تعیین زاویه مبهم زاویه مستقیم و باز شده

گوشه شکل هندسی اصلی است که در کل موضوع آن را تحلیل خواهیم کرد. تعاریف، روش های تخصیص، تعیین و اندازه گیری زاویه. بیایید به اصول انتخاب گوشه ها در نقاشی ها نگاه کنیم. کل تئوری مصور است و دارای تعداد زیادی نقاشی بصری است.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

تزریقیک شکل ساده و مهم در هندسه است. زاویه مستقیماً به تعریف پرتو بستگی دارد که به نوبه خود از مفاهیم اساسی نقطه، خط و صفحه تشکیل شده است. برای مطالعه کامل، باید در موضوعات عمیق بشوید خط مستقیم در هواپیما - اطلاعات لازمو هواپیما - اطلاعات لازم.

مفهوم زاویه با مفهوم نقطه، صفحه و خطی که بر روی آن صفحه کشیده شده است شروع می شود.

تعریف 2

در هواپیما یک خط مستقیم به شما داده می شود. نقطه ای O را روی آن نشان می دهیم. خط مستقیم توسط یک نقطه به دو قسمت تقسیم می شود که هر کدام یک نام دارند اشعهو نقطه O - شروع پرتو.

به عبارت دیگر یک پرتو یا نیمه مستقیم -این بخشی از یک خط مستقیم است که از نقاط یک خط مستقیم مشخص در همان سمت نسبت به نقطه شروع یعنی نقطه O تشکیل شده است.

تعیین پرتو در دو تغییر مجاز است: یک حروف کوچک یا دو حرف بزرگ الفبای لاتین. هنگامی که پرتو با دو حرف مشخص می شود، نامی دو حرفی دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به نقاشی بیندازیم.

بیایید به مفهوم تعیین زاویه برویم.

تعریف 3

تزریقشکلی است که در یک صفحه معین قرار دارد که توسط دو پرتو ناهمخوان با منشاء مشترک تشکیل شده است. سمت گوشهیک پرتو است راس- منشأ مشترک طرفین.

موردی وجود دارد که طرفین گوشه می توانند به عنوان یک خط مستقیم عمل کنند.

تعریف 4

هنگامی که هر دو طرف یک زاویه روی یک خط مستقیم قرار می گیرند یا اضلاع آن به عنوان نیم خط اضافی یک خط مستقیم عمل می کنند، چنین زاویه ای نامیده می شود. مستقر شده است.

شکل زیر یک گوشه صاف را نشان می دهد.

نقطه روی یک خط مستقیم راس زاویه است. بیشتر اوقات با نقطه O مشخص می شود.

یک زاویه در ریاضیات با علامت "∠" نشان داده می شود. هنگامی که اضلاع گوشه با لاتین کوچک مشخص می شود، برای تعیین صحیح زاویه، حروف متوالی مربوط به اضلاع نوشته می شود. اگر دو ضلع k و h تعیین شوند، آنگاه زاویه به صورت ∠ k h یا ∠ h k تعیین می شود.

هنگامی که علامت با حروف بزرگ باشد، اضلاع گوشه به ترتیب O A و O B نامیده می شوند. در این مورد، گوشه دارای نام سه حرف از الفبای لاتین است که در یک ردیف، در مرکز با راس - ∠ A O B و ∠ B O A نوشته شده است. زمانی که گوشه ها نام یا حروف ندارند، به شکل اعداد مشخص می شود. در زیر تصویری وجود دارد که زوایای آن به روش های مختلف نشان داده شده است.

زاویه هواپیما را به دو قسمت تقسیم می کند. اگر زاویه توسعه نیافته باشد، یک قسمت از هواپیما نام دارد گوشه داخلی، دیگری است ناحیه گوشه بیرونی... در زیر تصویری وجود دارد که توضیح می دهد کدام قسمت های هواپیما خارجی و کدام قسمت داخلی هستند.

هنگامی که توسط یک گوشه مسطح در یک صفحه تقسیم می شود، هر یک از قسمت های آن ناحیه داخلی گوشه صاف در نظر گرفته می شود.

ناحیه داخلی گوشه عنصری است که برای تعریف دوم از زاویه استفاده می شود.

تعریف 5

گوشهشکل هندسی متشکل از دو پرتو نامتناسب با منشاء مشترک و ناحیه داخلی مربوط به گوشه نامیده می شود.

این تعریف سختگیرانه تر از تعریف قبلی است، زیرا شرایط بیشتری دارد. توصیه نمی شود که هر دو تعریف را جداگانه در نظر بگیریم، زیرا یک زاویه یک شکل هندسی است که با استفاده از دو پرتو ساطع شده از یک نقطه تبدیل شده است. هنگامی که لازم است اعمال با زاویه انجام شود، تعریف به معنای وجود دو پرتو با منشاء مشترک و یک منطقه داخلی است.

تعریف 6

دو گوشه نامیده می شود مجاور، اگر یک ضلع مشترک وجود داشته باشد و دو نیم خط دیگر اضافی باشند یا یک زاویه توسعه یافته را تشکیل دهند.

شکل نشان می دهد که گوشه های مجاور یکدیگر را تکمیل می کنند، زیرا آنها ادامه یکدیگر هستند.

تعریف 7

دو گوشه نامیده می شود عمودیاگر اضلاع یکی مکمل نیم خط دیگری باشند یا امتداد اضلاع دیگری باشند. شکل زیر تصویری از گوشه های عمودی را نشان می دهد.

هنگامی که خطوط مستقیم قطع می شوند، 4 جفت زاویه مجاور و 2 جفت زاویه عمودی به دست می آید. زیر در شکل نشان داده شده است.

این مقاله تعاریف زوایای مساوی و نابرابر را نشان می دهد. اجازه دهید تجزیه و تحلیل کنیم که کدام زاویه بزرگ در نظر گرفته می شود، کدام کوچکتر و سایر ویژگی های زاویه. اگر دو شکل در هنگام همپوشانی کاملاً منطبق باشند برابر در نظر گرفته می شوند. همین ویژگی در مورد مقایسه زاویه ها نیز صدق می کند.

دو زاویه داده شده است. باید به این نتیجه رسید که آیا این زوایا مساوی هستند یا خیر.

مشخص است که رئوس دو گوشه و ضلع گوشه اول با هر ضلع دیگری از گوشه دوم همپوشانی دارند. یعنی در صورت تصادف کامل، زمانی که زوایا روی هم قرار می گیرند، اضلاع زوایای داده شده کاملاً با هم ترکیب می شوند، زوایا برابر.

ممکن است هنگام همپوشانی، کناره ها مطابقت نداشته باشند، سپس گوشه ها نابرابر، کمترکه از دیگری تشکیل شده است و بیشتریک زاویه کاملا متفاوت را در بر می گیرد. در زیر زوایای نابرابر نشان داده شده است که در هنگام روی هم قرار گرفتن، تراز نیستند.

زوایای مسطح برابر هستند.

اندازه‌گیری زاویه‌ها با اندازه‌گیری ضلع زاویه اندازه‌گیری‌شده و ناحیه داخلی آن شروع می‌شود که با زوایای واحد پر می‌شود، روی یکدیگر اعمال می‌شوند. لازم است تعداد گوشه های گذاشته شده را بشمارید و آنها اندازه گیری زاویه اندازه گیری شده را از قبل تعیین می کنند.

واحدهای زاویه را می توان به عنوان هر زاویه قابل اندازه گیری بیان کرد. واحدهای اندازه گیری پذیرفته شده ای وجود دارد که در علم و فناوری استفاده می شود. آنها در نام های دیگر تخصص دارند.

اغلب آنها از این مفهوم استفاده می کنند درجه.

تعریف 8

یک درجهبه زاویه ای می گویند که یکصد و هشتادم زاویه صاف دارد.

نماد استاندارد برای یک درجه "°" است، سپس یک درجه 1 درجه است. بنابراین، زاویه باز شده از 180 زاویه تشکیل شده است که از یک درجه تشکیل شده است. تمام گوشه های موجود به طور محکم روی هم چیده شده اند و اضلاع گوشه قبلی با گوشه بعدی تراز شده است.

مشخص است که تعداد درجه یک زاویه همان اندازه زاویه است. گوشه گسترش یافته دارای 180 گوشه انبار شده در ترکیب خود است. شکل زیر نمونه هایی را نشان می دهد که در آن زاویه 30 بار، یعنی یک ششم منبسط شده، و 90 برابر، یعنی نصف گذاشته شده است.

برای تعیین دقیق زاویه ها از دقیقه و ثانیه استفاده می شود. آنها زمانی استفاده می شوند که زاویه یک درجه صحیح نباشد. چنین قسمت هایی از یک درجه امکان محاسبات دقیق تری را فراهم می کند.

تعریف 9

یک دقیقهیک شصتم درجه را صدا کنید.

تعریف 10

در یک ثانیهیک شصت دقیقه تماس بگیرید

درجه شامل 3600 ثانیه است. دقیقه مخفف "" "و ثانیه برای" "".

1 درجه = 60 "= 3600" "، 1" = (1 60) درجه، 1 "= 60" "، 1" "= (1 60)" = (1 3600) درجه،

و تعیین زاویه 17 درجه 3 دقیقه و 59 ثانیه 17 درجه 3 "59" " است.

تعریف 11

در اینجا نمونه ای از تعیین درجه اندازه گیری زاویه برابر با 17 درجه 3 "59" " آورده شده است. رکورد شکل دیگری دارد 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.

برای اندازه گیری دقیق زوایا از یک دستگاه اندازه گیری مانند نقاله استفاده می شود. هنگام تعیین زاویه ∠ A O B و اندازه گیری درجه آن 110 درجه، از نماد راحت تری ∠ A O B = 110 درجه استفاده می شود که می گوید "زاویه A O B 110 درجه است".

در هندسه از یک اندازه زاویه از بازه (0، 180) استفاده می شود و در مثلثات اندازه گیری درجه دلخواه نامیده می شود. زوایای چرخشزاویه ها همیشه به صورت اعداد واقعی بیان می شوند. زاویه راستزاویه ای است که 90 درجه دارد. گوشه ی تیز- زاویه ای که کمتر از 90 درجه باشد و صریح- بیشتر.

یک زاویه حاد در فاصله (0، 90) و یک زاویه مبهم - (90، 180) اندازه گیری می شود. سه نوع زاویه به وضوح در زیر نشان داده شده است.

هر درجه ای از هر زاویه ای معنای مشابهی دارد. بر این اساس، یک زاویه بزرگتر نسبت به یک زاویه کوچکتر دارای درجه بزرگتری است. واحد درجه یک زاویه مجموع تمام درجات زاویه داخلی موجود است. شکل زیر زاویه AOB را نشان می دهد که از زوایای AOC، COD و DOB تشکیل شده است. در جزئیات به نظر می رسد این است: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 درجه.

بر این اساس می توان نتیجه گرفت که مجموعاز همه زوایای مجاور 180 درجه است،زیرا همه آنها گوشه باز شده را تشکیل می دهند.

از این رو نتیجه می شود که هر زوایای عمودی برابر است... اگر این را با یک مثال در نظر بگیریم، به این نتیجه می‌رسیم که زاویه A O B و C O D عمودی هستند (در نقاشی)، سپس جفت‌های A O B و B O C، C O D و B O C مجاور در نظر گرفته می‌شوند. در این حالت، تساوی ∠ A O B + ∠ B O C = 180 درجه همراه با ∠ C O D + ∠ B O C = 180 درجه به طور واضح درست در نظر گرفته می شوند. از این رو داریم که ∠ A O B = ∠ C O D. در زیر نمونه ای از تصویر و نماد گرفتن عمودی آورده شده است.

علاوه بر درجه، دقیقه و ثانیه از واحد اندازه گیری دیگری نیز استفاده می شود. نامیده می شود رادیان... بیشتر اوقات می توان آن را در مثلثات هنگام نشان دادن زوایای چندضلعی ها یافت. آنچه رادیان نامیده می شود.

تعریف 12

زاویه یک رادیانزاویه مرکزی نامیده می شود که طول شعاع دایره برابر با طول کمان است.

در شکل، رادیان به شکل یک دایره نشان داده شده است، جایی که یک مرکز با یک نقطه، با دو نقطه روی دایره، متصل شده و به شعاع OA و O B تبدیل شده است. طبق تعریف، این مثلث AOB متساوی الاضلاع است. یعنی طول قوس AB برابر با طول شعاعهای OB و حدود A است.

تعیین زاویه به عنوان "rad" در نظر گرفته می شود. یعنی ورودی 5 رادیان به اختصار 5 راد می شود. گاهی اوقات می توانید نامی به نام pi پیدا کنید. رادیان ها به طول دایره داده شده بستگی ندارند، زیرا شکل ها با کمک زاویه و قوس آن با مرکز واقع در راس زاویه داده شده، نوعی محدودیت دارند. مشابه در نظر گرفته می شوند.

رادیان ها همان معنای درجه هستند، فقط تفاوت در بزرگی آنهاست. برای تعیین این، لازم است که طول محاسبه شده قوس زاویه مرکزی را بر طول شعاع آن تقسیم کنیم.

در عمل، استفاده کنید تبدیل درجه به رادیان و رادیان به درجهبرای حل مشکل راحت تر مقاله مشخص شده دارای اطلاعاتی در مورد رابطه میزان درجه با رادیان است که می توانید ترجمه های درجه به رادیان و بالعکس را با جزئیات مطالعه کنید.

برای یک تصویر واضح و راحت از قوس ها، زوایا، نقشه ها استفاده می شود. همیشه نمی توان به درستی این یا آن زاویه، قوس یا نام را به تصویر کشید و علامت گذاری کرد. زوایای مساوی به شکل همان تعداد کمان و زوایای نابرابر به شکل قوس های مختلف تعیین می شوند. نقشه تعیین صحیح زوایای حاد، مساوی و نابرابر را نشان می دهد.

هنگامی که بیش از 3 گوشه باید علامت گذاری شود، از نمادهای قوس خاصی مانند موج دار یا ناهموار استفاده می شود. این خیلی مهم نیست. در زیر شکلی است که نام آنها را نشان می دهد.

علامت گذاری زاویه ها باید ساده باشد تا با مقادیر دیگر تداخل نداشته باشد. هنگام حل مشکل، توصیه می شود فقط گوشه های لازم برای راه حل را انتخاب کنید تا کل نقاشی را به هم نریزید. این در راه حل و اثبات تداخلی ایجاد نمی کند و همچنین ظاهر زیبایی به نقاشی می بخشد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

زاویه چیست؟

زاویه به شکلی گفته می شود که توسط دو پرتو ساطع شده از یک نقطه تشکیل شده است (شکل 160).
تشكیل پرتوها تزریق، اضلاع گوشه و به نقطه ای که از آن خارج می شوند راس گوشه می گویند.
در شکل 160 اضلاع زاویه پرتوهای OA و OB و راس آن نقطه O است. این زاویه به صورت AOB نشان داده شده است.

هنگام ضبط یک زاویه، یک حرف در وسط نوشته می شود که راس آن را نشان می دهد. یک زاویه را نیز می توان با یک حرف تعیین کرد - نام راس آن.

به عنوان مثال، به جای "زاویه AOB" کوتاهتر می نویسند: "زاویه O".

به جای کلمه "گوشه" یک علامت می نویسند.

به عنوان مثال، AOB، O.

در شکل 161، نقاط C و D در داخل زاویه AOB، نقاط X و Y خارج از این زاویه قرار دارند، و نکته ها M و H در طرفین گوشه قرار دارند.

مانند تمام اشکال هندسی، زوایا با استفاده از روکش مقایسه می شوند.

اگر بتوان یک گوشه را روی گوشه دیگر قرار داد تا بر هم منطبق شوند، آنگاه این زوایا مساوی هستند.

به عنوان مثال، در شکل 162 ABC = MNK.

از راس زاویه ROC (شکل 163)، یک تیر OP کشیده شد. گوشه SOK را به دو گوشه تقسیم می کند - COP و ROCK. هر یک از این زاویه ها کمتر از زاویه ROC است.

بنویسید: COP< COK и POK < COK.

زاویه مستقیم و باز شده

دو مکمل یکدیگر اشعهیک زاویه مستقر را تشکیل می دهد. دو طرف این گوشه با هم یک خط مستقیم را تشکیل می دهند که بالای گوشه باز شده روی آن قرار دارد (شکل 164).

عقربه های ساعت و دقیقه ساعت یک زاویه کشیده در ساعت 6 تشکیل می دهند (شکل 165).

یک ورق کاغذ را دو بار از وسط خم کنید و سپس آن را باز کنید (شکل 166).

خطوط چین 4 زاویه مساوی را تشکیل می دهند. هر یک از این زوایا برابر با نیمی از زاویه مسطح است. این زوایا را زوایای مستقیم می نامند.

زاویه قائمه را نیمی از زاویه مسطح می گویند.

رسم مثلث

برای ایجاد یک زاویه مناسب، از نقاشی استفاده کنید مثلث(شکل 167). برای ایجاد یک زاویه قائمه که یکی از اضلاع آن پرتو OL است، شما نیاز دارید:

الف) مثلث ترسیم را طوری ترتیب دهید که راس زاویه قائم آن با نقطه O منطبق باشد و یکی از اضلاع در امتداد پرتو OA قرار گیرد.

ب) یک پرتو OB در امتداد ضلع دوم مثلث بکشید.

در نتیجه، زاویه مناسب AOB را بدست می آوریم.

سوالات مربوط به موضوع

1-زاویه چیست؟
2. به چه زاویه ای باز شده می گویند؟
3. به چه زوایایی مساوی می گویند؟
4. زاویه راست چیست؟
5. چگونه می توان با استفاده از یک مثلث رسم یک زاویه قائمه ایجاد کرد؟

قبلاً می دانیم که هر زاویه ای یک صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. اما اگر در یک زاویه هر دو طرف آن روی یک خط مستقیم قرار گیرند، چنین زاویه‌ای را بازشده می‌گویند. یعنی در گوشه باز شده، یک طرف آن ادامه گوشه دیگر آن است.

حالا بیایید به شکل نگاه کنیم که فقط زاویه منبسط شده O را نشان می دهد.

اگر از بالای زاویه باز شده یک پرتو بگیریم و رسم کنیم، این زاویه باز شده را به دو زاویه دیگر تقسیم می کند که یک ضلع آنها مشترک است و دو زاویه دیگر یک خط مستقیم تشکیل می دهند. یعنی از یک گوشه باز شده، دو گوشه مجاور به دست آوردیم.

اگر یک زاویه باز شده بگیریم و نیمساز رسم کنیم، این نیمساز، زاویه باز شده را به دو زاویه قائمه تقسیم می کند.

و در صورتی که یک پرتو دلخواه از بالای زاویه باز شده ترسیم کنیم که نیمساز نیست، چنین پرتوی زاویه تا شده را به دو زاویه تقسیم می کند که یکی تیز و دیگری منفرد است.

ویژگی های گوشه صاف

یک گوشه باز شده دارای ویژگی های زیر است:

اول، اضلاع زاویه گسترش یافته ضد موازی هستند و یک خط مستقیم را تشکیل می دهند.
در مرحله دوم، زاویه منبسط شده 180 درجه است.
ثالثا، دو گوشه مجاور یک زاویه مستقر را تشکیل می دهند.
چهارم، زاویه باز شده نیمی از زاویه کامل است.
پنجم، مجموع زاویه برابر با مجموع دو زاویه باز شده خواهد بود.
ششم، نیمی از زاویه باز شده یک زاویه راست است.

اندازه گیری زاویه

برای اندازه گیری هر زاویه ای، اغلب برای این منظور از نقاله استفاده می شود که در آن واحد اندازه گیری یک درجه است. هنگام اندازه گیری زوایا باید به خاطر داشت که هر زاویه ای دارای درجه مشخصی است و طبیعتاً این اندازه بزرگتر از صفر است. و زاویه باز شده، همانطور که قبلاً می دانیم، 180 درجه است.

یعنی اگر هر صفحه ای از یک دایره را بگیریم و آن را بر شعاع به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم، 1/360 این دایره یک درجه زاویه ای خواهد بود. همانطور که قبلاً می دانید، یک درجه با یک علامت مشخص نشان داده می شود که به نظر می رسد: "°".

اکنون همچنین می دانیم که یک درجه 1 درجه = 1/360 دایره. اگر زاویه برابر با صفحه دایره و 360 درجه باشد، این زاویه کامل است.

و اکنون صفحه دایره را می گیریم و با کمک دو شعاع که روی یک خط مستقیم قرار دارند به دو قسمت مساوی تقسیم می کنیم. سپس در این حالت، صفحه نیم دایره نیمی از زاویه کامل خواهد بود، یعنی 360: 2 = 180 درجه. من و شما زاویه ای به دست آوردیم که برابر با نیم صفحه دایره است و 180 درجه دارد. این گوشه باز شده است.

کار عملی

1613. زوایای نشان داده شده در شکل 168 را نام ببرید. نامگذاری آنها را بنویسید.

1614. چهار پرتو بکش: OA، OB، OC و OD. نام شش زاویه ای را که اضلاع آنها این پرتوها هستند بنویسید. این پرتوها به چند قسمت تقسیم می شوند سطح?

1615. مشخص کنید کدام نقاط در شکل 169 در داخل زاویه KOM قرار دارند، چه نقاطی خارج از این زاویه قرار دارند؟ کدام نقاط در سمت OK، و کدام در سمت OM هستند؟

1616. یک MOD گوشه ای بکشید و یک تیر OT داخل آن بکشید. زوایایی را که این پرتو زاویه MOD را بر اساس آنها تقسیم می کند نام ببرید و علامت بزنید.

1617. عقربه دقیقه در 10 دقیقه به زاویه AOB، در 10 دقیقه بعد - به زاویه BOS و در 15 دقیقه دیگر - به زاویه COD تبدیل شد. زوایای AOB و BOC، BOC و COD، AOC و AOB، AOC و COD را با هم مقایسه کنید (شکل 170).

1618. به کمک مثلث رسم 4 زاویه قائمه در موقعیت های مختلف بکشید.

1619. با استفاده از مثلث رسم، زوایای قائمه را در شکل 171 بیابید. نام آنها را بنویسید.

1620. زوایای قائمه در کلاس را نشان دهید.

الف) 0.09 200; ب) 208 0.4; ج) 130 0.1 + 80 0.1.

1629. چند درصد از 400 عدد 200 است; یکصد؛ 4 40; 80; 400; 600؟

1630. عدد گم شده را پیدا کنید:

الف) 2 5 3 ب) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. مربعی رسم کنید که ضلع آن برابر است با طول 10 خانه دفتر. اجازه دهید این مربع نشان دهنده میدان باشد. چاودار 12 درصد، جو 8 درصد، گندم 64 درصد و بقیه مزرعه گندم سیاه است. قسمتی از مزرعه را که هر محصول اشغال کرده است در تصویر نشان دهید. چند درصد مزرعه گندم سیاه است؟

1632. پتیا در طول سال تحصیلی 40 درصد از دفترهای خریداری شده در آغاز سال را مصرف کرد و 30 دفترچه برای او باقی مانده است. در آغاز سال تحصیلی چند دفترچه برای پتیا خریداری شد؟

1633. برنز آلیاژی از قلع و مس است. چند درصد از آلیاژ مس در یک قطعه برنز متشکل از 6 کیلوگرم قلع و 34 کیلوگرم مس است؟

1634. فانوس دریایی اسکندریه ساخته شده در دوران باستان که یکی از عجایب هفتگانه جهان نامیده می شد، 1.7 برابر بلندتر از برج های کرملین مسکو است، اما 119 متر پایین تر از ساختمان دانشگاه مسکو است. ارتفاع هر کدام را بیابید. از این سازه ها اگر برج های کرملین مسکو 49 متر پایین تر از فانوس اسکندریه باشد.

1635. با کمک ریزماشین حساب:

الف) 4.5٪ از 168; ج) 28.3% از 569.8;
ب) 147.6% از 2500; د) 0.09٪ از 456 800.

1636. مسئله را حل کنید:

1) مساحت باغ 6.4 a. در روز اول 30 درصد باغ و در روز دوم 35 درصد باغ را حفر کردند. چند آره برای کندن باقی مانده است؟

2) سرژا 4.8 ساعت وقت آزاد داشت. او 35 درصد از این زمان را صرف خواندن کتاب و 40 درصد را به تماشای برنامه های تلویزیونی می گذراند. چقدر زمان برای او باقی مانده است؟

1637. به شرح زیر عمل کنید:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638. گوشه BAC را بکشید و یک نقطه را در داخل گوشه، خارج از گوشه و در طرفین گوشه علامت بزنید.

1639. کدام یک از نقاط مشخص شده در تصویر 172 در داخل زاویه AMK قرار دارد.کدام نقطه در داخل زاویه AMB> اما خارج از زاویه AMK قرار دارد.چه نقاطی در اضلاع زاویه AMK قرار دارند؟

1640. با کمک مثلث رسم زوایای قائمه در شکل 173 را بیابید.

1641. مربعی با ضلع 43 میلی متر بسازید. محیط و مساحت آن را محاسبه کنید.

1642. مقدار عبارت را بیابید:

الف) 14.791: a + 160.961: b اگر a = 100، b = 10;
ب) 361.62s + 1848: d اگر c = 100، d = 100.

1643. یک کارگر باید 450 قطعه بسازد. روز اول 60 درصد قطعات را ساخت و بقیه را در روز دوم. چند قسمت ساختی کارگردر روز دوم؟

1644. 8000 کتاب در کتابخانه وجود داشت. یک سال بعد تعداد آنها 2000 جلد افزایش یافت. تعداد کتاب های موجود در کتابخانه چند درصد افزایش یافته است؟

1645. در روز اول، کامیون ها 24٪ از مسیر برنامه ریزی شده، در روز دوم - 46٪ از مسیر، و در روز سوم - 450 کیلومتر باقی مانده را پوشش دادند. این کامیون ها چند کیلومتر را طی کرده اند؟

1646. تعداد آنها را بیابید:

الف) 1٪ از یک تن؛ ج) 5% از 7 تن;
ب) 1% لیتر؛ د) 6% از 80 کیلومتر.

1647. جرم بچه والروس 9 برابر کمتر از والروس بالغ است. اگر وزن والوس بالغ همراه با گوساله 0.9 تن باشد، جرم آن چقدر است؟

1648. در طول مانور، فرمانده 0.3 از تمام سربازان خود را برای محافظت از گذرگاه رها کرد و بقیه را برای دفاع از دو ارتفاع به 2 دسته تقسیم کرد. دسته اول 6 برابر بیشتر از دومی سرباز داشت. اگر در مجموع 200 سرباز بود، در یگان اول چند سرباز بود؟

N. Ya. VILENKIN، V. I. ZHOKHOV، A. S. CHESNOKOV، S. I. SHVARTSBURD، ریاضیات کلاس پنجم، کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی

"پسر کوچک نزد پدرش آمد و از کوچک کوچک پرسید: "چه زوایایی وجود دارد؟" اما پدر، جواب را فراموش کردم. این خیلی بد است!".

در مقاله ما، ما پیشنهاد می کنیم درس های ریاضیات را به یاد بیاوریم و پاسخ سوالات کرامز را پیدا کنیم.

زاویه چیست

البته نشان دادن آن آسانتر از توضیح این است که زاویه چیست. از دوران دبستان می دانیم که زاویه صاف:

1. این یک شکل هندسی است.
2. این توسط دو طرف تشکیل شده است - اشعه.
3. پرتوها از یک راس - یک نقطه خارج می شوند.
4. بر حسب درجه اندازه گیری می شود.

یعنی اگر نقطه ای را روی هر صفحه ای قرار دهید و سپس دو پرتو از این نقطه استخراج کنید (پرتو یک خط مستقیم است که ابتدا دارد اما پایان ندارد) یک زاویه به دست می آوریم و نه یک، بلکه دو. دلیلش این است که پرتوها هواپیما را به دو قسمت تقسیم کرده اند. ما دو گوشه - داخلی و خارجی - تشکیل داده ایم.

تعیین زاویه

زاویه در ریاضیات با این نماد - "˪" و حروف یونانی نشان داده می شود: β، δ، φ. همچنین می توانید گوشه ها را با حروف لاتین کوچک یا بزرگ مشخص کنید. حروف کوچک (d، c، b) نشان دهنده پرتوهایی است که یک زاویه را تشکیل می دهند، بنابراین، نام شامل دو حرف و یک نماد - ˪ab است. حروف لاتین بزرگ نشان دهنده سه نقطه گوشه است: دو در طرفین و یک راس (˪ DEF). علاوه بر این، حرف راس همیشه در وسط نام خواهد بود، اما نحوه خواندن DEF یا FED فرقی نمی کند.

انواع زاویه

بسته به درجه (مقدار اندازه گیری شده)، زاویه ها به موارد زیر تقسیم می شوند:

• شارپ (بیش از 90 درجه)؛
• خطوط مستقیم (دقیقا 90)؛
• بلانت (180);
• گسترش یافته (برابر با 180)؛
• غیر محدب (بیش از 180، اما کمتر از 360)؛
• کامل (360);

تمام زوایایی که مستقیم یا باز نشده باشند را مایل می گویند.

همچنین زوایای آن چیست؟

• مجاور - آنها یک طرف مشترک دارند، در حالی که بقیه در همان صفحه دروغ می گویند، نه تصادفی. مجموع این زوایا همیشه 180 خواهد بود.
• عمودی - زوایایی که توسط دو خط مستقیم متقاطع تشکیل شده و دارای اضلاع مشترک نیستند، اما پرتوهای آنها از یک نقطه خارج می شود. یعنی ضلع یک گوشه ادامه گوشه دیگر است. این زوایا مساوی هستند.
• مرکز گوشه ای است که راس آن مرکز دایره است.
• گوشه کتیبه ای. بالای آن روی یک دایره است و پرتوهای تشکیل دهنده آن این دایره را قطع می کنند.

اکنون می دانید که کدام زاویه راست است و همچنین می توانید تشخیص دهید که کدام زاویه تند است. به خاطر سپردن این موضوع دشوار نیست و انواع دیگر گوشه ها نیز نام های مشخصی دارند.

در این مقاله، ما به طور جامع یکی از اشکال هندسی اصلی - زاویه را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. بیایید با مفاهیم و تعاریف کمکی شروع کنیم که ما را به تعریف زاویه می رساند. پس از آن روش های پذیرفته شده برای نشان دادن زوایا را ارائه می کنیم. در مرحله بعد، اجازه دهید نگاهی دقیق تر به فرآیند اندازه گیری زاویه بیندازیم. در پایان، ما نشان خواهیم داد که چگونه می توانید گوشه ها را در نقاشی علامت گذاری کنید. ما تمام تئوری را با نقشه ها و تصاویر گرافیکی لازم برای حفظ بهتر مطالب ارائه کرده ایم.

پیمایش صفحه.

تعیین زاویه.

زاویه یکی از مهمترین ارقام در هندسه است. تعریف زاویه از طریق تعریف پرتو داده شده است. به نوبه خود، ایده یک پرتو بدون آگاهی از اشکال هندسی مانند یک نقطه، یک خط مستقیم و یک صفحه به دست نمی آید. بنابراین، قبل از آشنایی با تعریف زاویه، توصیه می کنیم این نظریه را از بخش ها و.

بنابراین، ما از مفاهیم یک نقطه، یک خط مستقیم در یک صفحه و یک صفحه شروع می کنیم.

اجازه دهید ابتدا تعریف پرتو را بیان کنیم.

اجازه دهید مقداری خط مستقیم در هواپیما به ما داده شود. اجازه دهید آن را با حرف a نشان دهیم. بگذارید O نقطه ای از خط مستقیم a باشد. نقطه O خط a را به دو قسمت تقسیم می کند. هر یک از این قسمت ها همراه با نقطه O نامیده می شود اشعه، و نقطه O نامیده می شود آغاز پرتو... هنوز هم می توانید بشنوید که پرتو صدا زده می شود نیمه مستقیم.

برای اختصار و راحتی، عناوین زیر برای پرتوها معرفی شده است: یک پرتو یا با یک حرف لاتین کوچک (به عنوان مثال، پرتو p یا پرتو k)، یا با دو حرف لاتین بزرگ، که اولین آنها مربوط به آغاز است نشان داده شده است. پرتو، و دومی نقطه ای از این پرتو را مشخص می کند (به عنوان مثال، پرتو OA یا پرتو CD). بیایید تصویر و تعیین پرتوها را در نقاشی نشان دهیم.

حال می توانیم اولین تعریف از زاویه را ارائه دهیم.

تعریف.

تزریقیک شکل هندسی مسطح (یعنی کاملاً در یک صفحه معین قرار دارد) که از دو پرتو غیر منطبق با منشأ مشترک تشکیل شده است. هر یک از پرتوها نامیده می شود گوشه کناری، مبدا مشترک اضلاع گوشه نامیده می شود بالای گوشه.

این امکان وجود دارد که طرفین گوشه یک خط مستقیم تشکیل دهند. این گوشه نام خاص خود را دارد.

تعریف.

اگر هر دو طرف یک زاویه روی یک خط مستقیم قرار گیرند، چنین زاویه ای نامیده می شود مستقر شده است.

ما یک تصویر گرافیکی از گوشه باز شده را مورد توجه شما قرار می دهیم.

برای نشان دادن زاویه، از نماد زاویه "" استفاده کنید. اگر اضلاع گوشه با حروف کوچک لاتین مشخص شده باشد (مثلاً یک طرف گوشه k و طرف دیگر h است)، برای تعیین این زاویه، پس از علامت زاویه، حروف مربوط به اضلاع را پشت سر هم می نویسند. ، و ترتیب نوشتن مهم نیست (یعنی یا). اگر اضلاع گوشه با دو حرف لاتین بزرگ نشان داده شود (مثلاً یک طرف گوشه OA و طرف دیگر گوشه OB) است، آنگاه زاویه به صورت زیر نشان داده می شود: بعد از علامت زاویه، سه حروفی نوشته شده اند که در تعیین اضلاع گوشه شرکت می کنند و حرف مربوط به راس زاویه در وسط قرار دارد (در مورد ما زاویه به عنوان یا تعیین می شود). اگر راس گوشه راس یک زاویه دیگر نباشد، چنین زاویه ای را می توان با حرف مربوط به راس زاویه نشان داد (مثلاً). گاهی اوقات می توانید ببینید که گوشه ها در نقاشی ها با اعداد (1، 2 و غیره) مشخص شده اند، این زوایا به صورت و غیره مشخص می شوند. برای وضوح، شکلی را ارائه می دهیم که زوایای آن را نشان می دهد.

هر زاویه ای صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. علاوه بر این، اگر زاویه توسعه نیافته باشد، یک قسمت از صفحه نامیده می شود گوشه داخلیو دیگری است منطقه گوشه بیرونی... تصویر زیر توضیح می دهد که کدام قسمت هواپیما در داخل گوشه و کدام قسمت بیرون است.

هر یک از دو قسمتی که گوشه مسطح صفحه را به آن تقسیم می کند را می توان ناحیه داخلی گوشه مسطح در نظر گرفت.

تعریف ناحیه داخلی گوشه ما را به تعریف دوم از زاویه می رساند.

تعریف.

تزریق- این یک شکل هندسی است که از دو پرتو غیر منطبق با منشأ مشترک و ناحیه داخلی مربوط به گوشه تشکیل شده است.

لازم به ذکر است که تعریف دوم از زاویه سخت تر از تعریف اول است، زیرا دارای شرایط بیشتری است. با این حال، تعریف اول از زاویه را نباید نادیده گرفت و همچنین نباید تعریف اول و دوم از زاویه را جداگانه بررسی کرد. اجازه دهید این نکته را روشن کنیم. وقتی از یک زاویه به عنوان یک شکل هندسی صحبت می کنیم، زاویه به معنای شکلی است که از دو پرتو با منشاء مشترک تشکیل شده است. اگر انجام هر کاری با این زاویه ضروری باشد (مثلاً اندازه گیری زاویه)، آنگاه دو پرتو با منشأ مشترک و یک ناحیه داخلی باید قبلاً در یک زاویه درک شوند (در غیر این صورت به دلیل وجود یک وضعیت مضاعف ایجاد می شود. از هر دو ناحیه داخلی و خارجی زاویه).

اجازه دهید تعاریف بیشتری از زوایای مجاور و عمودی ارائه دهیم.

تعریف.

گوشه های مجاور- این دو گوشه هستند که یک طرف آن مشترک است و دو طرف دیگر یک زاویه توسعه یافته را تشکیل می دهند.

از این تعریف به دست می آید که زوایای مجاور یکدیگر را تا یک زاویه مستقر تکمیل می کنند.

تعریف.

گوشه های عمودی- این دو گوشه هستند که اضلاع یک گوشه ادامه اضلاع گوشه دیگر است.

تصویر گوشه های عمودی را نشان می دهد.

بدیهی است که دو خط مستقیم متقاطع چهار جفت گوشه مجاور و دو جفت گوشه عمودی را تشکیل می دهند.

مقایسه زوایا

در این بند از مقاله به تعاریف زوایای مساوی و نامساوی می پردازیم و همچنین در مورد زوایای نامساوی توضیح می دهیم که کدام زاویه بزرگ و کدام کوچکتر در نظر گرفته می شود.

به یاد بیاورید که اگر بتوان دو شکل هندسی را روی هم قرار داد، برابر نامیده می شوند.

اجازه دهید دو زاویه به ما داده شود. بیایید استدلالی ارائه کنیم که به ما کمک کند به این سؤال پاسخ دهیم: "آیا این دو زاویه برابر هستند یا خیر؟"

بدیهی است که همیشه می توانیم رئوس دو گوشه و همچنین یک طرف گوشه اول را با هر دو طرف گوشه دوم مطابقت دهیم. ضلع گوشه اول را با آن طرف گوشه دوم تراز کنید تا اضلاع باقی مانده گوشه ها در یک طرف خط مستقیمی قرار گیرند که اضلاع هم تراز گوشه ها روی آن قرار دارند. سپس، اگر دو ضلع دیگر گوشه ها بر هم منطبق باشند، آنگاه گوشه ها نامیده می شوند برابر.

اگر دو طرف دیگر گوشه ها منطبق نباشند، گوشه ها نامیده می شوند نابرابر، و کوچکترزاویه ای که بخشی از دیگری است ( بزرگگوشه ای است که کاملاً شامل گوشه دیگر است).

بدیهی است که دو گوشه باز شده برابر هستند. همچنین واضح است که زاویه مسطح بیشتر از هر گوشه غیر مسطح است.

اندازه گیری زاویه.

اندازه گیری زاویه بر اساس مقایسه زاویه اندازه گیری شده با زاویه گرفته شده به عنوان واحد اندازه گیری است. روند اندازه گیری زاویه ها به این صورت است: با شروع از یکی از ضلع های زاویه اندازه گیری شده، ناحیه داخلی آن به طور متوالی با زوایای منفرد پر می شود و آنها را محکم به یکدیگر انباشته می کند. در همان زمان، تعداد گوشه های گذاشته شده به یاد می آید، که اندازه گیری زاویه اندازه گیری را نشان می دهد.

در واقع هر زاویه ای را می توان به عنوان واحد اندازه گیری زوایا در نظر گرفت. با این حال، تعداد زیادی واحد عمومی پذیرفته شده برای اندازه گیری زوایای مربوط به رشته های مختلف علم و فناوری وجود دارد که نام های خاصی را دریافت کرده اند.

یکی از واحدهای اندازه گیری زاویه ها می باشد درجه.

تعریف.

یک درجهزاویه ای برابر با صد و هشتادم زاویه منبسط شده است.

درجه با "" نشان داده می شود، بنابراین یک درجه به عنوان نشان داده می شود.

بنابراین، در یک گوشه باز شده، می توانیم 180 زاویه را در یک درجه قرار دهیم. به نظر می رسد نیمی از یک پای گرد که به 180 قطعه مساوی بریده شده است. بسیار مهم است: "تکه های پای" محکم به یکدیگر چیده می شوند (یعنی کناره های گوشه ها در یک راستا قرار می گیرند) و طرف گوشه اول با یک طرف گوشه باز شده تراز می شود، و طرف آخرین گوشه واحد با طرف دیگر گوشه باز شده منطبق است.

هنگام اندازه‌گیری زاویه‌ها، مشخص می‌شود که چند بار یک درجه (یا واحد اندازه‌گیری دیگر زاویه‌ها) در زاویه اندازه‌گیری شده قرار می‌گیرد تا زمانی که ناحیه داخلی زاویه اندازه‌گیری شده کاملاً پوشانده شود. همانطور که قبلاً دیدیم، در زاویه باز شده، درجه دقیقاً 180 برابر است. در زیر نمونه هایی از زوایایی آورده شده است که در آنها زاویه یک درجه دقیقاً 30 برابر (این زاویه یک ششم زاویه منبسط شده است) و دقیقاً 90 برابر (نصف زاویه منبسط شده) مطابقت دارد.

برای اندازه گیری زوایای کمتر از یک درجه (یا واحد اندازه گیری زاویه دیگر) و در مواردی که نمی توان زاویه را با عدد صحیح درجه (واحدهای اندازه گیری گرفته شده) اندازه گیری کرد، باید از قسمت های یک درجه (قسمت های گرفته شده) استفاده کرد. واحد های اندازه گیری). بخش‌های خاصی از مدرک نام‌های خاصی دریافت کرده‌اند. گسترده ترین آنها به اصطلاح دقیقه و ثانیه است.

تعریف.

دقیقهیک شصتم درجه است.

تعریف.

دومینیک شصتم دقیقه است.

به عبارت دیگر، یک دقیقه شامل شصت ثانیه و یک درجه شامل شصت دقیقه (3600 ثانیه) است. علامت "" برای نشان دادن دقیقه و علامت "" برای نشان دادن ثانیه استفاده می شود (با علائم مشتق و مشتق دوم اشتباه نگیرید). سپس با تعاریف و تعاریف معرفی شده داریم و می توان زاویه 17 درجه و 3 دقیقه و 59 ثانیه را تعیین کرد.

تعریف.

درجه اندازه گیری زاویهیک عدد مثبت نامیده می شود که نشان می دهد یک درجه و اجزای آن چند بار در یک زاویه معین قرار می گیرند.

به عنوان مثال، درجه اندازه گیری زاویه باز شده صد و هشتاد و درجه اندازه گیری زاویه است. .

دستگاه های اندازه گیری مخصوصی برای اندازه گیری زاویه وجود دارد که معروف ترین آنها نقاله است.

اگر هم تعیین زاویه (مثلاً) و هم درجه آن را می دانید (بگذارید 110)، از یک نماد کوتاه از فرم استفاده کنید. و می گویند: «زاویه AOB برابر با صد و ده درجه است».

از تعاریف زاویه و درجه اندازه گیری زاویه، چنین بر می آید که در هندسه، اندازه زاویه بر حسب درجه با یک عدد واقعی از بازه (0، 180] (در مثلثات، زوایای با درجه دلخواه بیان می شود. اندازه گیری می شوند، نامیده می شوند).زاویه نود درجه اسم خاصی دارد، به آن می گویند زاویه راست... زاویه کمتر از 90 درجه نامیده می شود زاویه حاد... زاویه بزرگتر از نود درجه نامیده می شود زاویه مبهم... بنابراین، اندازه یک زاویه حاد بر حسب درجه با عددی از بازه (0، 90) بیان می شود، اندازه یک زاویه مبهم عددی از فاصله (90، 180)، یک زاویه قائمه نود درجه است. در اینجا تصاویری از یک زاویه تند، یک زاویه مبهم و یک زاویه قائم وجود دارد.

از اصل اندازه‌گیری زاویه‌ها، چنین برمی‌آید که اندازه‌های درجه زاویه‌های مساوی یکسان است، اندازه‌گیری درجه زاویه بزرگ‌تر از اندازه‌گیری درجه زاویه کوچک‌تر است و درجه اندازه‌گیری زاویه که ساخته می‌شود. از چندین زاویه، برابر است با مجموع درجه های زوایای تشکیل دهنده. شکل زیر زاویه AOB را نشان می دهد که توسط زوایای AOC، COD و DOB ساخته شده است، در حالی که.

به این ترتیب، مجموع زوایای مجاور یکصد و هشتاد درجه استاز آنجایی که آنها یک زاویه مسطح را تشکیل می دهند.

این بیان دلالت بر آن دارد. در واقع، اگر زوایای AOB و COD عمودی باشند، زوایای AOB و BOC مجاور هستند و زوایای COD و BOC نیز مجاور هستند، بنابراین، تساوی و درست هستند، از آنجا تساوی به دنبال دارد.

همراه با درجه، یک واحد مناسب برای اندازه گیری زاویه نامیده می شود رادیان... اندازه گیری رادیان به طور گسترده ای در مثلثات استفاده می شود. بیایید رادیان را تعریف کنیم.

تعریف.

یک زاویه رادیانی- آی تی گوشه مرکزی، که مطابق با طول کمان، برابر با طول شعاع دایره مربوطه است.

بیایید یک تصویر گرافیکی از یک زاویه یک رادیانی ارائه دهیم. در نقاشی، طول شعاع OA (و همچنین شعاع OB) برابر با طول قوس AB است، بنابراین، طبق تعریف، زاویه AOB برابر با یک رادیان است.

رادیان ها به اختصار «راد» خوانده می شوند. مثلا نوشتن 5 راد یعنی 5 رادیان. با این حال، در نوشتن، نام "خوشحال" اغلب حذف می شود. مثلاً وقتی نوشته می شود زاویه برابر با پی است یعنی پی راد.

به طور جداگانه باید توجه داشت که مقدار زاویه که بر حسب رادیان بیان می شود به طول شعاع دایره بستگی ندارد. این به دلیل این واقعیت است که اشکال محدود شده توسط یک زاویه معین و یک کمان دایره در مرکز راس یک زاویه معین شبیه به یکدیگر هستند.

اندازه‌گیری زوایای رادیان را می‌توان به همان روشی که اندازه‌گیری زوایای بر حسب درجه انجام داد: مشخص کنید که زاویه یک رادیان (و اجزای آن) چند بار در یک زاویه معین قرار می‌گیرد. یا می توانید طول قوس زاویه مرکزی مربوطه را محاسبه کنید و سپس آن را بر طول شعاع تقسیم کنید.

برای نیازهای تمرین، دانستن چگونگی ارتباط درجه و رادیان با یکدیگر مفید است، زیرا بخش زیادی باید انجام شود. در این مقاله بین درجه و اندازه رادیان یک زاویه ارتباط برقرار شده و نمونه هایی از تبدیل درجه به رادیان و بالعکس آورده شده است.

تعیین زاویه در نقاشی.

در نقشه ها، برای راحتی و وضوح، می توان گوشه ها را با کمان هایی مشخص کرد که معمولاً در ناحیه داخلی گوشه از یک طرف گوشه به طرف دیگر کشیده می شوند. زوایای مساوی با همان تعداد کمان مشخص می شوند، زوایای نابرابر - با تعداد کمان متفاوت. زوایای راست در نقاشی با نمادی از شکل "" نشان داده می شود که در ناحیه داخلی یک زاویه راست از یک طرف گوشه به سمت دیگر نشان داده شده است.

اگر مجبور هستید زوایای مختلف زیادی را در نقاشی علامت بزنید (معمولاً بیش از سه) ، هنگام علامت گذاری زاویه ها ، علاوه بر قوس های معمولی ، استفاده از قوس هایی از نوع خاصی مجاز است. به عنوان مثال، می توانید کمان های ناهموار یا چیزی شبیه به آن بکشید.

لازم به ذکر است که نباید از تعیین زوایای نقشه ها غافلگیر شوید و نقشه ها را به هم نریزید. توصیه می کنیم فقط آن زوایایی را مشخص کنید که در فرآیند حل یا اثبات ضروری هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Atanasyan L.S.، Butuzov V.F.، Kadomtsev S.B.، Poznyak E.G.، Yudina I.I. هندسه. پایه های 7 - 9: کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی.
• Atanasyan L.S.، Butuzov V.F.، Kadomtsev S.B.، Kiseleva L.S.، Poznyak E.G. هندسه. کتاب درسی برای پایه های 10-11 دبیرستان.
• Pogorelov A.V.، هندسه. کتاب درسی برای پایه های 7-11 موسسات آموزشی.

این مقاله به یکی از اشکال هندسی اصلی - زاویه نگاه می کند. پس از مقدمه ای کلی بر این مفهوم، به نوع جداگانه ای از چنین فیگورهایی می پردازیم. زاویه مسطح یک مفهوم هندسی مهم است که تمرکز این مقاله خواهد بود.

مقدمه ای بر مفهوم زاویه هندسی

در هندسه، تعدادی اشیاء هستند که اساس همه علوم را تشکیل می دهند. زاویه فقط به آنها اشاره دارد و با استفاده از مفهوم پرتو تعیین می شود، بنابراین اجازه دهید با آن شروع کنیم.

همچنین، قبل از شروع به تعیین خود زاویه، باید چندین شیء به همان اندازه مهم در هندسه را به خاطر بسپارید - این یک نقطه، یک خط مستقیم در یک هواپیما و خود هواپیما است. خط مستقیم ساده ترین شکل هندسی است که آغاز و پایانی ندارد. صفحه سطحی است که دارای دو بعد است. خوب، یک پرتو (یا یک نیم خط) در هندسه بخشی از یک خط مستقیم است که آغاز دارد اما پایان ندارد.

با استفاده از این مفاهیم می‌توان گفت که زاویه یک شکل هندسی است که کاملاً در یک صفحه معین قرار دارد و از دو پرتو غیر منطبق با منشا مشترک تشکیل شده است. به این گونه پرتوها، اضلاع گوشه می گویند و منشأ مشترک اضلاع، رأس آن است.

انواع زوایا و هندسه

می دانیم که زاویه ها می توانند بسیار متفاوت باشند. بنابراین، کمی در زیر یک طبقه بندی کوچک ارائه می شود که به شما در درک بهتر انواع زاویه ها و ویژگی های اصلی آنها کمک می کند. بنابراین، چندین نوع زاویه در هندسه وجود دارد:

1. زاویه راست. اندازه آن 90 درجه است، به این معنی که اضلاع آن همیشه عمود بر یکدیگر هستند.
2. گوشه ی تیز. این زاویه ها شامل تمام نمایندگان آنها با اندازه کمتر از 90 درجه است.
3. زاویه مبهم تمام زوایای با مقدار 90 تا 180 درجه نیز می توانند در اینجا باشند.
4. گوشه گسترش یافته اندازه آن کاملاً 180 درجه است و از طرف بیرونی آن یک خط مستقیم را تشکیل می دهد.

مفهوم زاویه مسطح

حالا بیایید نگاهی دقیق تر به گوشه باز شده بیندازیم. این مورد زمانی است که هر دو طرف در یک خط مستقیم قرار می گیرند که در تصویر زیر به وضوح قابل مشاهده است. این بدان معنی است که می توانیم با اطمینان بگوییم که در گوشه باز شده، یکی از اضلاع آن اساساً ادامه دیگری است.

شایان ذکر است که چنین زاویه ای را همیشه می توان با استفاده از پرتویی که از بالای آن خارج می شود تقسیم کرد. در نتیجه دو گوشه بدست می آید که در هندسه مجاور نامیده می شوند.

همچنین گوشه باز شده دارای چندین ویژگی است. برای صحبت در مورد اولین آنها، باید مفهوم "نصف ساز زاویه" را به خاطر بسپارید. به یاد بیاورید که این پرتویی است که هر زاویه را دقیقاً به نصف تقسیم می کند. در مورد زاویه باز شده، نیمساز آن را به گونه ای تقسیم می کند که دو زاویه قائمه 90 درجه تشکیل می شود. محاسبه ریاضی بسیار آسان است: 180 درجه (درجه زاویه باز): 2 = 90 درجه.

اگر زاویه باز شده را با یک پرتو کاملاً دلخواه تقسیم کنیم، در نتیجه همیشه دو زاویه به دست می‌آید که یکی از آنها تیز و دیگری کج خواهد بود.

ویژگی های گوشه صاف

در نظر گرفتن این زاویه راحت خواهد بود و تمام ویژگی های اصلی آن را که در این لیست انجام دادیم گرد هم می آورد:

1. طرفین گوشه باز شده ضد موازی هستند و یک خط مستقیم را تشکیل می دهند.
2. زاویه باز شده همیشه 180 درجه است.
3. با هم، دو گوشه مجاور همیشه یک زاویه صاف را تشکیل می دهند.
4. زاویه کامل که 360 درجه است از دو زاویه باز شده تشکیل شده و برابر مجموع آنهاست.
5. نیمی از گوشه باز شده یک زاویه قائمه است.

بنابراین، با دانستن تمام این ویژگی های یک نوع معین از زاویه ها، می توانیم از آنها برای حل تعدادی از مسائل هندسی استفاده کنیم.

مشکلات با گوشه های گسترش یافته

برای اینکه بفهمید مفهوم زاویه باز را یاد گرفته اید، سعی کنید به چند سوال زیر پاسخ دهید.

1. اگر اضلاع آن یک خط عمودی تشکیل دهند، زاویه باز شده چقدر است؟
2. اگر اولی 72 درجه و دیگری 118 درجه باشد، آیا دو گوشه مجاور یکدیگر خواهند بود؟
3. اگر یک زاویه کامل از دو تا نشده تشکیل شده باشد، چند زاویه قائمه در آن وجود دارد؟
4. زاویه جاروب توسط پرتو به دو زاویه تقسیم شد به طوری که درجه آنها 1: 4 است. زوایای حاصل را محاسبه کنید.

راه حل ها و پاسخ ها:

1. مهم نیست که زاویه باز شده چگونه قرار دارد، طبق تعریف همیشه 180 درجه است.
2. گوشه های مجاور یک طرف مشترک دارند. بنابراین، برای محاسبه اندازه زاویه ای که آنها با هم می سازند، فقط باید مقدار درجه آنها را اضافه کنید. این به این معنی است که 72 + 118 = 190. اما طبق تعریف، زاویه باز شده 180˚ است، یعنی این دو زاویه نمی توانند مجاور یکدیگر باشند.
3. یک گوشه صاف دو زاویه راست را در خود جای می دهد. و از آنجایی که دو تا در کامل وجود دارد، به این معنی است که 4 خط مستقیم در آن وجود خواهد داشت.
4. اگر زوایای جست‌وجو را a و b بنامیم، x ضریب تناسب آن‌ها باشد، به این معنی که a = x و بر این اساس b = 4x. زاویه باز شده بر حسب درجه 180 درجه است. و با توجه به ویژگی های آن، که اندازه درجه یک زاویه همیشه برابر است با مجموع درجه های آن زاویه هایی که توسط هر پرتو دلخواه که از اضلاع آن می گذرد به آن تقسیم می شود، می توانیم نتیجه بگیریم که x + 4x = 180 ˚، یعنی 5x = 180˚ ... از اینجا پیدا می کنیم: x = a = 36˚ و b = 4x = 144˚. جواب: 36 درجه و 144 درجه.

اگر موفق شده اید به همه این سوالات بدون تلقین و بدون نگاه کردن به پاسخ ها پاسخ دهید، پس آماده هستید تا به درس بعدی در هندسه بروید.