بسط لگاریتم تعریف لگاریتم و خواص آن: نظریه و حل مسئله

تمرکز این مقاله این است - لگاریتم... در اینجا ما تعریف لگاریتم را ارائه می دهیم، نماد پذیرفته شده را نشان می دهیم، مثال هایی از لگاریتم می آوریم و در مورد لگاریتم های طبیعی و اعشاری می گوییم. پس از آن، هویت لگاریتمی پایه را در نظر بگیرید.

پیمایش صفحه.

تعریف لگاریتم

مفهوم لگاریتم زمانی به وجود می آید که یک مسئله را به معنای معکوس حل می کنیم، زمانی که لازم است یک توان با توجه به مقدار شناخته شده درجه و یک پایه شناخته شده پیدا شود.

اما به اندازه کافی مقدمه، زمان پاسخ به این سوال است که "لگاریتم چیست"؟ بیایید یک تعریف مناسب ارائه دهیم.

تعریف.

لگاریتم b تا پایه a، که در آن a> 0، a ≠ 1 و b> 0 توانی است که عدد a باید به آن افزایش یابد تا در نتیجه b به دست آید.

در این مرحله، توجه می کنیم که کلمه گفتاری "لگاریتم" باید بلافاصله دو سوال حاصل را ایجاد کند: "چه عددی" و "به چه دلیل". به عبارت دیگر، به سادگی لگاریتمی وجود ندارد، اما فقط لگاریتم یک عدد در یک پایه وجود دارد.

بلافاصله وارد شوید نماد لگاریتمی: لگاریتم عدد b به پایه a معمولاً به صورت log a b نشان داده می شود. لگاریتم عدد b به پایه e و لگاریتم به پایه 10 دارای نام های خاص خود هستند lnb و lgb، یعنی نه log e b بلکه lnb و نه log 10 b بلکه lgb می نویسند.

اکنون می توانید بیاورید:.
و سوابق معنی ندارد، زیرا در اولی آنها زیر علامت لگاریتم یک عدد منفی وجود دارد، در دومی - یک عدد منفی در پایه، و در سوم - هر دو یک عدد منفی زیر علامت لگاریتم و یکی در پایه

حالا بیایید در مورد قوانین خواندن لگاریتم... Log a b به عنوان "لگاریتم b به پایه a" خوانده می شود. به عنوان مثال، log 2 3 لگاریتم سه پایه 2 است، و لگاریتم دو ثلث پایه مجذور جذر پنج است. پایه لگاریتمی e نامیده می شود لگاریتم طبیعیو lnb "لگاریتم طبیعی b" را می خواند. برای مثال ln7 لگاریتم طبیعی هفت است و ما آن را لگاریتم طبیعی pi می خوانیم. پایه لگاریتم 10 نیز نام خاصی دارد - لگاریتم اعشاری، و ورودی lgb به عنوان "ورود اعشاری b" خوانده می شود. برای مثال، lg1 لگاریتم اعشاری یک است و lg2.75 لگاریتم اعشاری دو نقطه هفتاد و پنج صدم است.

ارزش دارد که به طور جداگانه روی شرایط a> 0، a ≠ 1، و b> 0 صحبت کنیم، که تحت آن تعریف لگاریتم ارائه شده است. اجازه دهید توضیح دهیم که این محدودیت ها از کجا می آیند. یک برابری از فرم نامیده شده، که مستقیماً از تعریف لگاریتم ارائه شده در بالا ناشی می شود، به ما در انجام این کار کمک می کند.

بیایید با یک ≠ ۱ شروع کنیم. از آنجایی که یک به هر درجه ای با یک برابر است، برابری فقط برای b = 1 می تواند صادق باشد، اما log 1 1 می تواند هر عدد واقعی باشد. برای جلوگیری از این ابهام، فرض می شود که یک ≠ 1.

اجازه دهید مصلحت شرط a> 0 را توجیه کنیم. برای a = 0، با تعریف لگاریتم، برابری خواهیم داشت که فقط برای b = 0 امکان پذیر است. اما log 0 0 می تواند هر عدد واقعی غیر صفر باشد، زیرا صفر در هر درجه غیر صفر صفر است. شرط a ≠ 0 امکان اجتناب از این ابهام را فراهم می کند. و برای یک<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

در نهایت، شرط b> 0 از نابرابری a> 0 به دست می آید، زیرا، و مقدار درجه با پایه مثبت a همیشه مثبت است.

در پایان این پاراگراف، می گوییم که تعریف صوتی لگاریتم به شما امکان می دهد تا زمانی که عدد زیر علامت لگاریتم درجه ای از پایه است، بلافاصله مقدار لگاریتم را نشان دهید. در واقع، تعریف لگاریتم به ما این امکان را می دهد که ادعا کنیم اگر b = a p، آنگاه لگاریتم b به پایه a p است. یعنی گزارش تساوی a a p = p درست است. به عنوان مثال، ما می دانیم که 2 3 = 8، سپس log 2 8 = 3. در این مقاله بیشتر در مورد این موضوع صحبت خواهیم کرد.

دستورالعمل ها

عبارت لگاریتمی مشخص شده را بنویسید. اگر عبارت از لگاریتم 10 استفاده کند، نماد آن کوتاه شده و به صورت زیر است: lg b لگاریتم اعشاری است. اگر لگاریتم دارای عدد e به عنوان پایه باشد، عبارت: ln b - لگاریتم طبیعی را بنویسید. قابل درک است که نتیجه هر توانی است که برای بدست آوردن عدد b باید عدد پایه را به آن افزایش داد.

هنگام پیدا کردن مجموع دو تابع، فقط باید آنها را به نوبه خود متمایز کنید و نتایج را اضافه کنید: (u + v) "= u" + v ";

هنگام یافتن مشتق حاصلضرب دو تابع، لازم است مشتق تابع اول را در دومی ضرب کنیم و مشتق تابع دوم را ضرب در تابع اول اضافه کنیم: (u * v) "= u" * v + v "* u;

برای یافتن مشتق ضریب دو تابع، لازم است از حاصل ضرب مشتق تقسیم در تابع مقسوم، حاصل ضرب مشتق مقسوم بر تابع تقسیم را کم کنیم. و همه اینها را بر مجذور تابع مقسوم علیه تقسیم کنید. (u / v) "= (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

اگر یک تابع مختلط داده شود، باید مشتق تابع داخلی و مشتق تابع خارجی را ضرب کرد. بگذارید y = u (v (x))، سپس y "(x) = y" (u) * v "(x).

با استفاده از موارد به دست آمده در بالا، می توانید تقریباً هر عملکردی را متمایز کنید. بنابراین، اجازه دهید به چند نمونه نگاه کنیم:

y = x ^ 4، y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;

y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6)، y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * ایکس))؛
همچنین برای محاسبه مشتق در یک نقطه مشکلاتی وجود دارد. اجازه دهید تابع y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5) داده شود، باید مقدار تابع را در نقطه x = 1 پیدا کنید.
1) مشتق تابع را بیابید: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) مقدار تابع را در نقطه داده شده محاسبه کنید y "(1) = 8 * e ^ 0 = 8

ویدیو های مرتبط

مشاوره مفید

جدول مشتقات ابتدایی را یاد بگیرید. این به میزان قابل توجهی در زمان صرفه جویی می کند.

منابع:

• مشتق یک ثابت

بنابراین، تفاوت بین یک معادله غیرمنطقی و یک معادله عقلانی چیست؟ اگر متغیر مجهول زیر علامت جذر باشد، معادله غیرمنطقی در نظر گرفته می شود.

دستورالعمل ها

روش اصلی برای حل این گونه معادلات، روش ساخت هر دو قسمت است معادلاتدر یک مربع با این حال. این طبیعی است، اولین قدم این است که از شر علامت خلاص شوید. این روش از نظر فنی دشوار نیست، اما گاهی اوقات ممکن است دچار مشکل شود. به عنوان مثال، معادله v (2x-5) = v (4x-7). با مربع کردن دو طرف آن، 2x-5 = 4x-7 به دست می آید. حل این معادله دشوار نیست. x = 1. اما عدد 1 داده نخواهد شد معادلات... چرا؟ 1 را در معادله برای x جایگزین کنید، و هر دو سمت راست و چپ شامل عباراتی هستند که معنی ندارند، یعنی. این مقدار برای یک جذر معتبر نیست. بنابراین، 1 یک ریشه خارجی است و بنابراین معادله داده شده ریشه ندارد.

بنابراین معادله غیرمنطقی با استفاده از روش مربع کردن دو طرف آن حل می شود. و با حل معادله، قطع کردن ریشه های اضافی ضروری است. برای انجام این کار، ریشه های یافت شده را جایگزین معادله اصلی کنید.

یکی دیگر را در نظر بگیرید.
2x + vx-3 = 0
البته این معادله را می توان مانند معادله قبلی حل کرد. حرکت ترکیبی معادلاتکه ریشه مربع ندارند به سمت راست رفته و سپس از روش مربع کردن استفاده کنید. معادله و ریشه های منطقی حاصل را حل کنید. اما همچنین یکی دیگر، برازنده تر. یک متغیر جدید وارد کنید؛ vx = y. بر این اساس، معادله ای به شکل 2y2 + y-3 = 0 دریافت می کنید. یعنی معادله درجه دوم معمولی. ریشه های آن را پیدا کنید؛ y1 = 1 و y2 = -3/2. بعد، دو تصمیم بگیرید معادلات vx = 1; vx = -3/2. معادله دوم ریشه ندارد، از معادله اول دریافتیم که x = 1. فراموش نکنید که ریشه ها را بررسی کنید.

حل هویت به اندازه کافی آسان است. این امر مستلزم ایجاد تحولات یکسان تا رسیدن به هدف است. بنابراین، با کمک ساده ترین عملیات حسابی، کار حل خواهد شد.

شما نیاز خواهید داشت

• - کاغذ؛
• - یک خودکار.

دستورالعمل ها

ساده‌ترین این تبدیل‌ها ضرب اختصاری جبری است (مانند مجذور مجموع (تفاوت)، تفاضل مربع‌ها، مجموع (تفاوت)، مکعب مجموع (تفاوت)). علاوه بر این، فرمول های مثلثاتی زیادی وجود دارد که در اصل همان هویت ها هستند.

در واقع، مجذور مجموع دو جمله برابر است با مجذور اولی به اضافه دو برابر حاصلضرب اولی در دوم و به اضافه مجذور دومی، یعنی (a + b) ^ 2 = (a + ب) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

هر دو را ساده کنید

اصول کلی راه حل

از طریق کتاب درسی حساب دیفرانسیل و انتگرال یا ریاضیات بالاتر که یک انتگرال قطعی است مرور کنید. همانطور که می دانید جواب یک انتگرال معین تابعی است که مشتق آن انتگرال را می دهد. این تابع ضد مشتق نامیده می شود. انتگرال های پایه بر اساس این اصل ساخته می شوند.
با نوع انتگرال مشخص کنید که کدام یک از انتگرال های جدولی در این مورد مناسب است. همیشه نمی توان فوراً این را تعیین کرد. اغلب، نمای جدولی تنها پس از چندین تغییر برای ساده سازی انتگرال قابل توجه می شود.

روش جایگزینی متغیر

اگر انتگرال یک تابع مثلثاتی است که در آرگومان آن چند جمله ای وجود دارد، از روش تغییر متغیر استفاده کنید. برای انجام این کار، چند جمله ای در آرگومان انتگرال را با یک متغیر جدید جایگزین کنید. حدود جدید ادغام را از رابطه بین متغیر جدید و قدیمی تعیین کنید. با متمایز کردن این عبارت، دیفرانسیل جدید را در آن پیدا کنید. بنابراین، شکل جدیدی از انتگرال قبلی، نزدیک یا حتی مربوط به هر جدولی را دریافت خواهید کرد.

حل انتگرال های نوع دوم

اگر انتگرال انتگرالی از نوع دوم است، شکل برداری انتگرال، پس باید از قوانین عبور از این انتگرال ها به انتگرال های اسکالر استفاده کنید. یکی از این قوانین نسبت Ostrogradsky-Gauss است. این قانون امکان عبور از شار روتور یک تابع بردار خاص را به یک انتگرال سه گانه بر روی واگرایی یک میدان برداری معین می دهد.

جایگزینی حدود ادغام

پس از یافتن پاد مشتق، لازم است که حدود ادغام جایگزین شود. ابتدا مقدار حد بالایی را به عبارت ضد مشتق متصل کنید. تعدادی عدد دریافت خواهید کرد. در مرحله بعد، از عدد به دست آمده عدد دیگری را که از حد پایین به دست می آید به ضد مشتق کم کنید. اگر یکی از حدود ادغام بی نهایت باشد، هنگام جایگزینی آن با تابع پاد مشتق، باید به سمت حد رفت و پیدا کرد که عبارت به چه چیزی تمایل دارد.
اگر انتگرال دو بعدی یا سه بعدی است، برای درک نحوه محاسبه انتگرال باید محدودیت های انتگرال را به صورت هندسی به تصویر بکشید. در واقع، در مورد مثلاً یک انتگرال سه بعدی، حدود ادغام می تواند سطوح کاملی باشد که حجم مورد ادغام را محدود می کند.

یکی از عناصر جبر اولیه لگاریتم است. این نام از زبان یونانی از کلمه "عدد" یا "درجه" گرفته شده است و به معنای درجه ای است که برای یافتن عدد نهایی لازم است عدد را در پایه بالا ببرید.

انواع لگاریتم

• log a b - لگاریتم عدد b به پایه a (a> 0, a ≠ 1, b> 0);
• lg b - لگاریتم اعشاری (پایه لگاریتم 10، a = 10)؛
• ln b - لگاریتم طبیعی (پایه لگاریتم e، a = e).

چگونه لگاریتم ها را حل می کنید؟

پایه لگاریتمی a b یک توان است که مستلزم آن است که پایه a به b افزایش یابد. نتیجه به این صورت تلفظ می شود: "لگاریتم b به پایه a". راه حل مسائل لگاریتمی این است که باید درجه داده شده را با اعداد با اعداد مشخص شده تعیین کنید. قوانین اساسی برای تعیین یا حل لگاریتم و همچنین تبدیل خود ورودی وجود دارد. با استفاده از آنها حل معادلات لگاریتمی انجام می شود، مشتقات پیدا می شود، انتگرال ها حل می شوند و بسیاری از عملیات های دیگر انجام می شود. اساساً راه حل خود لگاریتم نمادگذاری ساده شده آن است. در زیر فرمول ها و خواص اصلی آورده شده است:

برای هر یک a> 0; a ≠ 1 و برای هر x. y> 0.

• a log a b = b - هویت لگاریتمی پایه
• 1 = 0 را ثبت کنید
• log a a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x / y = ورود x - ورود a y
• log a 1 / x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1 / k log a x، برای k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x / log b a - فرمول انتقال به یک پایه جدید
• log a x = 1 / log x a

نحوه حل لگاریتم - دستورالعمل گام به گام برای حل

• ابتدا معادله مورد نیاز را یادداشت کنید.

لطفا توجه داشته باشید: اگر لگاریتم پایه 10 باشد، ورودی کوتاه شده است، لگاریتم اعشاری به دست می آید. اگر یک عدد طبیعی e وجود داشته باشد، آن را یادداشت می کنیم و به لگاریتم طبیعی تقلیل می دهیم. یعنی حاصل تمام لگاریتم ها توانی است که عدد مبنا به آن افزایش می یابد تا عدد b بدست آید.

راه حل مستقیماً در محاسبه این درجه نهفته است. قبل از حل یک عبارت با لگاریتم، باید آن را طبق قانون ساده کرد، یعنی با استفاده از فرمول. با کمی برگشت در مقاله می توانید هویت های اصلی را پیدا کنید.

هنگام جمع و تفریق لگاریتم هایی با دو عدد متفاوت، اما با پایه های یکسان، به ترتیب با یک لگاریتمی با حاصلضرب یا تقسیم b و c جایگزین کنید. در این مورد، می توانید فرمول انتقال را به پایه دیگری اعمال کنید (به بالا مراجعه کنید).

اگر از عبارات برای ساده کردن لگاریتم استفاده می کنید، محدودیت هایی وجود دارد که باید در نظر بگیرید. و آن این است: پایه لگاریتم a فقط یک عدد مثبت است، اما برابر با یک نیست. عدد b نیز مانند a باید بزرگتر از صفر باشد.

مواردی وجود دارد که با ساده کردن عبارت، نمی توانید لگاریتم را به صورت عددی محاسبه کنید. این اتفاق می افتد که چنین عبارتی معنی ندارد، زیرا بسیاری از درجات اعداد غیر منطقی هستند. با این شرط، توان عدد را به صورت نماد لگاریتمی بگذارید.

همانطور که جامعه توسعه یافت و تولید پیچیده تر شد، ریاضیات نیز توسعه یافت. حرکت از ساده به پیچیده از حسابداری معمول به روش جمع و تفریق با تکرار مکرر آنها به مفهوم ضرب و تقسیم رسیدیم. کاهش عملیات تکراری ضرب به مفهوم توان تبدیل شده است. اولین جداول وابستگی اعداد به پایه و تعداد افزایش به یک قدرت در قرن هشتم توسط ریاضیدان هندی Varasen گردآوری شد. از روی آنها می توانید زمان وقوع لگاریتم را بشمارید.

طرح تاریخی

احیای اروپا در قرن شانزدهم نیز توسعه مکانیک را تحریک کرد. تی نیاز به محاسبات زیادی داشتمربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی است. میزهای باستانی خدمات بزرگی انجام دادند. آنها امکان جایگزینی عملیات پیچیده را با موارد ساده تر - جمع و تفریق - فراهم کردند. یک قدم بزرگ رو به جلو کار ریاضیدان مایکل استیفل بود که در سال 1544 منتشر شد و در آن او ایده بسیاری از ریاضیدانان را درک کرد. این امکان استفاده از جداول را نه تنها برای درجات به شکل اعداد اول، بلکه برای جداول دلخواه نیز فراهم کرد.

در سال 1614، جان ناپیر اسکاتلندی، با توسعه این ایده ها، برای اولین بار اصطلاح جدید "لگاریتم یک عدد" را معرفی کرد. جداول پیچیده جدیدی برای محاسبه لگاریتم سینوس ها و کسینوس ها و همچنین مماس ها گردآوری شد. این کار اخترشناسان را بسیار کاهش داد.

جداول جدیدی ظاهر شد که با موفقیت توسط دانشمندان برای سه قرن استفاده شد. زمان زیادی طول کشید تا عملیات جدید در جبر شکل نهایی خود را به دست آورد. تعریف لگاریتم ارائه شد و خواص آن مورد مطالعه قرار گرفت.

تنها در قرن بیستم، با ظهور ماشین حساب و کامپیوتر، بشر جداول باستانی را که تا قرن سیزدهم با موفقیت کار می کردند، کنار گذاشت.

امروز ما پایه را لگاریتمی از عدد x می نامیم که توان a است تا عدد b را بسازیم. این به شکل فرمول نوشته شده است: x = log a (b).

به عنوان مثال، log 3 (9) 2 خواهد بود. اگر از تعریف پیروی کنید این واضح است. اگر 3 به توان 2 برسد، 9 به دست می آید.

بنابراین، تعریف فرموله شده تنها یک محدودیت را تعیین می کند، اعداد a و b باید واقعی باشند.

انواع لگاریتم ها

تعریف کلاسیک لگاریتم واقعی نامیده می شود و در واقع حل معادله a x = b است. گزینه a = 1 مرزی است و هیچ علاقه ای ندارد. نکته: 1 به هر درجه ای برابر است با 1.

ارزش واقعی لگاریتمتنها زمانی تعریف می شود که ریشه و آرگومان بزرگتر از 0 باشند و ریشه نباید برابر با 1 باشد.

جایگاه ویژه ای در رشته ریاضیاتلگاریتمی بازی کنید که بسته به بزرگی پایه آنها نامگذاری می شود:

قوانین و محدودیت ها

خاصیت اساسی لگاریتم ها این قانون است: لگاریتم حاصلضرب برابر با مجموع لگاریتمی است. log abp = log a (b) + log a (p).

به عنوان یک نوع از این عبارت خواهد بود: log c (b / p) = log c (b) - log c (p)، تابع ضریب برابر با تفاوت توابع است.

از دو قانون قبلی به راحتی می توان دریافت که: log a (b p) = p * log a (b).

سایر خواص عبارتند از:

اظهار نظر. یک اشتباه رایج مرتکب نشوید - لگاریتم مجموع با مجموع لگاریتم ها برابر نیست.

برای چندین قرن، عملیات یافتن لگاریتم یک کار نسبتاً پر زحمت بوده است. ریاضیدانان از فرمول معروف تئوری تجزیه چند جمله ای لگاریتمی استفاده کردند:

ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 +… + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n)، که در آن n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است که دقت محاسبه را تعیین می کند.

لگاریتم با پایه های دیگر با استفاده از قضیه انتقال از یک پایه به پایه دیگر و ویژگی لگاریتم حاصلضرب محاسبه شد.

از آنجایی که این روش بسیار زمان بر است و هنگام حل مسائل عملیپیاده سازی آن دشوار است، سپس از جداول لگاریتمی از پیش کامپایل شده استفاده کردیم که کل کار را بسیار تسریع کرد.

در برخی موارد، از نمودارهای لگاریتم کامپایل شده مخصوص استفاده شد که دقت کمتری داشت، اما به طور قابل توجهی جستجو برای مقدار مورد نظر را تسریع کرد. منحنی تابع y = log a (x)، ساخته شده روی چندین نقطه، امکان استفاده از یک خط کش معمولی را برای یافتن مقادیر تابع در هر نقطه دیگر فراهم می کند. برای مدت طولانی، مهندسان از کاغذ به اصطلاح گراف برای این اهداف استفاده می کردند.

در قرن هفدهم، اولین شرایط محاسباتی آنالوگ کمکی ظاهر شد که در قرن نوزدهم شکل کاملی به دست آورد. موفق ترین دستگاه قانون اسلاید نام دارد. با تمام سادگی دستگاه، ظاهر آن به طور قابل توجهی روند تمام محاسبات مهندسی را تسریع می بخشد، و به سختی می توان این را بیش از حد برآورد کرد. امروزه افراد کمی با این دستگاه آشنایی دارند.

ظهور ماشین حساب و کامپیوتر استفاده از هر وسیله دیگری را بی معنی کرد.

معادلات و نابرابری ها

برای حل معادلات و نابرابری های مختلف با استفاده از لگاریتم، از فرمول های زیر استفاده می شود:

• انتقال از یک پایه به پایه دیگر: log a (b) = log c (b) / log c (a);
• در نتیجه نسخه قبلی: log a (b) = 1 / log b (a).

برای حل نابرابری ها، دانستن موارد زیر مفید است:

• مقدار لگاریتم تنها زمانی مثبت خواهد بود که مبنا و آرگومان هر دو بزرگتر یا کمتر از یک باشند. اگر حداقل یک شرط نقض شود، مقدار لگاریتم منفی خواهد بود.
• اگر تابع لگاریتم به سمت راست و چپ نابرابری اعمال شود و پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، علامت نابرابری حفظ می شود. در غیر این صورت تغییر می کند.

نمونه هایی از وظایف

بیایید چندین گزینه برای استفاده از لگاریتم و خواص آنها در نظر بگیریم. مثال هایی با حل معادلات:

گزینه قرار دادن لگاریتم در توان را در نظر بگیرید:

• مسئله 3. 25 ^ log 5 (3) را محاسبه کنید. راه حل: در شرایط مشکل، رکورد مشابه زیر است (5 ^ 2) ^ log5 (3) یا 5 ^ (2 * log 5 (3)). بیایید آن را متفاوت بنویسیم: 5 ^ log 5 (3 * 2)، یا مربع یک عدد به عنوان آرگومان یک تابع را می توان به عنوان مربع خود تابع نوشت (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. با استفاده از خواص لگاریتم، این عبارت 3 ^ 2 است. پاسخ: در نتیجه محاسبه 9 به دست می آید.

استفاده عملی

به عنوان یک ابزار کاملاً ریاضی، به نظر می رسد دور از زندگی واقعی است که لگاریتم به طور ناگهانی اهمیت زیادی برای توصیف اشیاء در دنیای واقعی پیدا کرد. یافتن علمی در جایی که کاربرد نداشته باشد دشوار است. این به طور کامل نه تنها در زمینه های دانش طبیعی، بلکه در زمینه های بشردوستانه نیز صدق می کند.

وابستگی های لگاریتمی

در اینجا چند نمونه از وابستگی های عددی آورده شده است:

مکانیک و فیزیک

از نظر تاریخی، مکانیک و فیزیک همیشه با استفاده از روش های تحقیق ریاضی توسعه یافته اند و در عین حال به عنوان انگیزه ای برای توسعه ریاضیات از جمله لگاریتم عمل کرده اند. نظریه اکثر قوانین فیزیک به زبان ریاضیات نوشته شده است. ما تنها دو مثال از شرح قوانین فیزیکی را با استفاده از لگاریتم ارائه خواهیم داد.

می توان با استفاده از فرمول Tsiolkovsky، که پایه و اساس نظریه اکتشاف فضایی را ایجاد کرد، مشکل محاسبه کمیت پیچیده مانند سرعت یک موشک را حل کرد:

V = I * ln (M1 / M2)، که در آن

• V سرعت نهایی هواپیما است.
• من تکانه خاص موتور هستم.
• M 1 جرم اولیه موشک است.
• M 2 جرم نهایی است.

مثال مهم دیگر- این استفاده در فرمول دانشمند بزرگ دیگر ماکس پلانک است که برای ارزیابی حالت تعادل در ترمودینامیک استفاده می شود.

S = k * ln (Ω)، که در آن

• S - خاصیت ترمودینامیکی.
• k ثابت بولتزمن است.
• Ω وزن آماری حالت های مختلف است.

علم شیمی

استفاده از فرمول هایی در شیمی حاوی نسبت لگاریتم ها کمتر آشکار است. همچنین فقط دو مثال می زنیم:

• معادله نرنست، شرایط پتانسیل ردوکس محیط نسبت به فعالیت مواد و ثابت تعادل.
• محاسبه ثابت هایی مانند شاخص اتوپرولیز و اسیدیته محلول نیز بدون عملکرد ما کامل نیست.

روانشناسی و زیست شناسی

و کاملاً غیرقابل درک است که روانشناسی چه ارتباطی با آن دارد. معلوم می شود که قدرت حس به خوبی با این تابع به عنوان نسبت معکوس مقدار شدت محرک به مقدار کمتر شدت توصیف می شود.

پس از مثال های بالا، دیگر جای تعجب نیست که مبحث لگاریتم ها به طور گسترده در زیست شناسی مورد استفاده قرار می گیرد. جلدها را می توان در مورد اشکال بیولوژیکی متناظر با مارپیچ های لگاریتمی نوشت.

مناطق دیگر

به نظر می رسد وجود جهان بدون ارتباط با این کارکرد ناممکن است و بر همه قوانین حاکم است. به خصوص زمانی که قوانین طبیعت با یک پیشرفت هندسی همراه باشد. مراجعه به وب سایت MatProfi خالی از لطف نیست و نمونه هایی از این دست در زمینه های فعالیت زیر بسیار است:

لیست می تواند بی پایان باشد. با تسلط بر قوانین اساسی این عملکرد، می توانید وارد دنیای خرد بی نهایت شوید.

274. ملاحظات.

آ)اگر عبارتی که می خواهید ارزیابی کنید شامل مجموعیا تفاوتاعداد، سپس آنها را باید بدون کمک جداول با جمع یا تفریق معمولی یافت. مثلا:

log (35 + 7.24) 5 = 5 log (35 + 7.24) = 5 log 42.24.

ب)با دانستن اینکه چگونه لگاریتم عبارات را بگیریم، برعکس، می توانیم با نتیجه داده شده لگاریتم عبارتی را پیدا کنیم که این نتیجه از آن به دست آمده است. بنابراین اگر

ورود به سیستم NS= ورود آ+ ثبت نام ب- 3 ورود با,

فهمیدن آن آسان است

v)قبل از بررسی ساختار جداول لگاریتمی، به برخی از خصوصیات لگاریتم های اعشاری اشاره می کنیم. آنهایی که در آنها عدد 10 به عنوان پایه در نظر گرفته شده است (فقط چنین لگاریتمی برای محاسبات استفاده می شود).

فصل دوم.

خواص لگاریتم اعشاری

275 . آاز آنجایی که 10 1 = 10، 10 2 = 100، 10 3 = 1000، 10 4 = 10000 و غیره، پس log 10 = 1، log 100 = 2، log 1000 = 3، log 10000 = 4، و غیره.

به معنای، لگاریتم یک عدد صحیح که با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده می شود، یک عدد صحیح مثبت است که به تعداد صفرهای موجود در تصویر عدد یک دارد.

بدین ترتیب: لگ 100000 = 5, ورود به سیستم 1000 000 = 6 ، و غیره.

ب) زیرا

log 0.1 = -l; log 0.01 = - 2; log 0.001 == -3; log 0.0001 = - 4،و غیره.

به معنای، لگاریتم کسری اعشاری، که با واحدی با صفرهای ابتدایی نشان داده می شود، یک عدد صحیح منفی است که به تعداد صفرهای موجود در تصویر یک کسری، شامل 0 عدد صحیح، دارای یک عدد منفی است.

بدین ترتیب: log 0.00001 = - 5، log 0.000001 = -6،و غیره.

v)بیایید یک عدد صحیح را در نظر بگیریم که برای مثال با یک و به دنبال آن صفر نمایش داده نمی شود. برای مثال 35 یا یک عدد صحیح با کسری. 10.7. لگاریتم چنین عددی نمی تواند یک عدد صحیح باشد، زیرا با افزایش 10 به توانی با یک توان عدد صحیح (مثبت یا منفی)، عدد 1 را به دنبال صفرها (به دنبال 1 یا قبل از آن) بدست می آوریم. حال فرض کنید لگاریتم چنین عددی کسری است آ / ب ... آن وقت ما برابری خواهیم داشت

اما این برابری ها غیرممکن است، به عنوان چگونه 10آ 1 با صفر وجود دارد، در حالی که توان 35ب و 10,7ب بدون نرخ ب نمی توان 1 را با صفر داد. یعنی ما نباید اجازه دهیم ثبت 35و لاگ 10.7برابر کسری بودند. اما از خصوصیات تابع لگاریتمی () می دانیم که هر عدد مثبت یک لگاریتم دارد. بنابراین هر یک از اعداد 35 و 10.7 لگاریتم مخصوص به خود را دارند و چون نمی توانند عدد صحیح یا کسری باشند، عددی غیر منطقی هستند و بنابراین نمی توان آن را دقیقاً با اعداد بیان کرد. معمولاً لگاریتم های غیر منطقی تقریباً به صورت کسری اعشاری با چندین رقم اعشار بیان می شوند. تعداد کل این کسر (حتی اگر "0 عدد صحیح" باشد) نامیده می شود مشخصه، و قسمت کسری مانتیس لگاریتم است. اگر مثلا لگاریتم باشد 1,5441 ، سپس ویژگی آن است 1 ، و مانتیس است 0,5441 .

ز)مثلاً یک عدد کامل یا مختلط را در نظر بگیرید. 623 یا 623,57 ... لگاریتم چنین عددی از مشخصه و مانتیس تشکیل شده است. به نظر می رسد که لگاریتم های اعشاری دارای راحتی هستند ما همیشه می توانیم ویژگی آنها را با یک نوع عدد پیدا کنیم ... برای انجام این کار، در مثال های ما از این ارقام، شمارش می کنیم که در یک عدد صحیح معین، یا در کل قسمت یک عدد مختلط، چند رقم وجود دارد. 3 ... بنابراین، هر یک از اعداد 623 و 623,57 بیش از 100، اما کمتر از 1000; بنابراین لگاریتم هر یک از آنها بیشتر است لاگ 100، یعنی بیشتر 2 اما کمتر log 1000، یعنی کمتر 3 (به یاد داشته باشید که عدد بزرگتر لگاریتم بزرگتری دارد). از این رو، log 623 = 2،...، و log 623.57 = 2، ... (نقاط جایگزین آخوندک های ناشناخته).

به همین ترتیب، در می یابیم:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56.7 = 1، ...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 log 8634 = 3، ...

فرض کنید، به طور کلی، در یک عدد صحیح داده شده، یا در یک قسمت صحیح از یک عدد مختلط معین، شامل متر ارقام از آنجایی که کوچکترین عدد صحیح حاوی متر ارقام وجود دارد 1 با متر - 1 صفرها در انتها، سپس (عدد داده شده را نشان می دهد ن) می توانیم نابرابری ها را بنویسیم:

و بنابراین

متر - 1 < log N < متر ,

ورود به سیستم N = ( متر- 1) + کسر مثبت.

از این رو، ویژگی logN = متر - 1 .

ما به این ترتیب می بینیم که مشخصه لگاریتم یک عدد صحیح یا مختلط به تعداد ارقام مثبت در کل قسمت عدد بدون عدد وجود دارد.

با توجه به این موضوع، می توانیم مستقیماً بنویسیم:

log 7.205 = 0، ...; log 83 = 1, ...; log 720.4 = 2، ...و غیره.

ه)چند کسری اعشاری کمتر از آن را در نظر بگیرید 1 (یعنی داشتن 0 کل): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, و غیره.

بنابراین، هر یک از این لگاریتم ها بین دو عدد صحیح منفی محصور شده است که یک واحد با هم تفاوت دارند. بنابراین، هر یک از آنها برابر است با کوچکتر از این اعداد منفی، با مقداری کسری مثبت افزایش یافته است. مثلا، log0.0056 = -3 + مثبت... فرض کنید این کسر 0.7482 باشد. سپس، به این معنی است:

log 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518).

مبالغی مانند - 3 + 0,7482 ، متشکل از یک عدد صحیح منفی و یک کسری اعشاری مثبت، موافقت کردند که در محاسبات لگاریتمی به صورت اختصاری به شرح زیر بنویسند: 3 ,7482 (چنین عددی خوانده می شود: 3 با منهای، 7482 ده هزارم.)، یعنی بالای مشخصه علامت منفی می گذارند تا نشان دهند که فقط به این مشخصه اشاره دارد و نه آخوندک که مثبت می ماند. بنابراین از جدول فوق می توان دریافت که

log 0.35 == 1، ....; log 0.07 = 2، ....; log 0.0008 = 4، ....

حتی اگر ... یک کسری اعشاری در مقابل اولین رقم مهم وجود دارد α هزینه ها متر صفر، شامل 0 عدد صحیح. آن وقت معلوم است که

- متر < log A < - (متر- 1).

از آنجایی که از دو عدد صحیح: - متر و - (متر- 1) کمتر وجود دارد - متر ، سپس

ورود به سیستم А = - متر+ کسر مثبت,

و بنابراین ویژگی ورود به سیستم А = - متر (با مانتیس مثبت).

بدین ترتیب، مشخصه لگاریتم یک کسر اعشاری، کوچکتر از 1، شامل تعداد واحدهای منفی است که در تصویر یک کسری اعشاری قبل از اولین رقم مهم، از جمله اعداد صحیح صفر، صفر وجود دارد. مانتیس چنین لگاریتمی مثبت است.

ه)بیایید یک عدد را ضرب کنیم ن(کل یا کسری - همه چیز برابر است) با 10، 100 در 1000 ...، به طور کلی با 1 با صفر. بیایید ببینیم چگونه تغییر می کند ورود به سیستم N... از آنجایی که لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم عوامل، پس

log (N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log (N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log (N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3;و غیره.

کی ورود به سیستم Nتعدادی عدد کامل را اضافه می کنیم، سپس همیشه می توانیم این عدد را به مشخصه اضافه کنیم، نه به مانتیس.

بنابراین، اگر log N = 2.7804، 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801 و غیره؛

یا اگر log N = 3.5649، سپس 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649 و غیره

از ضرب یک عدد در 10، 100، 1000، ..، به طور کلی در 1 با صفر، مانتیس لگاریتم تغییر نمی کند و مشخصه به تعداد واحدهای صفر در ضریب افزایش می یابد. .

به همین ترتیب، با در نظر گرفتن این که لگاریتم ضریب برابر با لگاریتم سود بدون لگاریتم مقسوم علیه است، به دست می آوریم:

log N / 10 = log N-log 10 = log N -1;

log N / 100 = log N-log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N-log 1000 = log N -3;و غیره.

اگر موافقت کنیم که در هنگام تفریق یک عدد صحیح از لگاریتم، این عدد کامل را از مشخصه کم کنیم و مانتیس را بدون تغییر رها کنیم، می‌توان گفت:

از تقسیم یک عدد بر 1 با صفر، مانتیس لگاریتم تغییر نمی کند و مشخصه به تعداد واحدهای صفر در مقسوم علیه کاهش می یابد.

276. عواقب.از ملک ( ه، دو پیامد زیر را می توان به دست آورد:

آ) مانتیس لگاریتم یک عدد اعشاری از حمل یک اعشار تغییر نمی کند ، زیرا حمل کاما معادل ضرب یا تقسیم بر 10، 100، 1000 و غیره است. بنابراین، لگاریتم اعداد عبارتند از:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

فقط از نظر خصوصیات تفاوت دارند، اما نه در آخوندک ها (به شرطی که همه آخوندک ها مثبت باشند).

ب) آخوندک اعدادی که قسمت مهم یکسانی دارند، اما در انتها فقط در صفر تفاوت دارند، یکسان هستند: بنابراین، لگاریتم اعداد: 23، 230، 2300، 23000 فقط در ویژگی ها متفاوت است.

اظهار نظر. از ویژگی های مشخص شده لگاریتم های اعشاری می توان دریافت که می توانیم ویژگی لگاریتم یک عدد صحیح و یک کسری اعشاری را بدون کمک جداول پیدا کنیم (این راحتی بزرگ لگاریتم های اعشاری است). در نتیجه، تنها یک مانتیس در جداول لگاریتمی قرار می گیرد. علاوه بر این، از آنجایی که یافتن لگاریتم کسرها به یافتن لگاریتم اعداد صحیح خلاصه می شود (لگاریتم کسری = لگاریتم صورت بدون لگاریتم مخرج)، جداول حاوی مانتیس لگاریتم های تنها اعداد صحیح هستند.

فصل سه.

دستگاه و استفاده از جداول چهار رقمی.

277. سیستم های لگاریتم.سیستم لگاریتم مجموعه ای از لگاریتم است که برای یک سری اعداد صحیح متوالی در یک پایه محاسبه می شود. دو سیستم استفاده می شود: سیستم لگاریتم معمولی یا اعشاری که در آن عدد به عنوان مبنا در نظر گرفته می شود 10 ، و سیستم به اصطلاح لگاریتم طبیعی که در آن عدد غیر منطقی است 2,7182818 ... برای محاسبات، از لگاریتم های اعشاری استفاده می شود، به دلیل راحتی که در هنگام فهرست کردن ویژگی های این لگاریتم ها به آن اشاره کردیم.

لگاریتم های طبیعی به نام مخترع لگاریتم، ریاضیدان اسکاتلندی، ناپیروف نیز نامیده می شوند. ناپیر(1550-1617)، و لگاریتم های اعشاری - توسط بریگز به نام پروفسور بریگا(معاصر و دوست ناپیر) که اولین کسی بود که جداول این لگاریتم ها را جمع آوری کرد.

278. تبدیل لگاریتم منفی به لگاریتمی که در آن مانتیس مثبت است و تبدیل معکوس. دیدیم که لگاریتم اعداد کوچکتر از 1 منفی است. این بدان معنی است که آنها از یک ویژگی منفی و یک مانتیس منفی تشکیل شده اند. چنین لگاریتمی همیشه می تواند تبدیل شود تا مانتیس آنها مثبت باشد و مشخصه منفی باقی بماند. برای این کار کافی است یک واحد مثبت به مانتیس و یک واحد منفی به مشخصه اضافه کنید (که البته مقدار لگاریتم را تغییر نمی دهد).

اگر مثلا لگاریتم را داشته باشیم - 2,0873 ، سپس می توانید بنویسید:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

یا به اختصار:

برعکس، هر لگاریتمی با یک مشخصه منفی و یک مانتیس مثبت را می توان به منفی تبدیل کرد. برای انجام این کار کافی است یک واحد منفی را به مانتیس مثبت و یک واحد مثبت را به ویژگی منفی متصل کنید: بنابراین، می توانید بنویسید:

279. شرح جداول چهار رقمی.برای حل اکثر مسائل کاربردی جداول چهار رقمی کاملاً کافی است که رسیدگی به آنها بسیار ساده است. این جداول (با کتیبه بالای «لگاریتم» آنها) در انتهای این کتاب قرار گرفته و قسمت کوچکی از آنها (برای توضیح مکان) در این صفحه چاپ شده است.

لگاریتم ها

لگاریتم تمام اعداد صحیح از 1 قبل از 9999 شامل، با چهار رقم اعشار محاسبه می شود که آخرین رقم این رقم افزایش می یابد 1 در تمام مواردی که اعشار پنجم باید 5 یا بیشتر از 5 باشد. بنابراین، جداول 4 رقمی مانتیس های تقریبی را به دقت نشان می دهند 1 / 2 قسمت ده هزارم (با کمبود یا زیاد).

از آنجایی که مشخصه لگاریتم یک عدد صحیح یا کسری اعشاری است، می‌توانیم بر اساس ویژگی‌های لگاریتم اعشاری، مستقیماً بیاوریم، سپس از جداول باید فقط مانتیس‌ها را بگیریم. باید به خاطر داشت که موقعیت کاما در عدد اعشاری و همچنین تعداد صفرهای انتهای عدد هیچ تاثیری بر مقدار مانتیس ندارد. بنابراین، هنگام یافتن مانتیس برای یک عدد معین، کاما را در این عدد و همچنین صفرهای انتهای آن را در صورت وجود حذف می کنیم و مانتیس عدد صحیح را که بعد از آن تشکیل شده است، پیدا می کنیم. در این صورت ممکن است موارد زیر ظاهر شود.

1) یک عدد صحیح از 3 رقم تشکیل شده است.به عنوان مثال، لازم است مانتیس لگاریتم عدد 536 را پیدا کنیم. دو رقم اول این عدد، یعنی 53، در جداول اولین ستون عمودی سمت چپ یافت می شود (جدول را ببینید) . با یافتن عدد 53، از آن در امتداد خط افقی به سمت راست حرکت می کنیم تا زمانی که تقاطع این خط با ستون عمودی که از اعداد 0، 1، 2، 3، ... 9 در بالا می گذرد. (و پایین) جدول که 3-مین رقم این عدد است، یعنی در مثال ما عدد 6 است. در محل تقاطع، مانتیس 7292 (یعنی 0.7292) متعلق به لگاریتم بدست می آید. عدد 536. به همین ترتیب، برای عدد 508 مانتیسا را ​​0.7059، برای عدد 500 0.6990 و غیره را پیدا می کنیم.

2) یک عدد صحیح از 2 یا 1 رقم تشکیل شده است.سپس به صورت ذهنی یک یا دو صفر به این عدد اختصاص می دهیم و مانتیس را برای عدد سه رقمی که به این ترتیب تشکیل شده است، پیدا می کنیم. به عنوان مثال یک صفر به عدد 51 اختصاص می دهیم که از آن عدد 510 بدست می آید و مانتیس 7070 را پیدا می کنیم. به عدد 5 2 صفر اختصاص می دهیم و مانتیس 6990 و غیره را پیدا می کنیم.

3) یک عدد صحیح در 4 رقم بیان می شود.به عنوان مثال، لازم است که log mantissa 5436 را پیدا کنید. سپس ابتدا در جداول، همانطور که قبلاً نشان داده شد، مانتیس را برای عددی که با 3 رقم اول عدد داده شده نشان داده شده است، یعنی برای 543 پیدا می کنیم (این مانتیس 7348 خواهد بود؛ سپس از آخوندک پیدا شده در امتداد خط افقی به سمت راست (به سمت راست جدول، واقع در پشت خط عمودی پررنگ) به سمت تقاطع با ستون عمودی که از یکی از اعداد عبور می کند حرکت می کنیم: 1, 2 3, . .. 9، ایستاده در بالای (و در پایین) این قسمت از جدول، که رقم 4 عدد داده شده است، یعنی در مثال ما، عدد 6 است. در تقاطع ما تصحیح ( شماره 5) که باید در ذهن مانتیس 7348 اعمال شود تا مانتیس شماره 5436 به دست آید. بنابراین مانتیسا 0.7353 را دریافت می کنیم.

4) یک عدد صحیح در 5 رقم یا بیشتر بیان می شود.سپس تمام ارقام به جز 4 عدد اول را کنار می گذاریم و یک عدد تقریبی چهار رقمی می گیریم و رقم آخر این عدد را در آن 1 افزایش می دهیم. در صورتی که رقم 5 دور انداخته شده عدد 5 یا بیشتر از 5 باشد. بنابراین، به جای 57842، 5784، به جای 30257، 3026، به جای 583263، 5833 و غیره را می گیریم. برای این عدد چهار رقمی گرد، مانتیس را همانطور که توضیح داده شد پیدا کنید.

بر اساس این دستورالعمل ها، به عنوان مثال، لگاریتم اعداد زیر را خواهیم یافت:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

اول از همه، بدون مراجعه به جداول، برخی از ویژگی ها را بیان می کنیم و جایی برای مانتیس باقی می گذاریم که بعد از آن می نویسیم:

log 36.5 = 1، .... log 0.00345 = 3، ....

log 804.7 = 2، .... log 7.2634 = 0، ....

log 0.26 = 1، .... log 3456.86 = 3، ....

log 36.5 = 1.5623; log 0.00345 = 3.5378;

log 804.7 = 2.9057; log 7.2634 = 0.8611;

log 0.26 = 1.4150; log 3456.86 = 3.5387.

280. تذکر... در برخی از جداول چهار رقمی (مثلاً در جداول V. Lorchenko و N. Ogloblina، S. Glazenapa، N. Kamenshchikova) اصلاحات برای رقم 4 این عدد درج نشده است. هنگام برخورد با چنین جداول، شما باید این اصلاحات را با استفاده از یک محاسبه ساده بیابید، که می تواند بر اساس حقیقت زیر انجام شود: اگر اعداد بیش از 100 باشد و اختلاف بین آنها کمتر از 1 باشد، بدون خطای حساس. می توان فرض کرد که تفاوت بین لگاریتم ها متناسب با تفاوت بین اعداد مربوطه است ... مثلاً فرض کنید باید آخوندک مربوط به عدد 5367 را پیدا کنید. این آخوند البته مانند عدد 536.7 است. ما مانتیسا 7292 را در جداول عدد 536 می یابیم. با مقایسه این آخوندک با آخوندک مجاور 7300 مربوط به عدد 537، متوجه می شویم که اگر عدد 536 یک عدد افزایش یابد، آخوندک آن 8 ده هزارم می شود ( 8 به اصطلاح است تفاوت جدولیبین دو مانتیس مجاور)؛ اگر عدد 536 0.7 افزایش یابد، مانتیس آن نه 8 ده هزارم، بلکه مقداری کوچکتر افزایش می یابد. NS ده هزارم که با توجه به تناسب پذیرفته شده باید نسبت های زیر را برآورده کند:

NS : 8 = 0.7: 1; جایی که NS = 8 07 = 5,6,

گرد کردن به 6 ده هزارم. این بدان معنی است که مانتیس برای عدد 536.7 (و بنابراین برای عدد 5367) خواهد بود: 7292 + 6 = 7298.

توجه داشته باشید که یافتن یک عدد میانی توسط دو عدد مجاور در جداول نامیده می شود درون یابیدرون یابی توضیح داده شده در اینجا نامیده می شود متناسب، زیرا بر این فرض استوار است که تغییر لگاریتم متناسب با تغییر عدد است. همچنین خطی نامیده می شود، زیرا فرض می کند که تغییر در تابع لگاریتمی به صورت یک خط مستقیم بیان می شود.

281. حد خطای لگاریتم تقریبی.اگر عددی که لگاریتم برای آن جستجو می شود یک عدد دقیق باشد، فراتر از حاشیه خطای لگاریتم آن که در جداول 4 رقمی یافت می شود، همانطور که گفتیم، می توان آن را گرفت. 1 / 2 قسمت ده هزارم اگر عدد داده شده دقیق نباشد، باید حد خطای دیگری را که ناشی از عدم دقت خود عدد است به این حد خطا اضافه کرد. ثابت شده است (ما این اثبات را حذف می کنیم) که برای چنین محدودیتی می توان محصول را مصرف کرد

آ(د +1) ده هزارم

که در آن آ حاشیه خطا برای نادقیق ترین عدد با این فرض است که قسمت صحیح آن شامل 3 رقم است، آ د تفاوت جدولی مانتیس مربوط به دو عدد سه رقمی متوالی است که بین آنها عدد نادقیق داده شده محصور شده است. بنابراین، حد خطای نهایی لگاریتم با فرمول بیان می شود:

1 / 2 + آ(د +1) ده هزارم

مثال... ورود به سیستم را پیدا کنید π گرفتن برای π عدد تقریبی 3.14، دقیق به 1 / 2 صدم

با حرکت نقطه اعشار بعد از رقم 3 در عدد 3.14، با شمارش از سمت چپ، عدد سه رقمی 314 را دقیقاً به دست می آوریم. 1 / 2 واحدها به این معنی است که حاشیه خطا برای یک عدد غیر دقیق، یعنی چیزی که با حرف تعیین کرده ایم. آ ، اگر 1 / 2 از جداول می یابیم:

log 3.14 = 0.4969.

تفاوت جدولی د بین مانتیس اعداد 314 و 315 14 است، بنابراین خطای لگاریتم یافت شده کمتر خواهد بود.

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 ده هزارم.

از آنجایی که ما در مورد لگاریتم 0.4969 نمی دانیم، آیا لگاریتم با کمبود است یا با مازاد، فقط می توانیم لگاریتم دقیق را تضمین کنیم. π بین 0.4969 - 0.0008 و 0.4969 + 0.0008 است، یعنی 0.4961< log π < 0,4977.

282- عدد لگاریتم را بیابید... برای یافتن یک عدد بر اساس یک لگاریتم داده شده، می توان از همان جداول استفاده کرد که طبق آنها مانتیس این اعداد پیدا می شود. اما استفاده از جداول دیگری که به اصطلاح آنتی لگاریتم ها در آنها قرار می گیرند، یعنی اعداد مربوط به مانتیس داده شده، راحت تر است. این جداول که در بالا با کتیبه «آنتی لگاریتم» مشخص شده اند، در انتهای این کتاب بعد از جداول لگاریتم، قسمت کوچکی از آنها در این صفحه (برای توضیح) قرار داده شده است.

اجازه دهید یک mantissa 2863 4 رقمی داده شود (به مشخصه توجه نمی کنیم) و لازم است عدد صحیح مربوطه را پیدا کنید. سپس، با داشتن جداول آنتی لگاریتم، باید از آنها دقیقاً به همان روشی که قبلاً توضیح داده شد برای یافتن مانتیس برای یک عدد معین استفاده کنید، یعنی: 2 رقم اول مانتیس که در ستون اول سمت چپ پیدا می کنیم. سپس از این اعداد در امتداد خط افقی به سمت راست به تقاطع با ستون عمودی که از رقم سوم مانتیس می آید حرکت می کنیم که باید در ردیف بالا (یا در پایین) جستجو شود. در تقاطع، عدد چهار رقمی 1932 را پیدا می کنیم که مربوط به آخوندک 286 است. سپس از این عدد در امتداد خط افقی به سمت راست حرکت می کنیم تا زمانی که نقطه تقاطع با ستون عمودی که از رقم چهارم مانتیس می رود، حرکت کنیم. در بالا (یا پایین) در میان اعداد 1، 2 قرار داده شده در آنجا، 3، ... 9 یافت می شود. در تقاطع، تصحیح 1 را می یابیم، که باید (به طور ذهنی) به عدد 1032 که قبلاً پیدا شده بود اعمال شود تا عدد مربوطه به دست آید. به مانتیس 2863.

بدین ترتیب این عدد 1933 خواهد بود که پس از آن با توجه به مشخصه باید فرد شاغل را در جای مناسب در عدد 1933 قرار داد. مثلا:

اگر ورود به سیستم ایکس = 3.2863، پس NS = 1933,

„ ورود به سیستم x = 1,2863, „ NS = 19,33,

, ورود به سیستم ایکس = 0,2&63, „ NS = 1,933,

„ ورود به سیستم ایکس = 2 ,2863, „ NS = 0,01933

اینجا مثال های بیشتری است:

ورود به سیستم ایکس = 0,2287, NS = 1,693,

ورود به سیستم ایکس = 1 ,7635, NS = 0,5801,

ورود به سیستم ایکس = 3,5029, NS = 3184,

ورود به سیستم ایکس = 2 ,0436, NS = 0,01106.

اگر آخوندک حاوی 5 یا بیشتر باشد، فقط 4 رقم اول را می گیریم، بقیه را کنار می گذاریم (و اگر رقم پنجم پنج یا بیشتر باشد، رقم چهارم را 1 افزایش می دهیم). به عنوان مثال، به جای mantissa 35478، 3548، به جای 47562، 4756 را می گیریم.

283. تذکر.تصحیح رقم چهارم و بعدی مانتیس را می توان از طریق درون یابی نیز یافت. بنابراین، اگر مانتیس 84357 باشد، پس با یافتن عدد 6966، مربوط به آخوندک 843، می‌توانیم به شرح زیر استدلال کنیم: اگر آخوندک 1 (هزارم) افزایش یابد، یعنی 844 شود، آنگاه عدد به صورت زیر است. از جداول قابل مشاهده است، 16 واحد افزایش می یابد. اگر آخوندک نه 1 (هزارم)، بلکه 0.57 (هزارم) افزایش یابد، آنگاه تعداد افزایش می یابد. NS واحدها و NS باید نسبت ها را برآورده کند:

NS : 16 = 0.57: 1، از این رو x = 16 0,57 = 9,12.

به این معنی که عدد مورد نیاز 6966+ 9.12 = 6975.12 یا (فقط به چهار رقم محدود) 6975 خواهد بود.

284. حد خطای عدد پیدا شده.ثابت شده است که در حالتی که کاما در عدد پیدا شده بعد از رقم 3 از سمت چپ باشد، یعنی زمانی که مشخصه لگاریتم 2 باشد، مجموع را می توان به عنوان حاشیه خطا در نظر گرفت.

جایی که آ حاشیه خطای لگاریتمی (بیان شده در ده هزارم) است که با آن عدد جستجو شده است، و د - تفاوت بین آخوندک دو عدد متوالی سه رقمی که عدد یافت شده بین آنها قرار دارد (با یک کاما بعد از رقم 3 از سمت چپ). وقتی مشخصه 2 نیست، بلکه مقدار دیگری است، کاما در عدد پیدا شده باید به چپ یا راست منتقل شود، یعنی عدد را در توان 10 تقسیم یا ضرب کنیم. در این حالت، خطای نتیجه نیز در همان توان 10 تقسیم یا ضرب خواهد شد.

فرض کنید، برای مثال، ما به دنبال یک عدد توسط لگاریتم هستیم 1,5950 ، که در مورد آن معلوم است که دقت آن به 3 ده هزارم می رسد; بنابراین آ = 3 ... عدد مربوط به این لگاریتم که از جدول آنتی لگاریتم پیدا شده است، می باشد 39,36 ... با حرکت دادن کاما بعد از رقم 3 از سمت چپ، عدد را خواهیم داشت 393,6 بین 393 و 394 ... از جداول لگاریتم می بینیم که تفاوت بین مانتیس مربوط به این دو عدد است. 11 ده هزارم؛ به معنای د = 11 ... خطای عدد 393.6 کمتر خواهد بود

از این رو، خطای عدد 39,36 کمتر خواهد بود 0,05 .

285. اعمال بر روی لگاریتم با ویژگی های منفی.همانطور که از مثال های زیر می بینید، جمع و تفریق لگاریتم ها ساده است:

همچنین ضرب لگاریتم در یک عدد مثبت دشوار نیست، به عنوان مثال:

در مثال آخر، آخوندک مثبت به طور جداگانه در 34 ضرب می شود، سپس مشخصه منفی در 34 ضرب می شود.

اگر لگاریتم یک مشخصه منفی و یک مانتیس مثبت در یک عدد منفی ضرب شود، به دو صورت عمل می کنند: یا لگاریتم داده شده قبلی به منفی تبدیل می شود، یا آخوندک جداگانه ضرب می شود و مشخصه و نتایج با هم ترکیب می شوند. ، مثلا:

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

هنگام تقسیم، دو حالت ممکن است ایجاد شود: 1) مشخصه منفی تقسیم می شود و 2) قابل تقسیم بر مقسوم نیست. در مورد اول، مشخصه و مانتیس به طور جداگانه تقسیم می شوند:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

در حالت دوم، تعداد زیادی واحد منفی به مشخصه اضافه می شود به طوری که عدد حاصل بر مقسوم علیه تقسیم می شود. همان تعداد واحد مثبت به مانتیس اضافه می شود:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

این دگرگونی باید در ذهن انجام شود، بنابراین عمل به این صورت تنظیم می شود:

286. جایگزینی لگاریتم های تفریق شده با عبارت.هنگام محاسبه یک عبارت پیچیده با استفاده از لگاریتم، باید تعدادی لگاریتم اضافه کنید، برخی دیگر کم کنید. در این صورت، با روش معمول انجام اعمال، مجموع جمع لگاریتم ها به طور جداگانه یافت می شود، سپس مجموع آن هایی که تفریق می شود و دومی از مجموع اول کسر می شود. برای مثال، اگر داشته باشیم:

ورود به سیستم NS = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

سپس اجرای معمول اقدامات به صورت زیر ترتیب داده می شود:

با این حال، امکان جایگزینی تفریق با جمع وجود دارد. بنابراین:

اکنون می توانید محاسبه را به این صورت ترتیب دهید:

287. مصادیق محاسبات.

مثال 1... ارزیابی بیان:

اگر A = 0.8216، B = 0.04826، C = 0.005127و D = 7.246.

بیایید لگاریتم این عبارت را در نظر بگیریم:

ورود به سیستم NS= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

حال برای جلوگیری از اتلاف وقت بی مورد و کاهش احتمال خطا، ابتدا تمامی محاسبات را بدون انجام هنوز و در نتیجه بدون مراجعه به جداول ترتیب می دهیم:

پس از آن، جداول را می گیریم و لگاریتم ها را روی فضاهای آزاد باقی مانده می گذاریم:

حد خطاابتدا حاشیه خطای عدد را پیدا می کنیم ایکس 1 = 194,5 مساوی با:

بنابراین، اول از همه، شما باید پیدا کنید آ ، یعنی حاشیه خطای لگاریتم تقریبی که در ده هزارم بیان می شود. فرض کنید که اعداد داده شده الف، ب، جو دیهمه دقیق سپس خطاهای هر لگاریتم به صورت زیر خواهد بود (به ده هزارم):

v logА.......... 1 / 2

v 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 اضافه شد زیرا هنگام تقسیم بر 3 لگاریتم 1.9146، ضریب را گرد کردیم، رقم 5 آن را دور انداختیم، و بنابراین، اشتباه دیگری، کوچکتر، مرتکب شدیم. 1 / 2 ده هزارم).

حالا حاشیه خطای لگاریتم را پیدا می کنیم:

آ = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (ده هزارم).

بیشتر تعریف می کنیم د ... زیرا ایکس 1 = 194,5 ، سپس 2 عدد صحیح متوالی که بین آنها وجود دارد ایکس 1 خواهد بود 194 و 195 ... تفاوت جدولی د بین آخوندک های مربوط به این اعداد برابر است 22 ... از این رو، حاشیه خطا برای عدد ایکس 1 وجود دارد:

زیرا ایکس = ایکس 1 : 10، سپس حاشیه خطا در تعداد ایکس برابر است با 0,3:10 = 0,03 ... بنابراین، عددی که ما پیدا کردیم 19,45 با عدد دقیق کمتر از 0,03 ... از آنجایی که نمی دانیم تقریب ما با کمبود یا زیاده روی است، فقط می توانیم تضمین کنیم که

19,45 + 0,03 > NS > 19,45 - 0,03 ، یعنی

19,48 > NS > 19,42 ,

و بنابراین اگر بپذیریم NS =19,4 ، سپس تقریبی با نقص دقیق 0.1 خواهیم داشت.

مثال 2.محاسبه:

NS = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

از آنجایی که اعداد منفی لگاریتمی ندارند، ابتدا متوجه می شویم:

NS" = (2,31) 3 5 √72

با تجزیه:

ورود به سیستم NS"= 3 log 2.31 + 1/5 log72.

پس از محاسبه، معلوم می شود:

NS" = 28,99 ;

از این رو،

ایکس = - 28,99 .

مثال 3... محاسبه:

لگاریتم پیوسته را نمی توان در اینجا استفاده کرد، زیرا زیر علامت ریشه با umma است. در چنین مواردی، فرمول به صورت جزئی محاسبه می شود.

ابتدا پیدا می کنیم ن = 5 √8 ، بعد از ن 1 = 4 √3 ; در ادامه با جمع ساده تعریف می کنیم ن+ ن 1 و در نهایت محاسبه کنید 3 √ن+ ن 1 ; معلوم می شود:

N = 1.514, ن 1 = 1,316 ; ن+ ن 1 = 2,830 .

ورود به سیستم ایکس= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2.830 = 0,1506 ;

ایکس = 1,415 .

فصل چهار.

معادلات نمایی و لگاریتمی.

288. معادلات نمایی آنهایی هستند که مجهول در آنها گنجانده شده است و لگاریتمی- آنهایی که در آنها مجهول زیر علامت وارد می شود ورود به سیستم... چنین معادلاتی فقط در موارد خاص قابل حل هستند و باید به خصوصیات لگاریتم ها و بر این اصل تکیه کرد که اگر اعداد مساوی باشند، لگاریتم های آنها مساوی است و برعکس، اگر لگاریتم ها مساوی باشند، آنگاه معادله های مربوطه است. اعداد نیز برابر هستند

مثال 1.معادله را حل کنید: 2 ایکس = 1024 .

لگاریتم دو طرف معادله:

مثال 2.معادله را حل کنید: آ 2 برابر - آ ایکس = 1 ... قرار دادن آ ایکس = در ، یک معادله درجه دوم بدست می آوریم:

y 2 - در - 1 = 0 ,

زیرا 1-√5 < 0 ، سپس آخرین معادله غیرممکن است (تابع آ ایکس همیشه یک عدد مثبت است)، و عدد اول نشان می دهد:

مثال 3.معادله را حل کنید:

ورود به سیستم ( a + x) + ثبت نام ( b + x) = ورود به سیستم ( c + x) .

معادله را می توان به صورت زیر نوشت:

ورود به سیستم [( a + x) (b + x)] = ورود به سیستم ( c + x) .

از برابری لگاریتم ها نتیجه می گیریم که اعداد مساوی هستند:

(a + x) (b + x) = c + x .

این یک معادله درجه دوم است که حل آن دشوار نیست.

فصل پنجم.

بهره مرکب، پرداخت های فوری و پرداخت های مدت دار.

289. وظیفه اصلی برای بهره مرکب.سرمایه به چه میزان تبدیل می شود آ روبل، داده شده در رشد توسط آر بهره مرکب، پس از تی سال ها ( تی یک عدد صحیح است)؟

می گویند در صورتی که به اصطلاح «بهره سود» در نظر گرفته شود، سرمایه با بهره مرکب تعلق می گیرد، یعنی در پایان هر سال پول بهره ای که به سرمایه بدهکار است به سرمایه اضافه شود تا آن را افزایش دهد. علاقه در سالهای بعد

هر روبل سرمایه داده شد آر ٪ در عرض یک سال سود خواهد آورد پ / 100 روبل، و بنابراین، هر روبل سرمایه در 1 سال تبدیل می شود 1 + پ / 100 روبل (به عنوان مثال، اگر سرمایه به مبلغ داده شود 5 ٪، سپس هر روبل آن در یک سال تبدیل می شود 1 + 5 / 100 ، یعنی در 1,05 روبل).

برای اختصار کسری را نشان می دهد پ / 100 مثلا یک حرف r ، می توان گفت که هر روبل سرمایه در یک سال تبدیل می شود 1 + r روبل؛ از این رو، آ روبل در 1 سال تبدیل به آ (1 + r ) مالیدن. یک سال بعد، یعنی 2 سال پس از شروع رشد، هر روبل از اینها آ (1 + r ) مالیدن. بازگشت به 1 + r مالش. از این رو، تمام سرمایه تبدیل خواهد شد آ (1 + r ) 2 مالیدن به همین ترتیب، متوجه می‌شویم که سه سال دیگر پایتخت خواهد بود آ (1 + r ) 3 ، چهار سال دیگر وجود خواهد داشت آ (1 + r ) 4 ، ... به طور کلی از طریق تی سال اگر تی یک عدد صحیح وجود دارد، به آن تبدیل می شود آ (1 + r ) تیمالیدن بنابراین، با نشان دادن آدر سرمایه نهایی، فرمول بهره مرکب زیر را خواهیم داشت:

آ = آ (1 + r ) تیجایی که r = پ / 100 .

مثال.بگذار باشد آ =2300 روبل.، پ = 4, تی=20 سال ها؛ سپس فرمول می دهد:

r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2300 (1.04) 20.

برای محاسبه آ، لگاریتم ها را اعمال می کنیم:

ورود به سیستم آ = log 2 300 + 20 log 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617 + 0.3400 = 3.7017.

A = 5031روبل

اظهار نظر.در این مثال مجبور بودیم لاگ 1.04ضربدر 20 ... از آنجایی که شماره 0,0170 یک مقدار تقریبی وجود دارد لاگ 1.04دقیق به 1 / 2 بخش ده هزارم، سپس حاصلضرب این عدد توسط 20 قطعا فقط تا 1 / 2 20، یعنی تا 10 ده هزارم = 1 هزارم. بنابراین در مجموع 3,7017 ما نه تنها برای ده هزارم، بلکه برای هزارم نیز نمی توانیم تضمین کنیم. برای به دست آوردن دقت بیشتر در چنین مواردی، برای تعداد بهتر است 1 + r لگاریتم ها را نه 4 رقمی، بلکه با تعداد ارقام زیاد، مثلاً بگیرید. 7 رقمی برای این منظور، در اینجا جدول کوچکی ارائه می کنیم که در آن لگاریتم های 7 رقمی برای رایج ترین مقادیر نوشته شده است. آر .

290. وظیفه اصلی برای پرداخت های فوری.یک نفر قرض گرفته است آ روبل برای آر % با شرط بازپرداخت بدهی همراه با سود آن در تی سال، در پایان هر سال به همان میزان کمک می کند. این مبلغ چقدر باید باشد؟

مجموع ایکس پرداخت سالانه تحت چنین شرایطی پرداخت فوری نامیده می شود. اجازه دهید دوباره با حرف مشخص کنیم r پول بهره سالانه از 1 روبل، یعنی تعداد پ / 100 ... سپس در پایان سال اول بدهی آ افزایش می یابد به آ (1 + r ) آذا با پرداخت NS روبل خواهد شد آ (1 + r )-NS .

تا پایان سال دوم، هر روبل از این مبلغ به 1 + r روبل، و بنابراین بدهی [ آ (1 + r )-NS ](1 + r ) = آ (1 + r ) 2 - ایکس (1 + r ) و برای پرداخت ایکس روبل معلوم می شود: آ (1 + r ) 2 - ایکس (1 + r ) - NS ... به همین ترتیب مطمئن می شویم که تا پایان سال 3 بدهی خواهد شد

آ (1 + r ) 3 - ایکس (1 + r ) 2 - ایکس (1 + r ) - ایکس ,

و به طور کلی و پایان تی سال این خواهد شد که:

آ (1 + r ) تی - ایکس (1 + r ) t -1 - ایکس (1 + r ) t -2 ... - ایکس (1 + r ) - ایکس ، یا

آ (1 + r ) تی - ایکس [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t -2 + (1 + r ) t -1 ]

چند جمله ای داخل پرانتز مجموع عبارات یک پیشرفت هندسی را نشان می دهد. که اولین عضو را دارد 1 ، آخر ( 1 + r ) t -1و مخرج ( 1 + r ). با فرمول مجموع عبارات یک تصاعد هندسی (بخش 10 فصل 3 § 249) در می یابیم:

و مقدار بدهی پس از آن تی -پرداخت خواهد بود:

با توجه به شرایط مشکل، بدهی در پایان تی -سال باید برابر باشد 0 ; از این رو:

جایی که

هنگام محاسبه این فرمول های پرداخت فوریبا استفاده از لگاریتم، ابتدا باید عدد کمکی را پیدا کنیم ن = (1 + r ) تیتوسط لگاریتم: ورود به سیستم N = تیورود به سیستم (1 + r) ; یافته ن، 1 را از آن کم کنید، سپس مخرج فرمول را بدست می آوریم NS، پس از آن، توسط لگاریتم ثانویه، می یابیم:

ورود به سیستم NS= ورود آ+ log N + log r - log (N - 1).

291. وظیفه اصلی برای کمک های فوری.یک نفر در ابتدای هر سال همان مبلغ را به بانک پرداخت می کند آ مالیدن مشخص کنید که پس از آن چه سرمایه ای از این مشارکت ها ایجاد می شود تی سال اگر بانک پرداخت کند آر بهره مرکب.

دلالت از طریق r پول بهره سالانه از 1 روبل، یعنی. پ / 100 ، ما چنین استدلال می کنیم: تا پایان سال اول، سرمایه خواهد بود آ (1 + r );

در ابتدای سال دوم این مبلغ اضافه می شود آ روبل؛ به این معنی است که در این زمان پایتخت خواهد بود آ (1 + r ) + آ ... تا پایان سال دوم خواهد بود آ (1 + r ) 2 + الف (1 + r );

در آغاز سال سوم، دوباره آ روبل؛ به این معنی است که در این زمان پایتخت خواهد بود آ (1 + r ) 2 + الف (1 + r ) + آ ; تا پایان 3 او خواهد بود آ (1 + r ) 3 + الف (1 + r ) 2 + الف (1 + r ) با ادامه این استدلال بیشتر متوجه می شویم که در پایان تی سرمایه مورد نیاز سال آاراده:

این فرمول کمک های فوری در ابتدای هر سال است.

همین فرمول را می توان با استدلال زیر به دست آورد: قسط اول به آ روبل در حالی که در بانک هستید تی سال، با توجه به فرمول بهره مرکب، به آ (1 + r ) تیمالیدن قسط دوم در بانک بودن یک سال کمتر است، یعنی. تی - 1 سال، تبدیل خواهد شد آ (1 + r ) t- 1مالیدن به همین ترتیب، قسط سوم خواهد داد آ (1 + r ) t- 2و در نهایت آخرین قسط با حضور در بانک فقط به مدت 1 سال اعمال می شود آ (1 + r ) مالیدن. از این رو، سرمایه نهایی آمالیدن اراده:

آ= آ (1 + r ) تی + آ (1 + r ) t- 1 + آ (1 + r ) t- 2 + . . . + آ (1 + r ),

که پس از ساده سازی، فرمول بالا را به دست می دهد.

هنگام محاسبه این فرمول با استفاده از لگاریتم، باید مانند محاسبه فرمول پرداخت های فوری عمل کنید، یعنی ابتدا عدد N = ( 1 + r ) تیبا لگاریتم آن: ورود به سیستم N = تیورود به سیستم(1 + r ) سپس شماره N- 1و حتی پس از آن لگاریتم فرمول را بگیرید:

log A = log آ+ log (1 + r) + log (N - 1) - 1оgr

اظهار نظر.اگر قسط فوری در آ مالیدن نه در ابتدا، بلکه در پایان هر سال (به عنوان مثال، پرداخت فوری انجام می شود NS برای پرداخت بدهی)، سپس، مانند بحث قبلی، در انتها متوجه می شویم تی سرمایه مورد نیاز سال آ"مالیدن خواهد بود (از جمله آخرین قسط آ روبل، بدون بهره):

آ "= آ (1 + r ) t- 1 + آ (1 + r ) t- 2 + . . . + آ (1 + r ) + آ

که برابر است با:

یعنی آ"ظاهر می شود در ( 1 + r ) برابر کمتر آ، که قابل انتظار بود، زیرا هر روبل سرمایه آ"یک سال کمتر از روبل سرمایه مربوطه در بانک قرار دارد آ.