Kifejezések átalakítása logaritmusok tulajdonságaival, példák, megoldások. Kifejezések konvertálása logaritmusokkal, példák, megoldások Exponenciális és logaritmikus kifejezések átalakítása példák

alapvető tulajdonságait.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

ugyanazon az alapon

log6 4 + log6 9.

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot.

Példák logaritmusok megoldására

Mi van akkor, ha a logaritmus alapjában vagy argumentumában van fokozat? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk az ODZ logaritmust: a > 0, a ≠ 1, x >

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Átállás egy új alapra

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Lásd még:

A logaritmus alapvető tulajdonságai

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

A kitevő 2,718281828…. A kitevő emlékezéséhez tanulmányozhatja a szabályt: a kitevő 2,7 és Lev Tolsztoj születési évének kétszerese.

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

Ennek a szabálynak a ismeretében tudni fogja a kitevő pontos értékét és Lev Tolsztoj születési dátumát.

Példák logaritmusra

Vegyük a kifejezések logaritmusát

1. példa
de). x=10ac^2 (a>0, c>0).

A 3,5 tulajdonságokkal számolunk

2. példa Keresse meg az x-et, ha

3. példa Legyen megadva a logaritmusok értéke

Számítsa ki log(x) ha

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden lehetséges módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk alapvető tulajdonságait.

Ezeket a szabályokat ismerni kell – komoly logaritmikus probléma nem oldható meg nélkülük. Ráadásul nagyon kevesen vannak – egy nap alatt mindent meg lehet tanulni. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: logaxot és logayt. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusa. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az - ugyanazon az alapon. Ha az alapok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek kiszámítani a logaritmikus kifejezést akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

Mivel a logaritmusok alapjai megegyeznek, az összegképletet használjuk:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log2 48 − log2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log3 135 − log3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így a következőket kapjuk:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Amint láthatja, az eredeti kifejezések "rossz" logaritmusokból állnak, amelyeket nem veszünk külön figyelembe. Ám az átalakítások után egészen normális számok derülnek ki. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, kontroll – hasonló kifejezéseket teljes komolysággal (néha – gyakorlatilag változtatás nélkül) kínálnak a vizsgán.

A kitevő eltávolítása a logaritmusból

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá – bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk az ODZ logaritmust: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulja meg az összes képlet alkalmazását nemcsak balról jobbra, hanem fordítva is, azaz. a logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba. Leggyakrabban erre van szükség.

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log7 496.

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet szerint:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Vegye figyelembe, hogy a nevező egy logaritmus, amelynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 24; 49 = 72. Van:

Azt hiszem, az utolsó példa magyarázatra szorul. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk.

A logaritmus képletei. A logaritmusok példák a megoldásokra.

Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát fokok formájában mutatták be, és kivették a mutatókat - „háromemeletes” törtet kaptak.

Most pedig nézzük a főtörtet. A számlálónak és a nevezőnek ugyanaz a száma: log2 7. Mivel log2 7 ≠ 0, a törtet csökkenthetjük - 2/4 marad a nevezőben. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ami meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átállás egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az alapok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új bázisra való áttéréshez szükséges képletek segítenek. Tétel formájában fogalmazzuk meg őket:

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et teszünk, azt kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de az egész kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben van.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan feladatok, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak az új alapítványhoz költözéssel. Nézzünk meg ezek közül néhányat:

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log5 16 log2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos kitevő. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Most fordítsuk meg a második logaritmust:

Mivel a szorzat nem változik a tényezők permutációjától, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd kitaláltuk a logaritmusokat.

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldás során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak a logaritmus értéke.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják:

Valóban, mi történik, ha a b számot olyan mértékben emeljük, hogy az ebben a fokozatban lévő b szám adja az a számot? Így van: ez ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést - sokan „lógnak” rajta.

Az új alapkonverziós képletekhez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Jegyezzük meg, hogy log25 64 = log5 8 - csak kivette a négyzetet az alapból és a logaritmus argumentumából. Ha figyelembe vesszük a hatványok ugyanazon alappal való szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

Ha valaki nem tud róla, ez egy igazi feladat volt az Egységes Államvizsgától 🙂

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül adok két olyan azonosságot, amelyeket nehéz tulajdonságnak nevezni - ezek inkább a logaritmus definíciójából következnek. Folyamatosan problémákban találják őket, és meglepő módon még a „haladó” tanulók számára is problémákat okoznak.

logaa = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: a logaritmus bármely a bázishoz ettől a bázistól magától eggyel egyenlő.
loga 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egy, akkor a logaritmus nulla! Mert a0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakoroljuk ezek gyakorlatba ültetését! Az óra elején töltse le a csalólapot, nyomtassa ki és oldja meg a problémákat.

Lásd még:

A b szám logaritmusa az a bázishoz a kifejezést jelöli. A logaritmus kiszámítása azt jelenti, hogy meg kell találni egy olyan x () hatványt, amelynél az egyenlőség igaz

A logaritmus alapvető tulajdonságai

A fenti tulajdonságokat ismerni kell, hiszen ezek alapján szinte minden feladatot és példát logaritmus alapján oldanak meg. A fennmaradó egzotikus tulajdonságok matematikai manipulációkkal származtathatók ezekkel a képletekkel

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

A logaritmusok összegének és különbségének képleteinek kiszámításakor (3.4) elég gyakran találkozunk. A többi kissé összetett, de számos feladatban nélkülözhetetlen az összetett kifejezések egyszerűsítéséhez és értékeinek kiszámításához.

A logaritmus gyakori esetei

Néhány elterjedt logaritmus olyan, amelyben az alap páros tíz, exponenciális vagy kettős.
A tíz alapú logaritmust általában tíz alapú logaritmusnak nevezik, és egyszerűen lg(x) jelöléssel.

A jegyzőkönyvből látszik, hogy az alapok nincsenek beleírva a jegyzőkönyvbe. Például

A természetes logaritmus az a logaritmus, amelynek alapja a kitevő (ln(x)).

A kitevő 2,718281828…. A kitevő emlékezéséhez tanulmányozhatja a szabályt: a kitevő 2,7 és Lev Tolsztoj születési évének kétszerese. Ennek a szabálynak a ismeretében tudni fogja a kitevő pontos értékét és Lev Tolsztoj születési dátumát.

És egy másik fontos két bázis logaritmus

A függvény logaritmusának deriváltja egy osztva a változóval

Az integrál vagy antiderivatív logaritmust a függés határozza meg

A fenti anyag elegendő a logaritmusokkal és logaritmusokkal kapcsolatos problémák széles osztályának megoldásához. Az anyag beolvasztásához csak néhány gyakori példát mondok az iskolai tantervből és az egyetemekről.

Példák logaritmusra

Vegyük a kifejezések logaritmusát

1. példa
de). x=10ac^2 (a>0, c>0).

A 3,5 tulajdonságokkal számolunk

2.
A logaritmusok különbségi tulajdonsága alapján megvan

3.
A 3.5 tulajdonságokat használva azt találjuk

Egy látszólag összetett, szabálysorozatot használó kifejezés formára egyszerűsödik

Logaritmusértékek keresése

2. példa Keresse meg az x-et, ha

Megoldás. A számításhoz az 5. és 13. tulajdonságot alkalmazzuk az utolsó tagig

Helyettesítsd be a jegyzőkönyvbe és gyászolj

Mivel az alapok egyenlőek, a kifejezéseket egyenlővé tesszük

Logaritmusok. Első szint.

