Կազմի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը ընդհանուր ձևով: Տարբեր ուղիղ գծերի հավասարումներ

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Դուք կարող եք անսահման շատ ուղիղ գծեր գծել ցանկացած կետի միջով:

Մեկ ուղիղ գիծ կարելի է գծել ցանկացած երկու ոչ համընկնող կետերով:

Հարթության վրա երկու անհամապատասխան ուղիղ գծեր կամ հատվում են մեկ կետում, կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

Եռաչափ տարածության մեջ երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

• ուղիղ գծերը հատվում են;

• ուղիղ գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող- առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ դեկարտյան կոորդինատային համակարգում՝ ուղիղ գիծ

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում):

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Սահմանում... Հարթության ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

հաստատունով Ա, Բմիաժամանակ հավասար չեն զրոյի. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ընդհանուր

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, Բև ՀԵՏհնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծն անցնում է ծագման միջով

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Կետի և նորմալ վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Սահմանում... Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ... Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում... A = 3 և B = -1 դեպքում կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: Գտնել C գործակիցը:

Տրված Ա կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր ստացված արտահայտությամբ Ստացվում է՝ 3 - 2 + C = 0, հետևաբար.

C = -1. Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)և M2 (x 2, y 2, z 2),ապա ուղիղ գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասարվի զրոյի: Վրա

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1 ≠ x 2և x = x 1, եթե x 1 = x 2 .

Մաս = kկանչեց լանջին ուղիղ.

Օրինակ... Գտե՛ք A (1, 2) և B (3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում... Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումն ըստ կետի և թեքության:

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը Ax + Wu + C = 0տանել դեպի ձևը.

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Համեմատելով պարբերության հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը.

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր:

Սահմանում... Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2)որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aa 1 + Va 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ... Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը (1, 2):

Լուծում... Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը կփնտրվի հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է համապատասխանեն հետևյալ պայմաններին.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C / A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, ապա, բաժանելով -C-ի, ստանում ենք.

կամ որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է.

ուղիղ առանցքով Օ,ա բ- ուղիղ գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը OU.

Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտե՛ք այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով:

C = 1, a = -1, b = 1:

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել թվով որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ մ * Գ< 0.

Ռ- սկզբից մինչև ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում 12x - 5y - 65 = 0... Պահանջվում է տարբեր տեսակի հավասարումներ գրելու համար

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղղի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Ուղիղ գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ոչ ամեն ուղիղ գիծ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելիս։

Ինքնաթիռի ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում... Եթե ​​տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև սուր անկյուն

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2... Երկու ուղիղ գծեր ուղղահայաց են,

եթե k 1 = -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղղակի Ax + Wu + C = 0և A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ են, երբ գործակիցները համաչափ են

А 1 = лА, В 1 = λВ... Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա ուղիղ գծերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Սահմանում... Գիծ՝ կետով M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող:

Թեորեմ... Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),հեռավորությունը դեպի ուղիղ գիծ Ax + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց... Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ գիծ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը Մև Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1և 1-ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է՝ ուղղահայաց.

տրված ուղիղ գիծ. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Տիեզերքում ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները հավասարումներ են, որոնք սահմանում են տվյալ կետով անցնող ուղիղ գիծ՝ ուղղության վեկտորին համակողմանի:

Թող տրվի կետ և ուղղության վեկտոր: Կամայական կետը գտնվում է ուղիղ գծի վրա լմիայն այն դեպքում, եթե վեկտորները համակողմանի են, այսինքն՝ բավարարում են պայմանը.

.

Վերոնշյալ հավասարումները ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ են։

Թվեր մ , nև էջուղղության վեկտորի պրոյեկցիաներն են կոորդինատային առանցքների վրա: Քանի որ վեկտորը զրոյական չէ, ուրեմն բոլոր թվերը մ , nև էջչի կարող միաժամանակ զրո լինել: Բայց դրանցից մեկը կամ երկուսը կարող են զրո լինել։ Վերլուծական երկրաչափության մեջ, օրինակ, թույլատրվում է հետևյալ նշումը.

,

ինչը նշանակում է, որ վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա Օյև Օզհավասար են զրոյի։ Հետևաբար, կանոնական հավասարումներով տրված և՛ վեկտորը, և՛ ուղիղ գիծը ուղղահայաց են առանցքներին. Օյև Օզ, այսինքն՝ ինքնաթիռը յՕզ .

Օրինակ 1.Գրի՛ր հարթությանը ուղղահայաց տարածության ուղիղ գծի հավասարումները և անցնելով այս հարթության առանցքի հետ հատման կետով Օզ .

Լուծում. Գտե՛ք այս հարթության առանցքի հատման կետը Օզ... Քանի որ առանցքի վրա ընկած ցանկացած կետ Օզ, ունի կոորդինատներ, ապա՝ տվյալ հավասարման մեջ դնելով հարթությունը x = y = 0, մենք ստանում ենք 4 զ- 8 = 0 կամ զ= 2. Հետևաբար, այս հարթության առանցքի հետ հատման կետը Օզունի կոորդինատներ (0; 0; 2): Քանի որ փնտրվող ուղիղը ուղղահայաց է հարթությանը, այն զուգահեռ է իր նորմալ վեկտորին: Հետևաբար, ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը կարող է լինել նորմալ վեկտորը տրված ինքնաթիռ.

Այժմ մենք գրում ենք կետով անցնող ուղիղ գծի որոնված հավասարումները Ա= (0; 0; 2) վեկտորի ուղղությամբ.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումներ

Ուղիղ գիծը կարելի է նշել դրա վրա ընկած երկու կետով և Այս դեպքում ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը կարող է լինել վեկտոր: Այնուհետև ձև են ստանում ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները

.

Վերոնշյալ հավասարումները որոշում են երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գիծը։

Օրինակ 2.Կազմե՛ք կետերով անցնող տարածության ուղիղ գծի հավասարումը և.

Լուծում. Եկեք տեսական նշումում գրենք ուղիղ գծի փնտրվող հավասարումները վերը նշված ձևով.

.

Քանի որ փնտրվող գիծը ուղղահայաց է առանցքին Օյ .

Ուղիղ որպես հարթությունների հատման գիծ

Ուղիղ գիծը տարածության մեջ կարող է սահմանվել որպես երկու ոչ զուգահեռ հարթությունների հատման գիծ, ​​այսինքն՝ որպես երկու գծային հավասարումների համակարգին բավարարող կետերի բազմություն։

Համակարգի հավասարումները կոչվում են նաև տարածության ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներ։

Օրինակ 3.Գրի՛ր ընդհանուր հավասարումներով տրված տարածության ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները

Լուծում. Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները կամ, որը նույնն է, երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումները գրելու համար անհրաժեշտ է գտնել ուղիղ գծի ցանկացած երկու կետերի կոորդինատները։ Դրանք կարող են լինել ուղիղ գծի հատման կետերը ցանկացած երկու կոորդինատային հարթությունների հետ, օրինակ յՕզև xOz .

Ուղիղ գծի հարթության հետ հատման կետ յՕզունի աբսցիսսա x= 0. Ուստի, ենթադրելով տրված հավասարումների համակարգում x= 0, մենք ստանում ենք երկու փոփոխական ունեցող համակարգ.

Նրա որոշումը y = 2 , զ= 6 հետ միասին x= 0-ը սահմանում է կետ Ա(0; 2; 6) պահանջվող ուղիղ գիծ: Այնուհետև հավասարումների տրված համակարգում դնելով y= 0, մենք ստանում ենք համակարգը

Նրա որոշումը x = -2 , զ= 0 հետ միասին y= 0-ը սահմանում է կետ Բ(-2; 0; 0) հարթության հետ ուղիղ գծի հատումներ xOz .

Այժմ մենք գրում ենք կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումները Ա(0; 2; 6) և Բ (-2; 0; 0) :

,

կամ հայտարարները -2-ի բաժանելուց հետո.

,

Այս հոդվածը շարունակում է հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարման թեման. հաշվի առեք հավասարման այնպիսի ձև, ինչպիսին է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը: Եկեք սահմանենք թեորեմը և բերենք դրա ապացույցը. Եկեք պարզենք, թե որն է ուղիղ գծի թերի ընդհանուր հավասարումը և ինչպես կատարել անցումներ ընդհանուր հավասարումից ուղիղ գծի այլ տեսակի հավասարումների: Ամբողջ տեսությունը կհամախմբենք նկարազարդումներով և գործնական խնդիրներ լուծելով։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Թող հարթության վրա տրվի O x y ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ:

Թեորեմ 1

Առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում, որն ունի A x + B y + C = 0 ձև, որտեղ A, B, C որոշ իրական թվեր են (A և B միաժամանակ հավասար չեն զրոյի) սահմանում է ուղիղ գիծ a-ում: ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հարթության վրա: Իր հերթին, հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ցանկացած ուղիղ գիծ որոշվում է հավասարմամբ, որն ունի A x + B y + C = 0 ձև A, B, C արժեքների որոշակի հավաքածուի համար:

Ապացույց

Նշված թեորեմը բաղկացած է երկու կետից, մենք կապացուցենք դրանցից յուրաքանչյուրը։

1. Ապացուցենք, որ A x + B y + C = 0 հավասարումը հարթության վրա սահմանում է ուղիղ գիծ:

Թող գոյություն ունենա М 0 կետ (x 0, y 0), որի կոորդինատները համապատասխանում են A x + B y + C = 0 հավասարմանը: Այսպիսով՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: A x + B y + C = 0 հավասարումների ձախ և աջ կողմերից հանում ենք A x 0 + B y 0 + C = 0 հավասարման ձախ և աջ կողմերը, ստանում ենք A (x) ձևի նոր հավասարում. - x 0) + B (y - y 0) = 0: Այն համարժեք է A x + B y + C = 0-ին:

Ստացված A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարումը անհրաժեշտ և բավարար պայման է n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x 0, y վեկտորների համար: - y 0): Այսպիսով, M (x, y) կետերի բազմությունը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանում է ուղիղ գիծ n → = (A, B) վեկտորի ուղղությանը ուղղահայաց: Կարելի է ենթադրել, որ դա այդպես չէ, բայց այդ դեպքում n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց չեն լինի, իսկ A հավասարությունը (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ճիշտ չի լինի:

Հետևաբար, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարումը որոշ ուղիղ գիծ է սահմանում ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա, և հետևաբար, A x + B y + C = 0 հավասարումը սահմանում է նույն ուղիղ գիծը. Այսպես մենք ապացուցեցինք թեորեմի առաջին մասը։

1. Եկեք ապացուցենք, որ հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ցանկացած ուղիղ կարող է սահմանվել A x + B y + C = 0 առաջին աստիճանի հավասարմամբ:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղղենք a ուղիղը հարթության վրա. կետ M 0 (x 0, y 0), որով անցնում է այս ուղիղը, ինչպես նաև այս ուղղի նորմալ վեկտորը n → = (A, B):

Թող լինի նաև M (x, y) մի կետ՝ ուղիղ գծի լողացող կետ: Այս դեպքում n → = (A, B) և M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) վեկտորները ուղղահայաց են միմյանց, և դրանց սկալյար արտադրյալը զրո է.

n →, M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Նորից գրեք A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 հավասարումը, սահմանեք C: C = - A x 0 - B y 0 և վերջնական արդյունքում ստանում ենք A x + B y + C = 0 հավասարումը: .

Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք թեորեմի երկրորդ մասը, և մենք ապացուցել ենք ամբողջ թեորեմն ամբողջությամբ։

Սահմանում 1

Ձևի հավասարում A x + B y + C = 0 - սա գծի ընդհանուր հավասարումըուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գտնվող հարթության վրաO x y.

Ապացուցված թեորեմի հիման վրա կարող ենք եզրակացնել, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա տրված ուղիղ գիծը և դրա ընդհանուր հավասարումը անքակտելիորեն կապված են: Այլ կերպ ասած, սկզբնական ուղիղ գիծը համապատասխանում է իր ընդհանուր հավասարմանը. ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը համապատասխանում է տրված ուղիղ գծին:

Թեորեմի ապացույցից հետևում է նաև, որ x և y փոփոխականների A և B գործակիցները ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, որը տրված է A x + B y + ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմամբ. C = 0:

Դիտարկենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման կոնկրետ օրինակ:

Թող տրվի 2 x + 3 y - 2 = 0 հավասարումը, որը համապատասխանում է տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գծի: Այս տողի նորմալ վեկտորը վեկտորն է n → = (2, 3): Գծագրում գծե՛ք տրված ուղիղ գիծ:

Կարելի է նաև պնդել հետևյալը. ուղիղ գիծը, որը մենք տեսնում ենք գծագրում, որոշվում է ընդհանուր հավասարմամբ 2 x + 3 y - 2 = 0, քանի որ տվյալ ուղիղ գծի բոլոր կետերի կոորդինատները համապատասխանում են այս հավասարմանը:

Մենք կարող ենք ստանալ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 հավասարումը ուղիղի ընդհանուր հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով ոչ զրոյական λ թվով: Ստացված հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուր հավասարմանը, հետևաբար, այն կնկարագրի նույն ուղիղ գիծը հարթության վրա:

Սահմանում 2

Ամբողջական գծի ընդհանուր հավասարումը- A x + B y + C = 0 ուղիղ գծի այնպիսի ընդհանուր հավասարում, որում A, B, C թվերը զրոյական չեն: Հակառակ դեպքում հավասարումը հետևյալն է թերի.

Եկեք քննենք գծի ոչ լրիվ ընդհանուր հավասարման բոլոր տատանումները:

1. Երբ A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ընդհանուր հավասարումը դառնում է B y + C = 0: Նման անավարտ ընդհանուր հավասարումը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանում է O x y ուղիղ գիծ, ​​որը զուգահեռ է O x առանցքին, քանի որ x-ի ցանկացած իրական արժեքի համար y փոփոխականը կընդունի արժեքը: - C B. Այլ կերպ ասած, A x + B y + C = 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, երբ A = 0, B ≠ 0, սահմանում է այն կետերի տեղը (x, y), որոնց կոորդինատները հավասար են նույնին. թիվ - C B.
2. Եթե ​​A = 0, B ≠ 0, C = 0, ապա ընդհանուր հավասարումը ստանում է y = 0 ձև: Այս թերի հավասարումը սահմանում է աբսցիսային առանցքը O x:
3. Երբ A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, մենք ստանում ենք A x + C = 0 թերի ընդհանուր հավասարում, որը սահմանում է օրդինատների առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ:
4. Թող A ≠ 0, B = 0, C = 0, ապա թերի ընդհանուր հավասարումը կստանա x = 0 ձև, և սա O y կոորդինատային ուղղի հավասարումն է:
5. Վերջապես, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 համար թերի ընդհանուր հավասարումը ընդունում է A x + B y = 0 ձևը: Եվ այս հավասարումը նկարագրում է ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է սկզբնակետով: Իրոք, թվերի զույգը (0, 0) համապատասխանում է A x + B y = 0 հավասարությանը, քանի որ A · 0 + B · 0 = 0:

Եկեք գրաֆիկորեն պատկերացնենք ուղիղ գծի թերի ընդհանուր հավասարման բոլոր վերը նշված տեսակները:

Օրինակ 1

Հայտնի է, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին և անցնում է 2 7, - 11 կետով։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը։

Լուծում

Օրդինատների առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ տրվում է A x + C = 0 ձևի հավասարմամբ, որում A ≠ 0: Նաև պայմանը սահմանում է այն կետի կոորդինատները, որով անցնում է ուղիղը, և այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են A x + C = 0 թերի ընդհանուր հավասարման պայմաններին, այսինքն. հավասարությունը ճշմարիտ է.

A · 2 7 + C = 0

Դրանից կարելի է որոշել C-ն՝ A-ին տալով ոչ զրոյական արժեք, օրինակ՝ A = 7: Այս դեպքում մենք ստանում ենք՝ 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2: Մենք գիտենք A և C երկու գործակիցները, դրանք փոխարինում ենք A x + C = 0 հավասարման մեջ և ստանում ենք ուղիղ գծի պահանջվող հավասարումը. 7 x - 2 = 0:

Պատասխան. 7 x - 2 = 0

Օրինակ 2

Գծանկարը ցույց է տալիս ուղիղ գիծ, ​​անհրաժեշտ է գրել դրա հավասարումը։

Լուծում

Տրված գծագիրը թույլ է տալիս հեշտությամբ վերցնել նախնական տվյալները խնդրի լուծման համար։ Գծագրում տեսնում ենք, որ տրված ուղիղը զուգահեռ է O x առանցքին և անցնում է (0, 3) կետով։

Ուղիղ գիծը, որը զուգահեռ է աբսցիսայի աչքերին, որոշում է թերի ընդհանուր հավասարումը B y + C = 0: Գտնենք B և C արժեքները։ (0, 3) կետի կոորդինատները, քանի որ տրված ուղիղ գիծ է անցնում դրանով, կբավարարեն B y + C = 0 ուղիղ գծի հավասարումը, ապա հավասարությունը վավեր է՝ B · 3 + C = 0։ B-ի համար սահմանենք զրոյից տարբեր արժեք: Ենթադրենք B = 1, այս դեպքում B 3 + C = 0 հավասարությունից կարող ենք գտնել C: C = - 3: Մենք օգտագործում ենք B և C-ի հայտնի արժեքները, ստանում ենք ուղիղ գծի պահանջվող հավասարումը. y - 3 = 0:

Պատասխան. y - 3 = 0:

Հարթության տվյալ կետով անցնող ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը

Թող տրված ուղիղն անցնի М 0 կետով (x 0, y 0), ապա դրա կոորդինատները համապատասխանում են ուղիղի ընդհանուր հավասարմանը, այսինքն. հավասարությունը ճիշտ է՝ A x 0 + B y 0 + C = 0: Գծի ընդհանուր ամբողջական հավասարման ձախ և աջ կողմերից հանում ենք այս հավասարման ձախ և աջ կողմերը։ Ստանում ենք՝ A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, այս հավասարումը համարժեք է սկզբնական ընդհանուրին, անցնում է М 0 (x 0, y 0) կետով և ունի նորմալ վեկտոր։ n → = (A, B):

Մեր ստացած արդյունքը թույլ է տալիս գրել ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատներով և այս ուղիղ գծի որոշակի կետի կոորդինատներով:

Օրինակ 3

Տրվում է М 0 (- 3, 4) կետ, որով անցնում է ուղիղ, և այս ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը. n → = (1, - 2): Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում

Սկզբնական պայմանները թույլ են տալիս մեզ ստանալ անհրաժեշտ տվյալներ հավասարումը կազմելու համար՝ A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4: Ապա.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Խնդիրն այլ կերպ կարող էր լուծվել. Ուղղի ընդհանուր հավասարումն ունի A x + B y + C = 0 ձև: Տրված նորմալ վեկտորը թույլ է տալիս ստանալ A և B գործակիցների արժեքները, այնուհետև.

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Այժմ մենք գտնում ենք C-ի արժեքը՝ օգտագործելով խնդրի պայմանով նշված M 0 (- 3, 4) կետը, որով անցնում է ուղիղ գիծը։ Այս կետի կոորդինատները համապատասխանում են x - 2 y + C = 0 հավասարմանը, այսինքն. - 3 - 2 4 + C = 0: Այսպիսով, C = 11: Ուղիղ գծի պահանջվող հավասարումը ստանում է ձև՝ x - 2 y + 11 = 0:

Պատասխան. x - 2 y + 11 = 0:

Օրինակ 4

Տրված է ուղիղ 2 3 x - y - 1 2 = 0 և այս ուղիղ գծի վրա ընկած М 0 կետը: Հայտնի է միայն այս կետի աբսցիսան, և այն հավասար է - 3-ի։ Անհրաժեշտ է որոշել տվյալ կետի օրդինատը.

Լուծում

Մ 0 կետի կոորդինատների նշանակումը դնենք x 0 և y 0։ Նախնական տվյալները ցույց են տալիս, որ x 0 = - 3: Քանի որ կետը պատկանում է տրված ուղիղ գծի, ուրեմն դրա կոորդինատները համապատասխանում են այս ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմանը։ Այդ դեպքում հավասարությունը ճշմարիտ կլինի.

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Որոշեք y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Պատասխան. - 5 2

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից անցում ուղիղ գծի այլ տեսակի հավասարումների և հակառակը

Ինչպես գիտենք, հարթության վրա նույն ուղիղ գծի համար կան մի քանի տեսակի հավասարումներ։ Հավասարման տեսակի ընտրությունը կախված է խնդրի պայմաններից. հնարավոր է ընտրել այն, որն ավելի հարմար է այն լուծելու համար։ Այստեղ է, որ հարմար է մի տեսակի հավասարումը մեկ այլ տեսակի հավասարման վերածելու հմտությունը:

Սկզբից դիտարկենք A x + B y + C = 0 ձևի ընդհանուր հավասարումից անցումը x - x 1 a x = y - y 1 a y կանոնական հավասարմանը:

Եթե ​​А ≠ 0, ապա B y տերմինը տեղափոխում ենք ընդհանուր հավասարման աջ կողմ: Ձախ կողմում փակագծերից դուրս դրեք A-ն: Արդյունքում ստանում ենք՝ A x + C A = - B y:

Այս հավասարությունը կարելի է գրել որպես համամասնություն՝ x + C A - B = y A:

Եթե ​​В ≠ 0, ապա ընդհանուր հավասարման ձախ կողմում թողնում ենք միայն A x տերմինը, մնացածը տեղափոխում ենք աջ կողմ, ստանում ենք՝ A x = - B y - C: Փակագծերից դուրս հանում ենք - B, ապա՝ A x = - B y + C B։

Եկեք վերագրենք հավասարությունը որպես համամասնություն՝ x - B = y + C B A:

Իհարկե, կարիք չկա անգիր անել ստացված բանաձեւերը։ Բավական է իմանալ գործողությունների ալգորիթմը ընդհանուր հավասարումից կանոնականին անցնելու ժամանակ։

Օրինակ 5

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը տրված է՝ 3 y - 4 = 0։ Անհրաժեշտ է այն վերածել կանոնական հավասարման։

Լուծում

Վերագրեք սկզբնական հավասարումը որպես 3 y - 4 = 0: Հաջորդը, մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի. 0 x տերմինը մնում է ձախ կողմում; իսկ աջ կողմում հանում ենք՝ փակագծերից դուրս՝ 3; մենք ստանում ենք՝ 0 x = - 3 y - 4 3:

Ստացված հավասարությունը գրենք համամասնությամբ՝ x - 3 = y - 4 3 0: Այսպիսով, մենք ստացանք կանոնական ձևի հավասարում:

Պատասխան՝ x - 3 = y - 4 3 0.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը պարամետրայինի վերածելու համար նախ անցում է կատարվում կանոնական ձևին, այնուհետև ուղիղ գծի կանոնական հավասարումից անցում է կատարում պարամետրական հավասարումների։

Օրինակ 6

Ուղիղ գիծը տրված է 2 x - 5 y - 1 = 0 հավասարմամբ: Գրե՛ք այս ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները։

Լուծում

Անցում կատարենք ընդհանուր հավասարումից կանոնականին.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Այժմ մենք վերցնում ենք ստացված կանոնական հավասարման երկու կողմերը, որոնք հավասար են λ-ի, ապա.

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Պատասխան.x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

Ընդհանուր հավասարումը կարող է փոխակերպվել ուղիղ գծի հավասարման y = k x + b թեքությամբ, բայց միայն այն դեպքում, եթե B ≠ 0: Ձախ անցման համար թողնում ենք B y տերմինը, մնացածը տեղափոխվում են աջ։ Ստանում ենք՝ B y = - A x - C: Ստացված հավասարության երկու կողմերը բաժանեք զրոյից տարբերվող B-ի` y = - A B x - C B:

Օրինակ 7

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը տրված է՝ 2 x + 7 y = 0։ Դուք պետք է փոխարկեք այդ հավասարումը թեքության հավասարման:

Լուծում

Կատարենք անհրաժեշտ գործողությունները ըստ ալգորիթմի.

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Պատասխան. y = - 2 7 x.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումից բավական է պարզապես հավասարում ստանալ x a + y b = 1 ձևի հատվածներում: Նման անցում կատարելու համար C թիվը տեղափոխում ենք հավասարության աջ կողմ, ստացված հավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք - С-ի և, վերջապես, x և y փոփոխականների գործակիցները փոխանցում ենք հայտարարներին.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - 7 y + 1 2 = 0 վերածել հատվածներով ուղիղ գծի հավասարման:

Լուծում

Տեղափոխեք 1 2 աջ կողմը՝ x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2:

Հավասարության երկու կողմերը բաժանեք -1/2-ի` x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1:

Պատասխան. x - 1 2 + y 1 14 = 1:

Ընդհանրապես, հակադարձ անցումը նույնպես հեշտ է՝ այլ տեսակի հավասարումներից ընդհանուրին։

Հատվածներով ուղիղ գծի և թեքության գործակցով հավասարումը հեշտությամբ կարելի է վերածել ընդհանուրի, պարզապես հավաքելով հավասարության ձախ կողմում գտնվող բոլոր պայմանները.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Կանոնական հավասարումը փոխակերպվում է ընդհանուրի հետևյալ սխեմայի համաձայն.

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Պարամետրիկից անցնելու համար նախ անցում է կատարվում կանոնականին, այնուհետև ընդհանուրին.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Օրինակ 9

Տրված են x = - 1 + 2 · λ y = 4 ուղիղ գծի պարամետրական հավասարումներ։ Անհրաժեշտ է գրել այս ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը։

Լուծում

Պարամետրային հավասարումներից անցում կատարենք կանոնականի.

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Կանոնականից անցնենք ընդհանուրի.

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Պատասխան. y - 4 = 0

Օրինակ 10

Տրված է ուղիղ գծի հավասարումը x 3 + y 1 2 = 1 հատվածներում: Անհրաժեշտ է անցում կատարել հավասարման ընդհանուր ձևին.

Լուծում:

Եկեք պարզապես վերաշարադրենք հավասարումը պահանջվող ձևով.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Պատասխան. 1 3 x + 2 y - 1 = 0:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման ձևավորում

Վերևում ասացինք, որ ընդհանուր հավասարումը կարելի է գրել նորմալ վեկտորի հայտնի կոորդինատներով և այն կետի կոորդինատներով, որով անցնում է ուղիղ գիծը։ Նման ուղիղ գիծը որոշվում է A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 հավասարմամբ: Այնտեղ էլ վերլուծեցինք համապատասխան օրինակը։

Այժմ մենք կքննարկենք ավելի բարդ օրինակներ, որոնցում նախ անհրաժեշտ է որոշել նորմալ վեկտորի կոորդինատները:

Օրինակ 11

Տրված է ուղիղ 2 x - 3 y + 3 3 = 0 ուղիղ գծին զուգահեռ: Հայտնի է նաև M 0 (4, 1) կետը, որով անցնում է տրված ուղիղը։ Անհրաժեշտ է գրել տրված ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում

Սկզբնական պայմանները մեզ հուշում են, որ ուղիղները զուգահեռ են, այնուհետև, որպես ուղիղ գծի նորմալ վեկտոր, որի հավասարումը պետք է գրվի, վերցնում ենք ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը n → = (2, - 3) 2 x - 3 y + 3 3 = 0: Այժմ մենք գիտենք բոլոր անհրաժեշտ տվյալները՝ ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը կազմելու համար.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Պատասխան. 2 x - 3 y - 5 = 0:

Օրինակ 12

Նշված գիծն անցնում է x - 2 3 = y + 4 5 ուղղին ուղղահայաց ծագման միջով: Տրված ուղիղ գծի համար անհրաժեշտ է կազմել ընդհանուր հավասարում։

Լուծում

Տվյալ ուղղի նորմալ վեկտորը կլինի x - 2 3 = y + 4 5 ուղղի ուղղության վեկտորը։

Այնուհետև n → = (3, 5): Ուղիղ գիծը անցնում է ծագման միջով, այսինքն. O կետով (0, 0): Կազմենք տրված ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Պատասխանել 3 x + 5 y = 0:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, խնդրում ենք ընտրել այն և սեղմել Ctrl + Enter

Թող ուղիղն անցնի M 1 (x 1; y 1) և M 2 (x 2; y 2) կետերով: M 1 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն ունի y-y 1 = ձև կ (x - x 1), (10.6)

որտեղ կ - դեռ անհայտ գործակից.

Քանի որ ուղիղ գիծն անցնում է M 2 կետով (x 2 y 2), այս կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն (10.6) հավասարումը. y 2 -y 1 = կ (x 2 -x 1):

Այստեղից մենք գտնում ենք Փոխարինելով գտնված արժեքը կ (10.6) հավասարման մեջ մենք ստանում ենք M 1 և M 2 կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Ենթադրվում է, որ այս հավասարման մեջ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Եթե ​​x 1 = x 2, ապա M 1 (x 1, y I) և M 2 (x 2, y 2) կետերով անցնող ուղիղ գիծը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին։ Դրա հավասարումն ունի ձև x = x 1 .

Եթե ​​y 2 = y I, ապա ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է գրել որպես y = y 1, M 1 M 2 ուղիղը զուգահեռ է աբսցիսայի առանցքին:

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում

Թող ուղիղ գիծը հատի Ox առանցքը M 1 կետում (a; 0), իսկ Oy առանցքը M 2 կետում (0; b): Հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
դրանք.
... Այս հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում, քանի որ a և b թվերը ցույց են տալիս, թե որ հատվածներն են կտրված ուղիղ գծով կոորդինատային առանցքների վրա.

Տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

Գտնենք Mo (x O; y o) տրված ոչ զրոյական վեկտորի n = (A; B) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը:

Վերցրեք կամայական M (x; y) կետը ուղիղ գծի վրա և հաշվի առեք M 0 M վեկտորը (x - x 0; y - y o) (տես նկ. 1): Քանի որ n և M o M վեկտորները ուղղահայաց են, նրանց սկալյար արտադրյալը զրո է.

A (x - xo) + B (y - yo) = 0: (10.8)

Կանչվում է հավասարումը (10.8): տրված վեկտորին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը .

n = (A; B) վեկտորը, որը ուղղահայաց է ուղիղ գծին, կոչվում է նորմալ այս գծի նորմալ վեկտորը .

Հավասարումը (10.8) կարող է վերաշարադրվել որպես Ax + Wu + C = 0 , (10.9)

որտեղ A և B-ը նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են, C = -Aх о - Ву о - ազատ անդամ: Հավասարում (10.9) ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն է(տես նկ. 2):

Նկ. 1 Նկ. 2

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ

,

Որտեղ
- կետի կոորդինատները, որով անցնում է ուղիղ գիծը, և
ուղղության վեկտորն է:

Երկրորդ կարգի կորերի շրջան

Շրջանագիծը տվյալ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որը կոչվում է կենտրոն։

Շառավիղի շրջանագծի կանոնական հավասարումը Ռ կենտրոնացած կետում
:

Մասնավորապես, եթե ցցի կենտրոնը համընկնում է ծագման հետ, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Էլիպս

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի բազմություն է, որոնցից յուրաքանչյուրից մինչև տրված երկու կետերի հեռավորությունների գումարը և , որոնք կոչվում են օջախներ, ունեն հաստատուն
ավելի մեծ, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը
.

Էլիպսի կանոնական հավասարումը, որի օջախները գտնվում են Օքսի առանցքի վրա, իսկ կոորդինատների սկզբնակետը մեջտեղում գտնվող օջախների միջև ունի ձև.
Գ դեա կիսամյակային հիմնական առանցքի երկարությունը;բ - կիսափոքր առանցքի երկարությունը (նկ. 2):

Հարթության վրա գծի հավասարումը.

Ինչպես գիտեք, ցանկացած կոորդինատային համակարգում հարթության ցանկացած կետ որոշվում է երկու կոորդինատներով: Կոորդինատների համակարգերը կարող են տարբեր լինել՝ կախված տվյալների և ծագման ընտրությունից:

Սահմանում. Հավասարման գիծկոչվում է y = f (x) հարաբերակցությունը այն կետերի կոորդինատների միջև, որոնք կազմում են այս ուղիղը:

Նկատի ունեցեք, որ ուղիղի հավասարումը կարող է արտահայտվել պարամետրային կերպով, այսինքն՝ յուրաքանչյուր կետի յուրաքանչյուր կոորդինատ արտահայտվում է ինչ-որ անկախ պարամետրով։ տ.

Տիպիկ օրինակ է շարժվող կետի հետագիծը։ Այս դեպքում ժամանակը պարամետրի դեր է խաղում։

Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա.

Սահմանում. Հարթության ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

ընդ որում, A, B հաստատունները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, այսինքն. А 2 + В 2  0. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Կախված A, B և C հաստատունների արժեքներից, հնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

C = 0, A  0, B  0 - գիծն անցնում է սկզբնակետով

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - ուղիղ գիծը զուգահեռ է Ox առանցքին

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) - ուղիղ գիծը զուգահեռ է Oy առանցքին:

B = C = 0, A  0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Oy առանցքի հետ

A = C = 0, B  0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Ox առանցքի հետ

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված տվյալ սկզբնական պայմաններից:

Կետի և նորմալ վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Սահմանում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներ ունեցող վեկտորը ուղղահայաց է Ax + Vy + C = 0 հավասարման միջոցով տրված ուղիղ գծին:

Օրինակ.Գտե՛ք վեկտորին ուղղահայաց A (1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. (3, -1).

A = 3 և B = -1 դեպքում մենք կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: C գործակիցը գտնելու համար մենք փոխարինում ենք տրված A կետի կոորդինատները ստացված արտահայտության մեջ:

Ստանում ենք՝ 3 - 2 + C = 0, հետևաբար C = -1։

Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու կետեր M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասարվի զրոյի:

Հարթության վրա վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1  x 2 և x = x 1, եթե x 1 = x 2:

Մաս
= k կոչվում է լանջինուղիղ.

Օրինակ.Գտե՛ք A (1, 2) և B (3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումն ըստ կետի և թեքության:

Եթե ​​Ax + Vy + C = 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը վերածվում է ձևի.

և նշանակել
, ապա ստացված հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը թեքության հետկ.

Կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Համեմատելով պարբերության հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել ուղիղ գծի ճշգրտում կետի և ուղղության վեկտորի միջոցով:

Սահմանում. Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր ( 1,  2), որի բաղադրիչները բավարարում են А 1 + В 2 = 0 պայմանը կոչվում է ուղղի ուղղորդող վեկտոր։

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ.Գտե՛ք ուղղության վեկտորով ուղիղ գծի հավասարումը (1, -1) և անցնելով Ա կետով (1, 2):

Ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը կփնտրվի ձևով. Ax + By + C = 0: Ըստ սահմանման, գործակիցները պետք է բավարարեն պայմանները.

1A + (-1) B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև տողի հավասարումն ունի ձև՝ Ax + Ay + C = 0, կամ x + y + C / A = 0:

x = 1, y = 2 համար մենք ստանում ենք C / A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ax + Vy + C = 0 C 0, ապա, բաժանելով –C-ի, ստանում ենք.
կամ

, որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ գործակիցը աՕքսի առանցքի հետ ուղիղ գծի հատման կետի կոորդինատն է, և բ- Oy առանցքի հետ ուղիղ գծի հատման կետի կոորդինատը.

Օրինակ.Տրված է x - y + 1 = 0 ուղիղի ընդհանուր հավասարումը։Գտե՛ք այս ուղիղի հավասարումը հատվածներով։

C = 1,
, a = -1, b = 1:

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերն էլ Ax + Vy + C = 0 բաժանվում են թվի վրա
որը կոչվում է նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcos + ysin - p = 0 -

ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի  նշանը պետք է ընտրել այնպես, որ С< 0.

p-ն սկզբնակետից դեպի ուղիղ իջած ուղղահայաց երկարությունն է, իսկ -ն այս ուղղահայաց կողմից Ox առանցքի դրական ուղղության հետ ձևավորված անկյունն է։

Օրինակ.Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0։ Պահանջվում է գրել այս ուղիղ գծի տարբեր տեսակի հավասարումներ։

այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

այս ուղիղ գծի հավասարումը թեքության հետ. (բաժանել 5-ի)

Գծի նորմալ հավասարում.

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չէ, որ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնող ուղիղները։

Օրինակ.Ուղիղ գիծը կտրում է հավասար դրական հատվածները կոորդինատային առանցքների վրա: Կազմեք ուղիղ գծի հավասարում, եթե այս հատվածներով ձևավորված եռանկյան մակերեսը 8 սմ 2 է:

Ուղիղ գծի հավասարումը ունի ձև.
, a = b = 1; ab / 2 = 8; a = 4; -4.

a = -4-ը չի համապատասխանում խնդրի հայտարարությանը:

Ընդամենը:
կամ x + y - 4 = 0:

Օրինակ.Կազմե՛ք A (-2, -3) կետով անցնող ուղիղ գծի և սկզբնագծի հավասարումը:

Ուղիղ գծի հավասարումը ունի ձև.
, որտեղ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Ինքնաթիռի ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում. Եթե ​​տրված են երկու ուղիղներ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս ուղիղների միջև սուր անկյունը կսահմանվի որպես.

.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2:

Երկու ուղիղ գծեր ուղղահայաց են, եթե k 1 = -1 / k 2:

Թեորեմ. Ուղիղ գծեր Ax + Vu + C = 0 և A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 զուգահեռ են, երբ A գործակիցները համաչափ են 1 =  Ա, Բ 1 =  Բ. Եթե նաև Գ 1 =  C, ապա ուղիղ գծերը համընկնում են:

Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

ուղղահայաց այս գծին.

Սահմանում. M 1 (x 1, y 1) կետով անցնող և y = kx + b ուղիղին ուղղահայաց ուղիղը ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող:

Թեորեմ. Եթե ​​M ​​կետը (x 0 , ժամը 0 ), այնուհետև Ax + Vy + C = 0 ուղիղ գծի հեռավորությունը սահմանվում է որպես

.

Ապացույց. Թող M 1 կետը (x 1, y 1) լինի M կետից տրված ուղիղ գծի վրա ընկած ուղղահայաց հիմքը: Այնուհետև հեռավորությունը M և M 1 կետերի միջև.

x 1 և y 1 կոորդինատները կարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց M 0 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

.

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ.Որոշե՛ք ուղիղ գծերի միջև եղած անկյունը՝ y = -3x + 7; y = 2x + 1:

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  =  / 4.

Օրինակ.Ցույց տվեք, որ 3x - 5y + 7 = 0 և 10x + 6y - 3 = 0 ուղիղները ուղղահայաց են:

Մենք գտնում ենք՝ k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, հետևաբար, ուղիղները ուղղահայաց են։

Օրինակ.Տրված են A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) եռանկյան գագաթները։ Գտեք C գագաթից գծված բարձրության հավասարումը:

Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը.
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Պահանջվող բարձրության հավասարումն է՝ Ax + By + C = 0 կամ y = kx + b:

k = ... Այնուհետև y =
... Որովհետեւ բարձրությունը անցնում է C կետով, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը.
որտեղից b = 17. Ընդամենը:
.

Պատասխան՝ 3x + 2y - 34 = 0:

Անալիտիկ երկրաչափություն տարածության մեջ.

Տիեզերքի գծի հավասարումը.

Տիեզերքում ուղիղ գծի հավասարումը կետի երկայնքով և

ուղղորդող վեկտոր.

Վերցրեք կամայական գիծ և վեկտոր (m, n, p) տրված ուղիղին զուգահեռ: Վեկտոր կանչեց ուղղության վեկտորուղիղ.

Ուղիղ գծի վրա վերցրեք երկու կամայական կետեր M 0 (x 0, y 0, z 0) և M (x, y, z):

զ

Մ 1

Նշենք այս կետերի շառավղային վեկտորները որպես և , ակնհայտ է, որ - =
.

Որովհետեւ վեկտորներ
և համագիծ, ապա կապը
= t, որտեղ t-ը որոշ պարամետր է:

Ընդհանուր, կարող եք գրել. = + տ.

Որովհետեւ այս հավասարումը բավարարվում է ուղիղ գծի ցանկացած կետի կոորդինատներով, ապա ստացված հավասարումը. Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարում.

Այս վեկտորային հավասարումը կարող է ներկայացվել կոորդինատային ձևով.

Փոխակերպելով այս համակարգը և հավասարեցնելով t պարամետրի արժեքները, մենք ստանում ենք ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ տարածության մեջ.

.

Սահմանում. Ուղղության կոսինուսներուղիղ գիծը վեկտորի ուղղության կոսինուսներն են , որը կարելի է հաշվարկել բանաձևերով.

;

.

Այստեղից ստանում ենք՝ m:n:p = cos:cos:cos:

M, n, p թվերը կոչվում են լանջերինուղիղ. Որովհետեւ ոչ զրոյական վեկտոր է, ապա m, n և p չեն կարող միաժամանակ զրո լինել, բայց այս թվերից մեկը կամ երկուսը կարող են լինել զրո: Այս դեպքում ուղիղ գծի հավասարման մեջ համապատասխան համարիչները պետք է հավասարվեն զրոյի։

Ուղիղ գծի հավասարումը տարածության մեջ

երկու կետի միջոցով.

Եթե ​​տարածության ուղիղ գծի վրա մենք նշում ենք երկու կամայական կետեր M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա այդ կետերի կոորդինատները պետք է բավարարեն ուղիղ գծի հավասարումը. ստացված վերևում.

.

Բացի այդ, M 1 կետի համար կարող եք գրել.

.

Այս հավասարումները միասին լուծելով՝ ստանում ենք.

.

Սա տարածության երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

Տիեզերքում ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներ.

Ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է համարել երկու հարթությունների հատման գծի հավասարում։

Ինչպես նշվեց վերևում, վեկտորի տեսքով հարթությունը կարող է տրվել հետևյալ հավասարմամբ.

+ D = 0, որտեղ

- ինքնաթիռը նորմալ; - հարթության կամայական կետի շառավիղի վեկտորը: