Diskrete Zufallsvariable und ihre numerischen Eigenschaften. Verteilungsgesetze für diskrete Zufallsvariablen

Einer von die wichtigsten Begriffe Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Konzept zufällige Variable.

Willkürlich genannt Wert, die aufgrund von Tests bestimmte mögliche Werte annimmt, die im Voraus nicht bekannt sind und von zufälligen Ursachen abhängen, die nicht im Voraus berücksichtigt werden können.

Zufallsvariablen sind bezeichnet Großbuchstaben Lateinisches Alphabet X, Y, Z etc. oder in Großbuchstaben des lateinischen Alphabets mit dem richtigen Index , und die Werte, die Zufallsvariablen annehmen können - in den entsprechenden Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets X, j, z usw.

Das Konzept einer Zufallsvariablen ist eng mit dem Konzept eines zufälligen Ereignisses verwandt. Zusammenhang mit einem zufälligen Ereignis liegt darin, dass die Annahme eines bestimmten Zahlenwerts durch eine Zufallsvariable ein durch die Wahrscheinlichkeit gekennzeichnetes Zufallsereignis ist .

In der Praxis gibt es zwei Haupttypen von Zufallsvariablen:

1. Diskrete Zufallsvariablen;

2. Kontinuierliche Zufallsvariablen.

Eine Zufallsvariable ist eine numerische Funktion zufälliger Ereignisse.

Eine Zufallsvariable ist beispielsweise die Anzahl der Punkte, die beim Würfeln gefallen sind, oder die Größe eines zufällig aus der Lerngruppe ausgewählten Schülers.

Diskrete Zufallsvariablen werden Zufallsvariablen genannt, die nur entfernt voneinander Werte annehmen, die im Voraus aufgezählt werden können.

Vertriebsrecht(Verteilungsfunktion und Verteilungsreihe oder Wahrscheinlichkeitsdichte) das Verhalten einer Zufallsvariablen vollständig beschreiben. Aber bei einer Reihe von Problemen genügt es, einige zu kennen numerische Merkmale der untersuchten Größe (z. B. deren Mittelwert und mögliche Abweichung davon), um die gestellte Frage zu beantworten. Betrachten Sie die wichtigsten numerischen Eigenschaften von diskreten Zufallsvariablen.

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen ein beliebiges Verhältnis wird aufgerufen , Herstellen einer Beziehung zwischen den möglichen Werten einer Zufallsvariablen und ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten .

Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen kann dargestellt werden als Tische:

			…	…
			…	…

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen ist gleich eins, d.h.

Das Vertriebsrecht kann vertreten werden grafisch: auf der Abszissenachse sind die möglichen Werte einer Zufallsvariablen aufgetragen und auf der Ordinatenachse die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte; Die erhaltenen Punkte werden durch Segmente verbunden. Die konstruierte Polylinie wird aufgerufen Verteilungspolygon.

Beispiel. Ein Jäger mit 4 Schuss schießt auf das Wild, bis der erste Treffer oder alle Schuss verbraucht sind. Die Trefferwahrscheinlichkeit beim ersten Schuss beträgt 0,7, bei jedem weiteren Schuss sinkt sie um 0,1. Stellen Sie das Verteilungsgesetz der Anzahl der vom Jäger verbrauchten Patronen auf.

Lösung. Da der Jäger mit 4 Runden vier Schüsse machen kann, dann der Zufallswert X- die Anzahl der vom Jäger verbrauchten Patronen kann die Werte 1, 2, 3, 4 annehmen. Um die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu finden, führen wir die Ereignisse ein:

- „Schlag auf ich- Ohm-Schuss“, ;

- „Fräulein bei ich- Schuss“, und die Ereignisse und sind paarweise unabhängig.

Je nach Zustand des Problems haben wir:

Nach dem Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse und dem Additionssatz für inkompatible Ereignisse finden wir:

(Jäger trifft das Ziel mit dem ersten Schuss);

(Jäger traf das Ziel vom zweiten Schuss);

(Jäger traf das Ziel ab dem dritten Schuss);

(Der Jäger traf das Ziel ab dem vierten Schuss oder verfehlte alle vier Male).

Überprüfung: - richtig.

Also das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X sieht aus wie:


	0,7	0,18	0,06	0,06

Beispiel. Ein Arbeiter bedient drei Maschinen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Maschine innerhalb einer Stunde keine Einstellung benötigt, beträgt 0,9, die zweite 0,8, die dritte 0,7. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der Maschinen, die innerhalb einer Stunde angepasst werden müssen.

Lösung. Zufallswert X- Die Anzahl der Maschinen, die innerhalb einer Stunde eingestellt werden müssen, kann die Werte 0,1, 2, 3 annehmen. Um die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu finden, führen wir die Ereignisse ein:

- “ich- Die Maschine muss innerhalb einer Stunde eingestellt werden“, ;

- “ich- Die Maschine muss nicht innerhalb einer Stunde eingestellt werden“, .

Durch die Bedingung des Problems haben wir:

, .

Bestimmung 1

Eine Zufallsvariable $X$ heißt diskret (diskontinuierlich), wenn die Menge ihrer Werte unendlich oder endlich, aber zählbar ist.

Mit anderen Worten, eine Größe wird als diskret bezeichnet, wenn ihre Werte aufgezählt werden können.

Sie können eine Zufallsvariable mit dem Verteilungsgesetz beschreiben.

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen $X$ kann in Form einer Tabelle angegeben werden, in deren erster Zeile alle möglichen Werte der Zufallsvariablen in aufsteigender Reihenfolge und in der zweiten Zeile die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten angegeben sind dieser Werte:

Bild 1.

wobei $p1+ p2+ ... + pn = 1$.

Dieser Tisch ist nahe der Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen.

Wenn die Menge der möglichen Werte einer Zufallsvariablen unendlich ist, dann konvergiert die Reihe $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ und ihre Summe ist gleich $1$.

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen $X$ lässt sich grafisch darstellen, indem man im Koordinatensystem (rechteckig) eine gestrichelte Linie baut, die nacheinander Punkte mit den Koordinaten $(xi;pi), i=1,2, verbindet, ...n$. Die Leitung, die angerufen wurde Verteilungspolygon.

Figur 2.

Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen $X$ lässt sich auch analytisch (mit der Formel) darstellen:

$P(X=xi)= \varphi(xi),i=1,2,3 ... n$.

Aktionen auf diskrete Wahrscheinlichkeiten

Bei der Lösung vieler Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es notwendig, die Operationen der Multiplikation einer diskreten Zufallsvariablen mit einer Konstanten, der Addition zweier Zufallsvariablen, ihrer Multiplikation und Potenzierung durchzuführen. In diesen Fällen müssen die folgenden Regeln für diskrete Zufallsvariablen eingehalten werden:

Bestimmung 3

Durch Multiplikation eine diskrete Zufallsvariable $X$ zu einer Konstanten $K$ ist eine diskrete Zufallsvariable $Y=KX,$ die sich aus den Gleichungen ergibt: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Bestimmung 4

Zwei Zufallsvariablen $x$ und $y$ werden aufgerufen unabhängig, wenn das Verteilungsgesetz eines von ihnen nicht davon abhängt, welche möglichen Werte der zweite Wert angenommen hat.

Bestimmung 5

Summe zwei unabhängige diskrete Zufallsvariablen $X$ und $Y$ heißen die Zufallsvariable $Z=X+Y, $ ergibt sich aus den Gleichheiten: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\links (x_i\rechts)=p_i$, $P\links(y_j\rechts)=p"_j$.

Bestimmung 6

Durch Multiplikation zwei unabhängige diskrete Zufallsvariablen $X$ und $Y$ heißen die Zufallsvariable $Z=XY, $ ergibt sich aus den Gleichungen: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\links( x_i\rechts)P\links(y_j\rechts)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Berücksichtigen wir, dass einige Produkte $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ einander gleich sein können. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit der Addition des Produkts gleich der Summe der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Zum Beispiel, wenn $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $dann ist die Wahrscheinlichkeit von $x_2y_3$ (oder derselben $x_5y_7$) gleich $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Das Vorstehende gilt auch für die Höhe. Wenn $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ dann ist die Wahrscheinlichkeit von $x_1+\ y_2$ (oder dasselbe $x_4+\ y_6$) $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ seien durch Verteilungsgesetze gegeben:

Figur 3

Wo $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Dann sieht das Verteilungsgesetz für die Summe $X+Y$ so aus

Figur 4

Und das Verteilungsgesetz des Produkts $XY$ wird die Form haben

Abbildung 5

Verteilungsfunktion

Eine vollständige Beschreibung einer Zufallsvariablen liefert auch die Verteilungsfunktion.

Geometrisch erklärt sich die Verteilungsfunktion als die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ den Wert annimmt, der auf der reellen Geraden durch den links vom Punkt $x$ liegenden Punkt repräsentiert wird.

Wir können die häufigsten Verteilungsgesetze diskreter Zufallsvariablen herausgreifen:

Binomialverteilungsgesetz
Poisson-Verteilungsgesetz
Geometrisches Verteilungsgesetz
Hypergeometrisches Verteilungsgesetz

Für gegebene Verteilungen diskreter Zufallsvariablen ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten ihrer Werte sowie numerischer Merkmale ( erwarteter Wert, Dispergierung etc.) wird nach bestimmten "Rezepten" hergestellt. Daher ist es sehr wichtig, diese Arten von Verteilungen und ihre grundlegenden Eigenschaften zu kennen.

1. Binomialverteilungsgesetz.

Eine diskrete Zufallsvariable $X$ unterliegt der binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie die Werte $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ mit Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)= annimmt C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Tatsächlich ist die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der Vorkommen des Ereignisses $A$ in $n$ unabhängigen Versuchen. Wahrfür die Zufallsvariable $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\links(0\rechts) & P_n\links(1\rechts) & \dots & P_n\links(n\rechts) \\
\hline
\end(array)$

Für eine solche Zufallsvariable ist die Erwartung $M\left(X\right)=np$, die Varianz ist $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Beispiel . Es gibt zwei Kinder in der Familie. Unter der Annahme, dass die Geburtswahrscheinlichkeiten eines Jungen und eines Mädchens gleich $0,5$ sind, finden Sie das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $\xi $ - die Anzahl der Jungen in der Familie.

Die Zufallsvariable $\xi $ sei die Anzahl der Jungen in der Familie. Die Werte, die $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte lassen sich durch die Formel $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, wobei $n =2$ - Anzahl der unabhängigen Versuche, $p=0,5$ - Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses in einer Reihe von $n$ Versuchen. Wir bekommen:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Dann ist das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $\xi $ die Entsprechung zwischen den Werten $0,\ 1,\ 2$ und ihren Wahrscheinlichkeiten, d.h.:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten im Verteilungsgesetz muss gleich $1$ sein, also $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.

Erwartung $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, Varianz $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0,5 = 0,5 $, Durchschnitt Standardabweichung$\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\approx 0.707$.

2. Poisson-Verteilungsgesetz.

Wenn eine diskrete Zufallsvariable $X$ nur nicht-negative ganzzahlige Werte $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ mit Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\über (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Kommentar. Die Besonderheit dieser Verteilung besteht darin, dass wir basierend auf experimentellen Daten die Schätzungen $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ finden, wenn die erhaltenen Schätzungen nahe beieinander liegen, dann wir Grund zu der Annahme haben, dass die Zufallsvariable dem Poisson-Verteilungsgesetz unterliegt.

Beispiel . Beispiele für Zufallsvariablen, die dem Poisson-Verteilungsgesetz unterliegen, können sein: die Anzahl der Autos, die morgen von einer Tankstelle gewartet werden; die Anzahl fehlerhafter Artikel im hergestellten Produkt.

Beispiel . Das Werk schickte Produkte im Wert von 500 $ an die Basis. Die Wahrscheinlichkeit eines Produktschadens während des Transports beträgt 0,002 $. Finden Sie das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $X$, gleich der Zahl beschädigte Produkte; was gleich $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ ist.

Eine diskrete Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl beschädigter Gegenstände. Eine solche Zufallsvariable unterliegt dem Poisson-Verteilungsgesetz mit dem Parameter $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Die Wahrscheinlichkeiten der Werte sind $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((λ)^k)\über (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

Für eine solche Zufallsvariable sind mathematischer Erwartungswert und Varianz gleich und gleich dem Parameter $\lambda $, also $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda=1 $.

3. Geometrisches Verteilungsgesetz.

Wenn eine diskrete Zufallsvariable $X$ nur natürliche Werte $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ mit Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ rechts)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, dann sagen wir, dass eine solche Zufallsvariable $X$ dem geometrischen Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegt. Tatsächlich scheint die geometrische Verteilung Bernoullis Versuche zum ersten Erfolg zu führen.

Beispiel . Beispiele für Zufallsvariablen, die eine geometrische Verteilung haben, können sein: die Anzahl der Schüsse vor dem ersten Treffer auf dem Ziel; Anzahl der Tests des Geräts vor dem ersten Ausfall; die Anzahl der Münzwürfe vor dem ersten Heads-Up und so weiter.

Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen, die einer geometrischen Verteilung unterliegt, sind jeweils $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2 $.

Beispiel . Auf dem Weg der Fischbewegung zum Laichplatz gibt es eine $4$-Sperre. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fisch jede Schleuse passiert, beträgt $p=3/5$. Konstruieren Sie eine Verteilungsreihe der Zufallsvariablen $X$ – die Anzahl der Schleusen, die der Fisch passiert hat, bevor er zum ersten Mal an der Schleuse anhält. Finden Sie $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Schleusen, die der Fisch vor dem ersten Halt an der Schleuse passiert hat. Eine solche Zufallsvariable unterliegt dem geometrischen Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Werte, die die Zufallsvariable $X annehmen kann, sind: 1, 2, 3, 4. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte werden nach folgender Formel berechnet: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, wobei: $ p=2/5$ - Wahrscheinlichkeit, dass Fische durch die Schleuse gefangen werden, $q=1-p=3/5$ - Wahrscheinlichkeit, dass Fische durch die Schleuse gelangen, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ über (5)) = 0,4; $

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ über (5))\cdot ((9)\über (25))=((18)\über (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\über (5))\right))^4=((27)\über (125))=0,216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\links(X_i\rechts) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$

Erwarteter Wert:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Streuung:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\ca. 1,377.$

Standardabweichung:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1.377)\ca. 1.173,$

4. Hypergeometrisches Verteilungsgesetz.

Wenn es $N$-Objekte gibt, unter denen $m$-Objekte die angegebene Eigenschaft haben. Zufällig, ohne Ersatz, werden $n$-Objekte extrahiert, darunter $k$-Objekte, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Die hypergeometrische Verteilung ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass genau $k$ Objekte in einer Stichprobe eine bestimmte Eigenschaft haben. Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Objekte in der Stichprobe, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Dann die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsvariablen $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Kommentar. Mit der HYPERGEOMET-Statistikfunktion des Excel $f_x$-Funktionsassistenten können Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass eine bestimmte Anzahl von Versuchen erfolgreich sein wird.

$f_x\bis $ statistisch$\zu$ HYPERGEOMET$\zu$ OK. Es erscheint ein Dialogfeld, das Sie ausfüllen müssen. In der Grafik Number_of_successes_in_sample Geben Sie den Wert von $k$ an. Beispielgröße gleich $n$. In der Grafik Number_of_successes_in_population Geben Sie den Wert von $m$ an. Einwohnerzahl gleich $N$.

Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen $X$, die einem geometrischen Verteilungsgesetz unterliegt, sind $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\über (N))\rechts)\links(1-((n)\über (N))\rechts))\über (N-1))$.

Beispiel . Die Kreditabteilung der Bank beschäftigt 5 Spezialisten mit höherer Finanzausbildung und 3 Spezialisten mit höherer juristischer Ausbildung. Die Geschäftsleitung der Bank beschloss, 3 Spezialisten zur Weiterbildung zu entsenden und wählte sie nach dem Zufallsprinzip aus.

a) Erstellen Sie eine Verteilungsreihe der Anzahl von Spezialisten mit höherer Finanzausbildung, die zur Weiterbildung verwiesen werden können;

b) Finden Sie die numerischen Eigenschaften dieser Verteilung.

Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Spezialisten mit höherer Finanzausbildung unter den drei ausgewählten. Werte, die $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ annehmen kann. Diese Zufallsvariable $X$ wird gemäß der hypergeometrischen Verteilung mit folgenden Parametern verteilt: $N=8$ - Populationsgröße, $m=5$ - Anzahl der Erfolge in der Population, $n=3$ - Stichprobengröße, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - Anzahl der Erfolge in der Stichprobe. Dann können die Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)$ mit der Formel berechnet werden: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ über C_( N)^(n) ) $. Wir haben:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\ca. 0,179.$

Dann die Verteilungsreihe der Zufallsvariablen $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$

Berechnen wir die numerischen Eigenschaften der Zufallsvariablen $X$ mit Hilfe der allgemeinen Formeln der hypergeometrischen Verteilung.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1.875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\ca. 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$

Dienstzuweisung. Der Online-Rechner wird verwendet, um eine Tabelle der Verteilung einer Zufallsvariablen X zu erstellen - die Anzahl der durchgeführten Experimente und alle Merkmale der Reihe zu berechnen: mathematische Erwartung, Varianz und Standardabweichung. Der Bericht mit der Entscheidung wird im Word-Format erstellt.

Beispiel 1 . in der Urne weißer Sand schwarze Kugeln. Aus der Urne werden zufällig Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, bis eine weiße Kugel erscheint. Sobald dies geschieht, stoppt der Prozess.
Diese Art von Aufgaben bezieht sich auf das Problem der Konstruktion einer geometrischen Verteilung.

Beispiel 2 . Zwei Dreierschützen machen einen Schuss auf das Ziel. Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schütze es trifft, ist , der Zweite - . Verfassen Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X - die Anzahl der Treffer auf dem Ziel.

Beispiel 2a. Der Schütze macht zwei drei vier Schüsse. Die Wahrscheinlichkeit, mit dem entsprechenden Schuss zu treffen, ist gleich , . Beim ersten Fehlschuss nimmt der Schütze nicht an weiteren Wettkämpfen teil. Verfassen Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X - die Anzahl der Treffer auf dem Ziel.

Beispiel 3 . In einer Charge von Einzelheiten defekte Norm. Der Controller zieht nach dem Zufallsprinzip Einzelheiten. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable X - die Anzahl der fehlerhaften Gutteile in der Stichprobe.
Ähnliche Aufgabe: Es sind m rote und n blaue Kugeln im Korb. K Kugeln werden zufällig gezogen. Erstellen Sie das Verteilungsgesetz von DSV X - das Erscheinen blauer Kugeln.
siehe andere Beispiellösungen.

Beispiel 4 . Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem Versuch eintritt, ist . Produziert Prüfungen. Verfassen Sie das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X - die Anzahl der Vorkommen eines Ereignisses.
Ähnliche Aufgaben für diese Art der Verteilung:
1. Stellen Sie das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen X der Anzahl der Treffer bei vier Schüssen auf, wenn die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, 0,8 beträgt.
2. Eine Münze wird 7 Mal geworfen. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz der Häufigkeit des Wappens. Machen Sie eine Verteilungstabelle X - die Anzahl der Erscheinungen des Wappens.

Beispiel 1. Drei Münzen werden geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wappen bei einem Wurf herausfällt, beträgt 0,5. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für eine Zufallsvariable X - die Anzahl der gefallenen Wappen.
Lösung.
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Wappen herausgefallen ist: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Die Wahrscheinlichkeit, dass drei Wappen herausfielen: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Überprüfe: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

Beispiel #2. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel von einem Schützen mit einem Schuss zu treffen, beträgt für den ersten Schützen 0,8, für den zweiten Schützen 0,85. Die Schützen feuerten einen Schuss auf die Scheibe ab. Unter der Annahme, dass das Treffen der Scheibe für einzelne Schützen als unabhängige Ereignisse erfolgt, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A – genau ein Treffer auf der Scheibe.
Lösung.
Betrachten Sie Ereignis A – ein Treffer auf das Ziel. Möglichkeiten Das Auftreten dieses Ereignisses ist wie folgt:

Erster Schütze getroffen, zweiter Schütze verfehlt: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
Der erste Schütze verfehlt, der zweite Schütze trifft das Ziel: P(A/H2)=(1-p1)*p2=(1-0,8)*0,85=0,17
Der erste und der zweite Schütze treffen unabhängig voneinander das Ziel: P(A/H1H2) = p 1 * p 2 = 0,8 * 0,85 = 0,68

Dann ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A – genau ein Treffer auf das Ziel – gleich: P(A) = 0,12 + 0,17 + 0,68 = 0,97

Beispiele zur Problemlösung zum Thema "Zufallsvariablen".

Aufgabe 1 . Es werden 100 Lose in der Lotterie ausgegeben. Es wurde ein Gewinn von 50 USD gespielt. und zehn Gewinne von jeweils $10. Finden Sie das Verteilungsgesetz des Wertes X - die Kosten eines möglichen Gewinns.

Lösung. Mögliche Werte von X: x 1 = 0; X 2 = 10 und x 3 = 50. Da es 89 „leere“ Tickets gibt, ist p 1 = 0,89, die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 10 c.u. (10 Karten) – p 2 = 0,10 und für einen Gewinn von 50 c.u. -P 3 = 0,01. Auf diese Weise:


	0,89	0,10	0,01

Einfach zu steuern: .

Aufgabe 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Käufer vorab mit der Werbung des Produkts vertraut gemacht hat, beträgt 0,6 (p = 0,6). Eine selektive Qualitätskontrolle der Werbung erfolgt durch Befragung der Käufer vor dem ersten, der die Anzeige vorab studiert hat. Erstellen Sie eine Reihe von Verteilungen der Anzahl der befragten Käufer.

Lösung. Entsprechend der Problemstellung ist p = 0,6. Von: q=1 -p = 0,4. Setzen wir diese Werte ein, erhalten wir: und eine Verteilungsreihe konstruieren:


Pi		0,24

Aufgabe 3. Ein Computer besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen: einer Systemeinheit, einem Monitor und einer Tastatur. Bei einem einzigen starken Spannungsanstieg beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements 0,1. Erstellen Sie basierend auf der Bernoulli-Verteilung das Verteilungsgesetz für die Anzahl der ausgefallenen Elemente während einer Überspannung im Netz.

Lösung. In Betracht ziehen Bernoulli-Verteilung(oder Binomial): die Wahrscheinlichkeit, dass in N Tests, Ereignis A wird genau angezeigt k einmal: , oder:


	Q N					P N

IN Kommen wir zurück zur Aufgabe.

Mögliche Werte von X (Anzahl der Ausfälle):

x 0 = 0 – keines der Elemente ausgefallen;

x 1 =1 - Ausfall eines Elements;

x 2 =2 - Ausfall von zwei Elementen;

x 3 =3 - Ausfall aller Elemente.

Da p = 0,1 ist, ist q = 1 – p = 0,9. Unter Verwendung der Bernoulli-Formel erhalten wir

, ,

, .

Kontrolle: .

Daher das angestrebte Verteilungsgesetz:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Aufgabe 4. 5000 Schuss produziert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Patrone defekt ist . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in der gesamten Charge genau 3 defekte Patronen gibt?

Lösung. Zutreffend Poisson-Verteilung: Diese Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei einem sehr großen

Anzahl der Versuche (Massenversuche), bei denen die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A jeweils sehr klein ist, Ereignis A tritt k-mal ein: , Wo .

Hier n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Wir finden , dann die gewünschte Wahrscheinlichkeit: .

Aufgabe 5. Beim Schießen vor dem ersten Treffer mit der Wahrscheinlichkeit, p zu treffen = 0,6 für einen Schuss, müssen Sie die Wahrscheinlichkeit finden, dass der Treffer beim dritten Schuss erfolgt.

Lösung. Wenden wir die geometrische Verteilung an: Lassen Sie unabhängige Versuche durchführen, bei denen das Ereignis A jeweils eine Eintrittswahrscheinlichkeit p (und eine Nichteintrittswahrscheinlichkeit q = 1 - p) hat. Die Versuche enden, sobald Ereignis A eintritt.

Unter solchen Bedingungen wird die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A beim k-ten Test eintritt, durch die Formel bestimmt: . Hier p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4 k \u003d 3. Daher .

Aufgabe 6. Gegeben sei das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X:

Finde die mathematische Erwartung.

Lösung. .

Beachten Sie, dass die probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ist.

Aufgabe 7. Finden Sie die Varianz einer Zufallsvariablen X mit dem folgenden Verteilungsgesetz:

Lösung. Hier .

Das Verteilungsgesetz des Quadrats von X 2 :

X 2

Erforderliche Varianz: .

Streuung charakterisiert den Grad der Abweichung (Streuung) einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung.

Aufgabe 8. Die Zufallsvariable sei durch die Verteilung gegeben:

			10m

Finden Sie seine numerischen Eigenschaften.

Lösung: m, m 2 ,

M 2 , M.

Über eine Zufallsvariable X kann man beides sagen – ihr mathematischer Erwartungswert beträgt 6,4 m bei einer Varianz von 13,04 m 2 , oder - seine mathematische Erwartung beträgt 6,4 m mit einer Abweichung von m. Die zweite Formulierung ist offensichtlich klarer.

Aufgabe 9. Zufallswert X gegeben durch die Verteilungsfunktion:
.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert X als Ergebnis des Tests einen im Intervall enthaltenen Wert annimmt .

Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert aus einem bestimmten Intervall annimmt, ist gleich dem Inkrement der Integralfunktion in diesem Intervall, d.h. . In unserem Fall und daher