Извеждане на уравнението на параболата. Уравнение с три точки: как да намерим върха на парабола, формула

III ниво

3.1. Хиперболата докосва прави линии 5 х – 6г – 16 = 0, 13х – 10г- - 48 = 0. Запишете уравнението на хиперболата, при условие че осите й съвпадат с координатните оси.

3.2. Направете уравнения на допирателните към хиперболата

1) преминаване през точката А(4, 1), Б(5, 2) и ° С(5, 6);

2) успоредна права 10 х – 3г + 9 = 0;

3) перпендикулярно на права 10 х – 3г + 9 = 0.

параболасе нарича място на точките на равнината, чиито координати удовлетворяват уравнението

Параболи на парабола:

точка Ф(стр/ 2, 0) се нарича фокус параболи, величина стр – параметър , точка О(0, 0) – връх ... Освен това правият НА, спрямо който параболата е симетрична, определя оста на тази крива.

Величината където М(х, г) Е произволна точка на параболата, наречена фокусен радиус , направо д: х = –стр/2 – директорка (не пресича вътрешната област на параболата). Величината наречена ексцентриситет на параболата.

Основното характерно свойство на параболата: всички точки на параболата са на еднакво разстояние от директрисата и фокуса (фиг. 24).

Съществуват и други форми на каноничното уравнение на парабола, които определят други посоки на нейните клонове в координатната система (фиг. 25) .:

За параметрична дефиниция на парабола като параметър тСтойността на ординатата на точката на параболата може да се вземе:

където т- произволно реално число.

Пример 1.Определете параметрите и формата на параболата чрез нейното канонично уравнение:

Решение. 1. Уравнение г 2 = –8хдефинира парабола с връх в точката О вол... Клоните му са насочени наляво. Сравняване на това уравнение с уравнението г 2 = –2px, намираме: 2 стр = 8, стр = 4, стр/ 2 = 2. Следователно фокусът е в точката Ф(–2; 0), директрисно уравнение д: х= 2 (фиг. 26).

2. Уравнение х 2 = –4гопределя парабола с връх в точката О(0; 0) симетрично спрямо оста ой... Клоните му са насочени надолу. Сравняване на това уравнение с уравнението х 2 = –2py, намираме: 2 стр = 4, стр = 2, стр/ 2 = 1. Следователно фокусът е в точката Ф(0; –1), директрисно уравнение д: г= 1 (фиг. 27).

Пример 2.Определете параметри и тип крива х 2 + 8х – 16г- 32 = 0. Направете чертеж.

Решение.Нека трансформираме лявата страна на уравнението, използвайки метода за избор на пълен квадрат:

х 2 + 8х– 16г – 32 =0;

(х + 4) 2 – 16 – 16г – 32 =0;

(х + 4) 2 – 16г – 48 =0;

(х + 4) 2 – 16(г + 3).

В резултат получаваме

(х + 4) 2 = 16(г + 3).

Това е каноничното уравнение на парабола с връх в точката (–4; –3), параметърът стр= 8, клони, насочени нагоре (), ос х= –4. Фокусът е върху точката Ф(–4; –3 + стр/ 2), т.е. Ф(–4; 1) Директорка ддадено от уравнението г = –3 – стр/ 2 или г= –7 (фиг. 28).

Пример 4.Приравнете парабола с връх в точка V(3; –2) и фокусирайте в точката Ф(1; –2).

Решение.Върхът и фокусът на тази парабола лежат върху права линия, успоредна на оста вол(същите ординати), клоните на параболата са насочени наляво (абсцисата на фокуса е по-малка от абсцисата на върха), разстоянието от фокуса до върха е стр/2 = 3 – 1 = 2, стр= 4. Следователно, изискваното уравнение

(г+ 2) 2 = –2 · 4 ( х- 3) или ( г + 2) 2 = = –8(х – 3).

Задачи за самопомощ

ниво I

1.1. Определете параметрите на параболата и я начертайте:

1) г 2 = 2х; 2) г 2 = –3х;

3) х 2 = 6г; 4) х 2 = –г.

1.2. Напишете уравнението на парабола с връх в началото, ако знаете, че:

1) параболата е разположена в лявата полуравнина симетрично спрямо оста воли стр = 4;

2) параболата е разположена симетрично спрямо оста ойи преминава през точката М(4; –2).

3) директрисата е дадена от уравнение 3 г + 4 = 0.

1.3. Приравнете крива, където всички точки са на еднакво разстояние от точка (2; 0) и права линия х = –2.

II ниво

2.1. Определете вида и параметрите на кривата.

Може би всеки знае какво е парабола. Но как правилно, компетентно да го използваме при решаване на различни практически проблеми, ще разберем по-долу.

Първо, ние очертаваме основните понятия, които алгебрата и геометрията дават на този термин. Нека разгледаме всички възможни типове на тази графика.

Нека да разберем всички основни характеристики на тази функция. Нека разберем основите на изграждането на криви (геометрия). Нека се научим как да намерим горната и други основни стойности на диаграма от този тип.

Ще разберем: как да построим правилно желаната крива според уравнението, на какво трябва да обърнете внимание. Нека видим основното практическо приложение на тази уникална ценност в човешкия живот.

Какво е парабола и как изглежда

Алгебра: Този термин се отнася до графиката на квадратична функция.

