Лимитна теория- един от разделите на математическия анализ, който един може да овладее, други едва ли изчисляват границите. Въпросът за намирането на границите е доста общ, тъй като има десетки техники. граници на решенияот различни видове. Същите граници могат да бъдат намерени както според правилото на L'Hôpital, така и без него. Случва се график в серия от безкрайно малки функции ви позволява бързо да получите желания резултат. Има редица трикове и трикове, които ви позволяват да намерите границата на функция с всякаква сложност. В тази статия ще се опитаме да разберем основните видове ограничения, които най-често се срещат на практика. Тук няма да даваме теорията и дефиницията на лимита, в интернет има много ресурси, където това се дъвче. Ето защо, нека да преминем към практически изчисления, тук е "Не знам! Не знам как! Не ни учат!"

Изчислителни граници с помощта на заместване

Пример 1. Намерете границата на функция
Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x = 3).
Решение: Примери от този вид теоретично се изчисляват чрез обичайното заместване

Лимитът е 18/11.
В такива граници няма нищо сложно и мъдро - те заместиха стойността, изчислиха, написаха лимита в отговор. Въпреки това, въз основа на такива ограничения, всеки е научен, че първото нещо, което трябва да се направи, е да се замени стойност във функция. Освен това границите са сложни, въвеждат концепцията за безкрайност, несигурност и други подобни.

Разделете границата с неопределеност от типа безкрайност на безкрайност. Техники за разкриване на несигурност

Пример 2. Намерете границата на функция
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x = безкрайност).
Решение: Задава се граница на формата на полином, разделена на полином и променливата клони към безкрайност

Проста замяна на стойността, за която трябва да се намери променливата, за да се намерят границите, няма да помогне, получаваме несигурност на формата безкрайност, разделена на безкрайност.
Теория на границата на изпотяването Алгоритъмът за изчисляване на границата е да се намери най-голямата степен на "x" в числителя или знаменателя. Освен това числителят и знаменателят се опростяват от него и се намира границата на функцията

Тъй като стойността клони към нула с променлива до безкрайност, те се пренебрегват или се записват в крайния израз под формата на нули

Веднага от практиката можете да получите две заключения, които са намек в изчисленията. Ако променливата клони към безкрайност и степента на числителя е по-голяма от степента на знаменателя, тогава границата е равна на безкрайност. В противен случай, ако полиномът в знаменателя е от по-висок порядък, отколкото в числителя, границата е нула.
Границата може да се запише с формули, както следва

Ако имаме функция от формата на обикновен дневник без дроби, тогава границата му е равна на безкрайност

Следващият тип ограничение се отнася до поведението на функциите близо до нулата.

Пример 3. Намерете границата на функция
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x = 0).
Решение: Тук не е необходимо да се изважда най-високият коефициент на полинома. Точно обратното, необходимо е да се намери най-малката степен на числителя и знаменателя и да се изчисли границата

X стойност ^ 2; x клонят към нула, когато променливата клони към нула Следователно, те се пренебрегват, така че получаваме

че ограничението е 2,5.

Сега знаеш как да намерим границата на функцияот вида полином, разделен на полином, ако променливата клони към безкрайност или 0. Но това е само малка и лесна част от примерите. От следващия материал ще научите как да се разкрият несигурността на границите на функция.

Граница с неопределеност от тип 0/0 и методи за нейното изчисляване

Веднага всички си спомнят правилото, според което е невъзможно да се дели на нула. Въпреки това, теорията на границите в този контекст означава безкрайно малки функции.
Нека разгледаме няколко примера за по-голяма яснота.

Пример 4. Намерете границата на функция
Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x = -1).
Решение: При заместване на стойността на променливата x = -1 в знаменателя получаваме нула, същото получаваме и в числителя. Така че имаме несигурност от вида 0/0.
Справянето с такава несигурност е просто: трябва да разложите полинома на множители или по-скоро да изберете фактора, който превръща функцията в нула.

След разлагане границата на функцията може да се запише като

Това е цялата техника за изчисляване на границата на функция. Правим същото, ако има ограничение на формата на полином, разделен на полином.

Пример 5. Намерете границата на функция
Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x = 2).
Решение: Показва се замяната напред
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
това, което имаме тип несигурност 0/0.
Разделяме полиномите на фактор, който въвежда сингулярността


Има учители, които учат, че полиноми от 2-ри порядък, тоест от формата "квадратни уравнения" трябва да се решават чрез дискриминанта. Но реалната практика показва, че е по-дълго и по-объркващо, така че се отървете от функциите в рамките на посочения алгоритъм. По този начин записваме функцията под формата на прости множители и изброяваме в границата

Както можете да видите, няма нищо трудно в изчисляването на такива граници. В момента на изучаване на границите знаете как да разделяте полиноми, поне според програмата, която вече трябва да сте преминали.
Сред задачите за тип несигурност 0/0има такива, в които трябва да приложите съкратените формули за умножение. Но ако не ги знаете, тогава чрез разделяне на полином на моном можете да получите желаната формула.

Пример 6. Намерете границата на функция
Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x = 3).
Решение: Имаме несигурност от тип 0/0. В числителя прилагаме формулата за съкратено умножение

и изчислете необходимата граница

Методът за разкриване на несигурността чрез умножение по конюгата

Методът се прилага към границите, в които неопределеността генерира ирационални функции. Числителят или знаменателят става нула в точката на изчисление и не се знае как да се намери границата.

Пример 7. Намерете границата на функция
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x = 2).
Решение:Представяме променливата в граничната формула

Заместването дава несигурност от тип 0/0.
Според теорията на границите, схемата за заобикаляне на тази характеристика е да се умножи ирационалният израз по конюгата. За да не се промени изразът, знаменателят трябва да бъде разделен на същата стойност.

По правилото за разликата на квадратите опростяваме числителя и изчисляваме границата на функцията

Ние опростяваме термините, които създават сингулярност в предела и извършваме заместването

Пример 8. Намерете границата на функция
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x = 3).
Решение: Замяната напред показва, че границата има характеристика от формата 0/0.

За да разширим, умножаваме и разделяме на спрегнатото към числителя

Записване на разликата на квадратите

Опростяваме термините, които въвеждат сингулярността и намираме границата на функцията

Пример 9. Намерете границата на функция
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x = 2).
Решение: Заместете 2 във формулата

Получаваме несигурност 0/0.
Знаменателят трябва да се умножи по спрегнатия израз, а квадратното уравнение трябва да бъде решено в числителя или разложено на множители, като се вземе предвид сингулярността. Тъй като е известно, че 2 е корен, намираме втория корен по теоремата на Виета

По този начин записваме числителя във формата

и заместване в лимита

Чрез намаляване на разликата в квадратите се отърваваме от сингулярностите в числителя и знаменателя

По този начин можете да се отървете от сингулярността в много примери и приложението трябва да бъде забелязано навсякъде, където дадената коренна разлика се превърне в нула при заместване. Други видове ограничения се отнасят до експоненциални функции, безкрайно малки функции, логаритми, специални граници и други техники. Но можете да прочетете за това в изброените по-долу статии относно ограниченията.

Постоянен номер аНаречен лимит последователности(x n), ако за произволно малко положително числоε > 0 има число N, което всички стойности x nза които n> N удовлетворяват неравенството

| x n - a |< ε. (6.1)

Пишат го по следния начин: или x n →а.

Неравенството (6.1) е еквивалентно на двойното неравенство

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

което означава, че точките x n, започвайки от някакво число n> N, лежат вътре в интервала (a-ε, a + ε ), т.е. попадат във всяка малкаε - кварталът на точката а.

Последователност, която има ограничение, се нарича сближаващи се, в противен случай - разминаващи се.

Концепцията за граница на функция е обобщение на концепцията за граница на последователност, тъй като границата на последователност може да се разглежда като граница на функция x n = f (n) на целочислен аргумент н.

Нека е дадена функция f (x) и нека а - гранична точкаобластта на тази функция D (f), т.е. точка, всяка околност на която съдържа точки от множеството D (f), различни от а... точка аможе или не може да принадлежи на множеството D (f).

Определение 1.Постоянното число А се нарича лимит функциие (х) в x →a if за всяка последователност (x n) от стойности на аргумента, клонящи към а, съответните последователности (f (x n)) имат една и съща граница A.

Това определение се нарича дефиницията на границата на функция според Хайне,или " на езика на последователностите”.

Определение 2... Постоянното число А се нарича лимит функциие (х) в x →a if, като зададе произволно произволно малко положително число ε, може да се намери такъв δ> 0 (в зависимост от ε), което за всички хлежи вε- квартали на числото а, т.е. за худовлетворяване на неравенството
0 < х-а< ε , стойностите на функцията f (x) ще лежат вε-околност на числото A, т.е.| f (x) -A |< ε.

Това определение се нарича дефиницията на границата на Коши на функция,или “В езика ε - δ “.

Определения 1 и 2 са еквивалентни. Ако функцията f (x) като x →а има лимитравно на A, това се записва като

. (6.3)

В случай, че последователността (f (x n)) се увеличава (или намалява) за неопределено време за който и да е метод на апроксимация хдо твоя лимит а, тогава казваме, че функцията f (x) има безкрайна граница,и го напишете във формата:

Извиква се променлива (т.е. последователност или функция), чиято граница е нула безкрайно малка стойност.

