Dieser Online-Mathematikrechner hilft Ihnen bei Bedarf Funktionsgrenze berechnen. Programm Lösungen einschränken gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, es führt Ausführliche Lösung mit Erläuterungen, d.h. zeigt den Fortschritt der Limitberechnung an.

Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Kenntnissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, für Eltern nützlich sein, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.

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Grenze berechnen

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Ein bisschen Theorie.

Der Grenzwert der Funktion bei x-> x 0

Die Funktion f(x) sei auf einer Menge X definiert und der Punkt \(x_0 \in X \) oder \(x_0 \notin X \)

Nehmen Sie von X eine andere Folge von Punkten als x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergiert gegen x*. Die Funktionswerte an den Punkten dieser Folge bilden ebenfalls eine Zahlenfolge
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
und man kann die Frage nach der Existenz seiner Grenze stellen.

Definition. Die Zahl A wird als Grenzwert der Funktion f (x) am Punkt x \u003d x 0 (oder bei x -> x 0) bezeichnet, wenn für eine beliebige Folge (1) von Werten des Arguments x die gegen x 0 konvergiert, konvergiert anders als x 0 die entsprechende Folge (2) der Wertefunktion gegen die Zahl A.

$$ \lim_(x\bis x_0)( f(x)) = A $$

Die Funktion f(x) kann an der Stelle x 0 nur einen Grenzwert haben. Dies folgt daraus, dass die Sequenz
(f(x n)) hat nur einen Grenzwert.

Es gibt eine andere Definition des Grenzwerts einer Funktion.

Definition Die Zahl A heißt Grenzwert der Funktion f(x) an der Stelle x = x 0, wenn es zu jeder Zahl \(\varepsilon > 0 \) eine Zahl \(\delta > 0 \) gibt, so dass für alle \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) erfüllt die Ungleichung \(|x-x_0| Unter Verwendung logischer Symbole kann diese Definition geschrieben werden als
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Beachten Sie, dass die Ungleichungen \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Die erste Definition basiert auf dem Konzept des Grenzwerts einer numerischen Folge, daher wird sie oft als "Sequenzsprachen"-Definition bezeichnet. Die zweite Definition heißt "\(\varepsilon - \delta \)" Definition.
Diese beiden Definitionen des Grenzwerts einer Funktion sind äquivalent, und Sie können eine von ihnen verwenden, je nachdem, was für die Lösung eines bestimmten Problems bequemer ist.

Beachten Sie, dass die Definition des Grenzwerts einer Funktion "in der Sprache der Folgen" auch als Definition des Grenzwerts einer Funktion nach Heine bezeichnet wird und die Definition des Grenzwerts einer Funktion "in der Sprache \(\varepsilon - \delta \)" wird auch die Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Cauchy genannt.

Funktionsgrenze bei x->x 0 - und bei x->x 0 +

Im Folgenden verwenden wir die Begriffe der einseitigen Funktionsbegrenzungen, die wie folgt definiert sind.

Definition Die Zahl A heißt rechter (linker) Grenzwert der Funktion f (x) am Punkt x 0, wenn für jede Folge (1), die gegen x 0 konvergiert, deren Elemente xn größer (kleiner) als x 0 sind, die entsprechende Folge gilt (2) konvergiert gegen A.

Symbolisch wird es so geschrieben:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Eine äquivalente Definition einseitiger Funktionsgrenzen kann man "in der Sprache \(\varepsilon - \delta \)" geben:

Definition die Zahl A heißt rechter (linker) Grenzwert der Funktion f(x) an der Stelle x 0, wenn es für jedes \(\varepsilon > 0 \) \(\delta > 0 \) so gibt, dass für alle x erfüllt ist die Ungleichungen \(x_0 Symbolische Einträge:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

konstante Zahl ein namens Grenze Sequenzen(x n ) falls für eine beliebig kleine positive Zahlε > 0 Es gibt eine Zahl N, so dass alle Werte x n, für die n > N, die Ungleichung erfüllen

|x n - a|< ε. (6.1)

Schreiben Sie es wie folgt: oder x n → A.

Ungleichung (6.1) ist äquivalent zur doppelten Ungleichung

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

was bedeutet, dass die Punkte x n, ausgehend von einer Zahl n>N, innerhalb des Intervalls (a-ε, a + ε ), d. h. fallen in jedes kleineε -Nachbarschaft des Punktes ein.

Eine Folge, die eine Grenze hat, wird aufgerufen konvergierend, sonst - abweichend.

Der Begriff des Grenzwerts einer Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Grenzwerts einer Folge, da der Grenzwert einer Folge als Grenzwert der Funktion x n = f(n) eines ganzzahligen Arguments betrachtet werden kann n.

Gegeben sei eine Funktion f(x) und sei ein - Grenzpunkt der Definitionsbereich dieser Funktion D(f), d.h. ein solcher Punkt, dessen Umgebung Punkte der Menge D(f) enthält, die sich von unterscheiden ein. Punkt ein kann zur Menge D(f) gehören oder nicht.

Bestimmung 1.Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) beim x→a if für eine beliebige Folge (x n ) von Argumentwerten tendenziell ein, haben die entsprechenden Folgen (f(x n)) denselben Grenzwert A.

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine, oder " in der Sprache der Sequenzen”.

Bestimmung 2. Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) beim x→a wenn, gegeben eine beliebige beliebig kleine positive Zahl ε, kann man solche δ finden>0 (abhängig von ε), was für alle x liegt inε-Nachbarschaften einer Zahl ein, d.h. Pro x Befriedigung der Ungleichheit
0 < x-a< ε , die Werte der Funktion f(x) liegen inε-Nachbarschaft der Zahl A, d.h.|f(x)-A|< ε.

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Cauchy, oder „in der Sprache ε - δ “.

Die Definitionen 1 und 2 sind gleichwertig. Wenn die Funktion f(x) als x →ein hat Grenze gleich A, dies wird geschrieben als

. (6.3)

Für den Fall, dass die Folge (f(x n)) für jedes Näherungsverfahren unbegrenzt zunimmt (oder abnimmt). x an deine Grenze ein, dann werden wir sagen, dass die Funktion f(x) hat unendliche Grenze, und schreibe es so:

Eine Variable (d. h. eine Folge oder Funktion), deren Grenzwert Null ist, wird aufgerufen unendlich klein.

