Решаване на модулни уравнения онлайн. Уравнения онлайн
Използването на уравнения е широко разпространено в нашия живот. Използват се в много изчисления, строителство на сгради и дори спорт. Човекът е използвал уравнения в древни времена и оттогава приложението им само се е увеличило. Степенните или експоненциалните уравнения са уравнения, в които променливите са в степени, а основата е число. Например:
Решаването на експоненциалното уравнение се свежда до 2 доста прости стъпки:
1. Необходимо е да се провери дали основите на уравнението отдясно и отляво са еднакви. Ако основанията не са еднакви, търсим варианти за решаване на този пример.
2. След като основите станат еднакви, приравняваме степените и решаваме полученото ново уравнение.
Да кажем, че е дадено експоненциално уравнение в следната форма:
Струва си да започнете решението на това уравнение с анализа на основата. Основите са различни - 2 и 4, но за решението трябва да сме еднакви, така че преобразуваме 4 по следната формула - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]
Добавете към оригиналното уравнение:
Извадете скобите \
Ние изразяваме \
Тъй като градусите са еднакви, ние ги изхвърляме:
Отговор: \
Къде можете да решите експоненциалното уравнение с онлайн решител?
Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https: // сайт. Безплатен онлайн решаващ ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за броени секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете вашите данни в Solver. Можете също да гледате видео инструкция и да научите как да решавате уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, ние винаги се радваме да ви помогнем.
I. брадва 2 = 0 – непълен квадратно уравнение (b = 0, c = 0 ). Решение: x = 0. Отговор: 0.
Решаване на уравнения.
2x (x + 3) = 6x-x 2.
Решение.Нека разширим скобите чрез умножение 2xза всеки термин в скоби:
2x 2 + 6x = 6x-x 2; прехвърляме термините от дясно на ляво:
2x 2 + 6x-6x + x 2 = 0; ние даваме подобни условия:
3x 2 = 0, следователно x = 0.
Отговор: 0.
II. ax 2 + bx = 0 –непълен квадратно уравнение (с = 0 ). Решение: x (ax + b) = 0 → x 1 = 0 или ax + b = 0 → x 2 = -b / a. Отговор: 0; -b/a.
5x 2 -26x = 0.
Решение.Извадете общия фактор хизвън скобите:
x (5x-26) = 0; всеки фактор може да бъде нула:
х = 0или 5x-26 = 0→ 5x = 26, разделяме двете страни на равенството на 5 и получаваме: x = 5.2.
Отговор: 0; 5,2.
Пример 3. 64x + 4x 2 = 0.
Решение.Извадете общия фактор 4xизвън скобите:
4x (16 + x) = 0. Имаме три фактора, 4 ≠ 0, следователно, или х = 0или 16 + х= 0. От последното равенство получаваме x = -16.
Отговор: -16; 0.
Пример 4.(x-3) 2 + 5x = 9.
Решение.Използвайки формулата за квадрата на разликата от два израза, отваряме скобите:
x 2 -6x + 9 + 5x = 9; преобразувайте във вида: x 2 -6x + 9 + 5x-9 = 0; ние даваме подобни условия:
x 2 -x = 0; Извеждам хскоби, получаваме: x (x-1) = 0. Следователно или х = 0или х-1 = 0→ x = 1.
Отговор: 0; 1.
III. ax 2 + c = 0 –непълен квадратно уравнение (b = 0 ); Решение: ax 2 = -c → x 2 = -c / a.
Ако (-c/a)<0 , тогава няма истински корени. Ако (-s / a)> 0
Пример 5.х 2 -49 = 0.
Решение.
x 2 = 49, следователно х = ± 7. Отговор:-7; 7.
Пример 6. 9x 2 -4 = 0.
Решение.
Често се изисква да се намери сумата от квадрати (x 1 2 + x 2 2) или сумата от кубчета (x 1 3 + x 2 3) от корените на квадратно уравнение, по-рядко - сумата от обратни стойности от квадратите на корените или сумата от аритметичните квадратни корени от корените на квадратно уравнение:
Теоремата на Виета може да помогне за това:
x 2 + px + q = 0
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.
Нека изразим през стри q:
1) сумата от квадратите на корените на уравнението x 2 + px + q = 0;
2) сумата от кубчетата на корените на уравнението x 2 + px + q = 0.
