سری ژنرال فوریه. سری فوریه: تاریخچه و تأثیر مکانیسم ریاضی بر توسعه علم

که در حال حاضر از سفارش خسته شده اند. و من احساس می کنم لحظه ای فرا رسیده است که زمان آن فرا رسیده است که کنسروهای جدید را از ذخایر استراتژیک تئوری استخراج کنیم. آیا راه دیگری برای گسترش عملکرد در یک سری وجود دارد؟ مثلاً پاره ای از خط مستقیم را بر حسب سینوس و کسینوس بیان کنید؟ باورنکردنی به نظر می رسد، اما چنین عملکردهای به ظاهر دوری به خودی خود کمک می کنند
"تجدید دیدار". علاوه بر درجات آشنا در تئوری و عمل، رویکردهای دیگری نیز برای بسط یک تابع در یک سری وجود دارد.

در این درس با سری فوریه مثلثاتی آشنا می شویم، بحث همگرایی و مجموع آن را بررسی می کنیم و البته نمونه های متعددی از بسط توابع در یک سری فوریه را تحلیل می کنیم. من صمیمانه می‌خواستم مقاله را «سری فوریه برای آدمک‌ها» بنامم، اما این حیله‌انگیز است، زیرا حل مسائل مستلزم دانش سایر شاخه‌های تحلیل ریاضی و تجربه عملی است. بنابراین، مقدمه شبیه آموزش فضانوردان خواهد بود =)

ابتدا باید به مطالعه مطالب موجود در صفحه به شکل عالی پرداخت. بخواب، استراحت و هوشیار. بدون احساسات شدید در مورد پنجه شکسته یک همستر و افکار وسواسی در مورد سختی های زندگی ماهی های آکواریومی. سری فوریه از نظر درک دشوار نیست، با این حال، کارهای عملی به سادگی نیاز به افزایش تمرکز دارند - در حالت ایده آل، باید محرک های خارجی را کاملا رها کرد. وضعیت با این واقعیت تشدید می شود که هیچ راه آسانی برای بررسی تصمیم و پاسخ وجود ندارد. بنابراین، اگر احساس می کنید کمتر از حد متوسط ​​هستید، بهتر است کار ساده تری انجام دهید. حقیقت.

ثانیا قبل از پرواز به فضا لازم است داشبورد فضاپیما بررسی شود. بیایید با مقادیر توابعی که باید روی خودکار کلیک کنید شروع کنیم:

برای هر ارزش طبیعی:

یک). در واقع، سینوسی ابسیسا را ​​از طریق هر پی "بخیه" می کند:
... در مورد مقادیر منفی آرگومان، نتیجه مطمئناً یکسان خواهد بود:.

2). اما همه این را نمی دانستند. کسینوس "pi en" معادل "فلاشر" است:

استدلال منفی تغییر نمی کند: .

شاید همین کافی باشد.

و ثالثاً، یک سپاه کیهان نوردان محترم، باید بتوانید ... ادغام کردن.
به طور خاص، با اطمینان تابعی را زیر علامت دیفرانسیل بیاورید, قطعه قطعه یکپارچه شودو با آن رابطه خوبی داشته باشید با فرمول نیوتن-لایبنیتس... بیایید با چند تمرین مهم قبل از پرواز شروع کنیم. من قاطعانه توصیه نمی کنم از آن بگذرید تا بعداً در گرانش صفر صاف نشود:

مثال 1

انتگرال های معین را محاسبه کنید

جایی که ارزش های طبیعی را می گیرد.

راه حل: ادغام بر روی متغیر "x" انجام می شود و در این مرحله متغیر گسسته "en" ثابت در نظر گرفته می شود. در تمام انتگرال ها تابع را زیر علامت دیفرانسیل می آوریم:

یک نسخه کوتاه از راه حلی که هدف گذاری آن خوب است به این صورت است:

عادت کردن به:

چهار مورد باقیمانده متعلق به شماست. سعی کنید در مورد کار با وجدان باشید و انتگرال ها را در یک راه کوتاه ترسیم کنید. نمونه راه حل در پایان درس.

پس از اجرای کیفی تمرینات، لباس فضایی به تن می کنیم
و آماده شدن برای شروع!

بسط یک تابع در یک سری فوریه در یک بازه

برخی از عملکردها را در نظر بگیرید تعریف شده استحداقل در بازه زمانی (و احتمالاً در فاصله زمانی بزرگتر). اگر این تابع روی یک قطعه قابل ادغام باشد، می توان آن را به مثلثاتی گسترش داد سری فوریه:
، به اصطلاح کجا هستند ضرایب فوریه.

در این حالت شماره تماس گرفته می شود دوره تجزیهو شماره است تجزیه نیمه عمر.

بدیهی است که در حالت کلی، سری فوریه از سینوس و کسینوس تشکیل شده است:

در واقع، ما آن را به تفصیل شرح خواهیم داد:

مرسوم است که عبارت صفر سری را در فرم بنویسند.

ضرایب فوریه با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

من کاملاً درک می کنم که اصطلاحات جدید هنوز برای مبتدیان برای مطالعه این موضوع به خوبی درک نمی شوند: دوره تجزیه, نیم پریود, ضرایب فوریهو غیره. بدون وحشت، این با هیجان قبل از رفتن به فضا قابل مقایسه نیست. ما همه چیز را در مثال بعدی مشخص خواهیم کرد، قبل از اجرای آن، منطقی است که سوالات عملی فوری بپرسیم:

در کارهای زیر چه باید کرد؟

تابع را در یک سری فوریه بسط دهید. علاوه بر این، اغلب لازم است نمودار یک تابع، نموداری از مجموع یک سری، مجموع جزئی و در مورد فانتزی های استادانه پیچیده - برای انجام کار دیگری به تصویر کشیده شود.

چگونه یک تابع را در سری فوریه گسترش دهیم؟

در اصل، شما باید پیدا کنید ضرایب فوریهیعنی سه را بنویسید و حساب کنید انتگرال معین.

لطفاً نمای کلی سری فوریه و سه فرمول کاری را در دفتر خود بازنویسی کنید. من بسیار خوشحالم که برخی از بازدیدکنندگان سایت رویای کودکی خود را برای تبدیل شدن به یک فضانورد در مقابل چشمان من دارند =)

مثال 2

تابع را در یک سری فوریه در بازه گسترش دهید. یک نمودار، نمودار مجموع سری و مجموع جزئی بسازید.

راه حل: بخش اول کار گسترش تابع در سری فوریه است.

شروع استاندارد است، حتما یادداشت کنید که:

در این مشکل، دوره تجزیه نیم دوره است.

ما تابع را در یک سری فوریه در بازه گسترش می دهیم:

با استفاده از فرمول های مربوطه، پیدا می کنیم ضرایب فوریه... اکنون باید سه را بنویسید و محاسبه کنید انتگرال معین... برای راحتی، موارد را شماره گذاری می کنم:

1) انتگرال اول ساده ترین است، با این حال، از قبل به چشم و چشم نیاز دارد:

2) از فرمول دوم استفاده می کنیم:

این انتگرال به خوبی شناخته شده است و به صورت قطعات گرفته می شود:

وقتی پیدا شد، استفاده شد روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل.

در کار مورد بررسی، استفاده فوری راحت تر است فرمول ادغام توسط قطعات در یک انتگرال معین :

چند نکته فنی ابتدا پس از اعمال فرمول کل عبارت باید در پرانتزهای بزرگ قرار گیرد، زیرا در مقابل انتگرال اصلی یک ثابت وجود دارد. ما آن را از دست نمی دهیم! براکت ها را می توان در هر مرحله دیگر باز کرد، من این آخرین کار را انجام دادم. در اولین "قطعه" ما در جایگزینی بسیار مراقب هستیم، همانطور که می بینید، ثابت از کار افتاده است، و محدودیت های یکپارچه سازی در محصول جایگزین شده است. این عمل در پرانتز مربع مشخص شده است. خوب ، انتگرال "قطعه" دوم فرمول از کار آموزشی برای شما آشناست ;-)

و مهمترین چیز حداکثر تمرکز توجه است!

3) ما به دنبال سومین ضریب فوریه هستیم:

نسبی از انتگرال قبلی به دست می آید که آن نیز می باشد تکه تکه ادغام می شود:

این مثال کمی پیچیده تر است، من در مورد مراحل بعدی گام به گام نظر خواهم داد:

(1) عبارت به طور کامل در پرانتزهای بزرگ محصور شده است.... من نمی خواستم مثل یک خسته به نظر بیایم، اغلب آنها یک ثابت را از دست می دهند.

(2) در این مورد، من بلافاصله آن براکت های بزرگ را باز کردم. توجه ویژهما به اولین "قطعه" اختصاص می دهیم: ثابت در حاشیه دود می کند و در جایگزینی محدودیت های ادغام (و) در محصول شرکت نمی کند. به دلیل به هم ریختگی رکورد، مجدداً توصیه می شود این عمل را با براکت مربع علامت گذاری کنید. با "قطعه" دوم همه چیز ساده تر است: در اینجا کسری پس از گسترش براکت های بزرگ ظاهر شد و ثابت - در نتیجه ادغام انتگرال آشنا ;-)

(3) تبدیل‌ها را در براکت‌های مربع انجام می‌دهیم و محدودیت‌های ادغام را در انتگرال راست جایگزین می‌کنیم.

(4) "چراغ چشمک زن" را از براکت های مربع بیرون می آوریم:، پس از آن براکت های داخلی را باز می کنیم:.

(5) 1 و -1 را در پرانتز کاهش دهید، ساده سازی های نهایی را انجام دهید.

در نهایت، هر سه ضریب فوریه پیدا شد:

بیایید آنها را در فرمول جایگزین کنیم :

در عین حال، تقسیم به نصف را فراموش نکنید. در مرحله آخر، ثابت ("منهای دو") که به "en" بستگی ندارد، به خارج از مقدار منتقل می شود.

بنابراین، ما بسط تابع را در یک سری فوریه در بازه به دست آورده ایم:

اجازه دهید سوال همگرایی سری فوریه را مطالعه کنیم. من به طور خاص نظریه را توضیح خواهم داد قضیه دیریکله، به معنای واقعی کلمه "روی انگشتان" است، بنابراین اگر به عبارت دقیق نیاز دارید، لطفاً به کتاب درسی تجزیه و تحلیل ریاضی مراجعه کنید. (مثلاً جلد دوم بوهان؛ یا جلد سوم فیشتنگولز، اما در آن دشوارتر است).

در قسمت دوم مسئله، باید یک نمودار، یک نمودار مجموع سری و یک نمودار مجموع جزئی را نمایش دهید.

نمودار تابع یک نمودار معمولی است خط مستقیم، که با یک خط نقطه سیاه ترسیم شده است:

ما با مجموع سریال سروکار داریم. همانطور که می دانید مجموعه ای از توابع به توابع همگرا می شوند. در مورد ما، سری فوریه ساخته شده است برای هر مقدار "x"به تابع نشان داده شده با رنگ قرمز همگرا می شود. این تابع را تحمل می کند استراحت از نوع 1در نقاط، اما همچنین در آنها تعریف شده است (نقاط قرمز در نقاشی)

به این ترتیب: ... به راحتی می توان متوجه شد که چه چیزی به طور قابل توجهی با عملکرد اصلی متفاوت است، به همین دلیل در نمادگذاری یک تایلد استفاده می شود، نه علامت مساوی.

اجازه دهید الگوریتمی را مطالعه کنیم که با استفاده از آن می توان مجموع سری ها را ساخت.

در بازه مرکزی، سری فوریه به خود تابع همگرا می شود (قسمت قرمز مرکزی با خط نقطه چین سیاه تابع خطی منطبق است).

اکنون اجازه دهید کمی در مورد ماهیت تجزیه مثلثاتی در نظر گرفته شده حدس بزنیم. در سریال فوریه فقط توابع تناوبی (ثابت، سینوس و کسینوس) گنجانده شده است، بنابراین مجموع سری همچنین تابع تناوبی است.

این در مثال خاص ما به چه معناست؟ و این یعنی مجموع سریال –قطعا دوره ایو قسمت قرمز فاصله باید بی نهایت در سمت چپ و راست تکرار شود.

فکر کنم الان بالاخره معنی عبارت «دوره زوال» مشخص شد. به بیان ساده، هر موقعیتی بارها و بارها تکرار می شود.

در عمل معمولاً به تصویر کشیدن سه دوره تجزیه کافی است، همانطور که در نقاشی انجام می شود. خوب، و همچنین "نخمه" دوره های همسایه - برای اینکه مشخص شود نمودار ادامه دارد.

مورد توجه خاص هستند نقاط شکست از نوع 1... در چنین نقاطی، سری فوریه به مقادیر جدا شده ای همگرا می شود که دقیقاً در وسط "پرش" ناپیوستگی قرار دارند (نقاط قرمز در نقاشی). ترتیب این نقاط را چگونه می دانید؟ ابتدا ترتیب "طبقه بالا" را پیدا می کنیم: برای این کار، مقدار تابع را در نقطه سمت راست منتهی به دوره انبساط مرکزی محاسبه می کنیم:. برای محاسبه ترتیب "طبقه پایین"، ساده ترین راه این است که سمت چپ ترین مقدار همان دوره را بگیرید: ... ترتیب میانگین، میانگین حسابی جمع «بالا و پایین» است:. نکته خوب این است که هنگام ساخت یک نقشه، بلافاصله می بینید که آیا وسط به درستی محاسبه شده است یا نادرست.

اجازه دهید یک مجموع جزئی از سری بسازیم و در همان زمان معنای اصطلاح "همگرایی" را تکرار کنیم. انگیزه نیز از درس در مورد شناخته شده است مجموع یک سری اعداد... بیایید ثروت خود را با جزئیات توصیف کنیم:

برای ایجاد یک جمع جزئی، باید صفر + دو عضو دیگر سری را یادداشت کنید. به این معنا که،

در نقاشی، نمودار تابع به رنگ سبز نشان داده شده است، و همانطور که می بینید، مقدار کل را کاملاً محکم می پیچد. اگر مجموع جزئی پنج عضو سری را در نظر بگیریم، نمودار این تابع با دقت بیشتری خطوط قرمز را تقریب می کند، اگر صد عضو باشد، "مار سبز" در واقع به طور کامل با بخش های قرمز و غیره ادغام می شود. بنابراین، سری فوریه به مجموع آن همگرا می شود.

جالب است بدانید که هر مقدار جزئی باشد عملکرد پیوسته، با این حال، مجموع کل سریال هنوز ناپیوسته است.

در عمل، ترسیم مبلغ جزئی نیز غیرمعمول نیست. چگونه انجامش بدهیم؟ در مورد ما، لازم است یک تابع را در یک بخش در نظر بگیریم، مقادیر آن را در انتهای بخش و در نقاط میانی محاسبه کنیم (هر چه نقاط بیشتری را در نظر بگیرید، نمودار دقیق تر خواهد بود). سپس باید این نقاط را روی نقاشی علامت بزنید و نمودار را به طور دقیق روی نقطه به تصویر بکشید و سپس آن را به فواصل مجاور "تکرار" کنید. دیگر چگونه؟ از این گذشته ، تقریب نیز یک تابع تناوبی است ... ... نمودار آن به نوعی من را به یاد ضربان قلب یکنواخت در صفحه نمایش یک دستگاه پزشکی می اندازد.

البته، انجام ساخت و ساز خیلی راحت نیست، زیرا شما باید بسیار دقیق باشید و دقتی کمتر از نیم میلی متر را حفظ کنید. با این حال ، من خوانندگانی را که با طراحی هماهنگ نیستند خوشحال خواهم کرد - در یک کار "واقعی" ، ترسیم همیشه ضروری نیست ، در جایی در 50٪ موارد لازم است عملکرد در سری فوریه گسترش یابد و تمام.

پس از اتمام نقاشی، کار را تکمیل می کنیم:

پاسخ:

در بسیاری از وظایف، عملکرد آسیب می بیند شکست از نوع 1درست در دوره تجزیه:

مثال 3

در یک سری فوریه تابع مشخص شده در بخش را بسط دهید. تابع و مجموع کل سری را رسم کنید.

تابع پیشنهادی به صورت تکه ای داده می شود (علاوه بر این، فقط به بخش توجه داشته باشید)و تحمل می کند شکست از نوع 1در نقطه آیا ضرایب فوریه قابل محاسبه است؟ مشکلی نیست هر دو سمت چپ و راست تابع در فواصل خود قابل انتگرال هستند، بنابراین انتگرال های هر یک از سه فرمول باید به صورت مجموع دو انتگرال نشان داده شوند. بیایید ببینیم، برای مثال، چگونه این کار با ضریب صفر انجام می شود:

انتگرال دوم برابر با صفر بود که کار را کاهش داد، اما همیشه اینطور نیست.

دو ضریب فوریه دیگر نیز به همین ترتیب نوشته شده اند.

چگونه مجموع یک سری را نشان دهیم؟ در بازه سمت چپ یک پاره خط مستقیم می کشیم و در فاصله - یک بخش خط مستقیم (بخش محور را به صورت پررنگ و پررنگ انتخاب کنید). یعنی در بازه بسط، مجموع سری در همه جا با تابع منطبق است، به جز سه نقطه "بد". در نقطه ناپیوستگی تابع، سری فوریه به یک مقدار جدا شده همگرا می شود که دقیقاً در وسط "پرش" ناپیوستگی قرار دارد. دیدن شفاهی آن سخت نیست: حد چپ:، حد راست: و بدیهی است که ترتیب نقطه میانی 0.5 است.

به دلیل تناوب بودن مجموع، تصویر باید با دوره های مجاور "ضرب" شود، به ویژه، تا همان را در فواصل و. در این مورد، در نقاط سری فوریه به مقادیر میانه همگرا می شود.

در واقع هیچ چیز جدیدی در اینجا وجود ندارد.

سعی کنید خودتان با این کار کنار بیایید. یک نمونه تقریبی از طرح پایان و یک نقاشی در پایان درس.

بسط یک تابع در یک سری فوریه در یک دوره دلخواه

برای یک دوره بسط دلخواه، که در آن "el" هر عدد مثبتی است، فرمول های سری فوریه و ضرایب فوریه در یک استدلال کمی پیچیده سینوس و کسینوس متفاوت است:

اگر، پس فرمول های شکافی را که با آن شروع کردیم به دست می آوریم.

الگوریتم و اصول برای حل مسئله به طور کامل حفظ شده است، اما پیچیدگی فنی محاسبات افزایش می یابد:

مثال 4

تابع را در یک سری فوریه بسط دهید و مجموع آن را رسم کنید.

راه حل: در واقع آنالوگ مثال شماره 3 با شکست از نوع 1در نقطه در این مشکل، دوره تجزیه نیم دوره است. تابع فقط در یک نیم فاصله تعریف می شود، اما این موضوع را تغییر نمی دهد - مهم است که هر دو قسمت تابع قابل ادغام باشند.

بیایید تابع را در یک سری فوریه گسترش دهیم:

از آنجایی که تابع در مبدأ ناپیوسته است، هر ضریب فوریه باید به صورت مجموع دو انتگرال نوشته شود:

1) من انتگرال اول را تا حد امکان با جزئیات بیشتر می نویسم:

2) ما با دقت به سطح ماه نگاه می کنیم:

انتگرال دوم را در قطعات:

بعد از اینکه ادامه راه حل را با ستاره باز کردیم به چه نکاتی باید دقت کنید؟

اولا، ما انتگرال اول را از دست نمی دهیم ، جایی که بلافاصله اجرا می کنیم علامت دیفرانسیل... ثانیاً ثابت بدبخت را در مقابل براکت های بزرگ فراموش نکنید و در نشانه ها گیج نشویدهنگام استفاده از فرمول ... براکت های بزرگ، با این حال، راحت تر است که آنها را بلافاصله در مرحله بعدی باز کنید.

بقیه مسائل مربوط به فناوری است، مشکلات فقط می تواند ناشی از تجربه ناکافی در حل انتگرال باشد.

بله، بیخود نبود که همکاران برجسته ریاضیدان فرانسوی فوریه خشمگین شدند - او چگونه جرات کرد توابع را به سری های مثلثاتی تجزیه کند؟! =) به هر حال، احتمالاً همه به معنای عملی کار مورد نظر علاقه مند هستند. خود فوریه روی یک مدل ریاضی هدایت حرارتی کار کرد و بعداً سری به نام او برای مطالعه بسیاری از فرآیندهای دوره ای که ظاهراً در دنیای اطراف نامرئی هستند مورد استفاده قرار گرفت. حالا اتفاقاً خودم را به این فکر انداختم که تصادفی نبود که نمودار مثال دوم را با ضربان قلب دوره ای مقایسه کردم. علاقه مندان می توانند با کاربرد عملی آن آشنا شوند تبدیل فوریهدر منابع شخص ثالث ... اگر چه بهتر است نباشد - به عنوان عشق اول یاد خواهد شد =)

3) با در نظر گرفتن پیوندهای ضعیف مکرر ذکر شده، به ضریب سوم می پردازیم:

ما قطعه به قطعه ادغام می کنیم:

ضرایب فوریه پیدا شده را در فرمول جایگزین کنید ، فراموش نکنید که ضریب صفر را به نصف تقسیم کنید:

بیایید مجموع سریال را ترسیم کنیم. بیایید به طور خلاصه این روش را تکرار کنیم: یک خط مستقیم را در یک فاصله و یک خط مستقیم را در یک فاصله ایجاد کنید. اگر مقدار x صفر باشد، یک نقطه در وسط شکاف "پرش" قرار می دهیم و نمودار را برای دوره های مجاور "تکرار" می کنیم:


در "اتصالات" دوره ها، مجموع نیز برابر با نقاط میانی "پرش" شکاف خواهد بود.

آماده. اجازه دهید یادآوری کنم که خود تابع، بر اساس فرضیه، فقط در یک نیمه بازه تعریف می شود و بدیهی است که با مجموع یک سری در بازه ها منطبق است.

پاسخ:

گاهی اوقات یک تابع داده شده تکه تکه نیز در طول دوره بسط پیوسته است. ساده ترین مثال: ... راه حل (رجوع کنید به جلد دوم بوهان)مانند دو مثال قبلی است: با وجود تداوم عملکرددر یک نقطه، هر ضریب فوریه به صورت مجموع دو انتگرال بیان می شود.

در فاصله تجزیه نقاط شکست از نوع 1و / یا نقاط "اتصال" نمودار می تواند بیشتر باشد (دو، سه، و به طور کلی هر کدام آخرینعدد). اگر تابع در هر قسمت قابل ادغام باشد، در سری فوریه نیز قابل گسترش است. اما از تجربه عملی چنین چیز سختی را به خاطر ندارم. با این وجود، وظایف دشوارتری نسبت به آنچه که در نظر گرفته شد وجود دارد، و در پایان مقاله برای همه پیوندهایی به سری فوریه با پیچیدگی افزایش یافته وجود دارد.

در این میان، بیایید استراحت کنیم، به صندلی ها تکیه دهیم و به فضاهای پر ستاره بی پایان فکر کنیم:

مثال 5

تابع را در یک سری فوریه در بازه گسترش دهید و مجموع سری را رسم کنید.

در این مشکل تابع مداومدر نیمه بازه تجزیه، که محلول را ساده می کند. همه چیز بسیار شبیه به مثال شماره 2 است. هیچ فراری از سفینه فضایی نیست - شما باید تصمیم بگیرید =) یک نمونه طرح در پایان درس، برنامه پیوست شده است.

بسط سری فوریه توابع زوج و فرد

با توابع زوج و فرد، روند حل یک مسئله به طور قابل توجهی ساده شده است. و به همین دلیل. اجازه دهید به بسط تابع در یک سری فوریه در دوره "دو پی" بازگردیم. و یک دوره دلخواه "دو آل" .

فرض کنید عملکرد ما زوج است. اصطلاح کلی سریال همانطور که می بینید شامل کسینوس زوج و سینوس فرد است. و اگر یک تابع زوج را گسترش دهیم، پس چرا به سینوس های فرد نیاز داریم؟ بیایید ضریب غیر ضروری را صفر کنیم:.

به این ترتیب، یک تابع زوج را می توان به یک سری فوریه فقط در کسینوس بسط داد:

تا جایی که انتگرال توابع زوجبر روی یک بخش از یکپارچگی متقارن با توجه به صفر می توان دو برابر کرد، سپس بقیه ضرایب فوریه نیز ساده می شوند.

برای شکاف:

برای یک بازه دلخواه:

نمونه های کتاب درسی که تقریباً در هر کتاب درسی در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال یافت می شود، شامل تجزیه توابع زوج است. ... علاوه بر این، آنها بارها و بارها در تمرین شخصی من ملاقات کرده اند:

مثال 6

یک تابع داده شده است. ضروری:

1) تابع را در یک سری فوریه با نقطه گسترش دهید که در آن یک عدد مثبت دلخواه است.

2) بسط را روی بازه یادداشت کنید، یک تابع و یک نمودار از مجموع کل سری بسازید.

راه حل: در پاراگراف اول حل مسئله به صورت کلی پیشنهاد شده است و بسیار راحت است! نیاز ظاهر می شود - فقط ارزش خود را جایگزین کنید.

1) در این مشکل، دوره گسترش نیم دوره است. در طی اقدامات بعدی، به ویژه در هنگام ادغام، "el" یک ثابت در نظر گرفته می شود

تابع زوج است، به این معنی که می توان آن را به یک سری فوریه فقط در کسینوس گسترش داد: .

ضرایب فوریه را با فرمول ها جستجو می کنیم ... به مزایای بی قید و شرط آنها توجه کنید. ابتدا، ادغام در بخش مثبت گسترش انجام می شود، به این معنی که ما با خیال راحت از مدول خلاص می شویم. با در نظر گرفتن تنها "X" از دو قطعه. و ثانیا، یکپارچه سازی به طور قابل توجهی ساده شده است.

دو:

ما قطعه به قطعه ادغام می کنیم:

به این ترتیب:
، در این حالت ثابت که به "en" وابسته نیست از مقدار خارج می شود.

پاسخ:

2) بسط را روی بازه می نویسیم، برای این مقدار نیم دوره مورد نیاز را در فرمول کلی جایگزین می کنیم:

سری فوریه نمایش یک تابع دلخواه با یک دوره خاص در قالب یک سری است. به طور کلی به این راه حل، بسط یک عنصر به صورت متعامد می گویند. گسترش توابع در سری فوریه به دلیل ویژگی‌های این تبدیل در طول ادغام، تمایز و همچنین تغییر یک عبارت توسط استدلال و کانولوشن، یک ابزار نسبتاً قدرتمند برای حل مسائل مختلف است.

شخصی که با ریاضیات عالی و همچنین با آثار دانشمند فرانسوی فوریه آشنا نیست، به احتمال زیاد متوجه نخواهد شد که "رتبه ها" چیست و برای چه هستند. در همین حال، این دگرگونی به بخش نسبتاً متراکمی از زندگی ما تبدیل شده است. این نه تنها توسط ریاضیدانان، بلکه توسط فیزیکدانان، شیمیدانان، پزشکان، ستاره شناسان، زلزله شناسان، اقیانوس شناسان و بسیاری دیگر استفاده می شود. بیایید نگاهی دقیق تر به آثار دانشمند بزرگ فرانسوی بیندازیم که زودتر از زمان خود به کشفی دست یافت.

تبدیل انسان و فوریه

سری فوریه یکی از روش هاست (همراه با آنالیز و سایر روش ها) این فرآیند با هر بار شنیدن صدایی اتفاق می افتد. گوش ما به طور خودکار ذرات بنیادی را در یک محیط الاستیک تبدیل می کند، که به ردیف هایی (در امتداد طیف) از مقادیر سطح بلندی پی در پی برای تن هایی با ارتفاع های مختلف تجزیه می شوند. علاوه بر این، مغز این داده ها را به صداهای آشنا برای ما تبدیل می کند. همه اینها جدا از میل یا آگاهی ما به خودی خود اتفاق می افتد، اما برای درک این فرآیندها، چندین سال طول می کشد تا ریاضیات عالی را مطالعه کنیم.

اطلاعات بیشتر در مورد تبدیل فوریه

تبدیل فوریه را می توان با استفاده از روش های تحلیلی، عددی و غیره انجام داد. سری فوریه به تجزیه عددی هر فرآیند نوسانی - از جزر و مد اقیانوس و امواج نور گرفته تا چرخه‌های فعالیت خورشیدی (و سایر اجرام نجومی) اشاره دارد. با استفاده از این تکنیک‌های ریاضی، می‌توانید توابع را تجزیه کنید و هر فرآیند نوسانی را به‌عنوان مجموعه‌ای از مؤلفه‌های سینوسی که از حداقل به حداکثر می‌روند و به عقب نشان می‌دهند، نشان می‌دهند. تبدیل فوریه تابعی است که فاز و دامنه سینوسی ها را در یک فرکانس خاص توصیف می کند. این فرآیند را می توان برای حل معادلات بسیار پیچیده که فرآیندهای دینامیکی را که تحت تأثیر انرژی حرارتی، نور یا الکتریکی رخ می دهند، توصیف می کند. همچنین سری فوریه این امکان را فراهم می کند که اجزای ثابت را در سیگنال های نوسانی پیچیده جدا کنیم، به همین دلیل می توان مشاهدات تجربی به دست آمده در پزشکی، شیمی و نجوم را به درستی تفسیر کرد.

مرجع تاریخ

بنیانگذار این نظریه، ژان باپتیست ژوزف فوریه، ریاضیدان فرانسوی است. این تحول بعدها به نام او نامگذاری شد. در ابتدا، دانشمند روش خود را برای مطالعه و توضیح مکانیسم های هدایت گرما - انتشار گرما در جامدات - به کار برد. فوریه پیشنهاد کرد که توزیع نامنظم اولیه را می توان به ساده ترین سینوسی ها تجزیه کرد، که هر کدام حداقل و حداکثر دمای خود و همچنین فاز خاص خود را دارند. علاوه بر این، هر یک از این مولفه ها از حداقل به حداکثر و به عقب اندازه گیری می شود. تابع ریاضی که قله های بالایی و پایینی منحنی و همچنین فاز هر یک از هارمونیک ها را توصیف می کند، تبدیل فوریه بیان توزیع دما نامیده می شود. نویسنده این نظریه تابع توزیع کلی را که توصیف ریاضی آن دشوار است، به یک سری بسیار راحت از کسینوس و سینوس تقلیل داد که با هم توزیع اصلی را نشان می دهند.

اصل تحول و دیدگاه معاصران

معاصران دانشمند - ریاضیدانان برجسته اوایل قرن نوزدهم - این نظریه را نپذیرفتند. ایراد اصلی ادعای فوریه بود که یک تابع ناپیوسته که یک خط مستقیم یا یک منحنی ناپیوسته را توصیف می کند، می تواند به عنوان مجموع عبارات سینوسی که پیوسته هستند نشان داده شود. به عنوان مثال، "گام" Heaviside را در نظر بگیرید: مقدار آن برابر با صفر در سمت چپ شکاف و یک در سمت راست است. این تابع وابستگی جریان الکتریکی به متغیر زمان را در زمانی که مدار بسته است، توصیف می کند. معاصران این نظریه در آن زمان هرگز با وضعیت مشابهی مواجه نشده بودند که یک عبارت ناپیوسته با ترکیبی از توابع پیوسته و معمولی مانند نمایی، سینوسی، خطی یا درجه دوم توصیف شود.

چه چیزی ریاضیدانان فرانسوی را در مورد نظریه فوریه سردرگم کرد؟

از این گذشته، اگر ریاضیدان در اظهاراتش درست گفته باشد، با جمع کردن سری فوریه مثلثاتی نامتناهی، می توان نمایش دقیقی از یک عبارت گام به گام را به دست آورد، حتی اگر چنین مراحل زیادی داشته باشد. در اوایل قرن نوزدهم، چنین اظهاراتی پوچ به نظر می رسید. اما علیرغم همه تردیدها، بسیاری از ریاضیدانان دامنه مطالعه این پدیده را گسترش داده و آن را از محدوده مطالعات هدایت حرارتی خارج کرده اند. با این حال، اکثر دانشمندان همچنان با این سوال عذاب می‌کشند: "آیا مجموع یک سری سینوسی می‌تواند به مقدار دقیق تابع ناپیوسته همگرا شود؟"

همگرایی سری فوریه: یک مثال

مسئله همگرایی هر زمان که لازم باشد مجموعه های نامتناهی از اعداد را جمع آوری کنیم، مطرح می شود. برای درک این پدیده، یک مثال کلاسیک را در نظر بگیرید. اگر اندازه هر مرحله بعدی نصف مرحله قبلی باشد، هرگز قادر خواهید بود به دیوار برسید؟ فرض کنید دو متر با هدف فاصله دارید، اولین قدم شما را به نقطه نیمه نزدیکتر می کند، مرحله بعدی به نقطه سه چهارم نزدیک می شود و بعد از مرحله پنجم تقریباً 97 درصد مسیر را طی خواهید کرد. با این حال، هر چقدر هم قدم بردارید، به معنای دقیق ریاضی به هدف مورد نظر نخواهید رسید. با استفاده از محاسبات عددی، می توانید ثابت کنید که در نهایت می توانید به یک فاصله تنظیم دلخواه کوچک نزدیک شوید. این اثبات معادل نشان دادن این است که مقدار کل نصف، یک چهارم و غیره به وحدت گرایش دارد.

سوال همگرایی: آمدن دوم یا دستگاه لرد کلوین

این سوال دوباره در پایان قرن نوزدهم مطرح شد، زمانی که سعی شد از سری فوریه برای پیش بینی شدت جزر و مد استفاده شود. در طول این مدت، لرد کلوین دستگاهی اختراع کرد، یک دستگاه محاسباتی آنالوگ که به ملوانان ارتش و نیروی دریایی تجاری اجازه می داد این پدیده طبیعی را ردیابی کنند. این مکانیسم مجموعه فازها و دامنه‌ها را از جدول ارتفاع جزر و مد و لحظه‌های زمانی متناظر آن‌ها تعیین می‌کند، که در یک بندر معین در طول سال به دقت اندازه‌گیری می‌شود. هر پارامتر یک جزء سینوسی از بیان ارتفاع جزر و مد و یکی از اجزای منظم بود. نتایج اندازه‌گیری‌ها در ماشین‌حساب لرد کلوین وارد شد، که منحنی را سنتز کرد که ارتفاع آب را به عنوان تابعی از زمان برای سال آینده پیش‌بینی می‌کرد. خیلی زود، منحنی های مشابهی برای تمام بندرهای جهان ترسیم شد.

اگر فرآیند توسط یک تابع ناپیوسته شکسته شود چه؟

در آن زمان، واضح به نظر می رسید که یک پیش بینی کننده موج جزر و مدی با تعداد زیادی شمارش می تواند تعداد زیادی فاز و دامنه را محاسبه کند و بنابراین پیش بینی های دقیق تری ارائه دهد. با این وجود، معلوم شد که این الگو در مواردی مشاهده نمی شود که بیان جزر و مد، که باید سنتز شود، حاوی یک پرش شدید بود، یعنی ناپیوسته بود. در صورتی که داده های جدول لحظه های زمانی وارد دستگاه شود، چندین ضریب فوریه را محاسبه می کند. عملکرد اصلی به لطف اجزای سینوسی (مطابق با ضرایب یافت شده) بازیابی می شود. اختلاف بین عبارت اصلی و بازسازی شده را می توان در هر نقطه اندازه گیری کرد. هنگام انجام محاسبات و مقایسه های مکرر مشاهده می شود که مقدار بزرگترین خطا کاهش نمی یابد. با این حال، آنها در منطقه مربوط به نقطه ناپیوستگی موضعی هستند و در هر نقطه دیگری به سمت صفر تمایل دارند. در سال 1899، این نتیجه به طور نظری توسط جاشوا ویلارد گیبس از دانشگاه ییل تأیید شد.

همگرایی سری های فوریه و توسعه ریاضیات به طور کلی

تحلیل فوریه برای عباراتی که شامل تعداد نامتناهی انفجار در یک بازه زمانی معین هستند، کاربرد ندارد. به طور کلی، سری فوریه، اگر تابع اولیه با نتیجه یک اندازه گیری فیزیکی واقعی نشان داده شود، همیشه همگرا هستند. سؤالات مربوط به همگرایی این فرآیند برای کلاس های خاصی از توابع منجر به ظهور شاخه های جدیدی در ریاضیات شده است، به عنوان مثال، نظریه توابع تعمیم یافته. با نام هایی مانند L. Schwartz، J. Mikusinsky و J. Temple مرتبط است. در چارچوب این نظریه، یک مبنای نظری واضح و دقیق برای عباراتی مانند تابع دلتای دیراک (منطقه ای از یک منطقه متمرکز در یک همسایگی بی نهایت کوچک از یک نقطه را توصیف می کند) و "گام" Heaviside ایجاد شد. . با تشکر از این کار، سری فوریه برای حل معادلات و مسائلی که در آنها مفاهیم بصری ظاهر می شود قابل استفاده شد: بار نقطه ای، جرم نقطه ای، دوقطبی های مغناطیسی، و همچنین بار متمرکز روی یک پرتو.

روش فوریه

سری فوریه، مطابق با اصول تداخل، با تجزیه اشکال پیچیده به شکل های ساده تر شروع می شود. به عنوان مثال، تغییر در شار گرما با عبور آن از موانع مختلف ساخته شده از مواد عایق حرارتی با شکل نامنظم یا با تغییر در سطح زمین - زلزله، تغییر در مدار یک جرم آسمانی - توضیح داده می شود. تاثیر سیارات به عنوان یک قاعده، چنین معادلاتی که سیستم های کلاسیک ساده را توصیف می کنند، می توانند به راحتی برای هر موج جداگانه حل شوند. فوریه نشان داد که راه‌حل‌های ساده را نیز می‌توان برای دستیابی به راه‌حل برای مسائل پیچیده‌تر جمع‌بندی کرد. در زبان ریاضیات، سری فوریه تکنیکی برای نمایش یک عبارت به عنوان مجموع هارمونیک ها - کسینوس و سینوسی است. بنابراین این تحلیل به «تحلیل هارمونیک» نیز معروف است.

سری فوریه - تکنیک ایده آل قبل از "عصر کامپیوتر"

قبل از ایجاد فناوری رایانه، تکنیک فوریه بهترین سلاح در زرادخانه دانشمندان هنگام کار با ماهیت موجی جهان ما بود. سری فوریه در یک شکل پیچیده نه تنها مسائل ساده ای را که به کاربرد مستقیم قوانین مکانیک نیوتن کمک می کند، بلکه معادلات اساسی را نیز ممکن می سازد. بیشتر اکتشافات علم نیوتنی در قرن نوزدهم تنها با روش فوریه امکان پذیر شد.

سری فوریه امروز

با توسعه کامپیوترها، تبدیل فوریه به سطح کیفی جدیدی ارتقا یافته است. این تکنیک تقریباً در تمام زمینه های علم و فناوری جا افتاده است. به عنوان مثال صدا و تصویر دیجیتال است. اجرای آن تنها به لطف نظریه ای که توسط یک ریاضیدان فرانسوی در آغاز قرن نوزدهم ایجاد شد امکان پذیر شد. بنابراین، سری فوریه در شکل پیچیده ای امکان دستیابی به موفقیت در مطالعه فضای بیرونی را فراهم کرد. علاوه بر این، بر مطالعه فیزیک مواد نیمه هادی و پلاسما، آکوستیک مایکروویو، اقیانوس شناسی، رادار، زلزله شناسی تأثیر گذاشت.

سری فوریه مثلثاتی

در ریاضیات، سری فوریه راهی برای نمایش توابع پیچیده دلخواه به صورت مجموع توابع ساده تر است. در موارد کلی، تعداد چنین عباراتی می تواند بی نهایت باشد. علاوه بر این، هرچه تعداد آنها در محاسبه بیشتر در نظر گرفته شود، نتیجه نهایی با دقت بیشتری به دست می آید. اغلب، توابع کسینوس یا سینوسی مثلثاتی به عنوان ساده ترین آنها استفاده می شود. در این حالت سری فوریه مثلثاتی و حل چنین عباراتی را بسط هارمونیک می نامند. این روش نقش مهمی در ریاضیات دارد. اول از همه، سری مثلثاتی وسیله ای برای تصویر و همچنین مطالعه توابع فراهم می کند، این دستگاه اصلی تئوری است. علاوه بر این، به شما امکان می دهد تعدادی از مسائل در فیزیک ریاضی را حل کنید. سرانجام، این نظریه به توسعه کمک کرد و تعدادی از شاخه های بسیار مهم علوم ریاضی (نظریه انتگرال ها، نظریه توابع تناوبی) را به وجود آورد. علاوه بر این، به عنوان نقطه شروعی برای توسعه توابع زیر یک متغیر واقعی عمل کرد و همچنین پایه و اساس تحلیل هارمونیک را گذاشت.

سری فوریه از توابع تناوبی با دوره 2π.

سری فوریه به شما این امکان را می دهد که توابع تناوبی را با تجزیه آنها به اجزاء مطالعه کنید. جریان ها و ولتاژهای متناوب، جابجایی ها، سرعت و شتاب میل لنگ، و امواج صوتی نمونه های عملی معمولی از استفاده از توابع دوره ای در محاسبات مهندسی هستند.

بسط سری فوریه بر این فرض استوار است که تمام توابع دارای اهمیت عملی در بازه -π≤x≤ π را می توان به صورت سری مثلثاتی همگرا بیان کرد (یک سری همگرا در نظر گرفته می شود اگر دنباله ای از مجموع جزئی از اعضای آن تشکیل شده باشد. همگرا می شود):

نماد استاندارد (= عادی) از طریق مجموع sinx و cosx

f (x) = a o + a 1 cosx + a 2 cos2x + a 3 cos3x + ... + b 1 sinx + b 2 sin2x + b 3 sin3x + ...،

که در آن a o، a 1، a 2، ...، b 1، b 2، .. ثابت های واقعی هستند، یعنی.

جایی که برای محدوده -π تا π، ضرایب سری فوریه با فرمول‌های زیر محاسبه می‌شوند:

ضرایب a o، a n و b n نامیده می شوند ضرایب فوریه، و اگر بتوان آنها را پیدا کرد، سری (1) فراخوانی می شود در کنار فوریه،مربوط به تابع f (x). برای سری (1)، اصطلاح (a 1 cosx + b 1 sinx) اولین یا نامیده می شود هارمونیک بنیادی،

روش دیگر برای نوشتن سری استفاده از نسبت acosx + bsinx = csin (x + α) است.

f (x) = a o + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + c n sin (nx + α n)

جایی که ao یک ثابت است، با 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2، با n = (an 2 + bn 2) 1/2 دامنه مولفه های مختلف است و برابر است با an = arctan an / b n.

برای سری (1)، اصطلاح (a 1 cosx + b 1 sinx) یا c 1 sin (x + α 1) اولین یا نامیده می شود. هارمونیک بنیادی،(a 2 cos2x + b 2 sin2x) یا c 2 sin (2x + α 2) نامیده می شود هارمونیک دومو غیره.

برای نمایش دقیق یک سیگنال پیچیده معمولاً تعداد نامتناهی عبارت مورد نیاز است. با این حال، در بسیاری از مسائل عملی، تنها در نظر گرفتن چند عبارت اول کافی است.

سری فوریه توابع غیر تناوبی با دوره 2π.

تجزیه توابع غیر تناوبی.

اگر تابع f (x) غیر تناوبی باشد، نمی توان آن را در یک سری فوریه برای همه مقادیر x گسترش داد. با این حال، شما می توانید یک سری فوریه را تعریف کنید که یک تابع را در هر محدوده 2π گسترده ای نشان می دهد.

اگر یک تابع غیر تناوبی مشخص شده است، می توانید با گرفتن مقادیر f (x) در یک محدوده خاص و تکرار آنها در خارج از آن محدوده در فواصل 2π، یک تابع جدید بسازید. از آنجایی که تابع جدید تناوبی با دوره 2π است، می توان آن را در یک سری فوریه برای تمام مقادیر x گسترش داد. به عنوان مثال، تابع f (x) = x تناوبی نیست. با این حال، اگر لازم باشد آن را در یک سری فوریه در بازه o تا 2π گسترش دهیم، خارج از این بازه یک تابع تناوبی با دوره 2π ساخته می شود (همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است).

برای توابع غیر تناوبی مانند f (x) = x، مجموع سری فوریه برابر با مقدار f (x) در تمام نقاط محدوده داده شده است، اما برای نقاط برابر با f (x) نیست. خارج از محدوده برای یافتن سری فوریه یک تابع غیر تناوبی در محدوده 2π، از همان فرمول برای ضرایب فوریه استفاده می شود.

توابع زوج و فرد.

آنها تابع y = f (x) را می گویند زوجاگر f (-x) = f (x) برای همه مقادیر x. نمودارهای توابع زوج همیشه نسبت به محور y متقارن هستند (یعنی آینه ای هستند). دو مثال از توابع زوج: y = x 2 و y = cosx.

تابع y = f (x) گفته می شود فرد،اگر f (-x) = - f (x) برای همه مقادیر x. نمودارهای تابع فرد همیشه نسبت به مبدا متقارن هستند.

بسیاری از توابع نه زوج هستند و نه فرد.

بسط فوریه در کسینوس

سری فوریه یک تابع تناوبی زوج f (x) با پریود 2π فقط شامل جمله هایی با کسینوس است (یعنی شامل عبارت با سینوس نیست) و ممکن است شامل یک جمله ثابت باشد. از این رو،

جایی که ضرایب سری فوریه،

سری فوریه یک تابع تناوبی فرد f (x) با پریود 2π فقط شامل عبارت با سینوس است (یعنی شامل عبارت با کسینوس نیست).

از این رو،

جایی که ضرایب سری فوریه،

سری فوریه نیم چرخه.

اگر یک تابع برای یک محدوده تعریف شده باشد، مثلاً 0 تا π، و نه فقط 0 تا 2π، می توان آن را در یک سری فقط در سینوس یا فقط در کسینوس گسترش داد. سری فوریه حاصل نامیده می شود در کنار فوریه در نیم فصل.

اگر می خواهید تجزیه شوید نیم چرخه فوریه در کسینوستابع f (x) در محدوده 0 تا π، پس لازم است یک تابع تناوبی زوج ایجاد شود. در شکل تابع f (x) = x در زیر نشان داده شده است که در بازه ای از x = 0 تا x = π ترسیم شده است. از آنجایی که تابع زوج نسبت به محور f (x) متقارن است، همانطور که در شکل نشان داده شده است، خط AB را رسم می کنیم. زیر اگر فرض کنیم که خارج از بازه در نظر گرفته شده، شکل مثلثی حاصل تناوبی با دوره 2π باشد، نمودار نهایی شکلی دارد که نشان می دهد. در شکل زیر از آنجایی که برای بدست آوردن انبساط فوریه در کسینوس ها لازم است، مانند قبل، ضرایب فوریه a o و a n را محاسبه می کنیم.

اگر می خواهید بدست آورید تجزیه فوریه نیم چرخه در سینوس هاتابع f (x) در محدوده 0 تا π، پس لازم است یک تابع دوره ای فرد بنویسیم. در شکل تابع f (x) = x در زیر نشان داده شده است که در بازه ای از x = 0 تا x = π ترسیم شده است. از آنجایی که تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است، همانطور که در شکل نشان داده شده است، خط CD را رسم می کنیم. اگر فرض کنیم که خارج از بازه در نظر گرفته شده، سیگنال دندان اره دریافتی تناوبی با دوره 2π باشد، نمودار نهایی شکل نشان داده شده در شکل را دارد. از آنجایی که برای به دست آوردن تجزیه فوریه در نیم دوره در سینوس ها لازم است، مانند قبل، ضریب فوریه را محاسبه می کنیم. ب

سری فوریه برای یک بازه دلخواه.

بسط یک تابع تناوبی با دوره L.

تابع تناوبی f (x) با افزایش x با L تکرار می شود، یعنی. f (x + L) = f (x). انتقال از توابع در نظر گرفته شده قبلی با دوره 2π به توابع با دوره L بسیار ساده است، زیرا با تغییر متغیر می توان آن را انجام داد.

برای یافتن سری فوریه تابع f (x) در محدوده -L / 2≤x≤L / 2، یک متغیر جدید u معرفی می کنیم تا تابع f (x) نسبت به u دارای دوره 2π باشد. اگر u = 2πx / L، آنگاه x = -L / 2 برای u = -π و x = L / 2 برای u = π. همچنین اجازه دهید f (x) = f (Lu / 2π) = F (u). سری فوریه F (u) دارای فرم است

(حدود ادغام را می توان به هر بازه ای به طول L تغییر داد، به عنوان مثال، از 0 تا L)

سری فوریه نیمه دوره ای برای توابع تعریف شده در بازه L ≠ 2π.

برای جایگزینی u = πх / L، فاصله از x = 0 تا x = L مربوط به فاصله زمانی از u = 0 تا u = π است. بنابراین، تابع را می توان در یک سری فقط در کسینوس یا فقط در سینوس، یعنی. v سری فوریه نیم چرخه.

انبساط در کسینوس در محدوده 0 تا L شکل دارد

وزارت آموزش و پرورش عمومی و حرفه ای

دانشگاه دولتی گردشگری سوچی

و کسب و کار توچال

موسسه آموزشی

دانشکده ریاضی

گروه ریاضی عمومی

پایان نامه

سری فوریه و کاربردهای آنها

در فیزیک ریاضی.

تکمیل شده توسط: دانشجوی سال پنجم

امضای تمام وقت

تخصص 010100

"ریاضیات"

کاسپروا N.S.

شماره کارت دانشجویی 95471

مشاور علمی: دانشیار، کاند.

امضای فنی علوم

پوزین P.A.

سوچی، 2000

1. مقدمه.

2. مفهوم سری فوریه.

2.1. تعیین ضرایب سری فوریه.

2.2. انتگرال توابع تناوبی

3. معیارهای همگرایی سری فوریه.

3.1. نمونه هایی از بسط توابع در سری فوریه.

4. نکته ای در مورد بسط یک تابع تناوبی در یک سری فوریه

5. سری فوریه برای توابع زوج و فرد.

6. سری فوریه برای توابع با دوره 2 ل .

7. بسط سری فوریه یک تابع غیر تناوبی.

معرفی.

ژان باپتیست ژوزف فوریه - ریاضیدان فرانسوی، عضو آکادمی علوم پاریس (1817).

اولین کارهای فوریه مربوط به جبر بود. قبلاً در سخنرانی‌های سال 1796 او قضیه‌ای را در مورد تعداد ریشه‌های واقعی یک معادله جبری که بین مرزهای داده شده قرار دارد (انتشار 1820)، به نام او مطرح کرد. یک راه حل کامل در مورد تعداد ریشه های واقعی یک معادله جبری در سال 1829 توسط Zh.Sh.F به دست آمد. توسط طوفان. در سال 1818، فوریه در مورد شرایط کاربرد روش حل عددی معادلات توسعه یافته توسط نیوتن، بدون اطلاع از نتایج مشابهی که در سال 1768 توسط ریاضیدان فرانسوی J.R. مورایلم. نتیجه کار فوریه در مورد روش های عددی برای حل معادلات "تحلیل معادلات معین" است که پس از مرگ در سال 1831 منتشر شد.

رشته اصلی تحصیلی فوریه فیزیک ریاضی بود. در سالهای 1807 و 1811 او اولین اکتشافات خود را در مورد نظریه انتشار گرما در جامدات به آکادمی علوم پاریس ارائه کرد و در سال 1822 اثر معروف خود را با عنوان «نظریه تحلیلی گرما» منتشر کرد که نقش مهمی در تاریخ بعدی ریاضیات داشت. این نظریه ریاضی هدایت گرما است. به دلیل عمومیت روش، این کتاب منبع تمام روش های مدرن فیزیک ریاضی شد. در این کار، فوریه معادله دیفرانسیل رسانش گرما را استخراج کرد و ایده هایی را که قبلاً توسط دی. برنولی بیان شده بود، توسعه داد، روشی برای جداسازی متغیرها (روش فوریه) برای حل معادله گرما در شرایط مرزی معین ایجاد کرد، که او آن را برای تعداد موارد خاص (مکعب، سیلندر، و غیره). این روش مبتنی بر نمایش توابع توسط سری فوریه مثلثاتی است.

سری های فوریه اکنون به ابزاری توسعه یافته در نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی برای حل مسائل ارزش مرزی تبدیل شده اند.

1. مفهوم سری فوریه.(ص 94، اووارنکوف)

سری های فوریه نقش مهمی در فیزیک ریاضی، نظریه کشش، مهندسی برق و به ویژه مورد خاص آنها - سری فوریه مثلثاتی دارند.

سری مثلثاتی یک سری از فرم است

یا به صورت نمادین:

(1)

که در آن ω, a 0, a 1,…, a n,…, b 0, b 1,…, b n,… اعداد ثابت هستند (ω> 0).

از نظر تاریخی، برخی از مشکلات در فیزیک منجر به مطالعه چنین سری هایی شده است، به عنوان مثال، مسئله ارتعاشات ریسمان (قرن 18)، مشکل نظم در پدیده های هدایت گرما و غیره. در کاربردها، توجه به سری های مثلثاتی. , اساساً با مسئله نمایش یک حرکت معین مرتبط است که با معادله y = ƒ (x)، در

شکل مجموع ساده ترین ارتعاشات هارمونیک، که اغلب به تعداد بی نهایت زیاد، یعنی به عنوان مجموع یک سری از شکل (1) گرفته می شود.

بنابراین، به مشکل زیر می رسیم: بفهمیم که آیا برای یک تابع معین ƒ (x) در یک بازه معین، یک سری (1) وجود دارد که در این بازه به یک تابع معین همگرا می شود. اگر این امکان پذیر باشد، گفته می شود که تابع ƒ (x) در یک سری مثلثاتی در این بازه بسط می یابد.

سری (1) به دلیل تناوب توابع در نقطه ای x 0 همگرا می شود

(n = 1،2، ..)، معلوم می شود که در تمام نقاط شکل همگرا است (m هر عدد صحیحی است)، و بنابراین مجموع S (x) آن خواهد بود (در ناحیه همگرایی سری) یک تابع تناوبی: اگر S n (x) nامین مجموع جزئی این سری باشد، آنگاه داریم

و بنابراین

، یعنی S (x 0 + T) = S (x 0). بنابراین، در مورد بسط تابع ƒ (x) در یک سری از شکل (1)، ما ƒ (x) را یک تابع تناوبی فرض می کنیم.

2. تعیین ضرایب سری با فرمول های فوریه.

بگذارید یک تابع تناوبی ƒ (x) با دوره 2π به گونه‌ای باشد که با یک سری مثلثاتی نشان داده شود که به یک تابع معین در بازه (-π, π) همگرا می‌شود، یعنی مجموع این سری است:

. (2)

فرض کنید انتگرال تابع سمت چپ این تساوی برابر با مجموع انتگرال های عبارت های این سری باشد. این کار در صورتی انجام می شود که فرض کنیم سری عددی متشکل از ضرایب سری مثلثاتی داده شده به طور مطلق همگرا شود، یعنی سری عددی مثبت همگرا شود.

(3)

سری (1) بزرگ است و می تواند ترم به ترم در بازه (-π, π) ادغام شود. اجازه دهید هر دو طرف برابری را ادغام کنیم (2):

.

هر انتگرال در سمت راست را جداگانه محاسبه می کنیم:

, , .

به این ترتیب،

، جایی که . (4)

برآورد ضرایب فوریه.(بوگروف)

قضیه 1. اجازه دهید تابع ƒ (x) دوره 2π دارای مشتق پیوسته ƒ ( ث) (x) از ترتیب s، ارضای نابرابری در کل محور واقعی:

│ ƒ (s) (x) │≤ M s; (5)

سپس ضرایب فوریه تابع ƒ ارضای نابرابری

(6)

اثبات یکپارچه سازی توسط قطعات و در نظر گرفتن آن

ƒ (-π) = ƒ (π)، داریم

ادغام سمت راست (7) به صورت متوالی، با در نظر گرفتن اینکه مشتقات ƒ ΄، ...، ƒ (s-1) پیوسته هستند و در نقاط t = -π و t = مقادیر یکسانی دارند. π و همچنین تخمین (5) اولین تخمین (6) را بدست می آوریم.

تخمین دوم (6) نیز به روشی مشابه به دست می آید.

قضیه 2. ضرایب فوریه ƒ (x) نابرابری را برآورده می کند

(8)

اثبات ما داریم

بسیاری از فرآیندهایی که در طبیعت و فناوری اتفاق می‌افتند این ویژگی را دارند که در فواصل زمانی منظم تکرار شوند. چنین فرآیندهایی دوره ای نامیده می شوند و از نظر ریاضی با توابع دوره ای توصیف می شوند. این ویژگی ها عبارتند از گناه(ایکس) , cos(ایکس) , گناه(wx), cos(wx) ... مجموع دو تابع تناوبی، به عنوان مثال، تابعی از فرم , به طور کلی، دیگر دوره ای نیست. اما می توان ثابت کرد که اگر رابطه w 1 / w 2 یک عدد گویا است، پس این مجموع یک تابع تناوبی است.

ساده ترین فرآیندهای تناوبی - نوسانات هارمونیک - با توابع تناوبی توصیف می شوند گناه(wx) و cos(wx). فرآیندهای تناوبی پیچیده‌تر توسط توابعی توصیف می‌شوند که از تعداد متناهی یا نامتناهی از عبارت‌های فرم تشکیل شده‌اند. گناه(wx) و cos(wx).

3.2. سری مثلثاتی. ضرایب فوریه

یک سری عملکردی از فرم را در نظر بگیرید:

این ردیف نامیده می شود مثلثاتی; تعداد آ 0 , ب 0 , آ 1 , ب 1 ،آ 2 , ب 2 …, آ n , ب n ,… نامیده می شوند ضرایبسری مثلثاتی ردیف (1) اغلب به صورت زیر نوشته می شود:

. (2)

از آنجایی که اصطلاحات سری مثلثاتی (2) دارای دوره مشترک هستند
، پس مجموع سری، اگر همگرا شود، یک تابع تناوبی با نقطه است
.

اجازه دهید فرض کنیم که تابع f(ایکس) مجموع این سری است:

. (3)

در این مورد می گویند که تابع f(ایکس) به سری های مثلثاتی گسترش می یابد. با فرض اینکه این سری به طور یکنواخت در بازه همگرا شود
، می توانید ضرایب آن را با فرمول تعیین کنید:

,
,
. (4)

ضرایب سری تعیین شده توسط این فرمول ها نامیده می شوند ضرایب فوریه

سری مثلثاتی (2) که ضرایب آن با فرمول فوریه (4) تعیین می شود، نامیده می شود. نزدیک فوریهمربوط به عملکرد f(ایکس).

بنابراین، اگر تابع تناوبی f(ایکس) مجموع یک سری مثلثاتی همگرا است، پس این سری سری فوریه آن است.

3.3. همگرایی سری فوریه

فرمول (4) نشان می دهد که ضرایب فوریه را می توان برای هر انتگرال پذیری در بازه محاسبه کرد.

- تابع تناوبی، یعنی برای چنین تابعی همیشه می توان یک سری فوریه نوشت. اما آیا این سری به تابع همگرا می شود؟ f(ایکس) و تحت چه شرایطی

به یاد بیاورید که تابع f(ایکس), بر روی بخش تعریف شده است [ آ; ب] اگر و مشتق آن حداکثر تعداد محدودی از نقاط ناپیوستگی نوع اول داشته باشند، به صورت تکه ای صاف نامیده می شود.

قضیه زیر شرایط کافی را برای بسط یک تابع در سری فوریه به دست می دهد.

قضیه دیریکله. اجازه دهید
- تابع تناوبی f(ایکس) به صورت تکه ای صاف است
... سپس سری فوریه آن به همگرا می شود f(ایکس) در هر یک از نقاط تداوم آن و به ارزش 0,5(f(ایکس+0)+ f(ایکس-0)) در نقطه شکست

مثال 1.

تابع فوریه را گسترش دهید f(ایکس)= ایکستنظیم بر روی فاصله
.

راه حل.این تابع شرایط دیریکله را برآورده می کند و بنابراین، می تواند در یک سری فوریه گسترش یابد. استفاده از فرمول (4) و روش یکپارچه سازی توسط قطعات
، ضرایب فوریه را پیدا می کنیم:

بنابراین، سری فوریه برای تابع f(ایکس) فرم را دارد.