Извиква се променлива, чиято граница е равна на безкрайност безкрайно голям.

За да намерите границата на практика, използвайте следните теореми.

Теорема 1 ... Ако има всички граници

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Коментирайте... Изрази като 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - са несигурни, например съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи количества и намирането на граница от този вид се нарича "разкриване на несигурностите".

Теорема 2. (6.7)

тези. можете да отидете до границата въз основа на степента с постоянен експонент, по-специално, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

където д » 2.7 е основата на естествения логаритъм. Формулите (6.10) и (6.11) се наричат ​​първи чудесен лимити втората забележителна граница.

Последствията от формула (6.11) също се използват на практика:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

по-специално границата

Ако x → a и в същото време x> a, тогава те пишат x→ a + 0. Ако по-специално a = 0, тогава вместо символа 0 + 0 напишете +0. По същия начин, ако x →а и освен това х а-0. Числа и се наричат ​​съответно граница вдяснои оставен лимит функциие (х) в точката а... За да съществува границата на функцията f (x) като x →а е необходимо и достатъчно за ... Извиква се функцията f (x). непрекъснато в точката x 0, ако е ограничение

. (6.15)

Условие (6.15) може да бъде пренаписано като:

,

т. е. преминаването до границата под знака на функцията е възможно, ако тя е непрекъсната в дадена точка.

Ако равенството (6.15) е нарушено, тогава се казва, че вх = х о функцияе (х) То има прекъсване.Да разгледаме функцията y = 1 / x. Домейнът на тази функция е множеството Р, с изключение на x = 0. Точката x = 0 е граничната точка на множеството D (f), тъй като в която и да е от неговата околност, т.е. всеки отворен интервал, съдържащ точка 0, съдържа точки от D (f), но самият той не принадлежи на това множество. Стойността f (x o) = f (0) е недефинирана, така че функцията има прекъсване в точката x o = 0.

Извиква се функцията f (x). непрекъснато вдясно в точката x o, ако границата

,

и оставен непрекъснато в точката x o, ако границата

Непрекъснатост на функция в точка х ое еквивалентна на неговата непрекъснатост в тази точка както отдясно, така и отляво.

За да бъде функцията непрекъсната в точката х о, например вдясно е необходимо, първо, да има краен предел, и второ, тази граница да е равна на f (x o). Следователно, ако поне едно от тези две условия не е изпълнено, тогава функцията ще има прекъсване.

1. Ако границата съществува и не е равна на f (x o), тогава те казват това функцияе (х) в точката x o има прекъсване от първи вид,или скок.

2. Ако границата е+ ∞ или -∞ или не съществува, тогава казват, че в точках о функцията има пропуск втори вид.

Например, функцията y = ctg x за x→ +0 има граница, равна на + ∞, следователно в точката x = 0 има прекъсване от втори вид. Функция y = E (x) (цяла част от х) в точки с цели абциси има прекъсвания от първи вид или скокове.

Извиква се функция, която е непрекъсната във всяка точка от интервала непрекъснато v . Непрекъсната функция е показана като плътна крива.

Много проблеми, свързани с непрекъснатия растеж на всяко количество, водят до втората забележителна граница. Такива задачи например включват: нарастване на приноса според закона за сложната лихва, нарастване на населението на страната, разпадане на радиоактивни вещества, размножаване на бактерии и др.

Обмисли пример на Я. И. Перелмандава интерпретация на числото дв проблема със сложната лихва. номер дима лимит ... В спестовните банки лихвените пари се добавят към основния капитал ежегодно. Ако връзката се прави по-често, тогава капиталът расте по-бързо, тъй като голяма сума участва във формирането на лихва. Нека вземем чисто теоретичен, силно опростен пример. Нека банката сложи 100 ден. единици в размер на 100% годишно. Ако парите за лихви ще бъдат добавени към основния капитал едва след една година, то до тази дата 100 ден. единици ще се превърне в 200 парични единици. Сега да видим какво ще се превърне в 100 ден. единици, ако парите за лихви се добавят към основния капитал на всеки шест месеца. След половин година 100 ден. единици ще нарасне до 100× 1,5 = 150, а шест месеца по-късно - 150× 1,5 = 225 (парични единици). Ако свързването се извършва на 1/3 от годината, то след година 100 ден. единици се превръщат в 100× (1 +1/3) 3 " 237 (парични единици). Ще ускорим сроковете за присъединяване на лихвоносните пари до 0,1 години, до 0,01 години, до 0,001 години и т.н. След това от 100 ден. единици след една година ще се окаже:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (парични единици),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (парични единици),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (парични единици).

При неограничено намаляване на условията за запор на лихви, натрупаният капитал не нараства безкрайно, а се доближава до определен лимит, равен на приблизително 271. Капиталът, разпределен на 100% годишно, не може да се увеличи с повече от 2,71 пъти, дори ако натрупаният лихвите се добавяха към капитала всяка секунда, тъй като лимита

Пример 3.1.Използвайки дефиницията на границата на числова последователност, докажете, че последователността x n = (n-1) / n има граница, равна на 1.

Решение.Трябва да докажем, че каквото и да еε Не сме взели > 0, за него има естествено число N такова, че за всички n N важи следното неравенство:| x n -1 |< ε.

Вземете произволно e> 0. Тъй като; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, тогава за намиране на N е достатъчно да решим неравенството 1 / n< д. Следователно n> 1 / e и следователно N може да се приеме като цяло число от 1 / e, N = E (1 / e ). Така доказахме, че границата.

Пример 3.2 ... Намерете границата на последователност, дадена от общ термин .

Решение.Прилагаме теоремата за предела на сумата и намираме границата на всеки член. За n→ ∞ числителят и знаменателят на всеки член клонят към безкрайност и не можем директно да приложим теоремата за пределната частна. Затова първо трансформираме x nкато разделите числителя и знаменателя на първия член на n 2, а вторият на н... След това, прилагайки границата на коефициентната теорема и границата на сумата, намираме:

.

Пример 3.3. ... Намирам .

Решение. .

Тук сме използвали теоремата за границата на степента: границата на степента е равна на степента на основната граница.

Пример 3.4 ... Намирам ( ).

Решение.Невъзможно е да се приложи теоремата за граничната разлика, тъй като имаме неопределеност на формата ∞-∞ ... Преобразуваме формулата за общия член:

.

Пример 3.5 ... Дадена е функция f (x) = 2 1 / x. Докажете, че няма ограничение.

Решение.Нека използваме дефиницията 1 на границата на функция в термините на последователност. Вземете последователност (x n), сходяща до 0, т.е. Нека покажем, че стойността f (x n) = се държи различно за различните последователности. Нека x n = 1 / n. Очевидно, тогава границата Нека сега да изберем като x nпоследователност с общ член x n = -1 / n, също стремяща се към нула. Следователно няма ограничение.

Пример 3.6 ... Докажете, че няма ограничение.

Решение.Нека x 1, x 2, ..., x n, ... е последователност, за която
... Как се държи последователността (f (x n)) = (sin x n) за различни x n → ∞

Ако x n = p n, тогава sin x n = sin p n = 0 за всички ни границата If
x n = 2 p n + p / 2, тогава sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 за всички на оттам и границата. Значи не съществува.

Джаджа за изчисляване на лимити онлайн

В горния прозорец вместо sin (x) / x въведете функцията, чиято граница искате да намерите. В долния прозорец въведете числото, към което клони x и натиснете бутона Изчисляване, получете желаното ограничение. И ако щракнете върху Покажи стъпки в горния десен ъгъл на прозореца с резултати, ще получите подробно решение.

Правила за въвеждане на функция: sqrt (x) - квадратен корен, cbrt (x) - корен кубичен, exp (x) - степен, ln (x) - естествен логаритъм, sin (x) - синус, cos (x) - косинус, tan (x) - тангенс, cot (x) - котангенс, arcsin (x) - арксинус, arccos (x) - обратен косинус, arctan (x) - арктангенс. Признаци: * умножение, / деление, ^ степенуване, вместо безкрайностБезкрайност. Пример: функцията се въвежда така sqrt (tan (x / 2)).

Ограниченията създават много проблеми на всички ученици по математика. За да разрешите ограничението, понякога трябва да използвате много трикове и да изберете от различни методи за решаване точно този, който е подходящ за конкретен пример.

В тази статия няма да ви помогнем да разберете границите на вашите възможности или да разберете границите на контрола, но ще се опитаме да отговорим на въпроса: как да разберете границите във висшата математика? Разбирането идва с опита, така че в същото време ще дадем няколко подробни примера за решаване на границите с обяснения.

Гранично понятие в математиката

Първият въпрос: каква е тази граница и каква е границата? Можем да говорим за границите на числовите поредици и функции. Интересува ни концепцията за границата на функция, тъй като студентите най-често се сблъскват с тях. Но първо, най-общата дефиниция на лимит:

Да кажем, че има някаква променлива. Ако тази стойност в процеса на промяна неограничено се доближава до определено число а , тогава а Е границата на тази стойност.

За функция, дефинирана в определен интервал f (x) = y ограничението е такова число А , към който функцията клони към х стремящи се към определена точка а ... точка а принадлежи на интервала, на който е дефинирана функцията.

Звучи тромаво, но е много лесно да се напише:

Лим- от английски лимите границата.

Има и геометрично обяснение за дефиницията на границата, но тук няма да навлизаме в теория, тъй като се интересуваме повече от практическата, отколкото от теоретичната страна на въпроса. Когато казваме това х клони към някаква стойност, това означава, че променливата не приема стойността на числото, а е безкрайно близка до него.

Нека дадем конкретен пример. Предизвикателството е да се намери границата.

За да разрешите този пример, заменете стойността х = 3 във функция. Получаваме:

Между другото, ако се интересувате, прочетете отделна статия по тази тема.

В примерите х може да се стреми към всяка стойност. Може да бъде произволно число или безкрайност. Ето един пример кога х клони към безкрайност:

Интуитивно е ясно, че колкото по-голямо е числото в знаменателя, толкова по-ниска стойност ще вземе функцията. И така, с неограничен растеж х смисъл 1 / х ще намалее и ще се доближи до нула.

Както можете да видите, за да разрешите ограничението, просто трябва да замените стойността, към която да се стремите, във функцията х ... Това обаче е най-простият случай. Намирането на границата често не е толкова очевидно. Несигурности като напр 0/0 или безкрайност / безкрайност ... Какво да правим в такива случаи? Да прибягва до трикове!

Несигурност вътре

Неопределеност на формата безкрайност / безкрайност

Нека има граница:

Ако се опитаме да заместим безкрайността във функцията, получаваме безкрайност както в числителя, така и в знаменателя. Като цяло си струва да се каже, че има известен елемент на изкуството в разрешаването на такива несигурности: трябва да се отбележи как една функция може да бъде трансформирана по такъв начин, че несигурността да изчезне. В нашия случай делим числителя и знаменателя на х в висша степен. Какво става?

От примера, който вече беше разгледан по-горе, знаем, че членовете, съдържащи x в знаменателя, ще клонят към нула. Тогава решението на лимита е:

За разкриване на неясноти като безкрайност / безкрайностразделете числителя и знаменателя на хдо най-висока степен.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка

Друг вид несигурност: 0/0

Както винаги, заместване във функцията стойност х = -1 дава 0 в числителя и знаменателя. Погледнете малко по-внимателно и ще забележите, че имаме квадратно уравнение в числителя. Намерете корените и напишете:

Нека съкратим и получим:

Така че, ако сте изправени пред несигурност като 0/0 - извадете на множители числителя и знаменателя.

За да ви улесним при решаването на примери, ние даваме таблица с ограниченията на някои функции:

Правилото на L'Hôpital отвътре

Друга мощна техника за елиминиране на двата вида несигурност. Каква е същността на метода?

Ако има несигурност в границата, вземаме производната на числителя и знаменателя, докато неопределеността изчезне.

Правилото на L'Hôpital изглежда така:

Важен момент : границата, в която вместо числителя и знаменателя са производни на числителя и знаменателя, трябва да съществува.

А сега за реален пример:

Типична несигурност 0/0 ... Да вземем производните на числителя и знаменателя:

Voila, неяснотите се разрешават бързо и елегантно.

Надяваме се, че можете да приложите полезно тази информация на практика и да намерите отговор на въпроса „как да решим границите във висшата математика”. Ако трябва да изчислите границата на последователност или границата на функция в дадена точка и няма време за тази работа от думата "въобще", свържете се с професионален студентски сервиз за бързо и подробно решение.

Теорията на пределите е един от клоновете на математическия анализ. Проблемът с решаването на лимити е доста обширен, тъй като има десетки методи за решаване на различни видове ограничения. Има десетки нюанси и трикове за решаване на тази или онази граница. Въпреки това ще се опитаме да разберем основните видове ограничения, които най-често се срещат на практика.

Нека започнем със самото понятие за лимит. Но първо, кратка историческа справка. През 19 век е живял французинът Огюстен Луи Коши, който поставя основите на математическия анализ и дава строги дефиниции, по-специално дефиницията на границата. Трябва да кажа, че същият този Коши сънува, сънува и ще сънува в кошмари на всички студенти от физико-математическите факултети, тъй като той доказа огромен брой теореми на математическия анализ и една теорема е по-отвратителна от другата. В тази връзка няма да разглеждаме строго определение на лимита, а ще се опитаме да направим две неща:

1. Разберете какво е ограничение.
2. Научете се да се справяте с основните видове ограничения.

Извинявам се за някои ненаучни обяснения, важно е материалът да е разбираем дори за чайник, което всъщност е задачата на проекта.

И така, каква е границата?

И веднага пример защо рошава баба...

Всеки лимит има три части:

1) Добре познатата икона за ограничение.
2) Записвания под иконата за ограничение, в този случай. Записът гласи "x клони към едно." Най-често - точно, въпреки че вместо "x" на практика има други променливи. В практическите упражнения на мястото на единицата може да бъде абсолютно всяко число, както и безкрайността ().
3) Функции под знака за граница, в този случай.

Самият запис се чете така: "границата на функцията, когато x клони към единица."

Нека анализираме следващия важен въпрос - какво означава изразът "x търсина един"? И какво изобщо е „стремеж“?
Концепцията за граница е понятие, ако мога така да се изразя, динамичен... Нека изградим последователност: първо, след това,, ..., , ….
Тоест изразът „x търсикъм едно "трябва да се разбира по следния начин -" x "последователно приема стойности, които са безкрайно близки до единството и практически съвпадат с него.

Как да решим горния пример? Въз основа на горното, просто трябва да замените един във функцията под знака за ограничение:

И така, първото правило е: Когато се даде някакво ограничение, първо просто се опитваме да включим номера във функцията.

Разгледахме най-простата граница, но дори и такива се срещат на практика и освен това не толкова рядко!

Пример с безкрайност:

Нека да разберем какво е това? Такъв е случаят, когато се увеличава безкрайно, тоест: първо, след това, след това и така до безкрайност.

Какво се случва с функцията в този момент?
, , , …

Така че: ако, тогава функцията клони към минус безкрайността:

Грубо казано, според първото ни правило вместо "x" заместваме безкрайността във функцията и получаваме отговора.

Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да се увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията:

Заключение: когато функцията се увеличава неограничено:

И още една поредица от примери:

Моля, опитайте се сами да анализирате следното и запомнете най-простите видове ограничения:

, , , , , , , , ,
Ако имате съмнения някъде, можете да вземете калкулатор и да потренирате малко.
В случай, че опитайте да изградите последователност,,. Ако, тогава,,.

Забележка: Строго погледнато, този подход с изграждането на поредици от няколко числа е неправилен, но е доста подходящ за разбиране на най-простите примери.

Обърнете внимание и на следното. Дори ако е даден лимит с голямо число отгоре, но дори и с милион:, тогава няма значение , защото рано или късно "X" ще придобие такива гигантски стойности, че един милион в сравнение с тях ще бъде истински микроб.

Какво трябва да запомните и разберете от горното?

1) Когато се даде някакво ограничение, първо просто се опитваме да включим номера във функцията.

2) Трябва да разберете и незабавно да разрешите най-простите граници, като напр , , и т.н.

Сега ще разгледаме група от граници, когато и функцията е дроб, в числителя и знаменателя на която има полиноми

пример:

Изчислете лимит

Според нашето правило ще се опитаме да заместим безкрайността във функцията. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва по-долу? Също и безкрайност. Така че имаме така наречената несигурност на вида. Човек би си помислил, че и отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и трябва да приложите някаква техника на решение, която сега ще разгледаме.

Как да се решат ограничения от даден тип?

Първо, разглеждаме числителя и намираме в най-високата степен:

Най-високата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и също така намираме в най-високата степен:

Най-голямата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-високата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

И така, методът на решението е следният: за да се разкрие несигурността, е необходимо да се разделят числителя и знаменателя на най-високата степен.

Така е, отговорът, а не безкрайността.

Какво е основно важно при проектирането на решението?

Първо, ние посочваме несигурността, ако има такава.

Второ, препоръчително е да прекъснете решението за междинни обяснения. Обикновено използвам знак, той не носи никакво математическо значение, но означава, че решението е било прекъснато за междинно обяснение.

Трето, в границата е желателно да се отбележи какво се стреми и къде. Когато работата е завършена на ръка, е по-удобно да се направи така:

Най-добре е да използвате обикновен молив за маркиране.

Разбира се, не можете да направите нищо от това, но тогава може би учителят ще отбележи недостатъците в решението или ще започне да задава допълнителни въпроси по заданието. Имате ли нужда от него?

Пример 2

Намерете границата
Отново в числителя и знаменателя намираме в най-високата степен:

Максимална степен в числителя: 3
Максимална степен в знаменател: 4
Ние избираме най-великиястойност, в този случай четворка.
Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на.
Пълният дизайн на заданието може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 3

Намерете границата
Максималната степен на "x" в числителя: 2
Максималната степен на "x" в знаменателя: 1 (може да се запише като)
За да разкриете несигурността, разделете числителя и знаменателя на. Едно чисто решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Записването не означава деление на нула (не можете да делите на нула), а деление на безкрайно малко число.

Така, когато разкриваме несигурността на вида, можем да получим краен брой, нула или безкрайност.

Граници с неопределеност на вид и метод за тяхното решаване

Следващата група граници е донякъде подобна на току-що разгледаните граници: има полиноми в числителя и знаменателя, но "x" вече не клони към безкрайност, а към краен брой.

Пример 4

Решете лимита
Първо, нека се опитаме да заменим -1 във фракцията:

В този случай се получава така наречената несигурност.

Основно правило: ако има полиноми в числителя и знаменателя и има несигурности на формата, тогава за неговото разкриване трябва да разбиете числителя и знаменателя.

За да направите това, най-често трябва да решите квадратно уравнение и / или да използвате съкратени формули за умножение. Ако тези неща са забравени, посетете страницата Математически формули и таблиции прочетете учебния материал Училищен курс по математика Hot Formulas... Между другото, най-добре е да го отпечатате, изисква се много често, а информацията от хартия се усвоява по-добре.

И така, ние решаваме нашия лимит

Нека изчислим числителя и знаменателя

За да изчислите числителя, трябва да решите квадратното уравнение:

Първо, намираме дискриминанта:

И корен квадратен от него:.

Ако дискриминантът е голям, например 361, използваме калкулатор, функцията квадратен корен е налична в най-простия калкулатор.

! Ако коренът не е напълно извлечен (получава се дробно число със запетая), е много вероятно дискриминантът да е изчислен неправилно или да има печатна грешка в заданието.

След това намираме корените:

По този начин:

Всичко. Числителят е разширен.

знаменател. Знаменателят вече е най-простият фактор и няма начин да го опростим.

Очевидно може да бъде съкратено до:

Сега заместваме -1 в израза, който остава под знака за граница:

Естествено, в теста, в теста, в изпита решението никога не е описано толкова подробно. В окончателната версия дизайнът трябва да изглежда така:

Извадете на множители числителя.

Пример 5

Изчислете лимит

Първо, "чисто" решение

Нека изчислим числителя и знаменателя.

Числител:
знаменател:



,

Какво е важно в този пример?
Първо, трябва да разберете добре как се разкрива числителят, първо извадихме 2 извън скобата и след това използвахме формулата за разликата на квадратите. Това е формулата, която трябва да знаете и видите.

Тема 4.6 Изчисляване на лимити

Границата на функция не зависи от това дали е дефинирана в граничната точка или не. Но в практиката на изчисляване на границите на елементарните функции това обстоятелство е от съществено значение.

1. Ако функцията е елементарна и ако ограничителната стойност на аргумента принадлежи към нейната област на дефиниция, тогава изчисляването на границата на функцията се свежда до просто заместване на граничната стойност на аргумента, тъй като границата на елементарната функция f (x) at x се стреми къма , която е включена в областта на дефиницията, е равна на конкретната стойност на функцията при x = а, т.е. lim f (x) = f ( а) .

2. Ако x клони към безкрайностили аргументът клони към число, което не принадлежи към домейна на функцията, тогава във всеки такъв случай намирането на границата на функцията изисква специално изследване.

Следват най-простите ограничения, базирани на свойствата на границите, които могат да се използват като формули:

По-сложни случаи на намиране на границата на функция:

всеки се разглежда поотделно.

Този раздел ще очертае основните начини за разкриване на несигурност.

1. Случаят, когато за x се стреми къма функцията f (x) представлява съотношението на две безкрайно малки величини

а) Първо, трябва да се уверите, че границата на функцията не може да бъде намерена чрез директно заместване и с посочената промяна в аргумента, тя представлява съотношението на две безкрайно малки количества. Извършват се трансформации за отмяна на дроба с коефициент, стремящ се към 0. Според дефиницията на границата на функция, аргументът x клони към своята гранична стойност, никога не съвпадайки с нея.

Като цяло, ако се търси границата на функция x се стреми къма , тогава трябва да се помни, че x не приема стойностите а, т.е. x не е равно на a.

б) Прилага се теоремата на Безут. Ако търсим границата на дроб, числителят и знаменателят на които са полиноми, които изчезват в граничната точка x = а, тогава според горната теорема и двата полинома се делят без остатък на x- а.

в) Ирационалността в числителя или знаменателя се елиминира чрез умножаване на числителя или знаменателя по конюгата на ирационалния израз, след което след опростяване дробът се отменя.

г) Използва се първата забележителна граница (4.1).

д) Използваме теоремата за еквивалентността на безкрайно малките и следните безкрайно малки стойности:

2. Случаят, когато за x се стреми къма функцията f (x) представлява съотношението на две безкрайно големи количества

а) Деление на числителя и знаменателя на дроб на най-голямата степен на неизвестното.

б) Като цяло можете да използвате правилото

3. Случаят, когато за x се стреми къма функцията f (x) представлява произведението на безкрайно малко количество на безкрайно голямо количество

Дробът се преобразува във формата, чийто числител и знаменател едновременно се стремят към 0 или към безкрайност, т.е. случай 3 се свежда до случай 1 или случай 2.

4. Случаят, когато при x се стреми къма функцията f (x) представлява разликата на две положителни безкрайно големи количества

Този случай се свежда до тип 1 или 2 по един от следните начини:

а) редукция на дробите до общ знаменател;

б) преобразуване на функцията във вид на дроб;

в) да се отървем от ирационалността.

5. Случаят, когато при x се стреми къма функцията f (x) представлява степента, чиято основа клони към 1, а степента клони към безкрайност.

Функцията се трансформира по такъв начин, че да използва 2-ра забележителна граница (4.2).

Пример.намирам .

Защото x клони към 3, тогава числителят на дроба клони към числото 3 2 +3 * 3 + 4 = 22, а знаменателят клони към числото 3 + 8 = 11. следователно,

Пример

Тук числителят и знаменателят на дроба at x стремящо се към 2стремят се към 0 (несигурност на формата), изваждаме числителя и знаменателя, получаваме lim (x-2) (x + 2) / (x-2) (x-5)

Пример

Умножавайки числителя и знаменателя по израза, конюгиран с числителя, имаме

Разгънете скобите в числителя, получаваме

Пример

Ниво 2. Пример. Нека дадем пример за прилагането на концепцията за границата на функция в икономическите изчисления. Помислете за обикновена финансова транзакция: заемане на сума С 0 с условието, че след определен период от време тсумата ще бъде възстановена S T... Нека дефинираме стойността r относителен растежформула

r = (S T -S 0) / S 0 (1)

Относителният растеж може да бъде изразен като процент чрез умножаване на получената стойност rсъс 100.

От формула (1) е лесно да се определи стойността S T:

S T= С 0 (1 + r)

При изчисляване на дългосрочни заеми за няколко пълни години се използва схема за сложна лихва. Състои се в това, че ако за 1-ва година сумата С 0 се увеличава в (1 + r) пъти, след това през втората година в (1 + r) пъти сумата се увеличава С 1 = С 0 (1 + r), това е С 2 = С 0 (1 + r) 2. По същия начин се оказва С 3 = С 0 (1 + r) 3. От дадените примери можете да извлечете обща формула за изчисляване на растежа на сумата за нгодини при изчисляване по схемата на сложна лихва:

S n= С 0 (1 + r) н.

При финансовите изчисления се използват схеми, при които сложната лихва се начислява няколко пъти годишно. В същото време е договорено годишна ставка rи брой такси за година к... По правило таксите се правят на редовни интервали, тоест на дължината на всеки интервал Т ке част от годината. След това за срока в тгодини (тук тне е непременно цяло число) сума S Tизчислено по формулата

(2)

където е цялата част от числото, която съвпада със самото число, ако напр. т? цяло число.

Нека годишната ставка е rи произведени нтакси годишно на редовни интервали. След това за годината сумата С 0 се натрупва до стойността, определена от формулата

(3)

В теоретичния анализ и в практиката на финансовите дейности често се среща понятието „непрекъснато начислявана лихва“. За да преминете към непрекъснато изчислена лихва, е необходимо да увеличавате неограничено във формули (2) и (3), съответно, числата ки н(тоест да се стремим ки ндо безкрайност) и изчислете до коя граница са функциите S Tи Седин . Прилагаме тази процедура към формула (3):

Имайте предвид, че ограничението в къдравите скоби е същото като второто забележително ограничение. Оттук следва, че на годишна ставка rс непрекъсната лихва, сумата С 0 за 1 година се увеличава до стойността С 1 *, което се определя от формулата

С 1 * = С 0 e r (4)

Сега нека сумата С 0 се дава в заем с лихва нведнъж годишно на равни интервали. Ние означаваме r eгодишната ставка, по която в края на годината сумата С 0 се натрупва до стойност С 1 * от формула (4). В този случай ще кажем това r e- то годишен лихвен процент нведнъж годишно, еквивалентно на годишния процент rс непрекъснато начисляване.От формула (3) получаваме

S * 1 = S 0 (1 + r e / n) n

Приравняване на десните страни на последната формула и формула (4), задаване в последната т= 1, можете да изведете връзката между количествата rи r e:

Тези формули се използват широко във финансовите изчисления.