Решение.
1) Изразяване x 1 2 + x 2 2се получава чрез квадратура на двете страни на равенството x 1 + x 2 = -p;
(x 1 + x 2) 2 = (- p) 2; разгънете скобите: x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 = p 2; изразете исканата сума: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2x 1 x 2 = p 2 -2q. Получаваме полезно равенство: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.
2) Изразяване x 1 3 + x 2 3ние представяме с формулата сумата от кубчета във формата:
(x 1 3 + x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2) = - p (p 2 -2q-q) = - p (p 2 -3q ).
Друго полезно равенство: x 1 3 + x 2 3 = -p · (p 2 -3q).
Примери.
3) x 2 -3x-4 = 0.Без да решавате уравнението, изчислете стойността на израза x 1 2 + x 2 2.
Решение.
x 1 + x 2 = -p = 3,и работата x 1 ∙ x 2 = q =в пример 1) равенство:
x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.Ние имаме -стр= x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q =х 1 х 2 = -4. Тогава x 1 2 + x 2 2 = 9 - 2 (-4) = 9 + 8 = 17.
Отговор: x 1 2 + x 2 2 = 17.
4) x 2 -2x-4 = 0.Изчислете: x 1 3 + x 2 3.
Решение.
Според теоремата на Виета, сумата от корените на това редуцирано квадратно уравнение x 1 + x 2 = -p = 2,и работата x 1 ∙ x 2 = q =-4. Нека приложим полученото от нас ( в пример 2) равенство: x 1 3 + x 2 3 = -p (p 2 -3q) = 2 (2 2 -3 (-4)) = 2 (4 + 12) = 2 16 = 32.
Отговор: x 1 3 + x 2 3 = 32.
Въпрос: ами ако ни е дадено нередуцирано квадратно уравнение? Отговор: винаги може да се "намали", като се раздели на първия коефициент.
5) 2x 2 -5x-7 = 0.Без да решавате, изчислете: x 1 2 + x 2 2.
Решение.Дадено ни е пълно квадратно уравнение. Разделете двете страни на равенството на 2 (първият коефициент) и получете намаленото квадратно уравнение: x 2 -2,5x-3,5 = 0.
Според теоремата на Виета сумата от корените е 2,5 ; продуктът на корените е -3,5 .
Решаваме по същия начин като пример 3) използвайки равенство: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.
x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q = 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Отговор: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x 2 -5x-2 = 0.Намирам:
Преобразуваме това равенство и, по теоремата на Виета, заменяме сбора от корени с -стр, и продуктът на корените чрез q, получаваме още една полезна формула. При извеждане на формулата е използвано равенство 1): x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.
В нашия пример x 1 + x 2 = -p = 5; x 1 ∙ x 2 = q =-2. Ние заместваме тези стойности в получената формула:
7) x 2 -13x + 36 = 0.Намирам:
Преобразуваме тази сума и получаваме формула, по която ще бъде възможно да се намери сумата от аритметичните квадратни корени от корените на квадратно уравнение.
Ние имаме x 1 + x 2 = -p = 13; x 1 ∙ x 2 = q = 36. Заменете тези стойности в получената формула:
Съвет : винаги проверявайте възможността за намиране на корените на квадратното уравнение по подходящ начин, т.к. 4 прегледани полезни формуливи позволяват бързо да изпълните задачата, особено в случаите, когато дискриминантът е "неудобно" число. Във всички прости случаи намерете корени и ги оперирайте. Например, в последния пример избираме корените според теоремата на Виета: сумата от корените трябва да е равна на 13 , и продуктът на корените 36 ... Какви са тези числа? със сигурност, 4 и 9.Сега изчислете сумата от квадратните корени на тези числа: 2+3=5. Това е!
I. Теорема на Виетаза редуцираното квадратно уравнение.
Сборът от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0е равно на втория коефициент, взет с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член:
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.
Намерете корените на редуцираното квадратно уравнение, като използвате теоремата на Виета.
Пример 1) x 2 -x-30 = 0.Това е редуцираното квадратно уравнение ( x 2 + px + q = 0), вторият коефициент p = -1и свободния срок q = -30.Първо се уверете, че даденото уравнение има корени и че корените (ако има такива) ще бъдат изразени в цели числа. За това е достатъчно дискриминантът да е перфектният квадрат на цяло число.
