موضوع: مخروط مستقیم دایره ای. برش مخروط توسط هواپیماها. درس "حجم مخروط بررسی اشکال یک سهمی با معادله آن

کار تشخیصی از دو بخش شامل 19 وظیفه تشکیل شده است. قسمت 1 شامل 8 وظیفه از سطح ابتدایی مشکل با یک پاسخ کوتاه است. قسمت 2 شامل 4 کار با سطح دشواری بیشتر با پاسخ کوتاه و 7 کار با سطح دشواری افزایش یافته و بالا با پاسخ دقیق است.
کار تشخیصی در ریاضیات به مدت 3 ساعت 55 دقیقه (235 دقیقه) انجام می شود.
پاسخ به وظایف 1 تا 12 به صورت یک عدد صحیح یا کسر اعشاری نهایی نوشته می شود. اعداد را در قسمت های پاسخ در متن کار بنویسید و سپس آنها را به فرم شماره 1 منتقل کنید. هنگام انجام وظایف 13-19 ، باید راه حل کامل را یادداشت کرده و در فرم پاسخ شماره 2 پاسخ دهید.
همه فرم ها با جوهر سیاه روشن پر شده اند. استفاده از ژل ، مویرگی یا قلم چشم مجاز است.
هنگام تکمیل تکالیف ، می توانید از پیش نویس استفاده کنید. پیش نویس ورودی ها به عنوان درجه بندی کار محسوب نمی شوند.
امتیازاتی که برای انجام کارهای تکمیلی دریافت کرده اید خلاصه می شود.
برای شما آرزوی موفقیت داریم!

شرایط مشکل

1. پیدا کنید اگر
2. برای به دست آوردن تصویر بزرگتر از لامپ روی صفحه ، از لنز جمع آوری کننده با فاصله کانونی اصلی = 30 سانتی متر در آزمایشگاه استفاده می شود. فاصله لنز تا لامپ می تواند از 40 تا 65 سانتی متر و فاصله از لنز به صفحه - در محدوده 75 تا 100 سانتیمتر. در صورت رعایت نسبت ، تصویر روی صفحه واضح خواهد بود. مشخص کنید که لامپ را در حداکثر فاصله از لنز قرار دهید تا تصویر آن روی صفحه روشن باشد. پاسخ خود را بر حسب سانتی متر بیان کنید.
3. کشتی موتوری در طول رودخانه به مقصد 300 کیلومتر می رود و پس از توقف به نقطه عزیمت برمی گردد. سرعت جریان را بیابید ، اگر سرعت کشتی در آب ساکن 15 کیلومتر در ساعت باشد ، اقامت 5 ساعت طول می کشد و کشتی 50 ساعت پس از خروج به نقطه عزیمت برمی گردد. پاسخ خود را بر حسب کیلومتر در ساعت بدهید.
4. کوچکترین مقدار تابع را در بخش پیدا کنید
5. الف) معادله را حل کنید ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش است بیابید
6. با توجه به یک مخروط دایره ای مستقیم با راس م... بخش محوری مخروط یک مثلث با زاویه 120 درجه در راس است م... مولد مخروط برابر است با. از طریق نقطه مبخش مخروط عمود بر یکی از ژنراتورها کشیده شده است.
   الف) ثابت کنید که مثلث حاصله در بخش مبهم است.
   ب) فاصله از مرکز را بیابید Oپایه مخروط به سطح مقطع.
7. معادله را حل کنید
8. دایره با مرکز Oلمس می کند ABمثلث متساوی الساقین ABC ،افزونه های جانبی مانندو ادامه بنیاد آفتابدر نقطه N... نقطه م- وسط پایه آفتاب.
   الف) ثابت کنید MN = AC
   ب) پیدا کنید سیستم عامل ،اگر اضلاع مثلث ABCبرابر 5 ، 5 و 8 است.
9. پروژه تجاری "A" افزایش مبلغ سرمایه گذاری شده در آن را سالانه 34.56 during در دو سال اول و 44 ann سالانه در دو سال آینده فرض می کند. پروژه "B" رشد را با یک عدد صحیح ثابت فرض می کند nدرصد سالانه کوچکترین مقدار را پیدا کنید n، که در آن در چهار سال اول پروژه "B" سودآورتر از پروژه "A" خواهد بود.
10. همه مقادیر پارامتر را پیدا کنید ، که برای هر یک از آنها سیستم معادلات است تنها راه حل را دارد
11. آنیا بازی می کند: دو عدد طبیعی مختلف روی تخته نوشته شده است و هر دو کمتر از 1000 هستند. اگر هر دو طبیعی باشند ، آنیا حرکت می کند - این دو عدد قبلی را جایگزین می کند. اگر حداقل یکی از این اعداد طبیعی نباشد ، بازی تمام شده است.
    الف) آیا بازی می تواند دقیقاً برای سه حرکت ادامه یابد؟
    ب) آیا دو عدد اولیه به گونه ای وجود دارد که بازی حداقل 9 حرکت داشته باشد؟
    ج) آنیا اولین حرکت را در بازی انجام داد. بیشترین نسبت ممکن حاصل ضرب دو عدد بدست آمده را به محصول بیابید

استوانه V = S اصلی ∙ ساعت

مثال 2با توجه به یک مخروط مستقیم دایره ای شکل ABC ، ​​BO = 10. حجم مخروط را پیدا کنید.

راه حل

شعاع قاعده مخروط را پیدا کنید. C = 60 0 ، B = 30 0 ،

اجازه دهید سیستم عامل = آ، سپس ВС = 2 آ... بر اساس قضیه فیثاغورث:

پاسخ: .

مثال 3... حجم اشکال ایجاد شده توسط چرخش مناطق محدود شده توسط خطوط مشخص شده را محاسبه کنید.

y 2 = 4x ؛ y = 0 ؛ x = 4

محدودیت های ادغام a = 0 ، b = 4 است.

V = | = 32π

وظایف

انتخاب 1

1. بخش محوری استوانه یک مربع با قطر 4 dm است. حجم استوانه را بیابید.

2. قطر خارجی توپ توخالی 18 سانتی متر ، ضخامت دیوار 3 سانتی متر است.حجم دیواره های توپ را پیدا کنید.

NS ارقام محدود شده توسط خطوط y 2 = x ، y = 0 ، x = 1 ، x = 2.

گزینه 2

1. شعاع سه توپ 6 سانتی متر ، 8 سانتی متر ، 10 سانتی متر است ، شعاع توپ را که حجم آن برابر با مجموع حجم این توپ ها است ، تعیین کنید.

2. مساحت قاعده مخروط 9 سانتی متر 2 ، مساحت کل آن 24 سانتی متر 2 است. حجم مخروط را پیدا کنید.

3. حجم جسم تشکیل شده توسط چرخش حول محور O را محاسبه کنید NSارقام محدود شده توسط خطوط y 2 = 2x ، y = 0 ، x = 2 ، x = 4.

سوالات کنترلی:

1. ویژگیهای حجم اجسام را بنویسید.

2- فرمول محاسبه حجم جرم دور حول محور Oy را بنویسید.

اجازه دهید یک استوانه دایره ای مستقیم داده شود ، صفحه طرح افقی موازی با پایه آن است. هنگامی که یک سیلندر توسط یک هواپیما در موقعیت کلی عبور می کند (ما فرض می کنیم که هواپیما پایه های استوانه را قطع نمی کند) ، خط تقاطع یک بیضی است ، خود بخش دارای شکل بیضی است ، طرح افقی آن همزمان با برآمدگی پایه استوانه و پیش بینی جلویی نیز شکل بیضی دارد. اما اگر صفحه خلوت زاویه 45 درجه با محور سیلندر داشته باشد ، آنگاه قسمت بیضوی توسط یک دایره بر روی سطح نمایشی که مقطع آن در همان زاویه متمایل است ، پیش بینی می شود.

اگر صفحه برش سطح جانبی استوانه و یکی از پایه های آن را قطع کند (شکل 8.6) ، خط تقاطع شکل بیضی ناقص (بخشی از بیضی) است. طرح افقی بخش در این مورد بخشی از دایره (طرح پایه) است ، و نمای جلویی بخشی از بیضی است. صفحه را می توان عمود بر هر سطح پیش بینی قرار داد ، سپس بخش به وسیله یک خط مستقیم (بخشی از مسیر هواپیمای ثانویه) بر روی این صفحه نمایان می شود.

اگر سیلندر توسط صفحه ای موازی با ژنراتریس قطع شود ، خطوط تقاطع با سطح جانبی مستقیم هستند ، و اگر خود سیلندر مستقیم باشد ، مقطع خود مستطیل شکل دارد و اگر سیلندر مایل باشد ، متوازی الاضلاع است.

همانطور که مشخص است ، هر دو استوانه و مخروط توسط سطوح تحت فرمان تشکیل می شوند.

خط تقاطع (خط برش) سطح تحت فرمان و صفحه در حالت کلی منحنی خاصی است که از نقاط تقاطع ژنراتریک ها با صفحه برش ساخته شده است.

بگذار داده شود مخروط دایره ای مستقیمهنگامی که با یک صفحه قطع می شود ، خط تقاطع بسته به موقعیت صفحه ، می تواند شکل: مثلث ، بیضی ، دایره ، سهمی ، بیش از حد (شکل 8.7) را داشته باشد.

یک مثلث زمانی به دست می آید که صفحه برش ، از مخروط عبور می کند و از راس آن عبور می کند. در این حالت ، خطوط تقاطع با سطح جانبی خطوط مستقیمی هستند که در راس مخروط متقاطع هستند ، که همراه با خط تقاطع قاعده ، مثلثی را ایجاد می کنند که در سطح پیش بینی با اعوجاج نشان داده شده است. اگر صفحه محور مخروط را قطع کند ، در قسمت یک مثلث به دست می آید که در آن زاویه با راس همزمان با راس مخروط حداکثر برای مثلث های مقطع این مخروط خواهد بود. در این حالت ، این بخش توسط یک خط مستقیم بر روی سطح افقی افقی (موازی با پایه آن) قرار می گیرد.

اگر صفحه موازی هیچ یک از مولدهای مخروط نباشد ، خط تقاطع صفحه و مخروط بیضی خواهد بود. این معادل این واقعیت است که صفحه تمام ژنراتورها (کل سطح جانبی مخروط) را قطع می کند. اگر صفحه برش موازی با قاعده مخروط باشد ، خط تقاطع یک دایره است ، خود مقطع بدون ایجاد اعوجاج بر روی سطح افقی افقی ، و توسط یک خط مستقیم بر روی سطح جلویی قرار می گیرد.

خط تقاطع زمانی سهموی خواهد بود که سطح برش تنها با یک ژنراتیک مخروط موازی باشد. اگر صفحه ثانویه موازی دو ژنراتور به طور همزمان باشد ، خط تقاطع یک هذلولی است.

اگر یک مخروط دایره ای مستقیم توسط یک صفحه موازی با قاعده و عمود بر محور مخروط قطع شود ، یک قسمت مخروطی به دست می آید و قسمت بالایی آن دور ریخته می شود. در صورتی که صفحه افقی افقی موازی با پایه های مخروط بریده باشد ، این پایه ها بدون ایجاد اعوجاج توسط دایره های متحدالمرکز بر روی سطح افقی افقی قرار می گیرند و نمای جلویی یک ذوزنقه است. هنگامی که هواپیما مخروطی را قطع می کند ، بسته به موقعیت آن ، خط برش می تواند شکل ذوزنقه ، بیضی ، دایره ، سهمی ، هذلولی یا قسمتی از یکی از این منحنی ها را داشته باشد که انتهای آن با یک خط مستقیم به هم متصل می شوند. به

کد متنی درس:

ما به مطالعه بخش کلیشه ای "جامدات انقلاب" ادامه می دهیم.

بدن انقلاب شامل: استوانه ، مخروط ، توپ است.

بیایید تعاریف را به خاطر بسپاریم.

ارتفاع فاصله از بالای شکل یا بدنه تا قاعده شکل (بدن) است. در غیر این صورت - یک خط خطی که بالا و پایین شکل را متصل می کند و عمود بر آن است.

به یاد داشته باشید ، برای پیدا کردن مساحت یک دایره ، باید عدد پی را در مربع شعاع ضرب کنید.

مساحت دایره است.

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه می توان مساحت یک دایره را با دانستن قطر پیدا کرد؟ زیرا

جایگزین در فرمول:

مخروط همچنین بدنه ای از انقلاب است.

مخروط (به عبارت دقیق تر ، مخروط دایره ای) جسمی است که از یک دایره تشکیل شده است - پایه مخروط ، نقطه ای که در صفحه این دایره قرار ندارد - بالای مخروط و تمام قطعاتی که بالای مخروط را به هم متصل می کنند با نقاط پایه

بیایید با فرمول یافتن حجم مخروط آشنا شویم.

قضیه حجم مخروط برابر با یک سوم محصول حاصل از مساحت پایه و ارتفاع است.

اجازه دهید این قضیه را اثبات کنیم.

با توجه به: مخروط ، S - مساحت پایه آن ،

h - ارتفاع مخروط

ثابت کنید: V =

اثبات: مخروطی از حجم V ، شعاع پایه R ، ارتفاع h و راس را در نقطه O در نظر بگیرید.

اجازه دهید محور Оx را از طریق ОМ - محور مخروط معرفی کنیم. یک بخش دلخواه از مخروط توسط یک صفحه عمود بر محور Ox یک دایره است که در نقطه متمرکز شده است

M1 - نقطه تقاطع این صفحه با محور Ox. اجازه دهید شعاع این دایره را با R1 ، و سطح مقطع را با S (x) نشان دهیم ، جایی که x آبستیس نقطه M1 است.

از شباهت مثلث های راست زاویه ای ОМ1A1 و ОМА (ے ОМ1A1 = ے ОМА-خطوط مستقیم ، ے MOA مشترک ، از این رو مثلث ها در دو زاویه مشابه هستند) نتیجه می شود که

شکل نشان می دهد که ОМ1 = х ، OM = h

یا از کجا ، با ویژگی نسبت ، R1 = را پیدا می کنیم.

از آنجا که بخش یک دایره است ، سپس S (x) = πR12 ، عبارت قبلی را بجای R1 جایگزین کنید ، مساحت مقطع برابر است با نسبت پی محصول ضریب مربع به مربع x به مربع ارتفاع:

بیایید فرمول اساسی را اعمال کنیم

با محاسبه حجم اجسام ، برای a = 0 ، b = h ، عبارت (1) را بدست می آوریم

از آنجا که قاعده مخروط یک دایره است ، مساحت S قاعده مخروط برابر مربع پیر است

در فرمول محاسبه حجم یک جسم ، مقدار مربع pi er را با مساحت پایه جایگزین می کنیم و بدست می آوریم که حجم مخروط برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت پایه بر اساس ارتفاع

قضیه اثبات شده است.

نتیجه گیری از قضیه (فرمول حجم مخروط کوتاه شده)

حجم V مخروط کوتاه ، ارتفاع آن برابر h و مساحت پایه های S و S1 ، با فرمول محاسبه می شود.

Ve برابر است با یک سوم خاکستر ضرب در مجموع مساحت پایه ها و ریشه مربعی حاصلضرب نواحی پایه.

حل مسایل

یک مثلث مستطیل شکل با 3 سانتیمتر و 4 سانتیمتر پاها در اطراف هیپوتنوز می چرخد. حجم بدن بدست آمده را تعیین کنید.

وقتی مثلث به دور هیپوتنوز می چرخد ​​، یک مخروط به دست می آوریم. هنگام حل این مشکل ، درک این نکته مهم است که دو مورد امکان پذیر است. در هر یک از آنها ، فرمول را برای یافتن حجم مخروط به کار می بریم: حجم مخروط برابر با یک سوم محصول پایه و ارتفاع است

در حالت اول ، شکل به این شکل است: یک مخروط داده شده است. اجازه دهید شعاع r = 4 ، ارتفاع h = 3 باشد

مساحت پایه برابر مربع شعاع حاصل ضرب π است

سپس حجم مخروط برابر مربع شعاع و ارتفاع برابر یک سوم حاصلضرب π است.

با جایگزینی مقدار در فرمول ، مشخص می شود که حجم مخروط 16π است.

در مورد دوم ، مانند این: یک مخروط داده می شود. اجازه دهید شعاع r = 3 ، ارتفاع h = 4 باشد

حجم مخروط برابر ارتفاع یک سوم محصول منطقه پایه است:

مساحت پایه برابر است با ضریب π با مربع شعاع:

سپس حجم مخروط برابر مربع شعاع و ارتفاع برابر یک سوم حاصل ضرب π است:

با جایگزینی مقدار در فرمول ، معلوم می شود که حجم مخروط 12π است.

پاسخ: حجم مخروط V 16 π یا 12 π است

مسئله 2. با توجه به یک مخروط دایره ای مستقیم با شعاع 6 سانتی متر ، زاویه ВСО = 45.

حجم مخروط را پیدا کنید.

راه حل: یک نقاشی تمام شده برای این کار ارائه شده است.

بیایید فرمول برای پیدا کردن حجم مخروط را بنویسیم:

بیایید آن را بر اساس شعاع پایه R بیان کنیم:

ما h = BO را از نظر ساخت ، - مستطیل شکل ، پیدا می کنیم زاویه BOS = 90 (مجموع زوایای مثلث) ، زاویه های پایه مساوی هستند ، بنابراین مثلث ΔBOC متساوی الساقین و BO = OC = 6 سانتی متر است.