معادله یک خط مستقیم را به صورت کلی رسم کنید. معادلات مختلف خط مستقیم

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

شما می توانید بی نهایت خطوط مستقیم را در هر نقطه بکشید.

یک خط مستقیم را می توان از میان هر دو نقطه غیرمتناسب ترسیم کرد.

دو خط مستقیم ناهماهنگ در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (از مورد قبلی پیروی می کند).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط مستقیم وجود دارد:

• خطوط مستقیم قطع می شوند.

• خطوط مستقیم موازی هستند.

• خطوط مستقیم قطع می شوند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: در دستگاه مختصات دکارتی، یک خط مستقیم

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی خط مستقیم.

تعریف... هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

تبر + وو + سی = 0،

با ثابت الف، ببه طور همزمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود مشترک

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0- خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم بسته به هر داده ای می تواند به اشکال مختلف ارائه شود

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف... در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)

عمود بر خط مستقیم داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را پیدا کنید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل... در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می سازیم: 3x - y + C = 0. برای پیدا کردن ضریب C

مختصات نقطه داده شده A را با عبارت بدست آمده جایگزین می کنیم.

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1، y 1، z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط مستقیم,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. بر

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.

مثال... معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.

راه حل... با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط مستقیم تبر + وو + سی = 0منجر به فرم:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید وظیفه را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم.

تعریف... هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aa 1 + Va 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال... معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل... معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل زیر جستجو می شود: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2ما گرفتیم C / A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0، با تقسیم بر -C، به دست می‌آید:

یا کجا

معنی هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور OU.

مثال... معادله کلی خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی خط.

علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال... یک معادله کلی از خط مستقیم داده شده است 12x - 5y - 65 = 0... برای نوشتن انواع مختلف معادلات لازم است

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط مستقیم:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما.

تعریف... اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس یک زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2... دو خط مستقیم عمود هستند،

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0زمانی که ضرایب متناسب باشند موازی هستند

А 1 = λА، В 1 = λВ... اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط مستقیم منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شوند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.

تعریف... خط از نقطه M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط.

قضیه... اگر امتیاز داده شود M (x 0، y 0)،فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:

اثبات... بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده عمود از نقطه افتاد مبرای یک معین

خط مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله خط مستقیمی است که از نقطه معینی M 0 عمود بر آن می گذرد.

یک خط مستقیم داده شده اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.

معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا، معادلاتی هستند که خط مستقیمی را که از یک نقطه معین می گذرد به صورت هم خط با بردار جهت تعریف می کنند.

بگذارید یک نقطه و یک بردار جهت داده شود. یک نقطه دلخواه روی یک خط مستقیم قرار دارد لفقط در صورتی که بردارها و خطی باشند، یعنی شرط را برآورده کنند:

.

معادلات فوق معادلات متعارف خط مستقیم هستند.

شماره متر , nو پپیش بینی های بردار جهت بر روی محورهای مختصات هستند. از آنجایی که بردار غیر صفر است، پس همه اعداد متر , nو پنمی تواند همزمان صفر باشد. اما ممکن است یکی دو تا از آنها صفر شود. به عنوان مثال، در هندسه تحلیلی، نماد زیر مجاز است:

,

به این معنی که طرح بردار بر روی محور اوهو اوزبرابر با صفر هستند. بنابراین، هم بردار و هم خط مستقیم که توسط معادلات متعارف به دست می‌آید بر محورها عمود هستند. اوهو اوز، یعنی هواپیما yOz .

مثال 1.معادلات یک خط مستقیم را در فضای عمود بر صفحه بنویسید و عبور از نقطه تلاقی این صفحه با محور اوز .

راه حل. نقطه تقاطع این صفحه با محور را پیدا کنید اوز... از آنجایی که هر نقطه روی محور قرار دارد اوز، دارای مختصاتی است، سپس، صفحه را در معادله داده شده تنظیم می کند x = y = 0، 4 می گیریم z- 8 = 0 یا z= 2. بنابراین نقطه تلاقی این صفحه با محور اوزدارای مختصات (0; 0; 2). از آنجایی که خط مورد نظر عمود بر صفحه است، با بردار عادی خود موازی است. بنابراین، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار عادی باشد یک هواپیمای مشخص

اکنون معادلات مورد نظر خط مستقیمی را که از نقطه عبور می کند یادداشت می کنیم آ= (0; 0; 2) در جهت بردار:

معادلات یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد

یک خط مستقیم را می توان با دو نقطه که روی آن قرار دارد مشخص کرد و در این حالت بردار جهت خط مستقیم می تواند بردار باشد. سپس معادلات متعارف خط مستقیم شکل می گیرند

.

معادلات بالا خط مستقیمی را که از دو نقطه داده شده عبور می کند تعیین می کند.

مثال 2.معادله یک خط مستقیم در فضایی که از نقاط و.

راه حل. اجازه دهید معادلات مورد نظر خط مستقیم را به شکلی که در بالا در یادداشت نظری ارائه شده است بنویسیم:

.

از آنجایی که خط مورد نظر عمود بر محور است اوه .

مستقیم به عنوان خط تقاطع هواپیماها

یک خط مستقیم در فضا را می توان به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی و به عنوان مجموعه ای از نقاط که سیستمی از دو معادله خطی را برآورده می کند تعریف کرد.

معادلات سیستم را معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا نیز می گویند.

مثال 3.معادلات متعارف یک خط مستقیم را در فضا بنویسید که با معادلات عمومی به دست آمده است

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف یک خط مستقیم یا معادلات یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید مختصات هر دو نقطه از خط مستقیم را پیدا کنید. برای مثال، آنها می توانند نقاط تلاقی یک خط مستقیم با هر دو صفحه مختصات باشند yOzو xOz .

نقطه تقاطع یک خط مستقیم با یک صفحه yOzآبسیسا دارد ایکس= 0. بنابراین، با فرض در سیستم معادلات داده شده ایکس= 0، سیستمی با دو متغیر دریافت می کنیم:

تصمیم او y = 2 , z= 6 همراه با ایکس= 0 یک نقطه را مشخص می کند آ(0؛ 2؛ 6) خط مستقیم مورد نیاز. سپس، تنظیم در سیستم داده شده از معادلات y= 0، سیستم را دریافت می کنیم

تصمیم او ایکس = -2 , z= 0 همراه با y= 0 یک نقطه را مشخص می کند ب(-2; 0; 0) تقاطع یک خط مستقیم با یک صفحه xOz .

اکنون معادلات خط مستقیمی که از نقاط می گذرد را یادداشت می کنیم آ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

یا پس از تقسیم مخرج بر -2:

,

این مقاله در ادامه مبحث معادله خط مستقیم در یک صفحه است: چنین شکلی از معادله را معادله کلی یک خط مستقیم در نظر بگیرید. اجازه دهید یک قضیه را تعریف کنیم و آن را اثبات کنیم. بیایید بفهمیم که یک معادله کلی ناقص یک خط مستقیم چیست و چگونه می توان از یک معادله کلی به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم انتقال داد. ما کل نظریه را با تصاویر و حل مسائل عملی تجمیع خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی O x y در صفحه داده شود.

قضیه 1

هر معادله درجه اول با شکل Ax + B y + C = 0، که در آن A، B، C برخی از اعداد واقعی هستند (A و B همزمان با صفر برابر نیستند) یک خط مستقیم را در یک تعریف می کند. سیستم مختصات مستطیلی در یک هواپیما به نوبه خود، هر خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه با معادله ای تعیین می شود که به شکل Ax + B y + C = 0 برای مجموعه خاصی از مقادیر A، B، C است.

اثبات

قضیه ذکر شده از دو نکته تشکیل شده است که هر کدام را ثابت می کنیم.

1. اجازه دهید ثابت کنیم که معادله A x + B y + C = 0 یک خط مستقیم را در صفحه تعریف می کند.

بگذارید نقطه ای М 0 (x 0، y 0) وجود داشته باشد که مختصات آن با معادله A x + B y + C = 0 مطابقت دارد. بنابراین: A x 0 + B y 0 + C = 0. از سمت چپ و راست معادلات A x + B y + C = 0 سمت چپ و راست معادله A x 0 + B y 0 + C = 0 را کم کنید، معادله جدیدی به شکل A (x) به دست می آوریم. - x 0) + B (y - y 0) = 0. معادل A x + B y + C = 0 است.

معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 شرط لازم و کافی برای بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y است. - y 0). بنابراین، مجموعه نقاط M (x, y) یک خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی عمود بر جهت بردار n → = (A, B) تعریف می کند. می توانیم فرض کنیم که اینطور نیست، اما پس از آن بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) عمود نخواهند بود و برابری A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 درست نیست.

بنابراین، معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 مقداری خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی در صفحه تعریف می کند، و از این رو معادله معادل A x + B y + C = 0 تعیین می کند. همان خط مستقیم به این ترتیب قسمت اول قضیه را ثابت کردیم.

1. اجازه دهید اثبات کنیم که هر خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی روی یک صفحه را می توان با معادله درجه اول Ax + B y + C = 0 تعریف کرد.

اجازه دهید خط مستقیم a را در یک سیستم مختصات مستطیلی روی صفحه قرار دهیم. نقطه M 0 (x 0, y 0) که این خط از آن عبور می کند و همچنین بردار عادی این خط n → = (A, B).

اجازه دهید یک نقطه M (x، y) نیز وجود داشته باشد - یک نقطه شناور از یک خط مستقیم. در این حالت بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) بر یکدیگر عمود هستند و حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است:

n →، M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

معادله A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 را بازنویسی کنید، C = - A x 0 - B y 0 را تعریف کنید و در نتیجه معادله A x + B y + C = 0 را بدست آوریم. .

بنابراین، ما جزء دوم قضیه را ثابت کرده ایم و کل قضیه را به عنوان یک کل ثابت کرده ایم.

تعریف 1

معادله فرم A x + B y + C = 0 - این هست معادله کلی خطدر یک هواپیما در یک سیستم مختصات مستطیلی شکلO x y.

بر اساس قضیه اثبات شده، می‌توان نتیجه گرفت که یک خط مستقیم و معادله کلی آن که بر روی صفحه‌ای در یک سیستم مختصات مستطیلی ثابت داده شده است، به طور جدایی ناپذیری به هم مرتبط هستند. به عبارت دیگر، خط مستقیم اولیه با معادله کلی آن مطابقت دارد. معادله کلی یک خط مستقیم با یک خط مستقیم مشخص مطابقت دارد.

همچنین از اثبات قضیه برمی‌آید که ضرایب A و B برای متغیرهای x و y مختصات بردار معمولی خط مستقیم هستند که با معادله کلی خط مستقیم Ax + B y + به دست می‌آید. C = 0.

یک مثال خاص از یک معادله کلی یک خط مستقیم را در نظر بگیرید.

اجازه دهید معادله 2 x + 3 y - 2 = 0 داده شود، که مربوط به یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی است. بردار معمولی این خط بردار است n → = (2، 3). یک خط مستقیم مشخص را در نقاشی بکشید.

همچنین می توان موارد زیر را ادعا کرد: خط مستقیمی که در نقاشی می بینیم با معادله کلی 2 x + 3 y - 2 = 0 تعیین می شود، زیرا مختصات تمام نقاط یک خط مستقیم داده شده با این معادله مطابقت دارد.

می‌توانیم معادله λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 را با ضرب دو طرف معادله عمومی خط در یک عدد غیر صفر λ بدست آوریم. معادله به دست آمده معادل معادله اصلی اصلی است، بنابراین، همان خط مستقیم را در صفحه توصیف می کند.

تعریف 2

معادله کلی خط را کامل کنید- چنین معادله کلی خط مستقیم A x + B y + C = 0، که در آن اعداد A، B، C غیر صفر هستند. در غیر این صورت معادله است ناقص.

اجازه دهید تمام تغییرات معادله کلی ناقص خط را بررسی کنیم.

1. وقتی A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0، معادله کلی B y + C = 0 می شود. چنین معادله کلی ناقصی در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y خط مستقیمی را که موازی با محور Ox است تعریف می کند، زیرا برای هر مقدار واقعی x، متغیر y مقدار را می گیرد. - C B. به عبارت دیگر، معادله کلی خط مستقیم A x + B y + C = 0، زمانی که A = 0، B ≠ 0، مکان نقاط (x، y) را مشخص می کند که مختصات آنها برابر است. عدد - C B.
2. اگر A = 0، B ≠ 0، C = 0، معادله کلی به شکل y = 0 است. این معادله ناقص محور آبسیسا Ox را تعریف می کند.
3. هنگامی که A ≠ 0، B = 0، C ≠ 0، یک معادله کلی ناقص A x + C = 0 به دست می آوریم، که یک خط مستقیم موازی با محور ارتین تعریف می کند.
4. فرض کنید A ≠ 0، B = 0، C = 0، سپس معادله کلی ناقص به شکل x = 0 خواهد بود و این معادله خط مختصات O y است.
5. در نهایت، برای A ≠ 0، B ≠ 0، C = 0، معادله کلی ناقص به شکل A x + B y = 0 است. و این معادله یک خط مستقیم را توصیف می کند که از مبدا می گذرد. در واقع، جفت اعداد (0، 0) با برابری A x + B y = 0 مطابقت دارد، زیرا A · 0 + B · 0 = 0.

اجازه دهید تمام انواع بالا از معادله کلی ناقص یک خط مستقیم را به صورت گرافیکی نشان دهیم.

مثال 1

مشخص است که یک خط مستقیم داده شده موازی با محور مختصات است و از نقطه 2 7، - 11 عبور می کند. نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

یک خط مستقیم موازی با محور ارتین با معادله ای به شکل A x + C = 0 به دست می آید که در آن A ≠ 0 است. همچنین شرط مختصات نقطه ای را که خط از آن می گذرد مشخص می کند و مختصات این نقطه با شرایط معادله کلی ناقص A x + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. برابری درست است:

A · 2 7 + C = 0

می توان C را با دادن مقداری غیر صفر به A، به عنوان مثال، A = 7، از آن تعیین کرد. در این حالت، ما به دست می آوریم: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. ما هر دو ضرایب A و C را می دانیم، آنها را با معادله A x + C = 0 جایگزین می کنیم و معادله مورد نیاز خط مستقیم را به دست می آوریم: 7 x - 2 = 0.

پاسخ: 7 x - 2 = 0

مثال 2

نقاشی یک خط مستقیم را نشان می دهد، لازم است معادله آن را یادداشت کنید.

راه حل

نقشه داده شده به ما اجازه می دهد تا به راحتی داده های اولیه را برای حل مسئله برداریم. در نقاشی می بینیم که خط داده شده موازی با محور Ox است و از نقطه (0، 3) می گذرد.

خط مستقیم که با چشم های آبسیسا موازی است، معادله کلی ناقص B y + C = 0 را تعیین می کند. بیایید مقادیر B و C را پیدا کنیم. مختصات نقطه (0، 3)، از آنجایی که یک خط مستقیم از آن عبور می کند، معادله خط مستقیم B y + C = 0 را برآورده می کند، پس تساوی درست است: B · 3 + C = 0. برای B مقداری غیر از صفر قرار می دهیم. فرض کنید B = 1، در این حالت از برابری B 3 + C = 0 می توانیم C: C = - 3 را پیدا کنیم. ما از مقادیر شناخته شده B و C استفاده می کنیم، معادله مورد نیاز خط مستقیم را بدست می آوریم: y - 3 = 0.

پاسخ: y - 3 = 0.

معادله کلی خط مستقیمی که از نقطه معینی از صفحه می گذرد

بگذارید خط داده شده از نقطه М 0 (x 0, y 0) عبور کند، سپس مختصات آن با معادله کلی خط مطابقت دارد، یعنی. برابری درست است: A x 0 + B y 0 + C = 0. سمت چپ و راست این معادله را از سمت چپ و راست معادله کامل کلی خط کم می کنیم. دریافت می کنیم: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0، این معادله معادل کلی اصلی است، از نقطه М 0 (x 0, y 0) می گذرد و یک بردار نرمال دارد. n → = (A, B).

نتیجه ای که به دست آوردیم این امکان را فراهم می کند که معادله کلی خط مستقیم را با مختصات شناخته شده بردار معمولی خط مستقیم و مختصات یک نقطه معین از این خط مستقیم بنویسیم.

مثال 3

با توجه به یک نقطه М 0 (- 3، 4)، که از آن یک خط مستقیم عبور می کند، و یک بردار عادی از این خط مستقیم n → = (1، - 2). باید معادله یک خط مستقیم را یادداشت کرد.

راه حل

شرایط اولیه به ما امکان می دهد داده های لازم را برای ترسیم معادله بدست آوریم: A = 1، B = - 2، x 0 = - 3، y 0 = 4. سپس:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

می شد مشکل را به شکل دیگری حل کرد. معادله کلی خط به شکل A x + B y + C = 0 است. یک بردار نرمال داده شده به شما امکان می دهد مقادیر ضرایب A و B را بدست آورید، سپس:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

اکنون مقدار C را با استفاده از نقطه M 0 (- 3, 4) مشخص شده توسط شرط مسئله که خط مستقیم از آن عبور می کند، پیدا می کنیم. مختصات این نقطه با معادله x - 2 y + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. - 3 - 2 4 + C = 0. بنابراین C = 11. معادله مورد نیاز خط مستقیم به صورت x - 2 y + 11 = 0 است.

پاسخ: x - 2 y + 11 = 0.

مثال 4

یک خط مستقیم 2 3 x - y - 1 2 = 0 و یک نقطه М 0 که روی این خط مستقیم قرار دارد داده شده است. فقط آبسیسا این نقطه مشخص است و برابر با - 3 است. تعیین ترتیب نقطه داده شده ضروری است.

راه حل

بیایید تعیین مختصات نقطه М 0 را x 0 و y 0 قرار دهیم. داده های اولیه نشان می دهد که x 0 = - 3. از آنجایی که یک نقطه متعلق به یک خط مستقیم معین است، پس مختصات آن با معادله کلی این خط مستقیم مطابقت دارد. سپس برابری صادق خواهد بود:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 را تعیین کنید: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

پاسخ: - 5 2

انتقال از معادله کلی یک خط مستقیم به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم و بالعکس

همانطور که می دانیم چندین نوع معادله برای یک خط مستقیم در هواپیما وجود دارد. انتخاب نوع معادله به شرایط مسئله بستگی دارد. می توان یکی را انتخاب کرد که برای حل آن راحت تر است. اینجاست که مهارت تبدیل یک معادله از یک نوع به یک معادله از نوع دیگر مفید است.

برای شروع، انتقال از معادله عمومی شکل A x + B y + C = 0 به معادله متعارف x - x 1 a x = y - y 1 a y را در نظر بگیرید.

اگر ≠ 0 باشد، عبارت B y را به سمت راست معادله عمومی منتقل می کنیم. در سمت چپ، A را خارج از پرانتز قرار دهید. در نتیجه به دست می آوریم: A x + C A = - B y.

این برابری را می توان به صورت یک نسبت نوشت: x + C A - B = y A.

اگر В ≠ 0، فقط عبارت A x را در سمت چپ معادله کلی بگذاریم، بقیه را به سمت راست منتقل کنیم، به دست می‌آید: A x = - B y - C. - B را خارج از پرانتز بیرون می آوریم، سپس: A x = - B y + C B.

بیایید تساوی را به صورت نسبت بازنویسی کنیم: x - B = y + C B A.

البته نیازی به حفظ فرمول های به دست آمده نیست. کافی است الگوریتم اقدامات در انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف را بدانید.

مثال 5

معادله کلی خط مستقیم داده شده است: 3 y - 4 = 0. تبدیل آن به یک معادله متعارف ضروری است.

راه حل

معادله اصلی را به صورت 3 y - 4 = 0 بازنویسی کنید. بعد، طبق الگوریتم عمل می کنیم: عبارت 0 x در سمت چپ باقی می ماند. و در سمت راست بیرون می آوریم - 3 در خارج از براکت ها؛ دریافت می کنیم: 0 x = - 3 y - 4 3.

بیایید تساوی حاصل را به صورت نسبت بنویسیم: x - 3 = y - 4 3 0. بنابراین، ما یک معادله از شکل متعارف به دست آوردیم.

پاسخ: x - 3 = y - 4 3 0.

برای تبدیل معادله کلی خط مستقیم به پارامتری، ابتدا به شکل متعارف و سپس از معادله متعارف خط مستقیم به معادلات پارامتری تبدیل می شود.

مثال 6

خط مستقیم با معادله 2 x - 5 y - 1 = 0 به دست می آید. معادلات پارامتری این خط مستقیم را بنویسید.

راه حل

بیایید انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف را انجام دهیم:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

اکنون هر دو طرف معادله متعارف حاصل را برابر λ می گیریم، سپس:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ، λ ∈ R

پاسخ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ، λ ∈ R

معادله کلی را می توان به معادله یک خط مستقیم با شیب y = k x + b تبدیل کرد، اما فقط اگر B ≠ 0 باشد. برای انتقال سمت چپ، عبارت B y را ترک می کنیم، بقیه به سمت راست منتقل می شوند. دریافت می کنیم: B y = - A x - C. دو طرف تساوی حاصل را بر B، متفاوت از صفر تقسیم کنید: y = - A B x - C B.

مثال 7

معادله کلی خط مستقیم داده شده است: 2 x + 7 y = 0. شما باید آن معادله را به یک معادله شیب تبدیل کنید.

راه حل

بیایید طبق الگوریتم اقدامات لازم را انجام دهیم:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

پاسخ: y = - 2 7 x.

از معادله کلی یک خط مستقیم، کافی است به سادگی یک معادله در قطعاتی به شکل x a + y b = 1 بدست آوریم. برای انجام چنین انتقالی، عدد C را به سمت راست تساوی منتقل می کنیم، دو طرف برابری حاصل را بر - С تقسیم می کنیم و در نهایت ضرایب متغیرهای x و y را به مخرج ها منتقل می کنیم:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

مثال 8

لازم است معادله کلی خط مستقیم x - 7 y + 1 2 = 0 را به معادله خط مستقیم در قطعات تبدیل کنیم.

راه حل

1 2 را به سمت راست حرکت دهید: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2.

دو طرف تساوی را بر 1/2- تقسیم کنید: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

پاسخ: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

به طور کلی، انتقال معکوس نیز آسان است: از انواع دیگر معادلات به معادلات عمومی.

معادله یک خط مستقیم در قطعات و یک معادله با ضریب شیب را می توان به سادگی با جمع آوری تمام عبارت های سمت چپ تساوی به یک ضریب کلی تبدیل کرد:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

معادله متعارف طبق طرح زیر به معادله عمومی تبدیل می شود:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

برای تغییر از پارامتری، ابتدا انتقال به متعارف و سپس به کلی انجام می شود:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

مثال 9

معادلات پارامتری خط مستقیم x = - 1 + 2 · λ y = 4 داده شده است. باید معادله کلی این خط مستقیم را یادداشت کرد.

راه حل

بیایید انتقال از معادلات پارامتری به استاندارد را انجام دهیم:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

بیایید از حالت متعارف به کلی حرکت کنیم:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

پاسخ: y - 4 = 0

مثال 10

معادله یک خط مستقیم در قطعات x 3 + y 1 2 = 1 داده شده است. لازم است انتقال به شکل کلی معادله انجام شود.

راه حل:

بیایید فقط معادله را به شکل مورد نیاز بازنویسی کنیم:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

پاسخ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

ترسیم معادله کلی یک خط مستقیم

در بالا گفتیم که معادله کلی را می توان با مختصات شناخته شده بردار نرمال و مختصات نقطه ای که خط مستقیم از آن عبور می کند، نوشت. چنین خط مستقیمی با معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 تعیین می شود. مثال مربوطه را نیز در آنجا تحلیل کردیم.

اکنون مثال های پیچیده تری را در نظر خواهیم گرفت که در آن ابتدا باید مختصات بردار نرمال را تعیین کرد.

مثال 11

یک خط مستقیم موازی با خط مستقیم 2 x - 3 y + 3 3 = 0 داده شده است. همچنین نقطه M 0 (4، 1) که خط داده شده از آن عبور می کند نیز شناخته شده است. باید معادله یک خط مستقیم را یادداشت کرد.

راه حل

شرایط اولیه به ما می گوید که خطوط مستقیم موازی هستند، سپس، به عنوان بردار معمولی خط مستقیم، که معادله آن نوشته می شود، بردار هدایت کننده خط مستقیم را n → = (2, - 3) می گیریم. : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. اکنون تمام داده های لازم برای ایجاد معادله کلی خط مستقیم را می دانیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

پاسخ: 2 x - 3 y - 5 = 0.

مثال 12

خط مشخص شده از مبدأ عمود بر خط x - 2 3 = y + 4 5 عبور می کند. لازم است برای یک خط مستقیم یک معادله کلی ترسیم شود.

راه حل

بردار معمولی خط داده شده، بردار جهت خط x - 2 3 = y + 4 5 خواهد بود.

سپس n → = (3، 5). خط مستقیم از مبدا می گذرد، یعنی. از نقطه O (0، 0). بیایید معادله کلی یک خط مستقیم داده شده را بسازیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

پاسخ: 3 x + 5 y = 0.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

بگذارید خط از نقاط M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2; y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y-y 1 = است ک (x - x 1)، (10.6)

جایی که ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 (x 2 y 2) می گذرد، مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 = ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزینی مقدار یافت شده را پیدا می کنیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 = x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1، y I) و M 2 (x 2، y 2) می گذرد با محور ارتین موازی است. معادله آن شکل دارد x = x 1 .

اگر y 2 = y I، معادله خط مستقیم را می توان به صورت y = y 1 نوشت، خط مستقیم M 1 M 2 موازی با محور آبسیسا است.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها

اجازه دهید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a؛ 0) و محور Oy را در نقطه M 2 (0؛ b) قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
... این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در قطعات، از آنجا که اعداد a و b نشان می دهد که کدام بخش ها با یک خط مستقیم بر روی محورهای مختصات قطع شده اند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

اجازه دهید معادله خط مستقیمی را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

یک نقطه دلخواه M (x; y) روی یک خط مستقیم بگیرید و بردار M 0 M (x - x 0؛ y - y o) را در نظر بگیرید (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است:

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

معادله (10.8) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n = (A؛ B)، عمود بر خط مستقیم، نرمال نامیده می شود بردار معمولی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد تبر + وو + سی = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار نرمال هستند، C = -Aх о - Ву о - جمله آزاد. معادله (10.9) معادله کلی خط مستقیم است(شکل 2 را ببینید).

شکل 1 شکل 2

معادلات متعارف خط مستقیم

,

جایی که
- مختصات نقطه ای که خط مستقیم از آن می گذرد و
بردار جهت است.

دایره منحنی مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه معین فاصله دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر متمرکز در نقطه
:

به طور خاص، اگر مرکز سهام با مبدا منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها به دو نقطه داده شده است. و ، که کانون نامیده می شوند، یک ثابت دارند
بیشتر از فاصله بین کانون ها
.

معادله متعارف یک بیضی که کانون های آن روی محور Ox قرار دارند و مبدأ مختصات در وسط بین کانون ها به شکل است.
جی deآ طول محور نیمه اصلی؛ب - طول محور نیمه فرعی (شکل 2).

معادله یک خط در یک هواپیما.

همانطور که می دانید، هر نقطه از یک هواپیما با دو مختصات در هر سیستم مختصاتی تعیین می شود. سیستم های مختصات بسته به انتخاب مبدأ و مبدا می توانند متفاوت باشند.

تعریف. خط معادلهنسبت y = f (x) بین مختصات نقاط تشکیل دهنده این خط نامیده می شود.

توجه داشته باشید که معادله خط را می توان به صورت پارامتری بیان کرد، یعنی هر مختصات هر نقطه بر حسب پارامتر مستقل بیان می شود. تی.

یک مثال معمولی، مسیر حرکت یک نقطه متحرک است. در این حالت زمان نقش یک پارامتر را ایفا می کند.

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد

تبر + وو + سی = 0،

علاوه بر این، ثابت های A، B در همان زمان برابر با صفر نیستند، یعنی. А 2 + В 2  0. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی خط مستقیم

بسته به مقادیر ثابت های A، B و C، موارد خاص زیر ممکن است:

C = 0، A  0، B  0 - خط از مبدأ عبور می کند

A = 0، B  0، C  0 (By + C = 0) - خط مستقیم با محور Ox موازی است.

B = 0، A  0، C  0 (Ax + C = 0) - خط مستقیم با محور Oy موازی است.

B = C = 0، A  0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است.

A = C = 0، B 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است.

معادله یک خط مستقیم بسته به شرایط اولیه می تواند به اشکال مختلف ارائه شود.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با مولفه های (A, B) عمود بر خط مستقیم داده شده با معادله Ax + Vy + C = 0 است.

مثال.معادله خط مستقیمی را که از نقطه A (1، 2) عمود بر بردار می گذرد بیابید. (3, -1).

در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می‌سازیم: 3x - y + C = 0. برای یافتن ضریب C، مختصات یک نقطه A را در عبارت حاصل جایگزین می‌کنیم.

دریافت می کنیم: 3 - 2 + C = 0، بنابراین C = -1.

مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) در فضا داده شود، سپس معادله خط مستقیمی که از این نقاط می گذرد:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد.

در صفحه، معادله خط مستقیم نوشته شده در بالا ساده شده است:

اگر x 1  x 2 و x = x 1، اگر x 1 = x 2.

کسر
= k نامیده می شود شیبسر راست.

مثال.معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.

با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به شکل کاهش یابد:

و تعیین کنید
، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود معادله یک خط مستقیم با شیبک.

معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید مشخصات یک خط مستقیم را از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم را وارد کنید.

تعریف. هر بردار غیر صفر ( 1,  2) که اجزای آن شرط A 1 + В 2 = 0 را برآورده می کند، بردار هدایت کننده خط نامیده می شود.

تبر + وو + سی = 0.

مثال.معادله یک خط مستقیم با بردار جهت را پیدا کنید (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2).

معادله خط مستقیم مورد نظر به این صورت جستجو می شود: Ax + By + C = 0. طبق تعریف، ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1A + (-1) B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط به این شکل است: Ax + Ay + C = 0 یا x + y + C / A = 0.

برای x = 1، y = 2، C / A = -3 را به دست می آوریم، یعنی. معادله مورد نیاز:

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C 0، با تقسیم بر –C، به دست می‌آید:
یا

، جایی که

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Ox است و ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.

مثال.معادله کلی خط راست x - y + 1 = 0 داده شده است معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره بیابید.

C = 1،
، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر دو طرف معادله Ax + Vy + C = 0 بر عدد تقسیم شود
که نامیده می شود عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcos + ysin - p = 0 -

معادله عادی یک خط مستقیم

علامت  عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که С< 0.

p طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم و  زاویه ای است که توسط این عمود با جهت مثبت محور Ox ایجاد می شود.

مثال.یک معادله کلی از خط مستقیم 12x - 5y - 65 = 0 داده شده است که نیاز به نوشتن انواع معادلات این خط مستقیم است.

معادله این خط مستقیم در قطعات:

معادله این خط مستقیم با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله معمولی خط:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم موازی با محورها یا عبور از مبدا.

مثال.خط مستقیم بخش های مثبت مساوی را در محورهای مختصات قطع می کند. اگر مساحت مثلث تشکیل شده توسط این قطعات 8 سانتی متر مربع باشد، یک معادله خط مستقیم ایجاد کنید.

معادله خط مستقیم به شکل زیر است:
, a = b = 1; ab / 2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 با بیان مسئله مطابقت ندارد.

جمع:
یا x + y - 4 = 0.

مثال.معادله خط مستقیمی که از نقطه A (2-، -3) و مبدا می گذرد را رسم کنید.

معادله خط مستقیم به شکل زیر است:
، که در آن x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما.

تعریف. اگر دو خط مستقیم y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شود، آنگاه زاویه تند بین این خطوط مستقیم به صورت تعریف می شود.

.

اگر k 1 = k 2 دو خط مستقیم موازی باشند.

اگر k 1 = -1 / k 2 باشد، دو خط مستقیم عمود هستند.

قضیه. خطوط مستقیم Ax + Vu + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 وقتی ضرایب A متناسب باشند 0 = موازی هستند 1 =  الف، ب 1 =  ب. اگر همچنین ج 1 =  C، سپس خطوط مستقیم منطبق می شوند.

مختصات نقطه تقاطع دو خط مستقیم به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شود.

معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین می گذرد

عمود بر این خط

تعریف. خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد و عمود بر خط مستقیم y = kx + b با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط.

قضیه. اگر نقطه M (x 0 ، در 0 ، سپس فاصله تا خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به صورت تعریف می شود

.

اثبات بگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M روی یک خط مستقیم داده شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از یک نقطه معین M 0 عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.

اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

.

قضیه ثابت می شود.

مثال.زاویه بین خطوط مستقیم را تعیین کنید: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  =  / 4.

مثال.نشان دهید که خطوط مستقیم 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عمود هستند.

ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 k 2 = -1، بنابراین، خطوط مستقیم عمود هستند.

مثال.رئوس مثلث A (0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1) داده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

معادله ضلع AB را پیدا می کنیم:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز عبارت است از: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b.

k = ... سپس y =
... زیرا ارتفاع از نقطه C عبور می کند، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند:
از آنجا b = 17. مجموع:
.

پاسخ: 3x + 2y - 34 = 0.

هندسه تحلیلی در فضا

معادله یک خط در فضا.

معادله یک خط مستقیم در فضا در امتداد یک نقطه و

بردار هدایت کننده

یک خط دلخواه و یک بردار بگیرید (m, n, p) موازی با خط داده شده. بردار تماس گرفت بردار جهتسر راست.

در خط مستقیم، دو نقطه دلخواه M 0 (x 0، y 0، z 0) و M (x، y، z) را در نظر بگیرید.

z

M 1

اجازه دهید بردار شعاع این نقاط را به صورت نشان دهیم و ، بدیهی است که - =
.

زیرا بردارها
و خطی، سپس رابطه
= t، جایی که t برخی از پارامترها است.

مجموع، می توانید بنویسید: = + تی

زیرا این معادله با مختصات هر نقطه از خط مستقیم ارضا می شود، سپس معادله حاصل - معادله پارامتریک خط مستقیم.

این معادله برداری را می توان به صورت مختصات نشان داد:

با تبدیل این سیستم و معادل سازی مقادیر پارامتر t، معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا را به دست می آوریم:

.

تعریف. کسینوس جهتخط مستقیم، کسینوس های جهت بردار هستند ، که با فرمول های زیر قابل محاسبه است:

;

.

از اینجا می گیریم: m: n: p = cos: cos: cos.

اعداد m، n، p نامیده می شوند دامنه هاسر راست. زیرا یک بردار غیر صفر است، پس m، n و p نمی توانند همزمان صفر باشند، اما یک یا دو عدد از این اعداد می توانند صفر باشند. در این حالت در معادله خط مستقیم باید اعداد مربوطه را برابر با صفر قرار داد.

معادله یک خط مستقیم در گذر از فضا

از طریق دو نقطه

اگر در یک خط مستقیم در فضا دو نقطه دلخواه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) را علامت گذاری کنیم، مختصات این نقاط باید معادله خط مستقیم را برآورده کند. به دست آمده در بالا:

.

علاوه بر این، برای نقطه M 1 می توانید بنویسید:

.

با حل این معادلات با هم به دست می آید:

.

این معادله یک خط مستقیم است که از دو نقطه در فضا می گذرد.

معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا.

معادله خط مستقیم را می توان معادله خط تقاطع دو صفحه در نظر گرفت.

همانطور که در بالا توضیح داده شد، یک صفحه به شکل برداری را می توان با معادله به دست آورد:

+ D = 0، جایی که

- هواپیما عادی؛ - بردار شعاع یک نقطه دلخواه از هواپیما.