Vektorinė vidurio taško formulė. Koordinatės ir vektoriai. Išsamus vadovas (2020). Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Pagaliau gavau į rankas plačią ir ilgai lauktą temą analitinė geometrija... Pirma, šiek tiek apie šią aukštosios matematikos skyrių... Tikrai dabar jums primena mokyklos geometrijos kursą su daugybe teoremų, jų įrodymų, brėžinių ir kt. Ką slėpti, nemylimas ir dažnai neaiškus dalykas nemenkai daliai mokinių. Kaip bebūtų keista, analitinė geometrija gali atrodyti įdomesnė ir prieinamesnė. Ką reiškia būdvardis analitinis? Iš karto į galvą ateina du štampuoti matematiniai posūkiai: „grafinio sprendimo metodas“ ir „analitinis sprendimo metodas“. Grafinis metodas, žinoma, yra susijęs su grafikų, brėžinių konstravimu. Analitinis tas pats metodas apima problemų sprendimą daugiausia per algebrinius veiksmus. Šiuo atžvilgiu beveik visų analitinės geometrijos problemų sprendimo algoritmas yra paprastas ir skaidrus, dažnai pakanka atidžiai pritaikyti reikiamas formules - ir atsakymas paruoštas! Ne, žinoma, visiškai neapsieis be piešinių, be to, kad geriau suprasčiau medžiagą, pabandysiu juos cituoti be reikalo.

Atviras geometrijos pamokų kursas nepretenduoja į teorinį išbaigtumą, orientuotas į praktinių uždavinių sprendimą. Į savo paskaitas įtrauksiu tik tai, kas, mano požiūriu, yra svarbu praktiškai. Jei jums reikia išsamesnės pagalbos dėl bet kurio poskyrio, rekomenduoju šią lengvai prieinamą literatūrą:

1) Daiktas, su kuriuo, ne juokais, pažįstamos kelios kartos: Mokyklinis geometrijos vadovėlis, autoriai - L.S. Atanasjanas ir kompanija... Ši mokyklos rūbinės kabykla jau atlaikė 20 (!) perspaudų, o tai, žinoma, ne riba.

2) Geometrija 2 tomuose... Autoriai L.S. Atanasjanas, Bazilevas V.T.... Tai yra vidurinės mokyklos literatūra, jums reikės pirmasis tomas... Retos užduotys gali iškristi iš mano akiračio, ir ši pamoka bus neįkainojama pagalba.

Abi knygas galima nemokamai parsisiųsti iš interneto. Be to, galite naudoti mano archyvą su paruoštais sprendimais, kuriuos galite rasti puslapyje Atsisiųskite aukštosios matematikos pavyzdžius.

Iš įrankių rinkinio vėl siūlau savo tobulėjimą - programinės įrangos paketą ant analitinės geometrijos, kuri labai supaprastins gyvenimą ir sutaupys daug laiko.

Daroma prielaida, kad skaitytojas yra susipažinęs su pagrindinėmis geometrinėmis sąvokomis ir formomis: tašku, tiese, plokštuma, trikampiu, lygiagretainiu, gretasieniu, kubu ir kt. Patartina prisiminti kai kurias teoremas, bent jau Pitagoro teoremą, sveiki kartotojai)

O dabar nuosekliai apsvarstysime: vektoriaus sąvoką, veiksmus su vektoriais, vektorių koordinates. Toliau rekomenduoju perskaityti esminis straipsnis Taškinė vektorių sandauga ir taip pat Vektorius ir vektorių mišrus sandauga... Vietinė užduotis - segmento padalijimas šiuo atžvilgiu taip pat nebus nereikalingas. Remdamiesi aukščiau pateikta informacija, galite įvaldyti plokštumos tiesės lygtis su paprasčiausi sprendimų pavyzdžiai kuri leis išmokti spręsti geometrijos uždavinius... Taip pat naudingi šie straipsniai: Plokštumos erdvėje lygtis, Tiesios erdvės lygtys, Pagrindinės užduotys tiesėje ir plokštumoje, kiti analitinės geometrijos skyriai. Žinoma, pakeliui bus svarstomos standartinės užduotys.

Vektorinė koncepcija. Nemokamas vektorius

Pirmiausia pakartokime mokyklinį vektoriaus apibrėžimą. Vektorius paskambino nukreiptas segmentas, kurio pradžia ir pabaiga nurodyta:

Šiuo atveju atkarpos pradžia yra taškas, atkarpos pabaiga – taškas. Pats vektorius žymimas. Kryptis yra būtina, jei perstatysite rodyklę į kitą segmento galą, gausite vektorių, ir tai jau visiškai kitoks vektorius... Vektoriaus sąvoką patogu tapatinti su fizinio kūno judėjimu: reikia sutikti, įėjimas pro instituto duris ar išeiti iš instituto durų yra visiškai skirtingi dalykai.

Patogu atskirus plokštumos taškus, erdvę laikyti vadinamuoju nulinis vektorius... Toks vektorius turi tą pačią pabaigą ir pradžią.

!!! Pastaba: Toliau galima daryti prielaidą, kad vektoriai yra toje pačioje plokštumoje arba galima daryti prielaidą, kad jie yra erdvėje – pateiktos medžiagos esmė tinka ir plokštumai, ir erdvei.

Legenda: Daugelis iš karto pastebėjo lazdelę be rodyklės pavadinime ir pasakė, kad toje pačioje vietoje jie padėjo strėlę viršuje! Tiesa, galima rašyti su rodykle:, bet taip pat įmanoma įrašas, kurį naudosiu ateityje... Kodėl? Matyt, toks įprotis susiformavo iš praktinių sumetimų, mano šauliai mokykloje ir universitete pasirodė pernelyg margi ir gauruoti. Mokomojoje literatūroje kartais jie visai nesivargina su dantiraščiu, o paryškina raides paryškintomis raidėmis:, tai reiškia, kad tai vektorius.

Toks buvo stilius, o dabar apie vektorių rašymo būdus:

1) Vektorius galima parašyti dviem didžiosiomis lotyniškomis raidėmis:
ir tt Šiuo atveju pirmoji raidė būtinaižymi vektoriaus pradžios tašką, o antra raidė – vektoriaus galinį tašką.

2) Vektoriai taip pat rašomi mažomis lotyniškomis raidėmis:
Visų pirma, mūsų vektorius gali būti perskirtas glaustumui su maža lotyniška raide.

Ilgis arba modulis nulinis vektorius yra atkarpos ilgis. Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui. Tai logiška.

Vektoriaus ilgis rodomas modulio ženklu:,

Kiek vėliau sužinosime (arba pakartosime, kam kaip), kaip rasti vektoriaus ilgį.

Tai buvo elementari informacija apie vektorių, pažįstama visiems moksleiviams. Analitinėje geometrijoje vadinamasis nemokamas vektorius.

Jei tai gana paprasta - vektorius gali būti atidėtas iš bet kurio taško:

Anksčiau tokius vektorius vadindavome lygiais (lygių vektorių apibrėžimas bus pateiktas žemiau), tačiau grynai matematiniu požiūriu tai yra VIENAS IR TAS PATS VEKTORIAUS arba nemokamas vektorius... Kodėl nemokamai? Nes spręsdami uždavinius galite „pritvirtinti“ tą ar kitą „mokyklos“ vektorių prie BET BET ko jums reikalingos plokštumos ar erdvės taško. Tai labai šaunus turtas! Įsivaizduokite savavališko ilgio ir krypties nukreiptą segmentą – jį galima „klonuoti“ be galo daug kartų ir bet kuriame erdvės taške, iš tikrųjų jis egzistuoja VISUR. Yra studentas posakis: Kiekvienas dėstytojas f ** k a vektorius. Juk ne tik šmaikštus rimas, viskas beveik teisinga – ten irgi galima pridėti nukreiptą segmentą. Bet neskubėkite džiaugtis, dažniau kenčia patys studentai =)

Taigi, nemokamas vektorius- tai yra daug identiški nukreipti segmentai. Mokyklinis vektoriaus apibrėžimas, pateiktas pastraipos pradžioje: „Vekteris vadinamas nukreiptu segmentu ...“, reiškia specifinis nukreipta atkarpa, paimta iš tam tikros aibės, susieta su konkrečiu plokštumos ar erdvės tašku.

Reikėtų pažymėti, kad fizikos požiūriu laisvojo vektoriaus sąvoka paprastai yra neteisinga, o taikymo taškas yra svarbus. Iš tiesų, tiesioginio tos pačios jėgos smūgio į nosį ar kaktą pakaks, kad išvystytų mano kvailą pavyzdį, o pasekmės skiriasi. Tačiau nėra nemokama vektorių randama ir vidurinės mokyklos kurse (neik ten :)).

Veiksmai su vektoriais. Kolineariniai vektoriai

Mokyklos geometrijos kurse atsižvelgiama į daugybę veiksmų ir taisyklių su vektoriais: sudėjimas pagal trikampio taisyklę, sudėjimas pagal lygiagretainio taisyklę, vektorių skirtumo taisyklė, vektoriaus dauginimas iš skaičiaus, vektorių skaliarinė sandauga ir kt. Sėklai pakartosime dvi taisykles, kurios ypač aktualios sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius.

Vektorių sudėjimo taisyklė pagal trikampių taisyklę

Apsvarstykite du savavališkus nulinius vektorius ir:

Būtina rasti šių vektorių sumą. Kadangi visi vektoriai laikomi laisvaisiais, vektorių atidedame nuo galas vektoriai:

Vektorių suma yra vektorius. Norint geriau suprasti taisyklę, patartina į ją įvesti fizinę prasmę: tegul koks nors kūnas nutiesia kelią pagal vektorių, o paskui pagal vektorių. Tada vektorių suma yra gauto kelio vektorius, kurio pradžia yra išvykimo taške, o pabaiga - atvykimo taške. Panaši taisyklė suformuluota bet kokio vektorių skaičiaus sumai. Kaip sakoma, kūnas gali eiti savo kelią stipriai zigzagu, o gal ir autopilotu – pagal gautą sumos vektorių.

Beje, jei vektorius atidėtas nuo pradėti vektorius, gausite ekvivalentą lygiagretainio taisyklė vektorių pridėjimas.

Pirma, apie vektorių kolineariškumą. Du vektoriai vadinami kolinearinis jei jie guli vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse. Grubiai tariant, mes kalbame apie lygiagrečius vektorius. Tačiau jų atžvilgiu visada vartojamas būdvardis „kolinearinis“.

Įsivaizduokite du kolinearinius vektorius. Jeigu šių vektorių rodyklės nukreiptos ta pačia kryptimi, tai tokie vektoriai vadinami bendrai režisavo... Jei rodyklės nukreiptos skirtingomis kryptimis, tada vektoriai bus priešinga kryptis.

Legenda: vektorių kolineariškumas rašomas įprastu lygiagretumo simboliu:, tuo tarpu galima detalizuoti: (vektoriai nukreipti kartu) arba (vektoriai nukreipti priešingai).

Pagal gaminį nulinis vektorius pagal skaičių yra toks vektorius, kurio ilgis yra lygus, o vektoriai ir yra nukreipti kartu ir priešingai.

Vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę lengviau suprasti naudojant paveikslą:

Supraskime išsamiau:

1) Kryptis. Jei koeficientas yra neigiamas, tada vektorius keičia kryptįį priešingą.

2) Ilgis. Jei koeficientas yra arba viduje, tada vektoriaus ilgis mažėja... Taigi, vektoriaus ilgis yra pusė vektoriaus ilgio. Jei modulis yra didesnis nei vienas, tada vektoriaus ilgis dideja laiku.

3) Atkreipkite dėmesį į tai visi vektoriai yra kolineariniai, o vienas vektorius išreiškiamas kitu, pavyzdžiui,. Priešingai irgi tiesa: jei vieną vektorių galima išreikšti kitu, tai tokie vektoriai būtinai yra kolineariniai. Taigi: jei vektorių padauginsime iš skaičiaus, gausime kolinearinį(palyginti su originalu) vektorius.

4) Vektoriai yra bendros krypties. Vektoriai ir taip pat yra bendros krypties. Bet kuris pirmosios grupės vektorius yra priešingas bet kurio antrosios grupės vektoriui.

Kurie vektoriai yra lygūs?

Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra bendros krypties ir yra vienodo ilgio... Atkreipkite dėmesį, kad bendrakryptis reiškia kolinearinius vektorius. Apibrėžimas bus netikslus (perteklinis), jei sakysime: „Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra kolinearūs, bendros krypties ir vienodo ilgio“.

Laisvo vektoriaus sampratos požiūriu lygūs vektoriai yra vienas ir tas pats vektorius, apie kurį jau buvo kalbama ankstesnėje pastraipoje.

Vektorinės koordinatės plokštumoje ir erdvėje

Pirmiausia reikia atsižvelgti į vektorius plokštumoje. Mes atstovaujame Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą ir atidedame nuo koordinačių pradžios viengungis vektoriai ir:

Vektoriai ir stačiakampis... Stačiakampis = statmenas. Rekomenduoju pamažu priprasti prie terminų: vietoj lygiagretumo ir statmenumo atitinkamai vartojame žodžius kolineariškumas ir ortogonalumą.

Pavadinimas: vektorių ortogonalumas rašomas įprastu statmenumo simboliu, pavyzdžiui:.

Nagrinėjami vektoriai vadinami koordinačių vektoriai arba orts... Šie vektoriai susidaro pagrindu ant paviršiaus. Kas yra pagrindas, manau, daugeliui intuityviai aišku, išsamesnės informacijos rasite straipsnyje Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas Paprastais žodžiais tariant, koordinačių pagrindas ir kilmė apibrėžia visą sistemą – tai savotiškas pamatas, ant kurio įsibėgėja visavertis ir turtingas geometrinis gyvenimas.

Kartais konstruojamas pagrindas vadinamas ortonormalus plokštumos pagrindas: „orto“ – kadangi koordinačių vektoriai yra stačiakampiai, būdvardis „normalizuotas“ reiškia vienetą, t.y. pagrindo vektorių ilgiai lygūs vienetui.

Pavadinimas: pagrindas dažniausiai rašomas skliausteliuose, kurių viduje griežta seka pateikiami baziniai vektoriai, pvz.:. Koordinačių vektoriai tai uždrausta pertvarkyti.

Bet koks vektorinė plokštuma unikalus būdas išreikštas kaip:
, kur - numeriai kurie vadinami vektoriaus koordinatesšiuo pagrindu. Ir pati išraiška paskambino vektoriaus skilimasremiantis tuo .

Vakarienė patiekta:

Pradėkime nuo pirmosios abėcėlės raidės:. Brėžinyje aiškiai matyti, kad išplečiant vektorių pagrindo atžvilgiu, naudojami ką tik aptarti:
1) vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklė: ir;
2) vektorių pridėjimas pagal trikampio taisyklę:.

Dabar mintyse atidėkite vektorių nuo bet kurio kito plokštumos taško. Visiškai akivaizdu, kad jo irimas „negailestingai seks jį“. Štai, vektoriaus laisvė – vektorius „neša viską su savimi“. Ši savybė, žinoma, galioja bet kuriam vektoriui. Smagu, kad patys pagrindiniai (laisvieji) vektoriai neturi būti atidėti nuo pradžios, vienas gali būti nubrėžtas, pavyzdžiui, apačioje kairėje, o kitas - viršuje dešinėje, ir nuo to niekas nepasikeis! Tiesa, to daryti nereikia, nes mokytojas taip pat parodys originalumą ir nupieš jus „įskaitytą“ netikėtoje vietoje.

Vektoriai tiksliai iliustruoja vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę, vektorius yra bendrakryptis su baziniu vektoriumi, vektorius yra priešingas baziniam vektoriui. Šių vektorių viena iš koordinačių lygi nuliui, ją galima kruopščiai parašyti taip:


O baziniai vektoriai, beje, tokie: (iš tikrųjų jie išreiškiami per save).

Ir, galiausiai:,. Beje, kas yra vektorinė atimtis ir kodėl aš nekalbėjau apie atimties taisyklę? Kažkur tiesinėje algebroje, nepamenu kur, pažymėjau, kad atimtis yra ypatingas sudėjimo atvejis. Taigi vektorių „de“ ir „e“ išplėtimai tyliai užrašomi kaip suma:, ... Sekite brėžinį, kaip šiose situacijose aiškiai veikia senas geras vektorių trikampis.

Svarstomas formos skaidymas kartais vadinamas vektoriniu skaidymu sistemoje ort(t.y. vienetų vektorių sistemoje). Tačiau tai nėra vienintelis vektorių rašymo būdas, įprasta tokia parinktis:

Arba su lygybės ženklu:

Patys baziniai vektoriai užrašomi taip: ir

Tai yra, vektoriaus koordinatės nurodytos skliausteliuose. Praktinėse užduotyse naudojamos visos trys įrašymo galimybės.

Suabejojau, ar kalbėti, bet vis tiek pasakysiu: vektorių koordinačių negalima pertvarkyti. Griežtai pirmoje vietoje užrašykite koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių, griežtai antroje vietoje užrašykite koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių. Iš tiesų, ir yra du skirtingi vektoriai.

Mes išsiaiškinome lėktuvo koordinates. Dabar pažiūrėkime į vektorius trimatėje erdvėje, čia viskas beveik taip pat! Bus pridėta tik dar viena koordinatė. Sunku atlikti trimačius brėžinius, todėl apsiribosiu vienu vektoriumi, kurį paprastumo dėlei atidėsiu nuo pradžios:

Bet koks trimatės erdvės vektorius gali vienintelis kelias išplėsti ortonormaliu pagrindu:
, kur yra vektoriaus (skaičiaus) koordinatės duotame pagrinde.

Pavyzdys iš paveikslėlio: ... Pažiūrėkime, kaip čia veikia vektoriaus taisyklės. Pirma, vektorių padauginkite iš skaičiaus: (raudona rodyklė), (žalia rodyklė) ir (raudona rodyklė). Antra, čia yra kelių, šiuo atveju trijų, vektorių pridėjimo pavyzdys:. Sumos vektorius prasideda nuo pradžios taško (vektoriaus pradžios) ir remiasi į galutinį atvykimo tašką (vektoriaus pabaiga).

Visi trimatės erdvės vektoriai, žinoma, taip pat yra laisvi, pabandykite mintyse atidėti vektorių iš bet kurio kito taško, ir jūs suprasite, kad jo skilimas „liks su juo“.

Panašus į plokščią dėklą, be rašymo plačiai naudojamos versijos su skliausteliais: arba.

Jei plėtinyje nėra vieno (arba dviejų) koordinačių vektorių, jų vietoje dedami nuliai. Pavyzdžiai:
vektorius (skrupulingai ) - užsirašyti;
vektorius (skrupulingai ) - užsirašyti;
vektorius (skrupulingai ) – užsirašysime.

Baziniai vektoriai užrašomi taip:

Čia, ko gero, yra visos minimalios teorinės žinios, reikalingos analitinės geometrijos problemoms spręsti. Galbūt yra daug terminų ir apibrėžimų, todėl rekomenduoju manekenams dar kartą perskaityti ir dar kartą suprasti šią informaciją. Ir kiekvienam skaitytojui bus naudinga karts nuo karto kreiptis į pagrindinę pamoką, kad geriau įsisavintų medžiagą. Kolineariškumas, ortogonalumas, ortonormalus pagrindas, vektorių skaidymas – šios ir kitos sąvokos dažnai bus naudojamos toliau. Atkreipiu dėmesį, kad svetainėje pateiktos medžiagos nepakanka norint išlaikyti teorinį testą, geometrijos koliokviumą, nes aš kruopščiai užšifruoju visas teoremas (be įrodymų) - tai kenkia moksliniam pateikimo stiliui, bet jūsų supratimui. dalyko. Norėdami gauti išsamų teorinį pagrindą, vadovaukitės profesoriumi Atanasyanu.

Ir pereiname prie praktinės dalies:

Paprasčiausi analitinės geometrijos uždaviniai.
Veiksmai su vektoriais koordinatėse

Labai pageidautina išmokti spręsti užduotis, kurios bus svarstomos pilnoje mašinoje, ir formules įsiminti, net ne specialiai įsimenant, jie patys bus įsimenami =) Tai labai svarbu, nes kitos analitinės geometrijos problemos yra pagrįstos paprasčiausiais elementariais pavyzdžiais ir bus nemalonu praleisti papildomą laiką valgant pėstininkus. Viršutinių sagų ant marškinių užsegti nereikia, daug kas pažįstama iš mokyklos laikų.

Medžiagos pristatymas vyks lygiagrečiai – tiek plokštumai, tiek erdvei. Dėl to, kad visos formulės ... pamatysite patys.

Kaip rasti vektorių pagal du taškus?

Jei du plokštumos taškai ir yra pateikti, tada vektorius turi šias koordinates:

Jei du erdvės taškai ir yra pateikti, tada vektorius turi šias koordinates:

Tai yra, nuo vektoriaus galo koordinačių reikia atimti atitinkamas koordinates vektoriaus pradžia.

Pratimas: Tiems patiems taškams užrašykite vektoriaus koordinačių radimo formules. Formulės pamokos pabaigoje.

1 pavyzdys

Duoti du plokštumos taškai ir. Raskite vektorines koordinates

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Arba galima naudoti šį įrašą:

Estetai nuspręs taip:

Asmeniškai aš pripratau prie pirmosios įrašo versijos.

Atsakymas:

Pagal sąlygą nereikėjo statyti brėžinio (tai būdinga analitinės geometrijos užduotims), bet, norėdamas manekenams paaiškinti kai kuriuos dalykus, nepatingėsiu:

Būtina suprasti skirtumas tarp taško koordinačių ir vektorių koordinačių:

Taško koordinatės Ar įprastos koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje. Manau, visi nuo 5-6 klasės moka dėlioti taškus koordinačių plokštumoje. Kiekvienas taškas turi griežtą vietą plokštumoje, ir jūs negalite jų niekur perkelti.

To paties vektoriaus koordinatės Ar jo išplėtimas, kalbant apie pagrindą, šiuo atveju. Bet kuris vektorius yra laisvas, todėl, esant norui ar poreikiui, galime jį nesunkiai atidėti iš kurio nors kito plokštumos taško (kad nesusipainiotų, pervardydami, pavyzdžiui, per). Įdomu tai, kad vektoriams galima išvis nestatyti ašių, stačiakampės koordinačių sistemos, reikia tik pagrindo, šiuo atveju ortonormalaus plokštumos pagrindo.

Taškų koordinačių ir vektorių koordinačių įrašai atrodo panašūs:, ir koordinačių reikšmė absoliučiai skirtinga ir jūs turėtumėte gerai žinoti šį skirtumą. Šis skirtumas, žinoma, galioja ir erdvei.

Ponios ir ponai, mes numojame ranka:

2 pavyzdys

a) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir.
b) Skiriami taškai ir . Raskite vektorius ir.
c) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir.
d) Skiriami taškai. Raskite vektorius .

Užteks, gal. Tai pavyzdžiai savarankiškam sprendimui, pasistenkite jų neapleisti, tai atsipirks ;-). Nereikia daryti brėžinių. Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Kas svarbu sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius? Svarbu būti YPAČ ATSARGIAI, kad išvengtumėte „du plius du lygu nuliui“ klaidos dirbtuvėse. Iškart atsiprašau, jei kur nors suklydau =)

Kaip sužinoti linijos atkarpos ilgį?

Ilgis, kaip jau minėta, nurodomas modulio ženklu.

Jei pateikti du plokštumos taškai ir, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę

Jei pateikti du erdvės taškai ir, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę

Pastaba: Formulės išliks teisingos, jei atitinkamos koordinatės bus pertvarkytos: ir, tačiau pirmasis variantas yra labiau standartinis.

3 pavyzdys

Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Aiškumo dėlei padarysiu piešinį

Skyrius - tai ne vektorius, ir, žinoma, jo niekur perkelti negalima. Be to, jei užpildysite brėžinį pagal mastelį: 1 vnt. = 1 cm (dvi bloknoto langeliai), tada gautą atsakymą galima patikrinti paprasta liniuote, tiesiogiai išmatuojant atkarpos ilgį.

Taip, sprendimas trumpas, bet yra dar keletas svarbių dalykų, kuriuos norėčiau paaiškinti:

Pirma, atsakyme įdėjome matmenį: „vienetai“. Sąlyga nenurodo, KAS tai yra, milimetrai, centimetrai, metrai ar kilometrai. Todėl matematiškai teisingas sprendimas būtų bendra formuluotė: „vienetai“ - sutrumpinta kaip „vienetas“.

Antra, pakartosime mokyklinę medžiagą, kuri naudinga ne tik nagrinėjamai problemai:

atkreipkite dėmesį į svarbi technika – išimant faktorių iš po šaknies... Skaičiuodami gavome rezultatą, o geras matematinis stilius apima faktoriaus paėmimą iš po šaknies (jei įmanoma). Išsamiau, procesas atrodo taip: ... Žinoma, atsakymo palikimas formoje nebus klaida – bet trūkumas, tikrai, ir svarus argumentas dėl mokytojo kibimo.

Kiti dažni atvejai:

Dažnai, pavyzdžiui, po šaknimi gaunamas gana didelis skaičius. Ką daryti tokiais atvejais? Skaičiuoklėje patikrinkite, ar skaičius dalijasi iš 4:. Taip, jis buvo visiškai padalintas taip: ... O gal skaičių vėl galima padalyti iš 4? ... Taigi: ... Paskutinis skaičiaus skaitmuo yra nelyginis, todėl trečią kartą dalinti iš 4 aiškiai negalima. Bandome padalyti iš devynių:. Kaip rezultatas:
Paruošta.

Išvestis: jei po šaknimis gaunamas neišskiriamas skaičius, tada bandome ištraukti daugiklį iš po šaknies - skaičiuotuvu tikriname ar skaičius dalijasi iš: 4, 9, 16, 25, 36, 49 ir ​​t.t.

Sprendžiant įvairias problemas dažnai susiduriama su šaknimis, visada stenkitės ištraukti veiksnius iš po šaknies, kad išvengtumėte žemesnio pažymio ir nereikalingų problemų tobulinant savo sprendimus pagal mokytojo pastabą.

Pakartokime kvadratą ir kitas galias vienu metu:

Taisykles, kaip apskritai elgtis su laipsniais, galima rasti mokykliniame algebros vadovėlyje, bet manau, kad iš pateiktų pavyzdžių viskas arba beveik viskas jau aišku.

Užduotis savarankiškam sprendimui su segmentu erdvėje:

4 pavyzdys

Taškai ir skiriami. Raskite linijos atkarpos ilgį.

Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kaip sužinoti vektoriaus ilgį?

Jei duotas plokštumos vektorius, tada jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę.

Jei duotas erdvės vektorius, tada jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę .

Šios formulės (taip pat ir atkarpos ilgio formulės) lengvai išvedamos naudojant gerai žinomą Pitagoro teoremą.

Šiame straipsnyje pradėsime vienos „stebuklingos lazdelės“ aptarimą, kuri leis daugybę geometrijos uždavinių sumažinti iki paprastos aritmetikos. Ši „lazdelė“ gali labai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač tuo atveju, kai jaučiatės nesaugiai konstruodami erdvines figūras, pjūvius ir pan.. Visa tai reikalauja tam tikros fantazijos ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes čia pradėsime svarstyti, leis jums beveik visiškai abstrahuotis nuo visų rūšių geometrinių konstrukcijų ir samprotavimų. Metodas vadinamas "Koordinačių metodas"... Šiame straipsnyje mes apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Koordinačių plokštuma
2. Taškai ir vektoriai plokštumoje
3. Vektoriaus konstravimas iš dviejų taškų
4. Vektoriaus ilgis (atstumas tarp dviejų taškų)
5. Vidurio taško koordinatės
6. Taškinė vektorių sandauga
7. Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, jau atspėjote, kodėl koordinačių metodas taip vadinamas? Tiesa, tokį pavadinimą jis gavo, nes operuoja ne geometriniais objektais, o jų skaitinėmis charakteristikomis (koordinatėmis). O pati transformacija, leidžianti pereiti nuo geometrijos prie algebros, yra koordinačių sistemos įvedimas. Jei pradinė figūra buvo plokščia, tai koordinatės yra dvimatės, o jei figūra yra trimatė, tada koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dvimatį atvejį. O pagrindinis straipsnio tikslas – išmokyti naudotis kai kuriais pagrindiniais koordinačių metodo metodais (jie kartais būna naudingi sprendžiant planimetrijos uždavinius egzamino B dalyje). Kiti du skyriai šia tema yra skirti C2 uždavinių (stereometrijos problemos) sprendimo metodų aptarimui.

Kur būtų logiška pradėti diskutuoti apie koordinačių metodą? Tikriausiai iš koordinačių sistemos sampratos. Prisiminkite, kai pirmą kartą su ja susidūrėte. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojote apie tiesinės funkcijos egzistavimą, pavyzdžiui. Leiskite jums priminti, kad jūs tai sukūrėte taškas po taško. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, pakeitėte jį į formulę ir taip apskaičiavote. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt Ką galiausiai gavote? Ir gavote taškus su koordinatėmis: ir. Tada nubraižėte „kryželį“ (koordinačių sistemą), pasirinkote jame skalę (kiek langelių turėsite kaip vienetinį atkarpą) ir pažymėjote jame gautus taškus, kuriuos vėliau sujungėte tiesia linija, gauta linija. yra funkcijos grafikas.

Čia yra keletas punktų, kurie turėtų būti jums paaiškinti šiek tiek išsamiau:

1. Patogumo sumetimais pasirenkate vieną segmentą, kad viskas gražiai ir kompaktiškai tilptų paveikslėlyje.

2. Daroma prielaida, kad ašis eina iš kairės į dešinę, o ašis – iš apačios į viršų.

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų susikirtimo taškas vadinamas pradžia. Tai nurodoma laiške.

4. Įrašant taško koordinates, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taško koordinatė išilgai ašies, o dešinėje – išilgai ašies. Visų pirma, tai tiesiog reiškia, kad taške

5. Norint nustatyti bet kurį koordinačių ašies tašką, reikia nurodyti jo koordinates (2 skaičiai)

6. Bet kuriame ašies taške

7. Bet kuriame ašies taške

8. Ašis vadinama abscisių ašimi.

9. Ašis vadinama y ašimi.

Dabar žengkime su jumis kitą žingsnį: pažymėkite du taškus. Sujungkime šiuos du taškus atkarpa. Ir mes įdėsime rodyklę taip, tarsi brėžtume atkarpą iš taško į tašką: tai yra, mes padarysime savo segmentą nukreiptą!

Prisiminkite, kaip dar vadinama kryptinė linija? Teisingai, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei sujungsime tašką su tašku, be to, pradžia bus taškas A, o pabaiga bus taškas B, tada gauname vektorių. Jūs taip pat darėte šią formaciją 8 klasėje, pamenate?

Pasirodo, vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem skaičiais: šie skaičiai vadinami vektoriaus koordinatėmis. Kyla klausimas: ar, jūsų nuomone, mums užtenka žinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates, kad rastume jo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai daroma labai paprastai:

Taigi, kadangi vektoriuje taškas yra pradžia ir pabaiga, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, tada vektoriaus koordinatės

Dabar padarykime priešingai, suraskime vektoriaus koordinates. Ką mes turime pakeisti dėl to? Taip, reikia sukeisti pradžią ir pabaigą: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o pabaiga – taške. Tada:

Atidžiai pažiūrėkite, kaip yra vektoriai ir? Vienintelis jų skirtumas – ženklai koordinatėse. Jie yra priešingi. Įprasta šį faktą rašyti taip:

Kartais, jei konkrečiai nenurodyta, kuris taškas yra vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga, tai vektoriai žymimi ne dviem didžiosiomis raidėmis, o viena mažąja raide, pvz.: ir t.t.

Dabar šiek tiek praktika save ir suraskite šių vektorių koordinates:

Egzaminas:

Dabar išspręskite problemą šiek tiek sunkiau:

Vektor su na-cha-lom taške turi co-or-di-na-ty. Ne-di-tie abs-cis-su taškai.

Visa tai yra gana proziška: tegul yra taško koordinatės. Tada

Sudariau sistemą pagal apibrėžimą, kokios yra vektoriaus koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mus domina abscisė. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite padaryti su vektoriais? Taip, beveik viskas yra taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais (išskyrus tai, kad jūs negalite padalyti, bet galite dauginti dviem būdais, iš kurių vieną aptarsime čia šiek tiek vėliau)

1. Vektorius galima pridėti vienas prie kito
2. Vektorius galima atimti vienas iš kito
3. Vektorius galima padauginti (arba padalyti) iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis
4. Vektorius galima padauginti vienas iš kito

Visos šios operacijos turi labai aiškų geometrinį vaizdą. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagretainio) sudėties ir atimties taisyklė:

Vektorius plečiasi, susitraukia arba keičia kryptį, kai padauginamas arba dalinamas iš skaičiaus:

Tačiau čia mus domina klausimas, kas vyksta su koordinatėmis.

1. Sudėjus (atimant) du vektorius, jų koordinates sudedame (atimame) elementas po elemento. Tai yra:

2. Dauginant (dalinant) vektorių iš skaičiaus, visos jo koordinatės dauginamos (dalinamos) iš šio skaičiaus:

Pavyzdžiui:

· Nay-di-te ko-or-di-nat vek-to-ra suma.

Pirmiausia suraskime kiekvieno vektoriaus koordinates. Jie abu turi tą pačią kilmę – pradinį tašką. Jų galai skiriasi. Tada,. Dabar apskaičiuokime vektoriaus koordinates Tada gauto vektoriaus koordinačių suma yra.

Atsakymas:

Dabar išspręskite šią problemą patys:

Raskite vektoriaus koordinačių sumą

Mes tikriname:

Dabar panagrinėkime šią problemą: turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas būna, o antrasis. Pažymime atstumą tarp jų. Aiškumo dėlei padarykite tokį piešinį:

Ką aš padariau? Pirmiausia sujungiau taškus ir taip pat iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią liniją, o iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią liniją. Ar jie susikirto taške ir taip susidarė nuostabi figūra? Kuo jis yra nuostabus? Taip, jūs ir aš žinome beveik viską apie stačiakampį trikampį. Na, Pitagoro teorema – tikrai. Ieškomas segmentas yra šio trikampio hipotenuzė, o segmentai yra kojos. Kokios yra taško koordinatės? Taip, juos lengva rasti iš paveikslėlio: Kadangi atkarpos yra lygiagrečios ašims ir, atitinkamai, jų ilgius lengva rasti: jei segmentų ilgius pažymėsite atitinkamai, tada

Dabar pasinaudokime Pitagoro teorema. Žinome kojų ilgį, rasime hipotenuzą:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra skirtumų nuo koordinačių kvadratų sumos šaknis. Arba – atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios linijos ilgis. Nesunku pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Iš to darome tris išvadas:

Šiek tiek pasitreniruokime apskaičiuodami atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei, tada atstumas tarp ir yra lygus

Arba eikime kitaip: raskite vektoriaus koordinates

Ir raskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tas pats!

Dabar atlikite šiek tiek pratimų patys:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

Mes tikriname:

Čia yra dar kelios tos pačios formulės problemos, nors jos skamba šiek tiek kitaip:

1. Šimtmečio-to-ra ilgio Nay-di-te kvadratas.

2. Nay-di-te kvadratinė žiurkė, kurios ilgis nuo amžiaus iki ra

Manau, kad su jais susitvarkei lengvai? Mes tikriname:

1. Ir tai dėmesiui) Mes jau radome vektorių koordinates ir anksčiau:. Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus lygus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra

Nieko sudėtingo, tiesa? Paprasta aritmetika, nieko daugiau.

Šios užduotys negali būti vienareikšmiškai suskirstytos į kategorijas, jos labiau linkusios į bendrą erudiciją ir gebėjimą piešti paprastus paveikslus.

1. Ne-di-te sinusas kampo, esančio nuo pjūvio, kartu su abscisių ašimi.

ir

Ką mes čia veiksim? Turite rasti kampo tarp ir ašies sinusą. O kur mes žinome, kaip ieškoti sinuso? Teisingai, stačiakampiame trikampyje. Taigi ką mes turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Kadangi taško koordinatės yra ir, atkarpa yra lygi, o atkarpa. Turime rasti kampo sinusą. Leiskite jums priminti, kad sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis

Kas mums belieka daryti? Raskite hipotenuzę. Tai galite padaryti dviem būdais: pagal Pitagoro teoremą (kojos žinomos!) Arba pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę (iš tikrųjų tai tas pats, kas pirmuoju būdu!). Eisiu antru keliu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodys dar lengvesnė. Ji – taško koordinates.

2 tikslas. Per-pen-di-ku-lar nuleidžiamas nuo taško iki abs-ciss ašies. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Padarykime piešinį:

Statmens pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta abscisių ašį (ašį), man tai yra taškas. Paveikslėlyje parodyta, kad jis turi koordinates:. Mus domina abscisė – tai yra „x“ komponentas. Tai lygu.

Atsakymas: .

3 tikslas. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite atstumų nuo taško iki koordinačių ašių sumą.

Užduotis paprastai yra elementari, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Tu žinai? Tikiuosi, bet vis tiek primenu:

Taigi, savo paveikslėlyje, esančiame šiek tiek aukščiau, aš jau nubrėžiau vieną tokį statmeną? Kuriai ašiai ji skirta? Į ašį. Ir kam tada lygus jo ilgis? Tai lygu. Dabar patys nubrėžkite statmeną ašiai ir suraskite jo ilgį. Bus lygus, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. 2 uždavinio sąlygomis suraskite taško ordinatę, simetrišką taškui abscisių ašies atžvilgiu.

Manau, jūs intuityviai suprantate, kas yra simetrija? Jį turi daugelis objektų: daug pastatų, stalų, lėktuvų, daug geometrinių formų: rutulys, cilindras, kvadratas, rombas ir tt Grubiai tariant, simetriją galima suprasti taip: figūra susideda iš dviejų (ar daugiau) vienodų pusių. Ši simetrija vadinama ašine. Kas tada yra ašis? Tai yra būtent ta linija, išilgai kurios, santykinai tariant, figūrą galima „perpjauti“ į identiškas puses (šiame paveikslėlyje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime prie mūsų problemos. Žinome, kad ieškome taško, kuris būtų simetriškas ašies atžvilgiu. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Tai reiškia, kad turime pažymėti tašką, kad ašis supjaustytų segmentą į dvi lygias dalis. Pabandykite patys pažymėti tokį tašką. Dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar tu padarei tą patį? GERAI! Rastame taške mus domina ordinatės. Ji lygi

Atsakymas:

Dabar pasakykite man, pagalvojus apie sekundes, kokia bus taško abscisė, simetriška taškui A ordinatės atžvilgiu? Koks tavo atsakymas? Teisingas atsakymas: .

Apskritai taisyklę galima parašyti taip:

Taškas, simetriškas taškui abscisių ašies atžvilgiu, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškui aplink ordinačių ašį, turi koordinates:

Na, dabar visiškai baisu užduotis: suraskite taško koordinates, simetriškas taškui, atsižvelgiant į pradinę padėtį. Pirmiausia pagalvok pats, o tada pažiūrėk į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar lygiagretainio problema:

5 uždavinys: taškai yra ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te arba-di-na-tu taškai.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: logika ir koordinačių metodu. Pirmiausia taikysiu koordinačių metodą, o tada pasakysiu, kaip galite tai išspręsti kitaip.

Visiškai aišku, kad taško abscisė lygi. (jis guli ant statmens, nubrėžto nuo taško iki abscisių ašies). Turime rasti ordinates. Pasinaudokime tuo, kad mūsų figūra yra lygiagretainis, vadinasi. Raskite atkarpos ilgį naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Nuleidžiame statmeną, jungiantį tašką su ašimi. Sankirtos taškas bus pažymėtas raide.

Segmento ilgis yra. (raskite pačią problemą, kur aptarėme šį punktą), tada atkarpos ilgį randame pagal Pitagoro teoremą:

Linijos ilgis lygiai toks pat kaip ir jos ordinatės.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (aš tiesiog pateiksiu jį iliustruojančią nuotrauką)

Sprendimo eiga:

1. Elgesys

2. Raskite taško ir ilgio koordinates

3. Įrodykite tai.

Kitas segmento ilgio galvosūkis:

Rodomi taškai-la-are-Xia ver-shi-na-mi tre-coal-ni-ka. Nay-di-te yra jos vidurinės linijos ilgis, paral-lel-noy.

Ar prisimeni, kas yra trikampio vidurio linija? Tada ši užduotis jums elementari. Jei neprisimenate, priminsiu: trikampio vidurio linija yra linija, jungianti priešingų kraštinių vidurio taškus. Jis yra lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei.

Pagrindas yra linijos segmentas. Jo ilgio teko ieškoti anksčiau, jis lygus. Tada vidurinės linijos ilgis yra pusė ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: šią problemą galima išspręsti ir kitu būdu, kurį pakalbėsime šiek tiek vėliau.

Tuo tarpu – štai jums kelios užduotys, praktikuokite jas, jos gana paprastos, bet padeda „pagauti ranką“ koordinačių metodu!

1. Taškai yra ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te yra jos vidurinės linijos ilgis.

2. Taškai ir are-la-are-Xia ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te arba-di-na-tu taškai.

3. Nay-di-te ilgis nuo pjūvio, bendras-nya-yu-shch-go taškas ir

4. Nay-di-te plotas gražus fi-gu-ry co-or-di-nat-noy plokštumoje.

5. Apskritimas, kurio centras yra na-cha-le ko-or-di-nat, eina per tašką. Nay-di-te jos ra-di-us.

6. Apskritimo Nai-di-te ra-di-us, aprašytas-san-noy šalia stačiakampio-nik-ka, ko-to-ro-go viršūnės turi co-op -di-na-you bendražygis, bet

Sprendimai:

1. Žinoma, kad trapecijos vidurio tiesė lygi jos pagrindų pusei. Pagrindas yra lygus, o pagrindas yra. Tada

Atsakymas:

2. Lengviausias būdas išspręsti šią problemą yra tai pastebėti (lygiagretainio taisyklė). Apskaičiuokite vektorių koordinates ir nėra sunku:. Sudėjus vektorius, pridedamos koordinatės. Tada turi koordinates. Taškas taip pat turi tas pačias koordinates, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Mus domina ordinatės. Tai lygu.

Atsakymas:

3. Nedelsdami veikiame pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite, tarp kurių dviejų formų užtemdyta sritis yra „įterpta“? Jis yra tarp dviejų kvadratų. Tada reikiamos figūros plotas yra lygus didelio kvadrato plotui, atėmus mažojo plotą. Mažo kvadrato kraštinė yra linijos atkarpa, jungianti taškus, o jos ilgis yra

Tada mažo kvadrato plotas yra

Tą patį darome su dideliu kvadratu: jo kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o Jo ilgis yra

Tada didžiojo kvadrato plotas yra

Reikiamos figūros plotą randame pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimo centras yra koordinačių pradžia ir jis eina per tašką, tada jo spindulys bus lygiai lygus atkarpos ilgiui (nupieškite paveikslėlį ir suprasite, kodėl tai akivaizdu). Raskime šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Yra žinoma, kad apie stačiakampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus pusei jo įstrižainės. Raskime bet kurios iš dviejų įstrižainių ilgį (juk stačiakampyje jos yra lygios!)

Atsakymas:

Na, ar susitvarkei su viskuo? Nebuvo labai sunku tai suprasti, ar ne? Taisyklė čia viena – sugebėti padaryti vaizdinį vaizdą ir iš jo tiesiog „perskaityti“ visus duomenis.

Mums liko labai nedaug. Yra dar du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime išspręsti šią paprastą problemą. Tegul du taškai ir duota. Raskite atkarpos vidurio taško koordinates. Šios problemos sprendimas yra toks: tegul taškas yra norimas vidurio taškas, tada jis turi koordinates:

Tai yra: vidurio taško koordinatės = atkarpos galų atitinkamų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė labai paprasta ir dažniausiai nesukelia mokiniams sunkumų. Pažiūrėkime, kokios užduotys ir kaip jos naudojamos:

1. Nay-di-te arba-di-na-tu-re-di-us from-cut, co-uni-nya-yu-shch-go point ir

2. Taškai yra-la-yut-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-coal-no-ka. Nay-di-te arba-di-na-tu taškai pe-re-se-ching jo dia-go-na-lei.

3. Nay-di-tie abs-cis-su apskritimo centras-tra, aprašyti-san-noy šalia anglies-no-ka, ko-to-ro-go viršūnės turi co-op-di- na-tu bendradarbis-bet.

Sprendimai:

1. Pirmoji problema yra tik klasika. Mes nedelsdami nustatome segmento vidurį. Turi koordinates. Ordinatė yra.

Atsakymas:

2. Nesunku pastebėti, kad duotasis keturkampis yra lygiagretainis (netgi rombas!). Tai galite įrodyti patys, apskaičiuodami kraštinių ilgius ir lygindami juos tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagretainį? Jo įstrižainės yra perpus sumažintos susikirtimo tašku! Aha! Taigi koks yra įstrižainių susikirtimo taškas? Tai bet kurios įstrižainės vidurys! Visų pirma pasirinksiu įstrižainę. Tada taškas turi koordinates Taško ordinatė lygi.

Atsakymas:

3.Kuo yra stačiakampio apskritimo centras? Jis sutampa su jo įstrižainių susikirtimo tašku. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines? Jie yra lygūs, o susikirtimo taškas sumažinamas per pusę. Užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės. Paimkite, pavyzdžiui, įstrižainę. Tada, jei yra apibrėžto apskritimo centras, tai yra vidurys. Ieškau koordinačių: Abscisė yra lygi.

Atsakymas:

Dabar šiek tiek pasipraktikuokite patys, tik pateiksiu atsakymus į kiekvieną problemą, kad galėtumėte save išbandyti.

1. Apskritimo Nay-di-te ra-di-us, aprašytas-san-noy aplink trikampį, co-to-ro-go viršūnės turi co-or-di -no misters

2. Nai-di-te arba-di-na-tu apskritimo centras-tra, apibūdinkite-san-noy aplink trikampį-nik, ko-to-ro-go viršūnės turi koordinates

3. How-to-ra-di-u-sa ar taške turi būti apskritimas su centru, kad jis būtų suderintas su abs-cissa ašimi?

4. Nay-di-te arba-di-na-tu taškai pe-re-se-ch-nia ašies ir išpjovos, co-uni-nya-yu-shch-go taško ir

Atsakymai:

Ar pavyko? Labai to tikiuosi! Dabar – paskutinis postūmis. Būkite ypač atsargūs dabar. Medžiaga, kurią dabar paaiškinsiu, yra tiesiogiai susijusi ne tik su paprastais koordinačių metodo uždaviniais iš B dalies, bet ir visur C2 uždavinyje.

Kurio iš savo pažadų dar neištesėjau? Prisimeni, kokias operacijas su vektoriais žadėjau įvesti ir kokias galiausiai įvedžiau? Ar aš tikras, kad nieko nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, ką reiškia vektorių daugyba.

Yra du būdai, kaip vektorių padauginti iš vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, gausime skirtingo pobūdžio objektus:

Kryžminis produktas yra gana sudėtingas. Kaip tai padaryti ir kam tai skirta, aptarsime su jumis kitame straipsnyje. O šiame daugiausia dėmesio skirsime taškiniam produktui.

Yra du būdai, kaip galime jį apskaičiuoti:

Kaip atspėjote, rezultatas turėtų būti toks pat! Taigi pirmiausia pažvelkime į pirmąjį būdą:

Taškinis produktas pagal koordinates

Raskite: - bendrą taškinį produkto žymėjimą

Skaičiavimo formulė yra tokia:

Tai yra, taškinė sandauga = vektorių koordinačių sandaugų suma!

Pavyzdys:

Nai di te

Sprendimas:

Raskime kiekvieno vektoriaus koordinates:

Taškinį sandaugą apskaičiuojame pagal formulę:

Atsakymas:

Žiūrėkite, visiškai nieko sudėtingo!

Na, dabar pabandykite patys:

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-vek-to-moat ir

Ar susitvarkei? Galbūt pastebėjote mažą laimikį? Patikrinkime:

Vektorių koordinatės tokios pat kaip ir ankstesnėje užduotyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra dar vienas būdas apskaičiuoti taško sandaugą, būtent pagal vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą:

Nurodo kampą tarp vektorių ir.

Tai yra, taškinė sandauga yra lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Kam reikalinga ši antroji formulė, jei turime pirmąją, kuri yra daug paprastesnė, joje bent jau nėra kosinusų. Ir tai reikalinga tam, kad iš pirmos ir antros formulių galėtume spręsti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite Tada prisiminkite vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei pakeisiu šiuos duomenis į taško produkto formulę, gaunu:

Bet iš kitos pusės:

Taigi ką jūs ir aš gavome? Dabar turime formulę kampui tarp dviejų vektorių apskaičiuoti! Kartais dėl trumpumo taip pat parašyta:

Tai yra, kampo tarp vektorių skaičiavimo algoritmas yra toks:

1. Apskaičiuokite taško sandaugą koordinatėmis
2. Raskite vektorių ilgius ir padauginkite juos
3. 1 punkto rezultatą padalinkite iš 2 punkto rezultato

Praktikuokime su pavyzdžiais:

1. Nay-di-te yra kampas tarp amžiaus iki ra-mi ir. Pateikite atsakymą gra-du-sakh.

2. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite kosinusą tarp vektorių

Padarykime taip: aš padėsiu jums išspręsti pirmąją problemą, o antrąją pabandykite padaryti patys! Sutinku? Tada pradėkime!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni pažįstami. Mes jau suskaičiavome jų taškinį produktą ir jis buvo lygus. Jų koordinatės yra:,. Tada randame jų ilgius:

Tada mes ieškome kosinuso tarp vektorių:

Koks yra kampo kosinusas? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Dabar išspręskite antrąją problemą patys, o tada palyginsime! Pateiksiu tik labai trumpą sprendimą:

2. turi koordinates, turi koordinates.

Leisti būti kampas tarp vektorių ir, tada

Atsakymas:

Pažymėtina, kad problemos tiesiogiai vektoriuose ir koordinačių metodu egzamino darbo B dalyje yra gana reti. Tačiau didžiąją daugumą C2 problemų galima lengvai išspręsti įdiegus koordinačių sistemą. Taigi šį straipsnį galite laikyti pagrindu, kurio pagrindu pagaminsime gana gudrias konstrukcijas, kurių mums prireiks sprendžiant sudėtingas problemas.

KOORDINATES IR VEKTORIAI. VIDUTINIS ROVEN

Jūs ir aš toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje išvedėme keletą svarbių formulių, kurios leidžia:

1. Raskite vektorines koordinates
2. Raskite vektoriaus ilgį (arba atstumą tarp dviejų taškų)
3. Sudėkite, atimkite vektorius. Padauginkite juos iš tikrojo skaičiaus
4. Raskite linijos atkarpos vidurio tašką
5. Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugą
6. Raskite kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas netelpa į šiuos 6 taškus. Tai yra tokio mokslo kaip analitinė geometrija, su kuriuo susipažinsite universitete, esmė. Aš tiesiog noriu sukurti pagrindą, kuris leistų jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. egzaminą. Išsiaiškinome B dalies užduotis Dabar atėjo laikas pereiti į kokybiškai naują lygį! Šis straipsnis bus skirtas tų uždavinių C2, kuriuose būtų tikslinga pereiti prie koordinačių metodo, sprendimo būdui. Šį racionalumą lemia tai, ką reikia rasti užduotyje ir koks skaičius pateikiamas. Taigi, aš naudočiau koordinačių metodą, jei klausimai yra tokie:

1. Raskite kampą tarp dviejų plokštumų
2. Raskite kampą tarp linijos ir plokštumos
3. Raskite kampą tarp dviejų tiesių
4. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
5. Raskite atstumą nuo taško iki tiesės
6. Raskite atstumą nuo tiesės iki plokštumos
7. Raskite atstumą tarp dviejų tiesių

Jei uždavinyje pateikta figūra yra sukimosi kūnas (rutulys, cilindras, kūgis ...)

Tinkamos koordinačių metodo formos:

1. Stačiakampis gretasienis
2. Piramidė (trikampė, keturkampė, šešiakampė)

Taip pat iš mano patirties netikslinga naudoti koordinačių metodą:

1. Skerspjūvio plotų radimas
2. Kūnų tūrio skaičiavimas

Tačiau iš karto reikia pastebėti, kad trys koordinačių metodui „nepalankios“ situacijos praktikoje yra gana retos. Tačiau daugumoje užduočių jis gali tapti jūsų gelbėtoju, ypač jei nesate labai stiprus trimatėse konstrukcijose (kurios kartais būna gana sudėtingos).

Kokie yra visi skaičiai, kuriuos išvardijau aukščiau? Jie nebėra plokšti, kaip, pavyzdžiui, kvadratas, trikampis, apskritimas, o trimačiai! Atitinkamai, turime atsižvelgti į ne dvimatę, o trimatę koordinačių sistemą. Jis sukonstruotas gana lengvai: tik be abscisių ir ordinačių ašių pristatysime dar vieną ašį – taikomąją ašį. Paveiksle schematiškai parodyta jų santykinė padėtis:

Visos jos yra viena kitai statmenos, susikerta viename taške, kurį vadinsime pradžia. Abscisių ašis, kaip ir anksčiau, bus pažymėta, ordinačių ašis - ir įvesta taikymo ašis -.

Jei anksčiau kiekvienas plokštumos taškas buvo apibūdintas dviem skaičiais – abscisėmis ir ordinatėmis, tai kiekvienas erdvės taškas jau apibūdinamas trimis skaičiais – abscise, ordinate, aplikacija. Pavyzdžiui:

Atitinkamai, taško abscisė yra lygi, ordinatė yra, o aplikacija yra.

Kartais taško abscisė taip pat vadinama taško projekcija į abscisių ašį, ordinatė yra taško projekcija į ordinačių ašį, o aplikacija yra taško projekcija į taikomąją ašį. Atitinkamai, jei nurodytas taškas, tada taškas su koordinatėmis:

vadinama taško projekcija į plokštumą

vadinama taško projekcija į plokštumą

Kyla natūralus klausimas: ar visos dvimačio atvejo formulės galioja erdvėje? Atsakymas yra taip, jie yra teisingi ir atrodo vienodai. Dėl smulkmenų. Manau, jau atspėjote, kuriam. Prie visų formulių turėsime pridėti dar vieną terminą, kuris yra atsakingas už taikomąją ašį. Būtent.

1. Jei duodami du taškai:, tada:

• Vektorinės koordinatės:
• Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgis)
• Atkarpos vidurys turi koordinates

2. Jei pateikti du vektoriai: ir, tada:

• Jų taškinis produktas yra:
• Kampo tarp vektorių kosinusas yra:

Tačiau erdvė nėra tokia paprasta. Kaip galite įsivaizduoti, pridėjus dar vieną koordinatę, šioje erdvėje „gyvenančių“ figūrų spektras labai skiriasi. O tolimesniam pasakojimui reikia įvesti šiek tiek, grubiai tariant, tiesios linijos „apibendrinimą“. Šis „apibendrinimas“ yra plokštuma. Ką tu žinai apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą, kas yra lėktuvas? Labai sunku pasakyti. Tačiau visi turime intuityvią idėją, kaip tai atrodo:

Grubiai tariant, tai yra savotiškas begalinis „lapas“ įstūmimas į erdvę. „Begalybė“ turėtų būti suprantama taip, kad plokštuma tęsiasi visomis kryptimis, tai yra, jos plotas lygus begalybei. Tačiau šis paaiškinimas „ant pirštų“ nesuteikia nė menkiausio supratimo apie lėktuvo struktūrą. Ir mums tai bus įdomu.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos aksiomų:

• tiesi linija eina per du skirtingus plokštumos taškus, be to, tik vieną:

Arba jo atitikmuo erdvėje:

Žinoma, atsimenate, kaip iš dviejų nurodytų taškų išvesti tiesės lygtį, tai visai nesunku: jei pirmas taškas turi koordinates: o antrasis, tada tiesės lygtis bus tokia:

Jūs tai išgyvenote 7 klasėje. Erdvėje tiesės lygtis atrodo taip: turėkime du taškus su koordinatėmis:, tada per juos einančios tiesės lygtis turi tokią formą:

Pavyzdžiui, tiesi linija eina per taškus:

Kaip tai reikėtų suprasti? Tai turėtų būti suprantama taip: taškas yra tiesioje linijoje, jei jo koordinatės atitinka šią sistemą:

Tiesės lygtis mums nelabai bus įdomi, tačiau reikia atkreipti dėmesį į labai svarbią tiesės krypties vektoriaus sampratą. - bet koks nulinis vektorius, esantis duotoje tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesės krypties vektoriai. Leisti būti tašku, esančiu tiesioje linijoje, ir būti jo krypties vektoriumi. Tada tiesės lygtį galima parašyti tokia forma:

Dar kartą aš nelabai domiuosi tiesės lygtimi, bet man tikrai reikia, kad atsimintumėte, kas yra krypties vektorius! Dar kartą: tai BET koks nulinis vektorius, esantis tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Atsitraukti plokštumos trijuose duotuose taškuose lygtis nebėra toks trivialus, ir dažniausiai šis klausimas nesprendžiamas vidurinės mokyklos kursuose. Bet veltui! Ši technika yra gyvybiškai svarbi, kai naudojame koordinačių metodą sudėtingoms problemoms spręsti. Tačiau aš manau, kad jūs trokštate išmokti ko nors naujo? Negana to, universitete galėsite sužavėti savo dėstytoją, kai paaiškės, kad jau žinote, kaip su metodika, kuri įprastai studijuojama analitinės geometrijos kursuose. Taigi pradėkime.

Plokštumos lygtis per daug nesiskiria nuo tiesės plokštumoje lygties, būtent, ji turi tokią formą:

kai kurie skaičiai (ne visi lygūs nuliui), bet kintamieji, pvz.: etc. Kaip matote, plokštumos lygtis nelabai skiriasi nuo tiesės (tiesinės funkcijos) lygties. Tačiau prisimeni, ką tu ir aš sakėme? Sakėme, kad jei turime tris taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, tai iš jų vienareikšmiškai atkuriama plokštumos lygtis. Bet kaip? Pabandysiu tau paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis turi tokią formą:

Ir taškai priklauso šiai plokštumai, tada pakeisdami kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turėtume gauti teisingą tapatybę:

Taigi tampa būtina išspręsti tris lygtis net ir su nežinomaisiais! Dilema! Tačiau visada galite manyti, kad (tam reikia padalyti iš). Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais:

Tačiau mes neišspręsime tokios sistemos, o išrašysime paslaptingą posakį, kuris išplaukia iš jos:

Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

\ [\ liko | (\ pradėti (masyvas) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė | = 0 \]

Sustabdyti! Kas čia? Kažkoks labai neįprastas modulis! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendra su moduliu. Šis objektas vadinamas trečios eilės determinantu. Nuo šiol, kai sprendžiate koordinačių metodą plokštumoje, labai dažnai susidursite su tais pačiais determinantais. Kas yra trečios eilės determinantas? Kaip bebūtų keista, tai tik skaičius. Belieka suprasti, kokį konkretų skaičių lyginsime su determinantu.

Pirmiausia užrašykite trečiosios eilės determinantą bendresne forma:

Kur yra keletas skaičių. Be to, pirmuoju indeksu turime omenyje eilutės numerį, o indeksu - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad nurodytas skaičius yra antrosios eilutės ir trečiojo stulpelio sankirtoje. Užduokime tokį klausimą: kaip tiksliai apskaičiuosime tokį determinantą? Tai yra, kokį konkretų skaičių mes priderinsime prie jo? Trečiosios eilės determinantui yra euristinė (vaizdinė) trikampio taisyklė, ji atrodo taip:

1. Pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga „statmena“ pagrindinei antrąjį trikampį sudarančių elementų įstrižainei sandauga „statmenai“ pagrindiniam trikampiui. įstrižainės
2. Šoninės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio dešiniojo kampo į apatinį kairįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga "statmena" antrąjį trikampį sudarančių elementų šoninei įstrižainės sandauga "statmenai" šonai įstrižainės
3. Tada determinantas yra lygus skirtumui tarp verčių, gautų žingsnyje ir

Jei visa tai parašysime skaičiais, gausime tokią išraišką:

Nepaisant to, jums nereikia įsiminti skaičiavimo metodo šioje formoje, pakanka tik išlaikyti trikampius ir pačią idėją, kas prie ko pridedama ir kas tada iš ko atimama).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdžiu:

1. Apskaičiuokite determinantą:

Išsiaiškinkime, ką pridedame ir ką atimame:

Sąvokos su „pliusu“:

Tai yra pagrindinė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridėkite tris skaičius:

Sąlygos su „minusu“

Tai šoninė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridėkite tris skaičius:

Viskas, ką reikia padaryti, tai iš pliuso terminų sumos atimti minuso terminų sumą:

Taigi,

Kaip matote, apskaičiuojant trečiosios eilės determinantus nėra nieko sudėtingo ir antgamtiško. Tiesiog svarbu atsiminti apie trikampius ir nedaryti aritmetinių klaidų. Dabar pabandykite tai apskaičiuoti patys:

Mes tikriname:

1. Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
2. Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
3. Terminų suma su pliusu:
4. Pirmasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
5. Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
6. Terminų suma su minusu:
7. Terminų suma su pliusu atėmus terminų su minusu sumą:

Štai dar pora determinantų, patys apskaičiuokite jų vertes ir palyginkite jas su atsakymais:

Atsakymai:

Na, ar viskas sutapo? Puiku, tada galite judėti toliau! Jei kyla sunkumų, mano patarimas yra toks: internete yra daugybė programų, skirtų determinantui apskaičiuoti internete. Tereikia sugalvoti savo determinantą, pačiam jį apskaičiuoti ir tada palyginti su tuo, ką apskaičiuos programa. Ir taip toliau, kol rezultatai pradės sutapti. Esu tikras, kad ši akimirka netruks!

Dabar grįžkime prie determinanto, kurį parašiau kalbėdamas apie plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtį:

Viskas, ko jums reikia, yra tiesiogiai apskaičiuoti jo vertę (naudojant trikampių metodą) ir nustatyti rezultatą į nulį. Natūralu, kad tai yra kintamieji, todėl jūs gausite tam tikrą išraišką, kuri priklauso nuo jų. Būtent ši išraiška bus lygtis plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, kurie nėra vienoje tiesėje!

Iliustruojame tai paprastu pavyzdžiu:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Mes sudarome šių trijų taškų determinantą:

Supaprastinimas:

Dabar apskaičiuojame tiesiogiai pagal trikampių taisyklę:

\ [(\ left | (\ start (masyvas)) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė | = \ kairė ((x + 3) \ dešinė) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ left ((z + 1) \ right) + \ left ((y - 2) \ dešinėje) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Taigi plokštumos, einančios per taškus, lygtis turi tokią formą:

Dabar pabandykite patys išspręsti vieną problemą, tada mes ją aptarsime:

2. Raskite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Mes sudarome determinantą:

Ir mes apskaičiuojame jo vertę:

Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba sumažinę iki:

Dabar dvi savikontrolės užduotys:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį:

Atsakymai:

Ar viskas sutapo? Vėlgi, jei kyla tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra toks: paimkite iš galvos tris taškus (su didele tikimybe, kad jie nebus toje pačioje tiesėje), išilgai jų pastatykite plokštumą. Ir tada jūs patikrinate save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau determinantų pagalba sukonstruosime ne tik plokštumos lygtį. Prisiminkite, sakiau, kad vektoriams apibrėžiamas ne tik taškinis produktas. Taip pat yra vektorinis produktas, taip pat mišrus produktas. Ir jei dviejų vektorių taškinė sandauga yra skaičius, tai dviejų vektorių vektorinė sandauga bus vektorius, o šis vektorius bus statmenas duotiesiems:

Be to, jo modulis bus lygus lygiagretainio plotui, pastatytam ant vektorių ir. Mums reikės šio vektoriaus, kad apskaičiuotume atstumą nuo taško iki tiesės. Kaip apskaičiuoti vektorių kryžminę sandaugą ir, jei pateiktos jų koordinatės? Trečios eilės determinantas vėl ateina mums į pagalbą. Tačiau prieš pereinant prie vektorinės sandaugos skaičiavimo algoritmo, turiu padaryti nedidelį lyrinį nukrypimą.

Šis nukrypimas susijęs su baziniais vektoriais.

Jie schematiškai parodyti paveikslėlyje:

Kodėl manote, kad jie vadinami pagrindiniais? Faktas yra tas, kad:

Arba nuotraukoje:

Šios formulės pagrįstumas yra akivaizdus, ​​nes:

Vektorinis produktas

Dabar galiu pradėti pristatyti kryžminį produktą:

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateiksime keletą kryžminio sandaugų skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Raskite vektorių kryžminę sandaugą:

Sprendimas: Sudarau determinantą:

Ir aš paskaičiuoju:

Dabar, nuo žymėjimo baziniais vektoriais, grįšiu prie įprasto vektoriaus žymėjimo:

Taigi:

Dabar pabandykite.

Pasiruošę? Mes tikriname:

Ir tradiciškai du kontrolės užduotys:

1. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:
2. Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių sandauga

Paskutinė man reikalinga konstrukcija yra mišrus trijų vektorių sandauga. Tai, kaip ir skaliarinis, yra skaičius. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per determinantą, - per mišrų produktą.

Būtent, turėkime tris vektorius:

Tada trijų vektorių mišrus sandauga, žymima, gali būti apskaičiuojama taip:

1. – tai yra, mišrus sandauga yra vektoriaus taškinė sandauga iš dviejų kitų vektorių kryžminės sandaugos

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus sandauga yra:

Pabandykite patys apskaičiuoti per kryžminį sandaugą ir įsitikinkite, kad rezultatai sutampa!

Ir vėl – du nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

Atsakymai:

Koordinačių sistemos pasirinkimas

Na, o dabar turime visus reikalingus žinių pagrindus, kad išspręstume sudėtingas stereometrines geometrijos problemas. Tačiau prieš pereinant tiesiai prie jų sprendimo pavyzdžių ir algoritmų, manau, bus naudinga pasilikti prie kito klausimo: kaip tiksliai pasirinkti tam tikros figūros koordinačių sistemą. Juk nuo koordinačių sistemos ir figūros santykinės padėties erdvėje pasirinkimas galiausiai lems, kiek sudėtingi bus skaičiavimai.

Leiskite jums priminti, kad šiame skyriuje nagrinėjame šias formas:

1. Stačiakampis gretasienis
2. Tiesi prizmė (trikampė, šešiakampė ...)
3. Piramidė (trikampė, keturkampė)
4. Tetraedras (tas pats kaip trikampė piramidė)

Stačiakampei dėžutei ar kubui rekomenduoju tokią konstrukciją:

Tai yra, aš pastatysiu figūrą „kampe“. Kubas ir gretasienis yra labai gražios formos. Jiems visada nesunkiai galite rasti jo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

tada viršūnių koordinatės yra tokios:

Žinoma, jums to nereikia atsiminti, tačiau pageidautina prisiminti, kaip geriausia įdėti kubą ar stačiakampį gretasienį.

Tiesi prizmė

Prizmė yra žalingesnė figūra. Jis gali būti išdėstytas erdvėje įvairiais būdais. Tačiau man priimtiniausias atrodo toks variantas:

Trikampė prizmė:

Tai yra, vieną iš trikampio kraštinių visiškai pastatome ant ašies, o viena iš viršūnių sutampa su pradžia.

Šešiakampė prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su pradžia, o viena iš kraštinių yra ant ašies.

Keturkampė ir šešiakampė piramidė:

Situacija panaši į kubą: sulygiuokite dvi pagrindo puses su koordinačių ašimis, vieną iš viršūnių sulygiuokite su pradine. Vienintelis nedidelis sunkumas bus apskaičiuoti taško koordinates.

Šešiakampei piramidei – tas pats, kas šešiakampei prizmei. Vėlgi, pagrindinė užduotis bus rasti viršūnės koordinates.

Tetraedras (trikampė piramidė)

Situacija labai panaši į tą, kurią pateikiau trikampei prizmei: viena viršūnė sutampa su pradžia, viena pusė guli koordinačių ašyje.

Na, dabar jūs ir aš pagaliau artėjame prie problemų sprendimo. Iš to, ką sakiau pačioje straipsnio pradžioje, galite padaryti tokią išvadą: dauguma C2 problemų yra suskirstytos į 2 kategorijas: kampų problemas ir atstumo problemas. Pirma, mes apsvarstysime kampo radimo problemą. Jie savo ruožtu skirstomi į šias kategorijas (didėjant sunkumui):

Rasti kampus

1. Kampo tarp dviejų tiesių nustatymas
2. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas

Apsvarstykime šias užduotis nuosekliai: pradėkite nuo kampo tarp dviejų tiesių. Na, atsiminkite, ar mes su jumis anksčiau nesprendėme panašių pavyzdžių? Prisiminkite, mes jau turėjome kažką panašaus... Ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Priminsiu, jei pateikiami du vektoriai: ir, tada kampas tarp jų randamas iš santykio:

Dabar turime tikslą – rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pereikime prie „plokščio paveikslo“:

Kiek kampų gavome, kai susikerta dvi tiesės? Kaip ir daugelis dalykų. Tiesa, tik du iš jų nėra lygūs, o kiti yra joms vertikalūs (taigi ir sutampa). Taigi kokį kampą turėtume laikyti kampu tarp dviejų tiesių: ar? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesių visada yra ne didesnis kaip laipsniai... Tai yra, iš dviejų kampų mes visada rinksimės kampą su mažiausiu laipsniu. Tai reiškia, kad šiame paveikslėlyje kampas tarp dviejų tiesių yra lygus. Kad nereikėtų vargti kaskart ieškant mažiausio iš dviejų kampų, gudrūs matematikai pasiūlė pasinaudoti moduliu. Taigi kampas tarp dviejų tiesių nustatomas pagal formulę:

Kaip dėmesingas skaitytojas, jums turėjo kilti klausimas: iš kur mes gauname tuos skaičius, kurių reikia kampo kosinusui apskaičiuoti? Atsakymas: juos paimsime iš tiesių krypties vektorių! Taigi kampo tarp dviejų tiesių nustatymo algoritmas yra toks:

1. Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

1. Ieškome pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
2. Ieškome antrosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
3. Apskaičiuokite jų taškinės sandaugos modulį
4. Mes ieškome pirmojo vektoriaus ilgio
5. Mes ieškome antrojo vektoriaus ilgio
6. 4 taško rezultatus padauginkite iš 5 taško rezultatų
7. 3 taško rezultatą padalinkite iš 6 taško rezultato. Gauname kampo tarp tiesių kosinusą
8. Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, ieškokite jo
9. Kitu atveju rašome per atvirkštinį kosinusą

Na, o dabar pats laikas pereiti prie problemų: pirmųjų dviejų sprendimą pademonstruosiu smulkiai, kito sprendimo trumpai pateiksiu, o į paskutines dvi problemas pateiksiu tik atsakymus, visus jų skaičiavimus turite atlikti patys.

Užduotys:

1. Tinkamu tet-ra-ed-re nay-di-the kampas tarp you-to-tet-ra-ed-ra ir med-di-a-noy bo-kovy veido.

2. Dešiniajame šešių anglių-noy pi-ra-mi-de os-no-va-nia kraštinės yra lygios, o šonkauliai yra lygūs, raskite kampą tarp tiesių ir.

3. Visų teisingų keturių tu-rekh-coal pi-ra-mi-dy šonkaulių ilgiai yra lygūs vienas kitam. Ne-di-tie kampai tarp tiesių linijų ir jei nuo pjūvio tu-co-tai duota pi-ra-mi-dy, taškas yra se-re-di-na jos bo-ko- antrasis šonkaulis

4. Ant kubo krašto nuo-me-che-na taško, kad Nay-di-te būtų kampas tarp tiesių ir

5. Taškas - se-re-di-ant kubo kraštų Nay-di-te kampas tarp tiesių ir.

Neatsitiktinai užduotis sudėliojau tokia tvarka. Kol dar nespėjote pradėti naršyti koordinačių metodu, aš pats analizuosiu „problemiškiausias“ figūras ir paliksiu jums spręsti paprasčiausią kubą! Palaipsniui teks išmokti dirbti su visomis figūromis, didinsiu užduočių sudėtingumą nuo temos iki temos.

Pradėkime spręsti problemas:

1. Nubraižykite tetraedrą, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip siūliau anksčiau. Kadangi tetraedras yra taisyklingas, visi jo paviršiai (įskaitant pagrindą) yra taisyklingi trikampiai. Kadangi mums nenurodytas kraštinės ilgis, galiu priimti lygų. Manau, jūs suprantate, kad kampas tikrai nepriklausys nuo to, kiek mūsų tetraedras bus „ištemptas“?. Taip pat nubrėžiu aukštį ir medianą tetraedre. Pakeliui nupiešiu jo pagrindą (mums irgi pravers).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Žinome tik taško koordinates. Tai reiškia, kad mums dar reikia rasti taškų koordinates. Dabar galvojame: taškas yra trikampio aukščių (arba pusiausvyrų arba medianų) susikirtimo taškas. Taškas yra pakeltas taškas. Taškas yra segmento vidurys. Tada galiausiai turime rasti: taškų koordinates:.

Pradėkime nuo paprasčiausio: taško koordinačių. Pažvelkite į paveikslėlį: Aišku, kad taško aplikacija yra nulis (taškas yra plokštumoje). Jo ordinatė yra (kadangi – mediana). Sunkiau rasti jo abscisę. Tačiau tai nesunku padaryti remiantis Pitagoro teorema: Apsvarstykite trikampį. Jo hipotenuzė lygi, o viena iš kojų lygi Tada:

Galiausiai turime:.

Dabar suraskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo taikymas vėl yra lygus nuliui, o jo ordinatė yra tokia pati kaip taško, tai yra. Raskime jo abscisę. Tai gana nereikšminga, jei tai prisimenate lygiakraščio trikampio aukščiai proporcingai padalinami iš susikirtimo taško skaičiuojant nuo viršaus. Kadangi:, tada reikiama taško abscisė, lygi atkarpos ilgiui, yra lygi:. Taigi taško koordinatės yra lygios:

Raskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Ir aplikacija yra lygi segmento ilgiui. - tai viena iš trikampio kojų. Trikampio hipotenuzė yra atkarpa – koja. Jo ieškoma iš svarstymų, kuriuos paryškinau paryškintu šriftu:

Taškas yra linijos vidurio taškas. Tada turime prisiminti atkarpos vidurio taško koordinačių formulę:

Tai viskas, dabar galime ieškoti krypties vektorių koordinačių:

Na, viskas paruošta: visus duomenis pakeičiame į formulę:

Taigi,

Atsakymas:

Neturėtumėte išsigąsti tokių „baisių“ atsakymų: C2 problemų atveju tai yra įprasta praktika. Verčiau nustebčiau „gražiu“ atsakymu šioje dalyje. Be to, kaip pastebėjote, aš praktiškai nesinaudojau niekuo kitu, išskyrus Pitagoro teoremą ir lygiakraščio trikampio aukščių savybę. Tai yra, norėdamas išspręsti stereometrinę problemą, aš panaudojau minimalų stereometrijos kiekį. Šio pelno padidėjimas iš dalies „užgesinamas“ gana sudėtingais skaičiavimais. Bet jie yra gana algoritmiški!

2. Nubraižykime taisyklingą šešiakampę piramidę kartu su koordinačių sistema ir jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp linijų ir. Taigi mūsų užduotis sumažinama iki taškų koordinačių radimo:. Paskutiniųjų trijų koordinates rasime iš mažo paveikslėlio, o viršūnės – per taško koordinates. Dirbkite masiškai, bet jūs turite tai pradėti!

a) Koordinatė: aišku, kad jos aplikacija ir ordinatė yra lygios nuliui. Raskime abscisę. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, joje mes žinome tik hipotenuzą, kuri yra lygi. Bandysime surasti koją (nes aišku, kad padvigubintas kojos ilgis suteiks taško abscisę). Kaip mes galime ją rasti? Prisiminkime, kokią figūrą turime piramidės pagrinde? Tai įprastas šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad jis turi visas puses ir visus kampus. Turėčiau rasti vieną tokį kampelį. Kokiu nors ideju? Idėjų yra daug, bet yra formulė:

Taisyklingo n kampo kampų suma yra .

Taigi taisyklingo šešiakampio kampų suma lygi laipsniams. Tada kiekvienas kampas yra lygus:

Dar kartą žiūrime į paveikslėlį. Akivaizdu, kad atkarpa yra kampo pusiausvyra. Tada kampas lygus laipsniams. Tada:

Tada kur.

Taigi jis turi koordinates

b) Dabar galime lengvai rasti taško koordinatę:.

c) Raskite taško koordinates. Kadangi jo abscisė sutampa su atkarpos ilgiu, ji lygi. Ordinates rasti taip pat nėra labai sunku: jei sujungsime taškus ir pažymime tiesės susikirtimo tašką, tarkime, pagal. (pasidaryk pats paprasta konstrukcija). Tada Taigi taško B ordinatė yra lygi atkarpų ilgių sumai. Dar kartą pažvelkime į trikampį. Tada

Tada nuo Tada taškas turi koordinates

d) Dabar randame taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodykite, kad Taigi taško koordinatės yra:

e) Belieka rasti viršūnės koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Raskime aplikatorių. Nuo tada. Apsvarstykite stačiakampį trikampį. Pagal problemos būklę šoninis kraštas. Tai mano trikampio hipotenuzė. Tada piramidės aukštis yra koja.

Tada taškas turi koordinates:

Gerai, turiu visų man įdomių taškų koordinates. Ieškote tiesių krypties vektorių koordinačių:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, spręsdamas šią problemą, nenaudojau jokių sudėtingų gudrybių, išskyrus taisyklingo n kampo kampų sumos formulę, taip pat stačiojo trikampio kosinuso ir sinuso nustatymą.

3. Kadangi piramidės briaunų ilgiai mums vėl nepateikti, tai juos laikysiu lygiais vienetui. Taigi, kadangi VISOS briaunos, o ne tik šoninės, yra lygios viena kitai, tai piramidės ir aš pagrinde yra kvadratas, o šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Nubraižykime tokią piramidę, taip pat jos pagrindą plokštumoje, pažymėdami visus uždavinio tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Kai ieškosiu taškų koordinačių, atliksiu labai trumpus skaičiavimus. Jums reikės juos „iššifruoti“:

b) yra atkarpos vidurys. Jo koordinatės:

c) Atkarpos ilgį surasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Rasiu jį trikampyje pagal Pitagoro teoremą.

Koordinatės:

d) - atkarpos vidurys. Jo koordinatės lygios

e) Vektorių koordinatės

f) Vektorių koordinatės

g) Ieškau kampo:

Kubas yra paprasčiausia figūra. Esu tikras, kad galite tai išsiaiškinti patys. Atsakymai į 4 ir 5 uždavinius yra tokie:

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Na, paprastų užduočių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sudėtingesni. Norėdami rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos, atliksime šiuos veiksmus:

1. Iš trijų taškų sudarome plokštumos lygtį
   ,
   naudojant trečiosios eilės determinantą.
2. Tiesės krypties vektoriaus koordinačių ieškome dviem taškais:
3. Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikome formulę:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tą, kurią naudojome norėdami rasti kampus tarp dviejų tiesių. Dešinės pusės struktūra yra tokia pati, o kairėje dabar ieškome sinuso, o ne kosinuso, kaip anksčiau. Na, buvo pridėtas vienas bjaurus veiksmas – plokštumos lygties paieška.

Neatidėliokime pavyzdžių sprendimas:

1. Os-but-va-no-em tiesiogiai-mes-la-yra lygūs-bet-vargšai-gimęs trikampis-slapukas Tu-tai-kad prizai-mes lygūs. Nai di te kampas tarp tiesios ir plokščios

2. Stačiakampyje paral-le-le-pi-pe-de iš Vakarų Nay-te kampo tarp tiesės ir plokštumos

3. Teisingoje šešių anglių prizmėje visos briaunos yra lygios. Ne-di-tai kampai tarp tiesės ir plokštumos.

4. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-no-va-ni-tai iš vakarų nuo šonkaulių Nay-di-te kampas, ob-ra-zo-van flat-to- kaulas os-no-va-nia ir tiesus, pro-ho-dya-shi per šonkaulių se-re-di-us ir

5. Taisyklingos keturių kampų piramidės su viršūne visų briaunų ilgiai lygūs vienas kitam. Nay-di-te yra kampas tarp tiesės ir plokštumos, jei taškas yra se-re-di-na bo-ko-th ribs pi-ra-mi-dy.

Pirmąsias dvi problemas vėlgi išspręsiu detaliai, trečiąją – trumpai, o paskutines dvi paliksiu spręsti patiems. Be to, jūs jau susidorojote su trikampėmis ir keturkampėmis piramidėmis, bet dar ne su prizmėmis.

Sprendimai:

1. Pavaizduokime prizmę, taip pat ir jos pagrindą. Sujungkime ją su koordinačių sistema ir pažymime visus uždavinio teiginyje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už proporcijų nesilaikymą, bet sprendžiant problemą, tai iš tikrųjų nėra taip svarbu. Lėktuvas yra tik mano prizmės „užpakalinė siena“. Pakankamai lengva atspėti, kad tokios plokštumos lygtis turi tokią formą:

Tačiau tai gali būti parodyta tiesiogiai:

Parinkime savavališkus tris šios plokštumos taškus: pavyzdžiui,.

Sudarykime plokštumos lygtį:

Pratimas jums: apskaičiuokite šį determinantą patys. Ar tu tai padarei? Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba tiesiog

Taigi,

Norėdami išspręsti pavyzdį, turiu rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates. Kadangi taškas sutampa su pradžios tašku, vektoriaus koordinatės tiesiog sutaps su taško koordinatėmis Tam, kad tai padarytume, pirmiausia randame taško koordinates.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Iš viršūnės nubrėžkime aukštį (tai mediana ir pusiausvyra). Kadangi, tada taško ordinatė yra lygi. Norėdami rasti šio taško abscisę, turime apskaičiuoti atkarpos ilgį. Pagal Pitagoro teoremą turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas „pakeliamas“ tašku:

Tada vektoriaus koordinatės:

Atsakymas:

Kaip matote, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Tiesą sakant, šis procesas dar labiau supaprastina formos, pavyzdžiui, prizmės, „tiesumą“. Dabar pereikime prie kito pavyzdžio:

2. Nubrėžkite gretasienį, nubrėžkite jame plokštumą ir tiesią liniją, taip pat atskirai nubrėžkite jos apatinį pagrindą:

Pirmiausia randame plokštumos lygtį: Trijų joje esančių taškų koordinatės:

(pirmosios dvi koordinatės buvo gautos akivaizdžiai, o paskutinę koordinatę galite lengvai rasti iš paveikslėlio iš taško). Tada sudarome plokštumos lygtį:

Skaičiuojame:

Ieškome krypties vektoriaus koordinačių: Aišku, kad jo koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško koordinatės, pakeltos išilgai taikymo ašies vienu! ... Tada mes ieškome reikiamo kampo:

Atsakymas:

3. Nubrėžkite taisyklingą šešiakampę piramidę, tada nubrėžkite plokštumą ir tiesią liniją.

Čia net plokštumos nubrėžimas yra problemiškas, jau nekalbant apie šios problemos sprendimą, bet koordinačių metodas nerūpi! Pagrindinis jo privalumas yra jo universalumas!

Lėktuvas kerta tris taškus:. Ieškome jų koordinačių:

1) . Pats nubrėžkite paskutinių dviejų taškų koordinates. Tam pravers šešiakampės piramidės problemos sprendimas!

2) Sudarome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinačių:. (dar kartą žiūrėkite trikampės piramidės problemą!)

3) Ieškau kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse nėra nieko antgamtiškai sudėtingo. Tik reikia labai atsargiai elgtis su šaknimis. Į paskutines dvi problemas pateiksiu tik atsakymus:

Kaip matote, uždavinių sprendimo technika visur vienoda: pagrindinė užduotis yra surasti viršūnių koordinates ir jas pakeisti kai kuriose formulėse. Mums belieka apsvarstyti dar vieną kampų skaičiavimo problemų klasę, būtent:

Kampų tarp dviejų plokštumų skaičiavimas

Sprendimo algoritmas bus toks:

1. Pagal tris taškus ieškome pirmosios plokštumos lygties:
2. Kitiems trims taškams ieškome antrosios plokštumos lygties:
3. Taikome formulę:

Kaip matote, formulė labai panaši į dvi ankstesnes, kurių pagalba ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesės ir plokštumos. Taigi prisiminti tai jums nebus sunku. Pereikime tiesiai prie užduočių analizės:

1. Dešiniosios trikampės prizmės os-but-va-nia šimtas-ro-na lygus, o didžiojo veido dia-go-nalis lygus. Ne-di-tai kampai tarp plokštumos ir prizmės plokštumos.

2. Teisingame keturių tu-rekh-coal-noy pi-ra-mi-de, kurio visos briaunos yra lygios, raskite kampo tarp plokštumos ir plokštumos to-stu sinusą, pro-ho- dya-shchey per tašką per-pen-di-ku-lar-bet tiesiai.

3. Teisingoje keturių tu-rekh anglies prizmėje os-no-va-nia kraštinės lygios, o kraštinės lygios. Ant krašto nuo-me-che-iki taško, kad. Raskite kampą tarp plokštumos-sti-mi ir

4. Dešiniojoje keturių kampų prizmėje os-no-va-nia kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Krašte nuo-me-che-iki taško, kad Nay-di-te būtų kampas tarp plokštumos iki st-mi ir.

5. Kube nay-di-te ko-si-nus kampo tarp plokštumos-ko-sti-mi ir

Problemos sprendimai:

1. Nupiešiu taisyklingą (pagrinde - lygiakraštį trikampį) trikampę prizmę ir pažymiu joje plokštumas, kurios atsiranda uždavinio teiginyje:

Turime rasti dviejų plokštumų lygtis: Pagrindo lygtis yra triviali: galite sudaryti atitinkamą determinantą iš trijų taškų, bet aš sudarysiu lygtį iš karto:

Dabar randame lygtį Taškas turi koordinates Taškas – kadangi yra trikampio mediana ir aukštis, ją lengva rasti trikampyje pagal Pitagoro teoremą. Tada taškas turi koordinates: Raskite taško pritaikymą Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį

Tada gauname tokias koordinates: Sudarome plokštumos lygtį.

Apskaičiuojame kampą tarp plokštumų:

Atsakymas:

2. Piešinio sudarymas:

Sunkiausia suprasti, kas yra ši paslaptinga plokštuma, einanti per tašką statmenai. Na, svarbiausia, kas tai yra? Svarbiausia - dėmesingumas! Tiesą sakant, linija yra statmena. Tiesi linija taip pat yra statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tieses, bus statmena tiesei ir, beje, eis per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršūnę. Tada ieškomas lėktuvas – Ir lėktuvas jau mums duotas. Ieškome taškų koordinačių.

Raskite taško koordinatę per tašką. Iš mažos figūrėlės nesunku nuspręsti, kad taško koordinatės bus tokios: Ką dabar belieka rasti, norint rasti piramidės viršūnės koordinates? Taip pat reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant tą pačią Pitagoro teoremą: pirma, įrodykite tai (trivialiai iš mažų trikampių, sudarančių kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygas turime:

Dabar viskas paruošta: viršūnės koordinatės:

Sudarome plokštumos lygtį:

Jūs jau esate ypatingas skaičiuodamas determinantus. Galite lengvai gauti:

Arba kitaip (jei abi dalis padauginsime iš dviejų šaknies)

Dabar randame plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip gauname plokštumos lygtį, tiesa? Jei nesuprantate, iš kur atsirado šis minusas, grįžkite prie plokštumos lygties apibrėžimo! Tiesiog prieš tai paaiškėjo, kad koordinačių pradžia priklausė mano plokštumai!)

Apskaičiuojame determinantą:

(Matote, kad plokštumos lygtis sutampa su tiesės, einančios per taškus, lygtimi ir! Pagalvokite, kodėl!)

Dabar apskaičiuojame kampą:

Turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Sudėtingas klausimas: kas, jūsų nuomone, yra stačiakampė prizmė? Tai tik gretasienis, kurį gerai žinai! Nedelsdami padarykite piešinį! Atskirai net galima nevaizduoti pagrindo, čia mažai naudos:

Plokštuma, kaip minėjome anksčiau, parašyta lygties forma:

Dabar mes sudarome lėktuvą

Iš karto sudarome plokštumos lygtį:

Ieškau kampo:

Dabar atsakymai į paskutines dvi problemas:

Na, dabar pats laikas pailsėti, nes jūs ir aš esame puikūs ir padarėme puikų darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Pažengęs lygis

Šiame straipsnyje aptarsime su jumis dar vieną problemų, kurias galima išspręsti koordinačių metodu, klasę: atstumo problemas. Būtent, mes nagrinėsime šiuos atvejus:

1. Atstumo tarp kertamų linijų apskaičiavimas.

Užsakiau šias užduotis, nes jos tampa sudėtingesnės. Pasirodo, jį rasti lengviausia atstumas nuo taško iki plokštumos, o sunkiausia rasti atstumas tarp susikertančių linijų... Nors, žinoma, nieko nėra neįmanomo! Neatidėliokime ir nedelsdami pereikime prie pirmos klasės problemų svarstymo:

Atstumo nuo taško iki plokštumos apskaičiavimas

Ko mums reikia norint išspręsti šią problemą?

1. Taško koordinatės

Taigi, kai tik gauname visus reikiamus duomenis, taikome formulę:

Jau turėtumėte žinoti, kaip sudarome plokštumos lygtį iš ankstesnių problemų, kurias aptariau paskutinėje dalyje. Iš karto pereikime prie užduočių. Schema tokia: 1, 2, padedu išspręsti, o kiek detaliau, 3, 4 – tik atsakymas, sprendimą priimi pats ir palygini. Pradėkime!

Užduotys:

1. Duotas kubas. Kubo krašto ilgis yra. Nay-di-te atstumas-i-ni nuo se-re-di-us nuo pjūvio iki plokščio iki sti

2. Atsižvelgiant į dešinę-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe krašto šoninė-ro-na os-no-va-nia yra lygi. Nay-di-tie atstumas nuo taško iki plokštumos-sti kur - se-re-di-on šonkauliai.

3. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-no-va-ni bo-k-oji briauna lygi, o šoninė-ro-na yra-no-va- lygi . Ne-di-tas atstumas-i-nye nuo viršaus iki plokštumos.

4. Teisingoje šešių anglių prizmėje visos briaunos yra lygios. Nay-di-te atstumas-i-nie nuo taško iki plokštumos.

Sprendimai:

1. Nubraižykite kubą su vienetinėmis briaunomis, sukurkite atkarpą ir plokštumą, segmento vidurį pažymėkite raide

.

Pirmiausia pradėkime nuo paprasto: raskite taško koordinates. Nuo tada (atminkite atkarpos vidurio taško koordinates!)

Dabar sudarome plokštumos lygtį trimis taškais

\ [\ liko | (\ pradžia (masyvas) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė | = 0 \]

Dabar galiu pradėti ieškoti atstumo:

2. Vėl pradėkite nuo piešinio, ant kurio pažymime visus duomenis!

Piramidei būtų naudinga atskirai nupiešti jos pagrindą.

Netgi tai, kad piešiu kaip višta su letena, netrukdo mums lengvai išspręsti šios problemos!

Dabar lengva rasti taško koordinates

Kadangi taško koordinatės, tada

2. Kadangi taško a koordinatės yra atkarpos vidurio taškas, tai

Galime lengvai rasti dar dviejų plokštumos taškų koordinates. Sudarome plokštumos lygtį ir ją supaprastiname:

\ [\ liko | (\ left | (\ begin (masyvas)) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė |) \ dešinė | = 0 \]

Kadangi taškas turi koordinates:, tada apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai retai!):

Na, sugalvojai? Man atrodo, kad čia viskas taip pat techniška, kaip ir pavyzdžiuose, kuriuos aptarėme su jumis ankstesnėje dalyje. Taigi esu tikras, kad jei tą medžiagą įvaldysite, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusias dvi problemas. Pateiksiu tik atsakymus:

Atstumo nuo tiesės iki plokštumos apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nieko naujo. Kaip linija ir plokštuma gali būti išdėstytos viena kitos atžvilgiu? Jie turi visas galimybes: susikerta, arba tiesė yra lygiagreti plokštumai. Kaip manote, koks yra atstumas nuo tiesės iki plokštumos, su kuria ši tiesė kertasi? Man atrodo, kad čia aišku, kad toks atstumas lygus nuliui. Neįdomus atvejis.

Antrasis atvejis yra sudėtingesnis: čia atstumas jau nėra nulis. Tačiau kadangi linija yra lygiagreti plokštumai, kiekvienas linijos taškas yra vienodu atstumu nuo šios plokštumos:

Taigi:

O tai reiškia, kad mano užduotis sumažinta iki ankstesnės: mes ieškome bet kurio tiesės taško koordinačių, ieškome plokštumos lygties, skaičiuojame atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys egzamine atliekamos itin retai. Man pavyko rasti tik vieną problemą, o joje esantys duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas jai nelabai tinka!

Dabar pereikime prie kitos, daug svarbesnės problemų klasės:

Taško atstumo iki tiesės apskaičiavimas

Ko mums reikia?

1. Taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinatės:

2. Bet kurio taško, esančio tiesioje linijoje, koordinatės

3. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės

Kokią formulę naudojame?

Ką jums reiškia šios trupmenos vardiklis, todėl turėtų būti aišku: tai yra tiesės krypties vektoriaus ilgis. Čia yra labai sudėtingas skaitiklis! Išraiška reiškia vektorių vektorinės sandaugos modulį (ilgį) ir Kaip apskaičiuoti kryžminę sandaugą, nagrinėjome ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, jos dabar mums labai pravers!

Taigi problemų sprendimo algoritmas bus toks:

1. Ieškome taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinačių:

2. Ieškome bet kurio tiesės taško, iki kurio ieškome atstumo, koordinačių:

3. Sukurkite vektorių

4. Sukurkite tiesės krypties vektorių

5. Apskaičiuokite kryžminį sandaugą

6. Ieškome gauto vektoriaus ilgio:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Turime daug darbo, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkite visą savo dėmesį!

1. Dana yra dešinė-vil-naya trikampė pi-ra-mi-da su viršūne. Vienas šimtas-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy yra lygus, tu-tai-tai lygu. Nay-di-tas atstumas-i-nie nuo bo-ko-in-to krašto se-re-di-ny iki tiesės, kur taškai ir yra kraštinių se-re-di-ny ir taip-nuo- vet-bet.

2. Šonkaulių ir stačiakampio pa-ral-le-le-pi-pe-da ilgiai yra atitinkamai lygūs, o Nay-di-tas atstumas nuo viršaus iki tiesios

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos spiečiaus briaunos yra lygios rasti-di-tą atstumą nuo taško iki tiesės

Sprendimai:

1. Padarome tvarkingą piešinį, kuriame pažymime visus duomenis:

Mes turime daug darbo su jumis! Pirmiausia norėčiau žodžiais apibūdinti, ko mes ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. Taško koordinatės

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. Jų kryžminis produktas

6. Vektoriaus ilgis

7. Vektorinės sandaugos ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mes turime daug darbo! Mes tai leidžiamės, pasiraitodami rankoves!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti taško koordinates.Jo aplikacija lygi nuliui, o ordinatė lygi abscisei, ji lygi atkarpos ilgiui. yra lygiakraščio trikampio aukštis, jis yra padalintas į santykį, skaičiuojant nuo viršaus, nuo čia. Galiausiai gavome koordinates:

Taško koordinatės

2. - segmento vidurys

3. - segmento vidurys

Atkarpos vidurio taškas

4.Koordinatės

Vektorinės koordinatės

5. Apskaičiuokite kryžminį sandaugą:

6. Vektoriaus ilgis: lengviausia pakeisti, kad atkarpa yra trikampio vidurio linija, o tai reiškia, kad ji yra lygi pusei pagrindo. Taigi.

7. Atsižvelgiame į vektorinės sandaugos ilgį:

8. Galiausiai randame atstumą:

Fu, viskas! Sąžiningai galiu pasakyti, kad šią problemą išspręsti naudojant tradicinius metodus (per konstrukcijas) būtų daug greičiau. Bet čia aš viską sumažinau iki paruošto algoritmo! Manau, kad sprendimo algoritmas jums aiškus? Todėl paprašysiu likusias dvi problemas išspręsti savarankiškai. Palyginkime atsakymus?

Dar kartą pasikartosiu: šias problemas lengviau (greičiau) išspręsti konstrukcijomis, o ne koordinačių metodu. Šį sprendimą pademonstravau tik norėdamas parodyti jums universalų metodą, leidžiantį „nieko neužbaigti“.

Galiausiai apsvarstykite paskutinę problemų klasę:

Atstumo tarp kertamų linijų apskaičiavimas

Čia problemų sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet koks vektorius, jungiantis pirmosios ir antrosios tiesių taškus:

Kaip rasti atstumą tarp tiesių?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišraus sandaugos modulis (jį pristatėme ankstesnėje dalyje), o vardiklis yra toks pat kaip ir ankstesnėje formulėje (tiesių krypties vektorių vektorinės sandaugos modulis, atstumas tarp kurių mes ieškome).

Aš jums tai priminsiu

tada atstumo formulę galima perrašyti kaip:

Savotiškas determinantas, padalintas iš determinanto! Nors, tiesą pasakius, aš čia neturiu laiko juokauti! Ši formulė iš tikrųjų yra labai sudėtinga ir leidžia atlikti gana sudėtingus skaičiavimus. Jei būčiau jūsų vietoje, tai naudočiau tik kaip paskutinę priemonę!

Pabandykime išspręsti keletą problemų naudodami aukščiau pateiktą metodą:

1. Taisyklingoje trikampio prizmje visos briaunos lygios, raskite atstumą tarp tiesių ir.

2. Atsižvelgiant į dešinę-vil-naya trikampę prizmę, visos spiečiaus os-no-va-nia briaunos yra vienodos briaunos ir se-re-di-well briaunelės yav-la-et-sya square-ra- tomas. Nai di te atstumas tarp tiesios mes ir

Aš sprendžiu pirmąjį, o pagal jį jūs nuspręsite antrą!

1. Nubrėžkite prizmę ir pažymėkite tiesias linijas ir

Taško C koordinatės: tada

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Vektorinės koordinatės

\ [\ kairė ((B, \ rodyklė viršuje (A (A_1))) \ rodyklė virš dešinės (B (C_1))) \ dešinė) = \ kairė | (\ pradėti (masyvas) (* (20) (l)) (\ pradėti (masyvas) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ pabaiga (masyvas)) \\ (\ pradžia (masyvas) () * (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ pabaiga (masyvas)) \\ (\ pradžia (masyvas) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ pabaiga (masyvas)) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Mes laikome kryžminį sandaugą tarp vektorių ir

\ [\ rodyklė ant dešinės (A (A_1)) \ cdot \ rodyklė virš dešinės (B (C_1)) = \ kairė | \ pradėti (masyvas) (l) \ pradėti (masyvas) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (masyvas) \\\ pradėti (masyvas) ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ pabaiga (masyvas) \\\ pradžia (masyvas) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ pabaiga (masyvas) \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Dabar apskaičiuojame jo ilgį:

Atsakymas:

Dabar pabandykite atidžiai atlikti antrąją užduotį. Atsakymas į jį bus toks:.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius yra nukreipta linijos atkarpa. - vektoriaus pradžia, - vektoriaus pabaiga.
Vektorius žymimas arba.

Absoliučioji vertė vektorius – vektorių atvaizduojančios atkarpos ilgis. Jis nurodomas kaip.

Vektorinės koordinatės:

,
kur yra vektoriaus \ displaystyle a galai.

Vektorių suma:.

Vektorių sandauga:

Taškinė vektorių sandauga:

Vektorių skaliarinė sandauga yra lygi jų absoliučių verčių sandaugai iš kampo tarp jų kosinuso:

LIKUSIEJI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!

Tapk YouClever studentu,

Pasiruoškite NAUDOJIMUI arba NAUDOKITE matematikoje už „puodelį kavos per mėnesį“,

Taip pat gaukite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ mokymo programos (reshebnik), neriboto bandomojo USE ir OGE, 6000 problemų, susijusių su sprendimų analize, ir prie kitų YouClever ir 100gia paslaugų.

Žemiau esančiame straipsnyje bus pabrėžtos atkarpos vidurio taško koordinačių radimo problemos, jei kaip pradiniai duomenys yra jos kraštutinių taškų koordinatės. Tačiau prieš pradėdami tyrinėti šią problemą, pateikiame keletą apibrėžimų.

1 apibrėžimas

Skyrius- tiesi linija, jungianti du savavališkus taškus, vadinama atkarpos galais. Pavyzdžiui, tegul tai yra taškai A ir B ir atitinkamai segmentas A B.

Jei atkarpa A B tęsiasi abiem kryptimis iš taškų A ir B, gauname tiesę A B. Tada atkarpa A B yra gautos linijos, apribotos taškais A ir B, dalis. Segmentas A B jungia taškus A ir B, kurie yra jo galai, taip pat taškų rinkinį, esantį tarp jų. Jei, pavyzdžiui, paimsime bet kurį savavališką tašką K, esantį tarp taškų A ir B, galime sakyti, kad taškas K yra atkarpoje A B.

2 apibrėžimas

Segmento ilgis- atstumas tarp atkarpos galų tam tikra skale (vieneto ilgio segmentas). Atkarpos A B ilgis žymimas taip: A B.

3 apibrėžimas

Atkarpos vidurio taškas- taškas, esantis atkarpoje ir vienodu atstumu nuo jos galų. Jei atkarpos A B vidurio taškas žymimas tašku C, tai lygybė bus teisinga: A C = C B

Pradiniai duomenys: koordinačių linija O x ir nesutampantys taškai joje: A ir B. Šie taškai atitinka tikrus skaičius x A ir x B. Taškas C – atkarpos A B vidurio taškas: būtina nustatyti koordinatę x C.

Kadangi taškas C yra atkarpos A B vidurio taškas, bus teisinga tokia lygybė: | A C | = | C B | ... Atstumas tarp taškų nustatomas pagal jų koordinačių skirtumo modulį, t.y.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Tada galimos dvi lygybės: x C - x A = x B - x C ir x C - x A = - (x B - x C)

Iš pirmosios lygybės išvedame taško C koordinačių formulę: x C = x A + x B 2 (pusė atkarpos galų koordinačių sumos).

Iš antrosios lygybės gauname: x A = x B, o tai neįmanoma, nes pradiniuose duomenyse – nesutampantys taškai. Taigi, atkarpos A B vidurio taško koordinačių nustatymo formulė su galais A (x A) ir B (x B):

Gauta formulė bus pagrindas nustatant atkarpos vidurio taško koordinates plokštumoje arba erdvėje.

Pradiniai duomenys: stačiakampė koordinačių sistema O x y plokštumoje, du savavališkai nesutampantys taškai su nurodytomis koordinatėmis A x A, y A ir B x B, y B. Taškas C yra atkarpos A B vidurio taškas. Būtina nustatyti taško C koordinates x C ir y C.

Analizei paimkime atvejį, kai taškai A ir B nesutampa ir nėra toje pačioje koordinačių tiesėje arba tiesėje, statmenoje vienai iš ašių. A x, A y; B x, B y ir C x, C y - taškų A, B ir C projekcijos koordinačių ašyse (tiesės O x ir O y).

Pagal konstrukciją tiesės A A x, B B x, C C x yra lygiagrečios; tiesios linijos taip pat yra lygiagrečios viena kitai. Kartu su tuo, pagal Thaleso teoremą, lygybė A C = C B reiškia lygybes: A x C x = C x B x ir A y C y = C y B y, o jos savo ruožtu rodo, kad taškas C x yra atkarpos A x B x vidurys, o C y yra atkarpos A y B y vidurio taškas. Ir tada, remiantis anksčiau gauta formule, gauname:

x C = x A + x B 2 ir y C = y A + y B 2

Tos pačios formulės gali būti naudojamos tuo atveju, kai taškai A ir B yra toje pačioje koordinačių tiesėje arba tiesėje, statmenoje vienai iš ašių. Išsamios šio atvejo analizės neatliksime, nagrinėsime tik grafiškai:

Apibendrinant visa tai, kas išdėstyta pirmiau, atkarpos A B vidurio taško plokštumoje koordinates su galų koordinatėmis A (x A, y A) ir B (x B, y B) apibrėžtas kaip:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Pradiniai duomenys: koordinačių sistema О x y z ir du savavališki taškai su nurodytomis koordinatėmis A (x A, y A, z A) ir B (x B, y B, z B). Būtina nustatyti taško C, kuris yra atkarpos A B vidurio taškas, koordinates.

A x, A y, A z; B x, B y, B z ir C x, C y, C z - visų nurodytų taškų projekcijos koordinačių sistemos ašyje.

Pagal Thaleso teoremą teisingos šios lygybės: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

Todėl taškai C x, C y, C z yra atitinkamai atkarpų A x B x, A y B y, A z B z vidurio taškai. Tada Norint nustatyti atkarpos vidurio taško koordinates erdvėje, galioja šios formulės:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Gautos formulės taip pat taikomos tais atvejais, kai taškai A ir B yra vienoje iš koordinačių tiesių; tiesėje, statmenoje vienai iš ašių; vienoje koordinačių plokštumoje arba plokštumoje, statmenoje vienai iš koordinačių plokštumų.

Atkarpos vidurio taško koordinačių nustatymas per jo galų spindulio vektorių koordinates

Atkarpos vidurio taško koordinačių radimo formulę galima išvesti ir pagal vektorių algebrinę interpretaciją.

Pradiniai duomenys: stačiakampė Dekarto koordinačių sistema O x y, taškai su nurodytomis koordinatėmis A (x A, y A) ir B (x B, x B). Taškas C yra atkarpos A B vidurio taškas.

Pagal geometrinį veiksmų vektoriams apibrėžimą bus teisinga tokia lygybė: O C → = 1 2 · O A → + O B →. Taškas C šiuo atveju yra lygiagretainio, pastatyto vektorių O A → ir O B → pagrindu, įstrižainių susikirtimo taškas, t.y. įstrižainių vidurio taškas.Taško spindulio vektoriaus koordinatės lygios taško koordinatėms, tada lygybės teisingos: OA → = (x A, y A), OB → = (x B, y B). Atlikime keletą operacijų su vektoriais koordinatėmis ir gausime:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Taigi taškas C turi koordinates:

x A + x B 2, y A + y B 2

Pagal analogiją nustatoma formulė, kaip rasti atkarpos vidurio taško koordinates erdvėje:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Atkarpos vidurio taško koordinačių nustatymo uždavinių sprendimo pavyzdžiai

Tarp užduočių, susijusių su pirmiau gautų formulių naudojimu, yra ir tų, kuriose tiesiogiai susijęs su atkarpos vidurio taško koordinačių apskaičiavimo klausimas, tiek tų, kurios reikalauja pateikti tam tikras sąlygas: terminas „mediana“ “ dažnai naudojamas, tikslas yra rasti vienos koordinates iš atkarpos galų, taip pat įprastas simetrijos problemas, kurių sprendimas apskritai taip pat neturėtų sukelti sunkumų išnagrinėjus šią temą. Panagrinėkime tipiškus pavyzdžius.

1 pavyzdys

Pradiniai duomenys: plokštumoje - taškai su nurodytomis koordinatėmis A (- 7, 3) ir B (2, 4). Būtina rasti atkarpos A B vidurio taško koordinates.

Sprendimas

Atkarpos A B vidurio tašką pažymėkime tašku C. Jos koordinatės bus apibrėžtos kaip atkarpos galų koordinačių pusė, t.y. A ir B taškais.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Atsakymas: atkarpos A B vidurio koordinatės - 5 2, 7 2.

2 pavyzdys

Pradiniai duomenys:žinomos trikampio A B C koordinatės: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Būtina rasti medianos A M ilgį.

Sprendimas

1. Pagal problemos hipotezę M yra mediana, todėl M yra atkarpos B C vidurio taškas. Pirmiausia randame atkarpos B C vidurio taško koordinates, t.y. M taškas:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Kadangi dabar žinome abiejų medianos galų (taškų A ir M) koordinates, galime naudoti formulę atstumui tarp taškų nustatyti ir medianos A M ilgiui apskaičiuoti:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Atsakymas: 58

3 pavyzdys

Pradiniai duomenys: stačiakampėje trimatės erdvės koordinačių sistemoje pateiktas gretasienis A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Nurodytos taško C 1 (1, 1, 0) koordinatės, taip pat apibrėžtas taškas M, kuris yra įstrižainės B D 1 vidurio taškas ir turi koordinates M (4, 2, - 4). Būtina apskaičiuoti taško A koordinates.

Sprendimas

Gretasienio įstrižainės turi susikirtimą viename taške, kuris yra visų įstrižainių vidurio taškas. Remiantis šiuo teiginiu, galima turėti omenyje, kad taškas M, žinomas iš uždavinio sąlygų, yra atkarpos A C 1 vidurio taškas. Remdamiesi atkarpos vidurio taško koordinačių erdvėje suradimo formule, randame taško A koordinates: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Atsakymas: taško A koordinatės (7, 3, - 8).

Jei tekste pastebėjote klaidą, pasirinkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

Vektorius yra dydis, apibūdinamas jo skaitine verte ir kryptimi. Kitaip tariant, vektorius yra kryptinė linija. Padėtis vektorius AB erdvėje nurodoma pradinio taško koordinatėmis vektorius A ir pabaigos taškai vektorius B. Apsvarstykite, kaip nustatyti vidurio koordinates vektorius.

Instrukcijos

Pirmiausia apibrėžkime pradžios ir pabaigos žymėjimus vektorius... Jei vektorius parašytas kaip AB, tada taškas A yra pradžia vektorius o taškas B yra pabaiga. Ir atvirkščiai, už vektorius BA taškas B yra pradžia vektorius o taškas A yra pabaiga. Pateikiame vektorių AB su pradžios koordinatėmis vektorius A = (a1, a2, a3) ir pabaiga vektorius B = (b1, b2, b3). Tada koordinates vektorius AB bus tokia: AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), t.y. nuo galo koordinatės vektorius reikia atimti atitinkamą pradžios koordinatę vektorius... Ilgis vektorius AB (arba jo modulis) apskaičiuojamas kaip kvadratinė šaknis iš jo koordinačių kvadratų sumos: AB | =? ((b1 - a1) ^ 2 + (b2 - a2) ^ 2 + (b3 - a3) ^ 2).

Raskite taško, kuris yra vidurys, koordinates vektorius... Pažymėkime raide O = (o1, o2, o3). Raskite vidurio koordinates vektorius kaip ir reguliaraus atkarpos vidurio koordinates, pagal šias formules: o1 = (a1 + b1) / 2, o2 = (a2 + b2) / 2, o3 = (a3 + b3) / 2. Raskite koordinates vektorius AO: AO = (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) = ((b1 - a1) / 2, (b2 - a2) / 2, (b3 - a3) / 2).

Pažiūrėkime į pavyzdį. Tegu vektorius AB su koordinatėmis pradžios vektorius A = (1, 3, 5) ir pabaiga vektorius B = (3, 5, 7). Tada koordinates vektorius AB gali būti parašytas kaip AB = (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) = (2, 2, 2). Raskite modulį vektorius AB: | AB | =? (4 + 4 + 4) = 2 *? 3. Nurodyto ilgio reikšmė vektorius padės mums toliau patikrinti vidurio koordinačių teisingumą vektorius... Toliau randame taško O koordinates: O = ((1 + 3) / 2, (3 + 5) / 2, (5 + 7) / 2) = (2, 4, 6). Tada koordinates vektorius AO apskaičiuojamas kaip AO = (2 - 1, 4 - 3, 6 - 5) = (1, 1, 1).

Patikrinkime. Ilgis vektorius AO =? (1 + 1 + 1) =? 3. Prisiminkite, kad inicialo ilgis vektorius yra lygus 2 *? 3, t.y. pusė vektorius iš tiesų yra lygus pusei originalo ilgio vektorius... Dabar apskaičiuokime koordinates vektorius OB: OB = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1). Raskite vektorių AO ir OB sumą: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Todėl vidurio koordinatės vektorius buvo rasti teisingai.

Naudingas patarimas

Apskaičiavę vektoriaus vidurio taško koordinates, būtinai atlikite bent paprasčiausią patikrinimą – apskaičiuokite vektoriaus ilgį ir palyginkite jį su duoto vektoriaus ilgiu.