Eine Variable, deren Grenzwert gleich unendlich ist, wird aufgerufen unendlich groß.

Um die Grenze in der Praxis zu finden, verwenden Sie die folgenden Sätze.

Satz 1 . Wenn jede Grenze existiert

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar. Ausdrücke wie 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sind ungewiss, zum Beispiel das Verhältnis zweier infinitesimaler oder unendlich großer Größen, und das Auffinden einer solchen Grenze wird als „Uncertainty Disclosure“ bezeichnet.

Satz 2. (6.7)

jene. es ist möglich, bei einem konstanten Exponenten zur Basis des Grads zu gehen, insbesondere ;

(6.8)

(6.9)

Satz 3.

(6.10)

(6.11)

wo e » 2,7 ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Die Formeln (6.10) und (6.11) heißen die ersten wunderbare Grenze und die zweite bemerkenswerte Grenze.

In der Praxis werden auch die Folgerungen aus Formel (6.11) verwendet:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

insbesondere die Grenze

Wenn x → a und gleichzeitig x > a, dann schreibe x→a + 0. Wenn insbesondere a = 0 ist, dann schreibt man statt des Symbols 0+0 +0. Ebenso, wenn x→a und gleichzeitig x a-0. Zahlen und werden entsprechend benannt. rechte Grenze und linke Grenze Funktionen f(x) am Punkt ein. Damit der Grenzwert der Funktion f(x) als x→ existierta ist notwendig und ausreichend für . Die Funktion f(x) wird aufgerufen kontinuierlich am Punkt x 0 wenn Grenze

. (6.15)

Bedingung (6.15) kann umgeschrieben werden als:

,

Das heißt, der Übergang zum Grenzwert unter dem Vorzeichen einer Funktion ist möglich, wenn sie an einem bestimmten Punkt stetig ist.

Wenn Gleichheit (6.15) verletzt ist, dann sagen wir das beim x = xo Funktion f(x) Es hat Lücke. Betrachten Sie die Funktion y = 1/x. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge R, außer für x = 0. Der Punkt x = 0 ist ein Grenzpunkt der Menge D(f), da in jeder seiner Umgebungen, d. h. jedes offene Intervall, das den Punkt 0 enthält, enthält Punkte aus D(f), gehört aber selbst nicht zu dieser Menge. Der Wert f(x o)= f(0) ist nicht definiert, also hat die Funktion an der Stelle x o = 0 eine Unstetigkeit.

Die Funktion f(x) wird aufgerufen rechts an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

,

und links an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt x o ist gleichbedeutend mit seiner Stetigkeit an dieser Stelle sowohl rechts als auch links.

Damit eine Funktion an einem Punkt stetig ist x o, zum Beispiel auf der rechten Seite, ist es erstens notwendig, dass es eine endliche Grenze gibt, und zweitens, dass diese Grenze gleich f(x 0 ) ist. Wenn also mindestens eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, weist die Funktion eine Lücke auf.

1. Wenn die Grenze existiert und nicht gleich f(x o) ist, dann sagen sie das Funktion f(x) am Punkt xo hat Bruch erster Art, oder springen.

2. Wenn die Grenze ist+∞ oder -∞ oder nicht existiert, dann sagen wir das in Punkt x o Die Funktion hat eine Pause zweite Art.

Zum Beispiel die Funktion y = ctg x bei x→ +0 hat eine Grenze gleich +∞, hat also an der Stelle x=0 eine Unstetigkeit zweiter Art. Funktion y = E(x) (ganzzahliger Teil von x) an Punkten mit ganzzahligen Abszissen Unstetigkeiten erster Art oder Sprünge aufweist.

Eine Funktion, die an jedem Punkt des Intervalls stetig ist, wird aufgerufen kontinuierlich v. Eine stetige Funktion wird durch eine durchgezogene Kurve dargestellt.

Viele Probleme, die mit dem kontinuierlichen Wachstum einer bestimmten Menge verbunden sind, führen zu der zweiten bemerkenswerten Grenze. Solche Aufgaben sind zum Beispiel: das Wachstum der Einlage nach dem Zinseszinsgesetz, das Wachstum der Landesbevölkerung, der Zerfall eines radioaktiven Stoffes, die Vermehrung von Bakterien usw.

Erwägen Beispiel von Ya. I. Perelman, was die Interpretation der Zahl angibt e beim Zinseszinsproblem. Nummer e es gibt eine Grenze . Bei Sparkassen werden dem gebundenen Kapital jährlich Zinsgelder zugeführt. Wird die Verbindung öfter hergestellt, wächst das Kapital schneller, da ein großer Betrag an der Zinsbildung beteiligt ist. Nehmen wir ein rein theoretisches, stark vereinfachtes Beispiel. Lassen Sie die Bank 100 den setzen. Einheiten zu 100 % pro Jahr. Wird dem Anlagekapital erst nach einem Jahr verzinsliches Geld zugeführt, so sind zu diesem Zeitpunkt 100 den. Einheiten wird in 200 den verwandeln. Mal sehen, was aus 100 den wird. Einheiten, wenn dem gebundenen Kapital alle sechs Monate Zinsgelder zugeführt werden. Nach einem halben Jahr 100 den. Einheiten auf 100 wachsen× 1,5 \u003d 150 und nach weiteren sechs Monaten - bei 150× 1,5 \u003d 225 (den. Einheiten). Wenn der Beitritt alle 1/3 des Jahres erfolgt, dann nach einem Jahr 100 den. Einheiten 100 werden× (1 +1/3) 3 » 237 (den. Einheiten). Wir werden den Zeitrahmen für das Hinzufügen von Zinsgeldern auf 0,1 Jahr, 0,01 Jahr, 0,001 Jahr usw. erhöhen. Dann aus 100 den. Einheiten ein Jahr später:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. Einheiten),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. Einheiten),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. Einheiten).

Bei einer unbegrenzten Reduzierung der Beitrittsbedingungen wächst das angesammelte Kapital nicht unbegrenzt, sondern nähert sich einer bestimmten Grenze von etwa 271. Das zu 100 % pro Jahr platzierte Kapital kann sich nicht mehr als um das 2,71-fache erhöhen, selbst wenn die aufgelaufenen Zinsen wären hinzugefügt, um die Hauptstadt jede Sekunde, weil die Grenze

Beispiel 3.1.Beweisen Sie anhand der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge, dass die Folge x n = (n-1)/n einen Grenzwert gleich 1 hat.

Lösung.Wir müssen das jedenfalls beweisenε > 0 nehmen wir, dafür gibt es eine natürliche Zahl N, so dass für alle n N die Ungleichung gilt|xn-1|< ε.

Nimm irgendein e > 0. Da ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, dann genügt es, die Ungleichung 1/n zu lösen, um N zu finden< e. Also n>1/ e und daher kann N als ganzzahliger Teil von 1 / genommen werden e , N = E(1/e ). Damit haben wir bewiesen, dass die Grenze .

Beispiel 3.2 . Finden Sie den Grenzwert einer Folge, die durch einen gemeinsamen Term gegeben ist .

Lösung.Wenden Sie den Grenzwertsummensatz an und finden Sie den Grenzwert für jeden Term. Für n→ ∞ der Zähler und Nenner jedes Terms gegen unendlich streben, und wir können den Quotienten-Limitensatz nicht direkt anwenden. Deshalb transformieren wir zuerst x n, indem Zähler und Nenner des ersten Terms durch dividiert werden n 2, und der zweite n. Dann finden wir unter Anwendung des Quotienten-Grenzsatzes und des Summen-Grenzsatzes:

.

Beispiel 3.3. . Finden .

Lösung. .

Hier haben wir den Gradgrenzensatz verwendet: Der Grenzwert eines Grades ist gleich dem Grad des Grenzwertes der Basis.

Beispiel 3.4 . Finden ( ).

Lösung.Es ist unmöglich, den Differenzengrenzsatz anzuwenden, da wir eine Formunschärfe haben ∞-∞ . Lassen Sie uns die Formel des allgemeinen Begriffs umwandeln:

.

Beispiel 3.5 . Gegeben sei eine Funktion f(x)=2 1/x . Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Lösung.Wir verwenden die Definition 1 des Grenzwerts einer Funktion in Bezug auf eine Folge. Nehmen Sie eine Folge ( x n ), die gegen 0 konvergiert, d.h. Zeigen wir, dass sich der Wert f(x n)= für verschiedene Folgen unterschiedlich verhält. Sei x n = 1/n. Offensichtlich dann die Grenze Wählen wir jetzt als x n eine Folge mit einem gemeinsamen Term x n = -1/n, der ebenfalls gegen Null geht. Daher gibt es keine Begrenzung.

Beispiel 3.6 . Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Lösung.Seien x 1 , x 2 ,..., x n ,... eine Folge für die
. Wie verhält sich die Folge (f(x n)) = (sin x n ) für verschiedene x n → ∞

Wenn x n \u003d p n, dann Sünde x n \u003d Sünde p n = 0 für alle n und begrenzen Sie If
xn=2 p n+ p /2, dann sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 für alle n und damit die Grenze. Somit existiert nicht.

Widget zur Online-Berechnung von Limits

Geben Sie im oberen Feld anstelle von sin(x)/x die Funktion ein, deren Grenzwert Sie ermitteln möchten. Geben Sie im unteren Feld die Zahl ein, zu der x tendiert, und klicken Sie auf die Schaltfläche „Rechnen“, um das gewünschte Limit zu erhalten. Und wenn Sie im Ergebnisfenster oben rechts auf Schritte anzeigen klicken, erhalten Sie eine detaillierte Lösung.

Eingaberegeln für Funktionen: sqrt(x) - Quadratwurzel, cbrt(x) - Kubikwurzel, exp(x) - Exponent, ln(x) - natürlicher Logarithmus, sin(x) - Sinus, cos(x) - Cosinus, tan (x) - Tangens, cot(x) - Kotangens, arcsin(x) - Arkussinus, arccos(x) - Arkuskosinus, arctan(x) - Arkustangens. Vorzeichen: * Multiplikation, / Division, ^ Potenzierung, statt Unendlichkeit Unendlichkeit. Beispiel: Die Funktion wird als sqrt(tan(x/2)) eingegeben.

