Internetinis skaičiuotuvas Ribų sprendimas. Ribų sprendimas internetu

L'Hôpital taisyklė (p. L.) palengvina funkcijų ribų skaičiavimą. Pavyzdžiui, reikia rasti funkcijos ribą, kuri yra funkcijų, siekiančių nulį, santykis. Tie. funkcijos ryšys yra 0/0 neapibrėžtis. Tai padės atskleisti. Riboje funkcijų santykis gali būti pakeistas šių funkcijų išvestinių santykiu. Tie. reikia skaitiklio išvestinę padalyti iš vardiklio išvestinės ir iš šios trupmenos paimti ribą.

1. Neapibrėžtis 0/0. Pirmas punktas L.

Jei = 0, tada jei pastarasis egzistuoja.

2. Formos neapibrėžtis ∞ / ∞ Antra sek. L.

Tokio tipo ribų nustatymas vadinamas neapibrėžtumų atskleidimu.

Jei = ∞, tai jei pastarasis egzistuoja.

3. Neapibrėžtumai 0⋅∞, ∞- ∞, 1 ∞ ir 0 0 transformacijomis redukuojami iki neapibrėžčių 0/0 ir ∞ / ∞. Šis įrašas yra trumpas atvejo nurodymas ieškant limito. Kiekvienas neapibrėžtumas atsiskleidžia savaip. L'Hôpital taisyklė gali būti taikoma kelis kartus, kol atsikratysime neapibrėžtumo. L'Hôpital taisyklės taikymas yra naudingas, kai išvestinių santykį galima lengviau konvertuoti į patogesnę formą nei funkcijų santykį.

• 0⋅∞ yra dviejų funkcijų sandauga, pirmoji linkusi į nulį, antroji – į begalybę;
• ∞- ∞ yra į begalybę linkusių funkcijų skirtumas;
• 1 ∞ laipsnis, jo pagrindas linkęs į vieną, o rodiklis į begalybę;
• ∞ 0 laipsnis, jo pagrindas linkęs į begalybę, o laipsnis į nulį;
• 0 0 laipsnis, jo bazė linkusi į 0, o eksponentas taip pat linkęs į nulį.

1 pavyzdys. Šiame pavyzdyje neapibrėžtis yra 0/0

2 pavyzdys. Čia ∞ / ∞

Šiuose pavyzdžiuose skaitiklio išvestines dalijame iš vardiklio išvestinių ir x pakeičiame ribine verte.

3 pavyzdys. Neapibrėžties tipas 0⋅∞ .

Neapibrėžtį 0⋅∞ transformuojame į ∞ / ∞, tam x į vardiklį perkeliame kaip trupmeną 1 / x, skaitiklyje įrašome skaitiklio išvestinę, o vardiklyje – vardiklio išvestinę.

4 pavyzdys Apskaičiuokite funkcijos ribą

Čia formos neapibrėžtis ∞ 0 Pirmiausia logarituojame funkciją, tada iš jos randame ribą

Norint gauti atsakymą, reikia pakelti e iki -1 laipsnio, gauname e -1.

5 pavyzdys. Apskaičiuokite ribą, jei x → 0

Sprendimas. Neapibrėžtumo tipas ∞ -∞ Sumažinę trupmeną iki bendro vardiklio, iš ∞-∞ pereiname į 0/0. Taikome L'Hôpital taisyklę, bet vėlgi gauname 0/0 neapibrėžtį, todėl L. reikia taikyti antrą kartą. Sprendimas atrodo taip:

= = = =
= =

6 pavyzdys Išspręskite

Sprendimas. Neapibrėžtumo tipas yra ∞ / ∞, jį atidarę gauname

3), 4), 5) atvejais pirmiausia funkcija logaritmizuojama ir randama logaritmo riba, o tada norima riba e pakeliama iki gaunamos galios.

7 pavyzdys. Apskaičiuokite ribą

Sprendimas. Čia neapibrėžtis yra 1 ∞. Žymime A =

Tada lnA = = = = 2.

Logaritmo pagrindas yra e, todėl norint gauti atsakymą, reikia kvadratuoti e, gauname e 2.

Kartais pasitaiko atvejų, kai funkcijų santykis turi ribą, priešingai nei išvestinių santykis, kurio neturi.

Panagrinėkime pavyzdį:

Nes sinx yra ribojamas, o x auga neribotą laiką, antrasis narys yra 0.

Ši funkcija neturi jokių apribojimų, nes jis nuolat svyruoja tarp 0 ir 2, p.L. šiam pavyzdžiui netaikomas.

0/0 arba ∞ / ∞ formos neapibrėžčių ir kai kurių kitų neapibrėžčių, kylančių atliekant skaičiavimą, atskleidimas riba dviejų be galo mažų arba be galo didelių funkcijų santykis labai supaprastinamas pasitelkus L'Hôpital taisyklę (iš tikrųjų dvi taisyklės ir pastabos joms).

Esmė L'Hôpital taisyklės yra tai, kad tuo atveju, kai apskaičiuojant dviejų be galo mažų arba be galo didelių funkcijų santykių ribą gaunamos 0/0 arba ∞ / ∞ formos neapibrėžtumai, dviejų funkcijų santykio ribą galima pakeisti jų ribine verte. santykis dariniai ir taip gauti tam tikrą rezultatą.

Pereikime prie L'Hôpital taisyklių formulavimo.

L'Hôpital taisyklė dviejų be galo mažų dydžių ribos atveju... Jei funkcijos f(x) ir g(x aa, ir šioje kaimynystėje g"(x a lygūs vienas kitam ir lygūs nuliui

().

L'Hôpital taisyklė dviejų be galo didelių kiekių ribos atveju... Jei funkcijos f(x) ir g(x) yra skirtingos tam tikroje taško kaimynystėje a, išskyrus patį tašką a, ir šioje kaimynystėje g"(x) ≠ 0 ir jei ir jei šių funkcijų ribos kaip x yra linkusios į funkcijos reikšmę taške a lygūs vienas kitam ir lygūs begalybei

(),

tada šių funkcijų santykio riba lygi jų išvestinių santykio ribai

().

Kitaip tariant, 0/0 arba ∞ / ∞ formos neapibrėžčių atveju dviejų funkcijų santykio riba yra lygi jų išvestinių santykio ribai, jei pastaroji egzistuoja (baigtinė arba begalinė).

Pastabos.

1. L'Hôpital taisyklės taip pat taikomos, kai funkcijos f(x) ir g(x) nėra apibrėžti x = a.

2. Jei, skaičiuojant funkcijų išvestinių santykio ribą f(x) ir g(x) vėl gauname 0/0 arba ∞ / ∞ formos neapibrėžtį, tada L'Hôpital taisyklės turėtų būti taikomos kelis kartus (bent du kartus).

3. L'Hôpital taisyklės taip pat taikomos, kai funkcijų (x) argumentas nėra linkęs į baigtinį skaičių a, ir iki begalybės ( x → ∞).

Kitų tipų neapibrėžtis taip pat gali būti sumažinta iki 0/0 ir ∞ / ∞ tipų neapibrėžčių.

„nulis padalytas iš nulio“ ir „begalybė padalytas iš begalybės“ tipų neapibrėžčių atskleidimas

1 pavyzdys.

x= 2, gaunama 0/0 formos neapibrėžtis. Todėl kiekvienos funkcijos išvestinę ir gauname

Dauginamo išvestinė buvo apskaičiuota skaitiklyje, o vardiklyje - sudėtingos logaritminės funkcijos išvestinė... Prieš paskutinį lygybės ženklą, įprastas riba, vietoj x pakeičiant du.

2 pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų funkcijų santykio ribą naudodami L'Hôpital taisyklę:

Sprendimas. Reikšmės pakeitimas duotoje funkcijoje x

3 pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų funkcijų santykio ribą naudodami L'Hôpital taisyklę:

Sprendimas. Reikšmės pakeitimas duotoje funkcijoje x= 0 lemia 0/0 formos neapibrėžtį. Todėl apskaičiuojame skaitiklio ir vardiklio funkcijų išvestines ir gauname:

4 pavyzdys. Apskaičiuoti

Sprendimas. X reikšmės, lygios plius begalybei, pakeitimas duotoje funkcijoje sukelia formos ∞ / ∞ neapibrėžtį. Todėl taikome L'Hôpital taisyklę:

komentuoti. Pažvelkime į pavyzdžius, kuriuose L'Hôpital taisyklė turi būti taikoma du kartus, tai yra prieiti prie antrųjų išvestinių santykių ribos, nes pirmųjų išvestinių santykio riba yra 0 formos neapibrėžtis. /0 arba ∞ / ∞.

Pats taikykite L'Hôpital taisyklę ir pamatykite sprendimą

Formos „nulis kartų begalybės“ neapibrėžčių atskleidimas

12 pavyzdys. Apskaičiuoti

.

Sprendimas. Mes gauname

Šiame pavyzdyje naudojama trigonometrinė tapatybė.

Tipų „nulis iki nulio laipsnio“, „begalybės iki nulio laipsnio“ ir „nuo vieno iki begalybės laipsnio“ neapibrėžčių atskleidimas

Formos neapibrėžtumai arba paprastai sumažinami iki formos 0/0 arba ∞ / ∞, naudojant formos funkcijos logaritmą

Apskaičiuojant išraiškos ribą, reikia naudoti logaritminę tapatybę, kurios ypatingas atvejis yra logaritmo savybė .

Naudojant logaritminę tapatybę ir funkcijos tęstinumo savybę (norint peržengti ribinį ženklą), riba turėtų būti apskaičiuojama taip:

Atskirai turėtumėte rasti išraiškos ribą eksponente ir sukurti e iki nustatyto laipsnio.

13 pavyzdys.

Sprendimas. Mes gauname

.

.

14 pavyzdys. Apskaičiuokite pagal L'Hôpital taisyklę

Sprendimas. Mes gauname

Apskaičiuojame išraiškos ribą eksponente

.

.

15 pavyzdys. Apskaičiuokite pagal L'Hôpital taisyklę

• „L'Hôpital“ taisyklės ir neapibrėžtumo atskleidimas
• „nulis padalytas iš nulio“ ir „begalybė padalytas iš begalybės“ tipų neapibrėžčių atskleidimas
• Formos „nulis kartų begalybės“ neapibrėžčių atskleidimas
• Tipų „nulis iki nulio laipsnio“, „begalybės iki nulio laipsnio“ ir „nuo vieno iki begalybės laipsnio“ neapibrėžčių atskleidimas
• Formos „begalybė minus begalybė“ neapibrėžčių atskleidimas

„L'Hôpital“ taisyklės ir neapibrėžtumo atskleidimas

0/0 arba ∞ / ∞ formos neapibrėžčių ir kai kurių kitų neapibrėžčių atskleidimas labai supaprastinamas naudojant L'Hôpital taisyklę.

Esmė L'Hôpital taisyklės yra tai, kad tuo atveju, kai apskaičiuojant dviejų funkcijų santykių ribą gaunamos 0/0 arba ∞ / ∞ formos neapibrėžtumas, dviejų funkcijų santykio riba gali būti pakeista jų išvestinių santykio riba. ir tokiu būdu galima gauti neabejotiną rezultatą.

Apskritai L'Hôpital taisyklės reiškia keletą teoremų, kurias galima perteikti kitoje formuluotėje.

L'Hôpital taisyklė... Jei funkcijos f(x) ir g(x) skiriasi tam tikroje taško kaimynystėje, galbūt išskyrus patį tašką, ir šioje kaimynystėje

(1)

Kitaip tariant, 0/0 arba ∞ / ∞ formos neapibrėžčių atveju dviejų funkcijų santykio riba yra lygi jų išvestinių santykio ribai, jei pastaroji egzistuoja (baigtinė arba begalinė).

Lygybėje (1) reikšmė, į kurią linksta kintamasis, gali būti arba baigtinis skaičius, arba begalybė, arba atėmus begalybę.

Kitų tipų neapibrėžtis taip pat gali būti sumažinta iki 0/0 ir ∞ / ∞ tipų neapibrėžčių.

„nulis padalytas iš nulio“ ir „begalybė padalytas iš begalybės“ tipų neapibrėžčių atskleidimas

1 pavyzdys. Apskaičiuoti

x= 2, gaunama 0/0 formos neapibrėžtis. Todėl taikome L'Hôpital taisyklę:

2 pavyzdys. Apskaičiuoti

Sprendimas. Reikšmės pakeitimas duotoje funkcijoje x

3 pavyzdys. Apskaičiuoti

Sprendimas. Reikšmės pakeitimas duotoje funkcijoje x= 0 lemia 0/0 formos neapibrėžtį. Todėl taikome L'Hôpital taisyklę:

4 pavyzdys. Apskaičiuoti

Sprendimas. X reikšmės, lygios plius begalybei, pakeitimas duotoje funkcijoje sukelia formos ∞ / ∞ neapibrėžtį. Todėl taikome L'Hôpital taisyklę:

komentuoti. Jei išvestinio santykio riba yra 0/0 arba ∞ / ∞ formos neapibrėžtis, tai vėl galima taikyti L'Hôpital taisyklę, t.y. pereiti prie antrųjų išvestinių santykio ribos ir kt.

5 pavyzdys. Apskaičiuoti

Sprendimas. Mes randame

Čia L'Hôpital taisyklė taikoma du kartus, nes ir funkcijų santykio riba, ir išvestinių santykio riba suteikia formos ∞ / ∞ neapibrėžtį.

6 pavyzdys. Apskaičiuoti

Įsivaizduokite žvirblių pulką išpūtusiomis akimis. Ne, tai ne perkūnas, ne uraganas ar net mažas berniukas su timpa rankose. Tiesiog į jauniklių vidurį įskrenda didžiulis, didžiulis patrankos sviedinys. Būtent L'Hôpital taisyklės susidoroti su ribomis, kuriose yra neapibrėžtumas arba.

„L'Hôpital“ taisyklės yra labai galingas metodas, leidžiantis greitai ir efektyviai pašalinti nurodytus neapibrėžtumus, neatsitiktinai problemų rinkiniuose, testuose, testuose dažnai randama stabili klišė: „apskaičiuok ribą, nenaudojant L'Hôpital taisyklės“. Pusjuodžiu šriftu paryškintas reikalavimas ramia sąžine gali būti priskiriamas bet kokiam pamokų limitui. Ribos. Sprendimų pavyzdžiai, Nuostabios ribos. Riboti sprendimo būdus, Įspūdingi atitikmenys, kur susiduriama su neapibrėžtumu „nuo nulio iki nulio“ arba „nuo begalybės iki begalybės“. Net jei užduotis suformuluota trumpai – „apskaičiuokite ribas“, netiesiogiai numanoma, kad naudositės viskuo, bet kuo, bet ne „L'Hôpital“ taisyklėmis.

Iš viso yra dvi taisyklės, kurios yra labai panašios viena į kitą tiek savo esme, tiek taikymo būdu. Be tiesioginių pavyzdžių šia tema, mes taip pat išnagrinėsime papildomą medžiagą, kuri bus naudinga toliau tiriant matematinę analizę.

Iš karto padarysiu išlygą, kad taisyklės bus pateiktos glausta „praktine“ forma, o jei teks išlaikyti teoriją, rekomenduoju pasižiūrėti vadovėlį, kad būtų atlikti griežtesni skaičiavimai.

Pirmoji L'Hôpital taisyklė

Apsvarstykite funkcijas, kurios be galo mažas tam tikru momentu. Jei jų santykiams yra riba, tuomet, norėdami pašalinti netikrumą, galite imtis du dariniai- iš skaitiklio ir iš vardiklio. Kur: , tai yra .

Pastaba : riba taip pat turi egzistuoti, kitaip taisyklė negalioja.

Kas išplaukia iš to, kas išdėstyta aukščiau?

Pirma, jūs turite mokėti rasti funkcijų išvestiniai, ir kuo geriau - tuo geriau =)

Antra, išvestinės išvestinės paimamos ATSKIRAI nuo skaitiklio ir ATSKIRAI nuo vardiklio. Prašome nesipainioti su koeficiento diferencijavimo taisykle !!!

Ir, trečia, „X“ gali siekti bet kur, įskaitant iki begalybės – jei tik yra neapibrėžtumas.

Grįžkime prie pirmojo straipsnio 5 pavyzdžio apie ribas, kuriame buvo gautas toks rezultatas:

Pirmoji L'Hôpital taisyklė taikoma 0:0 neapibrėžčiai:

Kaip matote, skaitiklio ir vardiklio diferenciacija atvedė mus prie pusės posūkio atsakymo: radome du paprastus vedinius, juose pakeitėme „du“ ir paaiškėjo, kad neapibrėžtumas dingo be pėdsakų!

Neretai L'Hôpital taisyklės turi būti taikomos paeiliui du ar daugiau kartų (tai galioja ir antrajai taisyklei). Ištraukime jį retro vakaro 2 pavyzdys pamokai apie nuostabias ribas:

Ant dviaukštės lovos vėl šąla du beigeliai. Taikykime L'Hôpital taisyklę:

Atkreipkite dėmesį, kad pirmame žingsnyje imamas vardiklis sudėtinės funkcijos išvestinė... Po to atliekame keletą tarpinių supaprastinimų, visų pirma, atsikratome kosinuso, nurodant, kad jis linkęs į vienybę. Neapibrėžtumas nepašalintas, todėl vėl taikome L'Hôpital taisyklę (antra eilutė).

Sąmoningai pasirinkau ne patį lengviausią pavyzdį, kad galėtumėte atlikti nedidelį savęs patikrinimą. Jei iki galo neaišku, kaip jie buvo rasti dariniai, turėtumėte sustiprinti savo diferenciacijos techniką, jei fokusas su kosinusu nėra aiškus, grįžkite į nuostabios ribos... Nematau daug prasmės žingsnis po žingsnio komentaruose, nes jau pakankamai išsamiai kalbėjau apie išvestines priemones ir ribas. Straipsnio naujumas slypi pačiose taisyklėse ir kai kuriuose techniniuose sprendimuose.

Kaip jau buvo minėta, daugeliu atvejų L'Hôpital taisyklių naudoti nereikia, tačiau dažnai patartina jomis pasinaudoti apytikriam sprendimo patikrinimui. Dažnai, bet ne visada. Taigi, pavyzdžiui, ką tik nagrinėtą pavyzdį daug naudingiau patikrinti nuostabių atitikmenų.

Antroji L'Hôpital taisyklė

Brolis 2 kaunasi dviem miegančiais aštuntukais. Taip pat:

Jei santykiuose yra riba be galo didelis funkcijų taške:, tada norėdami pašalinti neapibrėžtumą, galite imtis du dariniai- ATSKIRTI nuo skaitiklio ir ATSKIRTI nuo vardiklio. Kur: , tai yra skiriant skaitiklį ir vardiklį, ribos reikšmė nekinta.

Pastaba : riba turi egzistuoti

Vėlgi, įvairiais praktiniais pavyzdžiais prasmė gali būti skirtinga, įskaitant begalinį. Svarbu, kad būtų neapibrėžtumas.

Patikrinkime pirmosios pamokos 3 pavyzdį: ... Mes naudojame antrąją L'Hôpital taisyklę:

Kai tik kalbėsime apie milžinus, išanalizuosime dvi kanonines ribas:

1 pavyzdys

Apskaičiuokite limitą

„Įprastais“ metodais gauti atsakymą nelengva, todėl neapibrėžtumui „begalybė iki begalybės“ atskleisti pasitelkiame L'Hôpital taisyklę:

Taigi, tiesinė funkcija, didesnė už logaritmą, kai bazė yra didesnė už vienetą(ir kt.). Žinoma, „x“ aukštesniais laipsniais taip pat „vilks“ tokius logaritmus. Iš tiesų, funkcija auga gana lėtai ir jos tvarkaraštį yra plokštesnis to paties „x“ atžvilgiu.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite limitą

Dar vienas pažįstamas kadras. Siekdami pašalinti dviprasmiškumą, naudojame L'Hôpital taisyklę, be to, du kartus iš eilės:

Eksponentinė funkcija, kurios bazė yra didesnė nei viena(ir kt.) didesnės eilės augimo nei galios funkcija su teigiamu laipsniu.

Su panašiomis ribomis susiduriama per pilnas funkcijų tyrimas, būtent, kai suranda grafikų asimptotės... Jie taip pat pastebimi atliekant kai kurias užduotis tikimybių teorija... Patariu atkreipti dėmesį į du nagrinėjamus pavyzdžius, tai vienas iš nedaugelio atvejų, kai nėra nieko geriau, kaip atskirti skaitiklį ir vardiklį.

Toliau tekste neskirsiu pirmosios ir antrosios L'Hôpital taisyklių, tai buvo padaryta tik straipsnio struktūrizavimo tikslais. Apskritai, mano požiūriu, be reikalo skaičiuoti matematines aksiomas, teoremas, taisykles, savybes yra šiek tiek žalinga, nes tokios frazės kaip „pagal 19 teoremos 3 išvadą ...“ yra informatyvios tik konkretaus vadovėlio rėmuose. . Kitame informacijos šaltinyje tas pats būtų „2 išvada ir 3 teorema“. Tokie teiginiai formalūs ir patogūs tik patiems autoriams. Idealiu atveju geriausia remtis matematinio fakto esme. Išimtis yra istoriškai nusistovėję terminai, pavyzdžiui, pirmoji nuostabi riba arba antra nuostabi riba.

Mes ir toliau plėtojame temą, kurią mums pasiūlė Paryžiaus mokslų akademijos narys markizas Guillaume'as François de L'Hôpital. Straipsnis įgauna ryškią praktinę konotaciją ir gana įprastai užduočiai reikalinga:

Norėdami sušilti, susitvarkykime su pora mažų žvirblių:

3 pavyzdys

Ribą galima iš anksto supaprastinti atsisakius kosinuso, tačiau paisykite sąlygos ir iš karto atskirkite skaitiklį ir vardiklį:

Išvestinių suradimo procese nėra nieko nestandartinio, taigi, vardiklyje, įprasta diferenciacijos taisyklė darbai .

Nagrinėjamas pavyzdys yra nusistovėjęs ir po jo nuostabios ribos, panašus atvejis nagrinėjamas sudėtingų ribų straipsnio pabaigoje.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite ribą pagal L'Hôpital taisyklę

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. gerai pajuokavo =)

Tipiška situacija yra tada, kai po diferenciacijos gaunamos trijų ar keturių aukštų trupmenos:

5 pavyzdys

Apskaičiuokite limitą naudodami L'Hôpital taisyklę

Programa siūlo save nepaprastas lygiavertiškumas, bet kelias yra griežtai iš anksto apibrėžtas sąlygos:

Po diferenciacijos primygtinai rekomenduoju atsikratyti kelių aukštų frakcijos ir atlikti maksimalius supaprastinimus.... Žinoma, labiau pažengę studentai gali praleisti paskutinį žingsnį ir iškart parašyti: , tačiau tam tikrose ribose net puikūs mokiniai susipainios.

6 pavyzdys

Apskaičiuokite limitą naudodami L'Hôpital taisyklę

7 pavyzdys

Apskaičiuokite limitą naudodami L'Hôpital taisyklę

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdžiai. 7 pavyzdyje nieko negalima supaprastinti, po diferencijavimo trupmena yra per paprasta. Tačiau 8 pavyzdyje, pritaikius L'Hôpital taisyklę, labai pageidautina atsikratyti trijų aukštų struktūros, nes skaičiavimai nebus patys patogiausi. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Jei turite kokių nors sunkumų - trigonometrinė lentelė padėti.

Ir supaprastinimai yra absoliučiai būtini, kai po diferenciacijos atsiranda neapibrėžtumas nepašalinta.

8 pavyzdys

Apskaičiuokite limitą naudodami L'Hôpital taisyklę

Eiti:

Įdomu tai, kad pradinis neapibrėžtumas po pirmosios diferenciacijos virto neapibrėžtumu, o L'Hôpital taisyklė ramiai taikoma toliau. Taip pat atkreipkite dėmesį, kaip po kiekvieno „priėjimo“ keturaukštė trupmena pašalinama, o konstantos perkeliamos už ribinio ženklo ribų. Paprastesniuose pavyzdžiuose patogiau neištverti konstantų, bet kai riba kompleksiška, viską, viską, viską supaprastiname. Išspręsto pavyzdžio klastingumas slypi ir tame, kad už , a, todėl, šalinant sinusus, nenuostabu, kad pasimeti požymiuose. Priešpaskutinėje eilutėje sinusai negalėjo būti nužudyti, bet pavyzdys gana sunkus, atleistinas.

Kitą dieną susidūriau su įdomia užduotimi:

9 pavyzdys

Tiesą sakant, šiek tiek suabejojau, kam prilygs ši riba. Kaip parodyta aukščiau, „x“ yra didesnės eilės augimo nei logaritmas, bet ar jis „vilks“ logaritmo kubą? Pabandykite patys išsiaiškinti, kas laimės.

Taip, L'Hôpital taisyklės yra ne tik šaudymas į žvirblius iš patrankos, bet ir kruopštus darbas...

Siekiant taikyti L'Hôpital taisykles, rūšių neapibrėžtumas sumažinamas iki beigelių ar pavargusių aštuntukų.

Atsakymas su neapibrėžtumu išsamiai aptartas pamokos pavyzdžiuose Nr. 9-13 Riboti sprendimo būdus... Formos sumetimais paimkime dar vieną:

10 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos ribą naudodami L'Hôpital taisyklę

Pirmuoju žingsniu mes sujungiame išraišką į bendrą vardiklį, taip paversdami neapibrėžtumą neapibrėžtumu. Tada įkeliame L'Hôpital taisyklę:

Čia, beje, toks atvejis, kai beprasmiška liesti keturaukštę išraišką.

Neapibrėžtumas taip pat nesipriešina virsti arba:

11 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos ribą naudodami L'Hôpital taisyklę

Čia riba yra vienpusė, ir tokios ribos jau buvo aptartos vadove Funkcijų grafikai ir savybės... Kaip prisimenate, „klasikinio“ logaritmo grafikas neegzistuoja kairėje nuo ašies, todėl prie nulio galime priartėti tik iš dešinės.

„L'Hôpital“ taisyklės dėl vienpusių apribojimų veikia, tačiau pirmiausia turite susidoroti su neapibrėžtumu. Pirmajame žingsnyje sudarome trijų aukštų trupmeną, gaudami neapibrėžtį, tada sprendimas pagal šablono schemą:

Atskyrę skaitiklį ir vardiklį, siekdami supaprastinti, atsikratome keturaukštės trupmenos. Dėl to susidarė netikrumas. Pakartojame triuką: trupmeną vėl padarome trijų aukštų ir vėl pritaikome L'Hôpital taisyklę gaunamai neapibrėžčiai:

Paruošta.

Pradinį limitą būtų galima pabandyti sumažinti iki dviejų beigelių:

Bet, pirma, išvestinė vardiklyje yra sunkesnė, antra, nieko gero iš to nebus.

Taigi, prieš sprendžiant panašius pavyzdžius, reikia išanalizuoti(žodžiu arba juodraštyje) KOKĮ neapibrėžtumą labiau apsimoka sumažinti – iki „nulio iki nulio“ ar iki „begalybės iki begalybės“.

Savo ruožtu į šviesą traukiami išgertuvių kompanionai ir egzotiškesni bendražygiai. Transformacijos metodas yra paprastas ir standartinis.