Legyen megadva a logaritmusok értéke

Számítsa ki log(x) ha

Megoldás: Vegyük a változó logaritmusát, és írjuk fel a logaritmust a tagok összegére

Ez csak a kezdete a logaritmusokkal és tulajdonságaikkal való ismerkedésnek. Gyakorolja a számításokat, gyarapítsa gyakorlati készségeit - a megszerzett ismeretekre hamarosan szüksége lesz logaritmikus egyenletek megoldásához. Az ilyen egyenletek megoldásának alapvető módszereinek tanulmányozása után bővítjük ismereteit egy másik, ugyanolyan fontos témára - a logaritmikus egyenlőtlenségekre ...

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

Ezeket a szabályokat ismerni kell – komoly logaritmikus probléma nem oldható meg nélkülük. Ráadásul nagyon kevesen vannak – egy nap alatt mindent meg lehet tanulni. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: logaxot és logayt. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log6 4 + log6 9.

Mivel a logaritmusok alapjai megegyeznek, az összegképletet használjuk:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log2 48 − log2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log3 135 − log3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így a következőket kapjuk:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

A kitevő eltávolítása a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van akkor, ha a logaritmus alapjában vagy argumentumában van fokozat? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá – bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Hogyan kell megoldani a logaritmusokat

Leggyakrabban erre van szükség.

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log7 496.

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet szerint:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Vegye figyelembe, hogy a nevező egy logaritmus, amelynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 24; 49 = 72. Van:

Azt hiszem, az utolsó példa magyarázatra szorul. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát fokok formájában mutatták be, és kivették a mutatókat - „háromemeletes” törtet kaptak.

Átállás egy új alapra

Az új bázisra való áttéréshez szükséges képletek segítenek. Tétel formájában fogalmazzuk meg őket:

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et teszünk, azt kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de az egész kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben van.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan feladatok, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak az új alapítványhoz költözéssel. Nézzünk meg ezek közül néhányat:

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log5 16 log2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos kitevő. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Most fordítsuk meg a második logaritmust:

Mivel a szorzat nem változik a tényezők permutációjától, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd kitaláltuk a logaritmusokat.

Egy feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldás során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak a logaritmus értéke.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják:

Az új alapkonverziós képletekhez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezés értékét:

Ha valaki nem tud róla, ez egy igazi feladat volt az Egységes Államvizsgától 🙂

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

logaa = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: a logaritmus bármely a bázishoz ettől a bázistól magától eggyel egyenlő.
loga 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egy, akkor a logaritmus nulla! Mert a0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakoroljuk ezek gyakorlatba ültetését! Az óra elején töltse le a csalólapot, nyomtassa ki és oldja meg a problémákat.

A logaritmus elfogadható tartománya (ODZ).

Most beszéljünk a korlátozásokról (ODZ - a változók megengedett értékeinek területe).

Emlékezzünk rá, hogy például a négyzetgyök nem vehető negatív számokból; vagy ha törtünk van, akkor a nevező nem lehet egyenlő nullával. Hasonló korlátozások vonatkoznak a logaritmusokra:

Vagyis az argumentumnak és az alapnak is nagyobbnak kell lennie nullánál, és az alap nem lehet egyenlő.

Miert van az?

Kezdjük egyszerűen: mondjuk ezt. Ekkor például nem létezik a szám, hiszen akármilyen fokot emelünk, mindig kiderül. Ráadásul egyiknél sem létezik. De ugyanakkor bármivel egyenlő lehet (ugyanazért - bármilyen fokozattal egyenlő). Ezért az objektum nem érdekes, és egyszerűen kidobták a matematikából.

Hasonló problémánk van ebben az esetben: bármilyen pozitív fokon - ez, de egyáltalán nem emelhető negatív hatványra, mivel nullával való osztás eredménye (emlékeztem rá).

Amikor azzal a problémával állunk szemben, hogy törthatványra emeljünk (amely gyökérként van ábrázolva:. Például (vagyis), de nem létezik.

Ezért a negatív okokat könnyebb kidobni, mint vacakolni velük.

