Преобразуване на изрази с помощта на свойствата на логаритми, примери, решения. Преобразуване на изрази с логаритми, примери, решения Преобразуване на примери за експоненциални и логаритмични изрази

основни свойства.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

същите основания

log6 4 + log6 9.

Сега нека усложним малко задачата.

Примери за решаване на логаритми

Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава степента на тази степен може да бъде извадена от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъмът на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Намерете стойността на израза:

Преход към нова основа

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c такова, че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

Задача. Намерете стойността на израза:

Вижте също:

Основни свойства на логаритъма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Показателят е 2,718281828…. За да запомните степента, можете да изучите правилото: степента е 2,7 и е два пъти по-голяма от годината на раждане на Лев Толстой.

Основни свойства на логаритмите

Познавайки това правило, ще знаете както точната стойност на степента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

Примери за логаритми

Вземете логаритъма на изразите

Пример 1
но). x=10ac^2 (a>0, c>0).

По свойства 3,5 изчисляваме

Пример 2 Намерете x if

Пример 3. Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всяко число, могат да се добавят, изваждат и преобразуват по всякакъв възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят – нито един сериозен логаритмичен проблем не може да бъде решен без тях. Освен това те са много малко – всичко може да се научи за един ден. Така че нека започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Да разгледаме два логаритъма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се добавят и изваждат и:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

И така, сборът от логаритмите е равен на логаритъма на произведението, а разликата е логаритъмът на частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - същите основания. Ако основите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще помогнат за изчисляването на логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сума:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Основите са еднакви, използваме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново, основите са едни и същи, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформации се оказват съвсем нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, контрол - подобни изрази с пълна сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на степента от логаритъма

Лесно е да се види, че последното правило следва първите им две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъмът на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Забележете, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример се нуждае от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя.

Формули на логаритмите. Логаритмите са примери за решения.

Те представиха основата и аргумента на стоящия там логаритъм под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме главната дроб. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дроба - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четирите могат да бъдат прехвърлени в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

На помощ идват формули за преминаване към нова база. Формулираме ги под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c такова, че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но целият израз се „преобръща“, т.е. логаритъмът е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновените числови изрази. Възможно е да се оцени колко удобни са те само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни експоненти. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя от пермутация на фактори, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като се преместим на нова основа:

Основна логаритмична идентичност

Често в процеса на решаване се изисква числото да се представи като логаритъм към дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото това е само стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:

Наистина, какво ще се случи, ако числото b се повиши до такава степен, че числото b в тази степен да даде числото a? Точно така: това е същото число а. Прочетете внимателно този абзац отново - много хора се „окачват“ на него.

Подобно на новите формули за основно преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - просто извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени със същата основа, получаваме:

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две идентичности, които трудно могат да се нарекат свойства – по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се срещат в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за "напреднали" ученици.

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът към всяка основа a от самата основа е равен на единица.
loga 1 = 0 е. Основата а може да бъде всичко, но ако аргументът е единица, логаритъмът е нула! Защото a0 = 1 е пряко следствие от дефиницията.

Това са всички имоти. Не забравяйте да практикувате прилагането им! Изтеглете листа за мами в началото на урока, разпечатайте го и решете проблемите.

Вижте също:

Логаритъмът на числото b спрямо основата a обозначава израза. Да се изчисли логаритъмът означава да се намери такава степен x (), при която равенството е вярно

Основни свойства на логаритъма

Горните свойства трябва да се знаят, тъй като на тяхна основа почти всички задачи и примери се решават въз основа на логаритми. Останалите екзотични свойства могат да бъдат получени чрез математически манипулации с тези формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При изчисляване формулите за сбора и разликата на логаритмите (3.4) се срещат доста често. Останалите са малко сложни, но в редица задачи са незаменими за опростяване на сложни изрази и изчисляване на техните стойности.