Геометрия: Това е крива от втори ред, която има редица специфични характеристики:

Канонично параболно уравнение

Фигурата показва правоъгълна координатна система (XOY), екстремум, посоката на клоните на чертежа на функция по оста на абсцисата.

Каноничното уравнение е:

y 2 = 2 * p * x,

където коефициентът p е фокусният параметър на параболата (AF).

В алгебрата ще се пише по различен начин:

y = a x 2 + b x + c (разпознаваем модел: y = x 2).

Свойства и графика на квадратична функция

Функцията има ос на симетрия и център (екстремум). Домен на дефиниция - всички стойности на оста на абсцисата.

Диапазонът на стойностите на функцията - (-∞, M) или (M, + ∞) зависи от посоката на клоните на кривата. Параметърът M тук означава стойността на функцията в горната част на реда.

Как да определим къде са насочени клоните на парабола

За да намерите посоката на крива от този тип от израз, трябва да определите знака пред първия параметър на алгебричния израз. Ако a ˃ 0, тогава те са насочени нагоре. Ако напротив – надолу.

Как да намерим върха на парабола с помощта на формулата

Намирането на екстремум е основната стъпка в решаването на много практически проблеми. Разбира се, можете да отворите специални онлайн калкулатори, но е по-добре да можете да го направите сами.

Как можете да го определите? Има специална формула. Когато b не е равно на 0, трябва да потърсите координатите на тази точка.

Формули за намиране на върхове:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Пример.

Има функция y = 4 * x 2 + 16 * x - 25. Нека намерим върховете на тази функция.

За такъв ред:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаваме координатите на върха (-2, -41).

Изместване на парабола

Класическият случай, когато в квадратната функция y = a x 2 + b x + c, вторият и третият параметър са равни на 0, а = 1 - върхът е в точката (0; 0).

Движението по осите на абсцисата или ординатите се дължи на промяна на параметрите b и c, съответно.Изместването на линията в равнината ще се извърши точно с броя единици, който е равен на стойността на параметъра.

Пример.

Имаме: b = 2, c = 3.

Това означава, че класическата форма на кривата ще се измести с 2 единични сегмента по абсцисата и 3 по ординатата.

Как да построим парабола с помощта на квадратно уравнение

Важно е учениците да се научат как правилно да рисуват парабола според дадените параметри.

Като анализирате изрази и уравнения, можете да видите следното:

1. Точката на пресичане на търсената права с ординатния вектор ще има стойност, равна на c.
2. Всички точки на графиката (по протежение на абсцисата) ще бъдат симетрични спрямо главния екстремум на функцията.

В допълнение, пресечните точки с OX могат да бъдат намерени, като се знае дискриминанта (D) на такава функция:

D = (b 2 - 4 * a * c).

За да направите това, задайте израза на нула.

Наличието на корени от парабола зависи от резултата:

• D ˃ 0, тогава x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, тогава x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, тогава няма пресечни точки с вектора OX.

Получаваме алгоритъма за конструиране на парабола:

• определете посоката на клоните;
• намиране на координатите на върха;
• намерете пресечната точка с оста y;
• намерете пресечната точка с абсцисата.

Пример 1.

Дадена е функция y = x 2 - 5 * x + 4. Необходимо е да се построи парабола. Действаме според алгоритъма:

1. a = 1, следователно клоните са насочени нагоре;
2. екстремални координати: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. пресича се с оста y при стойност y = 4;
4. намерете дискриминанта: D = 25 - 16 = 9;
5. Търся корени:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Пример 2.

За функцията y = 3 * x 2 - 2 * x - 1, трябва да построите парабола. Действаме според дадения алгоритъм:

1. a = 3, следователно, клоните са насочени нагоре;
2. екстремални координати: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. ще се пресича с оста y при стойност y = -1;
4. намерете дискриминанта: D = 4 + 12 = 16. Значи корените:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1; 0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

От получените точки можете да построите парабола.

Директорка, ексцентричност, параболен фокус

Въз основа на каноничното уравнение фокусът F има координати (p / 2, 0).

Права AB е директриса (вид хорда на парабола с определена дължина). Нейното уравнение: x = -p / 2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Разгледахме тема, която учениците изучават в гимназията. Сега знаете, гледайки квадратичната функция на парабола, как да намерите нейния връх, в каква посока ще бъдат насочени клоните, дали има изместване по осите и, като имате алгоритъм за начертаване, можете да начертаете нейната графика.

Параболата е набор от точки в равнина, еднакво отдалечена от дадена точка(фокус)и от дадена права, която не минава през дадена точка (директорки)разположени в същата равнина(фиг. 5).

В този случай координатната система се избира така, че оста
преминава перпендикулярно на директрисата през фокуса, положителната му посока се избира от директрисата към фокуса. Ординатната ос върви успоредно на директрисата, в средата между директрисата и фокуса, откъдето идва уравнението на директрисата
, координати на фокуса
... Началото е върхът на параболата, а абсцисата е нейната ос на симетрия. Ексцентриситет на парабола
.

В редица случаи параболите се считат за дадени от уравненията

а)

б)
(за всички случаи
)

v)
.

В случай а) параболата е симетрична спрямо оста
и е насочена към отрицателната му страна (фиг. 6).

