معادله خط مستقیمی که از نقاط عبور می کند را به صورت آنلاین پیدا کنید. معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه می گذرد، معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه می گذرد، زاویه بین دو خط مستقیم، شیب یک خط مستقیم

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد. مقاله" " من به شما قول دادم که روش دوم حل مسائل ارائه شده برای یافتن مشتق را برای یک نمودار مشخص از یک تابع و یک مماس بر این نمودار تجزیه و تحلیل کنید. در ادامه این روش را تحلیل خواهیم کرد ، از دست نده! چرادر بعدی؟

واقعیت این است که فرمول معادله یک خط مستقیم در آنجا استفاده خواهد شد. البته، شما فقط می توانید این فرمول را نشان دهید و به شما توصیه کنید که آن را یاد بگیرید. اما بهتر است توضیح دهیم - از کجا آمده است (چگونه مشتق شده است). لازم است! اگر آن را فراموش کردید، به سرعت آن را بازیابی کنیددشوار نخواهد بود. همه چیز در زیر به تفصیل آمده است. بنابراین، ما دو نقطه A در صفحه مختصات داریم(x 1; y 1) و B (x 2; y 2)، یک خط مستقیم از طریق نقاط نشان داده شده ترسیم می شود:

در اینجا فرمول خط مستقیم است:

* یعنی هنگام جایگزینی مختصات مشخص نقاط، معادله ای به شکل y = kx + b می گیریم.

** اگر این فرمول به سادگی "ناهموار" باشد، احتمال اشتباه گرفتن با شاخص های موجود وجود دارد. NS... علاوه بر این، شاخص ها را می توان به روش های مختلفی نشان داد، به عنوان مثال:

به همین دلیل است که درک معنی مهم است.

حالا نتیجه گیری از این فرمول. همه چیز خیلی ساده است!

مثلث های ABE و ACF از نظر زاویه تند مشابه هستند (نخستین نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه). از این نتیجه می شود که روابط عناصر مربوطه برابر است، یعنی:

اکنون به سادگی این بخش ها را بر حسب تفاوت مختصات نقاط بیان می کنیم:

البته اگر روابط عناصر را به ترتیب دیگری بنویسید اشتباهی وجود نخواهد داشت (نکته اصلی حفظ مکاتبات است):

نتیجه همان معادله خط مستقیم خواهد بود. این همه است!

یعنی مهم نیست که خود نقاط (و مختصات آنها) چگونه تعیین شده اند، با درک این فرمول همیشه معادله یک خط مستقیم را خواهید یافت.

فرمول را می توان با استفاده از خواص بردارها به دست آورد، اما اصل استنتاج یکسان خواهد بود، زیرا ما در مورد تناسب مختصات آنها صحبت خواهیم کرد. در این مورد، همان شباهت مثلث های قائم الزاویه کار می کند. به نظر من، خروجی توضیح داده شده در بالا واضح تر است)).

مشاهده خروجی از طریق مختصات برداری >>>

بگذارید یک خط مستقیم بر روی صفحه مختصات ایجاد شود که از دو نقطه داده شده A (x 1; y 1) و B (x 2; y 2) عبور می کند. بگذارید روی خط مستقیم یک نقطه دلخواه C را با مختصات ( ایکس; y). ما همچنین دو بردار را نشان می دهیم:

مشخص است که برای بردارهایی که روی خطوط موازی (یا روی یک خط مستقیم) قرار دارند، مختصات مربوطه آنها متناسب است، یعنی:

- برابری نسبت های مختصات مربوطه را می نویسیم:

بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات (2؛ 5) و (7: 3) می گذرد را بیابید.

شما حتی مجبور نیستید خود خط مستقیم را بسازید. ما فرمول را اعمال می کنیم:

مهم است که هنگام تنظیم نسبت، مکاتبات را بگیرید. اگر بنویسید نمی توانید اشتباه کنید:

پاسخ: y = -2 / 5x + 29/5 go y = -0.4x + 5.8

برای اینکه مطمئن شوید معادله به‌دست‌آمده به درستی پیدا شده است، حتما بررسی کنید - مختصات داده‌ها را در شرایط نقاط در آن جایگزین کنید. شما باید برابری های صحیح را بدست آورید.

همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، اسکندر.

P.S: اگر در شبکه های اجتماعی در مورد سایت به ما بگویید ممنون می شوم.

بگذارید خط از نقاط M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2; y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y-y 1 = است ک (x - x 1)، (10.6)

جایی که ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 (x 2 y 2) می گذرد، مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 = ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزینی مقدار یافت شده را پیدا می کنیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 = x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1، y I) و M 2 (x 2، y 2) می گذرد با محور ارتین موازی است. معادله آن شکل دارد x = x 1 .

اگر y 2 = y I، معادله خط مستقیم را می توان به صورت y = y 1 نوشت، خط مستقیم M 1 M 2 موازی با محور آبسیسا است.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها

اجازه دهید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a؛ 0) و محور Oy را در نقطه M 2 (0؛ b) قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
... این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در پاره ها، از آنجا که اعداد a و b نشان می دهد که کدام بخش ها با یک خط مستقیم بر روی محورهای مختصات قطع شده اند.

معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

اجازه دهید معادله خط مستقیمی را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

یک نقطه دلخواه M (x; y) روی یک خط مستقیم بگیرید و بردار M 0 M (x - x 0؛ y - y o) را در نظر بگیرید (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است:

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

معادله (10.8) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n = (A؛ B)، عمود بر خط مستقیم، نرمال نامیده می شود بردار معمولی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد تبر + وو + سی = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار نرمال هستند، C = -Aх о - Ву о - جمله آزاد. معادله (10.9) معادله کلی خط مستقیم است(شکل 2 را ببینید).

شکل 1 شکل 2

معادلات متعارف خط مستقیم

,

جایی که
- مختصات نقطه ای که خط مستقیم از آن می گذرد و
بردار جهت است.

دایره منحنی مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه معین فاصله دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر متمرکز در نقطه
:

به طور خاص، اگر مرکز سهام با مبدا منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها به دو نقطه داده شده است. و که کانون نامیده می شوند، مقدار ثابتی دارند
بیشتر از فاصله بین کانون ها
.

معادله متعارف یک بیضی که کانون های آن روی محور Ox قرار دارند و مبدأ مختصات در وسط بین کانون ها به شکل است.
جی deآ طول محور نیمه اصلی؛ب - طول محور نیمه فرعی (شکل 2).

درس از مجموعه "الگوریتم های هندسی"

سلام خواننده عزیز!

امروز قصد داریم به بررسی الگوریتم های مرتبط با هندسه بپردازیم. واقعیت این است که مسائل المپیاد زیادی در علوم کامپیوتر در ارتباط با هندسه محاسباتی وجود دارد و حل چنین مسائلی اغلب باعث ایجاد مشکل می شود.

در چند درس، تعدادی از مسائل فرعی ابتدایی را بررسی خواهیم کرد که حل اکثر مسائل هندسه محاسباتی بر اساس آنها است.

در این درس برنامه ای برای پیدا کردن معادله خط مستقیمعبور از داده شده دو نقطه... برای حل مسائل هندسی به دانش هندسه محاسباتی نیاز داریم. بخشی از درس را به آشنایی با آنها اختصاص خواهیم داد.

بینش هندسه محاسباتی

هندسه محاسباتی شاخه ای از علوم کامپیوتر است که به مطالعه الگوریتم هایی برای حل مسائل هندسی می پردازد.

داده های اولیه برای چنین وظایفی می تواند مجموعه ای از نقاط در یک صفحه، مجموعه ای از بخش ها، یک چند ضلعی (مشخص شده، به عنوان مثال، با لیستی از رئوس آن در جهت عقربه های ساعت) و غیره باشد.

نتیجه می تواند پاسخی به برخی از سؤالات باشد (مانند اینکه آیا یک نقطه به یک قطعه تعلق دارد، آیا دو بخش متقاطع می شوند یا نه)، یا یک شی هندسی (مثلاً کوچکترین چندضلعی محدب که نقاط داده شده را به هم متصل می کند، مساحت یک چند ضلعی و غیره) ...

ما مسائل هندسه محاسباتی را فقط در یک صفحه و فقط در یک سیستم مختصات دکارتی در نظر خواهیم گرفت.

بردارها و مختصات

برای اعمال روش های هندسه محاسباتی، باید تصاویر هندسی را به زبان اعداد ترجمه کرد. فرض می کنیم که یک سیستم مختصات دکارتی در صفحه مشخص شده است که جهت چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت نامیده می شود.

اجسام هندسی اکنون به صورت تحلیلی بیان می شوند. بنابراین، برای تعیین یک نقطه، کافی است مختصات آن را نشان دهیم: یک جفت اعداد (x; y). یک قطعه را می توان با تعیین مختصات انتهای آن مشخص کرد، یک خط مستقیم را می توان با تعیین مختصات یک جفت نقطه آن مشخص کرد.

اما ابزار اصلی برای حل مسائل بردارها خواهند بود. بنابراین، اجازه دهید اطلاعاتی در مورد آنها به شما یادآوری کنم.

بخش AB، در کدام نقطه آابتدا (نقطه کاربرد) و نقطه را در نظر گرفت V- انتهای آن بردار نامیده می شود ABو به عنوان مثال یک یا یک حرف کوچک پررنگ را نشان می دهد آ .

برای نشان دادن طول یک بردار (یعنی طول قطعه مربوطه) از نماد مدول (مثلاً) استفاده می کنیم.

یک بردار دلخواه دارای مختصاتی برابر با تفاوت بین مختصات متناظر انتهای و ابتدای آن خواهد بود:

,

اینجا نکات آو ب مختصات دارند به ترتیب.

برای محاسبات، از مفهوم استفاده خواهیم کرد زاویه جهت دار، یعنی زاویه ای که موقعیت نسبی بردارها را در نظر می گیرد.

زاویه جهت بین بردارها آ و ب مثبت اگر چرخش دور از بردار باشد آ به بردار ب در جهت مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) و در غیر این صورت منفی انجام می شود. به شکل 1a، Fig.1b مراجعه کنید. آنها همچنین می گویند که یک جفت بردار آ و ب جهت گیری مثبت (منفی).

بنابراین، مقدار زاویه جهت‌دار به ترتیبی که بردارها فهرست شده‌اند بستگی دارد و می‌تواند مقادیری را در محدوده بگیرد.

بسیاری از مسائل هندسه محاسباتی از مفهوم بردار (ارول یا شبه مقیاس) حاصل از بردارها استفاده می کنند.

حاصل ضرب برداری بردارهای a و b حاصل ضرب طول این بردارها با سینوس زاویه بین آنها است:

.

حاصل ضرب برداری بردارها در مختصات:

عبارت سمت راست یک تعیین کننده مرتبه دوم است:

بر خلاف تعریف ارائه شده در هندسه تحلیلی، این یک عدد اسکالر است.

علامت ضربدری موقعیت بردارها را نسبت به یکدیگر تعیین می کند:

آ و ب مثبت گرا

اگر یک مقدار، یک جفت بردار آ و ب جهت گیری منفی

حاصل ضرب برداری بردارهای غیر صفر برابر با صفر است اگر و فقط در صورتی که هم خط باشند ( ). این بدان معنی است که آنها روی یک خط مستقیم یا روی خطوط موازی قرار می گیرند.

بیایید چند مورد از ساده ترین کارها را در هنگام حل کارهای پیچیده تر در نظر بگیریم.

اجازه دهید معادله یک خط مستقیم را با مختصات دو نقطه تعریف کنیم.

معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه مختلف می گذرد که با مختصات آنها به دست می آید.

بگذارید دو نقطه غیرمتناسب روی یک خط مستقیم داده شود: با مختصات (x1; y1) و با مختصات (x2; y2). بر این اساس، بردار با شروع در یک نقطه و پایان در یک نقطه دارای مختصات (x2-x1، y2-y1) است. اگر P (x، y) یک نقطه دلخواه در خط ما باشد، آنگاه مختصات بردار (x-x1، y - y1) هستند.

با استفاده از حاصلضرب بردار، شرایط همخطی بردارها را می توان به صورت زیر نوشت:

آن ها (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) = 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

معادله آخر را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

تبر + توسط + c = 0، (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

بنابراین، یک خط مستقیم را می توان با معادله شکل (1) تنظیم کرد.

وظیفه 1. مختصات دو نقطه داده شده است. نمایش آن را به صورت ax + توسط + c = 0 بیابید.

در این درس با اطلاعاتی از هندسه محاسباتی آشنا شدیم. مشکل یافتن معادله یک خط را با مختصات دو نقطه حل کردیم.

در درس بعدی برنامه ای می سازیم تا نقطه تقاطع دو خط را که توسط معادلات ما داده شده است را پیدا کنیم.

این مقاله در ادامه مبحث معادله خط مستقیم در یک صفحه است: چنین شکلی از معادله را معادله کلی یک خط مستقیم در نظر بگیرید. اجازه دهید یک قضیه را تعریف کنیم و آن را اثبات کنیم. بیایید بفهمیم که یک معادله کلی ناقص یک خط مستقیم چیست و چگونه می توان از یک معادله کلی به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم انتقال داد. ما کل نظریه را با تصاویر و حل مسائل عملی تجمیع خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی O x y در صفحه داده شود.

قضیه 1

هر معادله درجه اول با شکل Ax + B y + C = 0، که در آن A، B، C برخی از اعداد واقعی هستند (A و B همزمان با صفر برابر نیستند) یک خط مستقیم را در یک تعریف می کند. سیستم مختصات مستطیلی در یک هواپیما به نوبه خود، هر خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه با معادله ای تعیین می شود که به شکل Ax + B y + C = 0 برای مجموعه خاصی از مقادیر A، B، C است.

اثبات

قضیه ذکر شده از دو نکته تشکیل شده است که هر کدام را ثابت می کنیم.

1. اجازه دهید ثابت کنیم که معادله A x + B y + C = 0 یک خط مستقیم را در صفحه تعریف می کند.

بگذارید نقطه ای М 0 (x 0، y 0) وجود داشته باشد که مختصات آن با معادله A x + B y + C = 0 مطابقت دارد. بنابراین: A x 0 + B y 0 + C = 0. از سمت چپ و راست معادلات A x + B y + C = 0 سمت چپ و راست معادله A x 0 + B y 0 + C = 0 را کم می کنیم، معادله جدیدی به دست می آید که به شکل A است ( x - x 0) + B (y - y 0) = 0. معادل A x + B y + C = 0 است.

معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 شرط لازم و کافی برای بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y است. - y 0). بنابراین، مجموعه نقاط M (x, y) یک خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی عمود بر جهت بردار n → = (A, B) تعریف می کند. می توانیم فرض کنیم که اینطور نیست، اما پس از آن بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) عمود نخواهند بود و برابری A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 درست نیست.

بنابراین، معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 مقداری خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی روی صفحه تعریف می کند، و بنابراین معادله معادل A x + B y + C = 0 تعیین می کند. همان خط مستقیم به این ترتیب قسمت اول قضیه را ثابت کردیم.

1. اجازه دهید اثبات کنیم که هر خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی روی یک صفحه را می توان با معادله درجه اول Ax + B y + C = 0 تعریف کرد.

اجازه دهید خط مستقیم a را در یک سیستم مختصات مستطیلی روی صفحه قرار دهیم. نقطه M 0 (x 0, y 0) که این خط از آن عبور می کند و همچنین بردار عادی این خط n → = (A, B).

اجازه دهید یک نقطه M (x، y) نیز وجود داشته باشد - یک نقطه شناور از یک خط مستقیم. در این حالت بردارهای n → = (A, B) و M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) بر یکدیگر عمود هستند و حاصل ضرب اسکالر آنها صفر است:

n →، M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

معادله A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 را بازنویسی کنید، C = - A x 0 - B y 0 را تعریف کنید و در نتیجه معادله A x + B y + C = 0 را بدست آوریم. .

بنابراین، ما جزء دوم قضیه را ثابت کرده ایم و کل قضیه را به عنوان یک کل ثابت کرده ایم.

تعریف 1

معادله فرم A x + B y + C = 0 - این هست معادله کلی خطدر یک صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی شکلO x y.

بر اساس قضیه اثبات شده، می‌توان نتیجه گرفت که یک خط مستقیم و معادله کلی آن که بر روی صفحه‌ای در یک سیستم مختصات مستطیلی ثابت داده شده است، به طور جدایی ناپذیری به هم مرتبط هستند. به عبارت دیگر، خط مستقیم اولیه با معادله کلی آن مطابقت دارد. معادله کلی یک خط مستقیم با یک خط مستقیم مشخص مطابقت دارد.

همچنین از اثبات قضیه برمی‌آید که ضرایب A و B برای متغیرهای x و y مختصات بردار معمولی خط مستقیم هستند که با معادله کلی خط مستقیم Ax + B y + به دست می‌آید. C = 0.

یک مثال خاص از یک معادله کلی یک خط مستقیم را در نظر بگیرید.

اجازه دهید معادله 2 x + 3 y - 2 = 0 داده شود، که مربوط به یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی است. بردار معمولی این خط بردار است n → = (2، 3). یک خط مستقیم مشخص را در نقاشی بکشید.

همچنین می توان موارد زیر را ادعا کرد: خط مستقیمی که در نقاشی می بینیم با معادله کلی 2 x + 3 y - 2 = 0 تعیین می شود، زیرا مختصات تمام نقاط یک خط مستقیم داده شده با این معادله مطابقت دارد.

ما می توانیم معادله λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 را با ضرب دو طرف معادله عمومی خط در عدد غیر صفر λ بدست آوریم. معادله به دست آمده معادل معادله اصلی اصلی است، بنابراین، همان خط مستقیم را در صفحه توصیف می کند.

تعریف 2

معادله کلی خط را کامل کنید- چنین معادله کلی خط مستقیم A x + B y + C = 0، که در آن اعداد A، B، C غیر صفر هستند. در غیر این صورت معادله است ناقص.

اجازه دهید تمام تغییرات معادله کلی ناقص خط را بررسی کنیم.

1. وقتی A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0، معادله کلی B y + C = 0 می شود. چنین معادله کلی ناقصی در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y خط مستقیمی را که موازی با محور Ox است تعریف می کند، زیرا برای هر مقدار واقعی x، متغیر y مقدار را می گیرد. - C B. به عبارت دیگر، معادله کلی خط مستقیم A x + B y + C = 0، زمانی که A = 0، B ≠ 0، مکان نقاط (x، y) را مشخص می کند که مختصات آنها برابر است. عدد - C B.
2. اگر A = 0، B ≠ 0، C = 0، معادله کلی به شکل y = 0 است. این معادله ناقص محور آبسیسا Ox را تعریف می کند.
3. هنگامی که A ≠ 0، B = 0، C ≠ 0، یک معادله کلی ناقص A x + C = 0 به دست می آوریم، که یک خط مستقیم موازی با محور ارتین تعریف می کند.
4. فرض کنید A ≠ 0، B = 0، C = 0، سپس معادله کلی ناقص به شکل x = 0 خواهد بود و این معادله خط مختصات O y است.
5. در نهایت، برای A ≠ 0، B ≠ 0، C = 0، معادله کلی ناقص به شکل A x + B y = 0 است. و این معادله یک خط مستقیم را توصیف می کند که از مبدا می گذرد. در واقع، جفت اعداد (0، 0) با برابری A x + B y = 0 مطابقت دارد، زیرا A · 0 + B · 0 = 0.

اجازه دهید تمام انواع بالا از معادله کلی ناقص یک خط مستقیم را به صورت گرافیکی نشان دهیم.

مثال 1

مشخص است که یک خط مستقیم داده شده موازی با محور مختصات است و از نقطه 2 7، - 11 عبور می کند. نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم ضروری است.

راه حل

یک خط مستقیم موازی با محور ارتین با معادله ای به شکل A x + C = 0 به دست می آید که در آن A ≠ 0 است. همچنین شرط مختصات نقطه ای را که خط از آن می گذرد مشخص می کند و مختصات این نقطه شرایط معادله کلی ناقص A x + C = 0 را دارد، یعنی. برابری درست است:

A · 2 7 + C = 0

می توان C را با دادن مقداری غیر صفر به A، به عنوان مثال، A = 7، از آن تعیین کرد. در این حالت، ما به دست می آوریم: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. ما هر دو ضرایب A و C را می دانیم، آنها را با معادله A x + C = 0 جایگزین می کنیم و معادله مورد نیاز خط مستقیم را به دست می آوریم: 7 x - 2 = 0.

پاسخ: 7 x - 2 = 0

مثال 2

نقاشی یک خط مستقیم را نشان می دهد، لازم است معادله آن را یادداشت کنید.

راه حل

نقشه داده شده به ما اجازه می دهد تا به راحتی داده های اولیه را برای حل مسئله برداریم. در نقاشی می بینیم که خط داده شده موازی با محور Ox است و از نقطه (0، 3) می گذرد.

خط مستقیم که با چشم های آبسیسا موازی است، معادله کلی ناقص B y + C = 0 را تعیین می کند. بیایید مقادیر B و C را پیدا کنیم. مختصات نقطه (0، 3)، از آنجایی که یک خط مستقیم از آن عبور می کند، معادله خط مستقیم B y + C = 0 را برآورده می کند، پس تساوی معتبر است: B · 3 + C = 0. برای B مقداری غیر از صفر قرار می دهیم. فرض کنید B = 1، در این حالت از برابری B 3 + C = 0 می توانیم C: C = - 3 را پیدا کنیم. ما از مقادیر شناخته شده B و C استفاده می کنیم، معادله مورد نیاز خط مستقیم را بدست می آوریم: y - 3 = 0.

پاسخ: y - 3 = 0.

معادله کلی خط مستقیمی که از نقطه معینی از صفحه می گذرد

بگذارید خط داده شده از نقطه М 0 (x 0, y 0) عبور کند، سپس مختصات آن با معادله کلی خط مطابقت دارد، یعنی. برابری درست است: A x 0 + B y 0 + C = 0. سمت چپ و راست این معادله را از سمت چپ و راست معادله کامل کلی خط کم می کنیم. دریافت می کنیم: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0، این معادله معادل کلی اصلی است، از نقطه М 0 (x 0, y 0) می گذرد و یک بردار نرمال دارد. n → = (A, B).

نتیجه ای که به دست آوردیم این امکان را فراهم می کند که معادله کلی خط مستقیم را با مختصات شناخته شده بردار معمولی خط مستقیم و مختصات یک نقطه معین از این خط مستقیم بنویسیم.

مثال 3

با توجه به یک نقطه М 0 (- 3، 4)، که از آن یک خط مستقیم عبور می کند، و یک بردار عادی از این خط مستقیم n → = (1، - 2). باید معادله یک خط مستقیم را یادداشت کرد.

راه حل

شرایط اولیه به ما امکان می دهد داده های لازم را برای ترسیم معادله بدست آوریم: A = 1، B = - 2، x 0 = - 3، y 0 = 4. سپس:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

می شد مشکل را به شکل دیگری حل کرد. معادله کلی خط به شکل A x + B y + C = 0 است. یک بردار نرمال داده شده به شما امکان می دهد مقادیر ضرایب A و B را بدست آورید، سپس:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

اکنون مقدار C را با استفاده از نقطه M 0 (- 3, 4) مشخص شده توسط شرط مسئله که خط مستقیم از آن عبور می کند، پیدا می کنیم. مختصات این نقطه با معادله x - 2 y + C = 0 مطابقت دارد، یعنی. - 3 - 2 4 + C = 0. بنابراین C = 11. معادله مورد نیاز خط مستقیم به صورت x - 2 y + 11 = 0 است.

پاسخ: x - 2 y + 11 = 0.

مثال 4

یک خط مستقیم 2 3 x - y - 1 2 = 0 و یک نقطه М 0 که روی این خط مستقیم قرار دارد داده شده است. فقط آبسیسا این نقطه مشخص است و برابر با - 3 است. تعیین ترتیب نقطه داده شده ضروری است.

راه حل

بیایید تعیین مختصات نقطه М 0 را x 0 و y 0 قرار دهیم. داده های اولیه نشان می دهد که x 0 = - 3. از آنجایی که یک نقطه متعلق به یک خط مستقیم معین است، پس مختصات آن با معادله کلی این خط مستقیم مطابقت دارد. سپس برابری صادق خواهد بود:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 را تعیین کنید: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

پاسخ: - 5 2

انتقال از معادله کلی یک خط مستقیم به انواع دیگر معادلات یک خط مستقیم و بالعکس

همانطور که می دانیم چندین نوع معادله برای یک خط مستقیم در هواپیما وجود دارد. انتخاب نوع معادله به شرایط مسئله بستگی دارد. می توان یکی را انتخاب کرد که برای حل آن راحت تر است. اینجاست که مهارت تبدیل یک معادله از یک نوع به یک معادله از نوع دیگر مفید است.

برای شروع، انتقال از معادله عمومی شکل A x + B y + C = 0 به معادله متعارف x - x 1 a x = y - y 1 a y را در نظر بگیرید.

اگر ≠ 0 باشد، عبارت B y را به سمت راست معادله عمومی منتقل می کنیم. در سمت چپ، A را خارج از پرانتز قرار دهید. در نتیجه به دست می آوریم: A x + C A = - B y.

این برابری را می توان به صورت یک نسبت نوشت: x + C A - B = y A.

اگر В ≠ 0، فقط عبارت A x را در سمت چپ معادله کلی بگذاریم، بقیه را به سمت راست منتقل کنیم، به دست می‌آید: A x = - B y - C. - B را خارج از پرانتز بیرون می آوریم، سپس: A x = - B y + C B.

بیایید تساوی را به صورت نسبت بازنویسی کنیم: x - B = y + C B A.

البته نیازی به حفظ فرمول های به دست آمده نیست. کافی است الگوریتم اقدامات در انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف را بدانید.

مثال 5

معادله کلی خط مستقیم داده شده است: 3 y - 4 = 0. تبدیل آن به یک معادله متعارف ضروری است.

راه حل

معادله اصلی را به صورت 3 y - 4 = 0 بازنویسی کنید. بعد، طبق الگوریتم عمل می کنیم: عبارت 0 x در سمت چپ باقی می ماند. و در سمت راست بیرون می آوریم - 3 در خارج از براکت ها؛ دریافت می کنیم: 0 x = - 3 y - 4 3.

بیایید تساوی حاصل را به صورت نسبت بنویسیم: x - 3 = y - 4 3 0. بنابراین، ما یک معادله از شکل متعارف به دست آوردیم.

پاسخ: x - 3 = y - 4 3 0.

برای تبدیل معادله کلی خط مستقیم به پارامتری، ابتدا به شکل متعارف و سپس از معادله متعارف خط مستقیم به معادلات پارامتری تبدیل می شود.

مثال 6

خط مستقیم با معادله 2 x - 5 y - 1 = 0 به دست می آید. معادلات پارامتری این خط مستقیم را بنویسید.

راه حل

بیایید انتقال از معادله عمومی به معادله متعارف را انجام دهیم:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

اکنون هر دو طرف معادله متعارف حاصل را برابر λ می گیریم، سپس:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ، λ ∈ R

پاسخ:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ، λ ∈ R

معادله کلی را می توان به معادله یک خط مستقیم با شیب y = k x + b تبدیل کرد، اما فقط اگر B ≠ 0 باشد. برای انتقال سمت چپ، عبارت B y را ترک می کنیم، بقیه به سمت راست منتقل می شوند. دریافت می کنیم: B y = - A x - C. دو طرف تساوی حاصل را بر B، متفاوت از صفر تقسیم کنید: y = - A B x - C B.

مثال 7

معادله کلی خط مستقیم داده شده است: 2 x + 7 y = 0. شما باید آن معادله را به یک معادله شیب تبدیل کنید.

راه حل

بیایید طبق الگوریتم اقدامات لازم را انجام دهیم:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

پاسخ: y = - 2 7 x.

از معادله کلی یک خط مستقیم، کافی است به سادگی یک معادله در قطعاتی به شکل x a + y b = 1 بدست آوریم. برای انجام چنین انتقالی، عدد C را به سمت راست تساوی منتقل می کنیم، دو طرف برابری حاصل را بر - С تقسیم می کنیم و در نهایت ضرایب متغیرهای x و y را به مخرج ها منتقل می کنیم:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

مثال 8

لازم است معادله کلی خط مستقیم x - 7 y + 1 2 = 0 را به معادله خط مستقیم در قطعات تبدیل کنیم.

راه حل

1 2 را به سمت راست حرکت دهید: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2.

دو طرف تساوی را بر 1/2- تقسیم کنید: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

پاسخ: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

به طور کلی، انتقال معکوس نیز آسان است: از انواع دیگر معادلات به معادلات عمومی.

معادله یک خط مستقیم در قطعات و یک معادله با ضریب شیب را می توان به سادگی با جمع آوری تمام عبارت های سمت چپ تساوی به یک ضریب کلی تبدیل کرد:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

معادله متعارف طبق طرح زیر به معادله عمومی تبدیل می شود:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ⇔ ⇔ ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

برای تغییر از پارامتری، ابتدا انتقال به متعارف و سپس به کلی انجام می شود:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

مثال 9

معادلات پارامتری خط مستقیم x = - 1 + 2 · λ y = 4 داده شده است. باید معادله کلی این خط مستقیم را یادداشت کرد.

راه حل

بیایید انتقال از معادلات پارامتری به معادلات متعارف را انجام دهیم:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

بیایید از حالت متعارف به کلی حرکت کنیم:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

پاسخ: y - 4 = 0

مثال 10

معادله یک خط مستقیم در قطعات x 3 + y 1 2 = 1 داده شده است. لازم است انتقال به شکل کلی معادله انجام شود.

راه حل:

بیایید فقط معادله را به شکل مورد نیاز بازنویسی کنیم:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

پاسخ: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

ترسیم معادله کلی یک خط مستقیم

در بالا گفتیم که معادله کلی را می توان با مختصات شناخته شده بردار نرمال و مختصات نقطه ای که خط مستقیم از آن عبور می کند، نوشت. چنین خط مستقیمی با معادله A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 تعیین می شود. مثال مربوطه را نیز در آنجا تحلیل کردیم.

اکنون مثال های پیچیده تری را در نظر خواهیم گرفت که در آن ابتدا باید مختصات بردار نرمال را تعیین کرد.

مثال 11

یک خط مستقیم موازی با خط مستقیم 2 x - 3 y + 3 3 = 0 داده شده است. همچنین نقطه M 0 (4، 1) که خط داده شده از آن عبور می کند نیز شناخته شده است. باید معادله یک خط مستقیم را یادداشت کرد.

راه حل

شرایط اولیه به ما می گوید که خطوط مستقیم موازی هستند، سپس، به عنوان بردار معمولی خط مستقیم، که معادله آن نوشته می شود، بردار هدایت کننده خط مستقیم را می گیریم n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. اکنون تمام داده های لازم برای ایجاد معادله کلی خط مستقیم را می دانیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

پاسخ: 2 x - 3 y - 5 = 0.

مثال 12

خط مشخص شده از مبدأ عمود بر خط x - 2 3 = y + 4 5 عبور می کند. لازم است برای یک خط مستقیم یک معادله کلی ترسیم شود.

راه حل

بردار معمولی خط داده شده، بردار جهت خط x - 2 3 = y + 4 5 خواهد بود.

سپس n → = (3، 5). خط مستقیم از مبدا می گذرد، یعنی. از نقطه O (0، 0). بیایید معادله کلی یک خط مستقیم داده شده را بسازیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

پاسخ: 3 x + 5 y = 0.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

معادله کلی خط مستقیم:

موارد خاص از معادله عمومی خط مستقیم:

چه می شود اگر سی= 0، معادله (2) شکل خواهد داشت

تبر + توسط = 0,

و خط مستقیم تعریف شده توسط این معادله از مبدا می گذرد، زیرا مختصات مبدا هستند ایکس = 0, y= 0 این معادله را برآورده می کند.

ب) اگر در معادله کلی خط مستقیم (2) ب= 0، سپس معادله شکل می گیرد

تبر + با= 0، یا.

معادله دارای متغیر نیست y، و خط مستقیم تعریف شده توسط این معادله موازی با محور است اوه.

ج) اگر در معادله کلی خط مستقیم (2) آ= 0، سپس این معادله شکل می گیرد

توسط + با= 0، یا

معادله دارای متغیر نیست ایکس، و خط مستقیمی که تعریف می کند موازی با محور است گاو نر.

باید به خاطر داشت: اگر یک خط مستقیم موازی با هر محور مختصاتی باشد، در معادله آن هیچ عبارتی حاوی مختصات همنام با این محور وجود ندارد.

د) چه زمانی سی= 0 و آ= 0، معادله (2) شکل می گیرد توسط= 0، یا y = 0.

این معادله محور است گاو نر.

ه) چه زمانی سی= 0 و ب= 0 معادله (2) را می توان به صورت نوشتاری نوشت تبر= 0 یا ایکس = 0.

این معادله محور است اوه.

ترتیب متقابل خطوط مستقیم در یک صفحه. زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما. شرط موازی بودن خطوط. شرط عمود برای خطوط مستقیم.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 بردارهای S 1 و S 2 برای خطوط خود راهنما نامیده می شوند.

زاویه بین خطوط مستقیم l 1 و l 2 با زاویه بین بردارهای جهت تعیین می شود.
قضیه 1:زاویه cos بین l 1 و l 2 = cos (l 1؛ l 2) =

قضیه 2:برای مساوی بودن 2 خط مستقیم لازم و کافی است:

قضیه 3:به طوری که 2 خط مستقیم عمود بر هم باشند لازم و کافی است:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

معادله کلی هواپیما و موارد خاص آن. معادله صفحه در قطعات.

معادله کلی هواپیما:

Ax + By + Cz + D = 0

موارد خاص:

1.D = 0 Ax + By + Cz = 0 - هواپیما از مبدأ عبور می کند

2.C = 0 Ax + By + D = 0 - صفحه || OZ

3. В = 0 Ax + Cz + d = 0 - صفحه || OY

4. A = 0 By + Cz + D = 0 - صفحه || گاو نر

5.A = 0 و D = 0 By + Cz = 0 - هواپیما از OX عبور می کند

6.B = 0 و D = 0 Ax + Cz = 0 - هواپیما از OY عبور می کند

7.C = 0 و D = 0 Ax + By = 0 - هواپیما از OZ عبور می کند

آرایش متقابل صفحات و خطوط مستقیم در فضا:

1. زاویه بین خطوط مستقیم در فضا، زاویه بین بردارهای جهت آنها است.

Cos (l 1؛ l 2) = cos (S 1؛ S 2) = =

2. زاویه بین صفحات از طریق زاویه بین بردارهای عادی آنها تعریف می شود.

Cos (l 1؛ l 2) = cos (N 1؛ N 2) = =

3. کسینوس زاویه بین خط و صفحه را می توان از طریق سینوسی زاویه بین بردار جهت خط و بردار عادی صفحه پیدا کرد.

4. 2 خط مستقیم || در فضا زمانی که || راهنمای بردار

5. 2 هواپیما || وقتی || بردارهای معمولی

6. مفاهيم عمود بر خطوط راست و صفحه نيز به همين صورت معرفي شده است.

سوال شماره 14

انواع معادله یک خط مستقیم در یک صفحه (معادله یک خط مستقیم در پاره ها، با شیب و غیره)

معادله یک خط مستقیم در پاره ها:
فرض کنید در معادله کلی خط مستقیم:

1.C = 0 Ax + Vy = 0 - خط مستقیم از مبدا می گذرد.

2.a = 0 Vy + C = 0 y =

3.b = 0 Ax + C = 0 x =

4.b = C = 0 Ax = 0 x = 0

5.a = C = 0 Vy = 0 y = 0

معادله یک خط مستقیم با شیب:

هر خط مستقیمی که با محور OU برابر نباشد (B not = 0) را می توان در خط بعدی نوشت. فرم:

k = tgα α زاویه بین یک خط مستقیم و یک خط مثبت OX است

ب - نقطه تلاقی خط مستقیم با محور OY

سند:

تبر + وو + سی = 0

Wu = -Ah-C |: B

معادله یک خط مستقیم در دو نقطه:

سوال شماره 16

حد متناهی تابع در نقطه و به صورت x → ∞

حد نهایی در نقطه x 0:

عدد A حد تابع y = f (x) به صورت x → x 0 نامیده می شود اگر برای هر E> 0 b> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای x ≠ x 0 نابرابری را ارضا کند | x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

حد نشان داده شده است: = A

حد نهایی در نقطه + ∞:

عدد A حد تابع y = f (x) در x نامیده می شود → + ∞ اگر برای هر E> 0 C> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای x> C نابرابری | f (x) - A |< Е

حد نشان داده شده است: = A

پایان محدودیت در -∞:

عدد A حد تابع y = f (x) نامیده می شود x → -∞،اگر برای هر E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е