Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա.
Ուղղության վեկտորը ուղիղ գիծ է: Նորմալ վեկտոր

Ինքնաթիռի ուղիղ գիծը ամենապարզ երկրաչափական ձևերից մեկն է, որը դուք գիտեք տարրական դասարաններից ի վեր, և այսօր մենք կսովորենք, թե ինչպես հաղթահարել դրա հետ՝ օգտագործելով վերլուծական երկրաչափության մեթոդները: Նյութը տիրապետելու համար դուք պետք է կարողանաք ուղիղ գիծ կառուցել. իմացեք, թե ինչ հավասարմամբ է սահմանվում ուղիղ, մասնավորապես՝ սկզբնակետով անցնող ուղիղ և կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ ուղիղներ։ Այս տեղեկատվությունը կարելի է գտնել ձեռնարկում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները, ես ստեղծել եմ այն ​​մատանի համար, բայց գծային ֆունկցիայի բաժինը շատ հաջող ու մանրամասն ստացվեց։ Ուստի, սիրելի թեյնիկներ, նախ տաքացեք այնտեղ։ Բացի այդ, դուք պետք է ունենաք հիմնական գիտելիքներ վեկտորներ, հակառակ դեպքում նյութի ըմբռնումը թերի կլինի։

Այս դասում մենք կդիտարկենք ուղիներ, որոնցով դուք կարող եք գրել ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա: Խորհուրդ եմ տալիս չանտեսել գործնական օրինակները (նույնիսկ եթե դա շատ պարզ է թվում), քանի որ ես նրանց կտրամադրեմ տարրական և կարևոր փաստեր, տեխնիկա, որոնք կպահանջվեն ապագայում, ներառյալ բարձրագույն մաթեմատիկայի այլ բաժիններում:

• Ինչպե՞ս գրել թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը:
• Ինչպե՞ս
• Ինչպե՞ս գտնել ուղղության վեկտորը ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմամբ:
• Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարումը կետից և նորմալ վեկտորից:

և մենք սկսում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ

Ուղիղ գծի հավասարման հայտնի «դպրոցական» ձևը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը թեքության հետ... Օրինակ, եթե ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ, ապա դրա թեքությունը հետևյալն է. Դիտարկենք այս գործակցի երկրաչափական նշանակությունը և ինչպես է դրա արժեքը ազդում ուղիղ գծի գտնվելու վայրի վրա.

Դա ապացուցում է երկրաչափության դասընթացը ուղիղ գծի թեքությունն է անկյան շոշափողառանցքի դրական ուղղության միջևև այս տողը:, իսկ անկյունը «ապտուտակված» է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ։

Որպեսզի գծագիրը չխառնվի, ես անկյուններ գծեցի ընդամենը երկու գծի համար: Դիտարկենք «կարմիր» գիծը և դրա թեքությունը: Ինչպես վերևում. («ալֆա» անկյունը նշվում է կանաչ աղեղով): Թեքությամբ «կապույտ» գծի համար հավասարությունը ճիշտ է («բետա» անկյունը նշվում է շագանակագույն աղեղով): Իսկ եթե հայտնի է անկյան շոշափողը, ապա, անհրաժեշտության դեպքում, հեշտ է գտնել և հենց անկյունըօգտագործելով հակադարձ ֆունկցիա՝ արկտանգենս: Ինչպես ասում են՝ եռանկյունաչափական սեղան կամ միկրոհաշվիչ ձեռքին։ Այսպիսով, թեքությունը բնութագրում է ուղիղ գծի թեքության աստիճանը դեպի աբսցիսային առանցքը.

Այս դեպքում հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

1) Եթե թեքությունը բացասական է, ապա գիծը, կոպիտ ասած, անցնում է վերևից ներքև: Օրինակներ են գծագրության «կապույտ» և «կարմիր» ուղիղ գծերը:

2) Եթե թեքությունը դրական է, ապա գիծն անցնում է ներքևից վեր: Օրինակներ են գծագրության «սև» և «կարմիր» գծերը:

3) Եթե թեքությունը զրո է, ապա հավասարումը ստանում է ձև, իսկ համապատասխան ուղիղ գիծը զուգահեռ է առանցքին: Օրինակ է «դեղին» ուղիղ գիծը:

4) առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծերի ընտանիքի համար (գծագրում օրինակ չկա, բացի բուն առանցքից), թեքությունը. գոյություն չունի (90 աստիճանի շոշափողը սահմանված չէ).

Որքան մեծ է մոդուլի թեքությունը, այնքան ավելի կտրուկ է ուղիղ գծի գրաֆիկը.

Օրինակ, հաշվի առեք երկու տող. Այստեղ, հետեւաբար, գիծը ավելի զառիթափ է: Հիշեցնեմ, որ մոդուլը թույլ է տալիս անտեսել նշանը, մեզ միայն հետաքրքրում է բացարձակ արժեքներթեքության գործակիցները.

Իր հերթին, ուղիղ գիծն ավելի կտրուկ է, քան ուղիղները: .

Եվ հակառակը. որքան փոքր է մոդուլի թեքությունը, այնքան ավելի հարթ է ուղիղ գիծը.

Ուղիղ համար անհավասարությունը ճշմարիտ է, հետևաբար ուղիղ գիծն ավելի հարթ է։ Մանկական սլայդ, որպեսզի ձեր վրա կապտուկներ և բշտիկներ չտնկեք։

Ինչու է սա անհրաժեշտ:

Երկարացրեք ձեր տանջանքները Վերը նշված փաստերի իմացությունը թույլ է տալիս անմիջապես տեսնել ձեր սխալները, մասնավորապես, գրաֆիկական սխալները. Ցանկալի է, որ դուք անմիջապեսպարզ էր, որ, օրինակ, ուղիղ գիծը շատ զառիթափ է և գնում է ներքևից վեր, իսկ ուղիղը շատ ծանծաղ է, մոտ է առանցքին և գնում է վերևից ներքև։

Երկրաչափական խնդիրներում հաճախ հայտնվում են մի քանի ուղիղ գծեր, ուստի հարմար է դրանք ինչ-որ կերպ նշել։

ՆշանակումներՈւղիղ գծերը նշվում են փոքր լատինատառ տառերով. Հանրաճանաչ տարբերակ է նշանակումը նույն տառով բնական մակագրություններով: Օրինակ, հինգ ուղիղները, որոնք մենք հենց նոր քննարկեցինք, կարող են նշանակվել .

Քանի որ ցանկացած ուղիղ եզակիորեն որոշվում է երկու կետով, այն կարելի է նշանակել հետևյալ կետերով. և այլն: Նշումը հստակ ենթադրում է, որ կետերը պատկանում են ուղիղ գծի:

Մի փոքր տաքանալու ժամանակն է.

Ինչպե՞ս գրել թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը:

Եթե ​​որոշակի ուղիղ գծին պատկանող կետը և այս ուղիղ գծի թեքությունը հայտնի են, ապա այս ուղիղ գծի հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.

Օրինակ 1

Ուղիղ գիծը հավասարեցրեք թեքությանը, եթե հայտնի է, որ կետը պատկանում է այս ուղիղ գծին:

ԼուծումՈւղիղ գծի հավասարումը կազմվում է բանաձևով ... Այս դեպքում:

Պատասխանել:

Փորձաքննությունկատարվում է տարրական. Նախ, մենք նայում ենք ստացված հավասարմանը և համոզվում, որ մեր թեքությունը տեղում է: Երկրորդ, կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն այս հավասարումը: Փոխարինենք դրանք հավասարման մեջ.

Ստացվում է ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ կետը բավարարում է ստացված հավասարումը։

ԱրդյունքՀավասարումը ճիշտ է։

Ինքնուրույն լուծման ավելի բարդ օրինակ.

Օրինակ 2

Կազմե՛ք ուղիղ գծի հավասարումը, եթե հայտնի է, որ նրա թեքության անկյունը դեպի առանցքի դրական ուղղությունը հավասար է, և կետը պատկանում է այս ուղիղ գծին։

Դժվարությունների դեպքում նորից կարդացեք տեսական նյութը։ Ավելի ճիշտ, ավելի գործնական, ես բաց եմ թողնում շատ ապացույցներ։

Վերջին զանգը հնչեց, ավարտական ​​երեկոն մարեց, իսկ մեր հայրենի դպրոցի դարպասների ետևում, փաստորեն, մեզ սպասում է վերլուծական երկրաչափությունը։ Կատակներն ավարտվեցին…. Կամ գուցե նրանք նոր են սկսում =)

Կարոտով գրիչ ենք թափահարում ծանոթին ու ծանոթանում ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմանը։ Քանի որ սա է, որն օգտագործվում է վերլուծական երկրաչափության մեջ.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումն ունի ձևը:, որտեղ կան որոշ թվեր։ Ընդ որում, գործակիցները միաժամանակհավասար չեն զրոյի, քանի որ հավասարումը կորցնում է իր նշանակությունը:

Եկեք հագցնենք թեքության հավասարումը կոստյումով և փողկապով: Նախ, եկեք բոլոր տերմինները տեղափոխենք ձախ կողմ.

«x» տերմինը պետք է առաջին տեղում դրվի.

Սկզբունքորեն, հավասարումն արդեն ունի ձևը, բայց մաթեմատիկական վարվելակարգի կանոնների համաձայն, առաջին անդամի գործակիցը (տվյալ դեպքում) պետք է լինի դրական։ Նշանների փոփոխություն.

Հիշեք այս տեխնիկական հատկությունը:Առաջին գործակիցը (առավել հաճախ) դրական ենք դարձնում։

Անալիտիկ երկրաչափության մեջ ուղիղ գծի հավասարումը գրեթե միշտ տրվելու է ընդհանուր տեսքով: Դե, անհրաժեշտության դեպքում, թեքությամբ հեշտ է այն հասցնել «դպրոցական» տեսարանին (բացառությամբ օրդինատների առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծերի)։

Եկեք հարցնենք ինքներս մեզ, թե ինչ բավականգիտե՞ք ուղիղ գիծ կառուցել: Երկու միավոր. Բայց ավելի ուշ այս մանկության դեպքի մասին ավելի ուշ, այժմ մնում է սլաքների կանոնը: Յուրաքանչյուր ուղիղ գիծ ունի հստակ սահմանված թեքություն, որին հեշտ է «հարմարվել» վեկտոր.

Վեկտորը, որը զուգահեռ է ուղիղին, կոչվում է այս ուղիղի ուղղության վեկտոր:... Ակնհայտ է, որ ցանկացած ուղիղ գիծ ունի անսահման շատ ուղղության վեկտորներ, և դրանք բոլորը կլինեն միաձույլ (համաուղղված, թե ոչ, կարևոր չէ):

Ուղղության վեկտորը կնշանակեմ հետևյալ կերպ.

Բայց մեկ վեկտորը բավարար չէ ուղիղ գիծ կառուցելու համար, վեկտորն ազատ է և կապված չէ հարթության որևէ կետի հետ։ Ուստի լրացուցիչ անհրաժեշտ է իմանալ ինչ-որ կետ, որը պատկանում է ուղիղ գծին։

Ինչպե՞ս հավասարեցնել ուղիղ գիծը կետից և ուղղության վեկտորից:

Եթե ​​ուղիղ գծին պատկանող ինչ-որ կետ և այս ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը հայտնի է, ապա այս ուղիղ գծի հավասարումը կարող է կազմվել բանաձևով.

Այն երբեմն կոչվում է գծի կանոնական հավասարումը .

Ինչ անել, երբ կոորդինատներից մեկըզրոյական է, ստորև կտեսնենք գործնական օրինակներ։ Ի դեպ, նկատեք. երկուսն էլ միանգամիցկոորդինատները չեն կարող հավասար լինել զրոյի, քանի որ զրոյական վեկտորը չի նշում կոնկրետ ուղղություն:

Օրինակ 3

Հավասարեցրեք ուղիղ գիծը կետից և ուղղության վեկտորից

ԼուծումՈւղիղ գծի հավասարումը կազմվում է բանաձևով. Այս դեպքում:

Օգտագործելով համամասնության հատկությունները, մենք ազատվում ենք կոտորակներից.

Եվ մենք հավասարումը բերում ենք ընդհանուր ձևի.

Պատասխանել:

Նման օրինակներում նկարելը, որպես կանոն, պետք չէ անել, բայց հասկանալու համար.

Նկարում մենք տեսնում ենք մեկնարկային կետը, սկզբնական ուղղության վեկտորը (այն կարելի է մի կողմ դնել հարթության ցանկացած կետից) և կառուցված գիծը։ Ի դեպ, շատ դեպքերում ամենահարմարն է ուղիղ գիծ կառուցել՝ օգտագործելով թեքությամբ հավասարումը։ Հեշտ է մեր հավասարումը ձևափոխել և հեշտությամբ ընտրել ևս մեկ կետ ուղիղ գիծ կառուցելու համար:

Ինչպես նշվեց այս բաժնի սկզբում, ուղիղ գիծն ունի անսահման շատ ուղղության վեկտորներ, և դրանք բոլորը համագիծ են: Օրինակ, ես գծեցի երեք նման վեկտոր. ... Որ ուղղության վեկտորն էլ ընտրենք, արդյունքը միշտ կլինի նույն ուղիղ գծի հավասարումը:

Կազմենք կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը.

Մենք կարգավորում ենք համամասնությունը.

Երկու կողմերը բաժանում ենք –2-ի և ստանում ենք ծանոթ հավասարումը.

Ցանկացողները կարող են նմանապես փորձարկել վեկտորները կամ ցանկացած այլ համագիծ վեկտոր:

Այժմ լուծենք հակադարձ խնդիրը.

Ինչպե՞ս գտնել ուղղության վեկտորը ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմամբ:

Շատ պարզ:

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ընդհանուր հավասարմամբ ուղիղ տրված է, ապա վեկտորը այս ուղիղի ուղղության վեկտորն է։

Ուղիղ գծերի ուղղության վեկտորներ գտնելու օրինակներ.

Պնդումը թույլ է տալիս մեզ գտնել միայն մեկ ուղղորդող վեկտոր անսահման բազմությունից, բայց մեզ ավելին պետք չէ։ Թեև որոշ դեպքերում նպատակահարմար է նվազեցնել ուղղության վեկտորների կոորդինատները.

Այսպիսով, հավասարումը սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​որը զուգահեռ է առանցքին, և ստացված ուղղության վեկտորի կոորդինատները հարմար կերպով բաժանվում են –2-ի, ստանալով հենց հիմնական վեկտորը որպես ուղղության վեկտոր: Տրամաբանական է։

Նմանապես, հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, ​​և վեկտորի կոորդինատները բաժանելով 5-ի, մենք ստանում ենք ort որպես ուղղության վեկտոր:

Հիմա եկեք կատարենք ստուգեք օրինակ 3... Օրինակը բարձրացավ, ուստի ես ձեզ հիշեցնում եմ, որ դրանում մենք կազմել ենք ուղիղ գծի հավասարումը կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով:

Սկզբում, ուղիղ գծի հավասարմամբ վերականգնում ենք նրա ուղղության վեկտորը. - ամեն ինչ լավ է, մենք ստացանք սկզբնական վեկտորը (որոշ դեպքերում այն ​​կարող է պարզվել, որ համագիծ է սկզբնական վեկտորին, և դա սովորաբար հեշտ է նկատել համապատասխան կոորդինատների համաչափությունից):

Երկրորդ, կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն հավասարմանը։ Մենք դրանք փոխարինում ենք հավասարման մեջ.

Ճիշտ հավասարություն է ստացվել, ինչի համար շատ ուրախ ենք։

ԱրդյունքԱռաջադրանքը ճիշտ է կատարվել:

Օրինակ 4

Հավասարեցրեք ուղիղ գիծը կետից և ուղղության վեկտորից

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է: Լուծում և պատասխան՝ դասի վերջում։ Խիստ նպատակահարմար է ստուգում կատարել հենց նոր դիտարկված ալգորիթմի համաձայն: Միշտ փորձեք (եթե հնարավոր է) ստուգել սևագիրը: Հիմարություն է սխալներ թույլ տալ, որտեղ դրանք կարելի է 100%-ով խուսափել:

Այն դեպքում, երբ ուղղության վեկտորի կոորդինատներից մեկը զրո է, նրանք գործում են շատ պարզ.

Օրինակ 5

ԼուծումԲանաձևը չի աշխատում, քանի որ աջ կողմի հայտարարը զրո է: Ելք կա! Օգտագործելով համամասնության հատկությունները, մենք վերագրում ենք բանաձևը ձևով, իսկ մնացածը գլորվում է խորը գետնի երկայնքով.

Պատասխանել:

Փորձաքննություն:

1) Վերակառուցել ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը.
- ստացված վեկտորը համաչափ է սկզբնական ուղղության վեկտորի հետ:

2) կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր հավասարման մեջ.

Ստացվում է ճիշտ հավասարություն

Արդյունք: առաջադրանքը ճիշտ է կատարվել

Հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ անհանգստանալ բանաձեւով, եթե կա ունիվերսալ տարբերակ, որն այնուամենայնիվ կաշխատի։ Երկու պատճառ կա. Նախ՝ կոտորակային բանաձևը շատ ավելի լավ է հիշել... Եվ երկրորդ՝ ունիվերսալ բանաձեւի բացակայությունն այն է շփոթության վտանգը զգալիորեն մեծանում էկոորդինատները փոխարինելիս.

Օրինակ 6

Հավասարեցրեք ուղիղ գիծը կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով:

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է:

Եկեք վերադառնանք ամենուր տարածված երկու կետերին.

Ինչպե՞ս կազմել ուղիղ գծի հավասարումը երկու կետից:

Եթե ​​հայտնի է երկու կետ, ապա այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը կարող է կազմվել բանաձևով.

Իրականում սա մի տեսակ բանաձև է և ահա թե ինչու. եթե երկու կետ հայտնի է, ապա վեկտորը կլինի այս ուղիղի ուղղության վեկտորը: Դասին Վեկտորներ կեղծամների համարմենք դիտարկեցինք ամենապարզ խնդիրը՝ ինչպես գտնել վեկտորի կոորդինատները երկու կետով: Ըստ այս խնդրի՝ ուղղության վեկտորի կոորդինատները.

Նշում : կետերը կարելի է «փոխանակել» և օգտագործել բանաձևը ... Նման լուծումը համարժեք կլիներ։

Օրինակ 7

Հավասարեցրեք ուղիղ գիծը երկու կետից .

ԼուծումՄենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Մենք սանրում ենք հայտարարները.

Եվ խառնել տախտակամածը.

Այժմ հարմար է ձերբազատվել կոտորակային թվերից։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է երկու մասերը բազմապատկել 6-ով.

Մենք բացում ենք փակագծերը և մտքում բերում հավասարումը.

Պատասխանել:

Փորձաքննությունակնհայտ - սկզբնական կետերի կոորդինատները պետք է բավարարեն ստացված հավասարումը.

1) կետի կոորդինատները փոխարինել.

Իրական հավասարություն.

2) կետի կոորդինատները փոխարինել.

Իրական հավասարություն.

ԱրդյունքՈւղիղ գծի հավասարումը ճիշտ է:

Եթե գոնե մեկըմիավորները չի բավարարում հավասարումը, փնտրեք սխալը:

Հարկ է նշել, որ այս դեպքում գրաֆիկական ստուգումը դժվար է, քանի որ դուք կարող եք ուղիղ գիծ կառուցել և տեսնել, թե արդյոք կետերը պատկանում են դրան: , այնքան էլ հեշտ չէ։

Ես նաև կնշեմ լուծման մի քանի տեխնիկական ասպեկտներ. Թերևս այս առաջադրանքում ավելի ձեռնտու է օգտագործել հայելու բանաձևը և նույն կետերում կազմել հավասարում.

Սրանք ավելի փոքր կոտորակներ են: Եթե ​​ցանկանում եք, կարող եք հետևել լուծմանը մինչև վերջ, և արդյունքը լինի նույն հավասարումը։

Երկրորդ կետը պետք է դիտարկել վերջնական պատասխանը և պարզել, թե արդյոք այն կարելի՞ է ավելի պարզեցնել: Օրինակ, եթե ստացվում է հավասարում, ապա խորհուրդ է տրվում կրճատել այն երկուսով. - հավասարումը կսահմանի նույն ուղիղ գիծը: Սակայն սա արդեն խոսակցության թեմա է ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքը.

Պատասխանը ստանալով Օրինակ 7-ում, ամեն դեպքում, ես ստուգեցի, թե արդյոք հավասարման ԲՈԼՈՐ գործակիցները բաժանվում են 2-ի, 3-ի կամ 7-ի: Չնայած ամենից հաճախ նման կրճատումներ կատարվում են նույնիսկ լուծման ժամանակ:

Օրինակ 8

Հավասարեցրեք ուղիղ գիծը կետերի միջով .

Սա անկախ լուծման օրինակ է, որը պարզապես թույլ կտա ավելի լավ հասկանալ և մշակել հաշվողական տեխնիկան:

Նախորդ պարբերության նման. եթե բանաձևում Հայտարարներից մեկը (ուղղության վեկտորի կոորդինատը) անհետանում է, այնուհետև այն վերագրում ենք որպես. Կրկին նկատեք, թե որքան անհարմար և շփոթեցնող տեսք ունի նա: Ես գործնական օրինակներ բերելու իմաստ չեմ տեսնում, քանի որ մենք արդեն իրականում լուծել ենք նման խնդիր (տե՛ս թիվ 5, 6):

Գծի նորմալ վեկտոր (նորմալ վեկտոր)

Ինչն է նորմալ: Պարզ բառերով, նորմալը ուղղահայաց է: Այսինքն՝ ուղիղի նորմալ վեկտորը ուղղահայաց է այս ուղղին։ Ակնհայտ է, որ ցանկացած ուղիղ գիծ ունի դրանցից անսահման շատ (ինչպես նաև ուղղության վեկտորները), և ուղիղ գծի բոլոր նորմալ վեկտորները կլինեն համագիծ (համաուղղված, թե ոչ, տարբերություն չկա):

Դրանցով ապամոնտաժելը նույնիսկ ավելի հեշտ կլինի, քան ուղղության վեկտորներով.

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ընդհանուր հավասարմամբ ուղիղ տրված է, ապա վեկտորը այս ուղիղի նորմալ վեկտորն է։

Եթե ​​ուղղության վեկտորի կոորդինատները պետք է զգուշորեն «հանել» հավասարումից, ապա նորմալ վեկտորի կոորդինատները պարզապես «հանվում են»։

Նորմալ վեկտորը միշտ ուղղահայաց է ուղիղ գծի ուղղության վեկտորին: Եկեք ստուգենք այս վեկտորների ուղղանկյունությունը՝ օգտագործելով կետային արտադրանք:

Ես օրինակներ կտամ նույն հավասարումներով, ինչ ուղղության վեկտորի համար.

Հնարավո՞ր է ուղիղ գծի հավասարում կազմել՝ իմանալով մեկ կետ և նորմալ վեկտոր: Դուք կարող եք դա զգալ ձեր աղիքներում: Եթե ​​նորմալ վեկտորը հայտնի է, ապա ուղիղ գծի ուղղությունը յուրովի է որոշվում՝ սա «կոշտ կառուցվածք» է՝ 90 աստիճանի անկյան տակ։

Ինչպե՞ս գրել ուղիղ գծի հավասարումը կետից և նորմալ վեկտորից:

Եթե ​​ուղիղ գծին պատկանող ինչ-որ կետ և այս ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը հայտնի է, ապա այս ուղիղ գծի հավասարումն արտահայտվում է բանաձևով.

Այստեղ ամեն ինչ արվեց առանց կոտորակների և այլ անակնկալների։ Սա մեր նորմալ վեկտորն է: Սիրել նրան. Եվ հարգանք =)

Օրինակ 9

Հավասարեցրեք ուղիղ գիծը կետի և նորմալ վեկտորի երկայնքով: Գտե՛ք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը:

ԼուծումՄենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ստացվում է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, ստուգենք.

1) «Հանել» նորմալ վեկտորի կոորդինատները հավասարումից. - այո, իսկապես, սկզբնական վեկտորը ստացվել է պայմանից (կամ պետք է ստացվի համագիծ վեկտոր):

2) Ստուգեք, արդյոք կետը բավարարում է հավասարմանը.

Իրական հավասարություն.

Այն բանից հետո, երբ համոզվենք, որ հավասարումը ճիշտ է, մենք կկատարենք առաջադրանքի երկրորդ, ավելի հեշտ մասը: Մենք հանում ենք ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը.

Պատասխանել:

Խաղարկության մեջ իրավիճակը հետևյալն է.

Վերապատրաստման նպատակների համար նման խնդիր անկախ լուծման համար.

Օրինակ 10

Հավասարեցրեք ուղիղ գիծը կետից և նորմալ վեկտորից: Գտե՛ք ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը:

Դասի վերջին հատվածը նվիրված կլինի հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարումների ավելի քիչ տարածված, բայց նաև կարևոր տեսակներին:

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.
Ուղիղ գծի հավասարումը պարամետրային ձևով

Հատվածներում ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև, որտեղ զրոյական հաստատուններ են: Հավասարումների որոշ տեսակներ չեն կարող ներկայացված լինել այս ձևով, օրինակ՝ ուղիղ համեմատական ​​(քանի որ ազատ անդամը հավասար է զրոյի, և աջ կողմում մեկը ստանալու միջոց չկա)։

Սա, պատկերավոր ասած, «տեխնիկական» տիպի հավասարում է։ Սովորական խնդիր է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը հատվածներով ուղիղ գծի հավասարման տեսքով ներկայացնելը: Ինչպես է դա հարմար: Հատվածներում ուղիղ գծի հավասարումը թույլ է տալիս արագ գտնել ուղիղ գծի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով, ինչը շատ կարևոր է բարձրագույն մաթեմատիկայի որոշ խնդիրներում:

Գտե՛ք գծի առանցքի հետ հատման կետը: Մենք զրոյացնում ենք «խաղը», և հավասարումը ստանում է ձև: Ցանկալի միավորը ստացվում է ավտոմատ կերպով.

Նմանապես առանցքի հետ - այն կետը, որտեղ ուղիղ գիծը հատում է օրդինատների առանցքը:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Հոդվածը" " Ես ձեզ խոստացել եմ վերլուծել ածանցյալը գտնելու ներկայացված խնդիրների լուծման երկրորդ մեթոդը՝ ֆունկցիայի տրված գրաֆիկի և այս գրաֆիկին շոշափողի համար։ Մենք կվերլուծենք այս մեթոդը , մի կարոտեք! Ինչո՞ւհաջորդում?

Փաստն այն է, որ այնտեղ կօգտագործվի ուղիղ գծի հավասարման բանաձեւը։ Իհարկե, դուք կարող եք պարզապես ցույց տալ այս բանաձեւը և խորհուրդ տալ սովորել այն: Բայց ավելի լավ է բացատրել, թե որտեղից է այն առաջացել (ինչպես է առաջացել): Անհրաժեշտ է! Եթե ​​դուք մոռացել եք այն, ապա արագ վերականգնեք այնդժվար չի լինի. Ամեն ինչ մանրամասն ներկայացված է ստորև։ Այսպիսով, մենք ունենք երկու A կետ կոորդինատային հարթության վրա(x 1; y 1) և B (x 2; y 2), ուղիղ գիծ է գծվում նշված կետերի միջով.

Ահա ուղիղ գծի բանաձևը.

* Այսինքն՝ կետերի կոնկրետ կոորդինատները փոխարինելիս ստանում ենք y = kx + b ձևի հավասարում։

** Եթե այս բանաձևը պարզապես «կտրուկ» է, ապա մեծ է հավանականությունը, որ շփոթեն ինդեքսների հետ. Ն.Ս... Բացի այդ, ինդեքսները կարող են նշանակվել տարբեր ձևերով, օրինակ.

Այդ իսկ պատճառով կարևոր է հասկանալ իմաստը։

Այժմ այս բանաձեւի եզրակացությունը. Ամեն ինչ շատ պարզ է!

ABE և ACF եռանկյունները սուր անկյունով նման են (ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության առաջին նշանը): Այստեղից բխում է, որ համապատասխան տարրերի հարաբերությունները հավասար են, այսինքն.

Այժմ մենք պարզապես արտահայտում ենք այս հատվածները կետերի կոորդինատների տարբերությամբ.

Իհարկե, սխալ չի լինի, եթե տարրերի հարաբերությունները գրեք այլ հերթականությամբ (գլխավորը համապատասխանությունը պահպանելն է).

Արդյունքը կլինի ուղիղ գծի նույն հավասարումը: Ամեն ինչ!

Այսինքն, անկախ նրանից, թե ինչպես են նշված կետերը (և դրանց կոորդինատները), հասկանալով այս բանաձևը, դուք միշտ կգտնեք ուղիղ գծի հավասարումը:

Բանաձևը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով վեկտորների հատկությունները, սակայն եզրակացության սկզբունքը նույնն է լինելու, քանի որ մենք կխոսենք դրանց կոորդինատների համաչափության մասին։ Այս դեպքում գործում է ուղղանկյուն եռանկյունների նույն տեսքը։ Իմ կարծիքով, վերը նկարագրված արդյունքն ավելի պարզ է)):

Դիտեք ելքը վեկտորային կոորդինատների միջոցով >>>

Թող ուղիղ գիծ կառուցվի կոորդինատային հարթության վրա, որն անցնում է A (x 1; y 1) և B (x 2; y 2) երկու կետերով: Եկեք ուղիղ գծի վրա նշենք կամայական C կետ կոորդինատներով ( x; y): Մենք նաև նշում ենք երկու վեկտոր.

Հայտնի է, որ զուգահեռ ուղիղների վրա (կամ մեկ ուղիղ գծի վրա) ընկած վեկտորների համար դրանց համապատասխան կոորդինատները համաչափ են, այսինքն.

- գրում ենք համապատասխան կոորդինատների հարաբերությունների հավասարությունը.

Դիտարկենք մի օրինակ.

Գտեք երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը (2; 5) և (7: 3) կոորդինատներով:

Պետք չէ նույնիսկ ինքնին ուղիղ գիծ կառուցել: Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Հարաբերակցությունը կազմելիս կարևոր է որսալ նամակագրությունը։ Դուք չեք կարող սխալվել, եթե գրեք.

Պատասխան՝ y = -2 / 5x + 29/5 go y = -0.4x + 5.8

Որպեսզի համոզվեք, որ ստացված հավասարումը ճիշտ է գտնվել, համոզվեք, որ ստուգեք՝ փոխարինեք տվյալների կոորդինատները դրա մեջ կետերի վիճակում: Դուք պետք է ճիշտ հավասարումներ ստանաք:

Այսքանը: Հուսով եմ, որ նյութը օգտակար էր ձեզ համար:

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր։

P.S. Ես շնորհակալ կլինեմ, եթե կարողանաք մեզ պատմել կայքի մասին սոցիալական ցանցերում:

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Դուք կարող եք անսահման շատ ուղիղ գծեր գծել ցանկացած կետի միջով:

Մեկ ուղիղ գիծ կարելի է գծել ցանկացած երկու ոչ համընկնող կետերով:

Հարթության վրա երկու անհամապատասխան ուղիղ գծեր կամ հատվում են մեկ կետում, կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

Եռաչափ տարածության մեջ երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

• ուղիղ գծերը հատվում են;

• ուղիղ գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող- առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ դեկարտյան կոորդինատային համակարգում՝ ուղիղ գիծ

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում):

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Սահմանում... Հարթության ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

հաստատունով Ա, Բմիաժամանակ հավասար չեն զրոյի. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ընդհանուր

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, Բև ՀԵՏհնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծն անցնում է ծագման միջով

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Կետի և նորմալ վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Սահմանում... Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ... Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում... A = 3 և B = -1 դեպքում կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: Գտնել C գործակիցը:

Տրված Ա կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր ստացված արտահայտությամբ Ստացվում է՝ 3 - 2 + C = 0, հետևաբար.

C = -1. Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)և M2 (x 2, y 2, z 2),ապա ուղիղ գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասարվի զրոյի: Վրա

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1 ≠ x 2և x = x 1, եթե x 1 = x 2 .

Մաս = kկանչեց լանջին ուղիղ.

Օրինակ... Գտե՛ք A (1, 2) և B (3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում... Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումն ըստ կետի և թեքության:

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը Ax + Wu + C = 0տանել դեպի ձևը.

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Համեմատելով պարբերության հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը.

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր:

Սահմանում... Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2)որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aa 1 + Va 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ... Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը (1, 2):

Լուծում... Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը կփնտրվի հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է համապատասխանեն հետևյալ պայմաններին.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C / A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ, ապա բաժանելով -C-ի, ստանում ենք.

կամ որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է.

ուղիղ առանցքով Օ,ա բ- ուղիղ գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը OU.

Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտեք այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով:

C = 1, a = -1, b = 1:

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել թվով որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ մ * Գ< 0.

Ռ- սկզբից մինչև ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում 12x - 5y - 65 = 0... Պահանջվում է տարբեր տեսակի հավասարումներ գրելու համար

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղղի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Ուղիղ գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ոչ ամեն ուղիղ գիծ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելիս։

Ինքնաթիռի ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում... Եթե ​​տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև սուր անկյուն

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2... Երկու ուղիղ գծեր ուղղահայաց են,

եթե k 1 = -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղղակի Ax + Wu + C = 0և A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ են, երբ գործակիցները համաչափ են

А 1 = лА, В 1 = λВ... Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա ուղիղ գծերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Սահմանում... Գիծ՝ կետով M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող:

Թեորեմ... Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),հեռավորությունը դեպի ուղիղ գիծ Ax + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց... Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ գիծ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը Մև Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1և 1-ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է՝ ուղղահայաց.

տրված ուղիղ գիծ. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

K (x 0; y 0) կետով անցնող և y = kx + a ուղիղին զուգահեռ ուղիղը գտնում ենք բանաձևով.

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

Որտեղ k-ն ուղիղ գծի թեքությունն է:

Այլընտրանքային բանաձև.
M 1 (x 1; y 1) կետով անցնող և ուղիղ գծին զուգահեռ Ax + By + C = 0 կետով ներկայացված է հավասարում.

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0: (2)

Կազմե՛ք K կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ( ;) y = ուղիղ գծին զուգահեռ x + .

Օրինակ # 1. Կազմե՛ք M 0 (-2,1) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը և միևնույն ժամանակ.
ա) ուղիղ գծին զուգահեռ 2x + 3y -7 = 0;
բ) 2x + 3y -7 = 0 ուղիղ գծին ուղղահայաց:
Լուծում ... Մենք ներկայացնում ենք թեքության հետ հավասարումը որպես y = kx + a: Դա անելու համար բոլոր արժեքները, բացի y-ից, տեղափոխեք աջ կողմ՝ 3y = -2x + 7: Հետո աջ կողմը բաժանում ենք 3 գործակցով։ Մենք ստանում ենք՝ y = -2 / 3x + 7/3
Գտե՛ք NK հավասարումը, որն անցնում է K կետով (-2; 1), y = -2 / 3 x + 7/3 ուղիղին զուգահեռ.
Փոխարինելով x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 մենք ստանում ենք.
y-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
կամ
y = -2 / 3 x - 1/3 կամ 3y + 2x +1 = 0

Օրինակ թիվ 2. Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը, որը զուգահեռ է ուղիղ գծին 2x + 5y = 0 և կոորդինատային առանցքների հետ միասին կազմելով եռանկյուն, որի մակերեսը 5 է։
Լուծում ... Քանի որ ուղիղ գծերը զուգահեռ են, ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը 2x + 5y + C = 0 է: Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը, որտեղ a-ն և b-ը նրա ոտքերն են: Գտեք ցանկալի ուղիղ գծի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով.
;
.
Այսպիսով, A (-C / 2.0), B (0, -C / 5): Տարածքի բանաձևում փոխարինել. ... Ստանում ենք երկու լուծում՝ 2x + 5y + 10 = 0 և 2x + 5y - 10 = 0։

Օրինակ թիվ 3. Կազմե՛ք (-2; 5) կետով անցնող և 5x-7y-4 = 0 ուղիղ գծին զուգահեռ ուղիղ գծի հավասարումը։
Լուծում. Այս ուղիղ գիծը կարելի է ներկայացնել y = 5/7 x - 4/7 հավասարմամբ (այստեղ a = 5/7): Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը y - 5 = 5/7 (x - (-2)), այսինքն. 7 (y-5) = 5 (x + 2) կամ 5x-7y + 45 = 0:

Օրինակ թիվ 4. Օրինակ 3 (A = 5, B = -7) լուծելով (2) բանաձևով, մենք գտնում ենք 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0:

Օրինակ թիվ 5. Հավասարեցրե՛ք (-2; 5) կետով անցնող ուղիղը և ուղիղ գծին զուգահեռ 7x + 10 = 0։
Լուծում. Այստեղ A = 7, B = 0: Բանաձև (2) տալիս է 7 (x + 2) = 0, այսինքն. x + 2 = 0: Բանաձև (1) անկիրառելի է, քանի որ այս հավասարումը չի կարող լուծվել y-ի նկատմամբ (այս ուղիղը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին):

Հարթության վրա գծի հավասարումը.

Ինչպես գիտեք, ցանկացած կոորդինատային համակարգում հարթության ցանկացած կետ որոշվում է երկու կոորդինատներով: Կոորդինատների համակարգերը կարող են տարբեր լինել՝ կախված տվյալների և ծագման ընտրությունից:

Սահմանում. Հավասարման գիծկոչվում է y = f (x) հարաբերակցությունը այն կետերի կոորդինատների միջև, որոնք կազմում են այս ուղիղը:

Նկատի ունեցեք, որ գծի հավասարումը կարող է արտահայտվել պարամետրային կերպով, այսինքն՝ յուրաքանչյուր կետի յուրաքանչյուր կոորդինատ արտահայտվում է ինչ-որ անկախ պարամետրով։ տ.

Տիպիկ օրինակ է շարժվող կետի հետագիծը։ Այս դեպքում ժամանակը պարամետրի դեր է խաղում։

Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա.

Սահմանում. Հարթության ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

ընդ որում, A, B հաստատունները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, այսինքն. А 2 + В 2  0. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Կախված A, B և C հաստատունների արժեքներից, հնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

C = 0, A  0, B  0 - գիծն անցնում է սկզբնակետով

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - ուղիղ գիծը զուգահեռ է Ox առանցքին

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) - ուղիղ գիծը զուգահեռ է Oy առանցքին:

B = C = 0, A  0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Oy առանցքի հետ

A = C = 0, B  0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Ox առանցքի հետ

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված տվյալ սկզբնական պայմաններից:

Կետի և նորմալ վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Սահմանում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներ ունեցող վեկտորը ուղղահայաց է Ax + Vy + C = 0 հավասարմամբ տրված ուղիղ գծին։

Օրինակ.Գտե՛ք վեկտորին ուղղահայաց A (1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. (3, -1).

A = 3 և B = -1 դեպքում մենք կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: C գործակիցը գտնելու համար մենք փոխարինում ենք տրված A կետի կոորդինատները ստացված արտահայտության մեջ:

Ստանում ենք՝ 3 - 2 + C = 0, հետևաբար C = -1։

Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու կետեր M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասարվի զրոյի:

Հարթության վրա վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1  x 2 և x = x 1, եթե x 1 = x 2:

Մաս
= k կոչվում է լանջինուղիղ.

Օրինակ.Գտե՛ք A (1, 2) և B (3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումն ըստ կետի և թեքության:

Եթե ​​Ax + Vy + C = 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը վերածվում է ձևի.

և նշանակել
, ապա ստացված հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը թեքության հետկ.

Կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Համեմատելով պարբերության հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել ուղիղ գծի ճշգրտում կետի և ուղղության վեկտորի միջոցով:

Սահմանում. Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր ( 1,  2), որի բաղադրիչները բավարարում են А 1 + В 2 = 0 պայմանը կոչվում է ուղղի ուղղորդող վեկտոր։

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ.Գտե՛ք ուղղության վեկտորով ուղիղ գծի հավասարումը (1, -1) և անցնելով Ա կետով (1, 2):

Ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը կփնտրվի ձևով. Ax + By + C = 0: Ըստ սահմանման, գործակիցները պետք է բավարարեն պայմանները.

1A + (-1) B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև տողի հավասարումն ունի ձև՝ Ax + Ay + C = 0, կամ x + y + C / A = 0:

x = 1, y = 2 համար մենք ստանում ենք C / A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ax + Vy + C = 0 C 0, ապա, բաժանելով –C-ի, ստանում ենք.
կամ

, որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ գործակիցը աՕքսի առանցքի հետ ուղիղ գծի հատման կետի կոորդինատն է, և բ- Oy առանցքի հետ ուղիղ գծի հատման կետի կոորդինատը.

Օրինակ.Տրված է x - y + 1 = 0 ուղիղի ընդհանուր հավասարումը։Գտե՛ք այս ուղիղի հավասարումը հատվածներով։

C = 1,
, a = -1, b = 1:

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերն էլ Ax + Vy + C = 0 բաժանվում են թվի վրա
որը կոչվում է նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcos + ysin - p = 0 -

ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի  նշանը պետք է ընտրել այնպես, որ С< 0.

p-ն սկզբնակետից դեպի ուղիղ իջած ուղղահայաց երկարությունն է, իսկ -ն այս ուղղահայաց կողմից Ox առանցքի դրական ուղղության հետ ձևավորված անկյունն է։

Օրինակ.Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0։ Պահանջվում է գրել այս ուղիղ գծի տարբեր տեսակի հավասարումներ։

այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

այս ուղիղ գծի հավասարումը թեքության հետ. (բաժանել 5-ի)

Գծի նորմալ հավասարում.

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չէ, որ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնող ուղիղները։

Օրինակ.Ուղիղ գիծը կտրում է հավասար դրական հատվածները կոորդինատային առանցքների վրա: Կազմեք ուղիղ գծի հավասարում, եթե այս հատվածներով ձևավորված եռանկյան մակերեսը 8 սմ 2 է:

Ուղիղ գծի հավասարումը ունի ձև.
, a = b = 1; ab / 2 = 8; a = 4; -4.

a = -4-ը չի համապատասխանում խնդրի հայտարարությանը:

Ընդամենը:
կամ x + y - 4 = 0:

Օրինակ.Կազմե՛ք A (-2, -3) կետով անցնող ուղիղ գծի և սկզբնագծի հավասարումը:

Ուղիղ գծի հավասարումը ունի ձև.
, որտեղ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Ինքնաթիռի ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում. Եթե ​​տրված են երկու ուղիղներ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս ուղիղների միջև սուր անկյունը կսահմանվի որպես.

.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2:

Երկու ուղիղ գծեր ուղղահայաց են, եթե k 1 = -1 / k 2:

Թեորեմ. Ուղիղ գծեր Ax + Vu + C = 0 և A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 զուգահեռ են, երբ A գործակիցները համաչափ են 1 =  Ա, Բ 1 =  Բ. Եթե նաև Գ 1 =  C, ապա ուղիղ գծերը համընկնում են:

Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

ուղղահայաց այս գծին.

Սահմանում. M 1 (x 1, y 1) կետով անցնող և y = kx + b ուղիղին ուղղահայաց ուղիղը ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող:

Թեորեմ. Եթե ​​M ​​կետը (x 0 , ժամը 0 ), այնուհետև Ax + Vy + C = 0 ուղիղ գծի հեռավորությունը սահմանվում է որպես

.

Ապացույց. Թող M 1 կետը (x 1, y 1) լինի M կետից տրված ուղիղ գծի վրա ընկած ուղղահայաց հիմքը: Այնուհետև հեռավորությունը M և M 1 կետերի միջև.

x 1 և y 1 կոորդինատները կարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց M 0 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

.

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ.Որոշե՛ք ուղիղ գծերի միջև եղած անկյունը՝ y = -3x + 7; y = 2x + 1:

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  =  / 4.

Օրինակ.Ցույց տվեք, որ 3x - 5y + 7 = 0 և 10x + 6y - 3 = 0 ուղիղները ուղղահայաց են:

Մենք գտնում ենք՝ k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, հետևաբար, ուղիղները ուղղահայաց են։

Օրինակ.Տրված են A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) եռանկյան գագաթները։ Գտեք C գագաթից գծված բարձրության հավասարումը:

Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը.
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Պահանջվող բարձրության հավասարումն է՝ Ax + By + C = 0 կամ y = kx + b:

k = ... Այնուհետև y =
... Որովհետեւ բարձրությունը անցնում է C կետով, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը.
որտեղից b = 17. Ընդամենը:
.

Պատասխան՝ 3x + 2y - 34 = 0:

Անալիտիկ երկրաչափություն տարածության մեջ.

Տիեզերքի գծի հավասարումը.

Տիեզերքում ուղիղ գծի հավասարումը կետի երկայնքով և

ուղղորդող վեկտոր.

Վերցրեք կամայական գիծ և վեկտոր (m, n, p) տրված ուղիղին զուգահեռ: Վեկտոր կանչեց ուղղության վեկտորուղիղ.

Ուղիղ գծի վրա վերցրեք երկու կամայական կետեր M 0 (x 0, y 0, z 0) և M (x, y, z):

զ

Մ 1

Նշենք այս կետերի շառավղային վեկտորները որպես և , ակնհայտ է, որ - =
.

Որովհետեւ վեկտորներ
և համագիծ, ապա կապը
= t, որտեղ t-ը որոշ պարամետր է:

Ընդհանուր, կարող եք գրել. = + տ.

Որովհետեւ այս հավասարումը բավարարվում է ուղիղ գծի ցանկացած կետի կոորդինատներով, ապա ստացված հավասարումը. Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարում.

Այս վեկտորային հավասարումը կարող է ներկայացվել կոորդինատային ձևով.

Փոխակերպելով այս համակարգը և հավասարեցնելով t պարամետրի արժեքները, մենք ստանում ենք ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներ տարածության մեջ.

.

Սահմանում. Ուղղության կոսինուսներուղիղ գիծը վեկտորի ուղղության կոսինուսներն են , որը կարելի է հաշվարկել բանաձևերով.

;

.

Այստեղից ստանում ենք՝ m:n:p = cos:cos:cos:

M, n, p թվերը կոչվում են լանջերինուղիղ. Որովհետեւ ոչ զրոյական վեկտոր է, ապա m, n և p չեն կարող միաժամանակ զրո լինել, բայց այս թվերից մեկը կամ երկուսը կարող են լինել զրո: Այս դեպքում ուղիղ գծի հավասարման մեջ համապատասխան համարիչները պետք է հավասարվեն զրոյի։

Ուղիղ գծի հավասարումը տարածության մեջ

երկու կետի միջոցով.

Եթե ​​տարածության ուղիղ գծի վրա մենք նշում ենք երկու կամայական կետեր M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա այդ կետերի կոորդինատները պետք է բավարարեն ուղիղ գծի հավասարումը. ստացված վերևում.

.

Բացի այդ, M 1 կետի համար կարող եք գրել.

.

Այս հավասարումները միասին լուծելով՝ ստանում ենք.

.

Սա տարածության երկու կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։

Տիեզերքում ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներ.

Ուղիղ գծի հավասարումը կարելի է համարել երկու հարթությունների հատման գծի հավասարում։

Ինչպես նշվեց վերևում, վեկտորի տեսքով հարթությունը կարող է տրվել հետևյալ հավասարմամբ.

+ D = 0, որտեղ

- ինքնաթիռը նորմալ; - հարթության կամայական կետի շառավիղի վեկտորը: