مسئله شماره 3. یک نقاشی بکشید و مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

کاربرد یکپارچه برای حل مسائل کاربردی

محاسبه مساحت

انتگرال معین یک تابع غیرمنفی پیوسته f (x) از نظر عددی برابر استمساحت ذوزنقه منحنی محدود به منحنی y = f (x)، محور O x و خطوط مستقیم x = a و x = b. بر این اساس فرمول مساحت به صورت زیر نوشته می شود:

بیایید به چند مثال برای محاسبه مساحت ارقام مسطح نگاه کنیم.

مسئله شماره 1. مساحت محدود شده توسط خطوط y = x 2 +1، y = 0، x = 0، x = 2 را محاسبه کنید.

راه حل.بیایید رقمی بسازیم که مساحت آن را باید محاسبه کنیم.

y = x 2 + 1 سهمی است که شاخه های آن به سمت بالا هستند و سهمی نسبت به محور O y یک واحد به سمت بالا جابه جا می شود (شکل 1).

شکل 1. نمودار تابع y = x 2 + 1

مسئله شماره 2. مساحت محدود شده توسط خطوط y = x 2 - 1، y = 0 را در محدوده 0 تا 1 محاسبه کنید.

راه حل.نمودار این تابع سهمی شاخه است که به سمت بالا هدایت می شود و سهمی نسبت به محور O y یک واحد به سمت پایین جابجا می شود (شکل 2).

شکل 2. نمودار تابع y = x 2 - 1

مسئله شماره 3. یک نقاشی بکشید و مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

y = 8 + 2x - x 2 و y = 2x - 4.

راه حل.اولی از این دو خط سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین است، زیرا ضریب x 2 منفی است و خط دوم یک خط مستقیم است که هر دو محور مختصات را قطع می کند.

برای ساختن سهمی، مختصات راس آن را پیدا می کنیم: y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0، x = 1 - آبسیسا رأس. y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 مختصات آن است، N (1؛ 9) راس آن است.

اکنون با حل سیستم معادلات نقاط تلاقی سهمی و خط مستقیم را پیدا می کنیم:

معادل سازی اضلاع راست معادله که اضلاع چپ آن مساوی است.

ما 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 یا x 2 - 12 = 0 دریافت می کنیم، از این رو .

بنابراین، نقاط، نقاط تقاطع سهمی و خط مستقیم هستند (شکل 1).

شکل 3 نمودارهای توابع y = 8 + 2x - x 2 و y = 2x - 4

بیایید یک خط مستقیم y = 2x - 4 بسازیم. از نقاط (0; -4)، (2; 0) روی محورهای مختصات می گذرد.

برای ساختن سهمی نیز می توانید نقاط تلاقی آن را با محور 0x داشته باشید، یعنی ریشه های معادله 8 + 2x - x 2 = 0 یا x 2 - 2x - 8 = 0. با قضیه ویتا، این کار آسان است. برای یافتن ریشه های آن: x 1 = 2، x 2 = 4.

شکل 3 یک شکل (قطعه سهموی M 1 N M 2) را نشان می دهد که توسط این خطوط محدود شده است.

بخش دوم کار این است که مساحت این شکل را پیدا کنید. مساحت آن را می توان با استفاده از یک انتگرال معین با فرمول پیدا کرد .

با توجه به این شرط، انتگرال را به دست می آوریم:

2 محاسبه حجم یک بدنه چرخشی

حجم جسم به دست آمده از چرخش منحنی y = f (x) حول محور Ox با فرمول محاسبه می شود:

هنگام چرخش حول محور O y، فرمول به نظر می رسد:

مشکل شماره 4. حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه منحنی که با خطوط مستقیم x = 0 x = 3 و منحنی y = حول محور Ox محدود شده است را تعیین کنید.

راه حل.بیایید یک تصویر بسازیم (شکل 4).

شکل 4. نمودار تابع y =

حجم مورد نیاز است

مشکل شماره 5. حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه منحنی را که با منحنی y = x 2 و خطوط مستقیم y = 0 و y = 4 حول محور O y محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل.ما داریم:

سوالات را مرور کنید

ما شروع به بررسی روند واقعی محاسبه انتگرال دوگانه می کنیم و با معنای هندسی آن آشنا می شویم.

انتگرال دوتایی از نظر عددی برابر است با مساحت یک شکل صاف (منطقه ادغام). این ساده ترین شکل انتگرال دوگانه است، زمانی که تابع دو متغیر برابر با یک باشد:.

اجازه دهید ابتدا مشکل را به صورت کلی در نظر بگیریم. حالا تعجب خواهید کرد که واقعا چقدر ساده است! بیایید مساحت یک شکل صاف را که با خطوط محدود شده است محاسبه کنیم. برای قطعیت، فرض می کنیم که در بخش. مساحت این شکل از نظر عددی برابر است با:

بیایید منطقه را در نقاشی بکشیم:

بیایید اولین راه را برای پیمایش منطقه انتخاب کنیم:

به این ترتیب:

و بلافاصله یک ترفند فنی مهم: انتگرال های تکرار شده را می توان به طور جداگانه در نظر گرفت... ابتدا انتگرال درونی، سپس انتگرال بیرونی. این روش برای مبتدیان در مبحث قوری به شدت توصیه می شود.

1) ما انتگرال داخلی را محاسبه می کنیم، در حالی که ادغام روی متغیر "بازی" انجام می شود:

انتگرال نامعین در اینجا ساده ترین است، و سپس از فرمول پیش پا افتاده نیوتن-لایبنیتس استفاده می شود، با تنها تفاوت که محدودیت های ادغام اعداد نیستند، بلکه توابع هستند... ابتدا حد بالایی به "بازی" (عملکرد ضد مشتق) جایگزین شد، سپس - حد پایین

2) نتیجه به دست آمده در بند اول باید با انتگرال خارجی جایگزین شود:

یک رکورد فشرده تر از کل راه حل به شکل زیر است:

فرمول حاصل دقیقاً فرمول کاری برای محاسبه مساحت یک شکل صاف با استفاده از انتگرال معین "معمولی" است! درس را تماشا کن محاسبه مساحت با استفاده از انتگرال معین، او در هر مرحله وجود دارد!

به این معنا که، مسئله محاسبه مساحت با استفاده از انتگرال دوگانه خیلی متفاوت نیستاز مشکل یافتن مساحت با استفاده از انتگرال معین!در واقع آنها یک چیز هستند!

بر این اساس، هیچ مشکلی نباید ایجاد شود! من نمونه های زیادی را در نظر نمی گیرم ، زیرا شما در واقع بارها و بارها با این کار روبرو شده اید.

مثال 9

راه حل:بیایید منطقه را در نقاشی بکشیم:

بیایید ترتیب زیر را برای پیمایش منطقه انتخاب کنیم:

در ادامه به نحوه انجام پیمایش منطقه نمی پردازم، زیرا توضیحات بسیار مفصلی در پاراگراف اول ارائه شده است.

به این ترتیب:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، برای مبتدیان بهتر است انتگرال های تکرار شده را جداگانه محاسبه کنند و من از همین روش پیروی می کنم:

1) ابتدا با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس با انتگرال داخلی سروکار داریم:

2) نتیجه به دست آمده در مرحله اول به انتگرال خارجی جایگزین می شود:

نقطه 2 در واقع یافتن مساحت یک شکل صاف با استفاده از یک انتگرال معین است.

پاسخ:

این یک کار احمقانه و ساده لوحانه است.

یک مثال جالب برای راه حل مستقل:

مثال 10

با استفاده از انتگرال دوگانه، مساحت یک شکل مسطح محدود شده با خطوط را محاسبه کنید.

نمونه تقریبی طرح نهایی راه حل در پایان درس.

در مثال‌های 9-10، استفاده از روش اول برای پیمایش منطقه بسیار سودآورتر است؛ اتفاقاً خوانندگان کنجکاو می‌توانند ترتیب پیمایش را تغییر دهند و مناطق را به روش دوم محاسبه کنند. اگر اشتباه نکنید، طبیعتاً همان مقادیر مناطق مشخص می شود.

اما در تعدادی از موارد، روش دوم دور زدن منطقه مؤثرتر است و در پایان دوره یک نر جوان، چند مثال دیگر در این زمینه در نظر بگیرید:

مثال 11

با استفاده از انتگرال دوگانه، مساحت یک شکل مسطح محدود شده با خطوط را محاسبه کنید.

راه حل:ما بی صبرانه منتظر دو سهمی با یک دمدمی هستیم که در یک طرف قرار دارند. شما نیازی به لبخند ندارید، چیزهای مشابه در انتگرال های متعدد رایج هستند.

ساده ترین راه برای کشیدن نقاشی چیست؟

سهمی را به صورت دو تابع نشان می دهیم:
- شاخه بالا و - شاخه پایین.

به طور مشابه، سهمی را به شکل بالا و پایین نشان می دهیم شاخه ها.

بعد، قوانین نمودار نقطه به نقطه، که در نتیجه چنین رقم عجیبی به دست می آید:

مساحت شکل را با استفاده از یک انتگرال دوگانه با فرمول محاسبه می کنیم:

اگر اولین راه را برای پیمایش منطقه انتخاب کنیم چه اتفاقی می افتد؟ ابتدا این منطقه باید به دو قسمت تقسیم شود. و ثانیاً این تصویر بسیار غم انگیز را مشاهده خواهیم کرد: ... البته انتگرال ها سطح خیلی پیچیده ای ندارند، اما ... یک ضرب المثل قدیمی ریاضی وجود دارد: کسانی که با ریشه ها دوست هستند نیازی به تست ندارند.

بنابراین، از سوء تفاهم داده شده در شرط، توابع معکوس را بیان می کنیم:

توابع معکوس در این مثال این مزیت را دارند که کل سهمی را به یکباره بدون هیچ برگ، بلوط، شاخه و ریشه تنظیم می کنند.

طبق روش دوم، پیمایش منطقه به صورت زیر خواهد بود:

به این ترتیب:

همانطور که می گویند تفاوت را احساس کنید.

1) با انتگرال داخلی مقابله کنید:

نتیجه را با انتگرال بیرونی جایگزین کنید:

ادغام با توجه به متغیر "igrek" نباید شرم آور باشد، اگر حرف "siu" وجود داشت، ادغام روی آن عالی است. هر چند که بند دوم درس را خوانده اند نحوه محاسبه حجم یک بدنه انقلاب، او دیگر با ادغام طبق "بازی" کوچکترین ناهنجاری را تجربه نمی کند.

همچنین به مرحله اول توجه کنید: انتگرال زوج است و بخش انتگرال تقریباً صفر متقارن است. بنابراین، بخش را می توان نصف کرد و نتیجه را می توان دو برابر کرد. این تکنیک به تفصیل در درس توضیح داده شده است. روش های کارآمد برای محاسبه انتگرال معین.

چی اضافه کنم…. همه چیز!

پاسخ:

برای آزمایش تکنیک ادغام خود، می توانید سعی کنید محاسبه کنید ... پاسخ باید دقیقاً یکسان باشد.

مثال 12

با استفاده از انتگرال دوگانه، مساحت یک شکل صاف را که با خطوط محدود شده است محاسبه کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. جالب است بدانید که اگر سعی کنید از اولین روش پیمایش منطقه استفاده کنید، باید شکل را نه به دو، بلکه به سه قسمت تقسیم کنید! و بر این اساس، سه جفت انتگرال تکرار شده دریافت می کنید. گاهی اوقات اتفاق می افتد.

کلاس کارشناسی ارشد به پایان رسیده است و وقت آن است که به سطح استاد بزرگ بروید - چگونه انتگرال دوگانه را محاسبه می کنید؟ نمونه هایی از راه حل ها... من سعی می کنم در مقاله دوم اینقدر دیوانه نباشم =)

برایت ارزوی موفقیت میکنم!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2:راه حل: بیایید منطقه را ترسیم کنیم در نقاشی:

بیایید ترتیب زیر را برای پیمایش منطقه انتخاب کنیم:

به این ترتیب:
بیایید به توابع معکوس برویم:


به این ترتیب:
پاسخ:

مثال 4:راه حل: بیایید به توابع مستقیم برویم:


بیایید طراحی را اجرا کنیم:

بیایید ترتیب پیمایش منطقه را تغییر دهیم:

پاسخ:

در واقع، برای یافتن مساحت یک شکل، نیازی به دانش زیادی از انتگرال نامعین و معین نیست. وظیفه "محاسبه مساحت با استفاده از یک انتگرال معین" همیشه شامل ساختن یک نقشه استبنابراین، دانش و مهارت های طراحی شما موضوع بسیار مهم تری خواهد بود. در این راستا، تازه کردن حافظه نمودارهای توابع ابتدایی اولیه و حداقل ساختن یک خط مستقیم و هذلولی مفید است.

ذوزنقه منحنی شکلی مسطح است که توسط یک محور، خطوط مستقیم و نمودار یک تابع پیوسته در یک قطعه که علامت آن در این بازه تغییر نمی کند محدود شده است. بگذارید این رقم واقع شود نه کمترمحور آبسیسا:

سپس مساحت ذوزنقه منحنی از نظر عددی برابر با انتگرال معین است... هر انتگرال معینی (که وجود دارد) معنای هندسی بسیار خوبی دارد.

از نظر هندسه، انتگرال معین AREA است.

به این معنا که،یک انتگرال معین (در صورت وجود) از نظر هندسی با مساحت یک شکل مطابقت دارد. برای مثال یک انتگرال معین را در نظر بگیرید. انتگرال منحنی را روی صفحه ای که بالای محور قرار دارد تنظیم می کند (کسانی که مایلند می توانند نقاشی بکشند) و خود انتگرال معین از نظر عددی برابر با مساحت ذوزنقه منحنی منحنی مربوطه است.

مثال 1

این یک فرمول معمولی از تکلیف است. اولین و مهمترین نکته راه حل، ساخت نقشه است... علاوه بر این، نقاشی باید ساخته شود درست.

هنگام ساخت یک نقشه، من ترتیب زیر را توصیه می کنم: اولینبهتر است تمام خطوط مستقیم (در صورت وجود) و فقط ساخته شوند سپس- سهمی ها، هذلولی ها، نمودارهای توابع دیگر. ساخت نمودار توابع سودآورتر است نقطه نظر

در این مشکل، راه حل ممکن است به این صورت باشد.
بیایید یک نقاشی بکشیم (توجه داشته باشید که معادله محور را مشخص می کند):

روی قطعه، نمودار تابع قرار دارد بالای محور، از همین رو:

پاسخ:

پس از اتمام کار، نگاه کردن به طرح اولیه و برآورد واقعی بودن پاسخ همیشه مفید است. در این مورد، "با چشم" تعداد سلول های نقاشی را می شماریم - خوب، حدود 9 تایپ می شود، به نظر می رسد حقیقت باشد. کاملاً واضح است که اگر مثلاً پاسخ را دریافت کنیم: 20 واحد مربع ، پس بدیهی است که در جایی اشتباه شده است - رقم مورد بررسی به وضوح با 20 سلول و حداکثر ده خانه مطابقت ندارد. اگر پاسخ منفی است، تکلیف نیز به اشتباه حل شده است.

مثال 3

مساحت شکل محدود شده با خطوط و محورهای مختصات را محاسبه کنید.

راه حل: بیایید طراحی را اجرا کنیم:

اگر ذوزنقه منحنی واقع شده باشد زیر محور(یا حداقل بالاتر نیستمحور داده شده)، سپس مساحت آن را می توان با فرمول پیدا کرد:

در این مورد:

توجه! این دو نوع کار را نباید با هم اشتباه گرفت:

1) اگر از شما خواسته شود که فقط یک انتگرال معین را بدون هیچ معنای هندسی حل کنید، ممکن است منفی باشد.

2) اگر از شما خواسته شود که مساحت یک شکل را با استفاده از یک انتگرال معین پیدا کنید، مساحت همیشه مثبت است! به همین دلیل است که یک منهای در فرمول مورد نظر ظاهر می شود.

در عمل، اغلب این شکل در هر دو نیمه بالا و پایین قرار دارد، و بنابراین، از ساده ترین مسائل مدرسه، ما به نمونه های معنی دار تر می رویم.

مثال 4

مساحت یک شکل صاف که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید.

راه حل: ابتدا باید نقاشی را کامل کنید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقشه در مسائل روی یک منطقه، بیشتر به نقاط تلاقی خطوط علاقه مند هستیم. نقاط تقاطع سهمی و خط را پیدا کنید. این میتواند با دو راه انجام شود. راه اول تحلیلی است. معادله را حل می کنیم:

از این رو، حد پایین ادغام، حد بالایی یکپارچگی.

در صورت امکان بهتر است از این روش استفاده نکنید..

ساختن خطوط نقطه به نقطه بسیار سودمندتر و سریعتر است، در حالی که محدودیت های یکپارچه سازی، همانطور که بود، "به خودی خود" مشخص می شود. با این وجود، روش تحلیلی یافتن محدودیت‌ها هنوز هم گاهی اوقات باید اعمال شود، اگر، برای مثال، نمودار به اندازه کافی بزرگ باشد، یا ساختار دقیق محدودیت‌های ادغام را نشان نمی‌دهد (آنها می‌توانند کسری یا غیرمنطقی باشند). و ما نیز چنین مثالی را در نظر خواهیم گرفت.

برگردیم به مشکل ما: منطقی تر است که ابتدا یک خط مستقیم بسازیم و فقط سپس یک سهمی. بیایید طراحی را اجرا کنیم:

و حالا فرمول کار: اگر روی یک قطعه تابع پیوسته باشد بزرگتر یا مساویاز یک تابع پیوسته، سپس مساحت شکل را که با نمودارهای این توابع و خطوط مستقیم محدود شده است، می توان با فرمول پیدا کرد:

در اینجا دیگر لازم نیست به این فکر کنید که شکل در کجا قرار دارد - بالای محور یا زیر محور، و به طور کلی، مهم است که کدام برنامه در بالا آمده است(نسبت به نمودار دیگری)، و کدام یک در زیر است.

در مثال مورد بررسی، بدیهی است که سهمی در قسمت بالای خط مستقیم قرار دارد و بنابراین باید از آن کم کرد.

تکمیل راه حل ممکن است به شکل زیر باشد:

شکل مورد نیاز با یک سهمی در بالا و یک خط مستقیم در پایین محدود می شود.
در بخش، طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

مثال 4

مساحت شکل محدود شده با خطوط،،، را محاسبه کنید.

راه حل: ابتدا بیایید طراحی را اجرا کنیم:

شکلی که باید مساحت آن را پیدا کنیم با رنگ آبی سایه زده شده است(با دقت به شرایط نگاه کنید - رقم به چه چیزی محدود شده است!). اما در عمل، به دلیل بی توجهی، اغلب یک "شکلی" ایجاد می شود، که باید ناحیه شکل را که به رنگ سبز سایه زده است، پیدا کنید!

این مثال همچنین از این جهت مفید است که مساحت یک شکل را با استفاده از دو انتگرال معین محاسبه می کند.

واقعا:

1) یک نمودار خطی در قسمت بالای محور قرار دارد.

2) نمودار هذلولی در قسمت بالای محور قرار دارد.

کاملاً واضح است که مناطق را می توان (و باید) اضافه کرد، بنابراین:

این مقاله به شما نشان می دهد که چگونه با استفاده از محاسبات انتگرال، مساحت یک شکل محدود شده با خطوط را پیدا کنید. برای اولین بار در دوران دبیرستان زمانی که مطالعه انتگرال های معین به پایان رسیده است و زمان شروع تفسیر هندسی از دانش به دست آمده در عمل است، برای اولین بار با فرمول بندی چنین مسئله ای مواجه می شویم.

بنابراین، آنچه برای حل موفقیت آمیز مشکل یافتن مساحت یک شکل با استفاده از انتگرال لازم است:

• توانایی ساختن نقشه ها به درستی؛
• توانایی حل یک انتگرال معین با استفاده از فرمول معروف نیوتن-لایبنیتس.
• توانایی "دیدن" راه حل سودمندتر - یعنی، برای درک اینکه چگونه در این یا آن مورد انجام ادغام راحت تر خواهد بود؟ در امتداد محور x (OX) یا محور y (OY)؟
• خوب، کجا بدون محاسبات صحیح؟) این شامل درک چگونگی حل آن نوع دیگر از انتگرال ها و محاسبات عددی صحیح است.

الگوریتم حل مسئله محاسبه مساحت شکل محدود شده با خطوط:

1. ما یک نقاشی می سازیم. توصیه می شود این کار را روی یک تکه کاغذ در قفس، با مقیاس بزرگ انجام دهید. نام این تابع را با مداد بالای هر نمودار امضا می کنیم. امضای نمودارها صرفاً برای راحتی محاسبات بیشتر انجام می شود. پس از دریافت نمودار شکل مورد نظر، در اکثر موارد فوراً قابل مشاهده خواهد بود که از چه حدود ادغام استفاده می شود. بنابراین، ما مشکل را به صورت گرافیکی حل می کنیم. با این حال، این اتفاق می افتد که مقادیر حدود کسری یا غیر منطقی هستند. بنابراین، می توانید محاسبات اضافی انجام دهید، به مرحله دو بروید.

2. اگر حدود ادغام به صراحت تعیین نشده باشد، آنگاه نقاط تلاقی نمودارها را با یکدیگر پیدا می کنیم و می بینیم که آیا حل گرافیکی ما با حل تحلیلی مطابقت دارد یا خیر.

3. بعد، شما باید نقاشی را تجزیه و تحلیل کنید. بسته به نحوه قرارگیری نمودارهای تابع، رویکردهای مختلفی برای یافتن مساحت یک شکل وجود دارد. بیایید مثال های مختلف پیدا کردن مساحت یک شکل را با استفاده از انتگرال در نظر بگیریم.

3.1. کلاسیک ترین و ساده ترین نسخه مشکل زمانی است که باید ناحیه ذوزنقه منحنی را پیدا کنید. ذوزنقه منحنی چیست؟ این یک شکل صاف است که توسط محور x محدود شده است. (y = 0)، سر راست x = a، x = bو هر منحنی پیوسته در فاصله از آقبل از ب... علاوه بر این، این رقم غیر منفی است و در زیر محور آبسیسا قرار ندارد. در این حالت، مساحت ذوزنقه منحنی از نظر عددی برابر با یک انتگرال معین است که با فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه می شود:

مثال 1 y = x2 - 3x + 3، x = 1، x = 3، y = 0.

خطوط محدود کننده شکل کدامند؟ ما یک سهمی داریم y = x2 - 3x + 3که بالای محور قرار دارد اوه، غیر منفی است، زیرا تمام نقاط این سهمی مثبت است. علاوه بر این، خطوط مستقیم x = 1و x = 3که به موازات محور قرار دارند OU، خطوط مرزی شکل در سمت چپ و راست هستند. خوب y = 0، این محور x است که شکل را از زیر محدود می کند. شکل به دست آمده همانطور که در تصویر سمت چپ مشاهده می شود سایه زده می شود. در این صورت می توانید بلافاصله شروع به حل مشکل کنید. ما یک مثال ساده از ذوزنقه منحنی داریم که با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس آن را حل می کنیم.

3.2. در پاراگراف 3.1 قبلی، موردی را تحلیل کردیم که ذوزنقه منحنی بالای محور x قرار دارد. حال حالتی را در نظر بگیرید که شرایط مسئله یکسان است، با این تفاوت که تابع زیر محور x قرار دارد. یک منهای به فرمول استاندارد نیوتن-لایبنیتس اضافه می شود. ما چگونگی حل مشکل مشابه را بیشتر در نظر خواهیم گرفت.

مثال 2 ... مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید y = x2 + 6x + 2، x = -4، x = -1، y = 0.

در این مثال، سهمی داریم y = x2 + 6x + 2که از زیر محور سرچشمه می گیرد اوه، سر راست x = -4، x = -1، y = 0... اینجا y = 0شکل مورد نظر را از بالا محدود می کند. مستقیم x = -4و x = -1اینها مرزهایی هستند که در آنها یک انتگرال معین محاسبه می شود. اصل حل مسئله یافتن مساحت یک شکل تقریباً به طور کامل با مثال شماره 1 مطابقت دارد. تنها تفاوت این است که تابع داده شده مثبت نیست و همچنان در بازه پیوسته است. [-4; -1] ... چه چیزی مثبت نیست؟ همانطور که از شکل می بینید، شکلی که در x مشخص شده است، منحصراً مختصات "منفی" دارد که باید آنها را هنگام حل مسئله ببینیم و به خاطر بسپاریم. ما مساحت شکل را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس، فقط با علامت منفی در ابتدا جستجو می کنیم.

مقاله ناقص است.

انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل

اکنون به بررسی کاربردهای حساب انتگرال می پردازیم. در این درس ما یک کار معمولی و رایج را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. - نحوه محاسبه مساحت یک شکل صاف با استفاده از یک انتگرال معین... در نهایت، کسانی که به دنبال معنی در ریاضیات عالی هستند - ممکن است آن را پیدا کنند. شما هرگز نمی دانید. ما باید منطقه حومه شهر را در زندگی با توابع ابتدایی نزدیکتر کنیم و منطقه آن را با استفاده از یک انتگرال مشخص پیدا کنیم.

برای تسلط بر مواد، باید:

1) انتگرال نامعین را حداقل در سطح متوسط ​​درک کنید. بنابراین، آدمک ها ابتدا باید خود را با درس آشنا کنند نه.

2) قادر به اعمال فرمول نیوتن-لایبنیتس و محاسبه یک انتگرال معین باشد. می توانید دوستی های گرمی با انتگرال های مشخص در صفحه ایجاد کنید انتگرال معین. نمونه هایی از راه حل ها.

در واقع، برای یافتن مساحت یک شکل، نیازی به دانش زیادی از انتگرال نامعین و معین نیست. وظیفه "محاسبه مساحت با استفاده از یک انتگرال معین" همیشه شامل ساختن یک نقشه استبنابراین، دانش و مهارت های طراحی شما موضوع بسیار مهم تری خواهد بود. در این راستا، تازه کردن حافظه نمودارهای توابع ابتدایی اولیه، و حداقل ساختن خط مستقیم، سهمی و هذلولی مفید است. این را می توان (بسیاری از مردم به آن نیاز دارند) با کمک مواد روش شناختی و مقاله ای در مورد تبدیل هندسی نمودارها انجام داد.

در واقع، همه از دوران مدرسه با مشکل یافتن منطقه با استفاده از یک انتگرال معین آشنا هستند و ما خیلی جلوتر از برنامه درسی مدرسه نخواهیم رفت. این مقاله ممکن است اصلا وجود نداشته باشد، اما واقعیت این است که مشکل در 99 مورد از 100 مورد رخ می دهد، زمانی که دانش آموزی با اشتیاق برای تسلط بر درس ریاضیات بالاتر از برج منفور رنج می برد.

مطالب این کارگاه به صورت ساده، جزئی و با حداقل تئوری ارائه شده است.

بیایید با یک ذوزنقه منحنی شروع کنیم.

ذوزنقه منحنیبه یک شکل مسطح محدود شده توسط یک محور، خطوط مستقیم و نمودار یک تابع پیوسته در یک پاره گفته می شود که علامت آن در این بازه تغییر نمی کند. بگذارید این رقم واقع شود نه کمترمحور آبسیسا:

سپس مساحت ذوزنقه منحنی از نظر عددی برابر با انتگرال معین است... هر انتگرال معینی (که وجود دارد) معنای هندسی بسیار خوبی دارد. در درس انتگرال معین. نمونه هایی از راه حل هاگفتم انتگرال معین یک عدد است. و اکنون زمان بیان یک واقعیت مفید دیگر است. از نظر هندسه، انتگرال معین AREA است.

به این معنا که، یک انتگرال معین (در صورت وجود) از نظر هندسی با مساحت یک شکل مطابقت دارد... برای مثال یک انتگرال معین را در نظر بگیرید. انتگرال منحنی را روی صفحه ای که بالای محور قرار دارد تنظیم می کند (کسانی که مایلند می توانند نقاشی بکشند) و خود انتگرال معین از نظر عددی برابر با مساحت ذوزنقه منحنی منحنی مربوطه است.

مثال 1

این یک فرمول معمولی از تکلیف است. اولین و مهمترین نکته راه حل، ساخت نقشه است... علاوه بر این، نقاشی باید ساخته شود درست.

هنگام ساخت یک نقشه، من ترتیب زیر را توصیه می کنم: اولینبهتر است تمام خطوط مستقیم (در صورت وجود) و فقط ساخته شوند سپس- سهمی ها، هذلولی ها، نمودارهای توابع دیگر. ساخت نمودار توابع سودآورتر است نقطه نظر، تکنیک ساخت نقطه به نقطه را می توان در مواد مرجع یافت نمودارها و خواص توابع ابتدایی... در آنجا می توانید مطالب بسیار مفیدی را در رابطه با درس ما پیدا کنید - نحوه ساخت سریع سهمی.

در این مشکل، راه حل ممکن است به این صورت باشد.
بیایید یک نقاشی بکشیم (توجه داشته باشید که معادله محور را مشخص می کند):

من ذوزنقه منحنی را بیرون نمی آورم ، در اینجا مشخص است که در مورد چه منطقه ای صحبت می کنیم. راه حل به این صورت ادامه می یابد:

روی قطعه، نمودار تابع قرار دارد بالای محور، از همین رو:

پاسخ:

چه کسی در محاسبه یک انتگرال معین و استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس مشکل دارد رجوع به سخنرانی شود انتگرال معین. نمونه هایی از راه حل ها.

پس از اتمام کار، نگاه کردن به طرح اولیه و برآورد واقعی بودن پاسخ همیشه مفید است. در این مورد، "با چشم" تعداد سلول های نقاشی را می شماریم - خوب، حدود 9 تایپ می شود، به نظر می رسد حقیقت باشد. کاملاً واضح است که اگر ما مثلاً پاسخ را دریافت کنیم: 20 واحد مربع ، پس بدیهی است که در جایی اشتباه شده است - رقم مورد بررسی بدیهی است که 20 سلول و حداکثر ده خانه را ندارد. اگر پاسخ منفی است، تکلیف نیز به اشتباه حل شده است.

مثال 2

مساحت یک شکل محدود به خطوط و یک محور را محاسبه کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

اگر ذوزنقه منحنی واقع شده باشد چه باید کرد زیر محور؟

مثال 3

مساحت شکل محدود شده با خطوط و محورهای مختصات را محاسبه کنید.

راه حل: بیایید طراحی را اجرا کنیم:

اگر ذوزنقه منحنی واقع شده باشد زیر محور(یا حداقل بالاتر نیستمحور داده شده)، سپس مساحت آن را می توان با فرمول پیدا کرد:
در این مورد:

توجه! این دو نوع کار را نباید با هم اشتباه گرفت:

1) اگر از شما خواسته شود که فقط یک انتگرال معین را بدون هیچ معنای هندسی حل کنید، ممکن است منفی باشد.

2) اگر از شما خواسته شود که مساحت یک شکل را با استفاده از یک انتگرال معین پیدا کنید، مساحت همیشه مثبت است! به همین دلیل است که یک منهای در فرمول مورد نظر ظاهر می شود.

در عمل، اغلب این شکل در هر دو نیمه بالا و پایین قرار دارد، و بنابراین، از ساده ترین مسائل مدرسه، ما به نمونه های معنی دار تر می رویم.

مثال 4

مساحت یک شکل صاف که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید.

راه حل: ابتدا باید نقاشی را کامل کنید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقشه در مسائل روی یک منطقه، بیشتر به نقاط تلاقی خطوط علاقه مند هستیم. نقاط تقاطع سهمی و خط را پیدا کنید. این میتواند با دو راه انجام شود. راه اول تحلیلی است. معادله را حل می کنیم:

از این رو، حد پایین ادغام، حد بالایی یکپارچگی.
در صورت امکان بهتر است از این روش استفاده نکنید..

ساختن خطوط نقطه به نقطه بسیار سودمندتر و سریعتر است، در حالی که محدودیت های یکپارچه سازی، همانطور که بود، "به خودی خود" مشخص می شود. تکنیک رسم نقطه به نقطه برای نمودارهای مختلف به تفصیل در راهنما مورد بحث قرار گرفته است. نمودارها و خواص توابع ابتدایی... با این وجود، روش تحلیلی یافتن محدودیت‌ها هنوز هم گاهی اوقات باید اعمال شود، اگر، برای مثال، نمودار به اندازه کافی بزرگ باشد، یا ساختار دقیق محدودیت‌های ادغام را آشکار نکند (آنها می‌توانند کسری یا غیرمنطقی باشند). و ما نیز چنین مثالی را در نظر خواهیم گرفت.

برگردیم به مشکل ما: منطقی تر است که ابتدا یک خط مستقیم بسازیم و فقط سپس یک سهمی. بیایید طراحی را اجرا کنیم:

تکرار می کنم که در مورد ساخت و ساز نقطه ای، محدودیت های یکپارچه سازی اغلب توسط یک "اتومات" مشخص می شود.

و حالا فرمول کار: اگر روی یک قطعه تابع پیوسته باشد بزرگتر یا مساویاز یک تابع پیوسته، سپس مساحت شکل را که با نمودارهای این توابع و خطوط مستقیم محدود شده است، می توان با فرمول پیدا کرد:

در اینجا دیگر لازم نیست به این فکر کنید که شکل در کجا قرار دارد - بالای محور یا زیر محور، و به طور کلی، مهم است که کدام برنامه در بالا آمده است(نسبت به نمودار دیگری)، و کدام یک در زیر است.

در مثال مورد بررسی، بدیهی است که سهمی در قسمت بالای خط مستقیم قرار دارد و بنابراین باید از آن کم کرد.

تکمیل راه حل ممکن است به شکل زیر باشد:

شکل مورد نیاز با یک سهمی در بالا و یک خط مستقیم در پایین محدود می شود.
در بخش، طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

در واقع، فرمول مدرسه برای مساحت ذوزنقه منحنی در نیم صفحه پایین (نگاه کنید به مثال ساده شماره 3) یک مورد خاص از فرمول است. ... از آنجایی که محور با معادله داده می شود و نمودار تابع قرار دارد بالاتر نیستپس از آن محور

و حالا چند مثال برای خود حلی

مثال 5

مثال 6

مساحت شکل محدود شده با خطوط را پیدا کنید.

در مسیر حل مسائل محاسبه مساحت با استفاده از انتگرال معین، گاهی یک اتفاق خنده دار رخ می دهد. ترسیم به درستی انجام شده است، محاسبات صحیح است، اما از طریق بی توجهی ... ناحیه شکل اشتباه پیدا می شودبنده حقیر اینگونه چندین بار گند زد. در اینجا یک مورد واقعی وجود دارد:

مثال 7

مساحت شکل محدود شده با خطوط،،، را محاسبه کنید.

راه حل: ابتدا بیایید طراحی را اجرا کنیم:

... آخه یه نقاشی شیطون اومد ولی همه چی خوانا به نظر میاد.

شکلی که باید مساحت آن را پیدا کنیم با رنگ آبی سایه زده شده است(با دقت به شرایط نگاه کنید - چه رقمی محدود شده است!). اما در عمل، به دلیل بی توجهی، اغلب یک "شکلی" ایجاد می شود، که باید ناحیه شکل را که به رنگ سبز سایه زده است، پیدا کنید!

این مثال همچنین از این جهت مفید است که مساحت یک شکل را با استفاده از دو انتگرال معین محاسبه می کند. واقعا:

1) یک نمودار خطی در قسمت بالای محور قرار دارد.

2) نمودار هذلولی در قسمت بالای محور قرار دارد.

کاملاً واضح است که مناطق را می توان (و باید) اضافه کرد، بنابراین:

پاسخ:

بیایید به یک کار معنی دار دیگر برویم.

مثال 8

مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید،
بیایید معادلات را به شکل "مدرسه" نشان دهیم و یک ترسیم نقطه به نقطه اجرا می کنیم:

از نقاشی مشخص است که حد بالایی ما "خوب" است:.
اما حد پایین چیست؟! واضح است که این عدد صحیح نیست، اما کدام یک؟ شاید ؟ اما این تضمین وجود دارد که نقاشی با دقت کامل انجام شده است، ممکن است این باشد. یا روت. اگر اصلا نمودار را اشتباه رسم کنیم چه؟

در چنین مواردی، شما باید زمان بیشتری را صرف کنید و محدودیت های ادغام را به صورت تحلیلی اصلاح کنید.

نقاط تقاطع خط و سهمی را بیابید.
برای انجام این کار، معادله را حل می کنیم:


,

واقعا، .

راه حل بیشتر بی اهمیت است، نکته اصلی این است که در تعویض و علائم اشتباه نگیرید، محاسبات در اینجا ساده ترین نیست.

در بخش ، طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

خوب، در پایان درس، دو کار دشوار دیگر را در نظر خواهیم گرفت.

مثال 9

مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

راه حل: بیایید این شکل را در نقاشی به تصویر بکشیم.

لعنتی، فراموش کردم برنامه را امضا کنم، اما عکس را دوباره انجام دهم، متاسفم، داغ نیست. نقاشی نیست، خلاصه امروز روز است =)

برای ساختن نقطه به نقطه، باید ظاهر سینوسی را بدانید (و به طور کلی دانستن آن مفید است نمودارهای تمام توابع ابتدایی، و همچنین برخی از مقادیر سینوسی، آنها را می توان در آنها یافت جدول مثلثاتی... در تعدادی از موارد (مانند این مورد)، امکان ساخت یک نقشه شماتیک وجود دارد که در آن نمودارها و محدودیت های ادغام در اصل باید به درستی نمایش داده شوند.

هیچ مشکلی با محدودیت های ادغام وجود ندارد، آنها مستقیماً از این شرط پیروی می کنند: - "x" از صفر به "pi" تغییر می کند. ما تصمیم بیشتری می گیریم:

در قطعه، نمودار تابع در بالای محور قرار دارد، بنابراین: