Ինչպես գտնել ընդհանուր մատրիցային լուծումներ Գաուսի մեթոդով: Գաուսի մեթոդը կամ ինչու երեխաները չեն հասկանում մաթ

Այս հոդվածում մեթոդը դիտարկվում է որպես գծային հավասարումների համակարգեր (SLAE) լուծելու միջոց։ Մեթոդը վերլուծական է, այսինքն՝ թույլ է տալիս ընդհանուր ձևով գրել լուծման ալգորիթմ, այնուհետև այնտեղ արժեքները փոխարինել կոնկրետ օրինակներից: Ի տարբերություն մատրիցային մեթոդի կամ Կրամերի բանաձեւերի, Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգը լուծելիս կարելի է աշխատել նրանց հետ, որոնք ունեն անսահման շատ լուծումներ։ Կամ ընդհանրապես չունես:

Ի՞նչ է նշանակում լուծել Գաուսի մեթոդով:

Նախ, դուք պետք է գրեք մեր հավասարումների համակարգը Այն կարծես այսպիսին է. Համակարգը վերցված է.

Գործակիցները գրված են աղյուսակի տեսքով, իսկ աջում՝ առանձին սյունակում՝ ազատ տերմիններ։ Ազատ անդամներով սյունակը առանձնացված է հարմարության համար:Այս սյունակը ներառող մատրիցը կոչվում է ընդլայնված:

Այնուհետև, գործակիցներով հիմնական մատրիցը պետք է կրճատվի մինչև վերին եռանկյունաձև ձևը: Սա Գաուսի մեթոդով համակարգի լուծման հիմնական կետն է: Պարզ ասած, որոշակի մանիպուլյացիաներից հետո մատրիցը պետք է նայվի այնպես, որ նրա ստորին ձախ մասում միայն զրոներ լինեն.

Այնուհետև, եթե նորից գրեք նոր մատրիցը որպես հավասարումների համակարգ, կնկատեք, որ վերջին տողում արդեն կա արմատներից մեկի արժեքը, որն այնուհետև փոխարինվում է վերևի հավասարման մեջ, կա ևս մեկ արմատ և այլն: վրա.

Սա Գաուսի լուծման շատ ընդհանուր նկարագրություն է: Ի՞նչ կլինի, եթե համակարգը հանկարծ լուծում չունենա: Թե՞ դրանք անսահման շատ են։ Այս և շատ այլ հարցերի պատասխանելու համար անհրաժեշտ է առանձին դիտարկել բոլոր այն տարրերը, որոնք օգտագործվում են Գաուսի մեթոդի լուծման ժամանակ։

Մատրիցներ, դրանց հատկությունները

Մատրիցայում թաքնված իմաստ չկա: Դա պարզապես հարմար միջոց է տվյալների գրանցման համար՝ հետագայում մանիպուլյացիայի համար: Նրանցից վախենալու կարիք չկա անգամ դպրոցականները։

Մատրիցը միշտ ուղղանկյուն է, քանի որ այդպես ավելի հարմար է։ Նույնիսկ Գաուսի մեթոդով, որտեղ ամեն ինչ հանգում է եռանկյուն մատրիցայի կառուցմանը, գրառման մեջ հայտնվում է ուղղանկյուն, միայն զրոներով այն տեղում, որտեղ թվեր չկան: Զրոները գրելու կարիք չունեն, բայց դրանք ենթադրվում են:

Մատրիցը չափված է. Դրա «լայնությունը» տողերի քանակն է (մ), «երկարությունը»՝ սյունակների թիվը (n): Այնուհետև A մատրիցի չափը (դրանց նշանակման համար սովորաբար օգտագործվում են մեծ լատինատառ տառերը) կնշանակվի որպես A m × n: Եթե m = n, ապա այս մատրիցը քառակուսի է, իսկ m = n-ը նրա կարգն է: Համապատասխանաբար, A մատրիցի ցանկացած տարր կարելի է նշել իր տողի և սյունակի թվով. a xy; x - տողի համարը, փոփոխվող, y - սյունակի համարը, փոփոխվող:

Բ-ն որոշման հիմնական կետը չէ։ Սկզբունքորեն, բոլոր գործողությունները կարող են ուղղակիորեն կատարվել հենց հավասարումների հետ, բայց գրառումը կստացվի, որ շատ ավելի ծանրաբեռնված է, և դրա մեջ շատ ավելի հեշտ կլինի շփոթել:

Որոշիչ

Մատրիցն ունի նաև որոշիչ. Սա շատ կարևոր հատկանիշ է։ Հիմա չարժե պարզել դրա իմաստը, պարզապես կարող եք ցույց տալ, թե ինչպես է այն հաշվարկվում, ապա ասել, թե մատրիցայի ինչ հատկություններ է այն սահմանում։ Որոշիչը գտնելու ամենահեշտ ձևը անկյունագծերի միջոցով է: Մատրիցայում գծված են երևակայական անկյունագծեր. Նրանցից յուրաքանչյուրի տարրերը բազմապատկվում են, այնուհետև ավելացվում են ստացված արտադրանքները՝ աջ թեքությամբ անկյունագծերը՝ գումարած նշանով, ձախ թեքությամբ՝ մինուս նշանով:

Չափազանց կարևոր է նշել, որ որոշիչը կարող է հաշվարկվել միայն քառակուսի մատրիցով: Ուղղանկյուն մատրիցայի համար կարող եք անել հետևյալը. ընտրել տողերի քանակից և սյունակների քանակից ամենաքիչը (թող լինի k), այնուհետև մատրիցում կամայական կերպով նշեք k սյունակ և k տող: Ընտրված սյունակների և տողերի խաչմերուկում գտնվող տարրերը կկազմեն նոր քառակուսի մատրիցա: Եթե նման մատրիցայի որոշիչը ոչ զրոյական թիվ է, այն կկոչվի սկզբնական ուղղանկյուն մատրիցի հիմնական մինոր:

Նախքան Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծումը անցնելը, այն չի խանգարում որոշիչի հաշվարկին։ Եթե պարզվի, որ այն զրո է, ապա անմիջապես կարող ենք ասել, որ մատրիցն ունի կամ անսահման թվով լուծումներ, կամ ընդհանրապես չկան։ Նման տխուր դեպքում դուք պետք է ավելի հեռուն գնաք և իմանաք մատրիցայի աստիճանի մասին:

Համակարգի դասակարգում

Գոյություն ունի մատրիցայի աստիճան: Սա նրա ոչ զրոյական որոշիչի առավելագույն կարգն է (եթե հիշենք հիմնական մինորը, կարող ենք ասել, որ մատրիցայի աստիճանը հիմնական փոքրի կարգն է):

Ի դեպ, ըստ աստիճանի, SLAE-ն կարելի է բաժանել հետևյալի.

Համատեղ. ՈւնենալՀամատեղելի համակարգերում հիմնական մատրիցայի աստիճանը (կազմված է միայն գործակիցներից) համընկնում է ընդլայնվածի (ազատ անդամների սյունակով) աստիճանի հետ։ Նման համակարգերը լուծում ունեն, բայց պարտադիր չէ, որ մեկը, հետևաբար, համատեղ համակարգերը լրացուցիչ բաժանվում են.
- որոշակի- ունենալ մեկ լուծում. Որոշ համակարգերում մատրիցայի աստիճանը և անհայտների թիվը (կամ սյունակների թիվը, որոնք նույնն են) հավասար են.
- չսահմանված -անսահման թվով լուծումներով։ Նման համակարգերի համար մատրիցների աստիճանն ավելի քիչ է, քան անհայտների թիվը:
Անհամատեղելի. ՈւնենալՆման համակարգերում հիմնական և ընդլայնված մատրիցների շարքերը չեն համընկնում: Անհամատեղելի համակարգերը լուծումներ չունեն։

Գաուսի մեթոդը լավ է, քանի որ այն թույլ է տալիս ստանալ կա՛մ համակարգի անհամատեղելիության միանշանակ ապացույց (առանց մեծ մատրիցների որոշիչները հաշվարկելու), կա՛մ ընդհանուր լուծում անսահման թվով լուծումներ ունեցող համակարգի համար:

Տարրական փոխակերպումներ

Համակարգի լուծմանն ուղղակիորեն անցնելուց առաջ դուք կարող եք այն դարձնել ավելի քիչ դժվար և ավելի հարմար հաշվարկների համար: Սա ձեռք է բերվում տարրական փոխակերպումների միջոցով, այնպես, որ դրանց իրականացումը ոչ մի կերպ չի փոխում վերջնական պատասխանը: Հարկ է նշել, որ վերը նշված տարրական փոխակերպումներից մի քանիսը վավեր են միայն մատրիցների համար, որոնց աղբյուրը հենց SLAE-ն էր։ Ահա այս փոխակերպումների ցանկը.

Գծերի փոխարկում. Ակնհայտ է, որ եթե դուք փոխեք հավասարումների կարգը համակարգի նշումով, ապա դա որևէ կերպ չի ազդի լուծման վրա: Հետևաբար, այս համակարգի մատրիցայում կարելի է նաև տողեր փոխանակել՝ չմոռանալով, իհարկե, ազատ անդամների սյունակի մասին։
Գծի բոլոր տարրերի բազմապատկումը ինչ-որ գործակցով: Շատ օգտակար! Այն կարող է օգտագործվել մատրիցայում մեծ թվերը նվազեցնելու կամ զրոները հեռացնելու համար: Շատ լուծումներ, ինչպես միշտ, չեն փոխվի, և հետագա գործողությունները կդառնան ավելի հարմար։ Գլխավորն այն է, որ գործակիցը հավասար չէ զրոյի։
Ջնջել տողերը համամասնական գործակիցներով: Սա մասամբ բխում է նախորդ կետից։ Եթե մատրիցում երկու կամ ավելի տողեր ունեն համամասնական գործակիցներ, ապա տողերից մեկը համամասնության գործակցով բազմապատկելիս/բաժանելիս ստացվում են երկու (կամ, կրկին, ավելի) բացարձակապես նույնական տողեր, և դուք կարող եք հեռացնել ավելորդները՝ թողնելով միայն. մեկ.
Չեղյալ տողի հեռացում: Եթե փոխակերպումների ժամանակ ինչ-որ տեղ ստացվել է մի տող, որտեղ բոլոր տարրերը, ներառյալ ազատ անդամը, զրո են, ապա այդպիսի տողը կարելի է անվանել զրո և դուրս շպրտվել մատրիցից։
Մի շարքի տարրերին գումարելով մյուսի տարրերը (ըստ համապատասխան սյունակների), բազմապատկված որոշակի գործակցով: Բոլորից ամենանուրբ և ամենակարևոր կերպարանափոխությունը: Արժե ավելի մանրամասն անդրադառնալ։

Գործակով բազմապատկված տողի ավելացում

Հասկանալու համար, արժե քայլ առ քայլ ձեռնարկել այս գործընթացը: Մատրիցից վերցված են երկու տող.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | բ 2

Ենթադրենք, որ անհրաժեշտ է առաջինը ավելացնել երկրորդին՝ բազմապատկելով «-2» գործակցով։

a «21 = a 21 + -2 × a 11

a «22 = a 22 + -2 × a 12

a «2n = a 2n + -2 × a 1n

Այնուհետև մատրիցում երկրորդ շարքը փոխարինվում է նորով, իսկ առաջինը մնում է անփոփոխ:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a «21 a» 22 ... a «2n | b 2

Հարկ է նշել, որ բազմապատկման գործակիցը կարելի է ընտրել այնպես, որ երկու տողերի գումարման արդյունքում նոր տողի տարրերից մեկը հավասար լինի զրոյի։ Հետևաբար, հնարավոր է հավասարում ստանալ մի համակարգում, որտեղ կլինի մեկ անհայտ պակաս: Եվ եթե դուք ստանում եք երկու նման հավասարումներ, ապա գործողությունը կարելի է նորից կատարել և ստանալ հավասարում, որն արդեն երկու անհայտ պակաս կպարունակի։ Եվ եթե ամեն անգամ, երբ դուք դառնում եք զրոյական մեկ գործակից բոլոր տողերի համար, որոնք ավելի ցածր են, քան բնօրինակը, ապա դուք կարող եք, ինչպես քայլերը, իջնել մատրիցայի ամենաներքևը և ստանալ հավասարում մեկ անհայտով: Սա կոչվում է համակարգի լուծում Գաուսի մեթոդով:

Ընդհանրապես

Թող համակարգ լինի։ Այն ունի m հավասարումներ և n անհայտ արմատներ: Այն կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Հիմնական մատրիցը կազմված է համակարգի գործակիցներից: Ընդլայնված մատրիցին ավելացվում է ազատ անդամների սյունակ և հարմարության համար առանձնացված տողով:

մատրիցայի առաջին շարքը բազմապատկվում է k = (-a 21 / a 11) գործակցով;
ավելացվում են մատրիցայի առաջին փոփոխված և երկրորդ տողերը.
երկրորդ տողի փոխարեն մատրիցա է մտցվում նախորդ պարբերության գումարման արդյունքը.
այժմ նոր երկրորդ շարքի առաջին գործակիցը 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 է:

Այժմ կատարվում է փոխակերպումների նույն շարքը, ներգրավված են միայն առաջին և երրորդ տողերը։ Համապատասխանաբար, ալգորիթմի յուրաքանչյուր քայլում a 21 տարրը փոխարինվում է 31-ով: Այնուհետև ամեն ինչ կրկնվում է 41, ... մ1-ի համար: Ստացվում է մատրիցա, որտեղ տողերի առաջին տարրը հավասար է զրոյի: Այժմ մենք պետք է մոռանանք թիվ մեկ տողի մասին և կատարենք նույն ալգորիթմը՝ սկսած երկրորդ տողից.

գործակից k = (-a 32 / a 22);
երկրորդ փոփոխված տողը ավելացվում է «ընթացիկ» տողին.
գումարման արդյունքը փոխարինվում է երրորդ, չորրորդ և այլն տողերով, մինչդեռ առաջինը և երկրորդը մնում են անփոփոխ.
մատրիցայի շարքերում առաջին երկու տարրերն արդեն հավասար են զրոյի։

Ալգորիթմը պետք է կրկնվի այնքան ժամանակ, մինչև k = (-a m, m-1 / a mm) գործակիցը հայտնվի: Սա նշանակում է, որ վերջին անգամ ալգորիթմը կատարվել է միայն ստորին հավասարման համար։ Մատրիցն այժմ եռանկյունու տեսք ունի կամ ունի աստիճանավոր ձև: Ներքեւի տողը պարունակում է a mn × x n = b m հավասարությունը: Հայտնի են գործակիցը և կտրվածքը, և դրանց միջոցով արտահայտվում է արմատը՝ x n = b m / a mn: Ստացված արմատը փոխարինվում է վերին շարքում՝ գտնելու x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1: Եվ այսպես՝ անալոգիայով. յուրաքանչյուր հաջորդ տողում կա նոր արմատ, և երբ հասնում ես համակարգի «վերևին», կարող ես գտնել բազմաթիվ լուծումներ։ Դա կլինի միակը։

Երբ լուծումներ չկան

Եթե մատրիցային տողերից մեկում բոլոր տարրերը, բացառությամբ ազատ անդամի, հավասար են զրոյի, ապա այս շարքին համապատասխանող հավասարումն ունի 0 = b: Այն լուծում չունի։ Եվ քանի որ նման հավասարումը պարփակված է համակարգի մեջ, ուրեմն ամբողջ համակարգի լուծումների բազմությունը դատարկ է, այսինքն՝ այլասերված։

Երբ լուծումներն անվերջ են

Կարող է պարզվել, որ կրճատված եռանկյուն մատրիցում հավասարման մեկ տարր-գործակից ունեցող տողեր չկան և մեկ ազատ անդամ: Կան միայն այնպիսի տողեր, որոնք վերաշարադրվելիս կունենան երկու կամ ավելի փոփոխականներով հավասարման ձև։ Սա նշանակում է, որ համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։ Այս դեպքում պատասխանը կարող է տրվել ընդհանուր լուծման տեսքով. Ինչպե՞ս դա անել:

Մատրիցայի բոլոր փոփոխականները բաժանված են հիմնական և անվճար: Հիմնականը նրանք են, որոնք գտնվում են աստիճանավոր մատրիցայի տողերի «եզրին»: Մնացածն անվճար է։ Ընդհանուր լուծման մեջ հիմնական փոփոխականները գրվում են ազատների տեսքով։

Հարմարության համար մատրիցը նախ վերագրվում է հավասարումների համակարգին: Հետո դրանցից վերջինում, որտեղ մնում է միայն մեկ հիմնական փոփոխական, այն մնում է մի կողմում, իսկ մնացած ամեն ինչը փոխանցվում է մյուսին։ Սա արվում է յուրաքանչյուր հավասարման համար մեկ հիմնական փոփոխականով: Այնուհետև, հնարավորության դեպքում, դրա համար ստացված արտահայտությունը փոխարինվում է մնացած հավասարումների մեջ, որտեղ հնարավոր է, հիմնական փոփոխականի փոխարեն: Եթե արդյունքում նորից հայտնվում է մի արտահայտություն, որը պարունակում է միայն մեկ հիմնական փոփոխական, այն նորից արտահայտվում է այնտեղից և այդպես շարունակ, մինչև յուրաքանչյուր հիմնական փոփոխական գրվի որպես ազատ փոփոխականներով արտահայտություն։ Սա SLAE-ի ընդհանուր լուծումն է։

Դուք կարող եք նաև գտնել համակարգի հիմնական լուծումը՝ ազատ փոփոխականներին տալ ցանկացած արժեք, այնուհետև այս կոնկրետ դեպքում հաշվարկել հիմնական փոփոխականների արժեքները: Անսահման շատ մասնավոր լուծումներ կան։

Լուծում` հիմնված կոնկրետ օրինակների վրա

Ահա հավասարումների համակարգ.

Հարմարության համար ավելի լավ է անմիջապես կազմել իր մատրիցը

Հայտնի է, որ Գաուսի մեթոդով լուծելիս փոխակերպումների վերջում առաջին տողին համապատասխանող հավասարումը կմնա անփոփոխ։ Հետևաբար, ավելի ձեռնտու կլինի, եթե մատրիցայի վերին ձախ տարրը ամենափոքրն է, ապա գործողություններից հետո մնացած տողերի առաջին տարրերը կվերանան: Սա նշանակում է, որ կազմված մատրիցայում ձեռնտու կլինի առաջին շարքը փոխարինել երկրորդով։

երկրորդ տող: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

ա «21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a "22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

ա «23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b «2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

երրորդ տող՝ k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5

a «3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

ա «3 2 = ա 3 2 + կ × ա 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a «3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b «3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Այժմ, որպեսզի չշփոթեք, անհրաժեշտ է գրել մատրիցա՝ փոխակերպումների միջանկյալ արդյունքներով։

Ակնհայտ է, որ նման մատրիցը կարելի է ավելի ընթեռնելի դարձնել որոշ գործողությունների օգնությամբ։ Օրինակ, երկրորդ տողից կարող եք հեռացնել բոլոր «մինուսները»՝ յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկելով «-1»-ով։

Հարկ է նաև նշել, որ երրորդ տողում բոլոր տարրերը երեքի բազմապատիկ են։ Այնուհետև կարող եք կրճատել տողը այս թվով, յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկելով «-1/3»-ով (մինուս - միևնույն ժամանակ բացասական արժեքները հեռացնելու համար):

Այն շատ ավելի գեղեցիկ տեսք ունի: Այժմ մենք պետք է հանգիստ թողնենք առաջին տողը և աշխատենք երկրորդի և երրորդի հետ: Խնդիրն է՝ երրորդ տողին ավելացնել երկրորդը՝ բազմապատկված նման գործակցով, որպեսզի a 32 տարրը հավասարվի զրոյի։

k = (-a 32 / a 22) = (-3 / 7) = -3/7 կոտորակներ, և միայն ավելի ուշ, երբ պատասխանները ստացվեն, որոշեք, թե արժե կլորացնել և թարգմանել նշման այլ ձևով)

ա «32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

ա «33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

բ «3 = բ 3 + կ × բ 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Մատրիցը կրկին գրվում է նոր արժեքներով:

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ինչպես տեսնում եք, ստացված մատրիցն արդեն ունի աստիճանական ձև: Հետևաբար, համակարգի հետագա վերափոխումները Գաուսի մեթոդով չեն պահանջվում։ Այն, ինչ դուք կարող եք անել այստեղ, երրորդ շարքից հանել «-1/7» ընդհանուր գործակիցն է:

Հիմա ամեն ինչ գեղեցիկ է։ Հարցը փոքր է՝ նորից գրել մատրիցը հավասարումների համակարգի տեսքով և հաշվարկել արմատները

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Ալգորիթմը, որով այժմ կգտնվեն արմատները, կոչվում է հակադարձ շարժում Գաուսի մեթոդով: Հավասարումը (3) պարունակում է z-ի արժեքը.

y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9

Եվ առաջին հավասարումը թույլ է տալիս գտնել x.

x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Մենք իրավունք ունենք նման համակարգը անվանել միասնական, և նույնիսկ որոշակի, այսինքն՝ ունենալ եզակի լուծում։ Պատասխանը գրված է հետևյալ ձևով.

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9:

Չսահմանված համակարգի օրինակ

Վերլուծվել է Գաուսի մեթոդով որոշակի համակարգի լուծման տարբերակը, այժմ անհրաժեշտ է դիտարկել այն դեպքը, եթե համակարգը անորոշ է, այսինքն՝ դրա համար կարելի է անսահման շատ լուծումներ գտնել։

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Համակարգի ձևն արդեն իսկ տագնապալի է, քանի որ անհայտների թիվը n = 5, իսկ համակարգի մատրիցայի աստիճանն արդեն իսկ այս թվից քիչ է, քանի որ տողերի թիվը m = 4 է, այսինքն՝ Որոշիչ-քառակուսու մեծագույն կարգը 4-ն է: Այսպիսով, կան անսահման շատ լուծումներ, և անհրաժեշտ է փնտրել դրա ընդհանուր տեսքը: Գծային հավասարումների Գաուսի մեթոդը թույլ է տալիս դա անել:

Նախ, ինչպես միշտ, կազմվում է ընդլայնված մատրիցա:

Երկրորդ տող՝ k = (-a 21 / a 11) = -3 գործակից: Երրորդ տողում առաջին տարրը նույնիսկ փոխակերպումներից առաջ է, այնպես որ պետք չէ որևէ բանի դիպչել, պետք է թողնել այնպես, ինչպես կա։ Չորրորդ տող՝ k = (-a 4 1 / a 11) = -5

Առաջին շարքի տարրերը հերթով բազմապատկելով նրանց յուրաքանչյուր գործակիցով և գումարելով դրանք պահանջվող տողերով՝ ստանում ենք հետևյալ ձևի մատրիցա.

Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ, երրորդ և չորրորդ տողերը կազմված են միմյանց համաչափ տարրերից։ Երկրորդն ու չորրորդը ընդհանուր առմամբ նույնն են, ուստի դրանցից մեկը կարելի է անմիջապես հեռացնել, իսկ մնացածը բազմապատկել «-1» գործակցով և ստանալ թիվ 3 տողը։ Եվ կրկին թողնել երկու նույնական տողերից մեկը։

Արդյունքը նման մատրիցա է. Համակարգը դեռ չի գրվել, այստեղ անհրաժեշտ է որոշել հիմնական փոփոխականները՝ կանգնած a 11 = 1 և a 22 = 1 գործակիցներով, իսկ անվճար՝ մնացած բոլորը:

Երկրորդ հավասարման մեջ կա միայն մեկ հիմք փոփոխական՝ x 2: Այսպիսով, այն կարող է արտահայտվել այնտեղից՝ գրելով x 3, x 4, x 5 փոփոխականներով, որոնք անվճար են:

Ստացված արտահայտությունը փոխարինի՛ր առաջին հավասարման մեջ:

Արդյունքը հավասարություն է, որի միակ հիմնական փոփոխականը x 1 է: Եկեք անենք նույնը, ինչ x 2-ի հետ:

Բոլոր հիմնական փոփոխականները, որոնցից երկուսը կան, արտահայտված են երեք ազատներով, այժմ պատասխանը կարող եք գրել ընդհանուր տեսքով։

Կարող եք նաև նշել համակարգի կոնկրետ լուծումներից մեկը: Նման դեպքերում, որպես կանոն, զրոները ընտրվում են որպես արժեքներ անվճար փոփոխականների համար: Այնուհետև պատասխանը կլինի.

16, 23, 0, 0, 0.

Անհետևողական համակարգի օրինակ

Գաուսի մեթոդով հավասարումների անհամապատասխան համակարգերի լուծումն ամենաարագն է։ Այն անմիջապես ավարտվում է, հենց որ փուլերից մեկում ստացվում է լուծում չունեցող հավասարում։ Այսինքն՝ արմատների հաշվարկով փուլը, որը բավականին երկար է ու մռայլ, վերանում է։ Դիտարկվում է հետևյալ համակարգը.

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ինչպես սովորաբար, կազմվում է մատրիցա.

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Եվ այն վերածվում է աստիճանական տեսքի.

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Առաջին փոխակերպումից հետո երրորդ տողը պարունակում է ձևի հավասարում

լուծում չունենալով. Հետևաբար, համակարգը անհամապատասխան է, և պատասխանը դատարկ հավաքածուն է:

Մեթոդի առավելություններն ու թերությունները

Եթե դուք ընտրում եք, թե որ մեթոդը լուծելու SLAE-ները թղթի վրա գրիչով, ապա այս հոդվածում քննարկված մեթոդն ամենագրավիչն է թվում: Տարրական փոխակերպումները շատ ավելի դժվար է շփոթել, քան երբ դուք պետք է ձեռքով որոնեք որոշիչ կամ ինչ-որ խելացի հակադարձ մատրիցա: Այնուամենայնիվ, եթե դուք օգտագործում եք ծրագրեր այս տիպի տվյալների հետ աշխատելու համար, օրինակ, աղյուսակներ, պարզվում է, որ նման ծրագրերում արդեն կան մատրիցների հիմնական պարամետրերի հաշվարկման ալգորիթմներ՝ որոշիչ, անչափահաս, հակադարձ և այլն: Եվ եթե կարող եք վստահ լինել, որ մեքենան ինքն է հաշվարկելու այդ արժեքները և չի սխալվի, ապա ավելի նպատակահարմար է օգտագործել մատրիցային մեթոդը կամ Կրամերի բանաձևերը, քանի որ դրանց կիրառումը սկսվում և ավարտվում է որոշիչների և հակադարձ մատրիցների հաշվարկով:

Դիմում

Քանի որ Գաուսի լուծումը ալգորիթմ է, իսկ մատրիցը, փաստորեն, երկչափ զանգված է, այն կարող է օգտագործվել ծրագրավորման մեջ: Բայց քանի որ հոդվածն իրեն ներկայացնում է որպես «կեղծիքների համար» ուղեցույց, ապա պետք է ասել, որ ամենապարզ տեղը, որտեղ կարելի է մեթոդը մղել, աղյուսակներն են, օրինակ՝ Excel-ը: Կրկին, ցանկացած SLAE, որը մուտքագրված է աղյուսակում մատրիցայի տեսքով, Excel-ի կողմից կդիտարկվի որպես երկչափ զանգված: Եվ նրանց հետ գործառնությունների համար կան շատ գեղեցիկ հրամաններ՝ գումարում (կարելի է ավելացնել միայն նույն չափի մատրիցաներ), բազմապատկել թվով, մատրիցային բազմապատկում (նաև որոշակի սահմանափակումներով), գտնել հակադարձ և փոխադրված մատրիցներ և, շատերը: կարևորը, որոշիչի հաշվարկը: Եթե այս աշխատատար խնդիրը փոխարինվի մեկ հրամանով, ապա հնարավոր է շատ ավելի արագ որոշել մատրիցայի աստիճանը և, հետևաբար, հաստատել դրա համատեղելիությունը կամ անհամապատասխանությունը:

Գաուսի մեթոդկատարյալ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր (SLAE) լուծելու համար։ Այն ունի մի շարք առավելություններ այլ մեթոդների նկատմամբ.

նախ, կարիք չկա նախ ուսումնասիրել հավասարումների համակարգը համատեղելիության համար.
երկրորդ, Գաուսի մեթոդը կարող է լուծել ոչ միայն SLAE-ները, որոնցում հավասարումների թիվը համընկնում է անհայտ փոփոխականների թվի հետ, և համակարգի հիմնական մատրիցը ոչ այլասերված է, այլ նաև հավասարումների համակարգեր, որոնցում հավասարումների քանակը չի համընկնում անհայտ փոփոխականների թիվը կամ հիմնական մատրիցայի որոշիչը զրո է.
երրորդ, Գաուսի մեթոդը հանգեցնում է համեմատաբար փոքր թվով հաշվողական գործողությունների արդյունքի:

Հոդվածի համառոտ ակնարկ.

Նախ՝ տալիս ենք անհրաժեշտ սահմանումները և ներկայացնում նշումը։

Այնուհետև մենք նկարագրում ենք Գաուսի մեթոդի ալգորիթմը ամենապարզ դեպքի համար, այսինքն՝ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի համար, հավասարումների թիվը, որոնցում համընկնում է անհայտ փոփոխականների թվի և համակարգի հիմնական մատրիցի որոշիչի հետ, հավասար չէ. զրո. Նման հավասարումների համակարգեր լուծելիս առավել հստակ երևում է Գաուսի մեթոդի էությունը, որը բաղկացած է անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացումից։ Ուստի Գաուսի մեթոդը կոչվում է նաև անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդ։ Եկեք մի քանի օրինակների մանրամասն լուծումներ ցույց տանք։

Եզրափակելով, եկեք դիտարկենք Գաուսի մեթոդով լուծումը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի, որոնց հիմնական մատրիցը կամ ուղղանկյուն է կամ այլասերված: Նման համակարգերի լուծումն ունի որոշ առանձնահատկություններ, որոնք մանրամասն կվերլուծենք օրինակներով։

Էջի նավարկություն.

Հիմնական սահմանումներ և նշում.

Դիտարկենք p գծային հավասարումների համակարգը n անհայտով (p կարող է հավասար լինել n).

Որտեղ անհայտ փոփոխականներ կան, թվեր են (իրական կամ բարդ) և ազատ անդամներ են:

Եթե , ապա կոչվում է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը միատարր, հակառակ դեպքում - տարասեռ.

Անհայտ փոփոխականների արժեքների բազմությունը, որի համար համակարգի բոլոր հավասարումները վերածվում են նույնականության, կոչվում է ՀԱՊԿ որոշումը.

Եթե կա գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի գոնե մեկ լուծում, ապա այն կոչվում է համատեղ, հակառակ դեպքում - անհամապատասխան.

Եթե SLAE-ն ունի յուրահատուկ լուծում, ապա այն կոչվում է որոշակի... Եթե կան մեկից ավելի լուծումներ, ապա համակարգը կոչվում է չսահմանված.

Համակարգը գրված է կոորդինատային ձևեթե այն ունի ձևը
.

Այս համակարգը ներս մատրիցային ձևգրառումն ունի ձևը, որտեղ - SLAE-ի հիմնական մատրիցը, - անհայտ փոփոխականների սյունակի մատրիցը, - ազատ տերմինների մատրիցը:

Եթե A մատրիցին որպես (n + 1)-րդ սյունակ ավելացնենք ազատ անդամների մատրից-սյունակը, ապա կստանանք այսպես կոչված. ընդլայնված մատրիցագծային հավասարումների համակարգեր։ Սովորաբար, ընդլայնված մատրիցը նշվում է T տառով, իսկ ազատ անդամների սյունակը բաժանվում է ուղղահայաց գծով մնացած սյուներից, այսինքն.

A քառակուսի մատրիցը կոչվում է այլասերվածեթե նրա որոշիչը զրո է: Եթե, ապա կոչվում է A մատրիցը ոչ այլասերված.

Հաջորդ կետը պետք է քննարկվի.

Եթե կատարում եք հետևյալ գործողությունները գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգով

փոխանակել երկու հավասարումներ,
բազմապատկել հավասարման երկու կողմերը կամայական ոչ զրոյական իրական (կամ բարդ) թվով k,
Ցանկացած հավասարման երկու կողմերին ավելացրեք մյուս հավասարման համապատասխան մասերը՝ բազմապատկելով կամայական k թվով,

ապա մենք ստանում ենք համարժեք համակարգ, որն ունի նույն լուծումները (կամ, ինչպես սկզբնականը, լուծումներ չունի):

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի ընդլայնված մատրիցայի համար այս գործողությունները կնշանակեն կատարել տարրական փոխակերպումներ տողերով.

երկու տողերի փոխակերպում տեղերում,
T մատրիցայի ցանկացած տողի բոլոր տարրերի բազմապատկում k ոչ զրոյական թվով,
մատրիցի ցանկացած տողի տարրերին ավելացնելով մեկ այլ տողի համապատասխան տարրերը` բազմապատկելով կամայական k թվով:

Այժմ կարող եք անցնել Գաուսի մեթոդի նկարագրությանը:

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծումը, որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտների թվին, իսկ համակարգի հիմնական մատրիցը՝ ոչ այլասերված, Գաուսի մեթոդով։

Ի՞նչ կանեինք մենք դպրոցում, եթե մեզ հանձնարարեին հավասարումների համակարգի լուծումը գտնել .

Ոմանք դա կանեին։

Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ հավասարման ձախ կողմում ավելացնելով առաջինի ձախ կողմը, իսկ աջ կողմը՝ աջ կողմը, մենք կարող ենք ազատվել x 2 և x 3 անհայտ փոփոխականներից և անմիջապես գտնել x 1:

Գտնված x 1 = 1 արժեքը փոխարինեք համակարգի առաջին և երրորդ հավասարումների մեջ.

Եթե համակարգի երրորդ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք -1-ով և ավելացնենք առաջին հավասարման համապատասխան մասերին, ապա կազատվենք x 3 անհայտ փոփոխականից և կարող ենք գտնել x 2.

Ստացված x 2 = 2 արժեքը փոխարինեք երրորդ հավասարման մեջ՝ գտնելու մնացյալ անհայտ x 3 փոփոխականը:

Մյուսները այլ կերպ կվարվեին:

Եկեք լուծենք համակարգի առաջին հավասարումը x 1 անհայտ փոփոխականի նկատմամբ և ստացված արտահայտությունը փոխարինենք համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներով՝ դրանցից այս փոփոխականը բացառելու համար.

Այժմ լուծենք համակարգի երկրորդ հավասարումը x 2-ի նկատմամբ և ստացված արդյունքը փոխարինենք երրորդ հավասարմամբ՝ դրանից բացառելու x 2 անհայտ փոփոխականը.

Համակարգի երրորդ հավասարումից երևում է, որ x 3 = 3: Երկրորդ հավասարումից մենք գտնում ենք , և առաջին հավասարումից մենք ստանում ենք.

Ծանոթ լուծումներ, այնպես չէ՞:

Այստեղ ամենահետաքրքիրն այն է, որ երկրորդ լուծումն ըստ էության անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդն է, այսինքն՝ Գաուսի մեթոդը։ Երբ մենք արտահայտեցինք անհայտ փոփոխականներ (առաջին x 1, հաջորդ փուլում x 2) և դրանք փոխարինեցինք համակարգի մնացած հավասարումների մեջ, այդպիսով մենք բացառեցինք դրանք: Բացառումն իրականացրեցինք մինչև այն պահը, երբ վերջին հավասարման մեջ մնաց միայն մեկ անհայտ փոփոխական։ Անհայտների հաջորդական վերացման գործընթացը կոչվում է Գաուսի մեթոդի անմիջական ընթացքով... Ուղղակի քայլն ավարտելուց հետո մենք հնարավորություն ունենք հաշվարկելու վերջին հավասարման մեջ հայտնաբերված անհայտ փոփոխականը։ Նրա օգնությամբ նախավերջին հավասարումից գտնում ենք հաջորդ անհայտ փոփոխականը և այլն։ Անհայտ փոփոխականները հաջորդաբար գտնելու գործընթացը, երբ մենք անցնում ենք վերջին հավասարումից առաջինին, կոչվում է հետամնաց Գաուսի մեթոդ.

Հարկ է նշել, որ երբ առաջին հավասարման մեջ արտահայտում ենք x 1-ը x 2-ի և x 3-ի միջոցով, իսկ հետո ստացված արտահայտությունը փոխարինում ենք երկրորդ և երրորդ հավասարումներով, ապա հետևյալ գործողությունները հանգեցնում են նույն արդյունքին.

Իրոք, նման ընթացակարգը նաև հնարավորություն է տալիս վերացնել x 1 անհայտ փոփոխականը համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներից.

Գաուսի մեթոդով անհայտ փոփոխականների վերացման նրբերանգներն առաջանում են, երբ համակարգի հավասարումները չեն պարունակում որոշ փոփոխականներ։

Օրինակ, SLAE-ում առաջին հավասարումը չի պարունակում x 1 անհայտ փոփոխականը (այլ կերպ ասած՝ դիմացի գործակիցը հավասար է զրոյի): Հետևաբար, մենք չենք կարող լուծել համակարգի առաջին հավասարումը x 1-ի նկատմամբ, որպեսզի բացառենք այս անհայտ փոփոխականը մնացած հավասարումներից: Այս իրավիճակից ելքը համակարգի հավասարումների վերադասավորումն է։ Քանի որ մենք դիտարկում ենք գծային հավասարումների համակարգեր, որոնց հիմնական մատրիցների որոշիչները ոչ զրոյական են, ուրեմն միշտ գոյություն ունի հավասարում, որում առկա է մեզ անհրաժեշտ փոփոխականը, և մենք կարող ենք վերադասավորել այս հավասարումը մեզ անհրաժեշտ դիրքին: Մեր օրինակի համար բավական է փոխել համակարգի առաջին և երկրորդ հավասարումները , ապա դուք կարող եք լուծել առաջին հավասարումը x 1-ի նկատմամբ և բացառել այն համակարգի մնացած հավասարումներից (չնայած x 1-ն արդեն բացակայում է երկրորդ հավասարման մեջ):

Հուսով ենք, որ դուք հասկանում եք էությունը:

Եկեք նկարագրենք Գաուսի մեթոդի ալգորիթմ.

Ենթադրենք՝ մենք պետք է լուծենք n գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ՝ ձևի n անհայտ փոփոխականներով։ , և թող նրա հիմնական մատրիցի որոշիչը լինի ոչ զրո:

Մենք դա կենթադրենք, քանի որ մենք միշտ կարող ենք հասնել դրան՝ վերադասավորելով համակարգի հավասարումները: Համակարգի բոլոր հավասարումներից վերացրեք x 1 անհայտ փոփոխականը՝ սկսած երկրորդից: Դա անելու համար համակարգի երկրորդ հավասարմանը ավելացնում ենք առաջինը՝ բազմապատկված, երրորդ հավասարմանը ավելացնում ենք առաջինը՝ բազմապատկած և այսպես շարունակ, n-րդ հավասարմանը ավելացնում ենք առաջինը՝ բազմապատկած։ Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը ձև է ստանում

որտեղ և .

Նույն արդյունքին կհասնեինք, եթե համակարգի առաջին հավասարման մեջ այլ անհայտ փոփոխականներով արտահայտեինք x 1 և ստացված արտահայտությունը փոխարինեինք մնացած բոլոր հավասարումներում։ Այսպիսով, x 1 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից:

Հաջորդը մենք գործում ենք նույն կերպ, բայց միայն արդյունքում ստացված համակարգի մի մասով, որը նշված է նկարում

Դա անելու համար համակարգի երրորդ հավասարմանը ավելացնում ենք երկրորդը բազմապատկված, չորրորդ հավասարմանը ավելացնում ենք երկրորդը բազմապատկած, և այսպես շարունակ, n-րդ հավասարմանը ավելացնում ենք երկրորդը բազմապատկած։ Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը ձև է ստանում

որտեղ և ... Այսպիսով, x 2 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երրորդից:

Հաջորդը, մենք անցնում ենք անհայտ x 3-ի վերացմանը, մինչդեռ մենք նույն կերպ ենք գործում նկարում նշված համակարգի մասի հետ:

Այսպիսով, մենք շարունակում ենք Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքը, մինչև համակարգը ձևավորվի

Այս պահից մենք սկսում ենք Գաուսի մեթոդի հակառակ ընթացքը. վերջին հավասարումից մենք հաշվում ենք xn, քանի որ, օգտագործելով xn-ի ստացված արժեքը, նախավերջին հավասարումից մենք գտնում ենք x n-1 և այլն, գտնում ենք x 1-ից: առաջին հավասարումը.

Եկեք վերլուծենք ալգորիթմը՝ օգտագործելով օրինակ։

Օրինակ.

Գաուսի մեթոդով։

Լուծում.

a 11 գործակիցը զրոյական չէ, ուստի անցնենք Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքին, այսինքն՝ x 1 անհայտ փոփոխականի վերացմանը համակարգի բոլոր հավասարումներից, բացառությամբ առաջինի։ Դա անելու համար առաջին հավասարման ձախ և աջ կողմերը ավելացրեք երկրորդ, երրորդ և չորրորդ հավասարումների ձախ և աջ կողմերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով. և :

Անհայտ x 1 փոփոխականը բացառված է, շարունակեք բացառել x 2-ը: Համակարգի երրորդ և չորրորդ հավասարումների ձախ և աջ կողմերին ավելացնում ենք երկրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով. և :

Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքն ավարտելու համար մեզ մնում է բացառել x 3 անհայտ փոփոխականը համակարգի վերջին հավասարումից։ Չորրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերին, համապատասխանաբար, ավելացրեք երրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերը՝ բազմապատկելով. :

Դուք կարող եք սկսել հակադարձել Գաուսի մեթոդը:

Վերջին հավասարումից մենք ունենք ,
երրորդ հավասարումից մենք ստանում ենք
երկրորդից,
առաջինից.

Ստուգման համար կարող եք անհայտ փոփոխականների ստացված արժեքները փոխարինել սկզբնական հավասարումների համակարգում: Բոլոր հավասարումները վերածվում են նույնականության, ինչը նշանակում է, որ Գաուսի մեթոդով լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Պատասխան.

Իսկ այժմ նույն օրինակի լուծումը կտանք Գաուսի մեթոդով մատրիցային նշումով։

Օրինակ.

Գտեք հավասարումների համակարգի լուծումը Գաուսի մեթոդով։

Լուծում.

Համակարգի ընդլայնված մատրիցն ունի ձև ... Յուրաքանչյուր սյունակի վերևում գրված են անհայտ փոփոխականներ, որոնք համապատասխանում են մատրիցայի տարրերին։

Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքն այստեղ ներառում է համակարգի ընդլայնված մատրիցը տարրական փոխակերպումների միջոցով վերածել trapezoidal ձևի: Այս գործընթացը նման է անհայտ փոփոխականների վերացմանը, որը մենք իրականացրել ենք կոորդինատային համակարգով։ Այժմ դուք կհամոզվեք դրանում։

Եկեք փոխակերպենք մատրիցը, որպեսզի առաջին սյունակի բոլոր տարրերը, սկսած երկրորդից, դառնան զրո: Դա անելու համար երկրորդ, երրորդ և չորրորդ տողերի տարրերին ավելացրեք առաջին տողի համապատասխան տարրերը բազմապատկած. և համապատասխանաբար՝

Այնուհետև մենք վերափոխում ենք ստացված մատրիցը, որպեսզի երկրորդ սյունակում երրորդից սկսած բոլոր տարրերը դառնան զրո: Սա կհամապատասխանի x 2 անհայտ փոփոխականի վերացմանը: Դա անելու համար երրորդ և չորրորդ շարքերի տարրերին ավելացնում ենք մատրիցայի առաջին շարքի համապատասխան տարրերը, համապատասխանաբար, բազմապատկելով. և :

Մնում է համակարգի վերջին հավասարումից վերացնել x 3 անհայտ փոփոխականը։ Դա անելու համար ստացված մատրիցայի վերջին շարքի տարրերին ավելացնում ենք նախավերջին շարքի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով. :

Հարկ է նշել, որ այս մատրիցը համապատասխանում է գծային հավասարումների համակարգին

որն ավելի վաղ ձեռք էր բերվել ուղիղ քայլից հետո:

Ժամանակն է վերադառնալ: Մատրիցային նշումներում Գաուսի մեթոդի հակադարձությունը ենթադրում է ստացված մատրիցայի այնպիսի փոխակերպում, որ նկարում նշված մատրիցը.

դարձավ անկյունագծային, այսինքն՝ վերցրեց ձևը

որտեղ կան որոշ թվեր:

Այս փոխակերպումները նման են Գաուսյան առաջադիմական փոխակերպումների, բայց դրանք կատարվում են ոչ թե առաջին տողից մինչև վերջին, այլ վերջինից առաջինը։

Երրորդ, երկրորդ և առաջին տողերի տարրերին ավելացրեք վերջին տողի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով , շարունակ և շարունակ համապատասխանաբար:

Այժմ երկրորդ և առաջին տողերի տարրերին ավելացնենք երրորդ տողի համապատասխան տարրերը՝ համապատասխանաբար և բազմապատկելով.

Գաուսյան մեթոդի հակառակ քայլի վերջին քայլում ավելացրեք երկրորդ շարքի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով.

Ստացված մատրիցը համապատասխանում է հավասարումների համակարգին , որտեղից գտնում ենք անհայտ փոփոխականներ։

Պատասխան.

ՆՇՈՒՄ.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման համար Գաուսի մեթոդը կիրառելիս պետք է խուսափել մոտավոր հաշվարկներից, քանի որ դա կարող է հանգեցնել բոլորովին սխալ արդյունքների: Խորհուրդ ենք տալիս չկլորացնել տասնորդականները: Ավելի լավ է տասնորդական կոտորակներից տեղափոխել սովորական կոտորակներ:

Օրինակ.

Գաուսի մեթոդով լուծել երեք հավասարումների համակարգ .

Լուծում.

Նկատի ունեցեք, որ այս օրինակում անհայտ փոփոխականներն ունեն այլ նշում (ոչ թե x 1, x 2, x 3, այլ x, y, z): Անցնենք ընդհանուր կոտորակներին.

Համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներից վերացրեք x-ը.

Ստացված համակարգում երկրորդ հավասարման մեջ y անհայտ փոփոխական չկա, իսկ երրորդում առկա է y, հետևաբար, մենք կփոխանակենք երկրորդ և երրորդ հավասարումները.

Սա ավարտում է Գաուսի մեթոդի ուղղակի գործարկումը (անհրաժեշտ չէ y-ն բացառել երրորդ հավասարումից, քանի որ այս անհայտ փոփոխականն այլևս գոյություն չունի):

Մենք անցնում ենք հակառակը.

Վերջին հավասարումից մենք գտնում ենք ,
նախավերջինից

մեր ունեցած առաջին հավասարումից

Պատասխան.

X = 10, y = 5, z = -20:

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծումը, որոնցում հավասարումների թիվը չի համընկնում անհայտների թվի հետ կամ համակարգի հիմնական մատրիցը այլասերված է, Գաուսի մեթոդով։

Հավասարումների համակարգերը, որոնց հիմնական մատրիցը ուղղանկյուն կամ քառակուսի այլասերված է, կարող են չունենալ լուծումներ, կարող են ունենալ եզակի լուծում և ունենալ լուծումների անսահման հավաքածու։

Այժմ մենք կպարզենք, թե ինչպես է Գաուսի մեթոդը թույլ տալիս հաստատել գծային հավասարումների համակարգի համատեղելիությունը կամ անհամատեղելիությունը, իսկ դրա համատեղելիության դեպքում՝ որոշել բոլոր լուծումները (կամ մեկ լուծում):

Սկզբունքորեն, նման SLAE-ների դեպքում անհայտ փոփոխականների վերացման գործընթացը մնում է նույնը: Այնուամենայնիվ, դուք պետք է մանրամասնորեն խոսեք որոշ իրավիճակների մասին, որոնք կարող են առաջանալ:

Անցնում ենք ամենակարեւոր փուլ.

Այսպիսով, ենթադրենք, որ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքի ավարտից հետո ստացել է ձև. և ոչ մի հավասարում չի կրճատվել մինչև (այս դեպքում մենք կեզրակացնենք, որ համակարգը անհամատեղելի է): Տրամաբանական հարց է ծագում՝ «Ի՞նչ անել հետո»։

Եկեք գրենք անհայտ փոփոխականները, որոնք ստացված համակարգի բոլոր հավասարումների առաջին տեղում են.

Մեր օրինակում դրանք x 1, x 4 և x 5 են: Համակարգի հավասարումների ձախ կողմերում թողնում ենք միայն այն անդամները, որոնք պարունակում են դուրս գրված անհայտ x 1, x 4 և x 5 փոփոխականները, մնացած անդամները փոխանցվում են հավասարումների աջ կողմում. հակառակ նշան.

Եկեք կամայական արժեքներ վերագրենք անհայտ փոփոխականներին, որոնք գտնվում են հավասարումների աջ կողմում, որտեղ - կամայական թվեր.

Դրանից հետո թվերը հայտնաբերվում են մեր SLAE-ի բոլոր հավասարումների աջ կողմերում, և մենք կարող ենք անցնել Գաուսի մեթոդի հակառակ կողմին:

Համակարգի վերջին հավասարումներից ստացվում է, նախավերջին հավասարումից մենք գտնում ենք, առաջին հավասարումից ստանում ենք.

Հավասարումների համակարգի լուծումը անհայտ փոփոխականների արժեքների մի շարք է

Թվեր տալը տարբեր արժեքներ, կստանանք հավասարումների համակարգի տարբեր լուծումներ։ Այսինքն՝ մեր հավասարումների համակարգը անսահման շատ լուծումներ ունի։

Պատասխան.

որտեղ - կամայական թվեր.

Նյութը համախմբելու համար մենք մանրամասն կվերլուծենք ևս մի քանի օրինակների լուծումները։

Օրինակ.

Լուծե՛ք գծային հանրահաշվական հավասարումների միատարր համակարգ Գաուսի մեթոդով։

Լուծում.

Համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներից հանել x անհայտ փոփոխականը: Դա անելու համար մենք երկրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերին, համապատասխանաբար, ավելացնում ենք առաջին հավասարման ձախ և աջ կողմերը՝ բազմապատկելով, իսկ երրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերը՝ ձախ և աջ կողմերը։ առաջին հավասարումը, բազմապատկած.

Այժմ մենք բացառում ենք y-ն ստացված հավասարումների համակարգի երրորդ հավասարումից.

Ստացված SLAE-ը համարժեք է համակարգին .

Համակարգի հավասարումների ձախ կողմում թողնում ենք միայն x և y անհայտ փոփոխականները պարունակող անդամները, իսկ z անհայտ փոփոխականով անդամները տեղափոխում ենք աջ կողմ.

Գաուսի մեթոդը հեշտ է.Ինչո՞ւ։ Հայտնի գերմանացի մաթեմատիկոս Յոհան Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսն իր կենդանության օրոք ճանաչվել է բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոս, հանճար և նույնիսկ «մաթեմատիկայի արքա» մականունը։ Եվ ամեն ինչ հնարամիտ, ինչպես գիտեք, պարզ է:Ի դեպ, փողի համար վճարվում են ոչ միայն ծծողները, այլեւ հանճարները՝ Գաուսի դիմանկարը 10 գերմանական թղթադրամի վրա էր (մինչեւ եվրոյի ներմուծումը), իսկ Գաուսը մինչ օրս սովորական փոստային նամականիշներից խորհրդավոր ժպտում է գերմանացիներին։

Գաուսի մեթոդը պարզ է նրանով, որ 5-րդ դասարանի աշակերտի գիտելիքները ԲԱՎԱՐԱՐ են այն տիրապետելու համար։ Դուք պետք է կարողանաք ավելացնել և բազմապատկել:Պատահական չէ, որ ուսուցիչները հաճախ դիտարկում են դպրոցական մաթեմատիկայի ընտրությամբ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը: Պարադոքսալ կերպով, Գաուսի մեթոդը ամենադժվարն է ուսանողների համար: Զարմանալի չէ. ամբողջ իմաստը մեթոդաբանության մեջ է, և ես կփորձեմ ձեզ մատչելի ձևով պատմել մեթոդի ալգորիթմի մասին:

Նախ մի փոքր համակարգենք գծային հավասարումների համակարգերի մասին գիտելիքները։ Գծային հավասարումների համակարգը կարող է.

1) Ունենալ եզակի լուծում.
2) Ունեն անսահման շատ լուծումներ:
3) Լուծումներ չունենալ (լինել անհամապատասխան).

Գաուսի մեթոդը լուծում գտնելու ամենահզոր և բազմակողմանի գործիքն է ցանկացածգծային հավասարումների համակարգեր։ Ինչպես հիշում ենք Կրամերի կանոն և մատրիցային մեթոդոչ պիտանի այն դեպքերում, երբ համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամատեղելի է: Իսկ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը ամեն դեպքումմեզ կհանգեցնի պատասխանի! Այս դասում մենք կրկին կքննարկենք Գաուսի մեթոդը թիվ 1 դեպքի համար (համակարգի միակ լուծումը), վերապահված է հոդված 2-3 կետերի իրավիճակի համար։ Նկատի ունեցեք, որ մեթոդի ալգորիթմն ինքնին նույնն է աշխատում բոլոր երեք դեպքերում։

Վերադառնանք դասից ամենապարզ համակարգին Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը:
և լուծել Գաուսի մեթոդով։

Առաջին փուլում պետք է գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցա:
... Թե ինչ սկզբունքով են գրված գործակիցները, կարծում եմ բոլորը տեսնում են։ Մատրիցի ներսում գտնվող ուղղահայաց բարը որևէ մաթեմատիկական նշանակություն չունի. այն պարզապես ընդգծում է դիզայնի հեշտության համար:

հղում :Խորհուրդ եմ տալիս հիշել պայմաններըգծային հանրահաշիվ. Համակարգի մատրիցաԱրդյո՞ք մատրիցա կազմված է միայն անհայտներով գործակիցներից, այս օրինակում համակարգի մատրիցը. Ընդլայնված համակարգի մատրիցա- սա համակարգի նույն մատրիցն է, գումարած ազատ անդամների սյունակը, այս դեպքում. Մատրիցներից որևէ մեկը հակիրճության համար կարելի է անվանել պարզապես մատրիցա:

Համակարգի ընդլայնված մատրիցը գրվելուց հետո անհրաժեշտ է դրանով կատարել որոշ գործողություններ, որոնք նաև կոչվում են. տարրական փոխակերպումներ.

Կան հետևյալ տարրական փոխակերպումները.

1) Լարայինմատրիցներ կարող է վերադասավորելտեղերը. Օրինակ, դիտարկվող մատրիցայում կարող եք ցավ չպատճառել առաջին և երկրորդ տողերը.

2) Եթե մատրիցը պարունակում է (կամ հայտնվում է) համամասնական (որպես հատուկ դեպք՝ նույնը) տողեր, ապա այն հետևում է. ջնջելմատրիցից այս բոլոր տողերը, բացի մեկից: Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը ... Այս մատրիցայում վերջին երեք տողերը համաչափ են, ուստի բավական է թողնել դրանցից միայն մեկը. .

3) Եթե վերափոխումների ժամանակ մատրիցում հայտնվել է զրոյական տող, ապա այն նույնպես հետևում է ջնջել... Չեմ գծի, իհարկե, զրոյական գիծը այն գիծն է, որի մեջ միայն զրոներ.

4) Մատրիցայի շարքը կարող է լինել բազմապատկել (բաժանել)ցանկացած թվով, ոչ զրոյական... Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը: Այստեղ խորհուրդ է տրվում առաջին տողը բաժանել –3-ով, իսկ երկրորդ տողը բազմապատկել 2-ով. ... Այս գործողությունը շատ օգտակար է, քանի որ այն պարզեցնում է մատրիցային հետագա փոխակերպումները:

5) Այս փոխակերպումն ամենադժվարն է, բայց իրականում բարդ բան էլ չկա։ Մատրիցայի շարքում կարող եք ավելացրեք ևս մեկ տող՝ բազմապատկված թվովոչ զրոյական. Դիտարկենք մեր մատրիցը գործնական օրինակից. Նախ, ես շատ մանրամասն նկարագրելու եմ փոխակերպումը: Առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով. , և երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով: ... Այժմ առաջին տողը կարող է «հետ» բաժանվել –2: Ինչպես տեսնում եք, այն գիծը, որը ADD ԼԻ – չի փոխվել. Միշտ էփոխում է այն տողը, ՈՐՈՆՑ ԱՃՈՒՄ Է UT.

Գործնականում, իհարկե, այդքան մանրամասն չեն նկարագրում, այլ ավելի կարճ են գրում.

Եվս մեկ անգամ՝ դեպի երկրորդ տող ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկած –2-ով... Սովորաբար լարը բազմապատկվում է բանավոր կամ սևագրի վրա, մինչդեռ հաշվարկների մտավոր ընթացքը մոտավորապես այսպիսին է.

«Ես վերագրում եմ մատրիցը և վերագրում առաջին տողը. »

«Առաջին սյունակ առաջին. Ներքևում, ես պետք է ստանամ զրո: Հետևաբար, վերևի միավորը բազմապատկում եմ –2:-ով, իսկ առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 2 + (–2) = 0: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

«Հիմա երկրորդ սյունակի մասին. –1-ից բարձր բազմապատկած –2: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ 1 + 2 = 3: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

«Եվ երրորդ սյունակը. –5-ից բարձր բազմապատկած –2: Առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողին՝ –7 + 10 = 3: Արդյունքը գրում եմ երկրորդ տողում. »

Խնդրում եմ, ուշադիր ըմբռնեք այս օրինակը և հասկանաք հաշվարկների հաջորդական ալգորիթմը, եթե դա հասկանում եք, ապա Գաուսի մեթոդը գործնականում «ձեր գրպանում է»։ Բայց, իհարկե, մենք աշխատելու ենք այս վերափոխման վրա։

Տարրական փոխակերպումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը

! ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆհամարվող մանիպուլյացիաներ չի կարող օգտագործել, եթե ձեզ առաջարկվում է առաջադրանք, որտեղ մատրիցները տրվում են «իրենց»: Օրինակ, «դասականով» գործողություններ մատրիցներովՈչ մի դեպքում չպետք է ինչ-որ բան վերադասավորեք մատրիցների ներսում:

Եկեք վերադառնանք մեր համակարգին: Նա գործնականում կտոր-կտոր է արվել:

Մենք գրի ենք առնում համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, կրճատում ենք այն մինչև աստիճանավոր տեսարան:

(1) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Եվ կրկին. ինչու՞ է առաջին տողը բազմապատկվում ճշգրիտ –2-ով: Ներքևում զրո ստանալու համար, ինչը նշանակում է երկրորդ տողում մեկ փոփոխականից ազատվել։

(2) Երկրորդ շարքը բաժանեք 3-ի:

Տարրական փոխակերպումների նպատակը – բերեք մատրիցը աստիճանական ձևի. ... Առաջադրանքի ձևավորման մեջ «սանդուղքը» նշվում է պարզ մատիտով, իսկ թվերը, որոնք գտնվում են «քայլերի» վրա, շրջագծվում են։ «Քայլի տեսակ» տերմինն ինքնին ամբողջովին տեսական չէ, գիտական և կրթական գրականության մեջ այն հաճախ կոչվում է trapezoidal տեսքկամ եռանկյուն տեսք.

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացանք համարժեքբնօրինակ հավասարումների համակարգ.

Այժմ համակարգը պետք է «փաթաթել» հակառակ ուղղությամբ՝ ներքևից վեր, այս գործընթացը կոչվում է հետամնաց Գաուսի մեթոդ.

Ստորին հավասարման մեջ մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Եկեք դիտարկենք համակարգի առաջին հավասարումը և դրա մեջ փոխարինենք «խաղի» արդեն հայտնի արժեքը.

Եկեք դիտարկենք ամենատարածված իրավիճակը, երբ Գաուսի մեթոդը պահանջում է լուծել երեք գծային հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով:

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով.

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

Այժմ ես անմիջապես կնշեմ այն արդյունքը, որին մենք կգանք լուծման ընթացքում.

Եվ կրկին, մեր նպատակն է տարրական փոխակերպումների միջոցով մատրիցը հասցնել աստիճանական ձևի: Որտեղի՞ց սկսել ակցիան:

Նախ, մենք նայում ենք վերևի ձախ թվին.

Այն գրեթե միշտ պետք է լինի այստեղ միավոր... Ընդհանրապես, –1-ը լավ կլինի (և երբեմն այլ թվեր), բայց ինչ-որ կերպ այնպես ավանդաբար տեղի ունեցավ, որ միավորը սովորաբար տեղադրվում է այնտեղ: Ինչպե՞ս կազմակերպել միավոր: Մենք նայում ենք առաջին սյունակին. մենք ունենք պատրաստի միավոր: Առաջին փոխակերպումը. փոխեք առաջին և երրորդ տողերը.

Այժմ առաջին տողը կմնա անփոփոխ մինչև լուծման ավարտը։... Հիմա լավ:

Վերևի ձախ մասի միավորը կազմակերպված է։ Այժմ դուք պետք է ստանաք զրո այս վայրերում.

Զրոները ստանում ենք հենց «դժվար» փոխակերպման օգնությամբ։ Նախ, մենք գործ ունենք երկրորդ տողի հետ (2, –1, 3, 13): Ի՞նչ է պետք անել առաջին դիրքում զրո ստանալու համար: Անհրաժեշտ է երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –2-ով... Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –2-ով՝ (–2, –4, 2, –18): Եվ մենք հետևողականորեն կատարում ենք (կրկին մտովի կամ նախագծով) լրացում, Երկրորդ տողին ավելացնում ենք առաջին տողը՝ արդեն –2-ով բազմապատկած:

Արդյունքը գրում ենք երկրորդ տողում.

Նույն կերպ ենք վերաբերվում երրորդ տողին (3, 2, –5, –1): Առաջին դիրքում զրո ստանալու համար անհրաժեշտ է երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով... Մտավոր կամ սևագրի վրա առաջին տողը բազմապատկեք –3-ով: (–3, –6, 3, –27): ԵՎ երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով:

Արդյունքը գրում ենք երրորդ տողում.

Գործնականում այս գործողությունները սովորաբար կատարվում են բանավոր և գրանցվում մեկ քայլով.

Պետք չէ ամեն ինչ հաշվել միանգամից և միաժամանակ... Հաշվարկների և արդյունքները «գրելու» կարգը հետեւողականև սովորաբար այսպես. նախ մենք վերագրում ենք առաջին տողը, և մենք ինքներս մեզ խորամանկ ենք ասում. ՀԵՐԹԱԿԱՆ և ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ:

Եվ ես արդեն վերը քննել եմ հաշվարկների մտավոր ընթացքը։

Այս օրինակում դա հեշտ է անել, երկրորդ տողը բաժանվում է –5-ի (քանի որ բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 5-ի): Միևնույն ժամանակ, մենք երրորդ տողը բաժանում ենք –2-ի, քանի որ որքան փոքր են թվերը, այնքան ավելի հեշտ է լուծումը.

Տարրական փոխակերպումների վերջնական փուլում այստեղ պետք է ևս մեկ զրո ստանալ.

Սրա համար երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած –2-ով:

Փորձեք ինքներդ վերլուծել այս գործողությունը. մտովի բազմապատկեք երկրորդ տողը –2-ով և գումարեք:

Վերջին կատարված գործողությունը արդյունքի սանրվածքն է, երրորդ գիծը բաժանեք 3-ի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է գծային հավասարումների համարժեք սկզբնական համակարգ.

Թույն.

Այժմ գործում է Գաուսի մեթոդի հակառակ կողմը: Հավասարումները «թուլանում են» ներքեւից վերեւ։

Երրորդ հավասարման դեպքում մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Մենք նայում ենք երկրորդ հավասարմանը. «Զ»-ի իմաստն արդեն հայտնի է, այսպիսով.

Եվ վերջապես, առաջին հավասարումը. «Յ»-ն ու «զ»-ը հայտնի են, բանը փոքր է.

Պատասխանել:

Ինչպես արդեն բազմիցս նշվել է, ցանկացած հավասարումների համակարգի համար հնարավոր է և անհրաժեշտ է ստուգել գտնված լուծումը, բարեբախտաբար, այն հեշտ է և արագ:

Օրինակ 2

Սա սեփական ձեռքերով նմուշ է, ավարտական նմուշ և պատասխանը դասընթացի վերջում:

Հարկ է նշել, որ ձեր որոշման դասընթացկարող է չհամընկնել իմ որոշման ընթացքի հետ, և սա Գաուսի մեթոդի առանձնահատկությունն է... Բայց պատասխանները պետք է նույնը լինեն:

Օրինակ 3

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Մենք նայում ենք վերին ձախ «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է միավոր ունենանք։ Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ընդհանրապես չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի լուծի։ Նման դեպքերում միավորը պետք է կազմակերպվի տարրական փոխակերպման միջոցով: Սովորաբար դա կարելի է անել մի քանի ձևով. Ես արեցի սա.
(1) Առաջին տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած -1-ով... Այսինքն, մենք մտովի բազմապատկեցինք երկրորդ տողը –1-ով և ավելացրինք առաջին և երկրորդ տողերը, մինչդեռ երկրորդ տողը չփոխվեց:

Այժմ վերևի ձախ մասում «մինուս մեկ» է, ինչը մեզ համար լավ է: Յուրաքանչյուրը, ով ցանկանում է ստանալ +1, կարող է կատարել մարմնի լրացուցիչ շարժում՝ առաջին տողը բազմապատկել –1-ով (փոխել նրա նշանը):

(2) 5-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, իսկ 3-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

(3) Առաջին տողը բազմապատկվել է -1-ով, սկզբունքորեն սա գեղեցկության համար է: Փոխեցինք նաև երրորդ տողի նշանը և տեղափոխեցինք երկրորդ տեղ, այսպիսով, երկրորդ «քայլի վրա մենք ունենք անհրաժեշտ միավորը։

(4) Երկրորդ շարքը, բազմապատկված 2-ով, ավելացվել է երրորդ տողին:

(5) Երրորդ տողը բաժանվեց 3-ի:

Վատ նշանը, որը ցույց է տալիս հաշվարկների սխալը (ավելի հաճախ՝ տառասխալ), «վատ» եզրագիծն է: Այսինքն, եթե ներքևում մենք ստացել ենք նման բան, և, համապատասխանաբար, , ապա մեծ հավանականությամբ կարելի է պնդել, որ սխալ է թույլ տրվել տարրական փոխակերպումների ընթացքում։

Մենք լիցքավորում ենք հակադարձ հարվածը, օրինակների նախագծման ժամանակ համակարգը ինքնին հաճախ չի վերագրվում, և հավասարումները «վերցվում են անմիջապես տվյալ մատրիցից»: Հակադարձ շարժումը, հիշեցնում եմ ձեզ, աշխատում է ներքևից վեր: Այո, ահա նվերը ստացվեց.

Պատասխանել: .

Օրինակ 4

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Սա անկախ լուծման օրինակ է, ինչ-որ չափով ավելի բարդ է։ Լավ է, եթե որևէ մեկը շփոթվի: Ամբողջական լուծում և նմուշի ձևավորում՝ ձեռնարկի վերջում: Ձեր լուծումը կարող է տարբերվել իմից:

Վերջին մասում մենք կքննարկենք Գաուսի ալգորիթմի որոշ առանձնահատկություններ:
Առաջին առանձնահատկությունն այն է, որ երբեմն որոշ փոփոխականներ բացակայում են համակարգի հավասարումների մեջ, օրինակ.

Ինչպե՞ս ճիշտ գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցը: Այս պահի մասին ես արդեն խոսել եմ դասում։ Կրամերի կանոն. Մատրիցային մեթոդ... Համակարգի ընդլայնված մատրիցայում բացակայող փոփոխականների փոխարեն զրո ենք դնում.

Ի դեպ, սա բավականին հեշտ օրինակ է, քանի որ առաջին սյունակում արդեն կա մեկ զրո, և կան ավելի քիչ տարրական փոխակերպումներ:

Երկրորդ առանձնահատկությունը հետևյալն է. Բոլոր դիտարկված օրինակներում «քայլերի» վրա դրել ենք կամ –1 կամ +1։ Կարո՞ղ են այլ թվեր լինել: Որոշ դեպքերում նրանք կարող են: Հաշվի առեք համակարգը. .

Այստեղ, վերին ձախ «քայլի» վրա մենք ունենք երկու. Բայց մենք նկատում ենք այն փաստը, որ առաջին սյունակի բոլոր թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 2-ի, իսկ մյուս երկուսը և վեցը: Եվ վերևի ձախ կողմում գտնվող դյուզը կհամապատասխանի մեզ: Առաջին քայլում դուք պետք է կատարեք հետևյալ փոխակերպումները. երկրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –1-ով. երրորդ տողին ավելացրեք առաջին տողը բազմապատկած –3-ով: Սա մեզ կտա առաջին սյունակում ցանկալի զրոները:

Կամ մեկ այլ պայմանական օրինակ. ... Այստեղ մեզ սազում է նաև երկրորդ «քայլի» եռյակը, քանի որ 12-ը (այն տեղը, որտեղ պետք է զրո ստանալ) առանց մնացորդի բաժանվում է 3-ի։ Անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ փոխակերպումը. երրորդ տողին ավելացնել երկրորդ տողը` բազմապատկած –4-ով, որի արդյունքում կստացվի մեզ անհրաժեշտ զրոն։

Գաուսի մեթոդը ունիվերսալ է, բայց կա մեկ առանձնահատկություն. Դուք կարող եք վստահորեն սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը այլ մեթոդներով (Կրամերի մեթոդ, մատրիցային մեթոդ) բառացիորեն առաջին անգամ. կա շատ կոշտ ալգորիթմ: Բայց Գաուսի մեթոդով վստահ զգալու համար պետք է «ձեռքդ լցնել» և լուծել առնվազն 5-10 համակարգ։ Հետևաբար, սկզբում հնարավոր են շփոթություն, հաշվարկների սխալներ, և դրանում ոչ մի արտասովոր կամ ողբերգական բան չկա։

Անձրևոտ աշնանային եղանակը պատուհանից դուրս ... Հետևաբար, բոլորի համար անկախ լուծման ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 5

Գաուսի մեթոդով լուծել չորս անհայտներով չորս գծային հավասարումների համակարգը:

Նման առաջադրանքը գործնականում այնքան էլ հազվադեպ չէ։ Կարծում եմ, որ նույնիսկ այս էջը մանրակրկիտ ուսումնասիրած թեյնիկը, նման համակարգի լուծման ալգորիթմը ինտուիտիվորեն պարզ է։ Հիմնականում ամեն ինչ նույնն է, պարզապես կան ավելի շատ գործողություններ:

Դասում դիտարկվում են այն դեպքերը, երբ համակարգը չունի լուծումներ (անհետևողական) կամ ունի անսահման շատ լուծումներ Անհամատեղելի համակարգեր և համակարգեր ընդհանուր լուծման հետ։ Այնտեղ կարող է ամրագրվել նաև Գաուսի մեթոդի դիտարկվող ալգորիթմը։

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն:

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի:

Կատարված տարրական փոխակերպումներ.
(1) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացվեց -1-ով բազմապատկած առաջին տողը: Ուշադրություն.Այստեղ կարող է գայթակղիչ լինել առաջինը երրորդ տողից հանելը, ես շատ չեմ խրախուսում հանելը. սխալի վտանգը մեծապես մեծանում է: Պարզապես ավելացրո՛ւ:
(2) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երկրորդ և երրորդ տողերը փոխվեցին. Նշումոր «քայլերի» վրա մենք բավարարվում ենք ոչ միայն մեկով, այլեւ –1-ով, որն էլ ավելի հարմար է։
(3) Երկրորդ շարքը ավելացվել է երրորդ շարքին՝ բազմապատկելով 5-ով:
(4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երրորդ գիծը բաժանվեց 14-ով:

Հակադարձ:

Պատասխանել: .

Օրինակ 4: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ.
(1) Երկրորդը ավելացվել է առաջին տողին: Այսպիսով, ցանկալի ստորաբաժանումը կազմակերպվում է վերին ձախ «լուսանցքում»:
(2) 7-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, 6-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

Երկրորդ քայլը գնալով վատանում է , դրա «թեկնածուները» 17 և 23 թվերն են, և մեզ պետք է կամ մեկը, կամ -1։ Փոխակերպումները (3) և (4) ուղղված կլինեն ցանկալի միավորի ձեռքբերմանը

(3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:
(4) Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –3-ով:
(3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 4-ով: Երկրորդ տողը ավելացվել է չորրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:
(4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է. Չորրորդ տողը բաժանվեց 3-ով և տեղադրվեց երրորդ տողի տեղում:
(5) Չորրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը, որը բազմապատկվել է –5-ով:

Հակադարձ:

Մենք շարունակում ենք դիտարկել գծային հավասարումների համակարգերը: Այս դասը երրորդն է թեմայի շուրջ: Եթե դուք անորոշ պատկերացում ունեք, թե ընդհանրապես ինչ է գծային հավասարումների համակարգը, ձեզ թեյնիկ եք զգում, ապա խորհուրդ եմ տալիս սկսել էջի հիմունքներից: Այնուհետև օգտակար է դասը ուսումնասիրել:

1) Ունենալ եզակի լուծում. 2) Ունեն անսահման շատ լուծումներ: 3) Լուծումներ չունենալ (լինել անհամապատասխան).

Առաջին փուլում պետք է գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցա:. Թե ինչ սկզբունքով են գրված գործակիցները, կարծում եմ բոլորը տեսնում են։ Մատրիցի ներսում գտնվող ուղղահայաց բարը որևէ մաթեմատիկական նշանակություն չունի. այն պարզապես ընդգծում է դիզայնի հեշտության համար:

հղում : Խորհուրդ եմ տալիս հիշել պայմանները գծային հանրահաշիվ. Համակարգի մատրիցա Արդյո՞ք մատրիցը կազմված է միայն անհայտներով գործակիցներից, այս օրինակում համակարգի մատրիցը. . Ընդլայնված համակարգի մատրիցա - սա համակարգի նույն մատրիցան է՝ գումարած ազատ անդամների սյունակը, այս դեպքում. ... Մատրիցներից որևէ մեկը հակիրճության համար կարելի է անվանել պարզապես մատրիցա:

Կան հետևյալ տարրական փոխակերպումները.

Գործնականում, իհարկե, այդքան մանրամասն չեն նկարագրում, այլ ավելի կարճ են գրում. Եվս մեկ անգամ՝ դեպի երկրորդ տող ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկած –2-ով... Սովորաբար լարը բազմապատկվում է բանավոր կամ սևագրի վրա, մինչդեռ հաշվարկների մտավոր ընթացքը մոտավորապես այսպիսին է.

«Ես վերագրում եմ մատրիցը և վերագրում առաջին տողը. »

Տարրական փոխակերպումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը

(2) Երկրորդ շարքը բաժանեք 3-ի:

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացանք համարժեքբնօրինակ հավասարումների համակարգ.

Ստորին հավասարման մեջ մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Եկեք դիտարկենք համակարգի առաջին հավասարումը և դրա մեջ փոխարինենք «խաղի» արդեն հայտնի արժեքը.

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով.

Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

Այժմ ես անմիջապես կնշեմ այն արդյունքը, որին մենք կգանք լուծման ընթացքում. Եվ կրկին, մեր նպատակն է տարրական փոխակերպումների միջոցով մատրիցը հասցնել աստիճանական ձևի: Որտեղի՞ց սկսել ակցիան:

Նախ, մենք նայում ենք վերևի ձախ թվին. Այն գրեթե միշտ պետք է լինի այստեղ միավոր... Ընդհանրապես, –1-ը լավ կլինի (և երբեմն այլ թվեր), բայց ինչ-որ կերպ այնպես ավանդաբար տեղի ունեցավ, որ միավորը սովորաբար տեղադրվում է այնտեղ: Ինչպե՞ս կազմակերպել միավոր: Մենք նայում ենք առաջին սյունակին. մենք ունենք պատրաստի միավոր: Առաջին փոխակերպումը. փոխեք առաջին և երրորդ տողերը.

Այժմ առաջին տողը կմնա անփոփոխ մինչև լուծման ավարտը։... Հիմա լավ:

Վերևի ձախ մասի միավորը կազմակերպված է։ Այժմ դուք պետք է ստանաք զրո այս վայրերում.

Արդյունքը գրում ենք երկրորդ տողում.

Արդյունքը գրում ենք երրորդ տողում.

Գործնականում այս գործողությունները սովորաբար կատարվում են բանավոր և գրանցվում մեկ քայլով.

Պետք չէ ամեն ինչ հաշվել միանգամից և միաժամանակ... Հաշվարկների և արդյունքները «գրելու» կարգը հետեւողականև սովորաբար այսպես. նախ մենք վերագրում ենք առաջին տողը, և մենք ինքներս մեզ խորամանկ ենք ասում. ՀԵՐԹԱԿԱՆ և ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ:
Եվ ես արդեն վերը քննել եմ հաշվարկների մտավոր ընթացքը։

Տարրական փոխակերպումների վերջնական փուլում այստեղ պետք է ևս մեկ զրո ստանալ.

Սրա համար երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած –2-ով:
Փորձեք ինքներդ վերլուծել այս գործողությունը. մտովի բազմապատկեք երկրորդ տողը –2-ով և գումարեք:

Վերջին կատարված գործողությունը արդյունքի սանրվածքն է, երրորդ գիծը բաժանեք 3-ի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է գծային հավասարումների համարժեք սկզբնական համակարգ. Թույն.

Այժմ գործում է Գաուսի մեթոդի հակառակ կողմը: Հավասարումները «թուլանում են» ներքեւից վերեւ։

Երրորդ հավասարման դեպքում մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Մենք նայում ենք երկրորդ հավասարմանը. «Զ»-ի իմաստն արդեն հայտնի է, այսպիսով.

Եվ վերջապես, առաջին հավասարումը. «Յ»-ն ու «զ»-ը հայտնի են, բանը փոքր է.

Պատասխանել:

Օրինակ 2

Սա սեփական ձեռքերով նմուշ է, ավարտական նմուշ և պատասխանը դասընթացի վերջում:

Օրինակ 3

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Մենք նայում ենք վերին ձախ «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է միավոր ունենանք։ Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ընդհանրապես չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի լուծի։ Նման դեպքերում միավորը պետք է կազմակերպվի տարրական փոխակերպման միջոցով: Սովորաբար դա կարելի է անել մի քանի ձևով. Ես արեցի սա. (1) Առաջին տողին ավելացրեք երկրորդ տողը բազմապատկած -1-ով... Այսինքն, մենք մտովի բազմապատկեցինք երկրորդ տողը –1-ով և ավելացրինք առաջին և երկրորդ տողերը, մինչդեռ երկրորդ տողը չփոխվեց:

(4) Երկրորդ շարքը, բազմապատկված 2-ով, ավելացվել է երրորդ տողին:

(5) Երրորդ տողը բաժանվեց 3-ի:

Պատասխանել: .

Օրինակ 4

Գծային հավասարումների համակարգ լուծել Գաուսի մեթոդով

Վերջին մասում մենք կքննարկենք Գաուսի ալգորիթմի որոշ առանձնահատկություններ: Առաջին առանձնահատկությունն այն է, որ երբեմն որոշ փոփոխականներ բացակայում են համակարգի հավասարումների մեջ, օրինակ. Ինչպե՞ս ճիշտ գրել ընդլայնված համակարգի մատրիցը: Այս պահի մասին ես արդեն խոսել եմ դասում։ Կրամերի կանոն. Մատրիցային մեթոդ... Համակարգի ընդլայնված մատրիցայում բացակայող փոփոխականների փոխարեն զրո ենք դնում. Ի դեպ, սա բավականին հեշտ օրինակ է, քանի որ առաջին սյունակում արդեն կա մեկ զրո, և կան ավելի քիչ տարրական փոխակերպումներ:

Գաուսի մեթոդը ունիվերսալ է, բայց կա մեկ առանձնահատկություն. Դուք կարող եք վստահորեն սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը այլ մեթոդներով (Կրամերի մեթոդ, մատրիցային մեթոդ) բառացիորեն առաջին անգամ. կա շատ կոշտ ալգորիթմ: Բայց Գաուսի մեթոդով վստահ զգալու համար պետք է «ձեռքդ լցնես» ու լուծես առնվազն 5-10 տասը համակարգ։ Հետևաբար, սկզբում հնարավոր են շփոթություն, հաշվարկների սխալներ, և դրանում ոչ մի արտասովոր կամ ողբերգական բան չկա։

Անձրևոտ աշնանային եղանակը պատուհանից դուրս ... Հետևաբար, բոլորի համար անկախ լուծման ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 5

Գաուսի մեթոդով լուծել չորս անհայտներով 4 գծային հավասարումների համակարգը:

Դասում դիտարկվում են այն դեպքերը, երբ համակարգը չունի լուծումներ (անհետևողական) կամ ունի անսահման շատ լուծումներ. Անհամատեղելի համակարգեր և համակարգեր ընդհանուր լուծումով... Այնտեղ կարող է ամրագրվել նաև Գաուսի մեթոդի դիտարկվող ալգորիթմը։

Մաղթում եմ ձեզ հաջողություն:

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 2: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի:
Կատարված տարրական փոխակերպումներ. (1) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացվեց -1-ով բազմապատկած առաջին տողը: Ուշադրություն. Այստեղ կարող է գայթակղիչ լինել առաջինը երրորդ տողից հանելը, ես շատ չեմ խրախուսում հանելը. սխալի վտանգը մեծապես մեծանում է: Պարզապես ավելացրո՛ւ: (2) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երկրորդ և երրորդ տողերը փոխվեցին. Նշում որ «քայլերի» վրա մենք բավարարվում ենք ոչ միայն մեկով, այլեւ –1-ով, որն էլ ավելի հարմար է։ (3) Երկրորդ շարքը ավելացվել է երրորդ շարքին՝ բազմապատկելով 5-ով: (4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է (բազմապատկվել է –1-ով): Երրորդ գիծը բաժանվեց 14-ով:

Հակադարձ:

Պատասխանել : .

Օրինակ 4: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ. (1) Երկրորդը ավելացվել է առաջին տողին: Այսպիսով, ցանկալի ստորաբաժանումը կազմակերպվում է վերին ձախ «լուսանցքում»: (2) 7-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին, 6-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին:

Երկրորդ քայլը գնալով վատանում է , դրա «թեկնածուները» 17 և 23 թվերն են, և մեզ պետք է կամ մեկը, կամ -1։ Փոխակերպումները (3) և (4) ուղղված կլինեն ցանկալի միավորի ձեռքբերմանը (3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով: (4) Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –3-ով: Երկրորդ քայլին անհրաժեշտ բանը ստացվում է . (5) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 6-ով: (6) Երկրորդ տողը բազմապատկվել է -1-ով, երրորդ տողը բաժանվել է -83-ի:

Հակադարձ:

Պատասխանել :

Օրինակ 5: Լուծում : Եկեք գրենք համակարգի մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

Կատարված փոխարկումներ. (1) Առաջին և երկրորդ տողերը հակադարձված են: (2) -2-ով բազմապատկած առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին: Երրորդ տողին ավելացվեց -2-ով բազմապատկած առաջին տողը: Չորրորդ տողին ավելացվել է առաջին տողը, որը բազմապատկվել է –3-ով: (3) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով 4-ով: Երկրորդ տողը ավելացվել է չորրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով: (4) Երկրորդ տողի նշանը փոխվել է. Չորրորդ տողը բաժանվեց 3-ով և տեղադրվեց երրորդ տողի տեղում: (5) Չորրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը, որը բազմապատկվել է –5-ով:

Հակադարձ:

Պատասխանել :

1. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ

1.1 Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի հայեցակարգը

Հավասարումների համակարգը պայման է, որը բաղկացած է մի քանի փոփոխականներում մի քանի հավասարումների միաժամանակյա կատարումից: Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը (այսուհետ՝ SLAE), որը պարունակում է m հավասարումներ և n անհայտներ, ձևի համակարգ է.

որտեղ a ij թվերը կոչվում են համակարգի գործակիցներ, b i թվերը ազատ անդամներ են, ա ijև բ i(i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) որոշ հայտնի թվեր են, և x 1, ..., x n- անհայտ: Գործակիցների նշանակման մեջ ա ijառաջին ենթակետը i նշանակում է հավասարման թիվը, իսկ երկրորդը j-ն անհայտի թիվը, որի վրա կանգնած է այս գործակիցը: x n թիվը գտնելու համար: Նման համակարգը հարմար է գրել կոմպակտ մատրիցային ձևով. AX = B.Այստեղ A-ն համակարգի գործակիցների մատրիցն է, որը կոչվում է հիմնական մատրիցա;

Անհայտների սյունակի վեկտոր է xj:
Ազատ տերմինների սյունակ է bi.

A * X մատրիցների արտադրյալը սահմանվում է, քանի որ A մատրիցում կա այնքան սյունակ, որքան X մատրիցում տողեր (n կտոր):

Համակարգի ընդլայնված մատրիցը համակարգի A մատրիցն է՝ լրացված ազատ տերմինների սյունակով

1.2 Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծում

Հավասարումների համակարգի լուծումը թվերի կարգավորված բազմություն է (փոփոխականների արժեքներ), երբ փոփոխականների փոխարեն փոխարինվում է, համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրը վերածվում է իրական հավասարության:

Համակարգի լուծումը կոչվում է անհայտների n արժեքներ х1 = c1, x2 = c2,…, xn = cn, երբ փոխարինվում են, համակարգի բոլոր հավասարումները վերածվում են իրական հավասարումների: Համակարգի ցանկացած լուծում կարելի է գրել սյունակային մատրիցայի տեսքով

Հավասարումների համակարգը կոչվում է հետևողական, եթե այն ունի առնվազն մեկ լուծում, և անհամատեղելի, եթե լուծում չունի:

Համատեղ համակարգը կոչվում է որոշակի, եթե այն ունի մեկ լուծում, և անորոշ, եթե ունի մեկից ավելի լուծում: Վերջին դեպքում դրա լուծումներից յուրաքանչյուրը կոչվում է համակարգի որոշակի լուծում: Բոլոր կոնկրետ լուծումների հավաքածուն կոչվում է ընդհանուր լուծում:

Համակարգ լուծել նշանակում է պարզել՝ արդյոք այն համատեղելի է, թե անհամատեղելի: Եթե համակարգը համատեղելի է, գտեք դրա ընդհանուր լուծումը:

Երկու համակարգեր կոչվում են համարժեք (համարժեք), եթե ունեն նույն ընդհանուր լուծումը: Այլ կերպ ասած, համակարգերը համարժեք են, եթե դրանցից մեկի լուծումը լուծում է մյուսին, և հակառակը:

Փոխակերպումը, որի կիրառումը համակարգը վերածում է սկզբնականին համարժեք նոր համակարգի, կոչվում է համարժեք կամ համարժեք փոխակերպում։ Համարժեք փոխակերպումների օրինակներ են հետևյալ փոխակերպումները՝ համակարգի երկու հավասարումների փոխարկում, երկու անհայտների փոխարկում բոլոր հավասարումների գործակիցների հետ, համակարգի ցանկացած հավասարման երկու մասերի բազմապատկում ոչ զրոյական թվով։

Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է միատարր, եթե բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի.

Միատարր համակարգը միշտ համատեղելի է, քանի որ x1 = x2 = x3 =… = xn = 0 համակարգի լուծումն է: Այս լուծումը կոչվում է զրոյական կամ չնչին:

2. Գաուսի վերացման մեթոդ

2.1 Գաուսի վերացման մեթոդի էությունը

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման դասական մեթոդը անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդն է. Գաուսի մեթոդ(կոչվում է նաև Գաուսի վերացման մեթոդ): Սա փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ է, երբ տարրական փոխակերպումների միջոցով հավասարումների համակարգը վերածվում է աստիճանական (կամ եռանկյունաձև) ձևի համարժեք համակարգի, որտեղից հաջորդաբար գտնում են բոլոր մյուս փոփոխականները՝ սկսած վերջինից (ըստ թվի): ) փոփոխականներ.

Գաուսի լուծման գործընթացը բաղկացած է երկու փուլից՝ առաջ և հետընթաց շարժումներ:

1. Ուղիղ դասընթաց.

Առաջին փուլում իրականացվում է այսպես կոչված ուղիղ շարժումը, երբ գծերի վրա տարրական փոխակերպումների միջոցով համակարգը բերում են աստիճանական կամ եռանկյունաձև ձևի կամ պարզվում է, որ համակարգը անհամատեղելի է։ Մասնավորապես, մատրիցայի առաջին սյունակի տարրերից ընտրեք ոչ զրոյական մեկը, տեղափոխեք այն ամենավերին դիրք՝ փոխարինելով տողերը և մնացած տողերից հանեք փոխարկումից հետո ստացված առաջին տողը՝ բազմապատկելով այն հավասար արժեքով։ Այս տողերից յուրաքանչյուրի առաջին տարրի հարաբերակցությունը առաջին շարքի առաջին տարրին՝ դրանով իսկ զրոյացնելով դրա տակ գտնվող սյունակը:

Նշված փոխակերպումները կատարելուց հետո առաջին շարքը և առաջին սյունակը մտովի հատվում են և շարունակվում մինչև զրոյական չափի մատրիցա լինի: Եթե որոշ կրկնություններում առաջին սյունակի տարրերի մեջ չգտնվի ոչ զրո, ապա անցեք հաջորդ սյունակ և կատարեք նմանատիպ գործողություն:

Առաջին փուլում (ուղղակի վազք) համակարգը կրճատվում է աստիճանավոր (մասնավորապես, եռանկյուն) ձևի:

Ստորև ներկայացված համակարգը փուլային է.

Aii գործակիցները կոչվում են համակարգի հիմնական (առաջատար) տարրեր։

(եթե a11 = 0, մենք վերադասավորում ենք մատրիցայի տողերն այնպես, որ ա 11-ը հավասար չէր 0-ի: Սա միշտ հնարավոր է, քանի որ հակառակ դեպքում մատրիցը պարունակում է զրոյական սյունակ, դրա որոշիչը զրո է, իսկ համակարգը անհամապատասխան է):

Մենք փոխակերպում ենք համակարգը՝ վերացնելով x1 անհայտը բոլոր հավասարումներում, բացառությամբ առաջինի (օգտագործելով համակարգի տարրական փոխակերպումները): Դա անելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման երկու կողմերը

և այն գումարել անդամ առ անդամ համակարգի երկրորդ հավասարման հետ (կամ երկրորդ հավասարումից կհանենք առաջին անդամը բազմապատկած): Այնուհետև առաջին հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք և ավելացնում համակարգի երրորդ հավասարմանը (կամ երրորդից հանում ենք առաջինը բազմապատկած): Այսպիսով, մենք հաջորդաբար բազմապատկում ենք առաջին շարքը թվով և ավելացնում եսրդ տող, համար ես = 2, 3, …,n.

Շարունակելով այս գործընթացը, մենք ստանում ենք համարժեք համակարգ.

- համակարգի վերջին m-1 հավասարումներում անհայտների և ազատ տերմինների գործակիցների նոր արժեքներ, որոնք որոշվում են բանաձևերով.

Այսպիսով, առաջին քայլում բոլոր գործակիցները, որոնք գտնվում են առաջին առանցքային տարրի տակ՝ a 11

0, երկրորդ քայլը ոչնչացնում է տարրերը, որոնք գտնվում են a 22 (1) երկրորդ առանցքային տարրի տակ (եթե 22 (1) 0) և այլն: Շարունակելով այս գործընթացը հետագայում, մենք վերջապես, (m-1) քայլում, սկզբնական համակարգը կրճատում ենք եռանկյուն համակարգի:

Եթե համակարգը աստիճանաբար վերածելու գործընթացում հայտնվում են զրոյական հավասարումներ, այսինքն. 0 = 0 ձևի հավասարությունները, դրանք հանվում են: Եթե ձևի հավասարումը հայտնվի

ապա սա ցույց է տալիս համակարգի անհամատեղելիությունը:

Այստեղ ավարտվում է Գաուսի մեթոդի ուղիղ ընթացքը։

2. Հակադարձ.

Երկրորդ փուլում իրականացվում է այսպես կոչված հակադարձ շարժում, որի էությունը ստացված բոլոր հիմնական փոփոխականներն արտահայտելն է ոչ հիմնականների մեջ և կառուցել լուծումների հիմնարար համակարգ, կամ, եթե բոլոր փոփոխականները հիմնական են, ապա թվային տեսքով արտահայտի՛ր գծային հավասարումների համակարգի միակ լուծումը։

Այս պրոցեդուրան սկսվում է վերջին հավասարումից, որից արտահայտվում է համապատասխան հիմնական փոփոխականը (դրանում միայն մեկն է) և փոխարինվում նախորդ հավասարումներով և այսպես շարունակ՝ բարձրանալով «աստիճաններով»։

Յուրաքանչյուր տող համապատասխանում է ճիշտ մեկ հիմնական փոփոխականի, հետևաբար, յուրաքանչյուր քայլում, բացի վերջինից (վերևից), իրավիճակը ճշգրտորեն կրկնում է վերջին տողի դեպքը:

Նշում. գործնականում ավելի հարմար է աշխատել ոչ թե համակարգի, այլ նրա ընդլայնված մատրիցով` կատարելով բոլոր տարրական փոխակերպումները նրա տողերի վրա: Հարմար է, որ a11 գործակիցը հավասար լինի 1-ի (վերադասավորել հավասարումները, կամ հավասարման երկու կողմերը բաժանել a11-ի):

2.2 Գաուսի մեթոդով SLAE-ների լուծման օրինակներ

Այս բաժնում, օգտագործելով երեք տարբեր օրինակներ, մենք ցույց ենք տալիս, թե ինչպես կարելի է օգտագործել Գաուսի մեթոդը SLAE-ները լուծելու համար:

Օրինակ 1. Լուծել 3-րդ կարգի SLAE:

Եկեք զրոյացնենք գործակիցները

երկրորդ և երրորդ տողերում։ Դա անելու համար դրանք բազմապատկեք համապատասխանաբար 2/3-ով և 1-ով և ավելացրեք դրանք առաջին տողում.