Често срещани случаи на логаритми

Някои от често срещаните логаритми са тези, в които основата е дори десет, експоненциална или двойка.
Основният десет логаритъм обикновено се нарича логаритъм на основата десет и се означава просто lg(x).

От записа се вижда, че основите не са записани в протокола. Например

Естественият логаритъм е логаритъмът, чиято основа е експонентата (означава се ln(x)).

Показателят е 2,718281828…. За да запомните степента, можете да изучите правилото: степента е 2,7 и е два пъти по-голяма от годината на раждане на Лев Толстой. Познавайки това правило, ще знаете както точната стойност на степента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

И друг важен логаритъм на база две е

Производната на логаритъма на функцията е равна на единица, разделена на променливата

Интегралният или антипроизводният логаритъм се определя от зависимостта

Горният материал е достатъчен, за да решите широк клас задачи, свързани с логаритми и логаритми. За усвояване на материала ще дам само няколко често срещани примера от училищната програма и университетите.

Примери за логаритми

Вземете логаритъма на изразите

Пример 1
но). x=10ac^2 (a>0, c>0).

По свойства 3,5 изчисляваме

2.
По свойството на разликата на логаритмите имаме

3.
Използвайки свойства 3.5 намираме

Привидно сложен израз, използващ серия от правила, се опростява до формата

Намиране на логаритмни стойности

Пример 2 Намерете x if

Решение. За изчислението прилагаме свойства 5 и 13 до последния член

Замени в записа и скърби

Тъй като основите са равни, ние приравняваме изразите

Логаритми. Първо ниво.

Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Решение: Вземете логаритъма на променливата, за да напишете логаритъма чрез сбора от членовете

Това е само началото на запознаването с логаритмите и техните свойства. Практикувайте изчисления, обогатете практическите си умения – скоро ще имате нужда от придобитите знания за решаване на логаритмични уравнения. След като проучихме основните методи за решаване на такива уравнения, ще разширим знанията ви за друга също толкова важна тема - логаритмичните неравенства ...

Основни свойства на логаритмите

Събиране и изваждане на логаритми

Да разгледаме два логаритъма с една и съща основа: logax и logay. След това те могат да се добавят и изваждат и:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сума:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Основите са еднакви, използваме формулата за разлика:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново, основите са едни и същи, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Премахване на степента от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава степента на тази степен може да бъде извадена от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Забележете, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример се нуждае от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на стоящия там логаритъм под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Преход към нова основа

На помощ идват формули за преминаване към нова база. Формулираме ги под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c такова, че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако поставим c = x, получаваме:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Сега нека обърнем втория логаритъм:

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като се преместим на нова основа:

Основна логаритмична идентичност

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се така:

Задача. Намерете стойността на израза:

Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът към всяка основа a от самата основа е равен на единица.
loga 1 = 0 е. Основата а може да бъде всичко, но ако аргументът е единица, логаритъмът е нула! Защото a0 = 1 е пряко следствие от дефиницията.

Приемлив диапазон (ODZ) на логаритъма

Сега нека поговорим за ограниченията (ODZ - областта на допустимите стойности на променливите).

Спомняме си, че например квадратният корен не може да се вземе от отрицателни числа; или ако имаме дроб, тогава знаменателят не може да бъде равен на нула. Има подобни ограничения за логаритмите:

Тоест и аргументът, и основата трябва да са по-големи от нула, а основата не може да бъде равна.

Защо така?

Нека започнем просто: да кажем това. Тогава, например, числото не съществува, тъй като независимо каква степен вдигаме, винаги се оказва. Освен това не съществува за никого. Но в същото време той може да бъде равен на всичко (по същата причина - равен на всяка степен). Следователно обектът не представлява интерес и просто е изхвърлен от математиката.

Подобен проблем имаме и в случая: в каквато и да е положителна степен - това, но изобщо не може да се издигне на отрицателна степен, тъй като ще се получи разделение на нула (напомням ви това).

Когато сме изправени пред проблема за повишаване на дробна степен (който е представен като корен:. Например, (тоест), но не съществува.

Следователно негативните причини са по-лесни за изхвърляне, отколкото да се забъркваш с тях.

Е, тъй като основата а е само положителна за нас, то без значение в каква степен я повишим, винаги ще получим строго положително число. Така че аргументът трябва да е положителен. Например, то не съществува, тъй като няма да бъде отрицателно число в каквато и да е степен (и дори нула, следователно и то не съществува).

При задачи с логаритми първата стъпка е да запишете ODZ. ще дам пример:

Нека решим уравнението.

Припомнете си определението: логаритъмът е степента, до която трябва да се повдигне основата, за да се получи аргумент. И според условието тази степен е равна на: .

Получаваме обичайното квадратно уравнение: . Решаваме го с помощта на теоремата на Виета: сумата от корените е равна, а произведението. Лесни за вземане, това са числа и.

Но ако веднага вземете и запишете и двете числа в отговора, можете да получите 0 точки за задачата. Защо? Нека помислим какво се случва, ако поставим тези корени в първоначалното уравнение?

Това е очевидно невярно, тъй като основата не може да бъде отрицателна, тоест коренът е „от трета страна“.

За да избегнете подобни неприятни трикове, трябва да запишете ODZ дори преди да започнете да решавате уравнението:

След това, след като получихме корените и, веднага изхвърляме корена и пишем правилния отговор.

Пример 1(опитайте се да го решите сами) :

Намерете корена на уравнението. Ако има няколко корена, посочете по-малкия в отговора си.

Решение:

Първо, нека напишем ODZ:

Сега си спомняме какво е логаритъм: до каква степен трябва да повишите основата, за да получите аргумент? Във втория. т.е.:

Изглежда, че по-малкият корен е равен. Но това не е така: според ODZ коренът е на трета страна, тоест изобщо не е коренът на това уравнение. Следователно уравнението има само един корен: .

Отговор: .

Основна логаритмична идентичност

Припомнете си дефиницията на логаритъм в общи линии:

Заместете във второто равенство вместо логаритъма:

Това равенство се нарича основна логаритмична идентичност. Въпреки че по същество това равенство е просто написано по различен начин определение на логаритъма:

Това е силата, до която трябва да повишите, за да стигнете.

Например:

Решете следните примери:

Пример 2

Намерете стойността на израза.

Решение:

Припомнете си правилото от раздела:, тоест при повишаване на степен на степен показателите се умножават. Нека го приложим:

Пример 3

Докажи това.

Решение:

Свойства на логаритмите

За съжаление задачите не винаги са толкова прости - често първо трябва да опростите израза, да го приведете в обичайната форма и едва след това ще бъде възможно да се изчисли стойността. Най-лесно е да направите това, знаейки свойства на логаритмите. Така че нека научим основните свойства на логаритмите. Ще докажа всеки един от тях, защото всяко правило се запомня по-лесно, ако знаете откъде идва.

Всички тези свойства трябва да се запомнят; без тях повечето проблеми с логаритмите не могат да бъдат решени.

И сега за всички свойства на логаритмите по-подробно.

Свойство 1:

доказателство:

Нека тогава.

Имаме: , h.t.d.

Свойство 2: Сума от логаритми

Сборът от логаритми със същата основа е равен на логаритъма на произведението: .

доказателство:

Нека тогава. Нека тогава.

пример:Намерете стойността на израза: .

Решение: .

Формулата, която току-що научихте, помага да се опрости сумата от логаритмите, а не разликата, така че тези логаритми не могат да бъдат комбинирани веднага. Но можете да направите обратното - "разбиете" първия логаритъм на две: И ето обещаното опростяване:
.
Защо е необходимо това? Е, например: какво значение има?

Сега е очевидно, че.

Сега улесни го за себе си:

задачи:

Отговори:

Свойство 3: Разлика на логаритмите:

доказателство:

Всичко е точно както в параграф 2:

Нека тогава.

Нека тогава. Ние имаме:

Примерът от последната точка вече е още по-прост:

По-сложен пример: . Познайте сами как да решите?

Тук трябва да се отбележи, че нямаме нито една формула за логаритмите на квадрат. Това е нещо подобно на израз - това не може да бъде опростено веднага.

Затова нека се отклоним от формулите за логаритмите и да помислим какви формули използваме най-често в математиката? Още от 7 клас!

Това - . Трябва да свикнеш с факта, че те са навсякъде! И в експоненциални, и в тригонометрични, и в ирационални задачи, те се намират. Следователно те трябва да бъдат запомнени.

Ако се вгледате внимателно в първите два термина, става ясно, че това е така разлика на квадратите:

Отговорете за проверка:

Опростете се.

Примери

Отговори.

Свойство 4: Извличане на експонента от аргумента на логаритъма:

доказателство:И тук използваме и определението на логаритъма: нека, тогава. Имаме: , h.t.d.

Можете да разберете това правило по следния начин:

Тоест степента на аргумента се взема напред от логаритъма като коефициент.

пример:Намерете стойността на израза.

Решение: .

Решете сами:

Примери:

Отговори:

Свойство 5: Извличане на степента от основата на логаритъма:

доказателство:Нека тогава.

Имаме: , h.t.d.
Запомнете: от основаниястепен се представя като обратенномер, за разлика от предишния случай!

Свойство 6: Извличане на степента от основата и аргумента на логаритъма:

Или ако градусите са еднакви: .

Свойство 7: Преход към нова база:

доказателство:Нека тогава.

Имаме: , h.t.d.

Свойство 8: Размяна на основата и аргумента на логаритъма:

доказателство:Това е специален случай на формула 7: ако заменим, получаваме: , p.t.d.

Нека разгледаме още няколко примера.

Пример 4

Намерете стойността на израза.

Използваме свойството на логаритми No2 - сборът от логаритми със същата основа е равен на логаритъма на произведението:

Пример 5

Намерете стойността на израза.

Решение:

Използваме свойството на логаритми № 3 и № 4:

Пример 6

Намерете стойността на израза.

Решение:

Използвайки имот номер 7 - отидете на база 2:

Пример 7

Намерете стойността на израза.

Решение:

Как ви харесва статията?

Ако четете тези редове, значи сте прочели цялата статия.

И е готино!

А сега ни кажете как ви харесва статията?

Научихте ли се да решавате логаритми? Ако не, какъв е проблемът?

Пишете ни в коментарите по-долу.

И да, успех с изпитите.

На Единния държавен изпит и ОГЕ и изобщо в живота

Задача B7 дава израз, който трябва да бъде опростен. Резултатът трябва да бъде редовно число, което може да бъде написано в листа за отговори. Всички изрази са условно разделени на три типа:

логаритмичен,
демонстрация,
Комбиниран.

Експоненциални и логаритмични изрази в техния чист вид почти никога не се срещат. Важно е обаче да знаете как се изчисляват.

Като цяло проблем B7 се решава доста просто и е по силите на обикновения завършил. Липсата на ясни алгоритми се компенсира от нейния стандарт и еднородност. Можете да научите как да решавате такива проблеми просто чрез много обучение.

Логаритмични изрази

По-голямата част от проблемите B7 съдържат логаритми под една или друга форма. Тази тема традиционно се счита за трудна, тъй като обикновено се изучава в 11-ти клас - ерата на масовата подготовка за финални изпити. В резултат на това много завършили имат много смътна представа за логаритмите.

Но в тази задача никой не изисква дълбоки теоретични познания. Ще срещнем само най-простите изрази, които изискват ясни разсъждения и могат да бъдат овладени самостоятелно. По-долу са основните формули, които трябва да знаете, за да се справите с логаритмите:

Освен това човек трябва да може да заменя корените и дробите със степени с рационален показател, в противен случай в някои изрази просто няма да има какво да се извади под знака на логаритъма. Формули за заместване:

Задача. Намерете стойности на израза:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Първите два израза се преобразуват като разлика на логаритмите:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

За да изчислите третия израз, ще трябва да изберете градуси - както в основата, така и в аргумента. Първо, нека намерим вътрешния логаритъм:

След това - външно:

Конструкции като log a log b x изглеждат сложни и неразбрани за мнозина. Междувременно това е само логаритъмът на логаритъма, т.е. log a (log b x ). Първо се изчислява вътрешният логаритъм (поставя се log b x = c ), а след това външният: log a c .

експоненциални изрази

Експоненциален израз ще наричаме всяка конструкция от вида a k , където числата a и k са произволни константи, а a > 0. Методите за работа с такива изрази са доста прости и се разглеждат в уроците по алгебра в 8. клас.

По-долу са основните формули, които трябва да знаете. Прилагането на тези формули на практика, като правило, не създава проблеми.

a n a m = a n + m ;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n m ;
(a b) n = a n b n ;
(a : b ) n = a n : b n .

Ако се срещне сложен израз със сили и не е ясно как да се подходи към него, се използва универсален похват - разлагане на прости фактори. В резултат на това големите числа в основите на градусите се заменят с прости и разбираеми елементи. След това остава само да приложите горните формули - и проблемът ще бъде решен.

Задача. Намерете стойности на израза: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Решение. Ние разлагаме всички бази на степените на прости фактори:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Комбинирани задачи

Ако знаете формулите, тогава всички експоненциални и логаритмични изрази се решават буквално на един ред. Въпреки това, в задача B7, степените и логаритмите могат да се комбинират, за да образуват доста силни комбинации.

Сега ще разгледаме трансформацията на изрази, съдържащи логаритми от обща гледна точка. Тук ще анализираме не само трансформацията на изрази, използвайки свойствата на логаритмите, но ще разгледаме трансформацията на изрази с общи логаритми, които съдържат не само логаритми, но и степени, дроби, корени и т.н. Както обикновено, ще предоставим целия материал с характерни примери с подробно описание на решенията.

Навигация в страницата.

Изрази с логаритми и логаритмични изрази

Извършване на действия с дроби

В предишния параграф анализирахме основните трансформации, които се извършват с отделни дроби, съдържащи логаритми. Тези трансформации, разбира се, могат да бъдат извършени с всяка отделна фракция, която е част от по-сложен израз, например, представляващ сумата, разликата, произведението и частното от подобни фракции. Но в допълнение към работата с отделни дроби, трансформацията на изрази от този вид често включва извършване на подходящи действия с дроби. След това ще разгледаме правилата, по които се извършват тези действия.

От 5-6 клас знаем правилата, по които . В статията общ изглед на операциите с дробиние разширихме тези правила от обикновени дроби до дроби от общата форма A/B , където A и B са някои числови, литерални или изрази с променливи, а B е идентично различно от нула. Ясно е, че дробите с логаритми са частни случаи на общи дроби. И в тази връзка е ясно, че действията с дроби, които съдържат логаритми в своите записи, се извършват по същите правила. а именно:

За да добавите или извадете две дроби с еднакви знаменатели, добавете или извадете числителите съответно и оставете знаменателят същият.
За да добавите или извадите две дроби с различни знаменатели, трябва да ги доведете до общ знаменател и да извършите съответните действия според предишното правило.
За да умножите две дроби, трябва да напишете дроб, чийто числител е произведение на числителите на първоначалните дроби, а знаменателят е продукт на знаменателите.
За да разделите дроб на дроб, е необходимо да умножите делимата дроб по обратното число на делителя, тоест по дроба с пренаредени числител и знаменател.

Ето няколко примера за извършване на операции с дроби, съдържащи логаритми.

Пример.

Извършете действия с дроби, съдържащи логаритми: a), b) , в) , G) .

Решение.

а) Знаменателите на добавените дроби очевидно са еднакви. Следователно, според правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели, събираме числителите и оставяме знаменателя същия: .

б) Тук знаменателите са различни. Следователно, първо трябва доведете дробите до един и същ знаменател. В нашия случай знаменателите вече са представени като произведения и остава да вземем знаменателя на първата дроб и да добавим към него липсващите множители от знаменателя на втората дроб. Така получаваме общ знаменател на формата . В този случай извадените дроби се редуцират до общ знаменател с помощта на допълнителни фактори под формата на логаритъм и съответно израза x 2 ·(x+1). След това остава да се извадят дроби със същите знаменатели, което не е трудно.

Така че решението е:

в) Известно е, че резултатът от умножаването на дроби е дроб, чийто числител е произведение на числителите, а знаменателят е продукт на знаменателите, следователно

Лесно е да се види, че е възможно намаляване на фракциятапо две и по десетичния логаритъм, в резултат имаме .

г) Преминаваме от деление на дроби към умножение, като заменяме делителя на дроба с неговото реципрочно число. Така

Числителят на получената дроб може да бъде представен като , от който ясно се вижда общият фактор на числителя и знаменателя - факторът x, можете да намалите дроба с него:

Отговор:

а), б) , в) , G) .

Трябва да се помни, че действията с дроби се извършват, като се вземе предвид реда, в който се извършват действията: първо умножение и деление, след това събиране и изваждане и ако има скоби, тогава първо се извършват действията в скоби.

Пример.

Правете действия с дроби .

Решение.

Първо извършваме добавянето на дроби в скоби, след което ще извършим умножението:

Отговор:

На този етап остава да кажем на глас три доста очевидни, но в същото време важни точки:

Преобразуване на изрази с помощта на свойствата на логаритмите

Най-често преобразуването на изрази с логаритми включва използването на идентичности, изразяващи определението на логаритъма и . Например, позовавайки се на основната логаритмична идентичност a log ab =b, a>0, a≠1, b>0, можем да представим израза x−5 log 5 7 като x−7 и формулата за прехода към новата основа на дневника , където a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 прави възможно преминаването от израза към разликата 1−lnx .

Прилагане на свойства на корени, степени, тригонометрични идентичности и др.

Изразите с логаритми, освен самите логаритми, почти винаги съдържат степени, корени, тригонометрични функции и т.н. Ясно е, че за да се трансформират такива изрази, наред със свойствата на логаритмите, може да са необходими свойствата на степени, корени и т.н. Отделно анализирахме приложението на всеки блок от свойства за трансформиране на изрази, връзки към съответните статии можете да намерите в раздела на сайта www.site изрази и тяхната трансформация. Тук ще покажем решението на няколко примера за използването на свойства във връзка с логаритми.

Пример.

Опростете израза .

Решение.

Първо, нека трансформираме изрази с корени. Върху променливата ODZ x за оригиналния израз (който в нашия случай е набор от положителни реални числа) можете да преминете от корените към степени с дробни експоненти и след това да използвате свойството на умножаване на степени със същите основи: . По този начин,

Сега представяме числителя във формата (което ни позволява да направим свойството степен в степен, ако е необходимо, вижте трансформацията на изрази, използвайки свойствата на градуси, както и представянето на число, което ви позволява да замените сумата от квадратите на синуса и косинус на същия аргумент с 1. Така че получаваме единицата под знака на логаритъма. A, Както знаете, логаритъмът на единицата е равен на нула.

Нека напишем извършените трансформации:

Нулата в куба е нула, така че преминаваме към израза .

Дроб, чийто числител е нула и чийто знаменател е различен от нула (в нашия случай това е вярно, защото е лесно да се обоснове, че стойността на израза под знака на естествения логаритъм е различна от единица) е равна на нула . По този начин,

По-нататъшни трансформации се извършват въз основа на определяне на корена на нечетна степен от отрицателно число: .

Тъй като 2 15 е положително число, тогава можем да приложим свойствата на корените, които водят до крайния резултат: .

Отговор: