Հաշվեք սահմանափակված ձևի տարածքը առցանց: Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել ձևի մակերեսը

Խնդիր թիվ 3. Կատարեք գծանկար և հաշվարկեք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը

Ինտեգրալ կիրառություն կիրառական խնդիրների լուծման համար

Տարածքի հաշվարկ

Շարունակական ոչ բացասական f (x) ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը թվայինորեն հավասար էկոր trapezoid-ի տարածքը, որը սահմանափակված է կորով y = f (x), O x առանցքով և x = a և x = b ուղիղ գծերով: Ըստ այդմ, տարածքի բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ.

Դիտարկենք հարթ թվերի մակերեսների հաշվարկման օրինակներ։

Խնդիր թիվ 1. Հաշվե՛ք y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 ուղիղներով սահմանափակված տարածքը։

Լուծում.Եկեք կառուցենք մի գործիչ, որի տարածքը պետք է հաշվարկենք:

y = x 2 + 1 պարաբոլան է, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, իսկ պարաբոլան O y առանցքի նկատմամբ մեկ միավորով տեղաշարժված է դեպի վեր (Նկար 1):

Նկար 1. y = x 2 + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը

Խնդիր թիվ 2. Հաշվե՛ք y = x 2 - 1, y = 0 ուղիղներով սահմանափակված տարածքը 0-ից 1 միջակայքում:

Լուծում.Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ճյուղի պարաբոլան է, որն ուղղված է դեպի վեր, իսկ պարաբոլան O y առանցքի նկատմամբ մեկ միավորով տեղափոխվում է դեպի ներքև (Նկար 2):

Նկար 2. y = x 2 - 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը

Խնդիր թիվ 3. Կատարեք գծանկար և հաշվարկեք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը

y = 8 + 2x - x 2 և y = 2x - 4:

Լուծում.Այս երկու ուղիղներից առաջինը պարաբոլա է՝ դեպի ներքև ուղղված ճյուղեր, քանի որ x 2 գործակիցը բացասական է, իսկ երկրորդը ուղիղ գիծ է, որը հատում է երկու կոորդինատային առանցքները։

Պարաբոլա կառուցելու համար մենք գտնում ենք նրա գագաթի կոորդինատները՝ y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - գագաթի աբսցիսա; y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 նրա օրդինատն է, N (1; 9) գագաթն է:

Այժմ մենք կգտնենք պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերը՝ լուծելով հավասարումների համակարգը.

Հավասարեցնելով հավասարման աջ կողմերը, որոնց ձախ կողմերը հավասար են:

Մենք ստանում ենք 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 կամ x 2 - 12 = 0, որտեղից .

Այսպիսով, կետերը պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերն են (Նկար 1):

Նկար 3 y = 8 + 2x - x 2 և y = 2x - 4 ֆունկցիաների գրաֆիկները

Կառուցենք ուղիղ y = 2x - 4: Այն անցնում է կոորդինատային առանցքների (0; -4), (2; 0) կետերով:

Պարաբոլա կառուցելու համար կարող եք նաև ունենալ դրա հատման կետերը 0x առանցքի հետ, այսինքն՝ 8 + 2x - x 2 = 0 հավասարման արմատները կամ x 2 - 2x - 8 = 0: Վիետայի թեորեմով դա հեշտ է. գտնել դրա արմատները՝ x 1 = 2, x 2 = 4:

Նկար 3-ը ցույց է տալիս մի նկար (պարաբոլիկ հատված M 1 N M 2), որը սահմանափակված է այս տողերով:

Առաջադրանքի երկրորդ մասը այս գործչի տարածքը գտնելն է: Նրա տարածքը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ բանաձևով .

Ինչ վերաբերում է այս պայմանին, մենք ստանում ենք ինտեգրալը.

2 Հեղափոխության մարմնի ծավալի հաշվարկ

O x առանցքի շուրջ y = f (x) կորի պտույտից ստացված մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևով.

O y առանցքի շուրջը պտտվելիս բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

Խնդիր թիվ 4. Որոշե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է կոր trapezoid-ի պտույտից, որը սահմանափակված է x = 0 x = 3 ուղիղ գծերով և y = O x առանցքի շուրջ կորով:

Լուծում.Եկեք նկար կառուցենք (Նկար 4):

Նկար 4. y = ֆունկցիայի գրաֆիկը

Պահանջվող ծավալն է

Խնդիր թիվ 5. Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է O y առանցքի շուրջ y = x 2 կորով և y = 0 և y = 4 գծերով սահմանափակված կոր trapezoid-ի պտույտից։

Լուծում.Մենք ունենք:

Վերանայեք հարցերը

Մենք սկսում ենք դիտարկել կրկնակի ինտեգրալի հաշվարկման իրական գործընթացը և ծանոթանալ դրա երկրաչափական նշանակությանը։

Կրկնակի ինտեգրալը թվայինորեն հավասար է հարթ գործչի մակերեսին (ինտեգրման շրջան): Սա կրկնակի ինտեգրալի ամենապարզ ձևն է, երբ երկու փոփոխականների ֆունկցիան հավասար է մեկին.

Եկեք նախ դիտարկենք խնդիրը ընդհանուր առումներով: Այժմ դուք կզարմանաք, թե որքան պարզ է դա իրականում: Եկեք հաշվարկենք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը։ Որոշակիության համար մենք ենթադրում ենք, որ հատվածի վրա. Այս գործչի մակերեսը թվայինորեն հավասար է.

Եկեք գծենք գծագրության տարածքը.

Եկեք ընտրենք տարածքը անցնելու առաջին ճանապարհը.

Այսպիսով.

Եվ անմիջապես մի կարևոր տեխնիկական հնարք. կրկնվող ինտեգրալները կարելի է առանձին դիտարկել... Սկզբում ներքին, ապա արտաքին ինտեգրալը։ Այս մեթոդը խիստ խորհուրդ է տրվում սկսնակների համար թեյնիկների թեման:

1) Մենք հաշվարկում ենք ներքին ինտեգրալը, մինչդեռ ինտեգրումն իրականացվում է «խաղի» փոփոխականի վրա.

Այստեղ ամենապարզն է անորոշ ինտեգրալը, այնուհետև օգտագործվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, միակ տարբերությամբ, որ. Ինտեգրման սահմանները թվերը չեն, այլ գործառույթները... Սկզբում վերին սահմանը փոխարինվեց «խաղով» (հակածանցյալ ֆունկցիա), այնուհետև՝ ստորին սահմանով։

2) Առաջին պարբերությունում ստացված արդյունքը պետք է փոխարինվի արտաքին ինտեգրալով.

Ամբողջ լուծման ավելի կոմպակտ գրառումը հետևյալն է.

Ստացված բանաձեւը Դա հենց աշխատանքային բանաձևն է հարթ գործչի մակերեսը հաշվարկելու համար՝ օգտագործելով «սովորական» որոշակի ինտեգրալը: Դիտեք դասը Տարածքի հաշվարկը որոշակի ինտեգրալի միջոցով, ահա նա ամեն քայլափոխի։

Այն է, տարածքի հաշվարկման խնդիր՝ օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալ ոչ շատ տարբերորոշակի ինտեգրալ օգտագործելով տարածքը գտնելու խնդրից։Իրականում դրանք նույն բանն են։

Համապատասխանաբար, ոչ մի դժվարություն չպետք է առաջանա: Ես կքննարկեմ ոչ շատ օրինակներ, քանի որ դուք, փաստորեն, բազմիցս հանդիպել եք այս խնդրին:

Օրինակ 9

Լուծում:Եկեք գծենք գծագրության տարածքը.

Ընտրենք տարածաշրջանը անցնելու հետևյալ հաջորդականությունը.

Այսուհետ ես չեմ անդրադառնա, թե ինչպես պետք է կատարել տարածքի անցում, քանի որ առաջին պարբերությունում տրվել են շատ մանրամասն բացատրություններ:

Այսպիսով.

Ինչպես արդեն նշեցի, սկսնակների համար ավելի լավ է կրկնվող ինտեգրալները առանձին հաշվարկեն, և ես կհետևեմ նույն մեթոդին.

1) Նախ, օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, մենք գործ ունենք ներքին ինտեգրալի հետ.

2) Առաջին քայլում ստացված արդյունքը փոխարինվում է արտաքին ինտեգրալով.

2-րդ կետը իրականում գտնում է հարթ գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ:

Պատասխան.

Ահա այսպիսի հիմար ու միամիտ առաջադրանք.

Անկախ լուծման համար հետաքրքիր օրինակ.

Օրինակ 10

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը, հաշվարկեք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը,

Դասի վերջում լուծման վերջնական ձևավորման մոտավոր նմուշ:

Օրինակներ 9-10-ում շատ ավելի շահավետ է օգտագործել տարածքը անցնելու առաջին եղանակը, հետաքրքրասեր ընթերցողները, ի դեպ, կարող են փոխել անցման հերթականությունը և հաշվարկել տարածքները երկրորդ եղանակով: Եթե չսխալվեք, ապա, բնականաբար, տարածքների նույն արժեքները կստացվեն։

Բայց մի շարք դեպքերում, տարածքը շրջանցելու երկրորդ մեթոդն ավելի արդյունավետ է, և երիտասարդ խելագարի ընթացքի ավարտին, այս թեմայով ևս մի քանի օրինակ դիտարկեք.

Օրինակ 11

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը, հաշվարկեք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը,

Լուծում:մենք անհամբերությամբ սպասում ենք երկու պարաբոլային տարօրինակություններով, որոնք մի կողմում են: Պետք չէ ժպտալ, շատ ինտեգրալներում նման բաները սովորական են:

Ո՞րն է նկարչություն անելու ամենահեշտ ձևը:

Մենք ներկայացնում ենք պարաբոլան երկու ֆունկցիայի տեսքով.
- վերին ճյուղ և - ստորին ճյուղ:

Նմանապես, մենք ներկայացնում ենք պարաբոլան վերին և ստորին մասի տեսքով մասնաճյուղերը.

Հաջորդը, կետ առ կետ գծագրման կանոններ, որոնց արդյունքում ստացվում է այսպիսի տարօրինակ ցուցանիշ.

Մենք հաշվարկում ենք նկարի տարածքը, օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալ բանաձևով.

Իսկ եթե ընտրենք տարածքը անցնելու առաջին ճանապարհը: Նախ, այս տարածքը պետք է բաժանվի երկու մասի. Եվ երկրորդ, մենք կդիտարկենք այս շատ տխուր պատկերը. ... Ինտեգրալները, իհարկե, գերբարդ մակարդակի չեն, բայց ... մի հին մաթեմատիկական ասացվածք կա՝ արմատների հետ ընկերասերներին թեստավորում պետք չէ։

Հետևաբար, պայմանում տրված թյուրիմացությունից մենք արտահայտում ենք հակադարձ գործառույթները.

Այս օրինակի հակադարձ գործառույթներն ունեն այն առավելությունը, որ նրանք միանգամից դնում են ամբողջ պարաբոլան՝ առանց տերևների, կաղինների, ճյուղերի և արմատների:

Երկրորդ մեթոդի համաձայն, տարածքի անցումը կլինի հետևյալը.

Այսպիսով.

Զգացեք տարբերությունը, ինչպես ասում են.

1) զբաղվեք ներքին ինտեգրալով.

Արդյունքը փոխարինեք արտաքին ինտեգրալով.

Ինտեգրումը «igrek» փոփոխականի նկատմամբ չպետք է ամոթալի լինի, եթե լիներ «siu» տառը, լավ կլիներ ինտեգրվել դրա վրա: Չնայած ով է կարդացել դասի երկրորդ պարբերությունը Ինչպես հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը, նա այլեւս չի ապրում ամենափոքր անհարմարությունը ըստ «խաղի» ինտեգրման։

Ուշադրություն դարձրեք նաև առաջին քայլին. ինտեգրանդը զույգ է, իսկ ինտեգրացիոն հատվածը սիմետրիկ է զրոյի նկատմամբ: Հետեւաբար, հատվածը կարող է կրկնակի կրճատվել, իսկ արդյունքը կարող է կրկնապատկվել: Այս տեխնիկան մանրամասնորեն մեկնաբանվում է դասում: Որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու արդյունավետ մեթոդներ.

Ինչ ավելացնել…. Ամեն ինչ!

Պատասխան.

Ձեր ինտեգրման տեխնիկան ստուգելու համար կարող եք փորձել հաշվարկել ... Պատասխանը պետք է լինի ճիշտ նույնը.

Օրինակ 12

Օգտագործելով կրկնակի ինտեգրալը, հաշվարկեք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է: Հետաքրքիր է նշել, որ եթե դուք փորձեք օգտագործել տարածքը անցնելու առաջին մեթոդը, ապա գործիչը պետք է բաժանվի ոչ թե երկու, այլ երեք մասի: Եվ, համապատասխանաբար, դուք ստանում եք երեք զույգ կրկնվող ինտեգրալներ: Երբեմն դա տեղի է ունենում.

Վարպետության դասն ավարտվել է, և ժամանակն է անցնել գրոսմայստերի մակարդակ. Ինչպե՞ս եք հաշվարկում կրկնակի ինտեգրալը: Լուծումների օրինակներ... Երկրորդ հոդվածում կփորձեմ այդքան մոլագար չլինել =)

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն:

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2:Լուծում: Եկեք գծենք տարածքը գծագրում.

Ընտրենք տարածաշրջանը անցնելու հետևյալ հաջորդականությունը.

Այսպիսով.
Անցնենք հակադարձ ֆունկցիաներին.

Այսպիսով.
Պատասխան.

Օրինակ 4:Լուծում: Եկեք անցնենք ուղիղ գործառույթներին.

Եկեք կատարենք գծագիրը.

Եկեք փոխենք տարածքը անցնելու կարգը.

Պատասխան.

Փաստորեն, գործչի մակերեսը գտնելու համար անորոշ և որոշակի ինտեգրալի մասին այդքան գիտելիքներ պետք չեն։ «Հաշվարկել տարածքը որոշակի ինտեգրալով» առաջադրանքը միշտ ներառում է գծանկարի կառուցում, հետևաբար, ձեր գիտելիքներն ու նկարչական հմտությունները շատ ավելի հրատապ խնդիր կլինեն: Այս առումով օգտակար է թարմացնել հիմնական տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկների հիշողությունը և, համենայն դեպս, ուղիղ գիծ և հիպերբոլա կառուցել։

Կորագիծ trapezoid-ը հարթ պատկեր է, որը սահմանափակվում է առանցքով, ուղիղ գծերով և շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկով հատվածի վրա, որը նշանը չի փոխում այս միջակայքում: Թող այս ցուցանիշը գտնվի ոչ պակաս abscissa առանցք:

Հետո կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալին... Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։

Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է.

Այն է,որոշակի ինտեգրալ (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է ինչ-որ գործչի մակերեսին: Օրինակ, դիտարկենք որոշակի ինտեգրալ: Ինտեգրանդը կոր է սահմանում հարթության վրա, որը գտնվում է առանցքի վերևում (ցանկացողները կարող են նկարել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ տրապիզոնի մակերեսին։

Օրինակ 1

Սա հանձնարարության տիպիկ ձևակերպումն է։ Լուծման առաջին և ամենակարևոր կետը գծագրի կառուցումն է... Ավելին, գծանկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
Եկեք գծենք գծագիր (նկատենք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը).

Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքից վեր, հետևաբար.

Պատասխան.

Առաջադրանքն ավարտվելուց հետո միշտ օգտակար է դիտել նախագիծը և գնահատել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը՝ լավ, մոտավորապես 9-ը կմուտքագրվի, կարծես թե ճշմարտությունն է։ Միանգամայն պարզ է, որ եթե մենք ստացել ենք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա, ակնհայտորեն, ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ քննարկվող թիվը ակնհայտորեն չի տեղավորվում 20 բջիջ, առավելագույնը տասը։ Եթե պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 3

Հաշվե՛ք գծերով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված ձևի մակերեսը:

Լուծում: Եկեք կատարենք գծագիրը.

Եթե կոր trapezoid գտնվում է առանցքի տակ(կամ գոնե ոչ ավելի բարձրտրված առանցքը), ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այս դեպքում:

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել:

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել միայն որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է բացասական լինել:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով նոր դիտարկված բանաձեւում հայտնվում է մինուս։

Գործնականում, ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է ինչպես վերին, այնպես էլ ստորին կիսակառույցներում, և, հետևաբար, դպրոցական ամենապարզ խնդիրներից մենք անցնում ենք ավելի բովանդակալից օրինակների:

Օրինակ 4

Գտե՛ք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը.

ԼուծումՍկզբում պետք է լրացնել նկարը: Ընդհանրապես, տարածքի վրա խնդիրների մեջ գծանկար կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտե՛ք պարաբոլայի և ուղիղի հատման կետերը: Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը վերլուծական է. Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը, ինտեգրման վերին սահմանը:

Հնարավորության դեպքում ավելի լավ է չօգտագործել այս մեթոդը։.

Գծերը կետ առ կետ կառուցելը շատ ավելի շահավետ և արագ է, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում, ասես, «իրենց»: Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ պետք է կիրառվի երբեմն, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ ճշգրիտ կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Եվ մենք կքննարկենք նաև նման օրինակ.

Վերադառնալով մեր խնդրին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ապա միայն պարաբոլա: Եկեք կատարենք գծագիրը.

Իսկ հիմա աշխատանքային բանաձեւըԵթե հատվածի վրա ինչ-որ շարունակական ֆունկցիա ավելի մեծ կամ հավասարինչ-որ շարունակական ֆունկցիայի, ապա նկարի տարածքը, որը սահմանափակված է այս ֆունկցիաների գծապատկերներով և ուղիղ գծերով, կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս պետք չէ մտածել, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, և, կոպիտ ասած, Կարևոր է, թե որ ժամանակացույցն է վերևում(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Լուծման ավարտը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Պահանջվող գործիչը սահմանափակված է վերևում պարաբոլայով, իսկ ներքևում՝ ուղիղ գծով:
Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան.

Օրինակ 4

Հաշվեք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով,,,:

ԼուծումՆախ, եկեք կատարենք գծագիրը.

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, ստվերված է կապույտով(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչով է սահմանափակված գործիչը): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ առաջանում է «անսարք», որ դուք պետք է գտնեք գործչի տարածքը, որը ստվերված է կանաչով:

Այս օրինակը օգտակար է նաև նրանով, որ դրանում գործչի մակերեսը հաշվարկվում է երկու որոշակի ինտեգրալների միջոցով:

Իսկապես:

1) գծային գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա.

2) Հիպերբոլայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա:

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Այս հոդվածը ցույց կտա ձեզ, թե ինչպես կարելի է գտնել գծերով սահմանափակված ձևի տարածքը՝ օգտագործելով ամբողջական հաշվարկներ: Առաջին անգամ նման խնդրի ձևակերպմանը հանդիպում ենք ավագ դպրոցում, երբ որոշակի ինտեգրալների ուսումնասիրությունը նոր է ավարտվել, և ժամանակն է սկսել գործնականում ձեռք բերված գիտելիքների երկրաչափական մեկնաբանությունը։

Այսպիսով, ինչ է պահանջվում ինտեգրալների միջոցով գործչի տարածքը գտնելու խնդիրը հաջողությամբ լուծելու համար.

Նկարներ գրագետ կառուցելու ունակություն;
Որոշակի ինտեգրալ լուծելու ունակություն՝ օգտագործելով հայտնի Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը;
Ավելի շահավետ լուծում «տեսնելու» ունակություն, այսինքն. հասկանալ, թե ինչպես այս կամ այն դեպքում ավելի հարմար կլինի ինտեգրումն իրականացնել։ x առանցքի երկայնքով (OX) թե y առանցքի (OY):
Դե, որտեղ առանց ճիշտ հաշվարկների:) Սա ներառում է հասկանալ, թե ինչպես լուծել այդ այլ տեսակի ինտեգրալները և ճիշտ թվային հաշվարկները:

Գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը հաշվարկելու խնդրի լուծման ալգորիթմ.

1. Մենք գծագրում ենք. Ցանկալի է դա անել վանդակում գտնվող թղթի վրա, մեծ մասշտաբով։ Յուրաքանչյուր գրաֆիկի վերևում մատիտով ստորագրում ենք այս ֆունկցիայի անունը։ Գրաֆիկների ստորագրումը կատարվում է բացառապես հետագա հաշվարկների հարմարության համար: Ստանալով ցանկալի գործչի գրաֆիկը, շատ դեպքերում անմիջապես տեսանելի կլինի, թե ինտեգրման որ սահմաններն են օգտագործվելու: Այսպիսով, մենք խնդիրը լուծում ենք գրաֆիկորեն: Այնուամենայնիվ, պատահում է, որ սահմանների արժեքները կոտորակային կամ իռացիոնալ են: Հետեւաբար, դուք կարող եք լրացուցիչ հաշվարկներ կատարել, անցեք երկրորդ քայլին:

2. Եթե ինտեգրման սահմանները հստակորեն սահմանված չեն, ապա մենք գտնում ենք գրաֆիկների հատման կետերը միմյանց հետ և տեսնում, թե արդյոք մեր գրաֆիկական լուծումը համընկնում է վերլուծականի հետ։

3. Հաջորդը, դուք պետք է վերլուծեք նկարը: Կախված նրանից, թե ինչպես են գտնվում ֆունկցիայի գծապատկերները, կան տարբեր մոտեցումներ գործչի տարածքը գտնելու համար: Դիտարկենք ինտեգրալների միջոցով գործչի տարածքը գտնելու տարբեր օրինակներ:

3.1. Խնդրի ամենադասական և պարզ տարբերակն այն է, երբ անհրաժեշտ է գտնել կոր տրապիզոնի տարածքը: Ի՞նչ է կոր trapezoid-ը: Այն հարթ կերպար է, որը սահմանափակվում է x առանցքով: (y = 0), ուղիղ x = a, x = bև ցանկացած կոր, որը շարունակվում է սկսած միջակայքի վրա անախքան բ... Ընդ որում, այս ցուցանիշը ոչ բացասական է և գտնվում է աբսցիսայի առանցքից ոչ ցածր: Այս դեպքում կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալին, որը հաշվարկվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով.

Օրինակ 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Որո՞նք են նկարը սահմանող գծերը: Մենք պարաբոլա ունենք y = x2 - 3x + 3որը գտնվում է առանցքի վերևում Օհ, դա ոչ բացասական է, քանի որ այս պարաբոլայի բոլոր կետերը դրական են: Ավելին, ուղիղ գծեր x = 1և x = 3որոնք անցնում են առանցքին զուգահեռ OU, ձախ և աջ ձևի սահմանային գծերն են։ Դե, y = 0, դա x առանցքն է, որը սահմանափակում է պատկերը ներքևից։ Ստացված ձևը ստվերված է, ինչպես երևում է ձախ կողմում գտնվող նկարում: Այս դեպքում դուք կարող եք անմիջապես սկսել լուծել խնդիրը: Մեր առջև կա կորագիծ տրապիզոիդի պարզ օրինակ, որը մենք հետագայում լուծում ենք՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը:

3.2. Նախորդ 3.1 պարբերությունում մենք վերլուծել ենք այն դեպքը, երբ կորագիծ տրապիզոիդը գտնվում է x առանցքի վերևում: Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ խնդրի պայմանները նույնն են, բացառությամբ, որ ֆունկցիան գտնվում է x առանցքի տակ։ Նյուտոն-Լայբնից ստանդարտ բանաձևին ավելացվում է մինուս: Մենք կքննարկենք, թե ինչպես լուծել նմանատիպ խնդիրը հետագայում:

Օրինակ 2 ... Հաշվեք գծերով սահմանափակված ձևի մակերեսը y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Այս օրինակում մենք ունենք պարաբոլա y = x2 + 6x + 2որը սկիզբ է առնում առանցքի տակից Օհ, ուղիղ x = -4, x = -1, y = 0... Այստեղ y = 0վերևից սահմանում է ցանկալի ձևը: Ուղղակի x = -4և x = -1սրանք այն սահմաններն են, որոնցում կհաշվարկվի որոշակի ինտեգրալ: Նկարի տարածքը գտնելու խնդրի լուծման սկզբունքը գրեթե ամբողջությամբ համընկնում է օրինակ 1-ի հետ: Միակ տարբերությունն այն է, որ տվյալ ֆունկցիան դրական չէ և դեռ շարունակական է միջակայքում: [-4; -1] ... Ի՞նչ չի նշանակում դրական: Ինչպես երևում է նկարից, այն պատկերը, որը գտնվում է նշված x-ի սահմաններում, ունի բացառապես «բացասական» կոորդինատներ, որոնք մենք պետք է տեսնենք և հիշենք խնդիրը լուծելիս։ Մենք փնտրում ենք նկարի տարածքը Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով, միայն սկզբում մինուս նշանով:

Հոդվածը թերի է։

Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել ձևի մակերեսը

Այժմ մենք դիմում ենք ինտեգրալ հաշվարկի կիրառությունների քննարկմանը: Այս դասում մենք կվերլուծենք բնորոշ և ամենատարածված առաջադրանքը: - ինչպես հաշվարկել հարթ գործչի տարածքը որոշակի ինտեգրալով... Վերջապես, նրանք, ովքեր իմաստ են փնտրում բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ, թող գտնեն այն: Դու երբեք չես իմանա. Մենք պետք է մերձեցնենք ծայրամասային տարածքը տարրական գործառույթներով և գտնել դրա տարածքը որոշակի ինտեգրալով:

Նյութը հաջողությամբ տիրապետելու համար պետք է.

1) Հասկացեք անորոշ ինտեգրալը առնվազն միջին մակարդակում: Այսպիսով, խաբեբաները նախ պետք է ծանոթանան դասին Ոչ.

2) Կարողանալ կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և հաշվարկել որոշակի ինտեգրալ. Էջում կարող եք ջերմ ընկերական հարաբերություններ հաստատել որոշակի ինտեգրալների հետ Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ.

Իրականում տարածքը որոշակի ինտեգրալով գտնելու խնդրին բոլորը ծանոթ են դեռ դպրոցական տարիներից, և մենք դպրոցական ծրագրից շատ առաջ չենք գնա: Այս հոդվածը կարող է ընդհանրապես գոյություն չունենալ, բայց փաստն այն է, որ խնդիրն առաջանում է 100-ից 99-ի դեպքում, երբ ուսանողը տանջվում է ատելի սարքով և ոգևորությամբ յուրացնում է բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացը։

Այս աշխատաժողովի նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և նվազագույն տեսականությամբ։

Սկսենք կոր trapezoid-ից:

Curved trapezoidկոչվում է հարթ պատկեր, որը սահմանափակված է առանցքով, ուղիղ գծերով և մի հատվածի վրա շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկով, որն այս միջակայքում նշանը չի փոխում։ Թող այս ցուցանիշը գտնվի ոչ պակաս abscissa առանցք:

Հետո կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալին... Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։ Դասին Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներԵս ասացի, որ որոշակի ինտեգրալը թիվ է։ Եվ հիմա ժամանակն է արձանագրել մեկ այլ օգտակար փաստ. Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է.

Այն է, որոշակի ինտեգրալ (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է ինչ-որ գործչի մակերեսին... Օրինակ, դիտարկենք որոշակի ինտեգրալ: Ինտեգրանդը կոր է սահմանում հարթության վրա, որը գտնվում է առանցքի վերևում (ցանկացողները կարող են նկարել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ տրապիզոնի մակերեսին։

Օրինակ 1

Գծանկար կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. սկզբումավելի լավ է կառուցել բոլոր ուղիղ գծերը (եթե այդպիսիք կան) և միայն հետո- պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ավելի շահավետ է ֆունկցիաների գրաֆիկներ կառուցելը կետային առումով, կետ առ կետ կառուցման տեխնիկան կարելի է գտնել տեղեկատու նյութում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները... Այնտեղ կարող եք գտնել նաև շատ օգտակար նյութ մեր դասի հետ կապված՝ ինչպես արագ կառուցել պարաբոլա։

Չեմ դուրս հանի կոր տրապիզոն, այստեղ ակնհայտ է, թե ինչ տարածքի մասին է խոսքը։ Լուծումը շարունակվում է այսպես.

Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքից վեր, հետևաբար.

Պատասխան.

Ով դժվարանում է որոշակի ինտեգրալը հաշվարկել և կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը , անդրադարձեք դասախոսությանը Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ.

Օրինակ 2

Հաշվե՛ք գծերով և առանցքով սահմանափակված ձևի մակերեսը

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է: Ամբողջական լուծումը և պատասխանը ձեռնարկի վերջում:

Ինչ անել, եթե գտնվում է կոր trapezoid- ը առանցքի տակ?

Օրինակ 3

Հաշվե՛ք գծերով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված ձևի մակերեսը:

Լուծում: Եկեք կատարենք գծագիրը.

Եթե կոր trapezoid գտնվում է առանցքի տակ(կամ գոնե ոչ ավելի բարձրտրված առանցքը), ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.
Այս դեպքում:

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել:

Օրինակ 4

Գտե՛ք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը, ինտեգրման վերին սահմանը:
Հնարավորության դեպքում ավելի լավ է չօգտագործել այս մեթոդը։.

Գծերը կետ առ կետ կառուցելը շատ ավելի շահավետ և արագ է, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում, ասես, «իրենց»: Տարբեր գծապատկերների համար կետ առ կետ գծագրման տեխնիկան մանրամասն քննարկված է օգնության մեջ: Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները... Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ պետք է կիրառվի երբեմն, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ ճշգրիտ կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Եվ մենք կքննարկենք նաև նման օրինակ.

Վերադառնալով մեր խնդրին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ապա միայն պարաբոլա: Եկեք կատարենք գծագիրը.

Կրկնում եմ, որ կետային շինարարության դեպքում ինտեգրման սահմանները ամենից հաճախ պարզում է «ավտոմատը»։

Լուծման ավարտը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Պատասխան.

Փաստորեն, ներքևի կես հարթության մեջ կորագիծ տրապեզոիդի տարածքի դպրոցական բանաձևը (տես պարզ օրինակ թիվ 3) բանաձևի հատուկ դեպք է. ... Քանի որ առանցքը տրված է հավասարմամբ, իսկ ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է ոչ ավելի բարձրառանցք, ապա

Իսկ հիմա մի երկու օրինակ ինքնալուծման համար

Օրինակ 5

Օրինակ 6

Գտե՛ք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը.

Որոշակի ինտեգրալով տարածքը հաշվարկելու խնդիրներ լուծելիս երբեմն զավեշտալի դեպք է տեղի ունենում. Նկարչությունը ճիշտ է արված, հաշվարկները՝ ճիշտ, բայց անուշադրության... հայտնաբերվել է սխալ գործչի տարածքը, ահա թե ինչպես է ձեր խոնարհ ծառան մի քանի անգամ խաբել. Ահա իրական կյանքի դեպք.

Օրինակ 7

Հաշվեք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով,,,:

ԼուծումՆախ, եկեք կատարենք գծագիրը.

... Էհ, մի ոջլոտ նկար դուրս եկավ, բայց ամեն ինչ կարծես ընթեռնելի է։

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, ստվերված է կապույտով(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչով է սահմանափակվում գործիչը): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ առաջանում է «անսարք», որ դուք պետք է գտնեք գործչի տարածքը, որը ստվերված է կանաչով:

Այս օրինակը օգտակար է նաև նրանով, որ դրանում գործչի մակերեսը հաշվարկվում է երկու որոշակի ինտեգրալների միջոցով: Իրոք.

1) գծային գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա.

2) Հիպերբոլայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա:

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Պատասխան.

Անցնենք ևս մեկ բովանդակալից առաջադրանքի.

Օրինակ 8

Հաշվիր գծերով սահմանափակված ձևի մակերեսը,
Եկեք հավասարումները ներկայացնենք «դպրոցական» ձևով և կկատարենք կետ առ կետ գծագիր.

Գծանկարից երևում է, որ մեր վերին սահմանը «լավն է».
Բայց ո՞րն է ստորին սահմանը: Հասկանալի է, որ սա ամբողջ թիվ չէ, բայց ո՞րը։ Միգուցե ? Բայց որտե՞ղ է երաշխիքը, որ գծագիրը կատարյալ ճշգրտությամբ է արված, կարող է դա լինել։ Կամ արմատ: Իսկ եթե մենք ընդհանրապես սխալ գծագրենք գրաֆիկը:

Նման դեպքերում դուք պետք է լրացուցիչ ժամանակ ծախսեք և վերլուծական կերպով ճշգրտեք ինտեգրման սահմանները։

Գտե՛ք ուղիղի և պարաբոլայի հատման կետերը:
Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը.

,

Իսկապես, .

Հետագա լուծումը չնչին է, գլխավորը փոխարինումների ու նշանների մեջ չշփոթվելն է, այստեղ հաշվարկներն ամենահեշտը չեն։

Սեգմենտի վրա , ըստ համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան.

Դե, դասի ավարտին մենք կքննարկենք ևս երկու դժվար առաջադրանք:

Օրինակ 9

Հաշվիր գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը,

Լուծում: Եկեք պատկերենք այս նկարը գծագրում:

Անիծյալ, ես մոռացել էի ստորագրել ժամանակացույցը, բայց նկարը վերափոխել, կներեք, ոչ թե տաք: Ոչ նկարել, մի խոսքով, այսօր այդ օրն է =)

Կետ առ կետ կառուցելու համար դուք պետք է իմանաք սինուսոիդի տեսքը (և ընդհանրապես օգտակար է իմանալ. բոլոր տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները), ինչպես նաև որոշ սինուսային արժեքներ, դրանք կարելի է գտնել եռանկյունաչափական աղյուսակ... Մի շարք դեպքերում (ինչպես այս դեպքում) թույլատրվում է կառուցել սխեմատիկ գծագիր, որի վրա սկզբունքորեն ճիշտ պետք է ցուցադրվեն ինտեգրման գրաֆիկները և սահմանները։

Ինտեգրման սահմանների հետ կապված խնդիրներ չկան, դրանք ուղղակիորեն բխում են պայմանից. - «x»-ը զրոյից փոխվում է «pi»-ի: Մենք լրացուցիչ որոշում ենք կայացնում.

Հատվածի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում, հետևաբար.