اعداد مختلط

خیالی و اعداد مختلط. ابسیسا و دستور

عدد مختلط. اعداد مختلط را مزدوج کنید.

عملیات با اعداد مختلط هندسی

نمایش اعداد مختلط هواپیمای پیچیده

مدول و آرگومان یک عدد مختلط. مثلثاتی

فرم اعداد مختلط عملیات با پیچیده

اعداد به صورت مثلثاتی فرمول Moivre.

اطلاعات اولیه در مورد خیالی و اعداد مختلط در بخش "اعداد خیالی و مختلط" آورده شده است. نیاز به این اعداد از نوع جدید هنگام حل معادلات درجه دوم برای مورد ظاهر شددی< 0 (здесь دیممیز معادله درجه دوم است). تا مدت ها این اعداد کاربرد فیزیکی پیدا نمی کردند و به همین دلیل به آنها اعداد «خیالی» می گفتند. با این حال، در حال حاضر آنها بسیار گسترده در زمینه های مختلف فیزیک استفاده می شود.

و فناوری: مهندسی برق، هیدرودینامیک و آیرودینامیک، تئوری الاستیسیته و غیره.

اعداد مختلط به صورت زیر نوشته می شوند:a+bi. اینجا آو ب – اعداد واقعی ، ولی من – واحد خیالیه. من 2 = –1. عدد آتماس گرفت اوکیسا، آ ب - ترتیبعدد مختلطa + b .دو عدد مختلطa+biو a-bi تماس گرفت مزدوجاعداد مختلط.

توافقات اصلی:

1. عدد واقعیولیرا نیز می توان در قالب نوشتعدد مختلط:یک + 0 منیا آ - 0 من. به عنوان مثال، ورودی های 5 + 0منو 5 - 0 منیعنی همان عدد 5 .

2. مجتمع شماره 0 + دوتماس گرفت کاملا خیالی عدد. در حال ضبطدویعنی همان 0 + دو.

3. دو عدد مختلطa+bi وج + دیبرابر در نظر گرفته می شوند اگرa = cو b = d. در غیر این صورت اعداد مختلط برابر نیستند

اضافه مجموع اعداد مختلطa+biو ج + دیعدد مختلط نامیده می شود (a+c ) + (b+d ) من .به این ترتیب، وقتی اضافه شد اعداد مختلط، ابسیساها و مختصات آنها به طور جداگانه اضافه می شوند.

این تعریف از قوانین برخورد با چند جمله ای های معمولی پیروی می کند.

منها کردن. تفاوت بین دو عدد مختلطa+bi(کاهش یافته) و ج + دی(از تفریق) عدد مختلط نامیده می شود (a-c ) + (ب-د ) من .

به این ترتیب، هنگام تفریق دو عدد مختلط، ابسیساها و مختصات آنها به طور جداگانه تفریق می شوند.

ضرب. حاصل ضرب اعداد مختلطa+biو ج + دی عدد مختلط نامیده می شود.

(ac-bd ) + (آگهی + قبل از میلاد ) من .این تعریف از دو الزام ناشی می شود:

1) اعداد a+biو ج + دیباید مثل جبری ضرب شوددوجمله ای ها

2) شماره مندارای ویژگی اصلی:من 2 = – 1.

مثال ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . در نتیجه، کار کردن

دو عدد مختلط مزدوج برابر با واقعی است

عدد مثبت

بخش. یک عدد مختلط را تقسیم کنیدa+bi (قابل تقسیم) به دیگریج + دی(تقسیم کننده) - به معنای یافتن عدد سوم استe + fi(چت)، که وقتی در یک مقسوم علیه ضرب شودج + دی، که منجر به سود سهام می شودa + b .

اگر مقسوم علیه صفر نباشد، تقسیم همیشه امکان پذیر است.

مثال یافتن (8+من ) : (2 – 3 من) .

راه حل. بیایید این نسبت را به صورت کسری بازنویسی کنیم:

ضرب صورت و مخرج آن در 2 + 3من

و پس از انجام تمام تبدیل ها، به دست می آوریم:

نمایش هندسی اعداد مختلط. اعداد واقعی با نقاط روی خط اعداد نشان داده می شوند:

نکته اینجاست آیعنی عدد -3، نقطهبعدد 2 است و O- صفر در مقابل، اعداد مختلط با نقاطی در صفحه مختصات نشان داده می شوند. برای این کار، مختصات مستطیلی (دکارتی) را با مقیاس های یکسان در هر دو محور انتخاب می کنیم. سپس عدد مختلطa+bi با یک نقطه نشان داده خواهد شد P با آبسیسا الف و ترتیب ب (شکل را ببینید). این سیستم مختصات نامیده می شود هواپیمای پیچیده .

مدول عدد مختلط را طول بردار می گویندOP، نشان دادن یک عدد مختلط روی مختصات ( یکپارچه) سطح. مدول عدد مختلطa+biنشان داده شده با | a+bi| یا نامه r

اعداد مختلط حداقل بسط مجموعه اعداد واقعی آشنا برای ما هستند. تفاوت اساسی آنها در این است که عنصری ظاهر می شود که مربع آن -1 را می دهد، یعنی. من، یا

هر عدد مختلط دو بخش دارد: واقعی و خیالی:

بنابراین، مشخص است که مجموعه اعداد حقیقی با مجموعه اعداد مختلط با قسمت فرضی صفر منطبق است.

محبوب ترین مدل برای مجموعه اعداد مختلط، صفحه معمولی است. مختصات اول هر نقطه قسمت واقعی آن و دومین مختصات خیالی خواهد بود. سپس نقش خود اعداد مختلط بردارهایی با آغاز در نقطه (0,0) خواهد بود.

عملیات روی اعداد مختلط

در واقع، اگر مدل مجموعه اعداد مختلط را در نظر بگیریم، به طور شهودی مشخص می‌شود که جمع (تفریق) و ضرب دو عدد مختلط مانند عملیات مربوط به بردارها انجام می‌شود. علاوه بر این، منظور ما حاصل ضرب بردارها است، زیرا نتیجه این عمل دوباره یک بردار است.

1.1 اضافه شدن

(همانطور که می بینید، این عملیات دقیقا مطابق با )

1.2 تفریق، به طور مشابه، طبق قانون زیر انجام می شود:

2. ضرب.

3. تقسیم.

به سادگی به عنوان عمل معکوس ضرب تعریف می شود.

فرم مثلثاتی

مدول عدد مختلط z مقدار زیر است:

,

واضح است که این، دوباره، صرفاً مدول (طول) بردار (a,b) است.

اغلب مدول یک عدد مختلط را به صورت نشان می دهند ρ.

معلوم می شود که

z = ρ(cosφ+isinφ).

شکل زیر مستقیماً از شکل مثلثاتی نوشتن یک عدد مختلط به دست می آید. فرمول ها :

آخرین فرمول نامیده می شود فرمول De Moivre. فرمول به طور مستقیم از آن مشتق شده است. ریشه n ام یک عدد مختلط:

بنابراین، n ام ریشه عدد مختلط z وجود دارد.

طرح درس.

1. لحظه سازمانی.

2. ارائه مطالب.

3. تکالیف.

4. جمع بندی درس.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

II. ارائه مطالب.

انگیزه

گسترش مجموعه اعداد حقیقی شامل این واقعیت است که اعداد جدید (خیالی) به اعداد واقعی اضافه می شوند. معرفی این اعداد با عدم امکان استخراج ریشه از یک عدد منفی در مجموعه اعداد واقعی مرتبط است.

معرفی مفهوم عدد مختلط.

اعداد خیالی که اعداد حقیقی را با آنها تکمیل می کنیم به صورت نوشته می شوند دو، جایی که منواحد خیالی است و i 2 = - 1.

بر این اساس تعریف زیر را از عدد مختلط بدست می آوریم.

تعریف. عدد مختلط بیانی از فرم است a+bi، جایی که آو باعداد واقعی هستند در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

الف) دو عدد مختلط a 1 + b 1 iو a 2 + b 2 iبرابر اگر و فقط اگر a 1 = a 2, b1=b2.

ب) جمع اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ج) ضرب اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

شکل جبری یک عدد مختلط.

نوشتن یک عدد مختلط در فرم a+biشکل جبری یک عدد مختلط نامیده می شود که در آن ولی- بخش واقعی دوقسمت خیالی است و بیک عدد واقعی است

عدد مختلط a+biدر صورتی که اجزای واقعی و خیالی آن برابر با صفر باشد برابر با صفر در نظر گرفته می شود: a=b=0

عدد مختلط a+biدر b = 0به عنوان یک عدد واقعی در نظر گرفته می شود آ: a + 0i = a.

عدد مختلط a+biدر a = 0صرفاً خیالی نامیده می شود و نشان داده می شود دو: 0 + bi = bi.

دو عدد مختلط z = a + biو = a – biکه فقط در علامت قسمت خیالی با هم تفاوت دارند، مزدوج نامیده می شوند.

اعمال روی اعداد مختلط به شکل جبری.

عملیات زیر را می توان بر روی اعداد مختلط به صورت جبری انجام داد.

1) اضافه.

تعریف. مجموع اعداد مختلط z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 iیک عدد مختلط نامیده می شود z، که قسمت واقعی آن برابر است با مجموع اجزای واقعی z1و z2و قسمت خیالی مجموع اجزای خیالی اعداد است z1و z2، یعنی z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

شماره z1و z2اصطلاحات نامیده می شوند.

جمع اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:

1º. جابجایی: z1 + z2 = z2 + z1.

2 درجه انجمنی بودن: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3 درجه. عدد مختلط -a -biمتضاد یک عدد مختلط نامیده می شود z = a + bi. عدد مختلط مخالف عدد مختلط z، نشان داده شده است -z. مجموع اعداد مختلط zو -zبرابر با صفر است: z + (-z) = 0

مثال 1: اضافه کنید (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) تفریق.

تعریف.از عدد مختلط کم کنید z1عدد مختلط z2 z،چی z + z 2 = z 1.

قضیه. تفاوت اعداد مختلط وجود دارد و علاوه بر این، منحصر به فرد است.

مثال 2: تفریق (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (2 - 2) i = 7 - 4i.

3) ضرب.

تعریف. حاصل ضرب اعداد مختلط z 1 =a 1 +b 1 iو z 2 \u003d a 2 + b 2 iیک عدد مختلط نامیده می شود z، با برابری تعریف می شود: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

شماره z1و z2عوامل نامیده می شوند.

ضرب اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:

1º. جابجایی: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2 درجه انجمنی بودن: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3 درجه. توزیع ضرب با توجه به جمع:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4 درجه z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2یک عدد واقعی است

در عمل، ضرب اعداد مختلط طبق قاعده ضرب مجموع در مجموع و جداسازی اجزای واقعی و خیالی انجام می شود.

در مثال زیر ضرب اعداد مختلط را به دو صورت در نظر بگیرید: با قانون و با ضرب مجموع در مجموع.

مثال 3: ضرب کنید (2 + 3i) (5 - 7i).

1 راه. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2× 5 - 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

2 راه. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) تقسیم.

تعریف. یک عدد مختلط را تقسیم کنید z1به عدد مختلط z2، یعنی یافتن چنین عدد مختلطی z، چی z z 2 = z 1.

قضیه.ضریب اعداد مختلط وجود دارد و منحصر به فرد است اگر z2 ≠ 0 + 0i.

در عمل، ضریب اعداد مختلط با ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج به دست می آید.

بگذار باشد z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i، سپس

.

در مثال زیر تقسیم را با فرمول و قانون ضرب را بر مزدوج مخرج انجام می دهیم.

مثال 4. یک ضریب پیدا کنید .

5) افزایش به توان عدد صحیح مثبت.

الف) قوای وحدت خیالی.

بهره گیری از برابری i 2 \u003d -1، تعریف هر عدد صحیح مثبت واحد خیالی آسان است. ما داریم:

i 3 \u003d i 2 i \u003d -i،

i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,

i 5 \u003d i 4 i \u003d i,

i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1،

i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i،

i 8 = i 6 i 2 = 1و غیره.

این نشان می دهد که درجه ارزش دارد که در، جایی که n- یک عدد صحیح مثبت که به صورت دوره ای زمانی که شاخص افزایش می یابد تکرار می شود 4 .

بنابراین، برای افزایش تعداد منبه توان عدد صحیح مثبت، توان را بر تقسیم کنید 4 و ایستاده منبه قدرتی که توان آن باقیمانده تقسیم است.

مثال 5 محاسبه کنید: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1،

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i.

ب) افزایش یک عدد مختلط به یک توان صحیح مثبت طبق قاعده افزایش یک دوجمله ای به توان مربوطه انجام می شود، زیرا این یک مورد خاص از ضرب عوامل مختلط یکسان است.

مثال 6 محاسبه کنید: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.