Намерете дискриминанта д= b 2 - 4ac = (- 1) 2 -4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .
Сега, според теоремата на Виета, сумата от корените трябва да бъде равна на втория коефициент, взет с противоположен знак, т.е. ( -стр), а произведението е равно на свободния член, т.е. ( q). Тогава:
x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30.Трябва да изберем две числа, така че произведението им да е равно -30 , а сумата е мерна единица... Това са числа -5 и 6 . Отговор: -5; 6.
Пример 2) x 2 + 6x + 8 = 0.Имаме редуцираното квадратно уравнение с втория коефициент р = 6и безплатен член q = 8... Нека се уверим, че има цели числа. Намерете дискриминанта D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... Дискриминантът D 1 е перфектният квадрат на числото 1 , което означава, че корените на това уравнение са цели числа. Нека изберем корени според теоремата на Виета: сумата от корените е равна на –P = -6, а произведението на корените е q = 8... Това са числа -4 и -2 .
Всъщност: -4-2 = -6 = -p; -4 ∙ (-2) = 8 = q. Отговор: -4; -2.
Пример 3) x 2 + 2x-4 = 0... В това намалено квадратно уравнение вторият коефициент p = 2и свободния срок q = -4... Намерете дискриминанта D 1тъй като вторият коефициент е четно число. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминантът не е перфектен квадрат на числото, следователно го правим заключение: корените на това уравнение не са цели числа и не могат да бъдат намерени от теоремата на Виета.Това означава, че ще решим това уравнение, както обикновено, с помощта на формулите (в този случай с помощта на формулите). Получаваме:
Пример 4).Направете квадратно уравнение за неговите корени, ако x 1 = -7, x 2 = 4.
Решение.Необходимото уравнение ще бъде записано във формата: x 2 + px + q = 0, и въз основа на теоремата на Виета –P = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 ... Тогава уравнението ще приеме вида: x 2 + 3x-28 = 0.
Пример 5).Напишете квадратно уравнение за неговите корени, ако:
II. Теоремата на Виетаза пълното квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0.
Сборът от корените е минус бразделена на а, продуктът на корените е Сразделена на а:
x 1 + x 2 = -b / a; x 1 ∙ x 2 = c / a.
Пример 6).Намерете сумата от корените на квадратно уравнение 2x 2 -7x-11 = 0.
Решение.
Уверяваме се, че това уравнение ще има корени. За да направите това, достатъчно е да съставите израз за дискриминанта и, без да го изчислявате, просто се уверете, че дискриминантът е по-голям от нула. д=7 2 -4∙2∙(-11)>0 ... Сега нека използваме теорема Виетаза пълни квадратни уравнения.
x 1 + x 2 = -b: a=- (-7):2=3,5.
Пример 7)... Намерете произведението на корените на квадратното уравнение 3x 2 + 8x-21 = 0.
Решение.
Намерете дискриминанта D 1, тъй като вторият коефициент ( 8 ) е четно число. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 ... Квадратното уравнение има 2 корен, според теоремата на Виета продуктът на корените x 1 ∙ x 2 = c: a=-21:3=-7.
I. ax 2 + bx + c = 0- общо квадратно уравнение
Дискриминанта D = b 2 - 4ac.
Ако D> 0, тогава имаме два реални корена:
Ако D = 0, тогава имаме един корен (или два равни корена) x = -b / (2a).
Ако Д<0, то действительных корней нет.
Пример 1) 2x 2 + 5x-3 = 0.
Решение. а=2; б=5; ° С=-3.
D = b 2 - 4ac= 5 2 -4 ∙ 2 ∙ (-3) = 25 + 24 = 49 = 7 2> 0; 2 истински корена.
4x 2 + 21x + 5 = 0.
Решение. а=4; б=21; ° С=5.
D = b 2 - 4ac= 21 2 - 4 ∙ 4 ∙ 5 = 441-80 = 361 = 19 2> 0; 2 истински корена.
II. ax 2 + bx + c = 0 – частично квадратно уравнение с четна секунда
коефициент б
Пример 3) 3x 2 -10x + 3 = 0.
Решение. а=3; б= -10 (четно число); ° С=3.
Пример 4) 5x 2 -14x-3 = 0.
Решение. а=5; б= -14 (четно число); ° С=-3.
Пример 5) 71x 2 + 144x + 4 = 0.
Решение. а=71; б= 144 (четно число); ° С=4.
Пример 6) 9x 2 -30x + 25 = 0.
Решение. а=9; б= -30 (четно число); ° С=25.
III. ax 2 + bx + c = 0 – квадратно уравнение осигурен частен изглед: a-b + c = 0.
Първият корен винаги е минус едно, а вторият корен винаги е минус Сразделена на а:
x 1 = -1, x 2 = -c / a.
Пример 7) 2x 2 + 9x + 7 = 0.
Решение. а=2; б=9; ° С= 7. Нека проверим равенството: a-b + c = 0.Получаваме: 2-9+7=0 .
Тогава x 1 = -1, x 2 = -c / a = -7 / 2 = -3,5.Отговор: -1; -3,5.
IV. ax 2 + bx + c = 0 – предоставено квадратно уравнение с определена форма : a + b + c = 0.
Първият корен винаги е един, а вторият корен е Сразделена на а:
x 1 = 1, x 2 = c / a.
Пример 8) 2x 2 -9x + 7 = 0.
Решение. а=2; б=-9; ° С= 7. Нека проверим равенството: a + b + c = 0.Получаваме: 2-9+7=0 .
Тогава x 1 = 1, x 2 = c / a = 7/2 = 3,5.Отговор: 1; 3,5.
Страница 1 от 1 1
В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават по същия алгоритъм - затова се наричат най-простите.
За начало нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое е най-простото от тях?
Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само в първа степен.
Най-простото уравнение означава конструкцията:
Всички останали линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:
- Разгънете скоби, ако има такива;
- Преместете термините, съдържащи променлива, от едната страна на знака за равенство, а термините без променлива към другата;
- Доведете подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
- Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $ x $.
Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези манипулации коефициентът при променливата $ x $ се оказва нула. В този случай са възможни два варианта:
- Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $ 0 \ cdot x = 8 $, т.е. има нула отляво и ненулево число отдясно. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини наведнъж, поради които подобна ситуация е възможна.
- Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно - уравнението е сведено до конструкцията $ 0 \ cdot x = 0 $. Съвсем логично е, че независимо какви $ x $ заместим, пак ще се окаже "нула равна на нула", т.е. правилно числово равенство.
Сега нека видим как работи всичко на примера на реални проблеми.
Примери за решаване на уравнения
Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, съдържащо точно една променлива и то стига само до първа степен.
Такива конструкции се решават по приблизително същия начин:
- На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
- След това донесете подобни
- Накрая вземете променливата, т.е. всичко, което е свързано с променлива - термините, в които се съдържа - трябва да се прехвърли в една посока, а всичко, което е останало без нея, трябва да се прехвърли в другата страна.
След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да разделите на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.
На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено грешки се правят или при разширяване на скоби, или при изчисляване на "плюсове" и "минуси".
Освен това се случва едно линейно уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова права, т.е. произволно число. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ние ще започнем, както вече разбрахте, с най-простите задачи.
Схема за решаване на най-простите линейни уравнения
Като начало, нека още веднъж напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:
- Разширете скобите, ако има такива.
- Ние секретираме променливите, т.е. всичко, което съдържа "x", се прехвърля на едната страна, а без "x" - на другата.
- Представяме подобни термини.
- Разделяме всичко на коефициента при "x".
Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има определени тънкости и трикове и сега ще ги опознаем.
Решаване на реални примери за прости линейни уравнения
Проблем номер 1
В първата стъпка от нас се изисква да разширим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме този етап. Във втората стъпка трябва да вземем променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за отделни термини. Нека напишем:
Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено. Следователно преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициент:
\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]
Така че получихме отговора.
Проблем номер 2
В този проблем можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:
И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека продължим по алгоритъма, т.е. ние секретираме променливите:
Ето подобни:
На какви корени се изпълнява. Отговор: за всякакви. Следователно можем да запишем, че $ x $ е произволно число.
Проблем номер 3
Третото линейно уравнение вече е по-интересно:
\ [\ ляво (6-x \ дясно) + \ ляво (12 + x \ дясно) - \ ляво (3-2x \ дясно) = 15 \]
Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто имат различни знаци пред тях. Нека ги отворим:
Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:
\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]
Да преброим:
Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента при "x":
\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]
Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения
Освен твърде прости задачи, бих искал да кажа следното:
- Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
- Дори и да има корени, може да има нула сред тях - няма нищо лошо в това.
Нулата е същото число като останалите, не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.
Друга характеристика е свързана с разширяването на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има "минус" пред тях, тогава го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположно... И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: получаваме това, което видяхме в изчисленията по-горе.
Разбирането на този прост факт ще ви позволи да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато подобни действия се приемат за даденост.
Решаване на сложни линейни уравнения
Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Въпреки това, не бива да се страхувате от това, защото ако според намерението на автора решаваме линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, непременно ще бъдат отменени.
Пример №1
Очевидно първата стъпка е разширяването на скобите. Нека го направим много внимателно:
Сега за поверителност:
\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]
Ето подобни:
Очевидно това уравнение няма решения, така че ще запишем в отговора, както следва:
\ [\ varnothing \]
или без корени.
Пример №2
Следваме същите стъпки. Първа стъпка:
Преместете всичко с променливата наляво и без нея надясно:
Ето подобни:
Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:
\ [\ varnothing \],
или няма корени.
Нюанси на решението
И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние още веднъж се уверихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.
Но бих искал да насоча вниманието ви към друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:
Преди да разкриете, трябва да умножите всичко по "X". Забележка: умножава се всеки отделен термин... Вътре има два члена - съответно два члена и умножено.
И едва след като бъдат извършени тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации, можете да разширите скобите от гледна точка на факта, че след него има знак минус. Да, да: само сега, когато трансформациите са завършени, си спомняме, че пред скобите има знак минус, което означава, че всичко, което слиза надолу, просто сменя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният "минус" също изчезва.
Правим същото с второто уравнение:
Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Защото решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че гимназистите идват при мен и отново се научават да решават такива прости уравнения.
Разбира се, ще дойде ден и ще усъвършенствате тези умения до автоматизма. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще напишете всичко на един ред. Но докато само учите, трябва да напишете всяко действие поотделно.
Решаване на още по-сложни линейни уравнения
Това, което ще решим сега, вече е трудно да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.
Проблем номер 1
\ [\ ляво (7x + 1 \ дясно) \ ляво (3x-1 \ дясно) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]
Нека умножим всички елементи в първата част:
Нека направим усамотението:
Ето подобни:
Извършваме последната стъпка:
\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]
Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване на коефициентите с квадратична функция те взаимно се анихилират, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.
Проблем номер 2
\ [\ ляво (1-4x \ дясно) \ ляво (1-3x \ дясно) = 6x \ ляво (2x-1 \ дясно) \]
Нека направим първата стъпка спретнато: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо трябва да има четири нови термина след трансформациите:
Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:
Нека преместим термините с "x" наляво, а без - надясно:
\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]
Ето подобни термини:
За пореден път получихме окончателния отговор.
Нюанси на решението
Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скобите, в които има повече, отколкото е член, тогава това се прави според следното правило: вземаме първия член от първия и умножете с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по същия начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат получаваме четири термина.
Алгебрична сума
С последния пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7 $ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата имаме предвид следното: към числото "едно" добавяме друго число, а именно "минус седем". По това алгебричната сума се различава от обичайната аритметична.
След като извършвате всички трансформации, всяко събиране и умножение, започвате да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата при работа с полиноми и уравнения.
В заключение, нека разгледаме още няколко примера, които ще бъдат дори по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.
Решаване на уравнения с дроб
За да решим подобни проблеми, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:
- Разширете скоби.
- Отделни променливи.
- Донесете подобни.
- Разделете по фактор.
Уви, този отличен алгоритъм, при цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато сме изправени пред дроби. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.
Как да се работи в този случай? Всичко е много просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. По този начин алгоритъмът ще бъде както следва:
- Отървете се от дроби.
- Разширете скоби.
- Отделни променливи.
- Донесете подобни.
- Разделете по фактор.
Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде в знаменателя е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дробите.
Пример №1
\ [\ frac (\ ляво (2x + 1 \ дясно) \ ляво (2x-3 \ дясно)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]
Нека се отървем от дробите в това уравнение:
\ [\ frac (\ ляво (2x + 1 \ дясно) \ ляво (2x-3 \ дясно) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ надясно) \ cdot 4\]
Обърнете внимание: всичко се умножава по "четири" веднъж, т.е. само защото имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по четири. Нека запишем:
\ [\ ляво (2x + 1 \ дясно) \ ляво (2x-3 \ дясно) = \ ляво (((x) ^ (2)) - 1 \ дясно) \ cdot 4 \]
Сега да отворим:
Правим изолирането на променливата:
Извършваме редукция на подобни термини:
\ [- 4x = -1 \ вляво | : \ ляво (-4 \ дясно) \ дясно. \]
\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]
Получихме окончателното решение, преминаваме към второто уравнение.
Пример №2
\ [\ frac (\ ляво (1-x \ дясно) \ ляво (1 + 5x \ дясно)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]
Тук извършваме всички същите действия:
\ [\ frac (\ ляво (1-x \ дясно) \ ляво (1 + 5x \ дясно) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]
\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]
Проблемът е решен.
Всъщност това е всичко, което исках да кажа днес.
Ключови точки
Основните констатации са както следва:
- Познайте алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
- Възможност за отваряне на скоби.
- Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно те ще се свият в процеса на по-нататъшни трансформации.
- Корените в линейните уравнения, дори най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова права е корен и изобщо няма корени.
Надявам се този урок да ви помогне да овладеете една проста, но много важна тема за по-нататъшното разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете примерите, представени там. Очаквайте ви още много интересни неща!
Нека разгледаме два вида решения на системи от уравнения:
1. Решение на системата по метода на заместване.
2. Решение на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.
За да се реши системата от уравнения метод на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Ние изразяваме. Изразете една променлива от всяко уравнение.
2. Заместител. Заместваме получената стойност с друго уравнение вместо изразената променлива.
3. Решаваме полученото уравнение с една променлива. Намираме решение на системата.
Разрешавам система чрез събиране (изваждане) член по члентрябва да:
1.Изберете променлива, за която ще направим същите коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравнения, накрая получаваме уравнение с една променлива.
3. Решете полученото линейно уравнение. Намираме решение на системата.
Решението на системата са пресечните точки на графиките на функцията.
Нека разгледаме подробно решението на системи с помощта на примери.
Пример № 1:
Нека решим по метода на заместване
Решаване на система от уравнения по метода на заместване2x + 5y = 1 (1 уравнение)
x-10y = 3 (2 уравнение)
1. Ние изразяваме
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, от което се оказва, че най-лесно е да се изрази променливата x от второто уравнение.
x = 3 + 10y
2. След като изразихме, заместваме 3 + 10y в първото уравнение вместо променливата x.
2 (3 + 10y) + 5y = 1
3. Решете полученото уравнение в една променлива.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (разгънете скобите)
6 + 20y + 5y = 1
25y = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2
Решението на системата от уравнения е пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y. Намерете x, в първия параграф, където изразихме там, заместваме y.
x = 3 + 10y
х = 3 + 10 * (- 0,2) = 1
Прието е да пишем точки, на първо място пишем променливата x, а на второто променливата y.
Отговор: (1; -0,2)
Пример № 2:
Нека решим по метода на събиране (изваждане) член по член.
Решаване на система от уравнения по метода на събиране3x-2y = 1 (1 уравнение)
2x-3y = -10 (2 уравнение)
1.Изберете променлива, да речем, изберете x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто 2. Необходимо е да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножим уравненията или да разделим на произволно число. Първото уравнение се умножава по 2, а второто по 3 и получаваме общ коефициент 6.
3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2
2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30
2. Извадете второто от първото уравнение, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y = 2
5y = 32 | :5
y = 6,4
3. Намерете x. Заместете намереното y в някое от уравненията, да речем в първото уравнение.
3x-2y = 1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13,8 |: 3
х = 4,6
Точката на пресичане ще бъде x = 4,6; y = 6,4
Отговор: (4.6; 6.4)
Искате ли да учите за изпити безплатно? Онлайн учител е свободен... Без майтап.
