Nustatykite 1 dispersiją. Absoliutūs kitimo rodikliai

Statistikos dispersija randama kaip individualios charakteristikos reikšmės kvadratu iš. Priklausomai nuo pradinių duomenų, jis nustatomas pagal paprastų ir svertinių dispersijų formules:

1. (nesugrupuotiems duomenims) apskaičiuojamas pagal formulę:

2. Svertinis dispersija (variacijų serijoms):

kur n yra dažnis (X faktoriaus pakartojamumas)

Dispersijos nustatymo pavyzdys

Šiame puslapyje aprašomas standartinis dispersijos radimo pavyzdys, taip pat galite peržiūrėti kitas jo nustatymo užduotis.

1 pavyzdys. Pateikiami duomenys apie 20 neakivaizdinių studentų grupę. Būtina sudaryti ypatybių pasiskirstymo intervalų eilutę, apskaičiuoti vidutinę ypatybės reikšmę ir ištirti jos dispersiją

Sukurkime intervalų grupavimą. Apibrėžkime intervalo diapazoną formule:

kur X max yra didžiausia grupavimo atributo reikšmė;
X min yra mažiausia grupavimo atributo reikšmė;
n yra intervalų skaičius:

Priimame n = 5. Žingsnis yra toks: h = (192–159) / 5 = 6,6

Sudarykime intervalų grupavimą

Tolesniems skaičiavimams sudarysime pagalbinę lentelę:

X'i yra intervalo vidurys. (pvz., intervalo vidurys 159 – 165,6 = 162,3)

Vidutinis mokinių ūgis nustatomas pagal aritmetinio svertinio vidurkio formulę:

Apibrėžkime dispersiją pagal formulę:

Dispersijos formulę galima transformuoti taip:

Iš šios formulės išplaukia, kad dispersija yra skirtumas tarp pasirinkimų kvadratų vidurkio ir kvadrato bei vidurkio.

Sklaida variacijų serijoje su vienodais intervalais momentų metodu galima apskaičiuoti taip, naudojant antrąją dispersijos savybę (visas parinktis padalijus iš intervalo reikšmės). Dispersijos nustatymas, apskaičiuotas momentų metodu, naudojant šią formulę, yra mažiau pastangų reikalaujantis:

kur i yra intervalo dydis;
A - sąlyginis nulis, kurį patogu naudoti didžiausio dažnio intervalo viduryje;
m1 yra pirmosios eilės momento kvadratas;
m2 - antros eilės momentas

(jei statistinėje populiacijoje požymis pasikeičia taip, kad yra tik du vienas kitą nepaneigiantys variantai, toks kintamumas vadinamas alternatyviu) gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

Į šią formulę pakeitę dispersiją q = 1 - p, gauname:

Dispersijos tipai

Bendra dispersija matuoja bruožo kitimą visoje populiacijoje, veikiant visiems šį kitimą sukeliantiems veiksniams. Jis yra lygus atskirų atributo x verčių nuokrypių nuo bendros vidutinės x vertės vidutiniam kvadratui ir gali būti apibrėžta kaip paprasta dispersija arba svertinė dispersija.

charakterizuoja atsitiktinę variaciją, t.y. svyravimų dalis, atsirandanti dėl neatsižvelgtų veiksnių įtakos ir nepriklausoma nuo atributo faktoriaus, kuriuo grindžiama grupė. Ši dispersija yra lygi atskirų X grupės bruožo verčių nuokrypių nuo grupės aritmetinio vidurkio kvadrato vidurkiui ir gali būti apskaičiuojama kaip paprasta dispersija arba kaip svertinė dispersija.

Taigi, Vidinės grupės dispersijos matai bruožo variacija grupėje ir nustatoma pagal formulę:

kur xi yra grupės vidurkis;
ni yra vienetų skaičius grupėje.

Pavyzdžiui, grupės viduje skirtumai, kuriuos reikia nustatyti, tiriant darbuotojų kvalifikacijos įtaką darbo našumo lygiui parduotuvėje, rodo kiekvienos grupės produkcijos svyravimus, kuriuos lemia visi galimi veiksniai (techninė įrangos būklė, aprūpinimas įrankiai ir medžiagos, darbuotojų amžius, darbo intensyvumas ir kt.), išskyrus kvalifikacinės kategorijos skirtumus (grupėje visi darbuotojai turi vienodą kvalifikaciją).

