Kifejezések átalakítása logaritmusok tulajdonságaival, példák, megoldások. Kifejezések átalakítása a logaritmus tulajdonságaival: példák, megoldások Logaritmikus kifejezések megoldási példák

A B7 feladat egy kifejezést ad, amelyet le kell egyszerűsíteni. Az eredmény egy szabályos szám legyen, amely felírható a válaszlapra. Az összes kifejezést feltételesen három típusra osztják:

logaritmikus,
Demonstráció,
Kombinált.

Az exponenciális és logaritmikus kifejezések tiszta formájukban szinte soha nem találhatók. Kiszámításuk módjának ismerete azonban elengedhetetlen.

Általánosságban elmondható, hogy a B7 problémát meglehetősen egyszerűen oldják meg, és az átlagos diplomás ember hatáskörébe tartozik. Az egyértelmű algoritmusok hiányát a szabványossága és egységessége kompenzálja. Megtanulhatja, hogyan oldja meg az ilyen problémákat egyszerűen sok képzéssel.

Logaritmikus kifejezések

A B7 feladatok túlnyomó többsége ilyen vagy olyan formában tartalmaz logaritmusokat. Ezt a témát hagyományosan nehéznek tekintik, mivel általában a 11. osztályban tanulják - a záróvizsgákra való tömeges felkészítés korszakában. Ennek eredményeként sok diplomásnak nagyon homályos fogalma van a logaritmusokról.

De ebben a feladatban senkinek nincs szüksége mély elméleti tudásra. Csak a legegyszerűbb kifejezésekkel fogunk találkozni, amelyek egyenes érvelést igényelnek, és amelyek önállóan is elsajátíthatók. Az alábbiakban felsoroljuk azokat az alapvető képleteket, amelyeket ismernie kell a logaritmus kezeléséhez:

Ezenkívül a gyököket és a törteket hatványokkal helyettesíteni kell racionális kitevővel, különben egyes kifejezésekben egyszerűen nem lesz mit kivenni a logaritmus előjele alól. Csere képletek:

Feladat. Kifejezésértékek keresése:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Az első két kifejezést a rendszer a logaritmusok különbségeként konvertálja:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

A harmadik kifejezés kiszámításához ki kell választania a fokokat - mind az alapban, mind az argumentumban. Először keressük meg a belső logaritmust:

Aztán - külső:

Az olyan szerkezetek, mint a log a log b x bonyolultnak és sokak számára félreérthetőnek tűnnek. Eközben ez csak a logaritmus logaritmusa, azaz. log a (log b x ). Először a belső logaritmust számítjuk ki (log b x = c ), majd a külsőt: log a c .

exponenciális kifejezések

Exponenciális kifejezésnek fogunk nevezni minden olyan a k alakú konstrukciót, ahol az a és k számok tetszőleges állandók, és a > 0. Az ilyen kifejezésekkel való munkamódszer meglehetősen egyszerű, és a 8. osztály algebrai leckékben foglalkozunk velük.

Az alábbiakban felsoroljuk az alapvető képleteket, amelyeket tudnia kell. E képletek gyakorlati alkalmazása általában nem okoz problémát.

a n a m = a n + m;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n m ;
(a b) n = a n b n;
(a : b ) n = a n : b n .

Ha egy összetett, hatványos kifejezéssel találkozunk, és nem világos, hogyan kell megközelíteni, akkor egy univerzális technikát alkalmazunk - a főtényezőkre bontást. Ennek eredményeként a fokalapokban szereplő nagy számokat egyszerű és érthető elemek váltják fel. Ezután már csak a fenti képleteket kell alkalmazni - és a probléma megoldódik.

Feladat. Keresse meg a kifejezésértékeket: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Megoldás. Az összes hatványalapot prímtényezőkre bontjuk:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinált feladatok

Ha ismeri a képleteket, akkor minden exponenciális és logaritmikus kifejezés szó szerint egy sorban van megoldva. A B7 feladatban azonban a hatványok és a logaritmusok kombinálhatók, hogy meglehetősen erős kombinációkat alkossanak.

Szakaszok: Matematika

Az óra típusa: az ismeretek általánosításának és rendszerezésének órája

Célok:

általánosító ismétlés és vizsgára való felkészülés keretében frissíteni a hallgatók logaritmusokkal és tulajdonságaikkal kapcsolatos ismereteit;
elősegíteni a tanulók szellemi tevékenységének fejlődését, az elméleti ismeretek gyakorlatok végzése során történő alkalmazásának készségeit;
elősegíteni a tanulók személyes tulajdonságainak, az önkontroll készségeinek és tevékenységeik önértékelésének fejlesztését; ápolják a szorgalmat, a türelmet, a kitartást, a függetlenséget.

Felszerelés: számítógép, projektor, prezentáció (1. melléklet), kártyák házi feladattal (elektronikus naplóban csatolhat egy feladatot tartalmazó fájlt).

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat. Hello, készülj a leckére.

II. A házi feladat megbeszélése.

III. Üzenet az óra témájával és céljával kapcsolatban. Motiváció.(1. dia) Bemutató.

Folytatjuk a matematika tantárgy általánosító megismétlését a vizsgára készülve. És ma a leckében a logaritmusokról és tulajdonságaikról fogunk beszélni.

A logaritmusszámítási és a logaritmikus kifejezések transzformációjára vonatkozó feladatok szükségszerűen jelen vannak mind az alap-, mind a profilszint vezérlő- és mérőanyagaiban. Ezért leckénk célja a „logaritmus” fogalmának jelentésével kapcsolatos elképzelések helyreállítása és a logaritmikus kifejezések konvertálásának készségeinek frissítése. Írd le a füzetedbe az óra témáját.

IV. Tudásfrissítés.

1. /Szóban/ Először is emlékezzünk arra, amit logaritmusnak neveznek. (2. dia)

(Egy b pozitív szám logaritmusa az a bázishoz (ahol a > 0, a? 1) az a kitevő, amelyre emelni kell az a számot, hogy megkapjuk a b számot)

Log a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Tehát a „LOGARIFM” „EXPONENT”!

(3. dia) Ekkor a n = b átírható így = b a fő logaritmikus azonosság.

Ha az alap a \u003d 10, akkor a logaritmust decimálisnak nevezzük, és lgb-nek nevezzük.

Ha a \u003d e, akkor a logaritmust természetesnek nevezzük, és lnb-vel jelöljük.

2. /Írva/ (4. dia) Töltse ki a hiányosságokat, hogy megkapja a megfelelő egyenlőségeket:

napló? x + Log a ? = Napló ? (?y)

log a ? - Napló ? y = Napló ? (x/?)

Log x ? = pLog ? (?)

Vizsgálat:

egy; egy; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

Ezek a logaritmusok tulajdonságai. És a tulajdonságok egy másik csoportja: (5. dia)

Vizsgálat:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Szóbeli munka

(6. dia) 1. sz. Kiszámítja:

a B C D) ; e) .

Válaszok : a) 4; b) - 2; 2-ben; d) 7; e) 27.

(7. dia) 2. sz. X keresése:

a) ; b) (A válaszok: a) 1/4; b) 9).

3. sz. Van értelme ilyen logaritmusnak tekinteni:

a) ; b) ; v) ? (Nem)

VI. Önálló csoportos munkavégzés, erős hallgatók - tanácsadók. (8. dia)

#1 Számítsa ki: .

#2 Egyszerűsítve:

No. 3. Keresse meg az if kifejezés értékét

#4 Egyszerűsítse a kifejezést:

#5 Számítsa ki:

#6 Számítsa ki:

#7 Számítsa ki:

#8 Számítsa ki:

Elvégzés után - ellenőrzés és megbeszélés az elkészített megoldásról vagy dokumentumkamera segítségével.

VII. Fokozott összetettségű feladat megoldása(egy erős tanuló a táblán, a többi a füzetekben) (9. dia)

Keresse meg a kifejezés értékét:

VIII. A házi feladat (kártyákon) differenciált.(10. dia)

1. sz. Kiszámítja:

2. sz. Keresse meg a kifejezés értékét:

F.F. Liszenko és mások. Matematika. Tematikus tesztek 10-11. évfolyam. 1. rész / Rostov-on-Don: "Légió", 2008

VV Kochagin Intenzív edzés. HASZNÁLJA a matematikát. / M: „Eksmo”, 2008

INTERNETES FORRÁSOK:

L.V. Artamonova, matematika tanár, Moszkalenszkij Líceum előadása „A logaritmusok földjén”
A.A. Kuksheva, MOU „Egorievskaya középiskola” előadás „Logaritmusok és tulajdonságaik”

Feladatok, melyek megoldása az logaritmikus kifejezések konvertálása, gyakran megtalálható a vizsgán.

Ahhoz, hogy minimális időráfordítással sikeresen megbirkózzunk velük, az alapvető logaritmikus azonosságokon kívül még néhány képlet ismerete és helyes használata szükséges.

Ez: a log a b = b, ahol a, b > 0, a ≠ 1 (Közvetlenül következik a logaritmus definíciójából).

log a b = log c b / log c a vagy log a b = 1/log b a
ahol a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
ahol a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
ahol a, b, c > 0 és a, b, c ≠ 1

A negyedik egyenlőség érvényességének bemutatásához vesszük a bal és a jobb oldal logaritmusát az a bázisban. Azt kapjuk, hogy log a (a log c b) = log a (b log c a) vagy log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log b-vel = log b-vel.

Bebizonyítottuk a logaritmusok egyenlőségét, ami azt jelenti, hogy a logaritmusok alatti kifejezések is egyenlők. A Forma-4 bevált.

1. példa

Számíts 81 log 27 5 log 5 4 .

Megoldás.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5.

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Ekkor 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

A következő feladatot saját maga is elvégezheti.

Számítsa ki (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Tippként 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Válasz: 5.

2. példa

Számítás (√11) log √3 9 log 121 81 .

Megoldás.

Cseréljük ki a következő kifejezéseket: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (a 3. képletet használtuk).

Ezután (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

3. példa

Számítsa ki a log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2 értéket.

Megoldás.

A példában szereplő logaritmusokat 2-es bázisú logaritmusokra cseréljük.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Ezután log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).

A zárójelek kinyitása és a hasonló tagok redukálása után a 3-as számot kapjuk. (A kifejezés egyszerűsítésekor log 2 3 jelölhető n-nel és egyszerűsíthető a kifejezés

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Válasz: 3.

A következőket teheti egyedül:

Számítsa ki (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Itt át kell térni a 3-as bázisú logaritmusokra és nagy számok prímtényezőire bontani.

Válasz: 1/2

4. példa

Három számot adunk meg: A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Rendezd őket növekvő sorrendbe.

Megoldás.

Alakítsuk át az A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3 számokat; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Hasonlítsuk össze őket

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 és log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

vagy 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Válasz. Ezért a számok elhelyezési sorrendje: C; A; V.

5. példa

Hány egész szám van az intervallumban (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Megoldás.

Határozzuk meg, hogy a 3 szám mely hatványai között van az 1/16. 1/27-et kapunk< 1 / 16 < 1 / 9 .

Mivel az y \u003d log 3 x függvény növekszik, akkor a log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Hasonlítsa össze a log 6-ot (4/3) és az 1/5-öt. És ehhez összehasonlítjuk a 4/3 és a 6 1/5 számokat. Emelje mindkét számot az 5. hatványra. Azt kapjuk, hogy (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

log 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Ezért az intervallum (log 3 1 / 16 ; log 6 48) tartalmazza a [-2; 4] és -2 egész számok kerülnek rá; -egy; 0; egy; 2; 3; 4.

Válasz: 7 egész szám.

6. példa

3 lglg 2/ lg 3 - lg20 kiszámítása.

Megoldás.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Ekkor 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Válasz: -1.

7. példa

Ismeretes, hogy log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Keresse meg a log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2) értéket.

Megoldás.

Számok (√3 + 1) és (√3 - 1); (√6 - 2) és (√6 + 2) konjugált.

Végezzük el a kifejezések alábbi transzformációját

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Ezután log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

2. log 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Válasz: 2 - A.

8. példa.

Egyszerűsítse és keresse meg a kifejezés hozzávetőleges értékét (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Megoldás.

Az összes logaritmust 10-es közös alapra redukáljuk.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010 (Az lg 2 hozzávetőleges értéke táblázat, diaszabály vagy számológép segítségével állapítható meg).

Válasz: 0,3010.

9. példa.

Számítsa ki a log a 2 b 3 √(a 11 b -3), ha log √ a b 3 = 1. (Ebben a példában a 2 b 3 a logaritmus alapja).

Megoldás.

Ha log √ a b 3 = 1, akkor 3/(0,5 log a b = 1. És log a b = 1/6.

Ezután log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log aa 11 + log ab -3) / (2(log aa 2 + log ab 3)) = (11 - 3log ab) / (2(2 + 3log ab)), hogy log és b = 1/6 azt kapjuk, hogy (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Válasz: 2.1.

A következőket teheti egyedül:

Számítsa ki a log √3 6 √2,1 értéket, ha log 0,7 27 = a.

Válasz: (3 + a) / (3a).

10. példa

Számítsuk ki: 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Megoldás.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (4. képlet))

Azt kapjuk, hogy 9 + 6 = 15.

Válasz: 15.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan találja meg a logaritmikus kifejezés értékét?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Most a logaritmusokat tartalmazó kifejezések transzformációját nézzük meg általános nézőpontból. Itt nemcsak a kifejezések transzformációját elemezzük a logaritmusok tulajdonságaival, hanem a kifejezések transzformációját is általános logaritmusokkal, amelyek nem csak logaritmusokat tartalmaznak, hanem hatványokat, törteket, gyököket stb. Szokás szerint minden anyagot jellemző példákkal, részletes megoldásleírásokkal ellátunk.

Oldalnavigáció.

Kifejezések logaritmusokkal és logaritmikus kifejezésekkel

Műveletek végrehajtása törtekkel

Az előző bekezdésben elemeztük azokat a főbb transzformációkat, amelyeket logaritmusokat tartalmazó egyedi törtekkel hajtunk végre. Ezeket a transzformációkat természetesen minden egyes törttel elvégezhetjük, amely egy összetettebb kifejezés részét képezi, például a hasonló törtek összegét, különbségét, szorzatát és hányadosát reprezentálja. De az egyes törtekkel való munka mellett az ilyen típusú kifejezések átalakítása gyakran magában foglalja a törtekkel való megfelelő műveletek végrehajtását is. Ezután megvizsgáljuk azokat a szabályokat, amelyek szerint ezeket a műveleteket végrehajtják.

5-6. osztálytól ismerjük azokat a szabályokat, amelyek szerint . A cikkben a törtekkel végzett műveletek általános képe ezeket a szabályokat a közönséges törtekről kiterjesztettük az A/B általános formájú törtekre, ahol A és B néhány numerikus, literális vagy változó kifejezés, B pedig azonosan nem nulla. Nyilvánvaló, hogy a logaritmusú törtek az általános törtek speciális esetei. És ebben a tekintetben egyértelmű, hogy a rekordokban logaritmusokat tartalmazó törtekkel végzett műveleteket ugyanazon szabályok szerint hajtják végre. Ugyanis:

Két azonos nevezővel rendelkező tört összeadásához vagy kivonásához adja hozzá vagy vonja ki a számlálókat ennek megfelelően, és hagyja a nevezőt változatlan.
Két különböző nevezőjű tört összeadásához vagy kivonásához közös nevezőre kell hozni őket, és az előző szabály szerint végre kell hajtani a megfelelő műveleteket.
Két tört szorzásához olyan törtet kell írni, amelynek számlálója az eredeti törtek számlálóinak szorzata, a nevező pedig a nevezők szorzata.
Egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az osztható törtet az osztó reciprojával, vagyis azzal a törttel, amelynek számlálója és nevezője át van rendezve.

Íme néhány példa a logaritmusokat tartalmazó törtekkel végzett műveletekre.

Példa.

Hajtson végre műveleteket logaritmusokat tartalmazó törtekkel: a), b) , v) , G) .

Megoldás.

a) Az összeadott törtek nevezői nyilvánvalóan megegyeznek. Ezért az azonos nevezőjű törtek összeadásának szabálya szerint hozzáadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlannak hagyjuk: .

b) Itt a nevezők eltérőek. Ezért először szüksége van hozza a törteket ugyanarra a nevezőre. Esetünkben a nevezők már szorzatként vannak bemutatva, és hátra van, hogy vegyük az első tört nevezőjét és adjuk hozzá a hiányzó tényezőket a második tört nevezőjéből. Így megkapjuk a forma közös nevezőjét . Ebben az esetben a kivont törtek egy közös nevezőre redukálódnak további tényezők felhasználásával logaritmus és x 2 ·(x+1) kifejezés formájában. Ezt követően marad az azonos nevezőjű törtek kivonása, ami nem nehéz.

Tehát a megoldás:

c) Ismeretes, hogy a törtek szorzásának eredménye egy tört, amelynek számlálója a számlálók szorzata, nevezője pedig a nevezők szorzata, ezért

Könnyen belátható, hogy lehetséges frakciócsökkentés kettővel és a decimális logaritmussal, ennek eredményeként megvan .

d) A törtek osztásáról áttérünk a szorzásra, a törtosztót a reciprokával helyettesítve. Így

A kapott tört számlálója a következőképpen ábrázolható , amelyből jól látható a számláló és a nevező közös tényezője - az x tényező, ezzel csökkentheti a törtet:

Válasz:

a), b) , v) , G) .

Emlékeztetni kell arra, hogy a törtekkel végzett műveletek végrehajtása a műveletek végrehajtási sorrendjének figyelembevételével történik: először szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás, és ha vannak zárójelek, akkor először a zárójelben lévő műveleteket hajtják végre.

Példa.

Végezzen műveleteket törtekkel .

Megoldás.

Először elvégezzük a zárójelben lévő törtek összeadását, majd elvégezzük a szorzást:

Válasz:

Ezen a ponton továbbra is három meglehetősen nyilvánvaló, de ugyanakkor fontos pontot kell hangosan kimondani:

Kifejezések konvertálása a logaritmus tulajdonságaival

A kifejezések logaritmusos transzformációja leggyakrabban a logaritmus és a definícióját kifejező azonosságok felhasználásával jár. Például a log ab =b, a>0, a≠1, b>0 logaritmikus alapazonosságra hivatkozva az x−5 log 5 7 kifejezést x−7-ként ábrázolhatjuk, és az átmenet képletét a rönk új alapja , ahol a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 lehetővé teszi a kifejezésből az 1−lnx különbségre való átlépést.

Gyökök, hatványok, trigonometrikus azonosságok stb. tulajdonságainak alkalmazása.

A logaritmusos kifejezések magukon a logaritmusokon kívül szinte mindig tartalmaznak hatványokat, gyököket, trigonometrikus függvényeket stb. Nyilvánvaló, hogy az ilyen kifejezések átalakításához a logaritmusok tulajdonságai mellett szükség lehet hatványok, gyökök stb. tulajdonságaira is. Külön elemeztük az egyes tulajdonságblokkok alkalmazását a kifejezések transzformációjára, a vonatkozó cikkekre mutató hivatkozások a www.site kifejezések és azok átalakítása rovatában találhatók. Itt néhány példa megoldását mutatjuk be a tulajdonságok logaritmusokkal összefüggésben történő használatára vonatkozóan.

Példa.

Kifejezés egyszerűsítése .

Megoldás.

Először is alakítsuk át a kifejezéseket gyökérrel. Az eredeti kifejezés x ODZ változóján (amely esetünkben pozitív valós számok halmaza) a gyököktől a törtkitevőkkel rendelkező hatványokhoz léphet, majd használhatja a hatványok szorzásának tulajdonságát ugyanazokkal az alapokkal: . Ily módon

Most a számlálót ábrázoljuk az űrlapon (amely lehetővé teszi, hogy elvégezzük a fok tulajdonságát a fokban, ha szükséges, lásd a kifejezések transzformációját a fokok tulajdonságaival, valamint egy szám ábrázolását, amely lehetővé teszi a fokozat négyzetösszegének helyettesítését ugyanazon argumentum szinusza és koszinusza eggyel. Tehát a logaritmus előjele alatt álló egységeket kapjuk A, Mint tudod, az egység logaritmusa egyenlő nullával.

Írjuk fel az elkészült átalakításokat:

A kocka nulla értéke nulla, ezért megyünk a kifejezésre .

Az a tört, amelynek a számlálója nulla, a nevezője pedig nem nulla (esetünkben ez igaz, mert könnyen igazolható, hogy a természetes logaritmus előjele alatti kifejezés értéke eltér egytől) egyenlő nullával. . Ily módon

A további átalakításokat a páratlan fok gyökének negatív számból történő meghatározása alapján hajtjuk végre: .

Mivel a 2 15 egy pozitív szám, akkor alkalmazhatjuk a gyökök tulajdonságait, amelyek a végeredményhez vezetnek: .

Válasz:

alapvető tulajdonságok.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

ugyanazon az alapon

log6 4 + log6 9.

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot.

Példák logaritmusok megoldására

Mi van akkor, ha a logaritmus alapjában vagy argumentumában van fokozat? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk az ODZ logaritmust: a > 0, a ≠ 1, x >

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Átállás egy új alapra

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Lásd még:

A logaritmus alapvető tulajdonságai

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

A kitevő 2,718281828…. A kitevő emlékezéséhez tanulmányozhatja a szabályt: a kitevő 2,7 és Lev Tolsztoj születési évének kétszerese.

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

Ennek a szabálynak a ismeretében tudni fogja a kitevő pontos értékét és Lev Tolsztoj születési dátumát.

Példák logaritmusra

Vegyük a kifejezések logaritmusát

1. példa
a) x=10ac^2 (a>0, c>0).

A 3,5 tulajdonságokkal számolunk

2. példa Keresse meg az x-et, ha

3. példa Legyen megadva a logaritmusok értéke

Számítsa ki log(x) ha

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden lehetséges módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk alapvető tulajdonságok.

Ezeket a szabályokat ismerni kell – komoly logaritmikus probléma nem oldható meg nélkülük. Ráadásul nagyon kevesen vannak – egy nap alatt mindent meg lehet tanulni. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: logaxot és logayt. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusa. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt a ugyanazon az alapon. Ha az alapok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a "Mi a logaritmus" című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

Mivel a logaritmusok alapjai megegyeznek, az összegképletet használjuk:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log2 48 − log2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log3 135 − log3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így a következőket kapjuk:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Amint láthatja, az eredeti kifejezések "rossz" logaritmusokból állnak, amelyeket nem veszünk külön figyelembe. Ám az átalakítások után egészen normális számok derülnek ki. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, kontroll – hasonló kifejezéseket teljes komolysággal (néha – gyakorlatilag változtatás nélkül) kínálnak a vizsgán.

A kitevő eltávolítása a logaritmusból

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá – bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk az ODZ logaritmust: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulja meg az összes képlet alkalmazását nemcsak balról jobbra, hanem fordítva is, azaz. a logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba. Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log7 496.

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet szerint:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Vegye figyelembe, hogy a nevező egy logaritmus, amelynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 24; 49 = 72. Van:

Azt hiszem, az utolsó példa magyarázatra szorul. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk.

A logaritmus képletei. A logaritmusok példák a megoldásokra.

Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát fokok formájában mutatták be, és kivették a mutatókat - „háromemeletes” törtet kaptak.

Most pedig nézzük a főtörtet. A számlálónak és a nevezőnek ugyanaz a száma: log2 7. Mivel log2 7 ≠ 0, a törtet csökkenthetjük - 2/4 marad a nevezőben. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ami meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átállás egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az alapok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új bázisra való áttéréshez szükséges képletek segítenek. Tétel formájában fogalmazzuk meg őket:

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et teszünk, azt kapjuk:

A második képletből következik, hogy a logaritmus alapját és argumentumát felcserélhetjük, de ebben az esetben az egész kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben van.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan feladatok, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak az új alapítványhoz költözéssel. Nézzünk meg ezek közül néhányat:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log5 16 log2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos kitevő. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Most fordítsuk meg a második logaritmust:

Mivel a szorzat nem változik a tényezők permutációjától, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd kitaláltuk a logaritmusokat.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldás során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak a logaritmus értéke.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják:

Valóban, mi történik, ha a b számot olyan mértékben emeljük, hogy az ebben a fokozatban lévő b szám adja az a számot? Így van: ez ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést - sokan „lógnak” rajta.

Az új alapkonverziós képletekhez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Jegyezzük meg, hogy log25 64 = log5 8 - csak kivette a négyzetet az alapból és a logaritmus argumentumából. Ha figyelembe vesszük a hatványok ugyanazon alappal való szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

Ha valaki nem tud róla, ez egy igazi feladat volt az Egységes Államvizsgától 🙂

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül adok két olyan azonosságot, amelyeket nehéz tulajdonságnak nevezni - ezek inkább a logaritmus definíciójából következnek. Folyamatosan problémákban találják őket, és meglepő módon még a „haladó” tanulók számára is problémákat okoznak.

logaa = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: a logaritmus bármely a bázishoz ettől a bázistól magától eggyel egyenlő.
loga 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egy, akkor a logaritmus nulla! Mert a0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakoroljuk ezek gyakorlatba ültetését! Az óra elején töltse le a csalólapot, nyomtassa ki és oldja meg a problémákat.

Lásd még:

A b szám logaritmusa az a bázishoz a kifejezést jelöli. A logaritmus kiszámítása azt jelenti, hogy meg kell találni egy olyan x () hatványt, amelynél az egyenlőség igaz

A logaritmus alapvető tulajdonságai

A fenti tulajdonságokat ismerni kell, hiszen ezek alapján szinte minden feladatot és példát logaritmus alapján oldanak meg. A fennmaradó egzotikus tulajdonságok matematikai manipulációkkal származtathatók ezekkel a képletekkel

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

A logaritmusok összegének és különbségének képleteinek kiszámításakor (3.4) elég gyakran találkozunk. A többi kissé összetett, de számos feladatban nélkülözhetetlen az összetett kifejezések egyszerűsítéséhez és értékeinek kiszámításához.

A logaritmus gyakori esetei

Néhány elterjedt logaritmus olyan, amelyben az alap páros tíz, exponenciális vagy kettős.
A tíz alapú logaritmust általában tíz alapú logaritmusnak nevezik, és egyszerűen lg(x) jelöléssel.

A jegyzőkönyvből látszik, hogy az alapok nincsenek beleírva a jegyzőkönyvbe. Például

A természetes logaritmus az a logaritmus, amelynek alapja a kitevő (ln(x)).

A kitevő 2,718281828…. A kitevő emlékezéséhez tanulmányozhatja a szabályt: a kitevő 2,7 és Lev Tolsztoj születési évének kétszerese. Ennek a szabálynak a ismeretében tudni fogja a kitevő pontos értékét és Lev Tolsztoj születési dátumát.

És egy másik fontos két bázis logaritmus

A függvény logaritmusának deriváltja egy osztva a változóval

Az integrál vagy antiderivatív logaritmust a függés határozza meg

A fenti anyag elegendő a logaritmusokkal és logaritmusokkal kapcsolatos problémák széles osztályának megoldásához. Az anyag beolvasztásához csak néhány gyakori példát mondok az iskolai tantervből és az egyetemekről.

Példák logaritmusra

Vegyük a kifejezések logaritmusát

1. példa
a) x=10ac^2 (a>0, c>0).

A 3,5 tulajdonságokkal számolunk

2.
A logaritmusok különbségi tulajdonsága alapján megvan

3.
A 3.5 tulajdonságokat használva azt találjuk

Egy látszólag összetett, szabálysorozatot használó kifejezés formára egyszerűsödik

Logaritmusértékek keresése

2. példa Keresse meg az x-et, ha

Megoldás. A számításhoz az 5. és 13. tulajdonságot alkalmazzuk az utolsó tagig

Csere a jegyzőkönyvben és gyászoljon

Mivel az alapok egyenlőek, a kifejezéseket egyenlővé tesszük

Logaritmusok. Első szint.

Legyen megadva a logaritmusok értéke

Számítsa ki log(x) ha

Megoldás: Vegyük a változó logaritmusát, és írjuk fel a logaritmust a tagok összegére

Ez csak a kezdete a logaritmusokkal és tulajdonságaikkal való ismerkedésnek. Gyakorold a számításokat, gyarapítsd gyakorlati készségeidet – a megszerzett tudásra hamarosan szükséged lesz a logaritmikus egyenletek megoldásához. Az ilyen egyenletek megoldásának alapvető módszereinek tanulmányozása után bővítjük ismereteit egy másik, ugyanolyan fontos témára - a logaritmikus egyenlőtlenségekre ...

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

Ezeket a szabályokat ismerni kell – komoly logaritmikus probléma nem oldható meg nélkülük. Ráadásul nagyon kevesen vannak – egy nap alatt mindent meg lehet tanulni. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: logaxot és logayt. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log6 4 + log6 9.

Mivel a logaritmusok alapjai megegyeznek, az összegképletet használjuk:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log2 48 − log2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log3 135 − log3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így a következőket kapjuk:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

A kitevő eltávolítása a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van akkor, ha a logaritmus alapjában vagy argumentumában van fokozat? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá – bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Hogyan kell megoldani a logaritmusokat

Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log7 496.

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet szerint:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Vegye figyelembe, hogy a nevező egy logaritmus, amelynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 24; 49 = 72. Van:

Azt hiszem, az utolsó példa magyarázatra szorul. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát fokok formájában mutatták be, és kivették a mutatókat - „háromemeletes” törtet kaptak.

Átállás egy új alapra

Az új bázisra való áttéréshez szükséges képletek segítenek. Tétel formájában fogalmazzuk meg őket:

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et teszünk, azt kapjuk:

A második képletből következik, hogy a logaritmus alapját és argumentumát felcserélhetjük, de ebben az esetben az egész kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben van.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan feladatok, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak az új alapítványhoz költözéssel. Nézzünk meg ezek közül néhányat:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log5 16 log2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos kitevő. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Most fordítsuk meg a második logaritmust:

Mivel a szorzat nem változik a tényezők permutációjától, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd kitaláltuk a logaritmusokat.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldás során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak a logaritmus értéke.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják:

Az új alapkonverziós képletekhez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Ha valaki nem tud róla, ez egy igazi feladat volt az Egységes Államvizsgától 🙂

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

logaa = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: a logaritmus bármely a bázishoz ettől a bázistól magától eggyel egyenlő.
loga 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egy, akkor a logaritmus nulla! Mert a0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakoroljuk ezek gyakorlatba ültetését! Az óra elején töltse le a csalólapot, nyomtassa ki és oldja meg a problémákat.