В случаите b) и c) оста на симетрия е оста
(фиг. 6). Координати на фокуса за тези случаи:

а)
б)
v)
.

уравнение на директриса:

а)
б)
v)
.

Пример 4.Парабола с връх в началото минава през точка
и е симетрична спрямо оста
... Напишете нейното уравнение.

Решение:

Тъй като параболата е симетрична спрямо оста
и преминава през точката с положителна абциса, то има формата, показана на фиг. 5.

Заместване на координатите на точка в уравнението на такава парабола
, получаваме
, т.е.
.

Следователно, необходимото уравнение

,

фокусът на тази парабола
, директрисно уравнение
.

4. Преобразуване на уравнението на линия от втори ред в канонична форма.

Общото уравнение от втора степен има вида

където коефициентите
не изчезват едновременно.

Всяка линия, дефинирана от уравнение (6), се нарича права от втори ред. Чрез трансформиране на координатната система уравнението на линията от втори ред може да бъде сведено до най-простата (канонична) форма.

1. В уравнение (6)
... В този случай уравнението (6) има вида

Преобразува се в най-простата си форма с помощта на паралелно превеждане на координатните оси според формулите

(8)

където
- координати на ново начало
(в старата координатна система). Нови оси
и
са успоредни на старите. точка
е центърът на елипса или хипербола и връх в случай на парабола.

Удобно е да се сведе уравнение (7) до най-простата му форма чрез метода за избор на перфектни квадрати по същия начин, както е направено за кръг.

Пример 5.Приведете уравнението от втори ред до най-простата му форма. Определете вида и местоположението на тази линия. Намерете координатите на фокусите. Направете чертеж.

Решение:

Групиране на членове, съдържащи само само , като се изваждат коефициентите при и извън скобата:

Допълваме изразите в скоби, за да завършим квадратите:

По този начин това уравнение се трансформира във формата

Ние означаваме

или

Сравнявайки с уравнения (8), виждаме, че тези формули определят паралелното преместване на координатните оси към точката
... В новата координатна система уравнението ще бъде записано, както следва:

Премествайки свободния член надясно и разделяйки на него, получаваме:

.

И така, тази линия от втори ред е елипса с полуоси
,
... Центърът на елипсата е в новия произход
, а неговата фокусна ос е оста
... Разстоянието на фокуса от центъра, така че новите координати на десния фокус
... Старите координати на същия фокус се намират от формулите за паралелен трансфер:

По същия начин новите координати на левия фокус
,
... Неговите стари координати:
,
.

За да начертаем тази елипса, рисуваме старата и новата координатна ос на чертежа. От двете страни на точката отложено по оста дължини , и по оста - дължина ; получавайки по този начин върховете на елипсата, начертайте самата елипса (фиг. 7).

Коментирайте... За прецизиране на чертежа е полезно да се намерят пресечните точки на тази права (7) със старите координатни оси. За да направим това, първо трябва да поставим формула (7)
, и тогава
и решете получените уравнения.

Появата на комплексни корени ще означава, че линия (7) не пресича съответната координатна ос.

Например, за елипсата на току-що анализирания проблем се получават следните уравнения:

Второто от тези уравнения има сложни корени, така че оста на елипсата
не пресича. Корени на първото уравнение:

В точки
и
елипсата пресича оста
(фиг. 7).

Пример 6.Намалете уравнението на линията от втори ред до най-простия му вид. Определете вида и местоположението на линията, намерете координатите на фокуса.

Решение:

Тъй като членът с липсва, тогава е необходимо да изберете пълен квадрат само по :

Изваждаме и коефициента при

.

Ние означаваме

или

По този начин, паралелно прехвърляне на координатната система към точката
... След прехвърлянето уравнението приема формата

.

От това следва, че тази права е парабола (фиг. 8), точка е неговият връх. Параболата е насочена към отрицателната страна на оста и е симетрична спрямо тази ос. Величината тъй като е равно на.

Следователно фокусът има нови координати

.

Старите му координати

Ако в това уравнение поставим
или
, тогава откриваме, че параболата пресича оста
в точката
и оста
не се пресича.

2. В уравнение (1)
... Общото уравнение (1) от втора степен се преобразува във вида (2), т.е. към разглеждания в клауза 1. случай, чрез завъртане на координатните оси под ъгъл
по формули

(9)

където
- нови координати. инжекция
се намира от уравнението

Координатните оси се завъртат така, че новите оси
и
са успоредни на осите на симетрия на линията от втори ред.

знаейки
, може да се намери
и
по тригонометрични формули

,
.

Ако ъгълът на въртене
съгласни да се считат за остри, тогава в тези формули е необходимо да се вземе знакът плюс и за
също така е необходимо да се вземе положително решение на уравнение (5).

По-специално, за
координатната система трябва да се завърти на ъгъл
... Формулите за завъртане по ъгъл са както следва:

(11)

Пример 7.Приведете уравнението от втори ред до най-простата му форма. Задайте типа и местоположението на тази линия.

Решение:

В такъв случай
, 1
,
, така че ъгълът на въртене
се намира от уравнението

.

Решението на това уравнение
и
... Ограничаване до остър ъгъл
, ние вземаме първия от тях. Тогава

,

,
.

Заместване на тези стойности и в това уравнение

Разгъвайки скобите и цитиране на подобни, получаваме

.

