Apskritimo padalijimas į lygias dalis, taisyklingų daugiakampių kūrimas

Apskritimo padalijimas į 4 ir 8 lygias dalis

Viena kitai statmenų skersmenų galaiASirBD(1 pav.) padalinkite apskritimą, kurio centras yra taškasOį 4 lygias dalis. Sujungę šių skersmenų galus, galite gauti kvadratąASaulėD.

Jei kampasSOAtarp vienas kitam statmenų skersmenųAEirSUG(2 pav.) padalinti per pusę ir nubrėžti vienas kitą statmenus skersmenisDHirBf, tada jų galai atskirs apskritimą, kurio centras yra taškasOį 8 lygias dalis. Sujungę šių skersmenų galus, galite gauti įprastą aštuonkampįABCDEFGH.

Ryžiai. 1 pav 2

Apskritimo padalijimas į 3, 6 ir 12 dalių

Norėdami padalyti apskritimą į 6 lygias dalis, naudokite taisyklingo šešiakampio kraštinių lygybę su apibrėžto apskritimo spinduliu. Jei duotas apskritimas, kurio centras yra taškeO(3 pav.) ir spindulįR, tada nuo vieno iš jo skersmenų galų (taškaiAirD), kaip ir iš centrų, nubrėžkite spindulio apskritimų lankusR... Šių lankų susikirtimo taškai su tam tikru apskritimu padalins jį į 6 lygias dalis. Paeiliui sujungus rastus taškus, gaunamas taisyklingas šešiakampisABCDEF.

Jei apskritimo centre yra taškasO(4 pav.) turi būti padalintas į 3 lygias dalis, tada spinduliu, lygiu šio apskritimo spinduliui, tik iš vieno skersmens galo reikia nubrėžti lanką, pavyzdžiui, tašką.D... TaškaiVirSUšio lanko sankirta su duotu apskritimu, taip pat taškasApastarąjį padalinkite į 3 lygias dalis. Taškų sujungimasA, VirSU, galite gauti lygiakraštį trikampįABC.

Ryžiai. 3 pav 4

Norint padalyti apskritimą į 12 dalių, apskritimo padalijimas į 6 dalis kartojamas du kartus (5 pav.), centruose naudojant tarpusavyje statmenų skersmenų galus: taškus.AirG, DirJ... Nubrėžtų lankų susikirtimo taškai su duotu apskritimu padalins jį į 12 dalių. Sujungę sukonstruotus taškus, galite gauti įprastą dvylika gon.

Ryžiai. 5

Apskritimo padalijimas į 5 dalis

O(6 pav.) į 5 dalis, elkitės taip. Pavyzdžiui, vienas iš apskritimo spinduliųOM, padalintas per pusę, kaip aprašyta anksčiau. Nuo segmento vidurioOMtaškąNspindulysR1 lygus segmentuiAN, nubrėžkite apskritimo lanką ir pažymėkite taškąRšio lanko sankirta su skersmeniu, kuriam priklauso spindulysOM... SkyriusARlygi taisyklingo penkiakampio, įbrėžto į apskritimą, kraštinei. Taigi nuo galoAskersmuo statmenaiOM, spindulysR2 lygus segmentuiAR, nubrėžkite apskritimo lanką. TaškaiVirEšio lanko sankirtos su duotu apskritimu žymi dvi penkiakampio viršūnes.

Dar dvi viršūnės (SUirD) yra apskritimo lankų ir spindulio susikirtimo taškaiR2 su centrais taškuoseVirEsu duotu apskritimu, kurio centru yra taškaiO... Taisyklingo penkiakampio viršūnėsA B C D Eduotąjį apskritimą padalinkite į 5 lygias dalis.

Ryžiai. 6

Apskritimo padalijimas į 7 dalis

Norėdami padalyti apskritimą, kurio centras yra taškasO(6 pav.) į 7 dalis, reikia nubrėžti pagalbinį lanką spinduliu nuo 1 taškoRlygus duoto apskritimo spinduliui, kuris taške kerta apskritimąM... Iš taškoNNuleidžiu statmeną horizontaliai vidurinei linijai. Iš taškoAspindulys lygus spinduliuiMN, padarykite 7 serifus aplink apskritimą ir gaukite septynis norimus taškus, kuriuos sujungdami jie gauna įprastą septyniakampįABCDEFG.

Ryžiai. 7

Apskritimo padalijimas į savavališką skaičių lygių dalių

Jei nė vienas iš anksčiau svarstytų variantų netenkina problemos sąlygos, tada naudojama technika, leidžianti padalyti apskritimą į savavališką skaičių lygių dalių ir sudaryti atitinkamai įrašytus taisyklingus daugiakampius su savavališku kraštinių skaičiumi.

Apsvarstykite tokią konstrukciją naudodami apskritimo, kurio centras yra taškas, padalijimo pavyzdįO(8a pav.) į 7 lygias dalis. Pirmiausia reikia nubrėžti du vienas kitam statmenus skersmenis, iš kurių vienas, pavyzdžiui, eina per taškąA, turėtų būti padalintas į 7 lygias dalis, apribotas 1 ... 7 punktais. Iš taškoA, kaip nuo centro, su spinduliuRlygus duoto apskritimo skersmeniui, reikia nubrėžti lanką, kurio sankirta su antrojo skersmens tęsiniu nustatys taškusR1 irR2 ... Tada per taškusR1 irR2 (8b pav.), Ir lygūs taškai, gauti padalijus skersmenįA7(2. 4 ir 6 taškai), nubrėžkite tiesias linijas. TaškaiV, SU, DirE, F, Gšių tiesių sankirta su duotu apskritimu ir taškuApadalinkite apskritimą su centruOį 7 lygias dalis. Paeiliui sujungdami sukonstruotus taškus, galite nubrėžti taisyklingą septyniakampį, įrašytą į apskritimą.

Ryžiai. aštuoni

1. PAGRINDINĖ TEORINĖ INFORMACIJA

1.1. Geometrinės konstrukcijos

Apskritimo padalijimas į lygias dalis

Kai kurios dalys turi elementus, kurie yra tolygiai paskirstyti aplink perimetrą. Darant detalių su panašiais elementais brėžinius, reikia turėti galimybę apskritimą padalinti į lygias dalis. Apskritimo padalijimo į lygias dalis būdai parodyti pav. 1

Ryžiai. 1. Apskritimo padalijimas į lygias dalis

Pakankamai tiksliai galite padalyti apskritimą į bet kokį lygių dalių skaičių, naudodami koeficientų lentelę, skirtą apskaičiuojant smūgio ilgį.

Pagal lygių atkarpų skaičių apskritime (1 lentelė) randame atitinkamą koeficientą. Gautą koeficientą padauginę iš apskritimo skersmens, gauname stygos ilgį, kurią kompasu uždedame ant apskritimo.

1 lentelė – stygos ilgio nustatymo koeficientas

Apskritimo dalių skaičius	Koeficientas

Filė tarp dviejų eilučių

Braižant techninių detalių kontūrus ir kitose techninėse konstrukcijose dažnai tenka atlikti mate (tolygius perėjimus) iš vienos linijos į kitą. Dviejų kampo kraštinių konjugacija su tam tikro lanko spindulio R lanku atliekama tokia seka:

- lygiagrečiai kampo kraštams atstumu, lygiu R, nubrėžkite dvi pagalbines tiesias linijas;

- šių linijų susikirtimo taškas bus konjugacijos centras;

- nuo konjugacijos centro statmenai daromi nurodytoms tiesioms linijoms;

- statmenų susikirtimo su duotomis tiesėmis taškai vadinami konjugacijos taškais;

- iš poravimosi centro nubrėžiamas R spindulio lankas, jungiantis susijungimo taškus.

Fig. 2 rodomi filė kūrimo pavyzdžiai, kai nurodytas filė lanko spindulys. Tokiu atveju turite apibrėžti mate centrą ir mate taškus. Dalies kontūras nubrėžiamas naudojant kompasą.

Ryžiai. 2. Draugų konstravimo būdai

Technologijoje dažnai reikia nubrėžti lenktas linijas, sudarytas iš daugybės mažų apskritų lankų, palaipsniui keičiant jų kreivumo spindulį. Tokių linijų negalima nubrėžti kompasu. Šios kreivės brėžiamos šablonų pagalba ir vadinamos lenktomis kreivėmis. Būtina ištirti lenktos kreivės formavimosi dėsningumą ir brėžinyje nubrėžti jai priklausančių taškų skaičių. Taškai sujungiami lygia kreive plona linija ranka, o potėpis atliekamas naudojant gabalėlį.

Norėdami nubrėžti kreivių kreives, turite turėti kelių dalių rinkinį. Pasirinkę tinkamą raštą, modelio gabalo kraštą pritaikykite prie kuo didesnio rastų taškų skaičiaus. Į ratą

Kitame skyriuje reikia pakoreguoti gabalo kraštą dar dviem ar trimis taškais, o gabalas turi liesti jau nubrėžtos kreivės dalį. Kreivės brėžimo išilgai kreivės metodas parodytas fig. 3.

Ryžiai. 3. Kreivės konstravimas iš gabalo.

Fig. 4 parodytas elipsės konstravimo išilgai nurodytų ašių pavyzdys

Ryžiai. 4. Elipsės konstravimas

Fig. 5 parodytas parabolės konstravimo pavyzdys, padalijus kampo AOC kraštines į tą patį skaičių lygių dalių. Fig. 6 parodytas apskritimo involutinės konstrukcijos pavyzdys. Duota

apskritimas padalintas į 12 lygių dalių. Per padalijimo taškus brėžiamos apskritimo liestinės. Ant liestinės, nubrėžtos per tašką 12, šio apskritimo ilgis nubraižytas ir padalintas į 12 lygių dalių. Pradedant nuo taško l ant apskritimo liestinių, iš eilės klojami atkarpos, lygios 1/12 apskritimo, 1/6, 1/4 ir kt.

Ryžiai. 5. Parabolės konstrukcija

Ryžiai. 6. Involiucijos konstrukcija

Ryžiai. 7 statant sinusinę bangą

8 pav. Archimedo spiralės konstrukcija

Fig. 7 parodyta sinusoidės konstravimo technika. Duotas apskritimas padalijamas į 12 lygių dalių, tiesios linijos atkarpa, lygi išskleidimo ilgiui, padalinama į tiek pat lygių dalių

Apskritimo padalijimas į tris lygias dalis. Nustatykite kvadratą su 30 ir 60 ° kampais su didele kojele, lygiagrečia vienai iš centrinių linijų. Išilgai hipotenuzės nuo taško 1 (pirmas padalijimas) nubrėžkite akordą (2.11 pav., a), gaudami antrą padalijimą - tašką 2. Apversdami kvadratą ir nubrėždami antrąjį akordą, gaukite trečią padalijimą - tašką 3 (2.11 pav., b). Sujungimo taškai 2 ir 3; 3 ir 1 tiesus, gaukite lygiakraštį trikampį.

Ryžiai. 2.11.

a, b - c naudojant kvadratą; v- naudojant kompasą

Tą pačią problemą galima išspręsti su kompasu. Kompaso atraminės kojelės uždėjimas apatiniame arba viršutiniame skersmens gale (2.11 pav., v), apibūdinkite lanką, kurio spindulys lygus apskritimo spinduliui. Gaukite pirmąjį ir antrąjį skyrius. Trečias skyrius yra priešingame skersmens gale.

Apskritimo padalijimas į šešias lygias dalis

Kompaso sprendimas nustatomas lygus spinduliui R apskritimai. Iš vieno iš apskritimo skersmenų galų (nuo taškų 1, 4 ) apibūdinti lankus (2.12 pav., a, b). Taškai 1, 2, 3, 4, 5, 6 padalinkite apskritimą į šešias lygias dalis. Sujungus juos tiesiomis linijomis, gaunamas taisyklingas šešiakampis (2.12 pav., b).

Ryžiai. 2.12.

Tą pačią užduotį galima atlikti naudojant liniuotę ir kvadratą, kurio kampai yra 30 ° ir 60 ° (2.13 pav.). Tokiu atveju kvadrato hipotenuzė turi eiti per apskritimo centrą.

Ryžiai. 2.13.

Apskritimo padalijimas į aštuonias lygias dalis

Taškai 1, 3, 5, 7 guli vidurio linijų sankirtoje su apskritimu (2.14 pav.). Dar keturi taškai randami naudojant 45 ° kampo kvadratą. Kai gauna taškus 2, 4, 6, 8 kvadrato hipotenuzė eina per apskritimo centrą.

Ryžiai. 2.14.

Apskritimo padalijimas į bet kokį lygių dalių skaičių

Norėdami padalyti apskritimą į bet kokį lygių dalių skaičių, naudokite lentelėje pateiktus koeficientus. 2.1.

Ilgis l styga, kuri nutiesta ant duoto apskritimo, nustatoma pagal formulę l = dk, kur l- akordo ilgis; d- nurodyto apskritimo skersmuo; k- koeficientas, nustatytas pagal lentelę. 1.2.

2.1 lentelė

Apskrito padalijimo koeficientai

Norėdami padalyti, pavyzdžiui, 90 mm skersmens apskritimą į 14 dalių, atlikite šiuos veiksmus.

Pirmajame lentelės stulpelyje. 2.1 raskite skyrių skaičių NS, tie. 14. Iš antrojo stulpelio išrašykite koeficientą k, atitinkantis padalinių skaičių NS.Šiuo atveju jis yra lygus 0,22252. Duoto apskritimo skersmuo padauginamas iš koeficiento ir gaunamas stygos ilgis. l = dk = 90 0,22252 = 0,22 mm. Gautas stygos ilgis nubrėžiamas slankmačiu 14 kartų tam tikrame apskritime.

Lanko centro radimas ir spindulio dydžio nustatymas

Nurodytas apskritimo lankas, kurio centras ir spindulys nežinomi.

Norint juos nustatyti, reikia nubrėžti dvi nelygiagrečias stygas (2.15 pav., a) ir atstatyti statmenas į stygų vidurio taškus (2.15 pav., b). centras O lankas yra šių statmenų sankirtoje.

Ryžiai. 2.15.

Bičiuliai

Atliekant inžinerinius brėžinius, taip pat ženklinant detalių ruošinius gamyboje, dažnai reikia sklandžiai sujungti tiesias linijas su apskritimų lankais arba apskritimo lanką su kitų apskritimų lankais, t.y. atlikti poravimą.

Konjugacijos būdu vadinamas sklandžiu tiesės perėjimu į apskritimo lanką arba vieno lanko į kitą.

Norint sudaryti konjugacijas, reikia žinoti konjugacijų spindulį, rasti centrus, iš kurių brėžiami lankai, t.y. poravimosi centrai(2.16 pav.). Tada reikia rasti taškus, kuriuose viena linija pereina į kitą, t.y. konjugacijos taškai. Statant brėžinį, poravimosi linijos turi būti nukreiptos tiksliai į šiuos taškus. Apskritimo ir tiesės lanko konjugacijos taškas yra ant statmeno, nuleisto nuo lanko centro iki konjuguotos tiesės (2.17 pav., a), arba tiesėje, jungiančioje poravimosi lankų centrus (2.17 pav., b). Todėl, norėdami sukurti bet kokią konjugaciją tam tikro spindulio lanku, turite rasti poravimosi centras ir tašką (taškų) poravimas.

Ryžiai. 2.16.

Ryžiai. 2.17.

Dviejų susikertančių tiesių konjugacija tam tikro spindulio lanku. Pateikiamos tiesės, susikertančios stačiu, smailusis ir bukas kampai (2.18 pav., a). Būtina sukonstruoti šių tiesių konjugaciją su tam tikro spindulio lanku R.

Ryžiai. 2.18.

Visais trim atvejais galima taikyti tokią konstrukciją.

1. Raskite tašką O- poravimosi centras, kuris turėtų būti per atstumą R iš kampo šonų, t.y. lygiagrečiai kampo kraštams tam tikru atstumu einančių tiesių susikirtimo taške R iš jų (2.18 pav., b).

Nubrėžti tiesias linijas, lygiagrečias kampo kraštams, iš savavališkų taškų, paimtų tiesiomis linijomis, su kompaso anga, lygia R, padaryti serifus ir nubrėžti jiems liestines (2.18 pav., b).

• 2. Raskite konjugacijos taškus (2.18 pav., c). Norėdami tai padaryti, iš taško O nuleiskite statmenis iki nurodytų tiesių.
• 3. Iš taško O, kaip nuo centro, apibūdinkite nurodyto spindulio lanką R tarp konjugacijos taškų (2.18 pav., c).

Jį galima suskirstyti dviem būdais. Vienam iš jų prireiks kompaso ir liniuotės, o antrajam – liniuotės ir matuoklio. Kuris variantas yra priimtinesnis, priklauso nuo jūsų.

Jums reikės

• - kompasas
• - valdovas
• - transporteris

Instrukcijos

Pateikiame apskritimą, kurio spindulys yra R. Jį reikia kompasu padalyti į tris lygias dalis. Atidarykite kompasą pagal apskritimo spindulio dydį. Šiuo atveju galite naudoti liniuotę arba galite įdėti kompaso adatą į apskritimo centrą ir paimti koją į apskritimą, kuris apibūdina apskritimą. Liniuotė bet kokiu atveju pravers vėliau.Padėkite kompaso adatą bet kurioje apskritimo perimetro vietoje ir pieštuku nubrėžkite nedidelį lanką, kuris kerta išorinį apskritimo kontūrą. Tada nustatykite kompaso adatą į rastą susikirtimo tašką ir vėl nubrėžkite lanką tokiu pačiu spinduliu (lygus apskritimo spinduliui). Kartokite šiuos veiksmus, kol kitas susikirtimo taškas sutampa su pačiu pirmuoju. Apskritime gausite šešis vienodai išdėstytus taškus. Belieka pasirinkti tris taškus per vieną ir sujungti juos liniuote su apskritimo centru, ir gausite apskritimą, padalintą iš trijų.

Norėdami padalyti apskritimą į tris dalis naudodami transporterį, pakanka prisiminti, kad visas apsisukimas aplink jo ašį yra 360 ° -. Tada kampas, atitinkantis trečdalį apskritimo, yra 360 ° - / 3 = 120 ° -. Dabar atidėkite tris kartus 120 ° kampu - apskritimo išorėje ir sujunkite gautus apskritimo taškus su centru.

pastaba

Jei taškus sujungsite ne su centru, o vienas su kitu, gausite lygiakraštį trikampį.

Pirmajame žingsnyje aprašytas metodas taip pat leidžia padalyti apskritimą į šešias lygias dalis.

Naudodami kompasą ir liniuotę galite padalyti apskritimą į bet kokį skaičių dalių. Matematikai įrodė, kad galima suskirstyti į 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... dalis, į 7, 9, 11, 13, 14, ... dalys negali ...

Deja, nėra vienodo skirstymo būdo. Štai patys svarbiausi.

1) Apskritimo padalijimas į 6, 3, 12, 24,…, 3 × 2 k (k = 0,1,2,3,…) lygias dalis.

Mes pradedame nuo padalijant apskritimą į 6 dalis... Norėdami tai padaryti, su tuo pačiu kompaso sprendimu, kuriuo buvo nubrėžtas apskritimas, iš bet kurio apskritimo taško, kaip ir iš centro, reikia nubrėžti apskritimą. Tada pakartokite procedūrą, kaip centru imdami pradžios ir naujų apskritimų susikirtimo tašką.

Norint padalyti apskritimą į 3 dalis, reikia jį padalinti į 6 dalis ir per vieną paimti taškus (5a pav.). Norint padalyti apskritimą į 12 dalių, reikia jį padalinti į 6 dalis ir kiekvieną lanką padalinti per pusę, tada lankų padalijimo per pusę procesą galima tęsti neribotą laiką.

Statmens, nukritusio nuo apskritimo centro iki šešiakampio kraštinės, ilgis yra geras apytikslis į apskritimą įrašytos septyniakampio kraštinės ilgis (parodytas išbrove 5a paveiksle). Statmens ilgis ≈0,866R, septyniakampio kraštinės ilgis ≈0,868R – tikslumas ≈2%.

2) Apskritimo padalijimas į 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k = 1,2,3,…) lygias dalis.

Galite padalyti apskritimą į 2 dalis naudodami liniuotę, nubrėždami tiesią liniją per apskritimo centrą. Bet jūs galite atidėti apskritimo spindulį 3 kartus nuo bet kurio apskritimo taško. Pradžios ir pabaigos taškai padalija apskritimą per pusę (per juos galima nubrėžti skersmenį – 5a pav.). Norint padalyti apskritimą į 4 dalis, reikia perpus sumažinti gautus lankus. Nuoseklus gautų lankų padalijimas per pusę užtikrina apskritimo padalijimą iš 8, 16 ir kt. dalys.

3) Apskritimo padalijimas į 5 dalis.

Brėžinyje naudojamas konstravimo metodas naudoja taisyklingo dešimtkampio kraštinių santykį ( a 10) ir reguliarus penkiakampis ( a 5) - a 5 2 = R 2 + a 10 2. Statyba atliekama taip. Per apskritimo centrą O nubrėžkime 2 statmenas tieses. A ir B – jų susikirtimo su apskritimu taškai. Iš taško A, kaip ir iš centro, nubrėžkite tokio paties spindulio apskritimą (raskite atkarpos AO vidurio tašką - tašką C). Iš taško C atkarpos AO vidurio nubrėžkite kitą apskritimą, kurio spindulys CB. Atkarpa BE lygi penkiakampio kraštinei, OE – dešimtkampis (5b pav.).

Galite padalyti apskritimą į 5 ir 10 dalių, kaip parodyta 5c paveiksle. Segmentas BC – penkiakampio pusė, AC – dešimtkampis. Kitame skyriuje aptarsime puikias penkiakampio ir dešimtkampio savybes ir kodėl 5c paveiksle parodytas konstravimo metodas yra teisingas.

Madrasah Kukeldash (XVI a., Taškentas)

5d paveiksle parodytas apytikslis apskritimo padalijimo į bet kokį dalių skaičių geometrinis sprendimas. Tarkime, kad, pavyzdžiui, norite padalyti šį apskritimą į 7 lygias dalis. Ant apskritimo AB skersmens pastatykime lygiakraštį trikampį ABC ir skersmenį AB padalinkime iš taško D AD atžvilgiu: AB = 2: 7 (bendruoju atveju 2: n). Norėdami tai padaryti, turite nubrėžti pagalbinę liniją, ant jos pakloti n + 2 vienodus segmentus, kraštinį tašką sujungti su tašku B ir per antrąjį tašką nubrėžti tiesią liniją, lygiagrečią linijai BF. Nubrėžkite liniją DC iki sankirtos su apskritimu. Arc AE sudarys 7-ąją apskritimo dalį (bendruoju atveju n-ąją). Šis metodas skirtas n<11 дает погрешность не более 1%.

Apskritimo dalijimo į lygias dalis algoritmai gali būti naudojami, pavyzdžiui, spiralių atskaitos taškams sukurti – Archimedo spiralė, pavadinta didžiojo senovės graikų mokslininko Archimedo (III a. pr. Kr.), pirmą kartą tyrinėjusio šią liniją, vardu ir logaritminė. spiralė.