Anhang

Limits online auf der Website für die vollständige Konsolidierung des von Studenten und Schülern abgedeckten Materials. Wie finde ich das Limit online mit unserer Ressource? Dies ist sehr einfach, Sie müssen nur die ursprüngliche Funktion mit der Variablen x korrekt schreiben, die gewünschte Unendlichkeit aus dem Selektor auswählen und auf die Schaltfläche "Lösung" klicken. Falls der Grenzwert der Funktion an einem Punkt x berechnet werden muss, müssen Sie den Zahlenwert genau an diesem Punkt angeben. Die Antwort auf die Limitentscheidung erhalten Sie in Sekundenschnelle, also sofort. Wenn Sie jedoch falsche Daten eingeben, weist Sie der Dienst automatisch auf einen Fehler hin. Korrigieren Sie die zuvor eingeführte Funktion und erhalten Sie die richtige Lösung des Grenzwerts. Zur Lösung der Grenzwerte werden alle möglichen Techniken verwendet, besonders häufig wird die L'Hospital-Methode verwendet, da sie universell ist und schneller zu einer Antwort führt als andere Methoden zur Berechnung des Grenzwerts einer Funktion. Es ist interessant, Beispiele zu betrachten, in denen das Modul vorhanden ist. Übrigens wird das Modul gemäß den Regeln unserer Ressource durch den klassischen vertikalen Balken in der Mathematik "|" gekennzeichnet. oder Abs(f(x)) vom lateinischen Absolut. Oft ist eine Lösung eines Grenzwertes erforderlich, um die Summe einer Zahlenfolge zu berechnen. Wie jeder weiß, müssen Sie nur die Teilsumme der zu untersuchenden Folge richtig ausdrücken, und dann ist dank unseres kostenlosen Site-Service alles viel einfacher, da die Berechnung des Grenzwerts aus der Teilsumme die Endsumme der Zahlenfolge ist . Allgemein gesprochen ist die Grenzübergangstheorie das Grundkonzept aller mathematischen Analysen. Alles basiert genau auf Grenzwertübergängen, das heißt, die Lösung von Grenzwerten ist die Grundlage der Wissenschaft der mathematischen Analyse. Die Integration nutzt auch den Grenzübergang, wenn das Integral theoretisch als Summe unendlich vieler Flächen dargestellt wird. Wo es eine unbegrenzte Anzahl von etwas gibt, also die Tendenz der Anzahl der Objekte gegen unendlich, dann tritt immer die Theorie der Grenzübergänge in Kraft, und in der allgemein akzeptierten Form ist dies die Lösung der jedem bekannten Grenzwert . Das Lösen der Limits online auf der Website ist ein einzigartiger Service, um eine genaue und sofortige Antwort in Echtzeit zu erhalten. Die Grenze einer Funktion (der Grenzwert einer Funktion) an einem bestimmten Punkt, die Grenze für den Definitionsbereich einer Funktion, ist der Wert, zu dem der Wert der betrachteten Funktion tendiert, wenn ihr Argument zu einem bestimmten Punkt tendiert . Nicht selten, und wir würden sogar sehr oft sagen, stellen sich Studierende beim Rechnen-Studium online mit der Frage, wie man Grenzen löst. Fragt man nur in Sonderfällen online nach der Lösung des Limits mit detaillierter Lösung, wird deutlich, dass man eine schwierige Aufgabe ohne den Einsatz eines rechnerischen Limitrechners nicht bewältigen kann. Die Lösung von Grenzwerten durch unseren Service stellt eine Garantie für Genauigkeit und Einfachheit dar. Der Grenzwert einer Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Grenzwerts einer Folge: Ursprünglich wurde der Grenzwert einer Funktion an einem Punkt als der Grenzwert von verstanden eine Folge von Elementen des Bereichs einer Funktion, zusammengesetzt aus Bildern von Punkten einer Folge von Elementen des Definitionsbereichs einer Funktion, die zu einem gegebenen Punkt konvergieren (Grenze, an der betrachtet wird); Wenn eine solche Grenze existiert, konvergiert die Funktion gegen den angegebenen Wert; wenn eine solche Grenze nicht existiert, dann sagt man, dass die Funktion divergiert. Das Online-Lösen der Limits wird für Benutzer zu einer einfachen Antwort, vorausgesetzt, sie wissen, wie sie das Limit online über die Website lösen können. Bleiben wir konzentriert und lassen uns nicht durch Fehler in Form von unbefriedigenden Noten Ärger machen. Wie bei jeder Online-Grenzenlösung wird Ihre Aufgabenstellung in einer übersichtlichen und verständlichen Form mit einer detaillierten Lösung unter Einhaltung aller Regeln und Vorschriften zur Erlangung einer Lösung dargestellt. Die Definition des Grenzwertes einer Funktion wird meistens in der Sprache der Nachbarschaften formuliert. Dabei werden die Grenzen der Funktion nur an den für den Definitionsbereich der Funktion begrenzenden Punkten betrachtet, was bedeutet, dass es in jeder Umgebung eines gegebenen Punktes Punkte aus dem Definitionsbereich dieser Funktion gibt. Dies ermöglicht es uns, über die Tendenz des Funktionsarguments zu einem bestimmten Punkt zu sprechen. Aber der Grenzpunkt des Definitionsbereichs muss nicht zum Definitionsbereich selbst gehören, und dies wird bewiesen, indem man den Grenzwert löst: Man kann beispielsweise den Grenzwert einer Funktion an den Enden eines offenen Intervalls betrachten, auf dem die Funktion liegt ist definiert. In diesem Fall sind die Grenzen des Intervalls selbst nicht im Definitionsbereich enthalten. In diesem Sinne ist das System punktierter Umgebungen eines gegebenen Punktes ein Spezialfall einer solchen Basis von Mengen. Das Lösen von Limits online mit detaillierter Lösung erfolgt in Echtzeit und die Anwendung von Formeln in expliziter Form – Sie sparen Zeit und vor allem Geld, da wir dafür keine Belohnung verlangen. Wenn es an einem Punkt des Definitionsbereichs der Funktion eine Grenze gibt und die Lösung dieser Grenze gleich dem Wert der Funktion an dem gegebenen Punkt ist, dann ist die Funktion an diesem Punkt stetig. Auf unserer Website ist die Lösung der Limits rund um die Uhr, jeden Tag und jede Minute online verfügbar. Es ist sehr wichtig, den Limitrechner zu verwenden, und das Wichtigste ist, ihn jedes Mal zu verwenden, wenn Sie Ihr Wissen überprüfen müssen . Die Schüler profitieren eindeutig von all diesen Funktionen. Das Berechnen der Grenze, nur mit Theorie und Anwendung, ist nicht immer so einfach, wie erfahrene Studenten der mathematischen Fakultäten der Universitäten des Landes sagen. Eine Tatsache bleibt eine Tatsache in Anwesenheit eines Ziels. Üblicherweise ist die gefundene Lösung der Grenzwerte bei Einstellproblemen lokal nicht anwendbar. Der Schüler wird sich freuen, sobald er den Limitrechner online im Internet und im freien Zugang entdeckt, und zwar nicht nur für sich, sondern für alle. Ernennung sollte als Mathematik betrachtet werden, im Allgemeinen sein Verständnis. Wenn Sie im Internet fragen, wie Sie das Limit online im Detail finden können, dann hilft die Masse der Seiten, die aufgrund der Anfrage erscheinen, nicht so weiter wie wir. Die Differenz der Seiten wird mit der Äquivalenz des Auftretens multipliziert. Der ursprünglich legitime Grenzwert einer Funktion muss durch ihre Formulierung des mathematischen Problems selbst bestimmt werden. Hamilton hatte Recht, aber es lohnt sich, die Aussagen seiner Zeitgenossen zu berücksichtigen. Das Berechnen von Limits online ist keinesfalls eine so schwierige Aufgabe, wie es jemandem auf den ersten Blick erscheinen mag. Um die Wahrheit unerschütterlicher Theorien nicht zu brechen. Um auf die Ausgangssituation zurückzukommen, gilt es, das Limit schnell, effizient und in übersichtlicher Form zu berechnen. Wäre es auch anders möglich gewesen? Dieser Ansatz ist naheliegend und gerechtfertigt. Der Grenzwertrechner soll das Wissen erweitern, die Qualität des Hausaufgabenschreibens verbessern und die allgemeine Stimmung unter den Schülern heben, damit er für sie richtig ist. Du musst nur so schnell wie möglich denken und der Verstand wird triumphieren. Explizit über Online-Limits in Interpolationsbegriffen zu sprechen, ist eine sehr raffinierte Übung für Profis in ihrem Handwerk. Wir sagen das Verhältnis des Systems der außerplanmäßigen Differenzen an Punkten im Raum voraus. Und wieder wird das Problem auf Unsicherheit reduziert, basierend auf der Tatsache, dass der Grenzwert der Funktion nach einer affinen Transformation des Anfangsausdrucks im Unendlichen und in einer bestimmten Umgebung eines lokalen Punktes auf einer gegebenen x-Achse existiert. Es wird einfacher, den Aufstieg von Punkten in der Ebene und auf der Oberseite des Raums zu analysieren. Von der Ableitung einer mathematischen Formel ist im allgemeinen Stand der Dinge weder in der Natur noch in der Theorie die Rede, so dass der Online-Limitenrechner in diesem Sinne bestimmungsgemäß eingesetzt wird. Ohne die Grenze online zu definieren, finde ich es schwierig, weitere Berechnungen in der Untersuchung des krummlinigen Raums durchzuführen. Es wäre nicht einfacher, die wahre richtige Antwort zu finden. Ist es nicht möglich, die Grenze zu berechnen, wenn ein bestimmter Punkt im Raum vorher nicht definiert ist? Lassen Sie uns das Vorhandensein von Antworten außerhalb des Studienbereichs widerlegen. Aus Sicht der mathematischen Analyse kann man über die Lösung von Grenzwerten als Beginn der Untersuchung einer Folge von Punkten auf einer Achse streiten. Es kann die Tatsache des Betriebs von Berechnungen unangemessen sein. Die Zahlen werden als unendliche Folge dargestellt und mit dem Anfangssatz identifiziert, nachdem wir die Grenze der Theorie nach online im Detail gelöst haben. Nur gerechtfertigt zugunsten des besten Wertes. Das Ergebnis der Funktionsgrenze kann als offensichtlicher Fehler eines falsch formulierten Problems die Vorstellung vom realen mechanischen Prozess eines instabilen Systems verzerren. Die Möglichkeit, Bedeutungen direkt im Ansichtsfenster auszudrücken. Hat man den Online-Grenzwert mit einer ähnlichen Aufzeichnung eines einseitigen Grenzwertes verglichen, sollte man ihn besser nicht explizit mit Reduktionsformeln ausdrücken. Neben dem Beginn der anteiligen Ausführung der Aufgabe. Wir erweitern das Polynom, nachdem wir es geschafft haben, den einseitigen Grenzwert zu berechnen, und schreiben ihn ins Unendliche. Einfache Überlegungen führen in der mathematischen Analyse zum wahren Ergebnis. Eine einfache Lösung von Grenzwerten läuft oft auf einen unterschiedlichen Grad an Gleichheit ausführbarer gegenüber mathematischer Darstellungen hinaus. Fibonacci-Linien und -Zahlen hat der Online-Limit-Rechner entschlüsselt, abhängig davon können Sie eine Non-Limit-Berechnung bestellen und die Komplexität tritt möglicherweise in den Hintergrund. Es gibt einen Vorgang des Entfaltens des Graphen auf einer Ebene in einem Stück des dreidimensionalen Raums. Dies führte zu der Notwendigkeit unterschiedlicher Sichtweisen auf ein komplexes mathematisches Problem. Das Ergebnis lässt Sie jedoch nicht warten. Der fortwährende Prozess der Realisierung des aufsteigenden Produkts verzerrt jedoch den Linienraum und schreibt das Online-Limit auf, um sich mit der Problemstellung vertraut zu machen. Die Natürlichkeit des Flusses des Prozesses der Akkumulation von Problemen bestimmt den Bedarf an Wissen in allen Bereichen der mathematischen Disziplinen. Ein ausgezeichneter Limitrechner wird zu einem unverzichtbaren Werkzeug in den Händen erfahrener Studenten, und sie werden alle seine Vorteile gegenüber Analoga des digitalen Fortschritts zu schätzen wissen. In Schulen werden Online-Limits aus irgendeinem Grund anders bezeichnet als in Instituten. Der Wert der Funktion wächst durch die Änderung des Arguments. Sogar Lopital sagte: Die Funktionsgrenze zu finden, ist nur die halbe Miete, es ist notwendig, die Aufgabe zu ihrem logischen Abschluss zu bringen und die Antwort in erweiterter Form darzustellen. Die Realität ist dem Vorhandensein von Tatsachen in dem Fall angemessen. Das Online-Limit ist mit historisch wichtigen Aspekten der mathematischen Disziplinen verbunden und bildet die Grundlage für das Studium der Zahlentheorie. Die Seitencodierung in mathematischen Formeln ist in der Client-Sprache im Browser verfügbar. Wie würden Sie die Grenze mit einer akzeptablen legalen Methode berechnen, ohne die Funktion zu zwingen, sich in Richtung der x-Achse zu ändern? Im Allgemeinen hängt die Realität des Raums nicht nur von der Konvexität einer Funktion oder ihrer Konkavität ab. Eliminieren Sie alle Unbekannten aus dem Problem, und die Lösung der Grenzen wird die Ihnen zur Verfügung stehenden mathematischen Ressourcen auf die geringsten Kosten reduzieren. Die Lösung der gestellten Aufgabe korrigiert die Funktionalität hundertprozentig. Die erwartete Erwartung wird das Online-Limit im Detail bezüglich der Abweichung von dem niedrigstwertigen singulären Verhältnis offenbaren. Seit der mathematischen Entscheidung zugunsten der Wissenschaft sind drei Tage vergangen. Dies ist wirklich eine nützliche Aktivität. Ohne einen Grund, kein Limit zu haben, würde Online eine Divergenz im Gesamtansatz zur Lösung situativer Probleme bedeuten. In Zukunft wird ein besserer Name für den einseitigen Grenzwert mit 0/0 Unsicherheit benötigt. Eine Ressource kann nicht nur schön und gut sein, sondern auch nützlich, wenn sie das Limit für Sie berechnen kann. Der große Wissenschaftler erforschte als Student die Funktionen zum Verfassen einer wissenschaftlichen Arbeit. Zehn Jahre sind vergangen. Vor verschiedenen Nuancen lohnt es sich, die mathematische Erwartung eindeutig zu Gunsten der Tatsache zu kommentieren, dass die Grenze der Funktion die Divergenz der Prinzipale ausleiht. Sie reagierten auf die angeordneten Kontrollarbeiten. Eine Ausnahmestellung in der Mathematik in der Lehre nimmt seltsamerweise die Untersuchung der Online-Grenze mit wechselseitigen Drittbeziehungen ein. Wie es normalerweise passiert. Du kannst nichts spielen. Nach der Analyse der Zugänge studierender Studierender zu mathematischen Theorien überlassen wir die Entscheidung über die Grenzen durchaus der Schlussphase. Dies ist die Bedeutung des Folgenden, untersuchen Sie den Text. Die Brechung definiert eindeutig einen mathematischen Ausdruck als Essenz der empfangenen Informationen. Limit Online ist die Essenz der Bestimmung der wahren Position des mathematischen Relativitätssystems von multidirektionalen Vektoren. In diesem Sinne möchte ich meine eigene Meinung äußern. Wie in der vorherigen Aufgabe. Die Online-Unterscheidungsgrenze erweitert im Detail ihren Einfluss auf die mathematische Betrachtungsweise des sequentiellen Studiums der Programmanalyse im Studienfach. Im Kontext der Theorie ist Mathematik etwas Höheres als nur Wissenschaft. Loyalität wird durch Taten bestätigt. Es ist nicht möglich, die Kette aufeinanderfolgender Zahlen, die ihre Aufwärtsbewegung beginnen, bewusst zu unterbrechen, wenn das Limit falsch berechnet wird. Die doppelseitige Oberfläche kommt in ihrer natürlichen Form in voller Größe zum Ausdruck. Über die Möglichkeit hinaus, mathematische Analysen zu untersuchen, umschließt der Grenzwert einer Funktion eine Folge von Funktionsreihen als Epsilon-Nachbarschaft an einem bestimmten Punkt. Anders als in der Funktionentheorie sind Rechenfehler nicht ausgeschlossen, dies ist aber situativ vorgesehen. Durch Division durch den Grenzwert des Online-Problems können Sie die variable Divergenzfunktion für das schnelle Produkt eines nichtlinearen Systems des dreidimensionalen Raums aufschreiben. Der triviale Fall ist die Grundlage der Operation. Sie müssen kein Student sein, um diesen Fall zu analysieren. Die Menge der Momente der laufenden Berechnung, zunächst die Lösung der Grenzen, definiert als das Funktionieren des gesamten integralen Fortschrittssystems entlang der Ordinatenachse auf mehreren Zahlenwerten. Als Basiswert nehmen wir den kleinstmöglichen mathematischen Wert an. Die Schlussfolgerung ist offensichtlich. Der Abstand zwischen den Ebenen wird dazu beitragen, die Theorie der Online-Grenzen zu erweitern, da die Verwendung der Methode der divergenten Berechnung des zirkumpolaren Signifikanzaspekts nicht die inhärente Bedeutung trägt. Eine ausgezeichnete Wahl, wenn sich der Grenzwertrechner auf dem Server befindet, kann er so genommen werden, ohne die Aussagekraft der Oberflächenänderung in Bereichen zu verfälschen, da sonst das Linearitätsproblem größer wird. Eine vollständige mathematische Analyse ergab die Instabilität des Systems samt Beschreibung im Bereich der kleinsten Umgebung des Punktes. Wie jede Funktionsgrenze entlang der Schnittachse von Ordinaten und Abszissen ist es möglich, die numerischen Werte von Objekten in eine gewisse Mindestnachbarschaft entsprechend der Verteilung der Funktionalität des Forschungsprozesses einzuschließen. Lassen Sie uns die Aufgabe Punkt für Punkt aufschreiben. Es gibt eine Einteilung in Schreibphasen. Wissenschaftliche Aussagen, dass es wirklich schwierig oder gar nicht einfach ist, die Grenze zu berechnen, werden durch eine Analyse der mathematischen Ansichten aller Studenten und Doktoranden ausnahmslos gestützt. Mögliche Zwischenergebnisse lassen Sie nicht lange warten. Die obige Grenze online untersucht im Detail das absolute Minimum der Systemdifferenz von Objekten, jenseits dessen die Linearität des mathematischen Raums verzerrt wird. Die großflächige Segmentierung der Fläche wird von den Studierenden nicht zur Berechnung der mehrfachen Diskrepanz nach dem Schreiben des Online-Rechners für Subtraktionsgrenzen verwendet. Nach dem Beginn verbieten wir den Schülern, Probleme für das Studium der räumlichen Umgebung in Mathematik zu wiederholen. Da wir den Grenzwert der Funktion bereits gefunden haben, wollen wir einen Graphen ihrer Untersuchung in der Ebene erstellen. Lassen Sie uns die y-Achse mit einer speziellen Farbe hervorheben und die Richtung der Linien anzeigen. Stabilität ist vorhanden. Beim Schreiben der Antwort herrscht lange Zeit Unsicherheit. Berechnen Sie den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt, indem Sie einfach die Differenz der Grenzwerte im Unendlichen unter Anfangsbedingungen analysieren. Diese Methode ist nicht jedem Benutzer bekannt. Wir brauchen eine mathematische Analyse. Die Lösung von Grenzen reichert sich über viele Jahre hinweg in den Köpfen von Generationen an. Es ist unmöglich, den Prozess nicht zu komplizieren. Für den Abschluss sind Studierende aller Generationen verantwortlich. All dies kann sich in Ermangelung eines Fixierungsarguments in Bezug auf die Position von Funktionen in der Nähe eines bestimmten Punkts ändern, der hinter Grenzrechnern in Bezug auf den Unterschied in der Rechenleistung zurückbleibt. Lassen Sie uns die Funktion untersuchen, um die resultierende Antwort zu erhalten. Die Schlussfolgerung ist nicht offensichtlich. Nachdem aus der Gesamtzahl der implizit definierten Funktionen nach der Transformation mathematischer Ausdrücke ausgeschlossen wurde, bleibt der letzte Schritt, die Grenzwerte online korrekt und mit hoher Genauigkeit zu finden. Es ist notwendig, die Annehmbarkeit der ausgestellten Entscheidung zu prüfen. Der Prozess wird fortgesetzt. Lokalisieren Sie die Sequenz isoliert von den Funktionen, und Mathematiker müssen unter Anwendung ihrer großen Erfahrung die Grenze hinter der Begründung der richtigen Richtung in der Studie berechnen. Ein solches Ergebnis benötigt keinen theoretischen Anstieg. Ändern Sie den Anteil der Zahlen innerhalb einer Nachbarschaft eines Nicht-Null-Punktes auf der x-Achse in den Seitengrenzwert-Rechner Online-variabler räumlicher Neigungswinkel unter einer schriftlichen Aufgabe in Mathematik. Lassen Sie uns zwei Bereiche im Raum verbinden. Die Meinungsverschiedenheiten der Löser darüber, wie der Grenzwert einer Funktion die Eigenschaften einseitiger Werte im Raum erhält, können durch die verstärkten kontrollierten Leistungen der Schüler nicht ignoriert werden. Die Online-Grenze von Direction in Mathematics hat eine der am wenigsten umstrittenen Positionen bezüglich der Unsicherheit bei der Berechnung eben dieser Limits eingenommen. In einem frühen Stadium der Wissenschaft lernt ein Schüler einen Online-Grenzwertrechner für die Höhe von gleichschenkligen Dreiecken und Würfeln mit einer Seite von drei Kreisradien auswendig. Überlassen wir es dem Gewissen der Studierenden, die Grenzen im Studium eines funktionierenden mathematisch geschwächten Systems von der Seite der Forschungsebene zu lösen. Die Sicht des Studenten auf die Zahlentheorie ist zweideutig. Jeder hat seine eigene Meinung. Die richtige Richtung im Mathematikstudium hilft, die Grenze im eigentlichen Sinne zu berechnen, wie dies an den Universitäten fortgeschrittener Länder der Fall ist. Der Kotangens wird in der Mathematik als Grenzwertrechner berechnet und ist das Verhältnis zweier weiterer elementarer trigonometrischer Funktionen, nämlich des Kosinus und des Sinus des Arguments. Dies schließt die Lösung in Halbsegmenten ab. Ein anderer Ansatz wird die Situation wahrscheinlich nicht zugunsten des vergangenen Moments lösen. Man kann lange darüber reden, dass es sehr schwierig und nutzlos ist, das Limit online im Detail zu lösen, ohne es zu verstehen, aber dieser Ansatz neigt dazu, die interne Disziplin der Schüler zum Besseren aufzubauen.

Lösung Grenzen der Online-Funktion. Den Grenzwert einer Funktion oder eines Funktionsablaufs an einem Punkt finden, berechnen begrenzen Funktionswert im Unendlichen. bestimmen Sie die Konvergenz einer Zahlenreihe und vieles mehr können Sie dank unseres Online-Service tun -. Wir ermöglichen es Ihnen, Funktionsgrenzen schnell und genau online zu finden. Sie geben selbst die Funktionsvariable und die angestrebte Grenze ein, unser Service führt alle Berechnungen für Sie durch und gibt eine genaue und einfache Antwort. Und für das Limit online finden Sie können sowohl numerische Reihen als auch analytische Funktionen eingeben, die Konstanten in einem Literalausdruck enthalten. In diesem Fall enthält die gefundene Funktionsgrenze diese Konstanten als konstante Argumente im Ausdruck. Unser Service löst alle komplexen Probleme der Suche Grenzen im Internet, genügt es, die Funktion und den Punkt anzugeben, an dem gerechnet werden soll Funktionsgrenze. Rechnen Grenzen im Internet, können Sie verschiedene Methoden und Regeln verwenden, um sie zu lösen, während Sie das Ergebnis mit vergleichen Limit-Lösung online auf www.site, was zum erfolgreichen Abschluss der Aufgabe führt - Sie vermeiden Ihre eigenen Fehler und Tippfehler. Oder Sie vertrauen uns voll und ganz und verwenden unser Ergebnis für Ihre Arbeit, ohne zusätzlichen Aufwand und Zeit für eigenständige Berechnungen der Funktionsgrenze aufzuwenden. Wir erlauben die Eingabe von Grenzwerten wie unendlich. Sie müssen einen gemeinsamen Begriff der Zahlenfolge und eingeben www.site errechnet den Wert im Internet einschränken bis plus oder minus unendlich.

Eines der Grundkonzepte der mathematischen Analyse ist Funktionsgrenze und Sequenzlimit an einem Punkt und im Unendlichen ist es wichtig, richtig lösen zu können Grenzen. Mit unserem Service wird es nicht schwierig sein. Es wird eine Entscheidung getroffen Grenzen im Internet innerhalb von Sekunden ist die Antwort genau und vollständig. Das Studium der Analysis beginnt mit Durchgang bis ans Limit, Grenzen werden in fast allen Bereichen der höheren Mathematik verwendet, daher ist es sinnvoll, dafür einen Server zur Hand zu haben Limit-Lösungen online das ist die Seite.

Funktionsgrenze unendlich:
|f(x) - a|< ε при |x| >n

Definition der Cauchy-Grenze
Lassen Sie die Funktion f (x) ist in irgendeiner Umgebung eines Punktes im Unendlichen für |x| definiert > Die Zahl a heißt Grenzwert der Funktion F (x) da x gegen unendlich strebt (), wenn für jede beliebig kleine positive Zahl ε > 0 , gibt es eine Zahl N ε >K, abhängig von ε , so dass für alle x, |x| > N ε , die Werte der Funktion gehören zur ε-Nachbarschaft des Punktes a :
|f (x) - a|< ε .
Der Grenzwert einer Funktion im Unendlichen wird wie folgt bezeichnet:
.
Oder bei .

Häufig wird auch folgende Notation verwendet:
.

Wir schreiben diese Definition unter Verwendung der logischen Symbole von Existenz und Universalität:
.
Hier wird davon ausgegangen, dass die Werte zum Funktionsumfang gehören.

Einseitige Grenzen

Linke Grenze der Funktion im Unendlichen:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Oft gibt es Fälle, in denen die Funktion nur für positive oder negative Werte der Variablen x definiert ist (genauer gesagt in der Nähe des Punktes oder ). Auch die Grenzen im Unendlichen für positive und negative Werte von x können unterschiedliche Werte haben. Dann werden einseitige Grenzen verwendet.

Linke Grenze bei Unendlich oder die Grenze, wenn x gegen unendlich () tendiert, ist wie folgt definiert:
.
Rechte Grenze im Unendlichen oder begrenzen, wenn x gegen unendlich tendiert () :
.
Einseitige Grenzen im Unendlichen werden oft so geschrieben:
; .

Unendliche Funktionsgrenze im Unendlichen

Unendliche Funktionsgrenze im Unendlichen:
|f(x)| > M für |x| >N

Definition des unendlichen Limes nach Cauchy
Lassen Sie die Funktion f (x) ist in irgendeiner Umgebung eines Punktes im Unendlichen für |x| definiert > K , wobei K eine positive Zahl ist. Funktionsgrenze f (x) wenn x gegen unendlich tendiert (), ist gleich unendlich, wenn für eine beliebig große Zahl M > 0 , gibt es eine Zahl N M >K, abhängig von M , so dass für alle x, |x| > N M , die Werte der Funktion gehören zur Umgebung des Punktes im Unendlichen:
|f (x) | >M.
Die unendliche Grenze, wenn x gegen unendlich geht, wird wie folgt bezeichnet:
.
Oder bei .

Unter Verwendung der logischen Symbole der Existenz und Universalität kann die Definition der unendlichen Grenze einer Funktion wie folgt geschrieben werden:
.

Die Definitionen der unendlichen Grenzen bestimmter Zeichen gleich und werden ähnlich eingeführt:
.
.

Definitionen einseitiger Grenzen im Unendlichen.
Linke Grenzen.
.
.
.
Richtige Grenzen.
.
.
.

Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine

Lassen Sie die Funktion f (x) ist in einer Umgebung des Punktes im Unendlichen x definiert 0 , wo oder oder .
Die Zahl a (endlich oder unendlich) heißt Grenzwert der Funktion f (x) am Punkt x 0 :
,
wenn für eine beliebige Sequenz ( x n ), konvergiert gegen x 0 : ,
deren Elemente zur Nachbarschaft gehören, der Folge (f(xn)) konvergiert zu a:
.

Wenn wir die Umgebung eines vorzeichenlosen Punktes im Unendlichen als Umgebung nehmen: , dann erhalten wir die Definition des Grenzwertes der Funktion, wenn x gegen Unendlich strebt, . Nehmen wir die linke oder rechte Umgebung des Punktes im Unendlichen x 0 : oder , dann erhalten wir die Definition der Grenze, da x gegen minus unendlich bzw. plus unendlich strebt.

Die Heine- und Cauchy-Definitionen des Grenzwerts sind äquivalent.

Beispiele

Beispiel 1

Zeigen Sie das mit Hilfe der Cauchy-Definition
.

Wir führen die Notation ein:
.
Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion . Da Zähler und Nenner eines Bruchs Polynome sind, ist die Funktion für alle x definiert, mit Ausnahme der Punkte, an denen der Nenner verschwindet. Lassen Sie uns diese Punkte finden. Wir lösen eine quadratische Gleichung. ;
.
Gleichung Wurzeln:
; .
Seit , dann und .
Daher ist die Funktion für definiert. Dies werden wir in Zukunft verwenden.

Wir schreiben die Definition des endlichen Limes einer Funktion im Unendlichen nach Cauchy auf:
.
Transformieren wir den Unterschied:
.
Teile Zähler und Nenner durch und multipliziere mit -1 :
.

Lassen .
Dann
;
;
;
.

Also, wir haben das bei gefunden,
.
.
Daraus folgt das
bei , und .

Da eine Steigerung immer möglich ist, nehmen wir . Dann für alle,
beim .
Es bedeutet das.

Beispiel 2

Lassen .
Zeigen Sie anhand der Definition der Cauchy-Grenze:
1) ;
2) .

1) Lösung für x, die gegen minus unendlich strebt

Denn dann ist die Funktion für alle x definiert.
Schreiben wir die Definition des Grenzwerts der Funktion gleich minus unendlich auf:
.

Lassen . Dann
;
.

Also, wir haben das bei gefunden,
.
Wir geben positive Zahlen ein und:
.
Daraus folgt, dass es für jede positive Zahl M eine Zahl gibt, so dass für ,
.

Es bedeutet das.

2) Lösung für x, die gegen unendlich geht

Lassen Sie uns die ursprüngliche Funktion umwandeln. Multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs und wende die Quadratdifferenzformel an:
.
Wir haben:

.
Schreiben wir die Definition des rechten Grenzwertes der Funktion für :
.

Führen wir die Notation ein: .
Transformieren wir den Unterschied:
.
Zähler und Nenner multiplizieren mit:
.

Lassen
.
Dann
;
.

Also, wir haben das bei gefunden,
.
Wir geben positive Zahlen ein und:
.
Daraus folgt das
bei und .

Da dies für jede positive Zahl gilt, dann
.

Verweise:
CM. Nikolsky. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 1983.