Накрая, разделяйки на свободен член, стигаме до уравнението на елипсата

.

Оттук следва, че
,
, а голямата ос на елипсата е насочена по оста
, и малки - по оста
.

Ще се окаже точка
, чийто радиус
наклонена към оста
под ъгъл
, за което
... Следователно, през тази точка
и ще премине нова абсцисна ос. След това маркираме по осите
и
върховете на елипсата и начертайте елипса (фиг. 9).

Забележете, че тази елипса пресича старите координатни оси в точки, които се намират от квадратни уравнения (ако в това уравнение поставим
или
):

и
.

Лекции по алгебра и геометрия. 1 семестър.

Лекция 17. Парабола.

Глава 17. Парабола.

т. 1. Основни определения.

Определение. Парабола се нарича HMT равнина, еднакво отдалечена от една фиксирана точка на равнината, наречена фокус, и една фиксирана права линия, наречена директриса.

Определение. Разстоянието от произволна точка M на равнината до фокуса на параболата се нарича фокусен радиус на точка M.

Обозначения: F е фокусът на параболата, r е фокусният радиус на точка M, d е разстоянието от точка M до директрисата D.

Според дефиницията на парабола, точка M е точка на парабола тогава и само ако
.

По дефиницията на парабола нейният фокус и директриса са фиксирани обекти, следователно разстоянието от фокуса до директрисата е постоянна стойност за дадена парабола.

Определение. Разстоянието от фокуса на параболата до нейната директриса се нарича фокален параметър на параболата.

Обозначаване:
.

Нека въведем координатна система на тази равнина, която ще наречем канонична за парабола.

Определение. Оста, изтеглена през фокуса на параболата, перпендикулярна на директрисата, се нарича фокална ос на параболата.

Нека построим каноничен за параболата PDSC, виж фиг. 2.

Като ос на абсцисата избираме фокалната ос, посоката, в която избираме от директрисата към фокуса.

Ординатната ос е изтеглена през средата на сегмента FN перпендикулярно на фокалната ос. Тогава фокусът има координати
.

т.2. Канонично уравнение на парабола.

Теорема. В каноничната координатна система за параболата уравнението на параболата има вида:

. (1)

Доказателство. Извършваме доказателството на два етапа. На първия етап ще докажем, че координатите на всяка точка, лежаща върху параболата, удовлетворяват уравнение (1). На втория етап ще докажем, че всяко решение на уравнение (1) дава координатите на точка, лежаща върху парабола. Оттук следва, че уравнение (1) се удовлетворява от координатите на онези и само тези точки от координатната равнина, които лежат върху параболата.

От това и от дефиницията на уравнението на кривата ще следва, че уравнение (1) е уравнението на парабола.

1) Нека точката M (x, y) е точката на параболата, т.е.

.

Използваме формулата за разстоянието между две точки в координатната равнина и намираме фокусния радиус на дадена точка M, използвайки тази формула:

.

От фигура 2 виждаме, че точката на параболата не може да има отрицателна абциса, тъй като в такъв случай
... Така
и
... Оттук получаваме равенството

.

Нека квадратираме двете страни на равенството:

и след намаляване получаваме:

.

2) Нека сега двойка числа (x, y) удовлетворява уравнение (1) и нека M (x, y) е съответната точка в координатната равнина Oxy.

След това заместваме равенството (1) в израза за фокусния радиус на точка M:

, откъдето по дефиницията на парабола следва, че точката M (x, y) лежи върху параболата.

Тук сме използвали факта, че равенството (1) предполага това
и следователно
.

Теоремата е доказана.

Определение. Уравнение (1) се нарича канонично уравнение на параболата.

Определение. Началото на каноничната координатна система за парабола се нарича връх на параболата.

стр. 3 Свойства на парабола.

Теорема. (Свойства на парабола.)

1. В каноничната координатна система за параболата, в лентата

няма точки от параболата.

2. В каноничната координатна система за параболата върхът на параболата O (0; 0) лежи върху параболата.

3. Параболата е крива, която е симетрична спрямо фокалната ос.

Доказателство. 1, 2) Непосредствено следва от каноничното уравнение на параболата.

3) Нека M (x, y) е произволна точка от параболата. Тогава координатите му удовлетворяват уравнение (1). Но тогава координатите на точката
също удовлетворяват уравнение (1) и следователно тази точка също е точка на парабола, откъдето следва твърдението на теоремата.

Теоремата е доказана.

т. 4. Построяване на парабола.

Поради симетрия е достатъчно да се построи парабола в първата четвърт, където тя е графиката на функцията

,

и след това покажете получената графика симетрично около оста на абсцисата.

Изграждаме графика на тази функция, като се има предвид, че тази функция се увеличава в интервала
.

стр. 5 Фокален параметър на хиперболата.

Теорема. Фокалният параметър на параболата е равен на дължината на перпендикуляра на оста на симетрия, възстановен във фокуса на параболата, преди да се пресече с параболата.

Доказателство. От точката
е пресечната точка на параболата
с перпендикулярно
(виж фиг. 3), тогава координатите му удовлетворяват уравнението на параболата:

.

От тук намираме
, откъдето следва твърдението на теоремата.

Теоремата е доказана.

стр. 6 Единна дефиниция на елипса, хипербола и парабола.

Използвайки доказаните свойства на елипса и хипербола и дефиницията на парабола, можем да дадем единна дефиниция и за трите криви.

Определение. GMT равнини, за които съотношението на разстоянието до една фиксирана точка на равнината, наречена фокус, към разстоянието до една фиксирана права линия, наречена директриса, е постоянна стойност, се нарича:

а) елипса, ако тази константа е по-малка от 1;

б) хипербола, ако тази константа е по-голяма от 1;

в) парабола, ако тази константа е равна на 1.

Тази константа, посочена в определението, се нарича ексцентриситет и се обозначава , разстоянието от дадена точка до фокуса е нейният фокусен радиус r, разстоянието от тази точка до директрисата се означава с d.

От определението следва, че тези точки от равнината, за които съотношението е постоянна стойност от елипса, хипербола или парабола, в зависимост от стойността на това съотношение.

Ако
, тогава получаваме елипса, ако
, тогава получаваме хипербола, ако
, тогава получаваме парабола.

стр. 7 Допирателна към параболата.

Теорема. Позволявам
- произволна точка на параболата

.

Тогава уравнението на допирателната към тази парабола

в точката
изглежда като:

. (2)

Доказателство. Достатъчно е да разгледаме случая, когато точката на допир е в първата четвърт. Тогава уравнението на параболата има вида:

и може да се разглежда като графика на функцията
.

Използваме уравнението на допирателната към графиката на функцията
в точката
:

където
- стойността на производната на тази функция в точката
.

Намерете производната на функцията
и неговата стойност в точката на допир:

,
.

Тук сме използвали факта, че точката на допир
е точка от парабола и следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на параболата, т.е.

.

Заместете намерената стойност на производната в уравнението на допирателната:

,

откъде получаваме:

.

От точката
принадлежи на парабола, то координатите й удовлетворяват нейното уравнение, т.е.
, откъдето получаваме

или
.

това предполага

.

Теоремата е доказана.

стр.8. Огледално свойство на парабола.

Теорема. Допирателната към параболата образува равни ъгли с оста си на симетрия и с фокусния радиус на допирателната точка.

Доказателство. Позволявам
- допирна точка, Е неговият фокусен радиус. Нека N означава точката на пресичане на допирателната с оста на абсцисата. Ординатата на точката N е равна на нула и точката N лежи върху допирателната, следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на допирателната. Замествайки координатите на точка N в уравнението на допирателната, получаваме:

,

откъдето абсцисата на точка N е равна на
.

Помислете за триъгълник
... Нека докажем, че е равнобедрен.

Наистина ли,
... Тук използвахме равенството, получено при извеждането на каноничното уравнение на параболата:

.

В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни. Оттук

, и т.н.

Теоремата е доказана.

Коментирайте. Доказаната теорема може да се формулира като огледално свойство на парабола.

Светлинен лъч, излъчен от фокуса на параболата, след като се отрази от огледалото на параболата, върви успоредно на оста на симетрия на параболата.

Всъщност, тъй като ъгълът на падане на лъча върху допирателната е равен на ъгъла на отражение от нея, ъгълът между допирателната и отразения лъч е равен на ъгъла между допирателната и оста на абсцисата, откъдето следва, че отразеният лъч е успореден на оста на абсцисата.

Коментирайте. Това свойство на параболата се използва широко в технологиите. Ако параболата се завърти около оста си на симетрия, тогава получаваме повърхност, която се нарича параболоид на въртене. Ако направите отразяваща повърхност под формата на параболоид на въртене и поставите източник на светлина във фокус, тогава отразените лъчи вървят успоредно на оста на симетрия на параболоида. Така работят прожекторите и автомобилните фарове. Ако обаче на фокус е поставено устройство, което приема електромагнитни трептения (вълни), те се отразяват от повърхността на параболоида и попадат в това приемащо устройство. Ето как работят сателитните антени.

Има легенда, че в древни времена един генерал подреждал войниците си по крайбрежието, придавайки на формирането им формата на парабола. Слънчевата светлина, отразяваща се от щитовете на воините, излъскани до блясък, събрани в лъч (в фокуса на конструираната парабола). Така корабите на противника бяха изгорени. Някои източници приписват това на Архимед. По един или друг начин, но арабите наричат ​​параболоида на въртене "запалително огледало".

Между другото, думата "фокус" е латински и в превод означава огън, огнище. С помощта на "запалително огледало" можете да запалите огън и да сварите вода в слънчев ден. Така произходът на този термин става ясен.

Думата "трик" също означава някакъв трик или трик. Преди това циркът се наричаше кабина. Така че дори художниците на щандове използваха огледалното свойство на елипсата и осветявайки светлината в единия фокус на елипсата, те запалиха нещо запалимо, поставено в другия й фокус. Този спектакъл също започна да се нарича фокус. (Прочетете прекрасната книга на Н. Я. Виленкин "Зад страниците на учебник по математика")

т. 9. Полярно уравнение на елипса, хипербола и парабола.

Нека на равнината е дадена точка F, която ще наречем фокус, и права D, която ще наречем директриса. Нека начертаем линия, перпендикулярна на директрисата (фокалната ос) през фокуса и да въведем полярна координатна система. Поставяме полюса във фокус, а като полярен лъч вземаме тази част от правата линия, която не пресича директрисата (виж фиг. 5).

Нека точка M лежи върху елипса, хипербола или парабола. По-нататък ще наричаме zlips хипербола или просто парабола на кривата.

Теорема. Позволявам
- полярни координати на точката на кривата (елипса, хипербола или парабола). Тогава

, (3)

където p е фокусният параметър на кривата, Е ексцентриситетът на кривата (за парабола предполагаме
).

Доказателство. Нека Q е проекцията на точка M върху фокалната ос на кривата, B - върху директрисата на кривата. Нека полярният ъгъл точка M е тъпа, както е на фигура 5. Тогава

,

където по конструкция,
Е разстоянието от точка M до директрисата и

. (4)

От друга страна, според единната дефиниция на елипса, хипербола и парабола, съотношението

(5)

е равно на ексцентриситета на съответната крива за всяка точка M от тази крива. Нека точката
- точката на пресичане на кривата с перпендикуляра на фокалната ос, възстановена във фокус, и A - нейната проекция върху директрисата. Тогава

, където
... Но
, където

и, замествайки в равенство (4), получаваме

или като се вземе предвид равенството (5),

откъдето следва доказаното равенство (3).

Забележете, че равенството (4) остава вярно и в случая, когато полярният ъгъл точка M е остра, тъй като в този случай точка Q е вдясно от фокуса F и

Теоремата е доказана.

Определение. Уравнение (3) се нарича полярно уравнение на елипса, хипербола и парабола.

Параболата е локус на точки от равнина, еднакво отдалечена от дадена точка F и дадена права линия d, която не минава през дадена точка. Това геометрично определение изразява свойство парабола на директория.

Свойството на директория на парабола

Точка F се нарича фокус на параболата, линия d е директрисата на параболата, средата O на перпендикуляра, изпусната от фокуса към директрисата, е връхът на параболата, разстоянието p от фокуса до директрисата е параметъра на параболата и разстоянието \ frac (p) (2) от върха на параболата до нейния фокус - фокусно разстояние (фиг. 3.45, а). Правата линия, перпендикулярна на директрисата и минаваща през фокуса, се нарича ос на параболата (фокална ос на параболата). FM сегментът, свързващ произволна точка M на параболата с нейния фокус, се нарича фокусен радиус на точка M. Отсечката, свързваща две точки на параболата, се нарича хорда на параболата.

За произволна точка на параболата отношението на разстоянието до фокуса към разстоянието до директрисата е равно на единица. Сравнявайки свойствата на директорията и параболите, стигаме до това ексцентриситет на параболатапо дефиниция е равно на единица (e = 1).

Геометрична дефиниция на парабола, който изразява неговото свойство на директория, е еквивалентен на неговата аналитична дефиниция - линия, дефинирана от каноничното уравнение на парабола:

Всъщност въвеждаме правоъгълна координатна система (фигура 3.45, б). Върхът O на параболата се приема за начало на координатната система; правата линия, минаваща през фокуса, перпендикулярна на директрисата, се приема като ос на абсцисата (положителната посока върху нея от точка O до точка F); правата линия, перпендикулярна на оста на абсцисата и минаваща през върха на параболата, се приема за ординатна ос (посоката по оста на ординатата е избрана така, че правоъгълната координатна система Oxy да е права).

Нека съставим уравнението на параболата, като използваме нейното геометрично определение, което изразява свойството на директория на параболата. В избраната координатна система определете координатите на фокуса F \! \ Ляво (\ frac (p) (2); \, 0 \ вдясно)и уравнението на директрисата x = - \ frac (p) (2). За произволна точка M (x, y), принадлежаща на парабола, имаме:

FM = MM_d,

където M_d \! \ Ляво (\ frac (p) (2); \, y \ вдясно)е ортогоналната проекция на точка M (x, y) върху директрисата. Записваме това уравнение в координатна форма:

\ sqrt ((\ вляво (x- \ frac (p) (2) \ вдясно) \^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Квадратираме двете страни на уравнението: (\ вляво (x- \ frac (p) (2) \ вдясно) \^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}... Намаляването на подобни термини получаваме канонично параболно уравнение

y ^ 2 = 2 \ cdot p \ cdot x,тези. избраната координатна система е канонична.

Извършвайки разсъжденията в обратен ред, може да се покаже, че всички точки, чиито координати удовлетворяват уравнение (3.51), и само те принадлежат на място от точки, наречено парабола. По този начин аналитичното определение на парабола е еквивалентно на нейното геометрично определение, което изразява свойството на директория на парабола.

Уравнение на парабола в полярна координатна система

Уравнението на параболата в полярната координатна система Fr \ varphi (фигура 3.45, в) има вида

r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),където p е параметърът на параболата, а e = 1 е нейният ексцентриситет.

Всъщност като полюс на полярната координатна система ще изберем фокуса F на параболата, а като полярна ос - лъча с начало в точка F, перпендикулярна на директрисата и не пресичаща я (Фигура 3.45, c ). Тогава, за произволна точка M (r, \ varphi), принадлежаща на парабола, съгласно геометричната дефиниция (свойство на директория) на парабола, имаме MM_d = r. Дотолкова доколкото MM_d = p + r \ cos \ varphi, получаваме уравнението на параболата в координатна форма:

p + r \ cdot \ cos \ varphi \ quad \ Leftrightarrow \ quad r = \ frac (p) (1- \ cos \ varphi),

Q.E.D. Обърнете внимание, че в полярните координати уравненията на елипсата, хиперболата и параболата съвпадат, но описват различни линии, тъй като те се различават по ексцентриситети (0 \ leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 за).

Геометричното значение на параметъра в уравнението на параболата

Нека обясним геометричен смисъл на параметъра p в каноничното уравнение на параболата. Замествайки x = \ frac (p) (2) в уравнение (3.51), получаваме y ^ 2 = p ^ 2, т.е. y = \ pm p. Следователно параметърът p е половината от дължината на хордата на параболата, преминаваща през нейния фокус, перпендикулярен на оста на параболата.

Фокусният параметър на параболата, както и за елипса и за хипербола, се нарича половината от дължината на хордата, преминаваща през нейния фокус перпендикулярно на фокалната ос (виж фигура 3.45, в). От уравнението на параболата в полярни координати при \ varphi = \ frac (\ pi) (2)получаваме r = p, т.е. параметърът на параболата съвпада с нейния фокален параметър.

Забележки 3.11.

1. Параметърът p на парабола характеризира нейната форма. Колкото по-голямо е p, толкова по-широки са клоните на параболата, колкото p е по-близо до нула, толкова по-тесни са клоновете на параболата (фигура 3.46).

2. Уравнението y ^ 2 = -2px (за p> 0) дефинира парабола, която се намира вляво от ординатата (фиг. 3.47, а). Това уравнение се свежда до каноничното чрез промяна на посоката на абсцисната ос (3.37). На фиг. 3.47, a показва дадена координатна система Oxy и каноничната Ox "y".

3. Уравнение (y-y_0) ^ 2 = 2p (x-x_0), \, p> 0определя парабола с връх O "(x_0, y_0), чиято ос е успоредна на оста на абсцисата (фиг. 3.47.6). Това уравнение се свежда до каноничното чрез паралелно преместване (3.36).

Уравнението (x-x_0) ^ 2 = 2p (y-y_0), \, p> 0, също така дефинира парабола с връх O "(x_0, y_0), чиято ос е успоредна на оста на ординатата (фиг. 3.47, в). Това уравнение се свежда до каноничното с помощта на паралелна транслация (3.36) и преименуване координатните оси (3.38) 3.47, b, c са показани дадените координатни системи Oxy и каноничните координатни системи Ox "y".

4. y = ax ^ 2 + bx + c, ~ a \ ne0е парабола с връх в точката O "\! \ Отляво (- \ frac (b) (2a); \, - \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ вдясно), чиято ос е успоредна на оста на ординатата, клоните на параболата са насочени нагоре (за a> 0) или надолу (за a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y = a \ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ frac (b ^ 2) (4a) + c \ quad \ Leftrightarrow \ quad \! \ left (x + \ frac ( b) (2a) \ вдясно) ^ 2 = \ frac (1) (a) \ left (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ right) \ !,

което се свежда до каноничната форма (y ") ^ 2 = 2px", където p = \ ляво | \ frac (1) (2a) \ дясно |, чрез замяна y "= x + \ frac (b) (2a)и x "= \ pm \! \ вляво (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ вдясно).

Знакът е избран така, че да съвпада със знака на водещия коефициент a. Тази замяна отговаря на състав: паралелен трансфер (3.36) с x_0 = - \ frac (b) (2a)и y_0 = - \ frac (b ^ 2-4ac) (4a), преименувайки координатните оси (3.38), а в случай на a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 и а<0 соответственно.

5. Абсцисната ос на каноничната координатна система е оста на симетрия на параболататъй като промяната на y на -y не променя уравнението (3.51). С други думи, координатите на точка M (x, y), принадлежаща на параболата, и координатите на точка M "(x, -y), която е симетрична на точка M по отношение на оста на абсцисата, удовлетворяват уравнение (3.S1) Осите на каноничната координатна система се наричат главните оси на параболата.

Пример 3.22. Начертайте параболата y ^ 2 = 2x в каноничната координатна система Oxy. Намерете фокусния параметър, координатите на фокуса и уравнението на директрисата.

Решение.Изграждаме парабола, като вземем предвид нейната симетрия спрямо оста на абсцисата (фигура 3.49). Ако е необходимо, определяме координатите на някои точки от параболата. Например, замествайки x = 2 в уравнението на параболата, получаваме y ^ 2 = 4 ~ \ Стрелка надясно наляво ~ y = \ pm2... Следователно точките с координати (2; 2), \, (2; -2) принадлежат на параболата.

Сравнявайки даденото уравнение с каноничното (3.S1), определяме фокалния параметър: p = 1. Координати на фокуса x_F = \ frac (p) (2) = \ frac (1) (2), ~ y_F = 0, т.е. F \! \ Ляво (\ frac (1) (2), \, 0 \ вдясно)... Съставяме уравнението на директрисата x = - \ frac (p) (2), т.е. x = - \ frac (1) (2).

Общи свойства на елипса, хипербола, парабола

1. Свойството на директория може да се използва като единична дефиниция на елипса, хипербола, парабола (виж фиг. 3.50): местоположението на точките в равнината, за всяка от които отношението на разстоянието до дадена точка F (фокус) към разстоянието до дадена права линия d (директриса), която не минава през дадена точка, е постоянно и е равно на ексцентриситетът e се нарича:

а) ако 0 \ leqslant e<1 ;

б) ако е> 1;

в) парабола, ако e = 1.

2. Елипса, хипербола, парабола се получават в сечения на кръгов конус от равнини и затова се наричат конични сечения... Това свойство може да служи и като геометрична дефиниция на елипса, хипербола, парабола.

3. Сред общите свойства на елипсата са хиперболата и параболата бисекториално свойствотехните допирателни. Под допирателнапод правата в част от нейната точка K се разбира граничното положение на секащата KM, когато точката M, останала на разглежданата права, клони към точка K. Права линия, перпендикулярна на допирателната към правата и минаваща през допирателната точка, се нарича нормалнокъм тази линия.

Бисекторното свойство на допирателните (и нормали) към елипса, хипербола и парабола се формулира, както следва: допирателната (нормалната) към елипсата или към хиперболата образува равни ъгли с фокалните радиуси на допирателната точка(Фигура 3.51, a, b); допирателната (нормалната) към параболата прави равни ъгли с фокусния радиус на допирателната точка и перпендикуляра, отпуснат от нея към директрисата(Фигура 3.51, c). С други думи, допирателната към елипсата в точка K е ъглополовящата на външния ъгъл на триъгълника F_1KF_2 (а нормалата е ъглополовящата на вътрешния ъгъл F_1KF_2 на триъгълника); допирателната към хиперболата е ъглополовящата на вътрешния ъгъл на триъгълника F_1KF_2 (а нормалата е ъглополовящата на външния ъгъл); допирателната към параболата е ъглополовящата на вътрешния ъгъл на триъгълника FKK_d (а нормалата е ъглополовящата на външния ъгъл). Бисекторното свойство на допирателната към парабола може да се формулира по същия начин, както за елипса и хипербола, ако приемем, че параболата има втори фокус в точката в безкрайността.

4. Бисекторните свойства предполагат оптични свойства на елипса, хипербола и парабола, обяснявайки физическото значение на термина "фокус". Представете си повърхности, образувани от въртенето на елипса, хипербола или парабола около фокалната ос. Ако върху тези повърхности се нанесе отразяващо покритие, тогава се получават елиптични, хиперболични и параболични огледала. Според закона на оптиката ъгълът на падане на светлинен лъч върху огледалото е равен на ъгъла на отражение, т.е. падащите и отразените лъчи образуват равни ъгли с нормалата към повърхността, като двата лъча и оста на въртене са в една и съща равнина. Така получаваме следните свойства:

- ако източникът на светлина е в един от фокусите на елиптичното огледало, то светлинните лъчи, отразени от огледалото, се събират в друг фокус (фиг. 3.52, а);

- ако източникът на светлина е в един от фокусите на хиперболичното огледало, тогава светлинните лъчи, отразени от огледалото, се разминават, сякаш идват от друг фокус (Фигура 3.52, б);

- ако източникът на светлина е във фокуса на параболичното огледало, тогава светлинните лъчи, отразени от огледалото, вървят успоредно на фокалната ос (Фигура 3.52, в).

5. Диаметърно свойствоелипса, хипербола и парабола могат да бъдат формулирани по следния начин:

– средните точки на успоредните хорди на елипса (хипербола) лежат на една права линия, минаваща през центъра на елипсата (хипербола);

– средните точки на успоредните хорди на параболата лежат върху права линия, колинеарна на оста на симетрия на параболата.

Местоположението на средните точки на всички успоредни хорди на елипса (хипербола, парабола) се нарича диаметърът на елипсата (хипербола, парабола)конюгирани към тези акорди.

Това е дефиницията на диаметъра в тесен смисъл (виж пример 2.8). По-рано беше дадена дефиницията на диаметъра в широк смисъл, където диаметърът на елипса, хипербола, парабола, както и други линии от втори ред се нарича права линия, съдържаща средните точки на всички успоредни хорди. В тесен смисъл диаметърът на елипсата е всяка хорда, минаваща през нейния център (фигура 3.53, а); диаметърът на хиперболата е всяка права линия, минаваща през центъра на хиперболата (с изключение на асимптотите), или част от такава права линия (фигура 3.53.6); диаметърът на параболата е всеки лъч, излизащ от определена точка на параболата и колинеарен спрямо оста на симетрия (фигура 3.53, c).

Два диаметъра, всеки от които разполовява всички хорди, успоредни на друг диаметър, се наричат ​​спрегнати. На фигура 3.53 удебелите линии представляват спрегнатите диаметри на елипса, хипербола и парабола.

Допирателната към елипсата (хипербола, парабола) в точка K може да се дефинира като гранична позиция на успоредни секущи M_1M_2, когато точки M_1 и M_2, оставащи на разглежданата права, се стремят към точка K. От това определение следва, че допирателната, успоредна на хордите, преминава през края на диаметъра, конюгиран с тези хорди.

6. Елипса, хипербола и парабола имат, в допълнение към горните, множество геометрични свойства и физически приложения. Например, фиг. 3.50 може да служи като илюстрация на траекториите на космическите обекти, разположени в близост до центъра на F на привличане.