Dvejetainis procesas. Skaičių konvertavimas į dvejetainę, šešioliktainę, dešimtainę, aštuntainę skaičių sistemas
1 pastaba
Jei norite išversti skaičių iš vienos skaičių sistemos į kitą, tuomet patogiau pirmiausia jį išversti į dešimtainę skaičių sistemą, o tik tada iš dešimtainio skaičiaus į bet kurią kitą skaičių sistemą.
Skaičių konvertavimo iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę taisyklės
Skaičiuojant, naudojant mašininę aritmetiką, skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą vaidina svarbų vaidmenį. Žemiau pateikiamos pagrindinės tokių transformacijų (vertimų) taisyklės.
Konvertuojant dvejetainį skaičių į dešimtainį, dvejetainį skaičių reikia pavaizduoti daugianario pavidalu, kurio kiekvienas elementas vaizduojamas kaip skaičiaus skaitmens ir atitinkamos bazinio skaičiaus laipsnio sandauga, šiuo atveju 2 USD, o tada reikia apskaičiuoti daugianarį pagal dešimtainės aritmetikos taisykles:
$ X_2 = A_n \ cdot 2 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 2 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 2 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 2 ^ 1 + A_1 \ cdot 2 ^ 0 $
1 pav. 1 lentelė
1 pavyzdys
Skaičius $ 11110101_2 $ konvertuojamas į dešimtainį žymėjimą.
Sprendimas. Naudodami aukščiau pateiktą 1 $ bazinio $ 2 $ laipsnių lentelę, skaičių pavaizduojame daugianario forma:
11110101_2 $ = 1 \ ctaškas 27 + 1 \ ctaškas 26 + 1 \ ctaškas 25 + 1 \ ctaškas 24 + 0 \ ctaškas 23 + 1 \ ctaškas 22 + 0 \ ctaškas 21 + 1 \ ctaškas 20 = 1 +3 + 6 + 12 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_ (10) $
Norėdami konvertuoti skaičių iš aštuntainių skaičių sistemos į dešimtainį, turite jį pavaizduoti kaip daugianarį, kurio kiekvienas elementas yra pavaizduotas kaip skaičiaus skaitmens ir atitinkamos bazinio skaičiaus galios sandauga, šiuo atveju 8 USD $, tada reikia apskaičiuoti daugianarį pagal dešimtainės aritmetikos taisykles:
$ X_8 = A_n \ cdot 8 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 8 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 8 ^ (n-3) + ... + A_2 \ cdot 8 ^ 1 + A_1 \ cdot 8 ^ 0 $
2 pav. 2 lentelė
2 pavyzdys
Skaičius $ 75013_8 $ konvertuojamas į dešimtainį žymėjimą.
Sprendimas. Naudodami 2 $ bazinių $ 8 $ laipsnių lentelę, skaičių pavaizduojame daugianario forma:
75013_8 USD = 7 \ cdot 8 ^ 4 + 5 \ cdot 8 ^ 3 + 0 \ cdot 8 ^ 2 + 1 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 31243_ (10) $
Norint konvertuoti skaičių iš šešioliktainės skaičių sistemos į dešimtainę, būtina jį pavaizduoti kaip daugianarį, kurio kiekvienas elementas pavaizduotas kaip skaičiaus skaitmens ir atitinkamos bazinio skaičiaus, šiuo atveju $, laipsnio sandauga. 16 USD, o tada reikia apskaičiuoti daugianarį pagal dešimtainės aritmetikos taisykles:
$ X_ (16) = A_n \ cdot 16 ^ (n-1) + A_ (n-1) \ cdot 16 ^ (n-2) + A_ (n-2) \ cdot 16 ^ (n-3) +. .. + A_2 \ cdot 16 ^ 1 + A_1 \ cdot 16 ^ 0 $
3 pav. 3 lentelė
3 pavyzdys
Konvertuokite skaičių $ FFA2_ (16) $ į dešimtainį žymėjimą.
Sprendimas. Naudodami aukščiau pateiktą 3 $ bazinio $ 8 $ laipsnių lentelę, skaičių pavaizduojame kaip daugianarį:
$ FFA2_ (16) = 15 \ cdot 16 ^ 3 + 15 \ cdot 16 ^ 2 + 10 \ cdot 16 ^ 1 + 2 \ cdot 16 ^ 0 = 61440 + 3840 + 160 + 2 = 654 $ 4_
Skaičių konvertavimo iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą taisyklės
- Norėdami konvertuoti skaičių iš dešimtainio į dvejetainį, jį reikia padalyti iš 2 USD, kol liekana yra mažesnė arba lygi 1 USD. Skaičius dvejetainėje sistemoje vaizduojamas kaip paskutinio padalijimo rezultato ir likusios padalijimo seka atvirkštine tvarka.
4 pavyzdys
Konvertuokite skaičių $ 22_ (10) $ į dvejetainį žymėjimą.
Sprendimas:
4 pav.
$22_{10} = 10110_2$
- Norėdami konvertuoti skaičių iš dešimtainio į aštuntainį, jį reikia padalyti iš 8 USD, kol liekana yra mažesnė arba lygi 7 USD. Aštuntasis skaičius vaizduojamas kaip paskutinio padalijimo rezultato ir likusios dalybos skaitmenų seka atvirkštine tvarka.
5 pavyzdys
Skaičius $ 571_ (10) $ konvertuojamas į aštuntainį žymėjimą.
Sprendimas:
5 pav.
$571_{10} = 1073_8$
- Norint konvertuoti skaičių iš dešimtainės sistemos į šešioliktainę sistemą, jis turi būti nuosekliai padalintas iš 16 USD, kol liekana yra mažesnė arba lygi 15 USD. Skaičius šešioliktainėje sistemoje vaizduojamas kaip paskutinio padalijimo rezultato ir likusios dalybos skaitmenų seka atvirkštine tvarka.
6 pavyzdys
Skaičius $ 7467_ (10) $ konvertuojamas į šešioliktainį žymėjimą.
Sprendimas:
6 pav.
7467_ USD (10) = 1D2B_ (16) USD
Norint paversti teisingą trupmeną iš dešimtainės skaičių sistemos į ne dešimtainę, reikia konvertuoto skaičiaus trupmeninę dalį nuosekliai padauginti iš sistemos, į kurią ją reikia konvertuoti, bazės. Dalis naujoje sistemoje bus pateikta ištisų kūrinių dalių forma, pradedant nuo pirmos.
Pavyzdžiui: $ 0,3125 _ ((10)) $ aštuntaine forma atrodys kaip $ 0,24 _ ((8)) $.
Tokiu atveju galite susidurti su problema, kai begalinė (periodinė) trupmena ne dešimtainėje skaičių sistemoje gali atitikti galutinę dešimtainę trupmeną. Tokiu atveju naujojoje sistemoje pateiktos trupmenos skaitmenų skaičius priklausys nuo reikiamo tikslumo. Taip pat reikia pažymėti, kad sveikieji skaičiai išlieka sveiki, o reguliarios trupmenos išlieka trupmenomis bet kurioje skaičių sistemoje.
Skaičių konvertavimo iš dvejetainės skaičių sistemos į kitą taisyklės
- Norint paversti skaičių iš dvejetainės skaičių sistemos į aštuontainį, jis turi būti padalintas į triadas (skaitmenų trejetus), pradedant nuo mažiausiai reikšmingo bito, prireikus papildant vyresniąją triadą nuliais, tada kiekvieną triadą pakeičiant atitinkamu aštuntainiu skaitmeniu. prie 4 lentelės.
7 pav. 4 lentelė
7 pavyzdys
Konvertuokite skaičių $ 1001011_2 $ į aštuntainį užrašą.
Sprendimas... Naudodamiesi 4 lentele, paverskime skaičių iš dvejetainio į aštuntainį:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Norėdami konvertuoti skaičių iš dvejetainės skaičių sistemos į šešioliktainį, jį reikia padalyti į tetradas (keturis skaitmenys), pradedant nuo mažiausiai reikšmingo bito, jei reikia, pridedant nulius prie viršutinio, tada kiekvieną tetradą pakeiskite atitinkamu aštuntainiu skaitmeniu. prie 4 lentelės.
Pamokos tikslai:
- pakartokite skaičių sistemoje studijuotą medžiagą;
- išmokti konvertuoti skaičių iš dešimtainės sistemos į bet kurią kitą pozicinę skaičių sistemą ir atvirkščiai;
- įsisavinti skaičių perkėlimo iš vienos sistemos į kitą principus;
- ugdyti loginį mąstymą.
Per užsiėmimus
Pamokos pradžioje trumpa namų darbų apžvalga ir patikrinimas.
Kokia forma skaitmeninė informacija pateikiama kompiuterio atmintyje?
Kam naudojamos skaičių sistemos?
Kokius skaičių sistemų tipus žinote? Pateikite savo pavyzdžius.
Kuo pozicinės sistemos skiriasi nuo nepozicinių?
Mūsų pamokos tikslas – išmokti konvertuoti skaičių iš dešimtainės sistemos į bet kurią kitą pozicinę skaičių sistemą ir atvirkščiai. Bet pirmiausia pažiūrėsime, kaip galite
reiškia bet kokį neneigiamą sveikąjį skaičių:
Padėties sistemose sveikojo skaičiaus įrašymo reikšmė nustatoma pagal tokią taisyklę: tegul a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0 - įrašant skaičių A, o i - skaitmenis, tada
kur p yra sveikasis skaičius, didesnis nei 1, kuris vadinamas radiksu
Kad bet koks neneigiamas sveikasis skaičius būtų parašytas pagal (1) formulę ir, be to, unikaliu būdu tam tikram p, skirtingų skaitmenų skaitinės reikšmės turi būti skirtingi sveikieji skaičiai, priklausantys intervalui nuo 0 iki p-1 .
1) Dešimtainė sistema
skaitmenys: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
numeris 5735 = 5 10 3 + 7 10 2 + 3 10 1 + 8 10 0
2) Trinarė sistema
skaitmenys: 0,1,2
skaičius 201 3 = 2 3 2 + 0 3 1 + 1 3 0
Pastaba: apatinis indeksas skaičių žymėjime reiškia skaičių sistemos, kurioje skaičius parašytas, pagrindą. Dešimtainių skaičių sistemoje indekso galima praleisti.
Neigiamųjų ir trupmeninių skaičių vaizdavimas:
Visose padėties sistemose ženklas „-“ naudojamas neigiamiems skaičiams rašyti, taip pat dešimtainėje sistemoje. Kablelis naudojamas sveikajam skaičiui atskirti nuo trupmeninės dalies. Skaičiaus A įrašo ana n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... a m-2 a m-1 am reikšmė nustatoma pagal formulę, kuri yra (1) formulės apibendrinimas:
75,6 = 7 · 10 1 + 5 · 10 0 + 6 · 10 -1
–2,314 5 = - (2 · 5 0 + 3 · 5 –1 + 1 · 5 –2 + 4 · 5 –3)
Skaičių konvertavimas iš savavališkos skaičių sistemos į dešimtainę:
Reikia suprasti, kad verčiant skaičių iš vienos skaičių sistemos į kitą, kiekybinė skaičiaus reikšmė nesikeičia, o keičiasi tik skaičiaus rašymo forma, kaip ir verčiant skaičiaus pavadinimą, pvz. Rusų į anglų kalbą.
Skaičių konvertavimas iš savavališkos skaičių sistemos į dešimtainį yra atliekamas tiesioginiu skaičiavimu naudojant formulę (1) sveikiesiems skaičiams ir formulę (2) trupmeniniams skaičiams.
Skaičių konvertavimas iš dešimtainio į savavališką.
Paversti skaičių iš dešimtainės sistemos į bazinę p sistemą reiškia rasti koeficientus formulėje (2). Kartais tai lengva padaryti naudojant paprastą pasirinkimą. Pavyzdžiui, tarkime, kad norite konvertuoti skaičių 23,5 į aštuntainę sistemą. Nesunku pastebėti, kad 23,5 = 16 + 7 + 0,5 = 2 · 8 + 7 + 4/8 = 2 · 8 1 + 7 · 8 0 + 4 · 8 –1 = 27,48. Akivaizdu, kad atsakymas ne visada toks akivaizdus. Bendruoju atveju naudojamas būdas išversti atskirai sveikąsias ir trupmenines skaičiaus dalis.
Norint išversti sveikuosius skaičius, naudojamas šis algoritmas (gautas pagal (1) formulę):
1. Padalinę skaičių iš p, raskite dalinį ir liekaną. Likutis bus kitas skaitmuo ai (j = 0,1,2 ...), įrašantis skaičių naujoje skaičių sistemoje.
2. Jei koeficientas lygus nuliui, tai skaičiaus vertimas baigtas, kitu atveju daliniui taikome 1 sakinį.
1 pastaba. Skaičiai ai skaičių įraše numeruojami iš dešinės į kairę.
2 pastaba. Jei p> 10, tada reikia įvesti skaičių, kurių skaitinės reikšmės yra didesnės arba lygios 10, pavadinimus.
Konvertuokite skaičių 165 į septynių skaičių sistemą.
165: 7 = 23 (likęs 4) => a 0 = 4
23: 7 = 3 (likutis 2) => a 1 = 2
3: 7 = 0 (likęs 3) => a 2 = 3
Išrašykime rezultatą: a 2 a 1 a 0, t.y. 3247.
Patikrinę (1) formulę, įsitikinsime, kad vertimas yra teisingas:
3247 = 3 7 2 + 2 7 1 + 4 7 0 = 3 49 + 2 7 + 4 = 147 + 14 + 4 = 165.
Norint išversti trupmenines skaičių dalis, naudojamas algoritmas, gautas pagal (2) formulę:
1. Trupmeninę skaičiaus dalį padauginkite iš p.
2. Rezultato sveikoji dalis bus kitas skaitmuo am (m = –1, –2, –3…), įrašantis skaičių naujoje skaičių sistemoje. Jei trupmeninė rezultato dalis lygi nuliui, tada skaičiaus vertimas baigtas, kitu atveju jam taikome 1 tašką.
1 pastaba. Skaičių įrašo skaitmenys a m yra išdėstyti iš kairės į dešinę absoliučios m reikšmės didėjimo tvarka.
2 pastaba. Paprastai trupmeninių skaitmenų skaičius naujame skaičiaus įraše yra iš anksto ribojamas. Tai leidžia atlikti apytikslį vertimą nurodytu tikslumu. Begalinių trupmenų atveju šis apribojimas užtikrina algoritmo baigtinumą.
Konvertuoti dvejetainį skaičių 0,625.
0,625 2 = 1,25 (visa 1 dalis) => a -1 = 1
0,25 2 = 0,5 (sveikasis skaičius 0) => a- 2 = 0
0,5 2 = 1,00 (visa 1 dalis) => a- 3 = 1
Taigi 0,62510 = 0,1012
Patikrinę (2) formulę, įsitikinsime, kad vertimas yra teisingas:
0,1012 = 1 2 -1 + 0 2-2 + 1 2 -3 = 1/2 + 1/8 = 0,5 + 0,125 = 0,625.
Konvertuokite skaičių 0,165 į ketvirtinę skaičių sistemą, apribotą iki keturių ketvirtinių skaitmenų.
0,165 4 = 0,66 (sveikasis skaičius 0) => a -1 = 0
0,66 4 = 2,64 (sveikasis skaičius 2) => a -2 = 2
0,64 4 = 2,56 (visa 2 dalis) => a -3 = 2
0,56 4 = 2,24 (sveikasis skaičius 2) => a -4 = 2
Taigi, 0,16510 "0,02224
Atlikime atvirkštinį vertimą, kad įsitikintume, jog absoliuti paklaida neviršija 4–4:
0,02224 = 0 4 -1 + 2 4 -2 + 2 4 -3 + 2 4 -4 = 2/16 + 2/64 + 2/256 = 1/8 + 1/32 + 1 / 128 = 21/128 = 0,1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Skaičių konvertavimas iš vienos savavališkos sistemos į kitą
Tokiu atveju pirmiausia turite konvertuoti skaičių į dešimtainę sistemą, o tada iš dešimtainės į reikiamą skaičių.
Sistemoms su keliomis bazėmis skaičiams išversti naudojamas specialus metodas.
Tegul p ir q yra dviejų skaičių sistemų pagrindai. Vadinsime šias skaičių sistemas su keliomis bazėmis, jei p = qn arba q = pn, kur n yra natūralusis skaičius. Taigi, pavyzdžiui, skaičių sistemos su 2 ir 8 bazėmis yra skaičių sistemos su keliomis bazėmis.
Tegu p = qn ir reikia perkelti skaičių iš skaičių sistemos su baze q į skaičių sistemą su baze p. Skaičių įrašo sveikąsias ir trupmenines dalis padalijame į grupes iš n iš eilės įrašytų skaitmenų kablelio kairėje ir dešinėje. Jei skaitmenų skaičius, įrašytas į sveikąją skaičiaus dalį, nėra n kartotinis, tada kairėje reikia pridėti atitinkamą nulių skaičių. Jei skaitmenų skaičius trupmeninės skaičiaus dalies įraše nėra n kartotinis, tada dešinėje pridedami nuliai. Kiekviena tokia skaičiaus skaitmenų grupė senojoje skaičių sistemoje atitiks vieną skaičiaus skaitmenį naujojoje skaičių sistemoje.
1100001,111 2 konvertavimas 4 kartų skaičių sistemoje.
Sudėjus nulius ir pasirinkus skaičių poras, gauname 01100001.11102.
Dabar išverskime kiekvieną skaičių porą atskirai, naudodami elementą Skaičių konvertavimas iš vienos savavališkos sistemos į kitą.
Taigi, 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.
Tarkime, dabar reikia atlikti perkėlimą iš sistemos su dideliu radiksu q į sistemą su mažesniu radiksu p, t.y. q = p n. Šiuo atveju vienas skaičiaus skaitmuo senojoje skaičių sistemoje atitinka n skaičiaus skaitmenų naujojoje skaičių sistemoje.
Pavyzdys: patikrinkime ankstesnį skaičiaus vertimą.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
Šešioliktainėje sistemoje yra skaičiai su skaitinėmis reikšmėmis 10,11,12,13,14,15. Norėdami juos pažymėti, naudokite pirmąsias šešias lotyniškos abėcėlės raides A, B, C, D, E, F.
Čia yra skaičių nuo 0 iki 16 lentelė, parašyta 10, 2, 8 ir 16 bazėmis.
| Dešimtainis skaičius | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Aštuntainėje | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| Dvejetainiu | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| Šešioliktainis | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
Norėdami rašyti šešioliktainius skaitmenis, taip pat galite naudoti mažąsias lotyniškas raides a-f.
Pavyzdys: paverskime skaičių 110101001010101010100.11 2 į šešioliktainę skaičių sistemą.
Panaudokime skaičių sistemų bazių daugybą (16 = 2 4). Sugrupuokime skaičius iš keturių, kairėje ir dešinėje pridėdami reikiamą skaičių nulių
000110101001010101010100,1100 2
ir, remdamiesi lentele, gauname: 1A9554, C 16
Išvestis:
Kokia skaičių sistema geriau rašyti skaičius – patogumo ir tradicijos reikalas. Techniniu požiūriu, kompiuteryje patogu naudoti dvejetainę sistemą, nes joje įrašyti tik du skaitmenys 0 ir 1, kurį galima pavaizduoti dviem lengvai atskiriamomis būsenomis „nėra signalo“ ir „yra signalas“.
Kita vertus, žmogui nepatogu tvarkyti dvejetainius skaičių žymėjimus dėl to, kad jie ilgesni už dešimtainius skaičius ir juose daug pasikartojančių skaitmenų. Todėl, jei reikia dirbti su mašininiais skaičių atvaizdavimais, naudokite aštuntainę arba šešioliktainę skaičių sistemą. Šių sistemų pagrindai yra sveikųjų skaičių laipsniai iš dviejų, todėl skaičius gali būti lengvai išverstas iš šių sistemų į dvejetaines ir atvirkščiai.
Užduotį užrašome namuose:
a) Įrašykite visų savo šeimos narių gimimo datą skirtingose skaičių sistemose.
b) Konvertuokite skaičius iš dvejetainių į aštuntainius ir šešioliktainius, tada patikrinkite rezultatus atlikdami atvirkštinius vertimus:
a) 1001111110111,011 2;
Skaičiuoklė leidžia konvertuoti sveikuosius ir trupmeninius skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą. Skaičių sistemos pagrindas negali būti mažesnis nei 2 ir didesnis nei 36 (juk 10 skaitmenų ir 26 lotyniškos raidės). Skaičiai gali būti iki 30 simbolių ilgio. Norėdami įvesti trupmeninius skaičius, naudokite simbolį. arba,. Norėdami konvertuoti skaičių iš vienos sistemos į kitą, pirmame lauke įveskite pradinį skaičių, antrame – pradinės skaičių sistemos pagrindą, o trečiajame – skaičių sistemos, į kurią norite išversti skaičių, bazę ir tada spustelėkite mygtuką „Gauti įrašą“.
Originalus numeris įrašyta 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 - numerių sistema.
Noriu įrašyti numerį 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - numerių sistema.
Gaukite įrašą
Užbaigti vertimai: 1363703
Skaičių sistemos
Skaičių sistemos skirstomos į du tipus: pozicinis ir ne pozicinis... Mes naudojame arabišką sistemą, ji yra pozicinė, taip pat yra romėniška – ji tiesiog nėra pozicinė. Padėties sistemose skaitmens padėtis skaičiuje vienareikšmiškai lemia to skaičiaus reikšmę. Tai lengva suprasti, atsižvelgiant į skaičiaus pavyzdį.
1 pavyzdys... Paimkime skaičių 5921 dešimtainiu būdu. Sunumeruokime skaičių iš dešinės į kairę, pradedant nuo nulio:
Skaičius 5921 gali būti parašytas tokia forma: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Skaičius 10 yra charakteristika, nusakanti skaičių sistemą. Nurodyto skaičiaus padėties reikšmės laikomos laipsniais.
2 pavyzdys... Apsvarstykite tikrąjį dešimtainį skaičių 1234.567. Sunumeruokime jį nuo nulinės skaičiaus padėties nuo kablelio į kairę ir dešinę:
Skaičius 1234.567 gali būti parašytas tokia forma: 1234.567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 0 · 1 · 1 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.
Skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą
Paprasčiausias būdas perkelti skaičių iš vienos skaičių sistemos į kitą – iš pradžių skaičių išversti į dešimtainę skaičių sistemą, o tada gautą rezultatą į reikiamą skaičių sistemą.
Skaičių konvertavimas iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę skaičių sistemą
Norint konvertuoti skaičių iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę, užtenka sunumeruoti jo skaitmenis, pradedant nuo nulio (vieta į kairę nuo kablelio), panašiai kaip 1 arba 2 pavyzdžiuose. Raskime skaitmenų sandaugų sumą. skaičiaus pagal skaičių sistemos pagrindą šio skaitmens padėties laipsnyje:
1.
Konvertuokite skaičių 1001101.1101 2 į dešimtainį žymėjimą.
Sprendimas: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
Atsakymas: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Konvertuokite E8F.2D 16 į dešimtainį žymėjimą.
Sprendimas: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 3727,25817
Atsakymas: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Skaičių konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą
Norint konvertuoti skaičius iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą, sveikosios ir trupmeninės skaičiaus dalys turi būti išverstos atskirai.
Sveikosios skaičiaus dalies konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą
Sveikoji dalis paverčiama iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą, nuosekliai dalijant sveikąją skaičiaus dalį iš skaičių sistemos pagrindo, kol gaunama visa liekana, kuri yra mažesnė už skaičių sistemos bazę. Pervedimo rezultatas bus įrašas iš balanso, pradedant nuo paskutinio.
3.
Konvertuokite skaičių 273 10 į aštuntainių skaičių sistemą.
Sprendimas: 273/8 = 34 ir likusioji dalis 1, 34/8 = 4 ir likusioji dalis 2, 4 yra mažesnė nei 8, todėl skaičiavimai baigti. Rekordas iš likučių atrodys taip: 421
Apžiūra: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273, rezultatas yra toks pat. Tai reiškia, kad vertimas atliktas teisingai.
Atsakymas: 273 10 = 421 8
Panagrinėkime teisingų dešimtainių trupmenų vertimą įvairiose skaičių sistemose.
Skaičiaus trupmeninės dalies konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą
Prisiminkite, kad vadinama teisinga dešimtainė trupmena realusis skaičius su nuline sveikojo skaičiaus dalimi... Norint konvertuoti tokį skaičių į bazinę N skaičių sistemą, reikia skaičių nuosekliai padauginti iš N, kol trupmeninė dalis bus lygi nuliui arba bus gautas reikiamas skaitmenų skaičius. Jei dauginant gaunamas skaičius, kurio sveikojo skaičiaus dalis nėra nulinė, į sveikąją dalį toliau neatsižvelgiama, nes ji nuosekliai įtraukiama į rezultatą.
4.
Konvertuoti dvejetainį skaičių 0,125 10.
Sprendimas: 0,125 2 = 0,25 (0 yra sveikoji dalis, kuri taps pirmuoju rezultato skaitmeniu), 0,25 2 = 0,5 (0 yra antrasis rezultato skaitmuo), 0,5 2 = 1,0 (1 yra trečiasis rezultato skaitmuo) , o kadangi trupmeninė dalis lygi nuliui , tada vertimas baigtas).
Atsakymas: 0.125 10 = 0.001 2
Rezultatas jau gautas!
Skaičių sistemos
Yra pozicinių ir nepozicinių skaičių sistemos. Arabų skaičių sistema, kurią naudojame kasdieniame gyvenime, yra pozicinė, o romėniškoji – ne. Padėties numeravimo sistemose skaičiaus padėtis vienareikšmiškai lemia skaičiaus dydį. Pažvelkime į tai naudodami dešimtainį skaičių 6372 kaip pavyzdį. Išvardykime šį skaičių iš dešinės į kairę, pradedant nuo nulio:
Tada skaičius 6372 gali būti pavaizduotas taip:
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Skaičius 10 apibrėžia skaičių sistemą (šiuo atveju tai yra 10). Nurodyto skaičiaus padėties reikšmės laikomos laipsniais.
Apsvarstykite tikrąjį dešimtainį skaičių 1287.923. Sunumeruokime jį nuo nulinės skaičiaus padėties nuo kablelio į kairę ir į dešinę:
Tada skaičius 1287.923 gali būti pavaizduotas taip:
1287,923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 3 · 0 10 -3.
Apskritai formulę galima pavaizduoti taip:
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
kur Ц n yra sveikasis skaičius padėtyje n, Д -k - trupmeninis skaičius pozicijoje (-k), s- skaičių sistema.
Keletas žodžių apie skaičių sistemas Skaičius dešimtainėje skaičių sistemoje susideda iš daugelio skaitmenų (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), aštuntainėje - iš aibės skaičiai (0,1, 2,3,4,5,6,7), dvejetainėje skaičių sistemoje - iš skaitmenų rinkinio (0,1), šešioliktainėje skaičių sistemoje - iš skaičių aibės (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), kur A, B, C, D, E, F atitinka skaičius 10,11 Pateikiami ,12,13,14,15.skaičiai skirtingose skaičių sistemose.
| 1 lentelė | |||
|---|---|---|---|
| Žymėjimas | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą
Norint konvertuoti skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą, paprasčiausias būdas yra pirmiausia konvertuoti skaičių į dešimtainę skaičių sistemą, o tada iš dešimtainės skaičių sistemos išversti jį į reikiamą skaičių sistemą.
Skaičių konvertavimas iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę skaičių sistemą
Naudodami (1) formulę galite konvertuoti skaičius iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę skaičių sistemą.
Pavyzdys 1. Konvertuokite skaičių 1011101.001 iš dvejetainio žymėjimo (SS) į dešimtainį SS. Sprendimas:
1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4+ 1 · 2 3+ 1 · 2 2+ 0 · 2 1+ 1 20+ 0 2-1 + 0 2-2 + 1 2–3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Pavyzdys2. Konvertuoti 1011101.001 iš aštuntainių skaičių sistemos (SS) į dešimtainį SS. Sprendimas:
Pavyzdys 3 ... Konvertuokite skaičių AB572.CDF iš šešioliktainio skaičiaus į dešimtainį SS. Sprendimas:
čia A- pakeista 10, B– 11 val. C– 12 val. F- iki 15.
Skaičių konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą
Norėdami konvertuoti skaičius iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą, turite atskirai išversti sveikąją skaičiaus dalį ir trupmeninę skaičiaus dalį.
Visa skaičiaus dalis perkeliama iš dešimtainės SS į kitą skaičių sistemą - nuosekliai padalijus visą skaičiaus dalį iš skaičių sistemos pagrindo (dvejetainiam SS - iš 2, 8-ių SS - iš 8, 16 metų - 16 ir tt) ), kol bus gauta visa likutis, mažesnė už bazinę CC.
Pavyzdys 4 ... Paverskime skaičių 159 iš dešimtainio SS į dvejetainį SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kaip matyti iš fig. 1, skaičius 159, padalytas iš 2, suteikia koeficientą 79, o likutis 1. Be to, skaičius 79, padalytas iš 2, suteikia dalinį 39, o likusioji dalis 1 ir tt. Dėl to, sukūrę skaičių iš likusios padalijimo dalies (iš dešinės į kairę), gauname skaičių dvejetainiame SS: 10011111 ... Todėl galime rašyti:
159 10 =10011111 2 .
Pavyzdys 5 ... Paverskime skaičių 615 iš dešimtainio SS į aštuntainį SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Konvertuojant skaičių iš dešimtainio SS į aštuntąjį SS, reikia skaičių nuosekliai padalyti iš 8, kol gausite visą likutį, mažesnę nei 8. Dėl to, sudarant skaičių iš dalybos liekanų (iš dešinės į kairę), mes gauname skaičių aštuntajame SS: 1147 (žr. 2 pav.). Todėl galime rašyti:
615 10 =1147 8 .
Pavyzdys 6 ... Konvertuokite skaičių 19673 iš dešimtainio į šešioliktainį SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kaip matyti iš 3 paveikslo, 19673 nuosekliai padalijus iš 16, gavome likučius 4, 12, 13, 9. Šešioliktainėje sistemoje skaičius 12 atitinka C, skaičius 13 – D. Todėl mūsų šešioliktainis skaičius yra 4CD9.
Norint paversti teisingas dešimtaines trupmenas (realųjį skaičių su nuline sveikojo skaičiaus dalimi) į bazę s, šį skaičių reikia nuosekliai dauginti iš s, kol trupmeninėje dalyje gaunamas grynas nulis arba gauname reikiamą skaičių skaitmenų. Jei dauginant gaunamas skaičius, kurio sveikoji dalis skiriasi nuo nulio, į šią sveikąją dalį neatsižvelgiama (jie nuosekliai pridedami prie rezultato).
Panagrinėkime aukščiau pateiktus pavyzdžius.
Pavyzdys 7 ... Konvertuokite skaičių 0,214 iš dešimtainio į dvejetainį SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kaip matyti iš 4 pav., skaičius 0,214 nuosekliai dauginamas iš 2. Jei padauginus gaunamas nulinis skaičius su sveikąja dalimi, tai sveikoji dalis rašoma atskirai (kairėje nuo skaičiaus), o skaičius parašyta su nuline sveikojo skaičiaus dalimi. Jei dauginant gaunamas skaičius, kurio sveikoji dalis yra nulinė, tada kairėje jo pusėje rašomas nulis. Daugybos procesas tęsiamas tol, kol trupmeninėje dalyje gaunamas grynas nulis arba gaunamas reikiamas skaitmenų skaičius. Užrašę paryškintus skaičius (4 pav.) iš viršaus į apačią, gauname reikiamą skaičių dvejetainėje skaičių sistemoje: 0. 0011011 .
Todėl galime rašyti:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Pavyzdys 8 ... Paverskime skaičių 0,125 iš dešimtainės skaičių sistemos į dvejetainį SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Norint paversti skaičių 0,125 iš dešimtainio SS į dvejetainį, šis skaičius nuosekliai dauginamas iš 2. Trečiajame etape paaiškėjo, kad jis yra 0. Todėl gautas toks rezultatas:
0.125 10 =0.001 2 .
Pavyzdys 9 ... Paverskime skaičių 0,214 iš dešimtainio į šešioliktainį SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Vadovaudamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, gauname skaičius 3, 6, 12, 8, 11, 4. Tačiau šešioliktainėje SS skaičiai 12 ir 11 atitinka skaičius C ir B. Todėl turime:
0,214 10 = 0,36C8B4 16.
Pavyzdys 10 ... Dešimtainės dalies konvertavimas į dešimtainį SS skaičių 0,512.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Gavau:
0.512 10 =0.406111 8 .
Pavyzdys 11 ... Skaičius 159.125 konvertuojamas iš dešimtainio į dvejetainį SS. Norėdami tai padaryti, verčiame atskirai sveikąją skaičiaus dalį (4 pavyzdys) ir trupmeninę skaičiaus dalį (8 pavyzdys). Be to, sujungę šiuos rezultatus, gauname:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Pavyzdys 12 ... Skaičius 19673.214 konvertuojamas iš dešimtainio į šešioliktainį SS. Norėdami tai padaryti, verčiame atskirai sveikąją skaičiaus dalį (6 pavyzdys) ir trupmeninę skaičiaus dalį (9 pavyzdys). Be to, sujungę šiuos rezultatus, gauname.
Taisyklė. Norėdami konvertuoti skaičių iš vienos skaičių sistemos į kitą, pradinį skaičių turite padalyti iš naujos skaičių sistemos pagrindo. Gautą koeficientą dar kartą padalykite iš naujos skaičių sistemos pagrindo ir tęskite skaidymą iki tol. kol koeficientas bus mažesnis už naujosios skaičių sistemos bazę. Gautos padalijimo liekanos, pradedant nuo paskutinio, rašomos atvirkštine tvarka. Tai bus numerio įrašymas naujoje skaičių sistemoje.
Pavyzdys. Konvertuokite skaičių 135 iš 10 arų SS į 2 arų, 8 arų ir šešioliktainę žymėjimo sistemas.
| 1) | 2) | 3) | ||||||||||||||
2 užduotis.
Konvertuokite į dvejetainį, aštuntainį ir šešioliktainį SS šiuos skaičius: 1275 973, 172
Atvirkštinis skaičių vertimas iš bet kurio SS į 10 skaitmenų.
1) Norėdami konvertuoti skaičių iš bet kurio SS į originalų SS (atvirkštinis vertimas), kiekvieną šio skaičiaus skaitmenį reikia padauginti iš pradinio SS pagrindo. pradedant nuliniu skaitmeniu iš dešinės į kairę ir pridėti produktus. Jei verčiama dešimtainė trupmena, turėtų būti taikoma sveikojo skaičiaus ir trupmeninių skaičiaus dalių įrašymo taisyklė.
2) Atvirkštinis skaičių vertimas atliekamas pagal formulę:
kur A yra duotas skaičius,
g - duoto skaičiaus bazinis SS (= 2 2-ar SS, kitiems SS - panašus),
m yra skaitmenų skaičius sveikojoje skaičiaus dalyje.
n - skaitmenų skaičius trupmeninėje skaičiaus dalyje,
a - nurodyto skaičiaus skaitmenų reikšmė (skaičiaus trupmeninės dalies įrašas paryškintas mėlyna spalva).
110110 2 = 1*2 5 +1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =54 10
66 8 = 6 * 8 1 + 6 * 8 0 = 48 + 6 = 54 10 9A 16 = 9 * 16 1 + 10 * 16 0 = 144 + 10 = 154 10
13,4 8 = 1 * 8 1 + 3 * 8 0 + 4 * 8 -1 = 8 + 3 + 0,5 = 11,5 10 (šis skaičius yra dešimtainė trupmena)
3 užduotis.
Konvertuokite šiuos skaičius į dešimtainį SS:
101,11 2 =5,75 10 1011001 2 1011,101 2
125,7 8 =86 10 1253 8 175,132 8
A19BA 16 = 2585726 ... 10 16A3 16 2BAFD 16
Skaičių, kurių raidė yra 2 laipsnio, vertimas ir atvirkštinis vertimas.Šios SS apima dvejetaines, aštuntaines ir šešioliktaines skaičių sistemas.
Taisyklė. Dvejetainis SS į aštuntainis SS. Dvejetainis skaičius yra padalintas į grupes po 3 skaitmenis nuo galo (iš dešinės į kairę) ir kiekviena grupė paverčiama skaičiumi naujame CC
10.000.101 2 =205 8
111.000.101.100 2 =7054 8
1.011.001.101 2 =1315 8
Taisyklė. Atvirkštiniam konvertavimui kiekvienas aštuntainis skaitmuo rašomas kaip triada.
Taisyklė. Nuo dvejetainio SS iki šešioliktainio SS: panašus, bet atskiras po 4 skaitmenis
0110.0110.1011 2 = 66B 16
1011.1111.0111 2 = BF7 16
10.1010.0111.0001 2 = 2A71 16
Taisyklė. Atvirkštiniam konvertavimui kiekvienas šešioliktainis skaitmuo rašomas kaip tetrada.
Teisingų ir neteisingų trupmenų vertimas skirtingose SS. Jei reikia išversti įprastą trupmeną, pirmiausia turite ją konvertuoti į dešimtainę trupmeną, o tada taikyti dešimtainių trupmenų konvertavimo taisykles.
Taisyklė. Dešimtainių trupmenų, mažesnių už vieną, konvertavimas (teisinga trupmena).
1) trupmeninę dalį reikia atskirti vertikalia linija;
2) padauginkite trupmeninę dalį pagal naują skaičių sistemą;
3) rezultatą parašykite griežtai po pirminiu skaičiumi, pradedant nuo mažiausiai reikšmingo bito; jei gaunate perkėlimą į visą dalį, užrašykite jį kairėje eilutės pusėje;
4) trupmeninės dalies dauginimas atliekamas tol, kol gaunamas tam tikro tikslumo skaičius arba eilutės dešinėje nėra 0.
0,728 10 =0,564 8
4 užduotis. Konvertuokite iš dešimtainio SS į dvejetainį, aštuntainį, šešioliktainį SS šias teisingas trupmenas:.