Nos, mivel az a bázis nálunk csak pozitív, akkor akármilyen fokot emelünk is, mindig szigorúan pozitív számot kapunk. Tehát az érvnek pozitívnak kell lennie. Például nem létezik, hiszen semmilyen mértékben nem lesz negatív szám (és még nulla is, ezért nem is létezik).

A logaritmusokkal kapcsolatos problémák esetén az első lépés az ODZ feljegyzése. Mondok egy példát:

Oldjuk meg az egyenletet.

Emlékezzünk vissza a definícióra: a logaritmus az a hatvány, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy argumentumot kapjunk. És a feltétel szerint ez a fok egyenlő: .

A szokásos másodfokú egyenletet kapjuk: . A Vieta-tétel segítségével oldjuk meg: a gyökök összege egyenlő, és a szorzat. Könnyen felvehető, ezek a számok és.

De ha azonnal előveszed és beírod mindkét számot a válaszba, 0 pontot kaphatsz a feladatra. Miért? Gondoljuk át, mi történik, ha ezeket a gyököket behelyettesítjük a kezdeti egyenletbe?

Ez egyértelműen hamis, mivel az alap nem lehet negatív, vagyis a gyökér "harmadik fél".

Az ilyen kellemetlen trükkök elkerülése érdekében még az egyenlet megoldásának megkezdése előtt le kell írnia az ODZ-t:

Ezután, miután megkaptuk a gyökereket és azonnal eldobjuk a gyökeret, és megírjuk a helyes választ.

1. példa(próbáld megoldani magad) :

Keresse meg az egyenlet gyökerét. Ha több gyök van, válaszában a kisebbet jelölje meg.

Megoldás:

Először is írjuk meg az ODZ-t:

Most emlékezzünk rá, mi a logaritmus: milyen erősségűre kell emelni az alapot, hogy érvet kapjunk? A másodikban. Azaz:

Úgy tűnik, hogy a kisebb gyökér egyenlő. De ez nem így van: az ODZ szerint a gyök harmadik féltől származik, vagyis egyáltalán nem ez az egyenlet gyökere. Így az egyenletnek csak egy gyöke van: .

Válasz: .

Alapvető logaritmikus azonosság

Emlékezzünk vissza a logaritmus definíciójára általánosságban:

Helyettesítse be a második egyenlőséget a logaritmus helyett:

Ezt az egyenlőséget hívják alapvető logaritmikus azonosság. Bár lényegében ez az egyenlőség csak máshogy van megírva a logaritmus meghatározása:

Ez az az erő, amelyre emelned kell, hogy eljuss.

Például:

Oldja meg a következő példákat:

2. példa

Keresse meg a kifejezés értékét.

Megoldás:

Emlékezzünk vissza a szabályra a szakaszból: vagyis egy fok hatványra emelésekor a mutatók megszorozódnak. Alkalmazzuk:

3. példa

Bizonyítsd.

Megoldás:

A logaritmusok tulajdonságai

Sajnos a feladatok nem mindig ilyen egyszerűek - gyakran először le kell egyszerűsíteni a kifejezést, a szokásos formára kell hozni, és csak ezután lehet kiszámítani az értéket. Ennek tudatában a legkönnyebb megtenni a logaritmusok tulajdonságai. Tehát ismerjük meg a logaritmusok alapvető tulajdonságait. Mindegyiket be fogom bizonyítani, mert minden szabályt könnyebb megjegyezni, ha tudod, honnan származik.

Mindezekre a tulajdonságokra emlékezni kell, nélkülük a logaritmusokkal kapcsolatos legtöbb probléma nem oldható meg.

És most részletesebben a logaritmus összes tulajdonságáról.

1. tulajdonság:

Bizonyíték:

Akkor engedd.

Nálunk van: , h.t.d.

2. tulajdonság: logaritmusok összege

Az azonos bázisú logaritmusok összege megegyezik a szorzat logaritmusával: .

Bizonyíték:

Akkor engedd. Akkor engedd.

Példa: Keresse meg a kifejezés értékét: .

Megoldás: .