Grupės viduje esančių dispersijų vidurkis atspindi atsitiktinumą, t. y. tą kitimo dalį, kuri įvyko veikiant visiems kitiems veiksniams, išskyrus grupavimo veiksnį. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:

Tai apibūdina sistemingą efektyvaus požymio kitimą, kuris atsiranda dėl bruožo faktoriaus, kuriuo grindžiama grupė, įtakos. Jis lygus grupės vidurkių nuokrypių nuo bendrojo vidurkio vidutiniam kvadratui. Tarpgrupinė dispersija apskaičiuojama pagal formulę:

Statistikos dispersijos pridėjimo taisyklė

Pagal dispersijos pridėjimo taisyklė bendra dispersija yra lygi grupės vidaus ir tarpgrupinių dispersijų vidurkio sumai:

Šios taisyklės prasmė slypi tame, kad bendra dispersija, atsirandanti veikiant visiems veiksniams, yra lygi dispersijų, atsirandančių veikiant visiems kitiems veiksniams, ir dispersijos, atsirandančios dėl grupavimo veiksnio, sumai.

Naudojant dispersijų pridėjimo formulę, iš dviejų žinomų dispersijų galima nustatyti trečiąjį nežinomąjį, taip pat spręsti apie grupavimo požymio įtakos stiprumą.

Dispersijos savybės

1. Jei visos atributo reikšmės sumažinamos (padidinamos) ta pačia pastovia reikšme, tai nuo to dispersija nepasikeis.
2. Jei visos požymio reikšmės sumažinamos (padidinamos) tiek pat kartų n, tai dispersija atitinkamai sumažės (padidės) n ^ 2 kartus.

Sklaidaatsitiktinis kintamasis yra duotosios sklaidos matas atsitiktinis kintamasis, tai yra, ji nukrypimai nuo matematinio lūkesčio. Statistikoje žymėjimas (sigma kvadratas) dažnai naudojamas dispersijai žymėti. Sklaidos kvadratinė šaknis, lygia, vadinama standartinis nuokrypis arba standartinis užtepimas. Standartinis nuokrypis matuojamas tais pačiais vienetais kaip ir pats atsitiktinis dydis, o dispersija – šio vieneto kvadratais.

Nors labai patogu naudoti tik vieną reikšmę (pvz., vidurkį arba režimą ir medianą), norint įvertinti visą imtį, šis metodas gali lengvai sukelti netikslumus. Tokios situacijos priežastis slypi ne pačiame kiekyje, o tame, kad vienas dydis niekaip neatspindi duomenų reikšmių sklaidos.

Pavyzdžiui, pavyzdyje:

vidurkis yra 5.

Tačiau pačioje imtyje nėra nė vieno elemento, kurio reikšmė būtų 5. Gali reikėti žinoti, kiek kiekvienas imties elementas yra artimas jo vidurkiui. Arba, kitaip tariant, reikia žinoti reikšmių dispersiją. Žinodami, kiek pasikeitė duomenys, galite geriau interpretuoti reiškia, mediana ir mada... Mėginių verčių kitimo greitis nustatomas apskaičiuojant jų dispersiją ir standartinį nuokrypį.

Dispersija ir dispersijos kvadratinė šaknis, vadinama standartiniu nuokrypiu, apibūdina vidutinį nuokrypį nuo imties vidurkio. Tarp šių dviejų dydžių svarbiausias yra standartinis nuokrypis... Šią vertę galima įsivaizduoti kaip vidutinį atstumą, kurį elementai yra nuo vidurinio imties elemento.

Dispersiją sunku prasmingai interpretuoti. Tačiau šios vertės kvadratinė šaknis yra standartinis nuokrypis ir yra gerai interpretuojama.

Standartinis nuokrypis apskaičiuojamas pirmiausia nustatant dispersiją, o po to apskaičiuojant dispersijos kvadratinę šaknį.

Pavyzdžiui, paveikslėlyje parodytam duomenų masyvui bus gautos šios reikšmės:

1 paveikslas

Čia skirtumų kvadratų vidurkis yra 717,43. Norint gauti standartinį nuokrypį, belieka paimti to skaičiaus kvadratinę šaknį.

Rezultatas yra maždaug 26,78.

Reikia atsiminti, kad standartinis nuokrypis interpretuojamas kaip vidutinis elementų atstumas nuo imties vidurkio.

Standartinis nuokrypis matuoja, kaip gerai vidurkis apibūdina visą imtį.

Tarkime, kad esate kompiuterio surinkimo skyriaus vadovas. Ketvirčio ataskaitoje teigiama, kad per pastarąjį ketvirtį buvo 2500 kompiuterių. Ar tai gerai ar blogai? Ataskaitoje prašėte (arba ataskaitoje jau yra šis stulpelis) parodyti standartinį šių duomenų nuokrypį. Standartinio nuokrypio skaičius, pavyzdžiui, yra 2000. Jums, kaip skyriaus vedėjui, tampa aišku, kad gamybos linija reikalauja geresnio valdymo (per dideli surenkamų kompiuterių skaičiaus nuokrypiai).

Prisiminkite, kad kai standartinis nuokrypis yra didelis, duomenys yra plačiai išsibarstę apie vidurkį, o kai standartinis nuokrypis mažas, jie grupuojami arti vidurkio.

Keturios statistinės funkcijos VAR (), VAR (), STDEV () ir STDEV () – skirtos apskaičiuoti skaičių dispersiją ir standartinį nuokrypį langelių intervale. Prieš apskaičiuodami duomenų rinkinio dispersiją ir standartinį nuokrypį, turite nustatyti, ar duomenys atitinka aibę, ar pavyzdį iš populiacijos. Jei imtis yra iš bendrosios visumos, reikia naudoti VARP () ir STDEVP () funkcijas, o bendrosios visumos atveju – VARP () ir STDEVP () funkcijas:

Bendra populiacija	Funkcija
	VARP ()
	STANDOLONP ()
Pavyzdys
	DISP ()
	STDEV ()

Dispersija (taip pat ir standartinis nuokrypis), kaip pažymėjome, rodo, kokiu mastu į duomenų rinkinį įtrauktos reikšmės yra išsklaidytos aplink aritmetinį vidurkį.

Maža dispersijos arba standartinio nuokrypio reikšmė rodo, kad visi duomenys yra sutelkti aplink aritmetinį vidurkį, o didelė šių reikšmių reikšmė rodo, kad duomenys yra išsklaidyti plačiame verčių diapazone.

Dispersiją gana sunku prasmingai interpretuoti (ką reiškia maža reikšmė, didelė reikšmė?). Spektaklis 3 užduotys leidžia vizualiai grafike parodyti duomenų rinkinio dispersijos reikšmę.

Užduotys

· 1 pratimas.

· 2.1. Pateikite sąvokas: dispersija ir standartinis nuokrypis; simbolinis jų žymėjimas apdorojant statistinius duomenis.

· 2.2. Sudarykite darbalapį pagal 1 paveikslą ir atlikite reikiamus skaičiavimus.

· 2.3. Pateikite pagrindines skaičiavimuose naudojamas formules

· 2.4. Paaiškinkite visas žymes (,,)

· 2.5. Paaiškinkite dispersijos ir standartinio nuokrypio praktinę reikšmę.

2 užduotis.

1.1. Pateikite sąvokas: bendroji visuma ir imtis; matematinis lūkestis ir jų simbolinio žymėjimo aritmetinis vidurkis apdorojant statistinius duomenis.

1.2. Pagal 2 paveikslą sudarykite darbalapį ir atlikite skaičiavimus.

1.3. Pateikite pagrindines skaičiavimuose naudotas formules (bendrai visumai ir imčiai).

2 paveikslas

1.4. Paaiškinkite, kodėl pavyzdžiuose galima gauti tokias aritmetines vidurkio reikšmes kaip 46,43 ir 48,78 (žr. failo priedą). Daryti išvadas.

3 užduotis.

Yra du pavyzdžiai su skirtingais duomenų rinkiniais, tačiau jų vidurkis bus toks pat:

3 pav

3.1. Sudarykite darbalapį pagal 3 paveikslą ir atlikite reikiamus skaičiavimus.

3.2. Pateikite pagrindines skaičiavimo formules.

3.3. Sudarykite grafikus pagal 4 ir 5 paveikslus.

3.4. Paaiškinkite susidariusias priklausomybes.

3.5. Atlikite panašius šių dviejų pavyzdžių skaičiavimus.

Originalus pavyzdys 11119999

Pasirinkite antrojo imties reikšmes taip, kad antrojo imties aritmetinis vidurkis būtų toks pat, pavyzdžiui:

Antrojo pavyzdžio vertes pasirinkite patys. Projektiniai skaičiavimai ir grafikai kaip 3, 4, 5 pav. Parodykite pagrindines formules, kurios buvo naudojamos atliekant skaičiavimus.

Padarykite atitinkamas išvadas.

Visos užduotys turi būti surašytos ataskaitos forma su visais reikalingais paveikslėliais, grafikais, formulėmis ir trumpais paaiškinimais.

Pastaba: grafikų sudarymas turi būti paaiškintas paveikslėliais ir trumpais paaiškinimais.

Tarp daugelio statistikoje naudojamų rodiklių būtina išskirti dispersijos skaičiavimą. Reikėtų pažymėti, kad atlikti šį skaičiavimą rankiniu būdu yra gana varginanti užduotis. Laimei, „Excel“ teikia skaičiavimo proceso automatizavimo funkcijas. Išsiaiškinkime darbo su šiais įrankiais algoritmą.

Variantas yra variacijos matas, kuris yra nuokrypio nuo laukiamos vertės vidutinis kvadratas. Taigi jis išreiškia skaičių sklaidą aplink vidurkį. Dispersijos apskaičiavimas gali būti atliekamas tiek bendrajai visumai, tiek imčiai.

1 metodas: apskaičiavimas bendrajai populiacijai

Norint apskaičiuoti šį rodiklį „Excel“ bendrajai populiacijai, naudojama funkcija DISP.G... Šios išraiškos sintaksė yra tokia:

DISP.G (1 numeris; 2 numeris; ...)

Iš viso galima pritaikyti nuo 1 iki 255 argumentų. Kaip argumentus galima naudoti tiek skaitines reikšmes, tiek nuorodas į langelius, kuriuose jos yra.

Pažiūrėkime, kaip apskaičiuoti šią vertę diapazonui su skaitiniais duomenimis.

2 metodas: skaičiavimas pagal pavyzdį

Priešingai nei skaičiuojant bendrosios aibės reikšmę, skaičiuojant imtį, vardiklis nurodo ne bendrą skaičių skaičių, o vienu mažiau. Tai daroma norint ištaisyti klaidą. „Excel“ atsižvelgia į šį niuansą specialioje funkcijoje, skirtoje tokio tipo skaičiavimams - DISP.V. Jo sintaksė pavaizduota tokia formule:

DISP.B (1 numeris; 2 numeris; ...)

Argumentų skaičius, kaip ir ankstesnėje funkcijoje, taip pat gali svyruoti nuo 1 iki 255.

Kaip matote, Excel programa gali labai palengvinti dispersijos skaičiavimą. Šią statistiką programa gali apskaičiuoti tiek bendrajai, tiek imčiai. Šiuo atveju visi vartotojo veiksmai iš tikrųjų apsiriboja tik apdorojamų skaičių diapazono nurodymu, o „Excel“ atlieka pagrindinį darbą pati. Tai tikrai sutaupys daug vartotojų laiko.

Dispersija yra dispersijos matas, apibūdinantis lyginamąjį nuokrypį tarp duomenų verčių ir vidurkio. Tai dažniausiai statistikoje naudojamas sklaidos matas, apskaičiuojamas sumuojant, padalijus kvadratą, kiekvienos duomenų reikšmės nuokrypis nuo vidurkio. Dispersijos apskaičiavimo formulė parodyta žemiau:

s 2 - imties dispersija;

x cf yra vidutinė imties reikšmė;

n — imties dydis (duomenų reikšmių skaičius),

(x i - x avg) – nuokrypis nuo kiekvienos duomenų rinkinio reikšmės vidurkio.

