Առցանց երկու կետից ուղիղ գիծ կառուցելը: Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը հարթության վրա

Ուղիղ գծի հատկությունները էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ.

Դուք կարող եք անսահման շատ ուղիղ գծեր գծել ցանկացած կետի միջով:

Մեկ ուղիղ գիծ կարելի է գծել ցանկացած երկու ոչ համընկնող կետերով:

Հարթության վրա երկու անհամապատասխան ուղիղ գծեր կամ հատվում են մեկ կետում, կամ էլ են

զուգահեռ (հետևում է նախորդից):

Եռաչափ տարածության մեջ երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքի երեք տարբերակ կա.

• ուղիղ գծերը հատվում են;

• ուղիղ գծերը զուգահեռ են;

• ուղիղ գծերը հատվում են.

Ուղիղ տող- առաջին կարգի հանրահաշվական կոր՝ դեկարտյան կոորդինատային համակարգում՝ ուղիղ գիծ

հարթության վրա տրվում է առաջին աստիճանի հավասարումով (գծային հավասարում):

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Սահմանում... Հարթության ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

հաստատունով Ա, Բմիաժամանակ հավասար չեն զրոյի. Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ընդհանուր

ուղիղ գծի հավասարում.Կախված հաստատունների արժեքներից Ա, Բև ՀԵՏհնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծն անցնում է ծագման միջով

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ Օ՜

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ուղիղ գիծ՝ առանցքին զուգահեռ OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ուղիղ գիծը համընկնում է առանցքի հետ Օ՜

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված ցանկացած տրվածից

նախնական պայմանները.

Կետի և նորմալ վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Սահմանում... Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներով վեկտոր

հավասարմամբ տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ... Գտե՛ք կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը A (1, 2)ուղղահայաց վեկտորին (3, -1).

Լուծում... A = 3 և B = -1 դեպքում կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը. 3x - y + C = 0: Գտնել C գործակիցը:

Տրված Ա կետի կոորդինատները փոխարինի՛ր ստացված արտահայտությամբ Ստացվում է՝ 3 - 2 + C = 0, հետևաբար.

C = -1. Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Թող երկու միավոր տրվի տարածության մեջ M 1 (x 1, y 1, z 1)և M2 (x 2, y 2, z 2),ապա ուղիղ գծի հավասարում,

անցնելով այս կետերով.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը զրո է, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասարվի զրոյի: Վրա

հարթություն, վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1 ≠ x 2և x = x 1, եթե x 1 = x 2 .

Մաս = kկանչեց լանջին ուղիղ.

Օրինակ... Գտե՛ք A (1, 2) և B (3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում... Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումն ըստ կետի և թեքության:

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը Ax + Wu + C = 0տանել դեպի ձևը.

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է

ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ k.

Կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը:

Համեմատելով պարբերության հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել առաջադրանքը.

ուղիղ գիծ կետի միջով և ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր:

Սահմանում... Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2)որի բաղադրիչները բավարարում են պայմանը

Aa 1 + Va 2 = 0կանչեց ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր.

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ... Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը (1, 2):

Լուծում... Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը կփնտրվի հետևյալ ձևով. Ax + By + C = 0:Ըստ սահմանման՝

գործակիցները պետք է համապատասխանեն հետևյալ պայմաններին.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև. Կացին + Այ + Գ = 0,կամ x + y + C / A = 0:

ժամը x = 1, y = 2մենք ստանում ենք C / A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

x + y - 3 = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

Եթե ​​Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ, ապա բաժանելով -C-ի, ստանում ենք.

կամ որտեղ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ a գործակիցը հատման կետի կոորդինատն է.

ուղիղ առանցքով Օ,ա բ- ուղիղ գծի առանցքի հետ հատման կետի կոորդինատը OU.

Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը x - y + 1 = 0:Գտեք այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով:

C = 1, a = -1, b = 1:

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում.

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերը Ax + Wu + C = 0բաժանել թվով որը կոչվում է

նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -գծի նորմալ հավասարում.

Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ մ * Գ< 0.

Ռ- սկզբից մինչև ուղիղ գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը,

ա φ - առանցքի դրական ուղղության հետ այս ուղղահայաց ձևավորված անկյունը Օ՜

Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում 12x - 5y - 65 = 0... Պահանջվում է տարբեր տեսակի հավասարումներ գրելու համար

այս ուղիղ գիծը.

Այս ուղղի հավասարումը հատվածներով:

Այս գծի հավասարումը թեքության հետ(բաժանել 5-ի)

Ուղիղ գծի հավասարում:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ոչ ամեն ուղիղ գիծ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ ուղիղ գծերով,

առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնելիս։

Ինքնաթիռի ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը:

Սահմանում... Եթե ​​տրված է երկու տող y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս տողերի միջև սուր անկյուն

կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2... Երկու ուղիղ գծեր ուղղահայաց են,

եթե k 1 = -1 / k 2 .

Թեորեմ.

Ուղղակի Ax + Wu + C = 0և A 1 x + B 1 y + C 1 = 0զուգահեռ են, երբ գործակիցները համաչափ են

А 1 = лА, В 1 = λВ... Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա ուղիղ գծերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները

գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Սահմանում... Գիծ՝ կետով M 1 (x 1, y 1)և ուղղահայաց y = kx + b

ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող:

Թեորեմ... Եթե ​​տրվում է միավոր M (x 0, y 0),հեռավորությունը դեպի ուղիղ գիծ Ax + Wu + C = 0սահմանվում է որպես:

Ապացույց... Թող կետը M 1 (x 1, y 1)- կետից ընկած ուղղահայաց հիմքը Մտրվածի համար

ուղիղ գիծ. Այնուհետեւ կետերի միջեւ հեռավորությունը Մև Մ 1:

(1)

Կոորդինատներ x 1և 1-ինկարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված M 0 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է՝ ուղղահայաց.

տրված ուղիղ գիծ. Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

K (x 0; y 0) կետով անցնող և y = kx + a ուղիղին զուգահեռ ուղիղը գտնում ենք բանաձևով.

y - y 0 = k (x - x 0) (1)

Որտեղ k-ն ուղիղ գծի թեքությունն է:

Այլընտրանքային բանաձև.
M 1 (x 1; y 1) կետով անցնող և ուղիղ գծին զուգահեռ Ax + By + C = 0 կետով ներկայացված է հավասարում.

A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0: (2)

Կազմե՛ք K կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը ( ;) y = ուղիղ գծին զուգահեռ x + .

Օրինակ # 1. Կազմե՛ք M 0 (-2,1) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը և միևնույն ժամանակ.
ա) ուղիղ գծին զուգահեռ 2x + 3y -7 = 0;
բ) 2x + 3y -7 = 0 ուղիղ գծին ուղղահայաց:
Լուծում ... Մենք ներկայացնում ենք թեքության հետ հավասարումը որպես y = kx + a: Դա անելու համար բոլոր արժեքները, բացի y-ից, տեղափոխեք աջ կողմ՝ 3y = -2x + 7: Հետո աջ կողմը բաժանում ենք 3 գործակցով։ Մենք ստանում ենք՝ y = -2 / 3x + 7/3
Գտե՛ք NK հավասարումը, որն անցնում է K կետով (-2; 1), y = -2 / 3 x + 7/3 ուղիղին զուգահեռ.
Փոխարինելով x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 մենք ստանում ենք.
y-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
կամ
y = -2 / 3 x - 1/3 կամ 3y + 2x +1 = 0

Օրինակ թիվ 2. Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը, որը զուգահեռ է ուղիղ գծին 2x + 5y = 0 և կոորդինատային առանցքների հետ միասին կազմելով եռանկյուն, որի մակերեսը 5 է։
Լուծում ... Քանի որ ուղիղ գծերը զուգահեռ են, ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը 2x + 5y + C = 0 է: Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը, որտեղ a-ն և b-ը նրա ոտքերն են: Գտեք ցանկալի ուղիղ գծի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով.
;
.
Այսպիսով, A (-C / 2.0), B (0, -C / 5): Տարածքի բանաձևում փոխարինել. ... Ստանում ենք երկու լուծում՝ 2x + 5y + 10 = 0 և 2x + 5y - 10 = 0։

Օրինակ թիվ 3. Կազմե՛ք (-2; 5) կետով անցնող և 5x-7y-4 = 0 ուղիղ գծին զուգահեռ ուղիղ գծի հավասարումը։
Լուծում. Այս ուղիղ գիծը կարելի է ներկայացնել y = 5/7 x - 4/7 հավասարմամբ (այստեղ a = 5/7): Պահանջվող ուղիղ գծի հավասարումը y - 5 = 5/7 (x - (-2)), այսինքն. 7 (y-5) = 5 (x + 2) կամ 5x-7y + 45 = 0:

Օրինակ թիվ 4. Օրինակ 3 (A = 5, B = -7) լուծելով (2) բանաձևով, մենք գտնում ենք 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0:

Օրինակ թիվ 5. Հավասարեցրե՛ք (-2; 5) կետով անցնող ուղիղը և ուղիղ գծին զուգահեռ 7x + 10 = 0։
Լուծում. Այստեղ A = 7, B = 0: Բանաձև (2) տալիս է 7 (x + 2) = 0, այսինքն. x + 2 = 0: Բանաձև (1) անկիրառելի է, քանի որ այս հավասարումը չի կարող լուծվել y-ի նկատմամբ (այս ուղիղը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին):

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Հոդվածը" " Ես ձեզ խոստացել եմ վերլուծել ածանցյալը գտնելու ներկայացված խնդիրների լուծման երկրորդ մեթոդը՝ ֆունկցիայի տրված գրաֆիկի և այս գրաֆիկին շոշափողի համար։ Մենք կվերլուծենք այս մեթոդը , մի կարոտեք! Ինչո՞ւհաջորդում?

Փաստն այն է, որ այնտեղ կօգտագործվի ուղիղ գծի հավասարման բանաձեւը։ Իհարկե, դուք կարող եք պարզապես ցույց տալ այս բանաձեւը և խորհուրդ տալ սովորել այն: Բայց ավելի լավ է բացատրել, թե որտեղից է այն առաջացել (ինչպես է առաջացել): Անհրաժեշտ է! Եթե ​​դուք մոռացել եք այն, ապա արագ վերականգնեք այնդժվար չի լինի. Ամեն ինչ մանրամասն ներկայացված է ստորև։ Այսպիսով, մենք ունենք երկու A կետ կոորդինատային հարթության վրա(x 1; y 1) և B (x 2; y 2), ուղիղ գիծ է գծվում նշված կետերի միջով.

Ահա ուղիղ գծի բանաձևը.

* Այսինքն՝ կետերի կոնկրետ կոորդինատները փոխարինելիս ստանում ենք y = kx + b ձևի հավասարում։

** Եթե այս բանաձևը պարզապես «կտրուկ» է, ապա մեծ է հավանականությունը, որ շփոթեն ինդեքսների հետ. Ն.Ս... Բացի այդ, ինդեքսները կարող են նշանակվել տարբեր ձևերով, օրինակ.

Այդ իսկ պատճառով կարևոր է հասկանալ իմաստը։

Այժմ այս բանաձեւի եզրակացությունը. Ամեն ինչ շատ պարզ է!

ABE և ACF եռանկյունները սուր անկյունով նման են (ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության առաջին նշանը): Այստեղից բխում է, որ համապատասխան տարրերի հարաբերությունները հավասար են, այսինքն.

Այժմ մենք պարզապես արտահայտում ենք այս հատվածները կետերի կոորդինատների տարբերությամբ.

Իհարկե, սխալ չի լինի, եթե տարրերի հարաբերությունները գրեք այլ հերթականությամբ (գլխավորը համապատասխանությունը պահպանելն է).

Արդյունքը կլինի ուղիղ գծի նույն հավասարումը: Ամեն ինչ!

Այսինքն, անկախ նրանից, թե ինչպես են նշված կետերը (և դրանց կոորդինատները), հասկանալով այս բանաձևը, դուք միշտ կգտնեք ուղիղ գծի հավասարումը:

Բանաձևը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով վեկտորների հատկությունները, սակայն եզրակացության սկզբունքը նույնն է լինելու, քանի որ մենք կխոսենք դրանց կոորդինատների համաչափության մասին։ Այս դեպքում գործում է ուղղանկյուն եռանկյունների նույն տեսքը։ Իմ կարծիքով, վերը նկարագրված արդյունքն ավելի պարզ է)):

Դիտեք ելքը վեկտորային կոորդինատների միջոցով >>>

Թող ուղիղ գիծ կառուցվի կոորդինատային հարթության վրա, որն անցնում է A (x 1; y 1) և B (x 2; y 2) երկու կետերով: Եկեք ուղիղ գծի վրա նշենք կամայական C կետ կոորդինատներով ( x; y): Մենք նաև նշում ենք երկու վեկտոր.

Հայտնի է, որ զուգահեռ ուղիղների վրա (կամ մեկ ուղիղ գծի վրա) ընկած վեկտորների համար դրանց համապատասխան կոորդինատները համաչափ են, այսինքն.

- գրում ենք համապատասխան կոորդինատների հարաբերությունների հավասարությունը.

Դիտարկենք մի օրինակ.

Գտեք երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը (2; 5) և (7: 3) կոորդինատներով:

Պետք չէ նույնիսկ ինքնին ուղիղ գիծ կառուցել: Մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Հարաբերակցությունը կազմելիս կարևոր է որսալ նամակագրությունը։ Դուք չեք կարող սխալվել, եթե գրեք.

Պատասխան՝ y = -2 / 5x + 29/5 go y = -0.4x + 5.8

Որպեսզի համոզվեք, որ ստացված հավասարումը ճիշտ է գտնվել, համոզվեք, որ ստուգեք՝ փոխարինեք տվյալների կոորդինատները դրա մեջ կետերի վիճակում: Դուք պետք է ճիշտ հավասարումներ ստանաք:

Այսքանը: Հուսով եմ, որ նյութը օգտակար էր ձեզ համար:

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր։

P.S. Ես շնորհակալ կլինեմ, եթե կարողանաք մեզ պատմել կայքի մասին սոցիալական ցանցերում:

Սահմանում.Հարթության ցանկացած ուղիղ գիծ կարող է տրվել առաջին կարգի հավասարմամբ

Կացին + Վու + Գ = 0,

իսկ A, B հաստատունները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի։ Այս առաջին կարգի հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.Կախված A, B և C հաստատունների արժեքներից, հնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - գիծն անցնում է սկզբնաղբյուրով

A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C = 0) - ուղիղ գիծը զուգահեռ է Ox առանցքին

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - ուղիղ գիծը զուգահեռ է Oy առանցքին:

B = C = 0, A ≠ 0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Oy առանցքի հետ

A = C = 0, B ≠ 0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Ox առանցքի հետ

Ուղիղ գծի հավասարումը կարող է ներկայացվել տարբեր ձևերով՝ կախված տվյալ սկզբնական պայմաններից:

Կետի և նորմալ վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը

Սահմանում.Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում (A, B) բաղադրիչներ ունեցող վեկտորը ուղղահայաց է Ax + Vy + C = 0 հավասարմամբ տրված ուղիղ գծին։

Օրինակ... Գտե՛ք (3, -1) ուղղահայաց A (1, 2) կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Լուծում... A = 3 և B = -1 դեպքում կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը` 3x - y + C = 0: C գործակիցը գտնելու համար տրված A կետի կոորդինատները փոխարինում ենք ստացված արտահայտության մեջ:Ստացվում է. 3 - 2 + C = 0, հետևաբար, C = -1 ... Ընդհանուր՝ պահանջվող հավասարումը՝ 3x - y - 1 = 0:

Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու կետեր M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը հավասար է զրոյի, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասարվի զրոյի, հարթության վրա վերևում գրված ուղիղ գծի հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1 ≠ x 2 և x = x 1, եթե x 1 = x 2:

Կոտորակը = k կոչվում է լանջինուղիղ.

Օրինակ... Գտե՛ք A (1, 2) և B (3, 4) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը։

Լուծում.Կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Ուղիղ գծի հավասարումն ըստ կետի և թեքության

Եթե ​​Ax + Vu + C = 0 ընդհանուր գումարը բերում է ձևի.

և նշանակել , ապա ստացված հավասարումը կոչվում է ուղիղ գծի հավասարումը թեքության հետկ.

Կետի և ուղղության վեկտորի երկայնքով ուղիղ գծի հավասարումը

Համեմատելով պարբերության հետ, որը հաշվի է առնում նորմալ վեկտորի միջով ուղիղ գծի հավասարումը, կարող եք մուտքագրել ուղիղ գծի ճշգրտում կետի և ուղղության վեկտորի միջոցով:

Սահմանում.Յուրաքանչյուր ոչ զրոյական վեկտոր (α 1, α 2), որի բաղադրիչները բավարարում են А α 1 + В α 2 = 0 պայմանը, կոչվում է գծի ուղղորդող վեկտոր։

Ax + Wu + C = 0:

Օրինակ. Գտե՛ք ուղղության (1, -1) վեկտորով և A կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը (1, 2):

Լուծում.Ցանկալի ուղիղ գծի հավասարումը կփնտրվի ձևով. Ax + By + C = 0: Ըստ սահմանման, գործակիցները պետք է բավարարեն պայմանները.

1 * A + (-1) * B = 0, այսինքն. A = B.

Այնուհետև ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև՝ Ax + Ay + C = 0, կամ x + y + C / A = 0: x = 1, y = 2-ի համար մենք ստանում ենք C / A = -3, այսինքն. պահանջվող հավասարում.

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում

Եթե ​​ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, ապա, բաժանելով –C-ի, ստանում ենք. կամ

Գործակիցների երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ գործակիցը աՕքսի առանցքի հետ ուղիղ գծի հատման կետի կոորդինատն է, և բ- Oy առանցքի հետ ուղիղ գծի հատման կետի կոորդինատը.

Օրինակ.Տրված է x - y + 1 = 0 ուղիղի ընդհանուր հավասարումը։Գտե՛ք այս ուղիղի հավասարումը հատվածներով։

C = 1, a = -1, b = 1:

Ուղիղ գծի նորմալ հավասարում

Եթե ​​Ax + Vy + C = 0 հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն թվով որը կոչվում է նորմալացնող գործոն, ապա մենք ստանում ենք

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

ուղիղ գծի նորմալ հավասարում. Նորմալացնող գործոնի ± նշանը պետք է ընտրվի այնպես, որ μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Օրինակ... Տրված է ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը 12x - 5y - 65 = 0։ Պահանջվում է գրել այս ուղիղ գծի տարբեր տեսակի հավասարումներ։

այս ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.

այս ուղիղ գծի հավասարումը թեքության հետ. (բաժանել 5-ի)

; cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5:

Հարկ է նշել, որ ամեն ուղիղ գիծ չէ, որ կարող է ներկայացվել հավասարմամբ հատվածներում, օրինակ՝ առանցքներին զուգահեռ կամ սկզբնաղբյուրով անցնող ուղիղները։

Օրինակ... Ուղիղ գիծը կտրում է հավասար դրական հատվածները կոորդինատային առանցքների վրա: Կազմեք ուղիղ գծի հավասարում, եթե այս հատվածներով ձևավորված եռանկյան մակերեսը 8 սմ 2 է:

Լուծում.Ուղիղ գծի հավասարումն ունի ձև՝ ab / 2 = 8; ab = 16; a = 4, a = -4: a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Օրինակ... Կազմե՛ք A (-2, -3) կետով անցնող ուղիղ գծի և սկզբնագծի հավասարումը:

Լուծում. Ուղիղ գծի հավասարումը ունի ձև. , որտեղ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Անկյուն հարթության վրա ուղիղ գծերի միջև

Սահմանում.Եթե ​​տրված են երկու ուղիղներ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ապա այս ուղիղների միջև սուր անկյունը կսահմանվի որպես.

.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2: Երկու ուղիղ գծեր ուղղահայաց են, եթե k 1 = -1 / k 2:

Թեորեմ.Ուղիղ գծերը Ax + Vy + C = 0 և A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 զուգահեռ են, երբ A 1 = λA, B 1 = λB համամասնական գործակիցները: Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը

Սահմանում. M 1 (x 1, y 1) կետով անցնող և y = kx + b ուղիղին ուղղահայաց ուղիղը ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող

Թեորեմ.Եթե ​​տրված է M կետ (x 0, y 0), ապա Ax + Vy + C = 0 ուղիղ գծի հեռավորությունը որոշվում է որպես.

.

Ապացույց.Թող M 1 կետը (x 1, y 1) լինի M կետից տրված ուղիղ գծի վրա ընկած ուղղահայաց հիմքը: Այնուհետև հեռավորությունը M և M 1 կետերի միջև.

(1)

x 1 և y 1 կոորդինատները կարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց M 0 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։ Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ... Որոշեք ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը՝ y = -3 x + 7; y = 2 x + 1:

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = π / 4.

Օրինակ... Ցույց տվեք, որ 3x - 5y + 7 = 0 և 10x + 6y - 3 = 0 ուղիղները ուղղահայաց են:

Լուծում... Մենք գտնում ենք՝ k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, հետևաբար, ուղիղները ուղղահայաց են:

Օրինակ... Տրված են A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) եռանկյան գագաթները։ Գտեք C գագաթից գծված բարձրության հավասարումը:

Լուծում... Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը. ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Պահանջվող բարձրության հավասարումն է՝ Ax + By + C = 0 կամ y = kx + b: k =. Այնուհետև y =. Որովհետեւ բարձրությունը անցնում է C կետով, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը. որտեղից b = 17. Ընդամենը:

Պատասխան՝ 3 x + 2 y - 34 = 0:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման առանձին դեպքեր.

ինչ կլինի եթե Գ= 0, հավասարումը (2) կունենա ձև

Կացին + Ըստ = 0,

և այս հավասարմամբ սահմանված ուղիղ գիծն անցնում է սկզբնաղբյուրով, քանի որ սկզբնաղբյուրի կոորդինատներն են x = 0, y= 0-ը բավարարում է այս հավասարումը:

բ) Եթե ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ (2). Բ= 0, ապա հավասարումը ստանում է ձև

Կացին + ՀԵՏ= 0, կամ.

Հավասարումը փոփոխական չի պարունակում y, իսկ այս հավասարմամբ սահմանված ուղիղ գիծը զուգահեռ է առանցքին Օյ.

գ) Եթե ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ (2). Ա= 0, ապա այս հավասարումը ստանում է ձև

Ըստ + ՀԵՏ= 0, կամ;

հավասարումը փոփոխական չի պարունակում x, իսկ նրա սահմանած ուղիղ գիծը զուգահեռ է առանցքին Եզ.

Պետք է հիշել. եթե ուղիղ գիծը զուգահեռ է որևէ կոորդինատային առանցքի, ապա դրա հավասարման մեջ չկա այս առանցքի հետ համանուն կոորդինատը պարունակող տերմին:

դ) Երբ Գ= 0 և Ա= 0, հավասարումը (2) ընդունում է ձևը Ըստ= 0, կամ y = 0.

Սա առանցքի հավասարումն է Եզ.

ե) Երբ Գ= 0 և Բ= 0 հավասարումը (2) կարելի է գրել այսպես Կացին= 0 կամ x = 0.

Սա առանցքի հավասարումն է Օյ.

Ուղիղ գծերի փոխադարձ դասավորությունը հարթության վրա. Ինքնաթիռի ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունը: Գծերի զուգահեռության պայման. Ուղղահայացության պայմանը ուղիղ գծերի համար.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Վեկտորները S 1 և S 2 կոչվում են ուղեցույցներ իրենց տողերի համար:

l 1 և l 2 ուղիղ գծերի միջև անկյունը որոշվում է ուղղության վեկտորների միջև եղած անկյունով:
Թեորեմ 1: cos անկյուն l 1 և l 2 = cos (l 1; l 2) =

Թեորեմ 2:Որպեսզի 2 ուղիղները հավասար լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար.

Թեորեմ 3:այնպես, որ 2 ուղիղները ուղղահայաց լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար.

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը և դրա հատուկ դեպքերը. Հարթության հավասարումը հատվածներով.

Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը.

Ax + By + Cz + D = 0

Հատուկ դեպքեր.

1.D = 0 Ax + By + Cz = 0 - ինքնաթիռն անցնում է սկզբնակետով

2.C = 0 Ax + By + D = 0 - հարթություն || ՕԶ

3. В = 0 Ax + Cz + d = 0 - հարթություն || OY

4. A = 0 By + Cz + D = 0 - հարթություն || ԵԶ

5.A = 0 և D = 0 By + Cz = 0 - ինքնաթիռն անցնում է OX-ով

6.B = 0 և D = 0 Ax + Cz = 0 - ինքնաթիռն անցնում է OY-ով

7.C = 0 և D = 0 Ax + By = 0 - ինքնաթիռն անցնում է OZ-ով

Հարթությունների և ուղիղ գծերի փոխադարձ դասավորությունը տարածության մեջ.

1. Տիեզերքում ուղիղ գծերի միջև անկյունը նրանց ուղղության վեկտորների միջև եղած անկյունն է:

Cos (l 1; l 2) = cos (S 1; S 2) = =

2. Հարթությունների միջև անկյունը որոշվում է նրանց նորմալ վեկտորների միջև եղած անկյան միջոցով:

Cos (l 1; l 2) = cos (N 1; N 2) = =

3. Ուղղի և հարթության միջև անկյան կոսինուսը կարելի է գտնել ուղիղի ուղղության վեկտորի և հարթության նորմալ վեկտորի միջև անկյան սինուսի միջոցով:

4. 2 ուղիղ || տարածության մեջ, երբ նրանց || վեկտորային ուղեցույցներ

5. 2 ինքնաթիռ || երբ || նորմալ վեկտորներ

6. Նման կերպ են ներմուծվում ուղիղ գծերի և հարթությունների ուղղահայացության հասկացությունները։

Հարց թիվ 14

Հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարումների տարբեր տեսակներ (ուղիղ գծի հավասարում հատվածներով, թեքությամբ և այլն)

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում.
Ենթադրենք, որ ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարման մեջ.

1.C = 0 Ax + Vy = 0 - ուղիղ գիծն անցնում է սկզբնակետով:

2.a = 0 Vy + C = 0 y =

3.b = 0 Ax + C = 0 x =

4.b = C = 0 Ax = 0 x = 0

5.a = C = 0 Vy = 0 y = 0

Ուղիղ գծի հավասարումը թեքությամբ.

Ցանկացած ուղիղ, որը հավասար չէ OU առանցքին (B ոչ = 0), կարող է գրվել հաջորդում: ձևը:

k = tgα α-ն ուղիղ գծի և OX դրական ուղղության միջև ընկած անկյունն է

բ - ուղիղ գծի հատման կետը OY առանցքի հետ

Doc:

Ax + Wu + C = 0

Wu = -Ah-C |՝ Բ

Ուղիղ գծի հավասարումը երկու կետում.

Հարց թիվ 16

Ֆունկցիայի վերջավոր սահմանը կետում և որպես x → ∞

Վերջնական սահմանը x 0 կետում:

A թիվը կոչվում է y = f (x) ֆունկցիայի սահման, քանի որ x → x 0, եթե ցանկացած E> 0-ի համար գոյություն ունի b> 0 այնպես, որ x ≠ x 0-ի համար անհավասարությունը բավարարում է | x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Սահմանը նշվում է՝ = A

Վերջնական սահմանը + ∞ կետում.

A թիվը կոչվում է y = f (x) ֆունկցիայի սահման x-ում → + ∞ եթե ցանկացած E> 0-ի համար գոյություն ունի C> 0 այնպես, որ x> C-ի համար անհավասարությունը | f (x) - A |< Е

Սահմանը նշվում է՝ = A

Վերջնական սահմանաչափը -∞:

A թիվը կոչվում է y = f (x) ֆունկցիայի սահման x → -∞,եթե որևէ Ե< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е