Az imént tanult képlet segít leegyszerűsíteni a logaritmusok összegét, nem pedig a különbséget, így ezeket a logaritmusokat nem lehet azonnal összevonni. De megteheti ennek az ellenkezőjét is – az első logaritmust „két részre bontja”: És itt a beígért egyszerűsítés:
.
Miért van erre szükség? Hát például: mit számít?

Most már ez nyilvánvaló.

Most könnyítsd meg magad:

Feladatok:

Válaszok:

3. tulajdonság: A logaritmusok különbsége:

Bizonyíték:

Minden pontosan ugyanaz, mint a 2. bekezdésben:

Akkor engedd.

Akkor engedd. Nekünk van:

Az utolsó pontból származó példa most még egyszerűbb:

Bonyolultabb példa: . Találd ki magad, hogyan dönts?

Itt meg kell jegyezni, hogy nincs egyetlen képletünk a logaritmus négyzetére. Ez egy kifejezéshez hasonló – ezt nem lehet azonnal leegyszerűsíteni.

Ezért térjünk el a logaritmusra vonatkozó képletektől, és gondoljuk át, hogy általában milyen képleteket használunk a matematikában a leggyakrabban? 7. osztály óta!

Ez - . Hozzá kell szokni, hogy mindenhol ott vannak! És az exponenciális, a trigonometrikus és az irracionális problémákban megtalálhatók. Ezért emlékezni kell rájuk.

Ha alaposan megnézzük az első két kifejezést, világossá válik, hogy ez az négyzetek különbsége:

Válasz az ellenőrzéshez:

Egyszerűsítse magát.

Példák

Válaszok.

4. tulajdonság: A kitevő levezetése a logaritmus argumentumából:

Bizonyíték:És itt is használjuk a logaritmus definícióját: legyen, akkor. Nálunk van: , h.t.d.

Ezt a szabályt így értheted meg:

Ez azt jelenti, hogy az argumentum mértéke a logaritmus elé kerül, mint együttható.

Példa: Keresse meg a kifejezés értékét.

Megoldás: .

Döntsd el magad:

Példák:

Válaszok:

5. tulajdonság: A kitevő származtatása a logaritmus alapjából:

Bizonyíték: Akkor engedd.

Nálunk van: , h.t.d.
Ne feledje: tól okokból fokozatúként jelenik meg fordított szám, az előző esettől eltérően!

6. tulajdonság: A kitevő levezetése az alapból és a logaritmus argumentumából:

Vagy ha a fokok megegyeznek: .

7. tulajdonság: Áttérés új bázisra:

Bizonyíték: Akkor engedd.

Nálunk van: , h.t.d.

8. tulajdonság: A logaritmus alapjának és argumentumának felcserélése:

Bizonyíték: Ez a 7-es képlet speciális esete: ha behelyettesítjük, a következőt kapjuk: , p.t.d.

Nézzünk még néhány példát.

4. példa

Keresse meg a kifejezés értékét.

A 2. számú logaritmus tulajdonságait használjuk - az azonos bázisú logaritmusok összege megegyezik a szorzat logaritmusával:

5. példa

Keresse meg a kifejezés értékét.

Megoldás:

A 3. és 4. logaritmus tulajdonságait használjuk:

6. példa

Keresse meg a kifejezés értékét.

Megoldás:

A 7-es számú tulajdonság használata – ugorjon a 2. alapra:

7. példa

Keresse meg a kifejezés értékét.

Megoldás:

Hogy tetszik a cikk?

Ha ezeket a sorokat olvassa, akkor az egész cikket elolvasta.

És ez klassz!

Most pedig mondd el, hogy tetszik a cikk?

Megtanultál logaritmusokat megoldani? Ha nem, mi a probléma?

Írja meg nekünk az alábbi megjegyzésekben.

És igen, sok sikert a vizsgákhoz.

Az egységes államvizsgán és az OGE-n és általában az életben

A B7 feladat egy kifejezést ad, amelyet le kell egyszerűsíteni. Az eredmény egy szabályos szám legyen, amely felírható a válaszlapra. Az összes kifejezést feltételesen három típusra osztják:

logaritmikus,
Demonstráció,
Kombinált.

Az exponenciális és logaritmikus kifejezések tiszta formájukban szinte soha nem találhatók. Kiszámításuk módjának ismerete azonban elengedhetetlen.

Általánosságban elmondható, hogy a B7 problémát meglehetősen egyszerűen oldják meg, és az átlagos diplomás ember hatáskörébe tartozik. Az egyértelmű algoritmusok hiányát a szabványossága és egységessége kompenzálja. Megtanulhatja, hogyan oldja meg az ilyen problémákat egyszerűen sok képzéssel.

Logaritmikus kifejezések

A B7 feladatok túlnyomó többsége ilyen vagy olyan formában tartalmaz logaritmusokat. Ezt a témát hagyományosan nehéznek tartják, mivel általában a 11. osztályban tanulják - a záróvizsgákra való tömeges felkészítés korszakában. Ennek eredményeként sok diplomásnak nagyon homályos fogalma van a logaritmusokról.

De ebben a feladatban senkinek nincs szüksége mély elméleti tudásra. Csak a legegyszerűbb kifejezésekkel fogunk találkozni, amelyek egyenes érvelést igényelnek, és amelyek önállóan is elsajátíthatók. Az alábbiakban felsoroljuk azokat az alapvető képleteket, amelyeket ismernie kell a logaritmus kezeléséhez:

Ezenkívül a gyököket és a törteket hatványokkal helyettesíteni kell racionális kitevővel, különben egyes kifejezésekben egyszerűen nem lesz mit kivenni a logaritmus előjele alól. Csere képletek:

Egy feladat. Kifejezésértékek keresése:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Az első két kifejezést a rendszer a logaritmusok különbségeként konvertálja:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

A harmadik kifejezés kiszámításához ki kell választania a fokokat - mind az alapban, mind az argumentumban. Először keressük meg a belső logaritmust:

Aztán - külső:

Az olyan szerkezetek, mint a log a log b x bonyolultnak és félreérthetőnek tűnnek sokak számára. Eközben ez csak a logaritmus logaritmusa, azaz. log a (log b x ). Először a belső logaritmust számítjuk ki (log b x = c ), majd a külsőt: log a c .

exponenciális kifejezések

Exponenciális kifejezésnek fogunk nevezni minden olyan a k alakú konstrukciót, ahol az a és k számok tetszőleges állandók, és a > 0. Az ilyen kifejezésekkel való munkamódszer meglehetősen egyszerű, és a 8. osztály algebrai leckékben foglalkozunk velük.

Az alábbiakban felsoroljuk az alapvető képleteket, amelyeket tudnia kell. E képletek gyakorlati alkalmazása általában nem okoz problémát.

a n a m = a n + m;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n m ;
(a b) n = a n b n;
(a : b ) n = a n : b n .

Ha egy összetett, hatványos kifejezéssel találkozunk, és nem világos, hogyan kell megközelíteni, akkor egy univerzális technikát alkalmazunk - a főtényezőkre bontást. Ennek eredményeként a fokalapokban szereplő nagy számokat egyszerű és érthető elemek váltják fel. Ezután már csak a fenti képleteket kell alkalmazni - és a probléma megoldódik.

Egy feladat. Keresse meg a kifejezésértékeket: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Megoldás. Az összes hatványalapot prímtényezőkre bontjuk:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinált feladatok

Ha ismeri a képleteket, akkor minden exponenciális és logaritmikus kifejezés szó szerint egy sorban van megoldva. A B7 feladatban azonban a hatványok és a logaritmusok kombinálhatók, hogy meglehetősen erős kombinációkat alkossanak.