Norėdami geriau suprasti formulę, pažvelkime į pavyzdį. Nelabai mėgstu gaminti, todėl tai darau retai. Nepaisant to, kad nenumirčiau badu, karts nuo karto turiu eiti prie viryklės, kad įgyvendinčiau idėją prisotinti savo kūną baltymais, riebalais ir angliavandeniais. Toliau pateiktame duomenų rinkinyje parodyta, kiek kartų Renatas ruošia maistą per mėnesį:

Pirmasis dispersijos skaičiavimo žingsnis yra nustatyti imties vidurkį, kuris mūsų pavyzdyje yra 7,8 karto per mėnesį. Likusius skaičiavimus galima palengvinti naudojant šią lentelę.

Paskutinis dispersijos skaičiavimo etapas atrodo taip:

Tiems, kurie mėgsta visus skaičiavimus atlikti vienu kartu, lygtis atrodys taip:

Neapdoroto skaičiavimo metodo naudojimas (virimo pavyzdys)

Yra efektyvesnis dispersijos apskaičiavimo būdas, žinomas kaip neapdorotas skaičiavimo metodas. Nors iš pirmo žvilgsnio lygtis gali atrodyti stulbinanti, iš tikrųjų ji nėra tokia baisi. Galite tai patikrinti ir nuspręsti, kuris metodas jums labiausiai patinka.

- kiekvienos duomenų vertės suma po pavertimo kvadratu,

- visų duomenų reikšmių sumos kvadratas.

Neprarask proto dabar. Sudėkime visa tai į lentelę ir pamatysite, kad čia skaičiavimai yra mažesni nei ankstesniame pavyzdyje.

Kaip matote, rezultatas yra toks pat, kaip ir naudojant ankstesnį metodą. Šio metodo pranašumai išryškėja didėjant imties dydžiui (n).

Dispersijos skaičiavimas programoje Excel

Kaip tikriausiai jau atspėjote, „Excel“ turi formulę dispersijai apskaičiuoti. Be to, pradedant Excel 2010, galite rasti 4 dispersijos formulės variantus:

1) DISP.B – grąžina imties dispersiją. Būlio reikšmės ir tekstas nepaisomi.

2) DISP.G – pateikia visos populiacijos dispersiją. Būlio reikšmės ir tekstas nepaisomi.

3) VARA – grąžina imties dispersiją, atsižvelgiant į logines ir tekstines reikšmes.

4) VARPA – pateikia visos populiacijos dispersiją, atsižvelgiant į logines ir tekstines reikšmes.

Pirmiausia pažvelkime į skirtumą tarp imties ir bendros visumos. Aprašomosios statistikos tikslas yra apibendrinti arba parodyti duomenis, kad būtų galima greitai susidaryti bendrą vaizdą, taip sakant, apžvalgą. Statistinės išvados leidžia daryti išvadas apie populiaciją remiantis tos populiacijos duomenų imtimi. Agregatas atspindi visus galimus mus dominančius rezultatus ar dimensijas. Imtis yra populiacijos poaibis.

Pavyzdžiui, mus domina vieno iš Rusijos universitetų studentų grupės visuma ir mums reikia nustatyti vidutinį grupės balą. Galime apskaičiuoti vidutinius studentų rezultatus, o tada gautas skaičius bus parametras, nes į mūsų skaičiavimus dalyvaus visa populiacija. Tačiau jei norime paskaičiuoti visų mūsų šalies mokinių balų vidurkį, tai ši grupė bus mūsų imtis.

Imties ir visumos dispersijos apskaičiavimo formulės skirtumas slypi vardiklyje. Kur imtyje jis bus (n-1), o bendrajai aibei tik n.

Dabar panagrinėkime dispersijos su galūnėmis skaičiavimo funkcijas A, kurio aprašyme sakoma, kad skaičiuojant atsižvelgiama į tekstines ir logines reikšmes. Tokiu atveju, skaičiuojant tam tikro duomenų masyvo dispersiją, kai susiduriama su neskaitinėmis reikšmėmis, „Excel“ tekstą ir klaidingas logines vertes interpretuos kaip 0, o tikrosios loginės reikšmės – kaip 1.

Taigi, jei turite duomenų masyvą, nebus sunku apskaičiuoti jo dispersiją naudojant vieną iš aukščiau pateiktų „Excel“ funkcijų.

Ir atvirkščiai, jei yra neneigiamas a.e. funkcija tokia, kad , tada yra absoliučiai nenutrūkstamas tikimybės matas ant tokio, kuris yra jo tankis.

Mato pakeitimas Lebesgue integrale:

kur yra bet kuri Borelio funkcija, kuri yra integruojama tikimybės mato atžvilgiu.

Dispersija, dispersijos rūšys ir savybės Dispersijos samprata

Statistikos dispersija randamas kaip atskirų požymio verčių standartinis nuokrypis kvadratu nuo aritmetinio vidurkio. Priklausomai nuo pradinių duomenų, jis nustatomas pagal paprastų ir svertinių dispersijų formules:

1. Paprasta dispersija(nesugrupuotiems duomenims) apskaičiuojamas pagal formulę:

2. Svertinis dispersija (variacijų serijoms):

kur n yra dažnis (X faktoriaus pakartojamumas)

Dispersijos nustatymo pavyzdys

Šiame puslapyje aprašomas standartinis dispersijos radimo pavyzdys, taip pat galite peržiūrėti kitas jo nustatymo užduotis.

1 pavyzdys. Grupės, grupės vidurkio, tarpgrupės ir bendros dispersijos nustatymas

2 pavyzdys. Dispersijos ir variacijos koeficiento radimas grupavimo lentelėje

3 pavyzdys. Diskrečiosios serijos dispersijos radimas

4 pavyzdys. Yra tokie duomenys apie 20 korespondencijos skyriaus studentų grupę. Būtina sudaryti ypatybių pasiskirstymo intervalų eilutę, apskaičiuoti vidutinę ypatybės reikšmę ir ištirti jos dispersiją

Sukurkime intervalų grupavimą. Apibrėžkime intervalo diapazoną formule:

kur X max yra didžiausia grupavimo atributo reikšmė; X min yra mažiausia grupavimo atributo reikšmė; n yra intervalų skaičius:

Priimame n = 5. Žingsnis yra toks: h = (192–159) / 5 = 6,6

Sudarykime intervalų grupavimą

Tolesniems skaičiavimams sudarysime pagalbinę lentelę:

X "i - intervalo vidurys. (Pavyzdžiui, intervalo vidurys 159 - 165,6 = 162,3)

Vidutinis mokinių ūgis nustatomas pagal aritmetinio svertinio vidurkio formulę:

Apibrėžkime dispersiją pagal formulę:

Formulė gali būti transformuota taip:

Iš šios formulės išplaukia, kad dispersija yra skirtumas tarp pasirinkimų kvadratų vidurkio ir kvadrato bei vidurkio.

kur i yra intervalo dydis; A - sąlyginis nulis, kurį patogu naudoti didžiausio dažnio intervalo viduryje; m1 yra pirmosios eilės momento kvadratas; m2 - antros eilės momentas

Alternatyvaus požymio dispersija (jei statistinėje populiacijoje požymis pasikeičia taip, kad yra tik du vienas kitą nepaneigiantys variantai, toks kintamumas vadinamas alternatyviu) gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

Į šią formulę pakeitę dispersiją q = 1 - p, gauname:

Dispersijos tipai

Grupės dispersija charakterizuoja atsitiktinę variaciją, t.y. svyravimų dalis, atsirandanti dėl neatsižvelgtų veiksnių įtakos ir nepriklausoma nuo atributo faktoriaus, kuriuo grindžiama grupė. Ši dispersija yra lygi atskirų X grupės bruožo verčių nuokrypių nuo grupės aritmetinio vidurkio kvadrato vidurkiui ir gali būti apskaičiuojama kaip paprasta dispersija arba kaip svertinė dispersija.

Taigi, Vidinės grupės dispersijos matai bruožo variacija grupėje ir nustatoma pagal formulę:

kur xi yra grupės vidurkis; ni yra vienetų skaičius grupėje.

Grupės viduje esančių dispersijų vidurkis atspindi atsitiktinę variaciją, ty tą kitimo dalį, kuri įvyko veikiant visiems kitiems veiksniams, išskyrus grupavimo veiksnį. Jis apskaičiuojamas pagal formulę:

Tarpgrupinė dispersija apibūdina sistemingą efektyvaus požymio kitimą, kuris atsiranda dėl bruožo faktoriaus, kuriuo grindžiama grupė, įtakos. Jis lygus grupės vidurkių nuokrypių nuo bendrojo vidurkio vidutiniam kvadratui. Tarpgrupinė dispersija apskaičiuojama pagal formulę: