Գաուսի մեթոդը ունիվերսալ բանաձև է. Հակադարձեք Գաուսի մեթոդը

Այսօր մենք գործ ունենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդի հետ։ Թե ինչպիսի համակարգեր են դրանք, կարող եք կարդալ նախորդ հոդվածում, որը նվիրված է նույն SLAE-ների լուծմանը Քրամերի մեթոդով: Գաուսի մեթոդը չի պահանջում որևէ կոնկրետ գիտելիք, անհրաժեշտ է միայն խնամք և հետևողականություն։ Չնայած այն հանգամանքին, որ մաթեմատիկայի տեսանկյունից դպրոցական պատրաստվածությունը բավական է դրա կիրառման համար, այս մեթոդին տիրապետող աշակերտների համար հաճախ դժվարություններ են առաջանում։ Այս հոդվածում մենք կփորձենք չեղարկել դրանք:

Գաուսի մեթոդ

Մ Գաուսի մեթոդ- SLAE-ների լուծման առավել բազմակողմանի մեթոդ (բացառությամբ շատ մեծ համակարգերի): Ի տարբերություն ավելի վաղ քննարկվածի, այն հարմար է ոչ միայն մեկ լուծում ունեցող համակարգերի, այլև անսահման թվով լուծումներ ունեցող համակարգերի համար: Այստեղ երեք հնարավորություն կա.

1. Համակարգն ունի եզակի լուծում (համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի);
2. Համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ.
3. Լուծումներ չկան, համակարգը անհամատեղելի է։

Այսպիսով, մենք ունենք համակարգ (թող այն ունենա մեկ լուծում), և մենք այն լուծելու ենք Գաուսի մեթոդով: Ինչպես է դա աշխատում?

Գաուսի մեթոդը բաղկացած է երկու փուլից՝ առաջ և հետընթաց։

Գաուսյան մեթոդի առաջ շարժ

Նախ, մենք գրում ենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը: Դա անելու համար հիմնական մատրիցին ավելացրեք անվճար անդամների սյունակ:

Գաուսի մեթոդի ամբողջ էությունը տարրական փոխակերպումների միջոցով տվյալ մատրիցը աստիճանավոր (կամ, ինչպես ասում են, եռանկյունաձև) ձևի բերելն է։ Այս ձևով մատրիցայի հիմնական անկյունագծի տակ (կամ վերևում) պետք է լինի միայն մեկ զրո:

Ինչ կարող ես անել:

1. Դուք կարող եք վերադասավորել մատրիցայի տողերը տեղերում.
2. Եթե ​​մատրիցը պարունակում է նույն (կամ համամասնական) տողերը, կարող եք ջնջել բոլորը, բացառությամբ մեկի;
3. Դուք կարող եք բազմապատկել կամ բաժանել տողը ցանկացած թվով (բացի զրոյից);
4. Զրո տողերը հանվում են;
5. Դուք կարող եք տողին ավելացնել տող, որը բազմապատկված է ոչ զրոյական թվով:

Հակադարձեք Գաուսի մեթոդը

Այն բանից հետո, երբ մենք փոխակերպում ենք համակարգը այս ձևով, մեկ անհայտ Xn հայտնի է դառնում, և մնացած բոլոր անհայտները կարող եք գտնել հակառակ հերթականությամբ՝ փոխարինելով արդեն հայտնի քսերը համակարգի հավասարումներում մինչև առաջինը:

Երբ ինտերնետը միշտ ձեռքի տակ է, դուք կարող եք լուծել հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով առցանց։Պարզապես պետք է գործակիցները տեղափոխել առցանց հաշվիչ: Բայց պետք է խոստովանեք, որ շատ ավելի հաճելի է գիտակցել, որ օրինակը լուծվել է ոչ թե համակարգչային ծրագրով, այլ ձեր իսկ ուղեղով։

Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծման օրինակ

Իսկ հիմա՝ ամեն ինչ պարզ ու հասկանալի դարձնելու օրինակ։ Թող տրվի գծային հավասարումների համակարգ, և դուք պետք է այն լուծեք Գաուսի մեթոդով.

Նախ, եկեք գրենք ընդլայնված մատրիցը.

Հիմա եկեք մի քանի փոխակերպումներ անենք: Հիշեք, որ մենք պետք է հասնենք մատրիցայի եռանկյուն տեսքի: 1-ին շարքը բազմապատկեք (3-ով): 2-րդ շարքը բազմապատկեք (-1-ով): Ավելացրե՛ք 2-րդ տողը 1-ին և ստացե՛ք.

Այնուհետև 3-րդ շարքը բազմապատկեք (-1-ով): 2-րդին ավելացնենք 3-րդ տողը.

1-ին շարքը բազմապատկեք (6-ով): 2-րդ շարքը բազմապատկեք (13-ով): Ավելացնենք 2-րդ տողը 1-ին.

Voila - համակարգը բերվել է համապատասխան ձևի: Մնում է անհայտներ գտնել.

Այս օրինակի համակարգը ունի մեկ լուծում. Անսահման թվով լուծումներով համակարգերի լուծումը կքննարկենք առանձին հոդվածում։ Միգուցե սկզբում դուք չգիտեք, թե որտեղից սկսել մատրիցայի վերափոխումը, բայց համապատասխան պրակտիկայից հետո դուք ձեռք կբերեք և սեղմեք SLAE-ը, օգտագործելով գաուսյան մեթոդը, ինչպես ընկույզը: Եվ եթե հանկարծ հանդիպեք SLAE-ի, որը պարզվում է, որ չափազանց կոշտ է, դիմեք մեր հեղինակներին: դուք կարող եք թողնելով դիմում հեռակա դասընթացում: Միասին մենք կլուծենք ցանկացած խնդիր!

16-18-րդ դարերի սկզբից մաթեմատիկոսները սկսեցին ինտենսիվ ուսումնասիրել ֆունկցիաները, որոնց շնորհիվ մեր կյանքում այնքան բան է փոխվել։ Համակարգչային տեխնոլոգիան գոյություն չի ունենա առանց այս գիտելիքի: Բարդ խնդիրներ, գծային հավասարումներ և ֆունկցիաներ լուծելու համար ստեղծվել են տարբեր հասկացություններ, թեորեմներ և լուծման տեխնիկա։ Գծային հավասարումների և դրանց համակարգերի լուծման նման ունիվերսալ և ռացիոնալ մեթոդներից և տեխնիկայից էր Գաուսի մեթոդը։ Մատրիցներ, դրանց աստիճանը, որոշիչները - ամեն ինչ կարելի է հաշվարկել առանց բարդ գործողություններ օգտագործելու:

Ինչ է SLAE-ն

Մաթեմատիկայի մեջ կա SLAE հասկացությունը՝ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ։ Ինչպիսի՞ն է նա: Սա պահանջվող n անհայտ մեծություններով m հավասարումների հավաքածու է, որը սովորաբար նշվում է որպես x, y, z կամ x 1, x 2 ... x n կամ այլ նշաններ: Այս համակարգը լուծել Գաուսի մեթոդով նշանակում է գտնել բոլոր անհայտ անհայտները: Եթե ​​համակարգն ունի նույն թվով անհայտներ և հավասարումներ, ապա այն կոչվում է n կարգի համակարգ:

SLAE-ների լուծման ամենատարածված մեթոդները

Միջնակարգ կրթության ուսումնական հաստատություններում ուսումնասիրվում են նման համակարգերի լուծման տարբեր մեթոդներ։ Ամենից հաճախ դրանք երկու անհայտից բաղկացած պարզ հավասարումներ են, ուստի դրանց պատասխանը գտնելու ցանկացած գոյություն ունեցող մեթոդ շատ ժամանակ չի խլի: Այն կարող է նմանվել փոխարինման մեթոդի, երբ մյուսը բխում է մեկ հավասարումից և փոխարինվում բնօրինակով: Կամ տերմինով հանման և գումարման եղանակը։ Բայց Գաուսի մեթոդը համարվում է ամենահեշտ և ունիվերսալը: Այն հնարավորություն է տալիս լուծել ցանկացած թվով անհայտներով հավասարումներ։ Ինչու է այս կոնկրետ տեխնիկան համարվում ռացիոնալ: Դա պարզ է. Մատրիցային մեթոդի լավն այն է, որ ավելորդ սիմվոլները անհայտների տեսքով մի քանի անգամ վերաշարադրելու կարիք չկա, բավական է թվաբանական գործողություններ կատարել գործակիցների վրա, և դուք կստանաք հուսալի արդյունք:

Որտեղ են SLAE-ները գործնականում օգտագործվում

SLAE-ի լուծումը ֆունկցիաների գրաֆիկների վրա գծերի հատման կետերն են: Մեր բարձր տեխնոլոգիական համակարգչային դարաշրջանում մարդիկ, ովքեր սերտորեն կապված են խաղերի և այլ ծրագրերի մշակման հետ, պետք է իմանան, թե ինչպես լուծել նման համակարգերը, ինչ են դրանք ներկայացնում և ինչպես ստուգել արդյունքի ճիշտությունը: Ամենից հաճախ ծրագրավորողները մշակում են հատուկ ծրագրեր գծային հանրահաշիվը հաշվարկելու համար, սա ներառում է գծային հավասարումների համակարգ: Գաուսի մեթոդը թույլ է տալիս հաշվարկել առկա բոլոր լուծումները։ Օգտագործվում են նաև այլ պարզեցված բանաձևեր և տեխնիկա:

Համատեղելիության չափանիշ SLAE-ի համար

Նման համակարգը կարող է լուծվել միայն այն դեպքում, եթե այն համատեղելի է: Պարզության համար մենք ներկայացնում ենք SLAE-ը Ax = b ձևով: Այն ունի լուծում, եթե զանգը (A) հավասար է ռանգին (A, b): Այս դեպքում (A, b)-ն ընդլայնված մատրից է, որը կարելի է ստանալ A մատրիցից՝ այն վերաշարադրելով ազատ տերմիններով։ Ստացվում է, որ Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումներ լուծելը բավականին հեշտ է։

Թերևս որոշ նշումներ ամբողջովին պարզ չեն, ուստի անհրաժեշտ է ամեն ինչ դիտարկել օրինակով: Ենթադրենք կա համակարգ՝ x + y = 1; 2x-3y = 6: Այն բաղկացած է ընդամենը երկու հավասարումներից, որոնցում 2-ը անհայտ են։ Համակարգը լուծում կունենա միայն այն դեպքում, եթե իր մատրիցայի աստիճանը հավասար է ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին: Ի՞նչ է կոչումը: Սա համակարգում անկախ տողերի թիվն է: Մեր դեպքում մատրիցայի վարկանիշը 2 է: A մատրիցը բաղկացած կլինի անհայտների մոտ տեղակայված գործակիցներից, իսկ «=» նշանի հետևում գտնվող գործակիցները նույնպես ներառված են ընդլայնված մատրիցում:

Ինչու SLAE-ը կարող է ներկայացվել մատրիցային տեսքով

Համատեղելիության չափանիշի հիման վրա ըստ ապացուցված Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի՝ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը կարող է ներկայացվել մատրիցային տեսքով։ Օգտագործելով կասկադ Գաուսի մեթոդը, դուք կարող եք լուծել մատրիցը և ստանալ մեկ վստահելի պատասխան ամբողջ համակարգի համար: Եթե ​​սովորական մատրիցայի աստիճանը հավասար է նրա ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, բայց պակաս անհայտների թվից, ապա համակարգն ունի անսահման թվով պատասխաններ:

Մատրիցային փոխակերպումներ

Նախքան մատրիցների լուծմանը անցնելը, դուք պետք է իմանաք, թե ինչ գործողություններ կարող են իրականացվել դրանց տարրերի վրա: Կան մի քանի տարրական փոխակերպումներ.

• Համակարգը վերաշարադրելով մատրիցային ձևով և իրականացնելով դրա լուծումը՝ հնարավոր է բազմապատկել շարքի բոլոր տարրերը նույն գործակցով։
• Մատրիցը կանոնական ձևի փոխարկելու համար կարելի է երկու զուգահեռ տողեր փոխանակել։ Կանոնական ձևը ենթադրում է, որ մատրիցայի բոլոր տարրերը, որոնք գտնվում են հիմնական անկյունագծի վրա, դառնում են մեկ, իսկ մնացածը դառնում են զրո:
• Մատրիցի զուգահեռ տողերի համապատասխան տարրերը կարող են ավելացվել միմյանց:

Հորդանան-Գաուսի մեթոդ

Գծային միատարր և անհամասեռ հավասարումների համակարգեր Գաուսի մեթոդով լուծելու էությունը անհայտների աստիճանական բացառումն է։ Ենթադրենք, ունենք երկու հավասարումների համակարգ, որում երկու անհայտ է: Նրանց գտնելու համար հարկավոր է ստուգել համակարգը համատեղելիության համար: Գաուսի հավասարումը շատ պարզ է լուծելու։ Անհրաժեշտ է մատրիցային ձևով գրել յուրաքանչյուր անհայտի մոտ գտնվող գործակիցները։ Համակարգը լուծելու համար հարկավոր է դուրս գրել ընդլայնված մատրիցա: Եթե ​​հավասարումներից մեկը պարունակում է ավելի քիչ անհայտներ, ապա բացակայող տարրի փոխարեն պետք է դրվի «0»: Մատրիցի վրա կիրառվում են փոխակերպման բոլոր հայտնի մեթոդները՝ բազմապատկում, թվով բաժանում, շարքի համապատասխան տարրերը միմյանց ավելացնելով և այլն։ Ստացվում է, որ յուրաքանչյուր տողում անհրաժեշտ է մեկ փոփոխական թողնել «1» արժեքով, մնացածը պետք է հասցնել զրոյական վիճակի։ Ավելի ճշգրիտ հասկանալու համար անհրաժեշտ է օրինակներով դիտարկել Գաուսի մեթոդը։

2x2 համակարգի լուծման պարզ օրինակ

Սկզբից վերցնենք հանրահաշվական հավասարումների պարզ համակարգ, որում կլինի 2 անհայտ:

Եկեք այն վերագրենք ընդլայնված մատրիցով:

Գծային հավասարումների այս համակարգը լուծելու համար պահանջվում է ընդամենը երկու գործողություն։ Մատրիցը պետք է հասցնենք կանոնական ձևի, որպեսզի նրանք լինեն հիմնական անկյունագծում: Այսպիսով, մատրիցային ձևից վերադառնալով համակարգ, ստանում ենք հավասարումներ՝ 1x + 0y = b1 և 0x + 1y = b2, որտեղ b1 և b2 պատասխաններն են, որոնք ստացվել են լուծման գործընթացում:

1. Ընդլայնված մատրիցը լուծելիս առաջին գործողությունը կլինի հետևյալը՝ առաջին շարքը պետք է բազմապատկել -7-ով և համապատասխան տարրերը ավելացնել երկրորդ շարքին, որպեսզի ազատվի մեկ անհայտից երկրորդ հավասարման մեջ։
2. Քանի որ Գաուսի մեթոդով հավասարումների լուծումը ենթադրում է մատրիցը կանոնական ձևի բերելը, ապա անհրաժեշտ է կատարել նույն գործողությունները առաջին հավասարմամբ և հեռացնել երկրորդ փոփոխականը։ Դա անելու համար առաջինից հանեք երկրորդ տողը և ստացեք անհրաժեշտ պատասխանը՝ SLAE-ի լուծումը: Կամ, ինչպես ցույց է տրված նկարում, մենք երկրորդ շարքը բազմապատկում ենք -1 գործակցով և ավելացնում ենք երկրորդ շարքի տարրերը առաջին շարքին։ Սա նույնն է.

Ինչպես տեսնում եք, մեր համակարգը լուծվել է Ջորդան-Գաուսի մեթոդով։ Մենք այն վերագրում ենք պահանջվող ձևով՝ x = -5, y = 7:

SLAE 3x3 լուծելու օրինակ

Ենթադրենք, մենք ունենք գծային հավասարումների ավելի բարդ համակարգ: Գաուսի մեթոդը հնարավորություն է տալիս հաշվարկել պատասխանը նույնիսկ ամենաանհեթեթ թվացող համակարգի համար։ Հետևաբար, հաշվարկման մեթոդաբանության մեջ խորանալու համար կարող եք անցնել ավելի բարդ օրինակի՝ երեք անհայտներով։

Ինչպես նախորդ օրինակում, մենք համակարգը վերագրում ենք ընդլայնված մատրիցայի տեսքով և սկսում ենք այն բերել կանոնական ձևի:

Այս համակարգը լուծելու համար ձեզ հարկավոր է շատ ավելի շատ գործողություններ կատարել, քան նախորդ օրինակում:

1. Նախ, դուք պետք է առաջին սյունակում մեկ միավոր տարր կազմեք, իսկ մնացած զրոները: Դա անելու համար առաջին հավասարումը բազմապատկեք -1-ով և դրան ավելացրեք երկրորդ հավասարումը: Կարևոր է հիշել, որ մենք վերագրում ենք առաջին տողը իր սկզբնական տեսքով, իսկ երկրորդը՝ արդեն փոխված:
2. Հետո երրորդ հավասարումից հանում ենք նույն առաջին անհայտը։ Դա անելու համար առաջին շարքի տարրերը բազմապատկեք -2-ով և ավելացրեք դրանք երրորդ շարքում: Այժմ առաջին և երկրորդ տողերը վերաշարադրվում են իրենց սկզբնական տեսքով, իսկ երրորդը՝ փոփոխություններով։ Ինչպես երևում է արդյունքից, մենք ստացանք առաջինը մատրիցայի հիմնական անկյունագծի սկզբում, իսկ մնացած զրոները: Եվս մի քանի քայլ, և Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգը հուսալիորեն կլուծվի։
3. Այժմ անհրաժեշտ է գործողություններ կատարել տողերի այլ տարրերի վրա։ Երրորդ և չորրորդ գործողությունները կարելի է միավորել մեկի մեջ: Երկրորդ և երրորդ շարքերը պետք է բաժանեք -1-ով, որպեսզի ձերբազատվեք շեղանկյունի մինուսներից: Երրորդ տողն արդեն հասցրել ենք անհրաժեշտ ձևին։
4. Հաջորդը, մենք կանոնականացնում ենք երկրորդ տողը: Դա անելու համար մենք երրորդ շարքի տարրերը բազմապատկում ենք -3-ով և ավելացնում դրանք մատրիցայի երկրորդ տողում: Արդյունքը ցույց է տալիս, որ երկրորդ տողը նույնպես կրճատվում է մեզ անհրաժեշտ ձևով: Մնում է կատարել ևս մի քանի գործողություններ և առաջին տողից հանել անհայտների գործակիցները։
5. Շարքի երկրորդ տարրից 0 դարձնելու համար անհրաժեշտ է երրորդ շարքը բազմապատկել -3-ով և ավելացնել այն առաջին շարքին։
6. Հաջորդ վճռական քայլը կլինի երկրորդ շարքի անհրաժեշտ տարրերը առաջին շարքին ավելացնելը։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք մատրիցայի կանոնական ձևը և, համապատասխանաբար, պատասխանը:

Ինչպես տեսնում եք, Գաուսի մեթոդով հավասարումների լուծումը բավականին պարզ է։

4x4 հավասարումների համակարգի լուծման օրինակ

Հավասարումների մի քանի ավելի բարդ համակարգեր կարելի է լուծել Գաուսի մեթոդով՝ օգտագործելով համակարգչային ծրագրեր։ Անհրաժեշտ է անհայտների գործակիցները տեղափոխել առկա դատարկ բջիջների մեջ, և ծրագիրն ինքը քայլ առ քայլ կհաշվի պահանջվող արդյունքը՝ մանրամասն նկարագրելով յուրաքանչյուր գործողություն:

Ստորև ներկայացված է նման օրինակի լուծման քայլ առ քայլ հրահանգ:

Առաջին գործողության մեջ անհայտների համար անվճար գործակիցները և թվերը մուտքագրվում են դատարկ բջիջներում: Այսպիսով, մենք ստանում ենք նույն ընդլայնված մատրիցը, որը մենք գրում ենք ձեռքով:

Եվ բոլոր անհրաժեշտ թվաբանական գործողությունները կատարվում են ընդլայնված մատրիցը կանոնական տեսքի բերելու համար։ Պետք է հասկանալ, որ հավասարումների համակարգի պատասխանը միշտ չէ, որ ամբողջ թվերն են: Երբեմն լուծումը կարող է լինել կոտորակային թվեր:

Լուծման ճիշտության ստուգում

Հորդանան-Գաուսի մեթոդը նախատեսում է արդյունքի ճիշտության ստուգում։ Պարզելու համար, թե արդյոք գործակիցները ճիշտ են հաշվարկված, պարզապես անհրաժեշտ է արդյունքը փոխարինել սկզբնական հավասարումների համակարգով: Հավասարման ձախ կողմը պետք է համապատասխանի հավասարության նշանի հետևում գտնվող աջ կողմին: Եթե ​​պատասխանները չեն համընկնում, ապա դուք պետք է վերահաշվարկեք համակարգը կամ փորձեք դրա վրա կիրառել SLAE-ների լուծման համար ձեզ հայտնի մեկ այլ մեթոդ, ինչպիսիք են փոխարինումը կամ ժամկետ առ անդամ հանում և գումարում: Ի վերջո, մաթեմատիկան գիտություն է, որն ունի հսկայական թվով տարբեր լուծման մեթոդներ: Բայց հիշեք. արդյունքը միշտ պետք է լինի նույնը, անկախ նրանից, թե լուծման որ մեթոդն եք օգտագործել:

Գաուսի մեթոդ. SLAE լուծելիս ամենատարածված սխալները

Հավասարումների գծային համակարգեր լուծելիս առավել հաճախ տեղի են ունենում սխալներ, ինչպիսիք են գործակիցների սխալ փոխանցումը մատրիցային ձևի: Կան համակարգեր, որոնցում որոշ անհայտներ բացակայում են հավասարումներից մեկում, այնուհետև, տվյալները փոխանցելով ընդլայնված մատրիցա, դրանք կարող են կորչել։ Արդյունքում այս համակարգը լուծելիս արդյունքը կարող է չհամապատասխանել իրականին։

Հիմնական սխալներից ևս մեկը կարող է լինել վերջնական արդյունքի սխալ գրելը։ Պետք է հստակ հասկանալ, որ առաջին գործակիցը կհամապատասխանի համակարգից առաջին անհայտին, երկրորդը՝ երկրորդին և այլն։

Գաուսի մեթոդը մանրամասն նկարագրում է գծային հավասարումների լուծումը։ Նրա շնորհիվ հեշտ է իրականացնել անհրաժեշտ վիրահատությունները եւ գտնել ճիշտ արդյունքը։ Բացի այդ, այն ունիվերսալ գործիք է ցանկացած բարդության հավասարումների հուսալի պատասխան գտնելու համար: Թերևս դա է պատճառը, որ այն այդքան հաճախ օգտագործվում է SLAE-ները լուծելիս:

Մենք շարունակում ենք դիտարկել գծային հավասարումների համակարգերը: Այս դասը երրորդն է թեմայի շուրջ: Եթե ​​դուք անորոշ պատկերացում ունեք, թե ինչ է ընդհանուր առմամբ գծային հավասարումների համակարգը, ձեզ թեյնիկ եք զգում, ապա խորհուրդ եմ տալիս սկսել էջի հիմունքներից: Այնուհետև օգտակար է դասն ուսումնասիրել:

Գաուսի մեթոդը հեշտ է.Ինչո՞ւ։ Հայտնի գերմանացի մաթեմատիկոս Յոհան Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսն իր կենդանության օրոք ճանաչվել է բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոս, հանճար և նույնիսկ «մաթեմատիկայի արքա» մականունը։ Եվ ամեն ինչ հնարամիտ, ինչպես գիտեք, պարզ է:Ի դեպ, փողի համար վճարվում են ոչ միայն ծծողները, այլեւ հանճարները՝ Գաուսի դիմանկարը 10 գերմանական թղթադրամի վրա էր (մինչեւ եվրոյի ներմուծումը), իսկ Գաուսը մինչ օրս սովորական փոստային նամականիշներից խորհրդավոր ժպտում է գերմանացիներին։

Գաուսի մեթոդը պարզ է նրանով, որ 5-րդ դասարանի աշակերտի գիտելիքները ԲԱՎԱՐԱՐ են այն տիրապետելու համար։ Դուք պետք է կարողանաք ավելացնել և բազմապատկել:Պատահական չէ, որ ուսուցիչները հաճախ դիտարկում են դպրոցական մաթեմատիկայի ընտրությամբ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը: Պարադոքսալ կերպով, Գաուսի մեթոդը ամենադժվարն է ուսանողների համար: Զարմանալի չէ. ամբողջ իմաստը մեթոդաբանության մեջ է, և ես կփորձեմ ձեզ մատչելի ձևով պատմել մեթոդի ալգորիթմի մասին:

Նախ մի փոքր համակարգենք գծային հավասարումների համակարգերի մասին գիտելիքները։ Գծային հավասարումների համակարգը կարող է.

1) Ունենալ եզակի լուծում. 2) Ունեն անսահման շատ լուծումներ: 3) Լուծումներ չունենալ (լինել անհամապատասխան).

Գաուսի մեթոդը լուծում գտնելու ամենահզոր և բազմակողմանի գործիքն է ցանկացածգծային հավասարումների համակարգեր։ Ինչպես հիշում ենք Կրամերի կանոն և մատրիցային մեթոդոչ պիտանի այն դեպքերում, երբ համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամատեղելի է: Իսկ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը ամեն դեպքումմեզ կհանգեցնի պատասխանի! Այս դասում մենք կրկին կքննարկենք Գաուսի մեթոդը թիվ 1 դեպքի համար (համակարգի միակ լուծումը), վերապահված է հոդված 2-3 կետերի իրավիճակի համար։ Նկատի ունեցեք, որ մեթոդի ալգորիթմն ինքնին նույնն է աշխատում բոլոր երեք դեպքերում։

Վերադառնանք դասից ամենապարզ համակարգին Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը:և լուծել Գաուսի մեթոդով։

Առաջին փուլում պետք է գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցա:. Թե ինչ սկզբունքով են գրված գործակիցները, կարծում եմ բոլորը տեսնում են։ Մատրիցի ներսում գտնվող ուղղահայաց բարը որևէ մաթեմատիկական նշանակություն չունի. այն պարզապես ընդգծում է դիզայնի հեշտության համար:

հղում : Խորհուրդ եմ տալիս հիշել պայմանները գծային հանրահաշիվ. Համակարգի մատրիցա Արդյո՞ք մատրիցը կազմված է միայն անհայտներով գործակիցներից, այս օրինակում համակարգի մատրիցը. . Ընդլայնված համակարգի մատրիցա - սա համակարգի նույն մատրիցան է՝ գումարած ազատ անդամների սյունակը, այս դեպքում. ... Մատրիցներից որևէ մեկը հակիրճության համար կարելի է անվանել պարզապես մատրիցա:

Համակարգի ընդլայնված մատրիցը գրվելուց հետո անհրաժեշտ է դրանով կատարել որոշ գործողություններ, որոնք նաև կոչվում են. տարրական փոխակերպումներ.

Կան հետևյալ տարրական փոխակերպումները.

1) Լարայինմատրիցներ կարող է վերադասավորելտեղերը. Օրինակ, դիտարկվող մատրիցայում կարող եք ցավ չպատճառել առաջին և երկրորդ տողերը.

2) Եթե մատրիցը պարունակում է (կամ հայտնվում է) համամասնական (որպես հատուկ դեպք՝ նույնը) տողեր, ապա այն հետևում է. ջնջելմատրիցից այս բոլոր տողերը, բացի մեկից: Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը ... Այս մատրիցայում վերջին երեք տողերը համաչափ են, ուստի բավական է թողնել դրանցից միայն մեկը. .

3) Եթե վերափոխումների ժամանակ մատրիցում հայտնվել է զրոյական տող, ապա այն նույնպես հետևում է ջնջել... Չեմ գծի, իհարկե, զրոյական գիծը այն գիծն է, որի մեջ միայն զրոներ.

4) Մատրիցայի շարքը կարող է լինել բազմապատկել (բաժանել)ցանկացած թվով, ոչ զրոյական... Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը: Այստեղ խորհուրդ է տրվում առաջին տողը բաժանել –3-ով, իսկ երկրորդ տողը բազմապատկել 2-ով. ... Այս գործողությունը շատ օգտակար է, քանի որ այն պարզեցնում է մատրիցային հետագա փոխակերպումները:

5) Այս փոխակերպումն ամենադժվարն է, բայց իրականում բարդ բան էլ չկա։ Մատրիցայի շարքում կարող եք ավելացրեք ևս մեկ տող՝ բազմապատկված թվովոչ զրոյական. Դիտարկենք մեր մատրիցը գործնական օրինակից. Նախ, ես շատ մանրամասն նկարագրելու եմ փոխակերպումը: Առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով. , և երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով: ... Այժմ առաջին տողը կարող է «հետ» բաժանվել –2: Ինչպես տեսնում եք, այն գիծը, որը ADD ԼԻ – չի փոխվել. Միշտ էփոխում է այն տողը, ՈՐՈՆՑ ԱՃՈՒՄ Է UT.

Գործնականում, իհարկե, այդքան մանրամասն չեն նկարագրում, այլ ավելի կարճ են գրում. Եվս մեկ անգամ՝ դեպի երկրորդ տող ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկած –2-ով... Սովորաբար լարը բազմապատկվում է բանավոր կամ սևագրի վրա, մինչդեռ հաշվարկների մտավոր ընթացքը մոտավորապես այսպիսին է.

«Ես վերագրում եմ մատրիցը և վերագրում առաջին տողը. »

«Առաջին սյունակ առաջին. Ներքևում, ես պետք է ստանամ զրո: Հետևաբար վերևի միավորը բազմապատկում եմ –2:-ով, իսկ առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 2 + (–2) = 0: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

«Հիմա երկրորդ սյունակի մասին. –1-ից բարձր բազմապատկած –2: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 1 + 2 = 3: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

«Եվ երրորդ սյունակը. –5-ից բարձր բազմապատկած –2: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ –7 + 10 = 3: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

Խնդրում եմ, ուշադիր ըմբռնեք այս օրինակը և հասկացեք հաշվարկների հաջորդական ալգորիթմը, եթե դա հասկանում եք, ապա Գաուսի մեթոդը գործնականում «ձեր գրպանում է»։ Բայց, իհարկե, մենք աշխատելու ենք այս վերափոխման վրա։

Տարրական փոխակերպումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը

! ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆհամարվող մանիպուլյացիաներ չի կարող օգտագործել, եթե ձեզ առաջարկվում է առաջադրանք, որտեղ մատրիցները տրվում են «իրենց»: Օրինակ, «դասականով» գործողություններ մատրիցներովՈչ մի դեպքում չպետք է ինչ-որ բան վերադասավորեք մատրիցների ներսում: Եկեք վերադառնանք մեր համակարգին: Նա գործնականում կտոր-կտոր է արվել:

Մենք գրի ենք առնում համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, կրճատում ենք այն մինչև աստիճանավոր տեսարան:

(1) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Եվ կրկին. ինչու ենք առաջին տողը բազմապատկում –2-ով: Ներքևում զրո ստանալու համար, ինչը նշանակում է երկրորդ տողում մեկ փոփոխականից ազատվել։

(2) Երկրորդ շարքը բաժանեք 3-ի:

Տարրական փոխակերպումների նպատակը – բերեք մատրիցը աստիճանական ձևի. ... Առաջադրանքի ձևավորման մեջ «սանդուղքը» նշվում է պարզ մատիտով, իսկ թվերը, որոնք գտնվում են «քայլերի» վրա, շրջագծվում են։ «Քայլի տեսակ» տերմինն ինքնին ամբողջովին տեսական չէ, գիտական ​​և կրթական գրականության մեջ այն հաճախ կոչվում է trapezoidal տեսքկամ եռանկյուն տեսք.

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացանք համարժեքբնօրինակ հավասարումների համակարգ.

Այժմ համակարգը պետք է «փաթաթել» հակառակ ուղղությամբ՝ ներքևից վեր, այս գործընթացը կոչվում է հետամնաց Գաուսի մեթոդ.

Ստորին հավասարման մեջ մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Եկեք դիտարկենք համակարգի առաջին հավասարումը և դրա մեջ փոխարինենք «խաղի» արդեն հայտնի արժեքը.

Եկեք դիտարկենք ամենատարածված իրավիճակը, երբ Գաուսի մեթոդը պահանջում է լուծել երեք գծային հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով:

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով.

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

Այժմ ես անմիջապես կնշեմ այն ​​արդյունքը, որին մենք կգանք լուծման ընթացքում. Եվ կրկին, մեր նպատակն է տարրական փոխակերպումների միջոցով մատրիցը հասցնել աստիճանական ձևի: Որտեղի՞ց սկսել ակցիան:

Նախ, մենք նայում ենք վերևի ձախ թվին. Այն գրեթե միշտ պետք է լինի այստեղ միավոր... Ընդհանրապես, –1-ը լավ կլինի (և երբեմն այլ թվեր), բայց ինչ-որ կերպ այնպես ավանդաբար տեղի ունեցավ, որ միավորը սովորաբար տեղադրվում է այնտեղ: Ինչպե՞ս կազմակերպել միավոր: Մենք նայում ենք առաջին սյունակին. մենք ունենք պատրաստի միավոր: Առաջին փոխակերպումը. փոխեք առաջին և երրորդ տողերը.

Այժմ առաջին տողը կմնա անփոփոխ մինչև լուծման ավարտը։... Հիմա լավ:

Վերևի ձախ մասի միավորը կազմակերպված է։ Այժմ դուք պետք է ստանաք զրո այս վայրերում.

Զրոները ստանում ենք հենց «դժվար» փոխակերպման օգնությամբ։ Նախ, մենք գործ ունենք երկրորդ տողի հետ (2, –1, 3, 13): Ի՞նչ է պետք անել առաջին դիրքում զրո ստանալու համար: Անհրաժեշտ է երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով... Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով՝ (–2, –4, 2, –18): Եվ մենք հետևողականորեն կատարում ենք (կրկին մտովի կամ նախագծով) լրացում, Երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը՝ արդեն –2-ով բազմապատկած:

Արդյունքը գրում ենք երկրորդ տողում.

Նույն կերպ ենք վերաբերվում երրորդ տողին (3, 2, –5, –1): Առաջին դիրքում զրո ստանալու համար անհրաժեշտ է երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով... Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –3-ով: (–3, –6, 3, –27): ԵՎ երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով:

Արդյունքը գրում ենք երրորդ տողում.

Գործնականում այս գործողությունները սովորաբար կատարվում են բանավոր և գրանցվում մեկ քայլով.

Պետք չէ ամեն ինչ հաշվել միանգամից և միաժամանակ... Հաշվարկների և արդյունքները «գրելու» կարգը հետեւողականև սովորաբար այսպես. նախ մենք վերագրում ենք առաջին տողը, և մենք ինքներս մեզ խորամանկ ենք ասում. ՀԵՐԹԱԿԱՆ և ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ:
Եվ ես արդեն վերը քննել եմ հաշվարկների մտավոր ընթացքը։

Այս օրինակում դա հեշտ է անել, երկրորդ տողը բաժանվում է –5-ի (քանի որ բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 5-ի): Միևնույն ժամանակ, մենք երրորդ տողը բաժանում ենք –2-ի, քանի որ որքան փոքր են թվերը, այնքան ավելի հեշտ է լուծումը.

Տարրական փոխակերպումների վերջնական փուլում այստեղ պետք է ևս մեկ զրո ստանալ.

Սրա համար երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած –2-ով:
Փորձեք ինքներդ վերլուծել այս գործողությունը. մտովի բազմապատկեք երկրորդ տողը –2-ով և գումարեք:

Վերջին կատարված գործողությունը արդյունքի սանրվածքն է, երրորդ գիծը բաժանեք 3-ի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է գծային հավասարումների համարժեք սկզբնական համակարգ. Թույն.

Այժմ գործում է Գաուսի մեթոդի հակառակ կողմը: Հավասարումները «թուլանում են» ներքեւից վերեւ։

Երրորդ հավասարման դեպքում մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Մենք նայում ենք երկրորդ հավասարմանը. «Զ»-ի իմաստն արդեն հայտնի է, այսպիսով.

Եվ վերջապես, առաջին հավասարումը. «Յ»-ն ու «զ»-ը հայտնի են, բանը փոքր է.

Պատասխանել:

Ինչպես արդեն բազմիցս նշվել է, ցանկացած հավասարումների համակարգի համար հնարավոր է և անհրաժեշտ է ստուգել գտնված լուծումը, բարեբախտաբար, այն հեշտ է և արագ:

Օրինակ 2

Սա սեփական ձեռքերով նմուշ է, ավարտական ​​նմուշ և պատասխանը դասընթացի վերջում:

Հարկ է նշել, որ ձեր որոշման դասընթացկարող է չհամընկնել իմ որոշման ընթացքի հետ, և սա Գաուսի մեթոդի առանձնահատկությունն է... Բայց պատասխանները պետք է նույնը լինեն:

Օրինակ 3

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Մենք նայում ենք վերին ձախ «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է միավոր ունենանք։ Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ընդհանրապես չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի լուծի։ Նման դեպքերում միավորը պետք է կազմակերպվի տարրական փոխակերպման միջոցով: Սովորաբար դա կարելի է անել մի քանի ձևով. Ես արեցի սա. (1) Առաջին տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած -1-ով... Այսինքն, մենք մտովի բազմապատկեցինք երկրորդ տողը –1-ով և ավելացրինք առաջին և երկրորդ տողերը, մինչդեռ երկրորդ տողը չփոխվեց:

Այժմ վերևի ձախ մասում «մինուս մեկ» է, ինչը մեզ համար լավ է: Յուրաքանչյուրը, ով ցանկանում է ստանալ +1, կարող է կատարել մարմնի լրացուցիչ շարժում՝ առաջին տողը բազմապատկել –1-ով (փոխել նրա նշանը):

(2) 5-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, իսկ 3-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

(3) Առաջին տողը բազմապատկվել է -1-ով, սկզբունքորեն սա գեղեցկության համար է: Փոխեցինք նաև երրորդ տողի նշանը և տեղափոխեցինք երկրորդ տեղ, այսպիսով, երկրորդ «քայլի վրա մենք ունենք անհրաժեշտ միավորը։

(4) Երկրորդ շարքը, բազմապատկված 2-ով, ավելացվեց երրորդ շարքին:

(5) Երրորդ տողը բաժանվեց 3-ի:

Վատ նշանը, որը ցույց է տալիս հաշվարկների սխալը (ավելի հաճախ՝ տառասխալ), «վատ» եզրագիծն է: Այսինքն, եթե ներքևում մենք ստացել ենք նման բան, և, համապատասխանաբար, , ապա մեծ հավանականությամբ կարելի է պնդել, որ սխալ է թույլ տրվել տարրական փոխակերպումների ընթացքում։

Մենք լիցքավորում ենք հակադարձ հարվածը, օրինակների նախագծման ժամանակ համակարգը ինքնին հաճախ չի վերագրվում, և հավասարումները «վերցվում են անմիջապես տվյալ մատրիցից»: Հակադարձ շարժումը, հիշեցնում եմ ձեզ, աշխատում է ներքևից վեր: Այո, ահա նվերը ստացվեց.

Պատասխանել: .

Օրինակ 4

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Սա անկախ լուծման օրինակ է, ինչ-որ չափով ավելի բարդ է։ Լավ է, եթե որևէ մեկը շփոթվի: Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում՝ ձեռնարկի վերջում: Ձեր լուծումը կարող է տարբերվել իմից:

Վերջին մասում մենք կքննարկենք Գաուսի ալգորիթմի որոշ առանձնահատկություններ: Առաջին առանձնահատկությունն այն է, որ երբեմն որոշ փոփոխականներ բացակայում են համակարգի հավասարումների մեջ, օրինակ. Ինչպե՞ս ճիշտ գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցը: Այս պահի մասին ես արդեն խոսել եմ դասում։ Կրամերի կանոն. Մատրիցային մեթոդ... Համակարգի ընդլայնված մատրիցայում բացակայող փոփոխականների փոխարեն զրո ենք դնում. Ի դեպ, սա բավականին հեշտ օրինակ է, քանի որ առաջին սյունակում արդեն կա մեկ զրո, և կան ավելի քիչ տարրական փոխակերպումներ:

Երկրորդ առանձնահատկությունը հետևյալն է. Բոլոր դիտարկված օրինակներում «քայլերի» վրա դրել ենք կամ –1 կամ +1։ Կարո՞ղ են այլ թվեր լինել: Որոշ դեպքերում նրանք կարող են: Հաշվի առեք համակարգը. .

Այստեղ վերին ձախ «քայլում» մենք ունենք երկու: Բայց մենք նկատում ենք այն փաստը, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 2-ի, իսկ մյուս երկուսը և վեցը: Եվ վերևի ձախ կողմում գտնվող դյուզը կհամապատասխանի մեզ: Առաջին քայլում դուք պետք է կատարեք հետևյալ փոխակերպումները. երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –1-ով. երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով: Սա մեզ կտա առաջին սյունակում ցանկալի զրոները:

Կամ մեկ այլ պայմանական օրինակ. ... Այստեղ մեզ սազում է նաև երկրորդ «քայլի» եռյակը, քանի որ 12-ը (այն տեղը, որտեղ պետք է զրո ստանալ) առանց մնացորդի բաժանվում է 3-ի։ Անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ փոխակերպումը. երրորդ տողին ավելացնել երկրորդ տողը` բազմապատկած –4-ով, որի արդյունքում կստացվի մեզ անհրաժեշտ զրոն։

Գաուսի մեթոդը ունիվերսալ է, բայց կա մեկ առանձնահատկություն. Դուք կարող եք վստահորեն սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը այլ մեթոդներով (Կրամերի մեթոդ, մատրիցային մեթոդ) բառացիորեն առաջին անգամ. կա շատ կոշտ ալգորիթմ: Բայց Գաուսի մեթոդով վստահ զգալու համար պետք է «ձեռքդ լցնես» ու լուծես առնվազն 5-10 տասը համակարգ։ Հետևաբար, սկզբում հնարավոր են շփոթություն, հաշվարկների սխալներ, և դրանում ոչ մի արտասովոր կամ ողբերգական բան չկա։

Անձրևոտ աշնանային եղանակը պատուհանից դուրս ... Հետևաբար, բոլորի համար անկախ լուծման ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 5

Գաուսի մեթոդով լուծել չորս անհայտներով 4 գծային հավասարումների համակարգը:

Նման առաջադրանքը գործնականում այնքան էլ հազվադեպ չէ։ Կարծում եմ, որ նույնիսկ այս էջը մանրակրկիտ ուսումնասիրած թեյնիկը, նման համակարգի լուծման ալգորիթմը ինտուիտիվորեն պարզ է։ Հիմնականում ամեն ինչ նույնն է, պարզապես կան ավելի շատ գործողություններ:

Դասում դիտարկվում են այն դեպքերը, երբ համակարգը չունի լուծումներ (անհետևողական) կամ ունի անսահման շատ լուծումներ. Անհամատեղելի համակարգեր և համակարգեր ընդհանուր լուծումով... Այնտեղ կարող է ամրագրվել նաև Գաուսի մեթոդի դիտարկվող ալգորիթմը։

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն:

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի:
Կատարված տարրական փոխակերպումներ. (1) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացվեց -1-ով բազմապատկած առաջին տողը: Ուշադրություն. Այստեղ կարող է գայթակղիչ լինել առաջինը երրորդ տողից հանելը, ես շատ չեմ խրախուսում հանելը. սխալի վտանգը մեծապես մեծանում է: Պարզապես ավելացրո՛ւ: (2) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երկրորդ և երրորդ տողերը փոխվեցին. Նշում որ «քայլերի» վրա մենք բավարարվում ենք ոչ միայն մեկով, այլեւ –1-ով, որն էլ ավելի հարմար է։ (3) Երկրորդ շարքը ավելացվել է երրորդ շարքին՝ բազմապատկելով 5-ով: (4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երրորդ գիծը բաժանվեց 14-ով:

Հակադարձ:

Պատասխանել : .

Օրինակ 4: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ. (1) Երկրորդը ավելացվել է առաջին տողին: Այսպիսով, ցանկալի ստորաբաժանումը կազմակերպվում է վերին ձախ «լուսանցքում»: (2) 7-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, 6-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

Երկրորդ քայլը գնալով վատանում է , դրա «թեկնածուները» 17 և 23 թվերն են, և մեզ պետք է կամ մեկը, կամ -1։ Փոխակերպումները (3) և (4) ուղղված կլինեն ցանկալի միավորի ձեռքբերմանը (3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով: (4) Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –3-ով: Երկրորդ քայլին անհրաժեշտ բանը ստացվում է . (5) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 6-ով: (6) Երկրորդ տողը բազմապատկվել է -1-ով, երրորդ տողը բաժանվել է -83-ի:

Հակադարձ:

Պատասխանել :

Օրինակ 5: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ. (1) Առաջին և երկրորդ տողերը հակադարձված են: (2) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացվեց -2-ով բազմապատկած առաջին տողը: Չորրորդ տողին ավելացվել է առաջին տողը, որը բազմապատկվել է –3-ով: (3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 4-ով: Երկրորդ տողը ավելացվել է չորրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով: (4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է. Չորրորդ տողը բաժանվեց 3-ով և տեղադրվեց երրորդ տողի տեղում: (5) Չորրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը, որը բազմապատկվել է –5-ով:

Հակադարձ:

Պատասխանել :

Այստեղ դուք կարող եք անվճար լուծել գծային հավասարումների համակարգ Գաուսի մեթոդ առցանցմեծ չափսեր բարդ թվերով՝ շատ մանրամասն լուծումով։ Մեր հաշվիչը ի վիճակի է առցանց լուծել գծային հավասարումների ինչպես սովորական որոշակի, այնպես էլ անորոշ համակարգը Գաուսի մեթոդով, որն ունի անսահման թվով լուծումներ։ Այս դեպքում պատասխանում դուք կստանաք որոշ փոփոխականների կախվածությունը մյուսների միջոցով՝ անվճար։ Դուք կարող եք նաև ստուգել հավասարումների համակարգը առցանց հետևողականության համար՝ օգտագործելով Գաուսի լուծումը:

Մատրիցայի չափը. 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 353 34 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Մեթոդի մասին

Գաուսի մեթոդով առցանց գծային հավասարումների համակարգ լուծելիս կատարվում են հետևյալ քայլերը.

1. Մենք գրում ենք ընդլայնված մատրիցը:
2. Փաստորեն, լուծումը բաժանված է Գաուսի մեթոդի առաջ և հետադարձ քայլերի։ Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքը կոչվում է մատրիցի կրճատում դեպի աստիճանական ձև։ Գաուսի մեթոդի հակառակը կոչվում է մատրիցի կրճատում հատուկ աստիճանական ձևի: Բայց գործնականում ավելի հարմար է անմիջապես զրոյացնել այն, ինչ կա և՛ վերևում, և՛ խնդրո առարկա տարրի տակ: Մեր հաշվիչը օգտագործում է հենց այս մոտեցումը:
3. Կարևոր է նշել, որ Գաուսի մեթոդով լուծելիս մատրիցայում առնվազն մեկ զրոյական տողի առկայությունը աջ կողմով (ազատ տերմինների սյունակը) ցույց է տալիս համակարգի անհամատեղելիությունը: Այս դեպքում գծային համակարգի լուծում չկա:

Որպեսզի լավագույնս հասկանաք, թե ինչպես է Գաուսն աշխատում առցանց, մուտքագրեք ցանկացած օրինակ, ընտրեք «բարձր մանրամասն լուծում» և տեսեք դրա լուծումը առցանց:

Գաուսի մեթոդի սահմանում և նկարագրություն

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի փոխակերպման մեթոդը (նաև հայտնի է որպես հավասարումից կամ մատրիցից անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ) հանրահաշվական հավասարումների համակարգի (SLAE) լուծման դասական մեթոդ է։ Նաև այս դասական մեթոդը օգտագործվում է այնպիսի խնդիրներ լուծելու համար, ինչպիսիք են հակադարձ մատրիցներ ստանալը և մատրիցի աստիճանը որոշելը:

Գաուսի մեթոդով փոխակերպումը բաղկացած է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգում փոքր (տարրական) հաջորդական փոփոխություններ կատարելուց, ինչը հանգեցնում է նրանից վերևից ներքև փոփոխականների վերացմանը՝ հավասարումների նոր եռանկյուն համակարգի ձևավորմամբ, որը համարժեք է. բնօրինակը.

Սահմանում 1

Լուծման այս հատվածը կոչվում է Գաուսի լուծույթի ուղիղ ընթացք, քանի որ ամբողջ գործընթացն իրականացվում է վերևից ներքև։

Հավասարումների սկզբնական համակարգը եռանկյունի դարձնելուց հետո համակարգի բոլոր փոփոխականները հայտնաբերվում են ներքևից վեր (այսինքն՝ առաջին հայտնաբերված փոփոխականները գտնվում են հենց համակարգի կամ մատրիցայի վերջին տողերի վրա): Լուծման այս հատվածը հայտնի է նաև որպես Գաուսյան հակադարձ: Նրա ալգորիթմը հետևյալն է. նախ հաշվարկվում են այն փոփոխականները, որոնք ամենամոտ են հավասարումների համակարգի կամ մատրիցայի հատակին, այնուհետև ստացված արժեքները փոխարինվում են վերևում և այդպիսով գտնվում է ևս մեկ փոփոխական և այլն։

Գաուսի մեթոդի ալգորիթմի նկարագրությունը

Գաուսյան մեթոդով հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծման գործողությունների հաջորդականությունը բաղկացած է SLAE-ի վրա հիմնված մատրիցային առաջընթացի և հակադարձ շարժումների այլընտրանքային կիրառումից: Թող սկզբնական հավասարումների համակարգը ունենա հետևյալ ձևը.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ վերջ (գործեր) $

SLAE-ը Գաուսի մեթոդով լուծելու համար անհրաժեշտ է գրել հավասարումների սկզբնական համակարգը մատրիցայի տեսքով.

$ A = \ սկիզբ (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ վերջ (pmatrix) $, $ b = \ սկիզբ (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ վերջ (pmatrix) $

$ A $ մատրիցը կոչվում է հիմնական մատրից և ներկայացնում է հերթականությամբ գրված փոփոխականների գործակիցները, իսկ $ b $-ը կոչվում է դրա ազատ տերմինների սյունակ։ $ A $ մատրիցը, որը գրված է ազատ տերմինների սյունակով բարով, կոչվում է ընդլայնված մատրիցա.

$ A = \ սկիզբ (զանգված) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \ վերջ (զանգված) $

Այժմ անհրաժեշտ է, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ հավասարումների համակարգի վրա (կամ մատրիցով, քանի որ դա ավելի հարմար է), այն հասցնել հետևյալ ձևի.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\… \ \ 0 = β_m \ վերջ (դեպքեր) $ (1)

Հավասարման (1) փոխակերպված համակարգի գործակիցներից ստացված մատրիցը կոչվում է աստիճանական, աստիճանավոր մատրիցները սովորաբար այսպիսի տեսք ունեն.

$ A = \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \ վերջ (զանգված) $

Այս մատրիցները բնութագրվում են հատկությունների հետևյալ շարքով.

1. Նրա բոլոր զրոյական տողերը գտնվում են ոչ զրոյական տողերից հետո:
2. Եթե ​​$ k $ համարակալված մատրիցայի որոշ տող զրոյական չէ, ապա նույն մատրիցայի նախորդ տողը պարունակում է ավելի քիչ զրոներ, քան $ k $ համարակալված այս տողը:

Քայլային մատրիցը ստանալուց հետո անհրաժեշտ է ստացված փոփոխականները փոխարինել մնացած հավասարումների մեջ (սկսած վերջից) և ստանալ փոփոխականների մնացած արժեքները։

Հիմնական կանոններ և թույլատրելի փոխակերպումներ Գաուսի մեթոդի կիրառման ժամանակ

Այս մեթոդով մատրիցը կամ հավասարումների համակարգը պարզեցնելիս պետք է օգտագործվեն միայն տարրական փոխակերպումներ:

Նման փոխակերպումները համարվում են գործողություններ, որոնք կարող են կիրառվել մատրիցայի կամ հավասարումների համակարգի վրա՝ առանց դրա իմաստը փոխելու.

• մի քանի գծերի տեղ-տեղ վերադասավորում,
• մատրիցի մի տողից ավելացնելով կամ հանելով նույնից մեկ այլ տող,
• ուղիղը բազմապատկել կամ բաժանել զրոյի ոչ հավասար հաստատունով,
• միայն զրոներից բաղկացած տողը, որը ստացվել է համակարգի հաշվարկման և պարզեցման գործընթացում, պետք է ջնջվի,
• Անհրաժեշտ է նաև հեռացնել անհարկի համամասնական գծերը՝ համակարգի համար ընտրելով միակը, որն ունի առավել հարմար և հարմար գործակիցներ հետագա հաշվարկների համար։

Բոլոր տարրական փոխակերպումները շրջելի են։

Երեք հիմնական դեպքերի վերլուծություն, որոնք առաջանում են պարզ Գաուսի փոխակերպումների մեթոդով գծային հավասարումներ լուծելիս

Գոյություն ունեն երեք դեպք, որոնք առաջանում են համակարգերի լուծման համար Գաուսի մեթոդի կիրառման ժամանակ.

1. Երբ համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն՝ չունի լուծումներ
2. Հավասարումների համակարգն ունի լուծում և միակը, և մատրիցում ոչ զրոյական տողերի և սյունակների թիվը հավասար է միմյանց:
3. Համակարգն ունի որոշակի թվով կամ շատ հնարավոր լուծումներ, և տողերի թիվը փոքր է սյունակների քանակից։

Անհամապատասխան համակարգով որոշման արդյունքը

Այս տարբերակի համար Գաուսի մեթոդով մատրիցային հավասարումը լուծելիս բնորոշ է հավասարության կատարման անհնարինությամբ որոշակի տող ստանալը։ Հետևաբար, եթե առնվազն մեկ սխալ հավասարություն է առաջանում, ստացված և սկզբնական համակարգերը լուծումներ չունեն՝ անկախ իրենց պարունակած մյուս հավասարումներից: Անհամապատասխան մատրիցայի օրինակ.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ վերջ (զանգված) $

Անբավարարելի հավասարություն հայտնվեց վերջին տողում՝ $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $:

Միայն մեկ լուծում ունեցող հավասարումների համակարգ

Աստիճանային մատրիցին կրճատելուց և զրոներով տողերը հեռացնելուց հետո այս համակարգերը ունեն նույն թվով տողեր և սյունակներ հիմնական մատրիցում: Ահա այսպիսի համակարգի ամենապարզ օրինակը.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ ավարտ (դեպքեր) $

Եկեք այն գրենք մատրիցայի տեսքով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ վերջ (զանգված) $

Երկրորդ շարքի առաջին բջիջը զրոյի հասցնելու համար վերին տողը բազմապատկեք $ -2 $-ով և այն հանեք մատրիցայի ներքևի տողից, իսկ վերին տողը թողեք իր սկզբնական տեսքով, արդյունքում ունենում ենք հետևյալը.

$ \ սկիզբ (զանգված) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ վերջ (զանգված) $

Այս օրինակը կարելի է գրել որպես համակարգ.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ վերջ (դեպքեր) $

Ստորին հավասարումից դուրս է գալիս $ x $-ի հետևյալ արժեքը՝ $ x_2 = 3 \ ֆրակ (1) (3) $: Փոխարինելով այս արժեքը վերին հավասարման մեջ՝ $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $, մենք ստանում ենք $ x_1 = 1 \ ֆրակ (2) (3) $:

Համակարգ՝ բազմաթիվ հնարավոր լուծումներով

Այս համակարգը բնութագրվում է ավելի փոքր թվով նշանակալի տողերով, քան դրանում գտնվող սյունակները (հաշվի են առնված հիմնական մատրիցայի տողերը):

Նման համակարգում փոփոխականները բաժանվում են երկու տեսակի՝ հիմնական և անվճար: Նման համակարգը փոխակերպելիս նրանում պարունակվող հիմնական փոփոխականները պետք է թողնել ձախ հատվածում մինչև «=» նշանը, իսկ մնացած փոփոխականները տեղափոխել հավասարության աջ կողմ։

Նման համակարգը ունի միայն որոշ ընդհանուր լուծում.

Վերլուծենք հավասարումների հետևյալ համակարգը.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ ավարտ (դեպքեր) $

Եկեք այն գրենք մատրիցայի տեսքով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ վերջ (զանգված) $

Մեր խնդիրն է համակարգին ընդհանուր լուծում գտնել։ Այս մատրիցայի համար հիմնական փոփոխականները կլինեն $ y_1 $ և $ y_3 $ ($ y_1 $-ի համար, քանի որ այն առաջին տեղում է, իսկ $ y_3 $-ի դեպքում՝ այն գտնվում է զրոներից հետո):

Որպես հիմնական փոփոխականներ՝ մենք ընտրում ենք հենց նրանք, որոնք առաջինն են տողում, որոնք հավասար չեն զրոյի։

Մնացած փոփոխականները կոչվում են ազատ, նրանց միջոցով պետք է արտահայտել հիմնականները։

Օգտագործելով այսպես կոչված հակադարձ շարժումը, մենք վերլուծում ենք համակարգը ներքևից վերև, դրա համար մենք նախ արտահայտում ենք $ y_3 $ համակարգի ստորին տողից.

$ 5y_3 - 4y_4 = 1 $

$ 5y_3 = 4y_4 + 1 $

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $:

Այժմ համակարգի վերին հավասարման մեջ $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $ մենք փոխարինում ենք արտահայտված $ y_3 $. $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 $

Մենք արտահայտում ենք $ y_1 $ ազատ փոփոխականներով $ y_2 $ և $ y_4 $:

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

$ 2y_1 = 1 - 3y_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 $

Լուծումը պատրաստ է։

Օրինակ 1

Լուծել ցախը Գաուսի մեթոդով: Օրինակներ. Գաուսի մեթոդով տրված 3-ից 3 մատրիցով տրված գծային հավասարումների համակարգի լուծման օրինակ

$ \ սկիզբ (դեպքեր) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ ավարտ (դեպքեր) $

Եկեք գրենք մեր համակարգը ընդլայնված մատրիցայի տեսքով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ վերջ (զանգված) $

Այժմ, հարմարության և գործնականության համար, դուք պետք է փոխակերպեք մատրիցը, որպեսզի $ 1 $ լինի ծայրահեղ սյունակի վերին անկյունում:

Դա անելու համար 1-ին տողին ավելացրե՛ք տողը միջինից, բազմապատկած $ -1 $-ով, և գրե՛ք միջին տողը այնպես, ինչպես կա, ստացվում է.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ վերջ (զանգված) $

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ վերջ (զանգված) $

Բազմապատկեք վերևի և վերջին տողերը $ -1 $-ով, ինչպես նաև փոխեք վերջին և միջին տողերը.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ վերջ (զանգված) $

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ վերջ (զանգված) $

Եվ վերջին տողը բաժանեք $3 $-ով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (ccc | գ) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ վերջ (զանգված) $

Ստանում ենք հետևյալ հավասարումների համակարգը, որը համարժեք է սկզբնականին.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ ավարտ (դեպքեր) $

Վերին հավասարումից մենք արտահայտում ենք $ x_1 $.

$ x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $:

Օրինակ 2

Գաուսի մեթոդով 4-ից 4 մատրիցով սահմանված համակարգի լուծման օրինակ

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ վերջ (զանգված) $:

Սկզբում մենք փոխում ենք դրա հետևում գտնվող վերին հետազոտական ​​գծերի տեղերը, որպեսզի վերևի ձախ անկյունում ստացվի $1 $.

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ վերջ (զանգված) $:

Այժմ վերին տողը բազմապատկեք $ -2 $-ով և ավելացրեք 2-րդ և 3-րդ: 4-րդին ավելացնում ենք 1-ին տողը բազմապատկած $ -3 $-ով.

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \ վերջ (զանգված) $

Այժմ 3-րդ տողին մենք ավելացնում ենք տող 2-ը բազմապատկած $4 $-ով, իսկ տող 4-ին ավելացնում ենք տող 2-ը բազմապատկած $ -1 $-ով:

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ վերջ (զանգված) $

2-րդ տողը բազմապատկեք $ -1 $-ով, իսկ 4-րդ տողը բաժանեք $3 $-ով և փոխարինեք 3-րդ տողը:

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \ վերջ (զանգված) $

Այժմ վերջին տողին ավելացրեք նախավերջինը՝ բազմապատկած $ -5 $-ով։

$ \ սկիզբ (զանգված) (cccc | գ) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ վերջ (զանգված) $

Մենք լուծում ենք ստացված հավասարումների համակարգը.

$ \ սկիզբ (դեպքեր) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ \ x + 3y + 2g + m = 11 \ վերջ (դեպքեր) $