Most a logaritmusokat tartalmazó kifejezések transzformációját nézzük meg általános nézőpontból. Itt nemcsak a kifejezések transzformációját elemezzük a logaritmusok tulajdonságaival, hanem a kifejezések transzformációját is általános logaritmusokkal, amelyek nem csak logaritmusokat tartalmaznak, hanem hatványokat, törteket, gyököket stb. Szokás szerint minden anyagot jellemző példákkal, részletes megoldásleírásokkal ellátunk.

Oldalnavigáció.

Kifejezések logaritmusokkal és logaritmikus kifejezésekkel

Műveletek végrehajtása törtekkel

Az előző bekezdésben elemeztük azokat a főbb transzformációkat, amelyeket logaritmusokat tartalmazó egyedi törtekkel hajtunk végre. Ezeket a transzformációkat természetesen minden egyes törttel elvégezhetjük, amely egy összetettebb kifejezés részét képezi, például a hasonló törtek összegét, különbségét, szorzatát és hányadosát reprezentálja. De az egyes törtekkel való munka mellett az ilyen típusú kifejezések átalakítása gyakran magában foglalja a törtekkel való megfelelő műveletek végrehajtását is. Ezután megvizsgáljuk azokat a szabályokat, amelyek szerint ezeket a műveleteket végrehajtják.

5-6. osztálytól ismerjük azokat a szabályokat, amelyek szerint . A cikkben a törtekkel végzett műveletek általános képe ezeket a szabályokat a közönséges törtekről kiterjesztettük az A/B általános formájú törtekre, ahol A és B néhány numerikus, literál vagy változós kifejezés, B pedig azonosan nem nulla. Nyilvánvaló, hogy a logaritmusú törtek az általános törtek speciális esetei. És ebben a tekintetben egyértelmű, hogy a rekordokban logaritmusokat tartalmazó törtekkel végzett műveleteket ugyanazon szabályok szerint hajtják végre. Ugyanis:

Két azonos nevezővel rendelkező tört összeadásához vagy kivonásához adja hozzá vagy vonja ki a számlálókat ennek megfelelően, és hagyja a nevezőt változatlan.
Két különböző nevezőjű tört összeadásához vagy kivonásához közös nevezőre kell hozni őket, és az előző szabály szerint végre kell hajtani a megfelelő műveleteket.
Két tört szorzásához olyan törtet kell írni, amelynek számlálója az eredeti törtek számlálóinak szorzata, a nevező pedig a nevezők szorzata.
Egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az osztható törtet az osztó reciprojával, vagyis azzal a törttel, amelynek a számlálója és a nevezője átrendezve.

Íme néhány példa a logaritmusokat tartalmazó törtekkel végzett műveletekre.

Példa.

Hajtson végre műveleteket logaritmusokat tartalmazó törtekkel: a), b) , ban ben) , G) .

Megoldás.

a) Az összeadott törtek nevezői nyilvánvalóan megegyeznek. Ezért az azonos nevezőjű törtek összeadásának szabálya szerint hozzáadjuk a számlálókat, és a nevezőt változatlannak hagyjuk: .

b) Itt a nevezők eltérőek. Ezért először szüksége van hozza a törteket ugyanarra a nevezőre. Esetünkben a nevezők már szorzatként jelennek meg, és hátra van, hogy vegyük az első tört nevezőjét, és adjuk hozzá a hiányzó tényezőket a második tört nevezőjéből. Így megkapjuk a forma közös nevezőjét . Ebben az esetben a kivont törtek egy közös nevezőre redukálódnak további tényezők felhasználásával logaritmus és x 2 ·(x+1) kifejezés formájában. Ezt követően marad az azonos nevezőjű törtek kivonása, ami nem nehéz.

Tehát a megoldás:

c) Ismeretes, hogy a törtek szorzásának eredménye egy tört, amelynek számlálója a számlálók szorzata, nevezője pedig a nevezők szorzata, ezért

Könnyen belátható, hogy lehetséges frakciócsökkentés kettővel és a decimális logaritmussal, ennek eredményeként megvan .

d) A törtek osztásáról áttérünk a szorzásra, a törtosztót a reciprokával helyettesítve. Így

A kapott tört számlálója a következőképpen ábrázolható , amelyből jól látható a számláló és a nevező közös tényezője - az x tényező, ezzel csökkentheti a törtet:

Válasz:

a), b) , ban ben) , G) .

Emlékeztetni kell arra, hogy a törtekkel végzett műveletek végrehajtása a műveletek végrehajtási sorrendjének figyelembevételével történik: először szorzás és osztás, majd összeadás és kivonás, és ha vannak zárójelek, akkor először a zárójelben lévő műveleteket hajtják végre.

Példa.

Végezzen műveleteket törtekkel .

Megoldás.

Először elvégezzük a zárójelben lévő törtek összeadását, majd elvégezzük a szorzást:

Válasz:

Ezen a ponton továbbra is három meglehetősen nyilvánvaló, de ugyanakkor fontos pontot kell hangosan kimondani:

Kifejezések konvertálása a logaritmus tulajdonságaival

A kifejezések logaritmusos transzformációja leggyakrabban a logaritmus és a definícióját kifejező azonosságok felhasználásával jár. Például az a log ab =b, a>0, a≠1, b>0 logaritmikus alapvető azonosságra hivatkozva az x−5 log 5 7 kifejezést x−7-ként ábrázolhatjuk, és az átmenet képletét a rönk új alapja , ahol a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 lehetővé teszi a kifejezésből az 1−lnx különbségre való átlépést.

Gyökök, hatványok, trigonometrikus azonosságok stb. tulajdonságainak alkalmazása.

A logaritmusos kifejezések magukon a logaritmusokon kívül szinte mindig tartalmaznak hatványokat, gyököket, trigonometrikus függvényeket stb. Nyilvánvaló, hogy az ilyen kifejezések átalakításához a logaritmusok tulajdonságai mellett szükség lehet hatványok, gyökök stb. tulajdonságaira is. Külön elemeztük az egyes tulajdonságblokkok alkalmazását a kifejezések transzformációjára, a vonatkozó cikkekre mutató hivatkozások a www.site kifejezések és azok átalakítása rovatában találhatók. Itt néhány példa megoldását mutatjuk be a tulajdonságok logaritmusokkal összefüggésben történő használatára vonatkozóan.

Példa.

Kifejezés egyszerűsítése .

Megoldás.

Először is alakítsuk át a kifejezéseket gyökérrel. Az eredeti kifejezés x ODZ-változóján (amely esetünkben pozitív valós számok halmaza) a gyököktől a törtkitevőkkel rendelkező hatványokhoz léphet, majd használhatja a hatványok szorzó tulajdonságait ugyanazokkal az alapokkal: . Ily módon

Most a számlálót ábrázoljuk az űrlapon (amely lehetővé teszi, hogy a foktulajdonságot egy fokban végezzük, ha szükséges, lásd a kifejezések transzformációját a fokok tulajdonságait használva, valamint egy szám ábrázolását, amely lehetővé teszi a szinusz négyzeteinek összegét, ill. Ugyanazon argumentum koszinusza eggyel. Tehát a logaritmus előjele alatti egységet kapjuk A, Mint tudod, az egység logaritmusa egyenlő nullával.

Írjuk fel az elkészült átalakításokat:

A kocka nulla értéke nulla, ezért megyünk a kifejezésre .

Az a tört, amelynek a számlálója nulla, a nevezője pedig nem nulla (esetünkben ez igaz, mert könnyen igazolható, hogy a természetes logaritmus előjele alatti kifejezés értéke eltér egytől) egyenlő nullával. . Ily módon

A további átalakításokat a páratlan fok gyökének negatív számból történő meghatározása alapján hajtjuk végre: .

Mivel a 2 15 egy pozitív szám, akkor alkalmazhatjuk a gyökök tulajdonságait, amelyek a végeredményhez vezetnek: .

Válasz: