تبدیل عبارات با استفاده از خواص لگاریتم ها، مثال ها، راه حل ها. تبدیل عبارات با استفاده از خواص لگاریتم: مثال ها، راه حل ها عبارات لگاریتمی نمونه هایی از راه حل ها

مسئله B7 عبارتی را به دست می دهد که باید ساده شود. نتیجه باید یک عدد منظم باشد که بتوان آن را در برگه پاسخنامه نوشت. تمام عبارات مشروط به سه نوع تقسیم می شوند:

لگاریتمی،
تظاهرات،
ترکیب شده.

عبارات نمایی و لگاریتمی در شکل خالص آنها تقریباً هرگز یافت نمی شوند. با این حال، دانستن نحوه محاسبه آنها ضروری است.

به طور کلی، مشکل B7 کاملاً ساده حل می شود و کاملاً در توان یک فارغ التحصیل متوسط است. عدم وجود الگوریتم های واضح با استاندارد و یکنواختی آن جبران می شود. شما می توانید به سادگی از طریق آموزش زیاد یاد بگیرید که چگونه چنین مشکلاتی را حل کنید.

عبارات لگاریتمی

اکثریت قریب به اتفاق مسائل B7 شامل لگاریتم در یک شکل یا شکل دیگر هستند. این موضوع به طور سنتی دشوار در نظر گرفته می شود، زیرا معمولا در کلاس یازدهم مطالعه می شود - عصر آمادگی انبوه برای امتحانات نهایی. در نتیجه، بسیاری از فارغ التحصیلان تصور بسیار مبهمی در مورد لگاریتم دارند.

اما در این کار، هیچ کس به دانش نظری عمیق نیاز ندارد. ما فقط ساده ترین عباراتی را خواهیم دید که نیاز به استدلال مستقیم دارند و ممکن است مستقلاً به آنها مسلط شوند. در زیر فرمول های اساسی وجود دارد که برای مقابله با لگاریتم ها باید بدانید:

علاوه بر این، باید بتوان ریشه ها و کسرها را با توانی با توان گویا جایگزین کرد، در غیر این صورت در برخی عبارات به سادگی چیزی برای بیرون آوردن از زیر علامت لگاریتم وجود نخواهد داشت. فرمول های جایگزین:

یک وظیفه. مقادیر عبارت را پیدا کنید:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

دو عبارت اول به عنوان تفاضل لگاریتم تبدیل می شوند:
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

برای محاسبه عبارت سوم، باید درجه ها را انتخاب کنید - هم در پایه و هم در آرگومان. ابتدا بیایید لگاریتم داخلی را پیدا کنیم:

سپس - خارجی:

ساختارهایی مانند log a log b x برای بسیاری پیچیده و اشتباه به نظر می رسد. در ضمن، این فقط لگاریتم لگاریتم است، یعنی. log a (log b x ). ابتدا لگاریتم داخلی محاسبه می شود (log b x = c ) و سپس لگاریتم بیرونی: log a c .

عبارات نمایی

ما یک عبارت نمایی را به هر ساختاری از شکل a k می‌گوییم، که در آن اعداد a و k ثابت دلخواه هستند و a > 0. روش‌های کار با چنین عباراتی بسیار ساده هستند و در درس‌های جبر کلاس هشتم در نظر گرفته می‌شوند.

در زیر فرمول های اساسی که باید بدانید آورده شده است. استفاده از این فرمول ها در عمل، به عنوان یک قاعده، مشکلی ایجاد نمی کند.

a n a m = a n + m ;
a n / a m = a n − m ;
(a n ) m = a n m ;
(a ب) n = a n b n ;
(a : b ) n = a n : b n .

اگر با یک عبارت پیچیده با قدرت مواجه شد و نحوه برخورد با آن مشخص نیست، از یک تکنیک جهانی استفاده می شود - تجزیه به عوامل اصلی. در نتیجه اعداد بزرگ در پایه درجه ها با عناصر ساده و قابل فهم جایگزین می شوند. سپس فقط اعمال فرمول های فوق باقی می ماند - و مشکل حل خواهد شد.

یک وظیفه. مقادیر عبارت را پیدا کنید: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

راه حل. ما همه پایه های قدرت ها را به عوامل اصلی تجزیه می کنیم:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

وظایف ترکیبی

اگر فرمول ها را بدانید، تمام عبارات نمایی و لگاریتمی به معنای واقعی کلمه در یک خط حل می شوند. با این حال، در مسئله B7، توان ها و لگاریتم ها را می توان با هم ترکیب کرد تا ترکیب های نسبتاً قوی ایجاد کند.

بخش ها: ریاضی

نوع درس:درس تعمیم و نظام مند سازی دانش

اهداف:

به روز رسانی دانش دانش آموزان از لگاریتم ها و ویژگی های آنها به عنوان بخشی از یک تکرار کلی و آماده سازی برای امتحان.
برای ترویج توسعه فعالیت ذهنی دانش آموزان، مهارت های استفاده از دانش نظری در هنگام انجام تمرینات؛
ارتقاء رشد ویژگی های شخصی دانش آموزان، مهارت های خودکنترلی و خود ارزیابی فعالیت های آنها. تلاش، صبر، استقامت، استقلال را پرورش دهید.

تجهیزات:کامپیوتر، پروژکتور، ارائه (پیوست 1، کارت هایی با تکالیف (می توانید یک فایل را با یک کار در یک دفتر خاطرات الکترونیکی پیوست کنید).

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی. سلام برای درس آماده شوید.

II. بحث در مورد تکالیف.

III. پیام در مورد موضوع و هدف درس. انگیزه(اسلاید 1) ارائه.

ما تکرار کلی درس ریاضی را در آمادگی برای امتحان ادامه می دهیم. و امروز در درس در مورد لگاریتم ها و خواص آنها صحبت خواهیم کرد.

وظایف محاسبه لگاریتم و تبدیل عبارات لگاریتمی لزوماً در مواد کنترلی و اندازه‌گیری در سطوح پایه و پروفیل وجود دارد. بنابراین، هدف از درس ما بازیابی ایده ها در مورد معنای مفهوم "لگاریتم" و به روز رسانی مهارت های تبدیل عبارات لگاریتمی است. موضوع درس را در دفترچه یادداشت کنید.

IV. به روز رسانی دانش.

1. /به صورت شفاهی/ابتدا بیایید آنچه لگاریتم نامیده می شود را به یاد بیاوریم. (اسلاید 2)

(لگاریتم یک عدد مثبت b به پایه a (که در آن a > 0، a؟ 1) توانی است که برای بدست آوردن عدد b باید عدد a را افزایش دهید)

Log a b = n<->a n \u003d b، (a> 0، a 1، b> 0)

بنابراین، "LOGARIFM" "EXPONENT" است!

(اسلاید 3) سپس a n = b را می توان به صورت بازنویسی کرد = b هویت لگاریتمی اصلی است.

اگر پایه a \u003d 10 باشد، لگاریتم اعشاری نامیده می شود و lgb نشان داده می شود.

اگر a \u003d e ، لگاریتم طبیعی نامیده می شود و با lnb نشان داده می شود.

2. /نوشته/ (اسلاید 4)برای به دست آوردن برابری های صحیح، شکاف ها را پر کنید:

ورود به سیستم؟ x + Log a ? = ثبت نام؟ (?y)

ورود به سیستم - ثبت نام؟ y = ثبت نام (ایکس/؟)

ورود x ? = pLog (؟)

معاینه:

یک یک a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

اینها ویژگی های لگاریتم هستند. و دسته ای دیگر از خواص: (اسلاید 5)

معاینه:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. کار شفاهی

(اسلاید 6) شماره 1. محاسبه:

آ ب پ ت) ؛ ه) .

پاسخ ها : الف) 4; ب) - 2؛ در 2؛ د) 7; ه) 27.

(اسلاید 7) شماره 2. X را پیدا کنید:

ولی) ؛ ب) (جواب: الف) 1/4; ب) 9).

شماره 3. آیا منطقی است که چنین لگاریتمی را در نظر بگیریم:

ولی) ؛ ب)؛ که در) ؟ (نه)

VI. کار مستقل در گروه، دانشجویان قوی - مشاور. (اسلاید 8)

شماره 1 محاسبه: .

شماره 2 ساده کردن:

شماره 3. مقدار عبارت if را بیابید

شماره 4 عبارت را ساده کنید:

شماره 5 محاسبه کنید:

شماره 6 محاسبه کنید:

شماره 7 محاسبه کنید:

#8 محاسبه کنید:

پس از تکمیل - تأیید و بحث در مورد راه حل آماده شده یا با کمک یک دوربین سند.

VII. حل یک کار با پیچیدگی افزایش یافته(یک دانش آموز قوی روی تخته است، بقیه در دفترچه ها هستند) (اسلاید 9)

مقدار عبارت را پیدا کنید:

هشتم. تکالیف (روی کارت) متمایز شده است.(اسلاید 10)

شماره 1. محاسبه:

شماره 2. مقدار عبارت را پیدا کنید:

F.F. Lysenko و دیگران. ریاضیات. آزمون های موضوعی پایه 10 تا 11. قسمت 1 / روستوف روی دان: "لژیون"، 2008

آموزش فشرده VV Kochagin. از ریاضیات استفاده کنید / م: "اکسمو"، 2008

منابع اینترنتی:

L.V. Artamonova، معلم ریاضیات، ارائه مدرسه Moskalensky "در سرزمین لگاریتم"
A.A. Kuksheva، MOU "دبیرستان Egorievskaya" ارائه "لگاریتم ها و ویژگی های آنها"

وظایفی که راه حل آن است تبدیل عبارات لگاریتمی، اغلب در امتحان یافت می شود.

برای کنار آمدن موفقیت آمیز با آنها با حداقل صرف زمان، علاوه بر هویت های لگاریتمی پایه، لازم است برخی از فرمول های بیشتری را بشناسیم و به درستی استفاده کنیم.

این عبارت است از: a log a b = b، که در آن a، b > 0، a ≠ 1 (مستقیماً از تعریف لگاریتم ناشی می شود).

log a b = log c b / log c a یا log a b = 1/log b a
که در آن a، b، c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |ب|
که در آن a، b > 0، a ≠ 1، m، n Є R، n ≠ 0.

a log c b = b log c a
که در آن a، b، c > 0 و a، b، c ≠ 1

برای نشان دادن اعتبار تساوی چهارم، لگاریتم ضلع چپ و راست را در مبنای a می گیریم. ما log a (a log c b) = log a (b log c a) یا log c b = log c a log a b را دریافت می کنیم. log c b = log c a (log c b / log c a); log با b = ورود با b.

تساوی لگاریتم ها را ثابت کردیم یعنی عبارات زیر لگاریتم ها هم مساوی هستند. فرمول 4 ثابت شده است.

مثال 1

81 log 27 5 log 5 4 را محاسبه کنید.

راه حل.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. بنابراین

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

سپس 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

می توانید کار زیر را خودتان انجام دهید.

محاسبه (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0.2 5.

به عنوان یک اشاره، 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0.2 5 = -1.

جواب: 5.

مثال 2

محاسبه (√11) ورود به سیستم √3 9 log 121 81 .

راه حل.

بیایید عبارات را جایگزین کنیم: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2، 81 = 3 4، log 121 81 = 2 log 11 3 (فرمول 3 استفاده شد).

سپس (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

مثال 3

محاسبه log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

راه حل.

لگاریتم های موجود در مثال را با لگاریتم های پایه 2 جایگزین می کنیم.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

سپس log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).

پس از باز کردن براکت ها و کاهش عبارت های مشابه، عدد 3 را به دست می آوریم. (هنگام ساده سازی عبارت، log 2 3 را می توان با n نشان داد و عبارت را ساده کرد.

(3 + n) (5 + n) - (6 + n) (2 + n)).

پاسخ: 3.

شما می توانید کارهای زیر را به تنهایی انجام دهید:

محاسبه (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

در اینجا لازم است که به لگاریتم در پایه 3 انتقال داده شود و به عوامل اول اعداد بزرگ تجزیه شود.

جواب: 1/2

مثال 4

سه عدد A \u003d 1 / (log 3 0.5)، B \u003d 1 / (log 0.5 3)، C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3. آنها را به ترتیب صعودی مرتب کنید.

راه حل.

بیایید اعداد A \u003d 1 / (log 3 0.5) \u003d log 0.5 3 را تبدیل کنیم. C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3 \u003d log 0.5 12/3 \u003d log 0.5 4 \u003d -2.

بیایید آنها را با هم مقایسه کنیم

log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 و log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

یا 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

پاسخ. بنابراین ترتیب قرارگیری اعداد: ج; ولی؛ که در.

مثال 5

چند عدد صحیح در بازه وجود دارد (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

راه حل.

بیایید تعیین کنیم که بین کدام قدرت های عدد 3 عدد 1/16 است. ما 1/27 می گیریم< 1 / 16 < 1 / 9 .

از آنجایی که تابع y \u003d log 3 x در حال افزایش است، پس log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). گزارش 6 (4/3) و 1/5 را با هم مقایسه کنید. و برای این ما اعداد 4 / 3 و 6 1/5 را با هم مقایسه می کنیم. هر دو عدد را به توان 5 برسانید. ما (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243 می گیریم< 6. Следовательно,

گزارش 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

بنابراین، بازه (log 3 1 / 16 ; log 6 48) شامل بازه [-2; 4] و اعداد صحیح -2 روی آن قرار می گیرند. -یک 0; یک 2 3; 4.

پاسخ: 7 عدد صحیح.

مثال 6

3 lglg 2 / lg 3 - lg20 را محاسبه کنید.

راه حل.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 log 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

سپس 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1.

پاسخ 1.

مثال 7

مشخص است که log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2) را پیدا کنید.

راه حل.

اعداد (√3 + 1) و (√3 - 1)؛ (√6 - 2) و (√6 + 2) مزدوج هستند.

اجازه دهید تبدیل عبارات زیر را انجام دهیم

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

سپس log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

جواب: 2 - الف.

مثال 8.

ساده کنید و مقدار تقریبی عبارت را پیدا کنید (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

راه حل.

همه لگاریتم ها را به یک پایه مشترک 10 کاهش می دهیم.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0.3010. (مقدار تقریبی lg 2 را می توان با استفاده از جدول، قانون اسلاید یا ماشین حساب پیدا کرد).

پاسخ: 0.3010.

مثال 9.

log a 2 b 3 √(a 11 b -3) را محاسبه کنید اگر log √ a b 3 = 1. (در این مثال، a 2 b 3 پایه لگاریتم است).

راه حل.

اگر log √ a b 3 = 1، سپس 3/(0.5 log a b = 1. و log a b = 1/6.

سپس log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log aa 11 + log ab -3) / (2(log aa 2 + log ab 3)) = (11 - 3log ab) / (2(2 + 3log ab)) که log و b = 1/6 دریافت می کنیم (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10.5/5 = 2.1.

پاسخ: 2.1.

شما می توانید کارهای زیر را به تنهایی انجام دهید:

محاسبه log √3 6 √2.1 اگر log 0.7 27 = a.

پاسخ: (3 + a) / (3a).

مثال 10

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125 را محاسبه کنید.

راه حل.

6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (فرمول 4))

ما 9 + 6 = 15 می گیریم.

جواب: 15.

آیا هیچ سوالی دارید؟ مطمئن نیستید که چگونه مقدار یک عبارت لگاریتمی را پیدا کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

حال از دیدگاه کلی به تبدیل عبارات حاوی لگاریتم می پردازیم. در اینجا ما نه تنها تبدیل عبارات را با استفاده از خواص لگاریتم تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، بلکه تبدیل عبارات را با لگاریتم های عمومی در نظر خواهیم گرفت که نه تنها شامل لگاریتم ها، بلکه توان ها، کسرها، ریشه ها و غیره هستند. طبق معمول، ما تمام مطالب را با مثال های مشخص با توضیحات دقیق راه حل ها ارائه خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

عبارات با لگاریتم و عبارات لگاریتمی

انجام اعمال با کسر

در پاراگراف قبلی، تبدیل‌های اصلی را که با کسرهای منفرد حاوی لگاریتم انجام می‌شوند، تحلیل کردیم. البته این تبدیل‌ها را می‌توان با هر کسر مجزا که بخشی از یک عبارت پیچیده‌تر است انجام داد، برای مثال، مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب کسرهای مشابه را نشان می‌دهد. اما علاوه بر کار با کسرهای منفرد، تبدیل عبارات از این نوع اغلب شامل انجام اقدامات مناسب با کسری است. در مرحله بعد، ما قوانینی را که توسط آنها این اقدامات انجام می شود در نظر خواهیم گرفت.

از کلاس های 5-6، ما قوانینی را می دانیم که بر اساس آن . در مقاله نمای کلی عملیات با کسریما این قوانین را از کسرهای معمولی به کسری‌هایی با شکل کلی A/B گسترش داده‌ایم، که در آن A و B برخی عددی، تحت اللفظی یا عبارت‌های دارای متغیر هستند و B به طور یکسان غیر صفر است. واضح است که کسرهای دارای لگاریتم موارد خاصی از کسرهای عمومی هستند. و در این راستا مشخص است که اعمال با کسری که دارای لگاریتم در رکوردهای آنها است، طبق همین قوانین انجام می شود. برای مثال:

برای جمع یا تفریق دو کسر با مخرج یکسان، اعداد را بر اساس آن جمع یا تفریق کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.
برای جمع یا تفریق دو کسر با مخرج های مختلف، باید آنها را به یک مخرج مشترک بیاورید و طبق قانون قبلی اعمال مناسب را انجام دهید.
برای ضرب دو کسر باید کسری بنویسید که صورت آن حاصل ضرب کسرهای اصلی و مخرج حاصل ضرب مخرج ها باشد.
برای تقسیم کسری بر کسری، باید کسری قابل تقسیم را در متقابل مقسوم علیه ضرب کرد، یعنی در کسری که صورت و مخرج آن مرتب شده است.

در اینجا چند مثال برای انجام عملیات با کسرهای حاوی لگاریتم آورده شده است.

مثال.

انجام اعمال با کسرهای حاوی لگاریتم: الف)، ب) ، که در) ، G) .

راه حل.

الف) مخرج کسرهای جمع شده آشکارا یکسان است. بنابراین طبق قانون جمع کسری با مخرج یکسان، اعداد را جمع می کنیم و مخرج را ثابت می گذاریم: .

ب) در اینجا مخرج ها متفاوت است. بنابراین، ابتدا شما نیاز دارید کسری را به مخرج یکسان بیاورید. در مورد ما، مخرج ها قبلاً به عنوان فرآورده ارائه شده اند و باقی مانده است که مخرج کسر اول را بگیریم و عوامل گمشده از مخرج کسر دوم را به آن اضافه کنیم. بنابراین ما یک مخرج مشترک از فرم به دست می آوریم . در این حالت، کسرهای تفریق شده به ترتیب با استفاده از عوامل اضافی در قالب لگاریتم و عبارت x 2 ·(x+1) به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند. پس از آن، کم کردن کسری با مخرج یکسان باقی می ماند که کار دشواری نیست.

پس راه حل این است:

ج) معلوم است که حاصل ضرب کسرها کسری است که صورت آن حاصلضرب اعراض و مخرج حاصلضرب مخرج است، بنابراین.

به راحتی می توان فهمید که امکان پذیر است کاهش کسریبا دو و با لگاریتم اعشاری، در نتیجه داریم .

د) از تقسیم کسرها به ضرب گذر می کنیم و کسر - مقسوم علیه آن را جایگزین می کنیم. بنابراین

شمارنده کسر حاصل را می توان به صورت نمایش داد ، که از آن ضریب مشترک صورت و مخرج به وضوح قابل مشاهده است - ضریب x، می توانید کسری را با آن کاهش دهید:

پاسخ:

الف) ب) ، که در) ، G) .

لازم به یادآوری است که اقدامات با کسری با در نظر گرفتن ترتیب انجام اعمال انجام می شود: ابتدا ضرب و تقسیم، سپس جمع و تفریق، و اگر براکت وجود داشته باشد، ابتدا اقدامات در پرانتز انجام می شود.

مثال.

اعمال را با کسر انجام دهید .

راه حل.

ابتدا کسری را در پرانتز جمع می کنیم و پس از آن ضرب را انجام می دهیم:

پاسخ:

در این مرحله، باید سه نکته نسبتاً واضح، اما در عین حال مهم را با صدای بلند بیان کنیم:

تبدیل عبارات با استفاده از خواص لگاریتم

اغلب، تبدیل عبارات با لگاریتم شامل استفاده از هویت هایی است که تعریف لگاریتم و . برای مثال، با اشاره به هویت لگاریتمی پایه a log ab =b , a>0 , a≠1 , b>0 , می توانیم عبارت x−5 log 5 7 را به صورت x−7 و فرمول انتقال به پایه جدید ورود به سیستم ، جایی که a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 امکان عبور از عبارت به تفاوت 1−lnx را فراهم می کند.

کاربرد خواص ریشه ها، توان ها، هویت های مثلثاتی و غیره.

عبارات با لگاریتم، علاوه بر خود لگاریتم، تقریباً همیشه دارای قدرت، ریشه، توابع مثلثاتی و غیره هستند. واضح است که برای تبدیل این گونه عبارات در کنار ویژگی های لگاریتم، ممکن است به خواص توان ها، ریشه ها و ... نیاز باشد. ما به طور جداگانه کاربرد هر بلوک از ویژگی ها را برای تبدیل عبارات تجزیه و تحلیل کردیم، پیوندهای مقالات مربوطه را می توان در بخش سایت www.site عبارت ها و تبدیل آنها یافت. در اینجا ما حل چند مثال را در مورد استفاده از خواص در ارتباط با لگاریتم نشان خواهیم داد.

مثال.

ساده سازی بیان .

راه حل.

ابتدا اجازه دهید عبارات را با ریشه تبدیل کنیم. در متغیر ODZ x برای عبارت اصلی (که در مورد ما مجموعه‌ای از اعداد حقیقی مثبت است)، می‌توانید از ریشه به توان‌هایی با توان‌های کسری بروید و سپس از خاصیت ضرب توان با پایه‌های مشابه استفاده کنید: . به این ترتیب،

حالا صورت حساب را به شکل نمایش می دهیم (که به ما اجازه می دهد تا خاصیت درجه را در یک درجه انجام دهیم، در صورت لزوم، تبدیل عبارات را با استفاده از ویژگی های درجه و همچنین نمایش یک عدد را مشاهده کنید، که به شما امکان می دهد مجموع مربع های سینوس و جایگزین کنید. کسینوس همان آرگومان با یک.پس واحد زیر علامت لگاریتم را بدست می آوریم.الف همانطور که می دانید لگاریتم وحدت برابر با صفر است.

بیایید تبدیل های انجام شده را بنویسیم:

صفر در مکعب صفر است، بنابراین به عبارت می رویم .

کسری که صورت آن صفر و مخرج آن غیر صفر است (در مورد ما این درست است، زیرا به راحتی می توان توجیه کرد که مقدار عبارت زیر علامت لگاریتم طبیعی با یک متفاوت است) برابر با صفر است. . به این ترتیب،

تبدیل های بعدی بر اساس تعیین ریشه یک درجه فرد از یک عدد منفی انجام می شود: .

از آنجایی که 2 15 یک عدد مثبت است، پس می‌توانیم خواص ریشه‌ها را اعمال کنیم که منجر به نتیجه نهایی می‌شود: .

پاسخ:

خواص اساسی.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

همین زمینه ها

log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته، اگر لگاریتم ODZ رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان 2.7 و دو برابر سال تولد لئو تولستوی است.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

مثال هایی برای لگاریتم ها

لگاریتم عبارات را بگیرید

مثال 1
ولی). x=10ac^2 (a>0، c>0).

با خواص 3،5 محاسبه می کنیم

مثال 2 اگر x را پیدا کنید

مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، قوانینی در اینجا وجود دارد که نامیده می شوند خواص اساسی.

این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: لوگوکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا این است - همین زمینه ها. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به محاسبه عبارت لگاریتمی کمک می‌کنند، حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شود (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

یک وظیفه. مقدار عبارت: log2 48 − log2 3 را بیابید.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی اوقات - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد به میزان قابل توجهی مقدار محاسبات را کاهش می دهد.

البته، اگر لگاریتم ODZ مشاهده شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با توجه به فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتم لگاریتم ها نمونه هایی از راه حل ها هستند.

آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه فرمول بندی می کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x قرار دهیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید یکی دو مورد از این موارد را در نظر بگیریم:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

یک وظیفه. مقدار عبارت: log9 100 lg 3 را بیابید.

مبنا و آرگومان لگاریتم اول توان های دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:

به راستی اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b در این درجه عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: این همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" هستند.

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان ها با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه ایالتی بود 🙂

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را خصوصیات نامید - بلکه اینها پیامدهایی از تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر است با یک.
لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم عدد b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن چنین توانی x () است که در آن برابری درست است

ویژگی های اصلی لگاریتم

ویژگی های فوق باید شناخته شوند، زیرا، بر اساس آنها، تقریباً تمام مسائل و مثال ها بر اساس لگاریتم حل می شوند. خواص عجیب و غریب باقی مانده را می توان با دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول های مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها مواجه می شوند. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج لگاریتم هایی هستند که در آنها پایه حتی ده است، نمایی یا دس.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم پایه ده نامیده می شود و به سادگی lg(x) نشان داده می شود.

از سوابق می توان دریافت که اصول اولیه در کارنامه نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که مبنای آن نما (با ln(x)) است.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان 2.7 و دو برابر سال تولد لئو تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم پایه دو مهم دیگر است

مشتق لگاریتم تابع برابر است با یک تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با وابستگی تعیین می شود

مطالب فوق برای شما کافی است تا کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. برای جذب مطالب، من فقط چند مثال رایج از برنامه درسی مدارس و دانشگاه ها را بیان می کنم.

مثال هایی برای لگاریتم ها

لگاریتم عبارات را بگیرید

مثال 1
ولی). x=10ac^2 (a>0، c>0).

با خواص 3،5 محاسبه می کنیم

2.
با ویژگی تفاوت لگاریتم ها، داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از یک سری قوانین به شکل ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتم

مثال 2 اگر x را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، خواص 5 و 13 را تا آخرین ترم اعمال می کنیم

جانشین در ثبت و عزاداری

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح اول.

بگذارید مقدار لگاریتم ها داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: لگاریتم متغیر را بگیرید تا لگاریتم را از مجموع عبارت ها بنویسید

این تازه شروع آشنایی با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانش کسب شده برای حل معادلات لگاریتمی نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را برای موضوع دیگر به همان اندازه مهم - نابرابری های لگاریتمی گسترش می دهیم ...

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: لوگوکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

یک وظیفه. مقدار عبارت: log2 48 − log2 3 را بیابید.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

حذف توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با توجه به فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

انتقال به یک پایه جدید

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه فرمول بندی می کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x قرار دهیم، به دست می آید:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

یک وظیفه. مقدار عبارت: log9 100 lg 3 را بیابید.

مبنا و آرگومان لگاریتم اول توان های دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه ایالتی بود 🙂

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر است با یک.
لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.