Pateikite horizontaliai mesto kūno judėjimo pavyzdžių. Horizontaliai išmesto kūno judėjimas greičiu

Jei oro pasipriešinimo galima nepaisyti, tada mestas kūnas, kaip jums patinka, juda laisvo kritimo pagreičiu.

Pirmiausia panagrinėkime horizontaliai išmesto kūno judėjimą v_vec0 iš aukščio h virš žemės paviršiaus (11.1 pav.).

Vektorinėje formoje kūno greičio priklausomybė nuo laiko t išreiškiama formule

Projekcijose ant koordinačių ašių:

v x = v 0, (2)
v y = –gt. (3)

1. Paaiškinkite, kaip formulės gaunamos iš (2) ir (3)

x = v 0 t, (4)
y = h – gt 2/2. (5)

Matome, kad kūnas, tarsi, vienu metu atlieka dviejų tipų judesius: tolygiai juda išilgai x ašies ir tolygiai įsibėgėja išilgai y ašies be pradinio greičio.

11.2 paveiksle parodyta kūno padėtis reguliariais intervalais. Žemiau yra kūno padėtis tais pačiais laiko momentais, judančio tolygiai tiesia linija tuo pačiu pradiniu greičiu, o kairėje – laisvai krintančio kūno padėtis.

Matome, kad horizontaliai mestas kūnas visą laiką yra ant tos pačios vertikalios linijos su tolygiai judančiu kūnu ir ant tos pačios horizontalios linijos su laisvai krintančiomis kūnu.

2. Paaiškinkite, kaip iš (4) ir (5) formulių gaunamos kūno l laiko tpol ir skrydžio nuotolio išraiškos:

Raginimas. Pasinaudokite tuo, kad kritimo momentu y = 0.

3. Kūnas metamas horizontaliai iš tam tikro aukščio. Kuriuo atveju kūno skrydžio nuotolis bus didesnis: pradiniam greičiui padidėjus 4 kartus, ar pradiniam aukščiui padidėjus tiek pat? Kiek kartų daugiau?

Judėjimo trajektorija

11.2 paveiksle horizontaliai mesto kūno trajektorija pavaizduota raudona brūkšnine linija. Tai primena parabolės šaką. Patikrinkime šią prielaidą.

4. Įrodykite, kad horizontaliai išmesto kūno judėjimo trajektorijos lygtis, tai yra priklausomybė y (x), išreiškiama formule

Raginimas. Naudodami (4) formulę išreikškite t kaip x ir rastą išraišką pakeiskite formule (5).

Formulė (8) iš tikrųjų yra parabolės lygtis. Jo viršūnė sutampa su pradine kūno padėtimi, tai yra, jos koordinatės x = 0; y = h, o parabolės šaka nukreipta žemyn (tai rodo neigiamas koeficientas prieš x 2).

5. Priklausomybė y (x) išreiškiama SI vienetais formule y = 45 - 0,05x 2.
a) Koks pradinis aukštis ir pradinis greitis kūnas?
b) Koks skrydžio laikas ir nuotolis?

6. Kūnas metamas horizontaliai iš 20 m aukščio pradiniu 5 m/s greičiu.
a) Kiek laiko truks kūno skrydis?
b) Koks yra skrydžio nuotolis?
c) Koks yra kūno greitis prieš pat atsitrenkiant į žemę?
d) Kokiu kampu horizonto atžvilgiu bus nukreiptas kūno greitis prieš pat atsitrenkiant į žemę?
e) Kokia formulė SI vienetais išreiškia kūno greičio modulio priklausomybę nuo laiko?

2. Kūno, mesto kampu į horizontą, judėjimas

11.3 pav. schematiškai parodyta pradinė padėtis kūnas, jo pradinis greitis 0 (esant t = 0) ir pagreitis (laisvojo kritimo pagreitis).

Pradinės greičio projekcijos

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (dešimt)

Norint sutrumpinti tolesnius įrašus ir paaiškinti jų fizinę reikšmę, patogu laikyti žymėjimus v 0x ir v 0y, kol bus gautos galutinės formulės.

Kūno greitis vektorine forma momentu t ir šiuo atveju išreiškiamas formule

Tačiau dabar koordinačių ašių projekcijose

v x = v 0x, (11)
vy = v 0y - gt. (12)

7. Paaiškinkite, kaip gaunamos šios lygtys:

x = v 0x t, (13)
y = v 0y t - gt 2/2. (keturiolika)

Matome, kad šiuo atveju išmestas kūnas vienu metu dalyvauja dviejų tipų judesiuose: išilgai x ašies jis juda tolygiai, o išilgai y ašies – tolygiai pagreitintas pradiniu greičiu, kaip kūnas, išmestas vertikaliai aukštyn.

Judėjimo trajektorija

11.4 paveiksle schematiškai parodyta kūno padėtis, mesto kampu į horizontą, reguliariais intervalais. Vertikalios linijos pabrėžia, kad kūnas tolygiai juda išilgai x ašies: gretimos linijos yra vienodais atstumais viena nuo kitos.

8. Paaiškinkite, kaip gauti tokią kūno, išmesto kampu į horizontą, trajektorijos lygtį:

Formulė (15) yra parabolės, kurios šakos nukreiptos žemyn, lygtis.

Trajektorijos lygtis gali daug pasakyti apie apleisto kūno judėjimą!

9. Priklausomybė y (x) išreiškiama SI vienetais formule y = √3 * x - 1,25x 2.
a) Kokia pradinio greičio horizontalioji projekcija?
b) Kokia pradinio greičio vertikali projekcija?
c) Kokiu kampu į horizontą mestas kūnas?
d) Koks pradinis kūno greitis?

Kampu į horizontą išmesto kūno trajektorijos parabolinę formą aiškiai parodo vandens srovė (11.5 pav.).

Pakilimo laikas ir bendras skrydžio laikas

10. Naudodami (12) ir (14) formules parodykite, kad kūno t po kėlimo laikas ir viso skrydžio t aukšte laikas išreiškiami formulėmis

Raginimas. Viršutiniame trajektorijos taške v y = 0, o tuo momentu, kai kūnas krenta, jo koordinatė yra y = 0.

Matome, kad ir šiuo atveju (kaip ir vertikaliai į viršų mestam kūnui) visas skrydžio laikas t grindimis yra 2 kartus ilgesnis nei kėlimo po žeme laikas. Ir šiuo atveju, žiūrint vaizdo įrašą atgal, kūno kėlimas atrodys lygiai taip pat, kaip jo nusileidimas, o nusileidimas – kaip pakilimas.

Skrydžio aukštis ir nuotolis

11. Įrodykite, kad aukštis h ir skrydžio nuotolis l išreiškiami formulėmis

Raginimas. Norėdami išvesti formulę (18), naudokite (14) ir (16) arba (10) formules iš § 6. Poslinkis su tiesiu tolygiai pagreitintu judesiu; norėdami gauti (19) formulę, naudokite (13) ir (17) formules.

Atkreipkite dėmesį: kūno kėlimo laikas tpod, visas skrydžio laikas tpol ir kėlimo aukštis h priklauso tik nuo pradinio greičio vertikalios projekcijos.

12. Į kokį aukštį pakilote po smūgio futbolo kamuolys jei jis nukristų ant žemės praėjus 4 sekundėms po smūgio?

13. Įrodykite tai

Raginimas. Naudokite formules (9), (10), (18), (19).

14. Paaiškinkite, kodėl tuo pačiu pradiniu greičiu v 0 skrydžio nuotolis l bus vienodas dviem kampais α 1 ir α 2, susietais santykiu α 1 + α 2 = 90º (11.6 pav.).

Raginimas. Naudokite pirmąją lygtį formulėje (21) ir faktą, kad sin α = cos (90º - α).

15. Du kūnai, mesti vienu metu ir su ta pačia pradine akimi modulo vieną tašką. Kampas tarp pradinių greičių yra 20º. Kokiais kampais kūnai buvo mesti į horizontą?

Maksimalus nuotolis ir skrydžio aukštis

Esant tokiam pačiam pradinio greičio moduliui, skrydžio nuotolis ir aukštis nustatomas tik pagal kampą α. Kaip pasirinkti šį kampą, kad būtų maksimaliai padidintas diapazonas ar aukštis?

16. Paaiškinkite, kodėl didžiausias skrydžio nuotolis pasiekiamas esant α = 45º ir išreiškiamas formule

l max = v 0 2 / g. (22)

17.Įrodykite, kad didžiausias skrydžio aukštis išreiškiamas formule

h max = v 0 2 / (2g) (23)

18. Kūnas, mestas 15º kampu į horizontą, nukrito 5 m atstumu nuo pradžios taško.
a) Koks pradinis kūno greitis?
b) Į kokį aukštį pakilo kūnas?
c) Koks yra didžiausias skrydžio nuotolis esant tokiam pačiam pradinio greičio moduliui?
d) Į kokį maksimalų aukštį šis kūnas galėtų pakilti su tokiu pat pradinio greičio moduliu?

Greitis prieš laiką

Kylant aukštyn kampu į horizontą mesto kūno greitis absoliučia reikšme mažėja, o leidžiantis – didėja.

19. Kūnas metamas 30º kampu į horizontą pradiniu 10 m/s greičiu.
a) Kaip vy (t) priklausomybė išreiškiama SI vienetais?
b) Kaip v (t) priklausomybė išreiškiama SI vienetais?
c) Koks yra mažiausias kūno greitis skrydžio metu?
Raginimas. Naudokite (13) ir (14) formules, taip pat Pitagoro teoremą.

Papildomi klausimai ir užduotys

20. Akmenų mėtymas po skirtingi kampai, Sasha nustatė, kad negali mesti akmenuko toliau nei 40 m. Į kokį maksimalų aukštį Sasha gali mesti akmenuką?

21. Tarp sunkvežimio galinio rato dvigubų padangų įstrigo akmuo. Kiek toli nuo sunkvežimio turėtų važiuoti paskui jį važiuojantis automobilis, kad uola nukristų ir nepadarytų žalos? Abu automobiliai važiuoja 90 km/val.
Raginimas. Eikite į atskaitos sistemą, susietą su bet kuriuo iš automobilių.

22. Kokiu kampu į horizontą reikia mesti kūną, kad:
a) ar skrydžio aukštis lygus nuotoliui?
b) ar skrydžio aukštis buvo 3 kartus didesnis už diapazoną?
c) ar skrydžio nuotolis buvo 4 kartus didesnis už aukštį?

23. Kūnas metamas pradiniu 20 m/s greičiu 60º kampu į horizontą. Kokiais laiko intervalais po metimo kūno greitis bus nukreiptas 45º kampu į horizontą?

Teorija

Jei kūnas metamas kampu į horizontą, tai skrendant jį veikia gravitacijos ir oro pasipriešinimo jėga. Jei pasipriešinimo jėga nepaisoma, lieka vienintelė jėga – gravitacijos jėga. Todėl dėl antrojo Niutono dėsnio kūnas juda pagreičiu, lygiu gravitacijos pagreičiui; pagreičio projekcijos koordinačių ašyse yra a x = 0, ir pas= -g.

Bet koks sudėtingas materialaus taško judėjimas gali būti pavaizduotas kaip nepriklausomų judesių išilgai koordinačių ašių perdanga, o skirtingų ašių kryptimi judėjimo tipas gali skirtis. Mūsų atveju skraidančio kūno judėjimas gali būti pavaizduotas kaip dviejų nepriklausomų judesių superpozicija: vienodas judėjimas išilgai horizontalios ašies (X ašis) ir tolygiai pagreitintas judėjimas išilgai vertikalios ašies (Y ašis) (1 pav.).

Todėl kūno greičio projekcijos laikui bėgant kinta taip:

kur pradinis greitis, α – metimo kampas.

Taigi kūno koordinatės keičiasi taip:

Pasirinkus koordinačių kilmę, pradinės koordinatės (1 pav.) Tada

Antroji laiko reikšmė, kuriai esant aukštis lygus nuliui, lygi nuliui, tai atitinka metimo momentą, t.y. ši reikšmė turi ir fizinę reikšmę.

Skrydžio nuotolis gaunamas iš pirmosios formulės (1). Skrydžio nuotolis yra koordinatės reikšmė NS skrydžio pabaigoje, t.y. lygiu laiku t 0... Pakeitę reikšmę (2) į pirmąją formulę (1), gauname:

(3)

Iš šios formulės matyti, kad didžiausias skrydžio nuotolis pasiekiamas, kai metimo kampas yra 45 laipsniai.

Didžiausias aukštis mesto kūno pakėlimą galima gauti iš antrosios formulės (1). Norėdami tai padaryti, šioje formulėje turite pakeisti laiko reikšmę, lygią pusei skrydžio laiko (2), nes būtent trajektorijos viduryje skrydžio aukštis yra didžiausias. Atlikdami skaičiavimus gauname

Dabar mums nesunku suprasti, kaip kūnas judės, jei jam bus pasakytas pradinis greitis, nukreiptas ne savavališku kampu į horizontą, o horizontaliai. Taip juda, pavyzdžiui, nuo horizontaliai skraidančios plokštumos atsikabinęs (arba iš jos išmestas) kūnas.

Vis dar tikime, kad tokį kūną veikia tik gravitacija. Ji, kaip visada, suteikia jam pagreitį žemyn.

Ankstesnėje pastraipoje matėme, kad kampu į horizontą mestas kūnas tam tikru laiko momentu pasiekia aukščiausią savo trajektorijos tašką (taškas B 134 paveiksle). Šiuo metu kūno greitis nukreiptas horizontaliai.

Jau žinome, kaip po to juda kūnas. Jo judėjimo trajektorija yra dešinioji parabolės šaka, parodyta 134 paveiksle. Bet kuris kitas horizontaliai išmestas kūnas turės panašią judėjimo trajektoriją. 135 paveiksle parodyta tokia trajektorija. Jis taip pat vadinamas parabole, nors tai tik dalis parabolės.

Horizontaliai mestas kūnas juda išilgai parabolės šakos. Apskaičiuokime šio kūno judėjimo skrydžio diapazoną.

Jei kūnas išmestas iš aukščio, laiką, per kurį jis kris, gauname iš formulės

Visą laiką, kol kūnas krenta žemyn su pagreičiu, vertikali ašis (133 pav.) su greičiu juda horizontalia kryptimi.

Todėl rudens metu jis pajudės per atstumą

Vadinasi,

Ši formulė leidžia nustatyti aukštyje horizontaliai išmesto kūno skrydžio diapazoną pradiniu greičiu

Išnagrinėjome keletą kūno judėjimo veikiant gravitacijai pavyzdžių. Iš jų matyti, kad visais atvejais kūnas juda su pagreičiu, kurį jam suteikia gravitacijos jėga. Šis pagreitis visiškai nepriklauso nuo to, ar kūnas vis dar juda horizontalia kryptimi, ar ne. Galima net sakyti, kad visais šiais atvejais kūnas yra laisvajame kritime.

Todėl, pavyzdžiui, kulka, kurią šaulys paleista iš ginklo horizontalia kryptimi, nukris ant žemės kartu su kulka, kurią šaulys netyčia numetė šūvio metu. Tačiau numesta kulka kris prie šaulio kojų, o iš ginklo vamzdžio išskridusi kulka – už kelių šimtų metrų nuo jo.

Spalvotas intarpas rodo dviejų kamuoliukų stroboskopinę nuotrauką, iš kurių vienas krenta vertikaliai, o antrasis, tuo pačiu metu, kai pradeda kristi pirmasis, suteikiamas greitis horizontalia kryptimi. Nuotraukoje matyti, kad tais pačiais laiko momentais (šviesos blyksnių akimirkomis) abu rutuliai yra viename aukštyje ir, žinoma, vienu metu pasiekia žemę.

Horizontaliai arba kampu į horizontą išmestų kūnų judėjimo trajektorija gali būti aiškiai matoma paprasta patirtis... Virš stalo tam tikrame aukštyje pastatomas vandens pripildytas butelis ir sujungiamas guminiu vamzdeliu su antgaliu, kuriame yra čiaupas (136 pav.). Išleidžiamos srovės tiesiogiai parodo vandens dalelių trajektorijas. Keisdami purkštuko paleidimo kampą, galite užtikrinti, kad didžiausias atstumas būtų pasiektas 45 ° kampu.

Atsižvelgdami į horizontaliai arba kampu į horizontą išmesto kūno judėjimą, manėme, kad jį veikia tik gravitacija. Iš tikrųjų taip nėra. Kartu su gravitacijos jėga kūną visada veikia pasipriešinimo (trinties) jėga iš oro. Ir tai lemia greičio sumažėjimą.

Todėl horizontaliai arba kampu į horizontą išmesto kūno skrydžio nuotolis visada yra mažesnis, nei matyti iš formulių,

gavome šioje dalyje ir 55 punkte; vertikaliai mesto kūno kėlimo aukštis visada yra mažesnis nei apskaičiuotas pagal 21 straipsnyje pateiktą formulę ir kt.

Pasipriešinimo jėgos veikimas taip pat lemia tai, kad horizontaliai arba kampu į horizontą išmesto kūno judėjimo trajektorija yra ne parabolė, o sudėtingesnė kreivė.

33 pratimas

Atsakydami į šio pratimo klausimus, nepaisykite trinties.

1. Kas būdinga vertikaliai, horizontaliai ir kampu į horizontą metamų kūnų judėjime?

3. Ar horizontaliai mesto kūno pagreitis visuose jo trajektorijos taškuose yra vienodas?

4. Ar horizontaliai išmestas kūnas jam judant yra nesvarumo būsenoje? O kaip kūnas, mestas kampu į horizontą?

5. Kūnas metamas horizontaliai iš 2 m aukščio virš žemės 11 m/sek greičiu. Kiek laiko užtruks, kol jis nukris? Kiek toli kūnas skris horizontalia kryptimi?

6. Kūnas metamas pradiniu 20 m/s greičiu horizontalia kryptimi 20 m aukštyje virš Žemės paviršiaus. Kaip toli nuo kritimo taško jis atsitrenks į žemę? Iš kokio aukščio reikia mesti tuo pačiu greičiu, kad skrydžio nuotolis padvigubėtų?

7. Lėktuvas skrenda horizontalia kryptimi 10 km aukštyje 720 km/h greičiu. Kokiu atstumu nuo taikinio (horizontaliai) pilotas turi numesti bombą, kad pataikytų į taikinį?

Apsvarstykite kūno, mesto horizontaliai ir judančio veikiant vien gravitacijai, judėjimą (neatsižvelgiame į oro pasipriešinimą). Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad ant stalo gulintį rutulį duoda stūmimas, o jis rieda prie stalo krašto ir pradeda laisvai kristi, pradinis greitis nukreiptas horizontaliai (174 pav.).

Projektuokime rutulio judėjimą vertikalia ašimi ir horizontalia ašimi. Rutulio projekcijos į ašį judėjimas yra judėjimas be pagreičio su greičiu; rutulio projekcijos į ašį judėjimas yra laisvas kritimas, kurio pagreitis mažesnis už pradinį greitį veikiant gravitacijai. Abiejų judėjimų dėsniai mums žinomi. Greičio komponentas išlieka pastovus ir vienodas. Komponentas auga proporcingai laikui:. Gautą greitį lengva rasti naudojant lygiagretainio taisyklę, kaip parodyta Fig. 175. Jis pakryps žemyn, o laikui bėgant jo posvyris didės.

Ryžiai. 174. Nuo stalo riedančio rutulio judėjimas

Ryžiai. 175. Greičiu horizontaliai mestas rutulys šiuo metu turi greitį

Raskime horizontaliai mesto kūno trajektoriją. Kūno koordinatės laiko momentu yra

Norėdami rasti trajektorijos lygtį, iš (112.1) išreiškiame laiką ir pakeičiame šią išraišką (112.2). Kaip rezultatas, mes gauname

Šios funkcijos grafikas parodytas fig. 176. Trajektorijos taškų ordinatės proporcingos abscisių kvadratams. Žinome, kad tokios kreivės vadinamos parabolėmis. Parabolė pavaizdavo tolygiai pagreitinto judėjimo kelio grafiką (§ 22). Taigi laisvai krintantis kūnas, kurio pradinis greitis yra horizontalus, juda išilgai parabolės.

Kelias, važiuojamas vertikalia kryptimi, nepriklauso nuo pradinio greičio. Tačiau horizontalia kryptimi nuvažiuotas kelias yra proporcingas pradiniam greičiui. Todėl esant dideliam horizontaliam pradiniam greičiui, parabolė, išilgai kurios krenta kūnas, yra labiau pailgėjusi horizontalia kryptimi. Jei iš horizontalaus vamzdžio išleidžiama vandens srovė (177 pav.), tai atskiros vandens dalelės, kaip ir rutulys, judės išilgai parabolės. Kuo labiau atidarytas čiaupas, per kurį vanduo patenka į vamzdelį, tuo didesnis pradinis vandens greitis ir kuo toliau nuo čiaupo srovė patenka į kiuvetės dugną. Už purkštuko padėję ekraną su anksčiau nupieštomis parabolėmis, galite įsitikinti, kad vandens srovė tikrai turi parabolės formą.

Ryžiai. 176. Horizontaliai mesto kūno trajektorija

Ryžiai. 174. Nuo stalo riedančio rutulio judėjimas

Ryžiai. 175. Greičiu horizontaliai mestas rutulys šiuo metu turi greitį

Raskime horizontaliai mesto kūno trajektoriją. Kūno koordinatės laiko momentu yra

Norėdami rasti trajektorijos lygtį, iš (112.1) išreiškiame laiką ir pakeičiame šią išraišką (112.2). Kaip rezultatas, mes gauname

Kelias, važiuojamas vertikalia kryptimi, nepriklauso nuo pradinio greičio. Tačiau horizontalia kryptimi nuvažiuotas kelias yra proporcingas pradiniam greičiui. Todėl esant dideliam horizontaliam pradiniam greičiui, parabolė, išilgai kurios krenta kūnas, yra labiau pailgėjusi horizontalia kryptimi. Jei iš horizontalaus vamzdžio išleidžiama vandens srovė (177 pav.), tai atskiros vandens dalelės, kaip ir rutulys, judės išilgai parabolės. Kuo labiau atidarytas čiaupas, per kurį vanduo patenka į vamzdelį, tuo didesnis pradinis vandens greitis ir kuo toliau nuo čiaupo srovė patenka į kiuvetės dugną. Už purkštuko uždėję ekraną su anksčiau nupieštomis parabolėmis, galite įsitikinti, kad vandens srovė tikrai turi parabolės formą.

112.1. Koks bus kūno, išmesto horizontaliai 15 m/s greičiu, greitis po 2 s skrydžio? Kuriuo momentu greitis bus nukreiptas 45 ° kampu į horizontą? Nepaisykite oro pasipriešinimo.

112.2. Nuo stalo 1m aukštyje nuriedėjęs rutulys nukrito 2m nuo stalo krašto. Kas buvo horizontalus greitis kamuolys? Nepaisykite oro pasipriešinimo.