir uns an, wie dieses numerische Merkmal in einem der Beispiele des 1. Teils der Lektion bestimmt wird:

Dort haben wir eine enttäuschende mathematische Erwartung an dieses Spiel gefunden, und jetzt müssen wir seine Varianz berechnen, die ist bezeichnetüber .

Lassen Sie uns herausfinden, wie weit die Gewinne/Verluste im Verhältnis zum Durchschnitt „gestreut“ sind. Dafür musst du natürlich rechnen Unterschiede zwischen Werte einer Zufallsvariablen und sie mathematische Erwartung:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Nun scheint es notwendig, die Ergebnisse zusammenzufassen, aber dieser Weg ist nicht geeignet - denn Schwankungen nach links kompensieren sich mit Schwankungen nach rechts. Also zum Beispiel ein "Amateur"-Shooter (Beispiel oben) der Unterschied ist , und wenn es hinzugefügt wird, ergibt sich Null, so dass wir keine Schätzung der Streuung seines Schießens erhalten.

Um dieses Ärgernis zu umgehen, können Sie in Betracht ziehen Module Unterschiede, aber aus technischen Gründen hat sich der Ansatz beim Quadrieren durchgesetzt. Es ist bequemer, die Lösung mit einer Tabelle zu erstellen:

Und hier gilt es zu rechnen gewichteter Durchschnitt der Wert der Quadrate der Abweichungen. Was ist es? Es gehört ihnen erwarteter Wert, welches das Maß für die Streuung ist:

– Definition Abweichung. Aus der Definition ist sofort klar, dass Varianz kann nicht negativ sein- zum Üben beachten!

Erinnern wir uns daran, wie man die Erwartung findet. Wir multiplizieren die Quadrate der Differenzen mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (Tabelle Fortsetzung):
- im übertragenen Sinne ist es "Zugkraft",
und fasse die Ergebnisse zusammen:

Finden Sie nicht, dass das Ergebnis vor dem Hintergrund der Gewinne zu groß ausgefallen ist? Das ist richtig - wir haben quadriert, und um zur Dimension unseres Spiels zurückzukehren, müssen wir die Quadratwurzel ziehen. Diese Menge heißt Standardabweichung und wird mit dem griechischen Buchstaben "sigma" bezeichnet:

Dieser Wert wird manchmal genannt Standardabweichung .

Was ist seine Bedeutung? Wenn wir links und rechts um die Standardabweichung von der mathematischen Erwartung abweichen:

- dann werden die wahrscheinlichsten Werte der Zufallsvariablen auf dieses Intervall "konzentriert". Was wir tatsächlich beobachten:

Es kam jedoch vor, dass man bei der Analyse der Streuung fast immer mit dem Begriff der Dispersion operiert. Mal sehen, was es in Bezug auf Spiele bedeutet. Wenn es sich bei Pfeilen um die "Genauigkeit" von Treffern relativ zur Mitte des Ziels handelt, dann charakterisiert die Varianz hier zwei Dinge:

Erstens ist offensichtlich, dass mit steigenden Raten auch die Varianz zunimmt. Wenn wir also zum Beispiel das 10-fache erhöhen, erhöht sich die mathematische Erwartung um das 10-fache und die Varianz - 100-fach (solange dies eine quadratische Größe ist)... Beachten Sie jedoch, dass sich die Spielregeln nicht geändert haben! Nur die Quoten haben sich geändert, grob gesagt haben wir früher 10 Rubel gewettet, jetzt sind es 100.

Der zweite, interessantere Punkt ist, dass Varianz den Spielstil prägt. Lass uns die Spielraten mental in Ordnung bringen auf einem bestimmten Niveau, und sehen Sie hier, was was ist:

Das Spiel mit geringer Varianz ist ein vorsichtiges Spiel. Der Spieler neigt dazu, die zuverlässigsten Schemata zu wählen, bei denen er nicht zu viel auf einmal verliert / gewinnt. Zum Beispiel das Rot/Schwarz-System beim Roulette (siehe Beispiel 4 des Artikels Zufällige Variablen) .

Spiel mit hoher Varianz. Sie wird oft genannt dispersiv Spiel. Dies ist ein abenteuerlicher oder aggressiver Spielstil, bei dem der Spieler Adrenalinschübe wählt. Erinnern wir uns wenigstens Martingal, bei denen es um Beträge geht, die dem "ruhigen" Spiel des vorigen Absatzes um Größenordnungen überlegen sind.

Die Situation beim Poker ist bezeichnend: Es gibt sogenannte fest Spieler, die dazu neigen, vorsichtig zu sein und mit ihrem Spielvermögen zu "zappeln" (nach Bankroll)... Es überrascht nicht, dass ihre Bankroll nicht stark schwankt (geringe Varianz). Im Gegenteil, wenn ein Spieler eine hohe Varianz hat, dann ist dies der Aggressor. Er geht oft Risiken ein, macht große Wetten und kann sowohl eine riesige Bank sprengen als auch in Stücke gehen.

Das gleiche passiert beim Forex und so weiter - es gibt viele Beispiele.

Darüber hinaus spielt es in allen Fällen keine Rolle - ob es sich um einen Cent oder Tausende von Dollar handelt. Jedes Level hat seine eigenen Spieler mit niedriger und hoher Streuung. Nun, für die durchschnittliche Auszahlung ist, wie wir uns erinnern, "verantwortlich" erwarteter Wert.

Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass die Ermittlung der Varianz ein langer und mühsamer Prozess ist. Aber die Mathematik ist großzügig:

Die Formel zum Ermitteln der Varianz

Diese Formel leitet sich direkt aus der Varianzdefinition ab und wir bringen sie sofort in Umlauf. Ich werde die Oberseite der Platte mit unserem Spiel kopieren:

und die gefundene Erwartung.

Lassen Sie uns die Varianz auf die zweite Weise berechnen. Zuerst finden wir die mathematische Erwartung - das Quadrat einer Zufallsvariablen. Von Definition von Erwartung:

In diesem Fall:

Also nach der Formel:

Spüren Sie den Unterschied, wie sie sagen. Und in der Praxis ist es natürlich besser, die Formel anzuwenden (sofern die Bedingung nichts anderes erfordert).

Wir beherrschen die Lösungs- und Gestaltungstechnik:

Beispiel 6

Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Diese Aufgabe findet sich überall und ist in der Regel ohne sinnvollen Sinn.
Sie können sich mehrere Glühbirnen mit Zahlen vorstellen, die in einem Irrenhaus mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten aufleuchten :)

Lösung: Grundlegende Berechnungen sind übersichtlich in einer Tabelle zusammengefasst. Zuerst schreiben wir die Originaldaten in die oberen beiden Zeilen. Dann berechnen wir die Produkte und schließlich die Summen in der rechten Spalte:

Eigentlich ist fast alles fertig. Die dritte Zeile enthält eine fertige mathematische Erwartung: .

Wir berechnen die Varianz nach der Formel:

Und schließlich die Standardabweichung:
- Ich persönlich runde normalerweise auf 2 Nachkommastellen.

Alle Berechnungen können auf einem Taschenrechner oder noch besser - in Excel durchgeführt werden:

Es ist schwer, hier einen Fehler zu machen :)

Antworten:

Wer möchte, kann sein Leben weiter vereinfachen und my . nutzen Taschenrechner (Demo), die dieses Problem nicht nur sofort löst, sondern auch baut thematische Diagramme (wir sind bald da)... Das Programm kann in der Bibliothek herunterladen- wenn Sie mindestens ein Lehrmaterial hochgeladen haben, oder erhalten ein anderer Weg... Danke für die Unterstützung des Projekts!

Ein paar Aufgaben für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 7

Berechnen Sie per Definition die Varianz der Zufallsvariablen des vorherigen Beispiels.

Und ein ähnliches Beispiel:

Beispiel 8

Eine diskrete Zufallsvariable wird durch ein eigenes Verteilungsgesetz spezifiziert:

Ja, die Werte einer Zufallsvariablen können recht groß sein (Beispiel aus echter Arbeit), und verwenden Sie hier, wenn möglich, Excel. Wie übrigens in Beispiel 7 - es ist schneller, zuverlässiger und macht mehr Spaß.

Lösungen und Antworten unten auf der Seite.

Zum Abschluss des 2. Teils der Lektion analysieren wir noch ein typisches Problem, man könnte sogar sagen einen kleinen Rebus:

Beispiel 9

Eine diskrete Zufallsvariable kann nur zwei Werte annehmen: und außerdem. Die Wahrscheinlichkeit, der mathematische Erwartungswert und die Varianz sind bekannt.

Lösung: Beginnen wir mit einer unbekannten Wahrscheinlichkeit. Da eine Zufallsvariable nur zwei Werte annehmen kann, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse:

und seitdem.

Es bleibt zu finden ... es ist leicht zu sagen :) Aber na ja, los geht's. Nach Definition der mathematischen Erwartung:
- wir ersetzen die bekannten Werte:

- und aus dieser Gleichung lässt sich nichts mehr herauspressen, außer dass man sie in die übliche Richtung umschreiben kann:

oder:

Ich denke, Sie können über weitere Maßnahmen erraten. Lassen Sie uns das System zusammensetzen und lösen:

Dezimalbrüche sind natürlich eine absolute Schande; multiplizieren Sie beide Gleichungen mit 10:

und dividiere durch 2:

Das ist viel besser. Aus der 1. Gleichung drücken wir aus:
(das ist ein einfacher Weg)- wir setzen in die 2. Gleichung ein:

Wir errichten kariert und Vereinfachungen vornehmen:

Mal:

Das Ergebnis ist quadratische Gleichung, finden wir seine Diskriminante:
- perfekt!

und wir erhalten zwei Lösungen:

1) wenn , dann ;

2) wenn , dann .

Das erste Wertepaar erfüllt die Bedingung. Mit hoher Wahrscheinlichkeit ist alles richtig, aber trotzdem schreiben wir das Verteilungsgesetz:

und wir werden prüfen, nämlich die Erwartung finden:

Dispersionsarten:

Gesamtabweichung charakterisiert die Variation des Merkmals der gesamten Population unter dem Einfluss all jener Faktoren, die diese Variation verursacht haben. Dieser Wert wird durch die Formel bestimmt

wobei das arithmetische Gesamtmittel der gesamten Studienpopulation ist.

Durchschnittliche Varianz innerhalb der Gruppe weist auf eine zufällige Variation hin, die unter dem Einfluss von nicht berücksichtigten Faktoren auftreten kann und die nicht von dem der Gruppierung zugrunde liegenden Attributfaktor abhängt. Diese Varianz wird wie folgt berechnet: Zuerst werden die Varianzen für einzelne Gruppen () berechnet, dann wird die durchschnittliche gruppeninterne Varianz berechnet:

wobei n i die Anzahl der Einheiten in der Gruppe ist

Varianz zwischen Gruppen(Varianz der Gruppenmittelwerte) charakterisiert die systematische Variation, d.h. Unterschiede in der Größe des untersuchten Merkmals, die unter dem Einfluss des Merkmalsfaktors entstehen, der die Grundlage der Gruppierung ist.

wobei der Durchschnittswert für eine separate Gruppe ist.

Alle drei Varianzarten stehen in Beziehung zueinander: Die Gesamtvarianz ist gleich der Summe der durchschnittlichen gruppeninternen Varianz und der gruppenübergreifenden Varianz:

Eigenschaften:

25 Relative Variationsraten

Schwingungskoeffizient
Relative lineare Abweichung
Der Variationskoeffizient

Koef. Osz. Ö spiegelt die relativen Schwankungen der Extremwerte des Attributs um den Durchschnitt wider. rel. lin. aus... charakterisiert den Anteil des Mittelwertes am Vorzeichen der absoluten Abweichungen vom Mittelwert. Koef. Variation ist das am häufigsten verwendete Maß für die Variabilität, um die Typizität von Durchschnittswerten zu beurteilen.

In der Statistik gelten Populationen mit einem Variationskoeffizienten von mehr als 30–35 % als heterogen.

Die Regelmäßigkeit der Verteilungsreihe. Verteilungsmomente. Verteilungsformindikatoren

In der Variationsreihe besteht ein Zusammenhang zwischen den Frequenzen und den Werten des variierenden Merkmals: Mit einer Zunahme des Merkmals steigt der Häufigkeitswert zuerst bis zu einer bestimmten Grenze und nimmt dann ab. Solche Veränderungen nennt man Verteilungsmuster.

Die Form der Verteilung wird anhand von Indikatoren für Asymmetrie und Kurtosis untersucht. Bei der Berechnung dieser Indikatoren werden Verteilungsmomente verwendet.

Das Moment der k-ten Ordnung ist der Durchschnitt der k-ten Abweichungsgrade der Varianten der Werte des Attributs von einem konstanten Wert. Die Momentenordnung wird durch den Wert von k bestimmt. Bei der Analyse der Variationsreihen beschränken sie sich auf die Berechnung der Momente der ersten vier Ordnungen. Bei der Berechnung von Momenten können Frequenzen oder Frequenzen als Gewichte verwendet werden. Je nach Wahl einer Konstanten gibt es Anfangs-, bedingte und zentrale Momente.

Indikatoren für die Verteilungsform:

Asymmetrie(As) Indikator, der den Grad der Asymmetrie der Verteilung charakterisiert .

Daher mit (linksseitiger) negativer Asymmetrie ... Mit (rechtsseitiger) positiver Asymmetrie .

Zentrumsmomente können zur Berechnung der Asymmetrie verwendet werden. Dann:

,

wo μ 3 Ist das zentrale Moment dritter Ordnung.

- kurtosis (E Zu ) charakterisiert die Steigung des Funktionsgraphen im Vergleich zur Normalverteilung bei gleicher Variationsstärke:

,

wobei μ 4 das zentrale Moment 4. Ordnung ist.

Normalverteilungsgesetz

Für eine Normalverteilung (Gaußsche Verteilung) hat die Verteilungsfunktion folgende Form:

Erwarteter Wert - Standardabweichung

Die Normalverteilung ist symmetrisch und wird durch folgende Beziehung charakterisiert: Xav = Me = Mo

Die Kurtosis der Normalverteilung beträgt 3 und der Schiefekoeffizient ist 0.

Die Glockenkurve ist ein Polygon (symmetrische glockenförmige Gerade)

Arten von Dispersionen. Varianzadditionsregel. Das Wesen des empirischen Bestimmtheitsmaßes.

Wenn die Ausgangspopulation nach einem wesentlichen Merkmal in Gruppen unterteilt wird, werden die folgenden Varianztypen berechnet:

Gesamtvarianz der ursprünglichen Grundgesamtheit:

wobei der Gesamtmittelwert der ursprünglichen Grundgesamtheit und f die Häufigkeiten der ursprünglichen Grundgesamtheit sind. Die Gesamtvarianz charakterisiert die Abweichung einzelner Werte eines Merkmals vom Gesamtmittelwert der Ausgangspopulation.

Abweichungen innerhalb der Gruppe:

wobei j die Nummer der Gruppe ist, der Durchschnittswert in jeder j-ten Gruppe ist, – die Häufigkeiten der j-ten Gruppe. Intragruppenvarianzen charakterisieren die Abweichung des individuellen Wertes des Merkmals in jeder Gruppe vom Gruppendurchschnitt. Von allen gruppeninternen Varianzen wird der Durchschnitt nach der Formel berechnet: wobei die Anzahl der Einheiten in jeder j-ten Gruppe ist.

Varianz zwischen Gruppen:

Die Intergruppenvarianz charakterisiert die Abweichung der Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert der ursprünglichen Grundgesamtheit.

Abweichungsadditionsregel liegt darin, dass die Gesamtvarianz der ursprünglichen Grundgesamtheit gleich der Summe der Intergruppen- und dem Durchschnitt der Intragruppen-Varianzen sein sollte:

Empirisches Bestimmtheitsmaß zeigt den Anteil der Variation des untersuchten Merkmals aufgrund der Variation des Gruppierungsmerkmals und wird nach der Formel berechnet:

Zählmethode vom bedingten Nullpunkt (Momentenmethode) zur Berechnung von Mittelwert und Varianz

Die Berechnung der Varianz nach der Momentenmethode basiert auf der Verwendung von Formeln und 3 und 4 Ausbreitungseigenschaften.

(3.Wenn alle Werte des Attributs (Optionen) um eine konstante Zahl A steigen (verringern), ändert sich die Varianz der neuen Population nicht.

4. Wenn alle Werte des Attributs (Optionen) um das K-fache erhöht (multipliziert) werden, wobei K eine konstante Zahl ist, erhöht (verringert) sich die Varianz der neuen Grundgesamtheit um das 2-fache.)

Wir erhalten die Formel zur Berechnung der Varianz in Variationsreihen mit gleichen Intervallen nach der Momentenmethode:

A - bedingte Null, gleich der Option mit der maximalen Häufigkeit (Mitte des Intervalls mit der maximalen Häufigkeit)

Die Berechnung des Mittelwerts nach der Momentenmethode basiert ebenfalls auf der Verwendung der Eigenschaften des Mittelwerts.

Das Konzept der selektiven Beobachtung. Phasen der Untersuchung wirtschaftlicher Phänomene nach der Stichprobenmethode

Als selektive Beobachtung wird eine Beobachtung bezeichnet, bei der nicht alle Einheiten der Ausgangspopulation untersucht und untersucht werden, sondern nur ein Teil der Einheiten, während das Ergebnis einer Befragung eines Teils der Bevölkerung für die gesamte Ausgangspopulation gilt. Die Menge, aus der Einheiten für die weitere Prüfung und das Studium ausgewählt werden, wird genannt Allgemeines und alle Indikatoren, die diese Menge charakterisieren, heißen Allgemeines.

Die möglichen Grenzen der Abweichungen des Stichprobenmittelwertes vom allgemeinen Mittelwert heißen Stichprobenfehler.

Die Menge der ausgewählten Einheiten heißt selektiv und alle Indikatoren, die diese Menge charakterisieren, heißen selektiv.

Die Musterstudie umfasst die folgenden Phasen:

Eigenschaften des Forschungsgegenstandes (wirtschaftliche Massenphänomene). Wenn die Gesamtbevölkerung klein ist, wird eine Stichprobenziehung nicht empfohlen, eine kontinuierliche Erhebung ist erforderlich;

Berechnung der Stichprobengröße. Es ist wichtig, das optimale Volumen zu bestimmen, das es ermöglicht, einen Stichprobenfehler innerhalb des akzeptablen Bereichs zu den niedrigsten Kosten zu erhalten;

Auswahl der Beobachtungseinheiten unter Berücksichtigung der Anforderungen an Zufälligkeit, Verhältnismäßigkeit.

Nachweis der Repräsentativität basierend auf einer Schätzung des Stichprobenfehlers. Bei einer Zufallsstichprobe wird der Fehler anhand von Formeln berechnet. Für die Zielstichprobe wird die Repräsentativität mit qualitativen Methoden (Vergleich, Experiment) beurteilt;

Probenanalyse. Wenn die gebildete Probe die Anforderungen an die Repräsentativität erfüllt, wird sie mit analytischen Indikatoren (Durchschnitt, Relativ usw.)