تبدیل عبارات با استفاده از خواص لگاریتم ها، مثال ها، راه حل ها. تبدیل عبارات با لگاریتم، مثال، راه حل تبدیل عبارات نمایی و لگاریتمی مثال

خواص اساسی.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

همین زمینه ها

log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته، اگر لگاریتم ODZ رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان 2.7 و دو برابر سال تولد لئو تولستوی است.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

مثال هایی برای لگاریتم ها

لگاریتم عبارات را بگیرید

مثال 1
ولی). x=10ac^2 (a>0، c>0).

با خواص 3،5 محاسبه می کنیم

2.

3.

مثال 2 اگر x را پیدا کنید

مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، قوانینی در اینجا وجود دارد که نامیده می شوند خواص اساسی.

این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: لوگوکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا این است - همین زمینه ها. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به محاسبه عبارت لگاریتمی کمک می‌کنند حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شود (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

یک وظیفه. مقدار عبارت: log2 48 − log2 3 را بیابید.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته اگر لگاریتم ODZ رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با توجه به فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتم لگاریتم ها نمونه هایی از راه حل ها هستند.

آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه فرمول بندی می کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x قرار دهیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید یکی دو مورد از این موارد را در نظر بگیریم:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

یک وظیفه. مقدار عبارت: log9 100 lg 3 را بیابید.

مبنا و آرگومان لگاریتم اول توان های دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:

به راستی اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b در این درجه عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: این همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" هستند.

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان ها با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه ایالتی بود 🙂

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را خصوصیات نامید - بلکه اینها پیامدهایی از تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر است با یک.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم عدد b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن چنین توانی x () است که در آن برابری درست است

ویژگی های اصلی لگاریتم

ویژگی های فوق باید شناخته شوند، زیرا بر اساس آنها، تقریباً تمام مسائل و مثال ها بر اساس لگاریتم حل می شوند. خواص عجیب و غریب باقی مانده را می توان با دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول های مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها مواجه می شوند. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج لگاریتم هایی هستند که در آنها پایه حتی ده است، نمایی یا دس.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم پایه ده نامیده می شود و به سادگی lg(x) نشان داده می شود.

از سوابق می توان دریافت که اصول اولیه در کارنامه نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که مبنای آن نما (با ln(x)) است.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان 2.7 و دو برابر سال تولد لئو تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم پایه دو مهم دیگر است

مشتق لگاریتم تابع برابر است با یک تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با وابستگی تعیین می شود

مطالب فوق برای شما کافی است تا کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. برای جذب مطالب، من فقط چند مثال رایج از برنامه درسی مدارس و دانشگاه ها را بیان می کنم.

مثال هایی برای لگاریتم ها

لگاریتم عبارات را بگیرید

مثال 1
ولی). x=10ac^2 (a>0، c>0).

با خواص 3،5 محاسبه می کنیم

2.
با ویژگی تفاوت لگاریتم ها، داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از یک سری قوانین به شکل ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتم

مثال 2 اگر x را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، خواص 5 و 13 را تا آخرین ترم اعمال می کنیم

جانشین در ثبت و عزاداری

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح اول.

بگذارید مقدار لگاریتم ها داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: لگاریتم متغیر را بگیرید تا لگاریتم را از مجموع عبارت ها بنویسید

این تازه شروع آشنایی با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانش کسب شده برای حل معادلات لگاریتمی نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را برای موضوع دیگر به همان اندازه مهم - نابرابری های لگاریتمی گسترش می دهیم ...

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، قوانینی در اینجا وجود دارد که نامیده می شوند خواص اساسی.

این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم ها

دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: لوگوکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا این است - همین زمینه ها. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به محاسبه عبارت لگاریتمی کمک می‌کنند حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شود (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

یک وظیفه. مقدار عبارت: log2 48 − log2 3 را بیابید.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.

حذف توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته اگر لگاریتم ODZ رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، یعنی. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید.

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

یک وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با توجه به فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه فرمول بندی می کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x قرار دهیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که امکان مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم وجود دارد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج است.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید یکی دو مورد از این موارد را در نظر بگیریم:

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:

از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.

یک وظیفه. مقدار عبارت: log9 100 lg 3 را بیابید.

مبنا و آرگومان لگاریتم اول توان های دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این شکل نامیده می شود:

به راستی اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b در این درجه عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: این همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" هستند.

مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.

یک وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان ها با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه ایالتی بود 🙂

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را خصوصیات نامید - بلکه اینها پیامدهایی از تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر است با یک.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

محدوده قابل قبول (ODZ) لگاریتم

حالا بیایید در مورد محدودیت ها (ODZ - ناحیه مقادیر مجاز متغیرها) صحبت کنیم.

به یاد داریم که برای مثال، جذر را نمی توان از اعداد منفی گرفت. یا اگر کسری داشته باشیم، مخرج آن نمی تواند برابر با صفر باشد. محدودیت های مشابهی برای لگاریتم وجود دارد:

یعنی هم آرگومان و هم مبنا باید بزرگتر از صفر باشند و پایه نمی تواند برابر باشد.

چرا اینطور است؟

بیایید ساده شروع کنیم: بیایید بگوییم. سپس، برای مثال، عدد وجود ندارد، زیرا هر درجه ای که ما بالا می بریم، همیشه معلوم می شود. علاوه بر این، برای هیچ کدام وجود ندارد. اما در عین حال می تواند با هر چیزی برابر باشد (به همان دلیل - به هر درجه ای برابر است). بنابراین، شی مورد علاقه نیست، و به سادگی از ریاضیات بیرون انداخته شد.

ما در مورد یک مشکل مشابه داریم: در هر درجه مثبت - این، اما به هیچ وجه نمی توان آن را به یک توان منفی رساند، زیرا تقسیم بر صفر نتیجه می دهد (به شما یادآوری می کنم).

وقتی با مشکل افزایش به توان کسری (که به صورت ریشه نمایش داده می شود:. مثلاً (یعنی) مواجه می شویم اما وجود ندارد.

بنابراین، دور انداختن دلایل منفی راحت تر از به هم ریختن آنهاست.

خوب، از آنجایی که پایه a فقط برای ما مثبت است، مهم نیست که چه درجه ای آن را افزایش دهیم، همیشه یک عدد کاملاً مثبت خواهیم داشت. پس استدلال باید مثبت باشد. به عنوان مثال، وجود ندارد، زیرا به هیچ وجه یک عدد منفی نخواهد بود (و حتی صفر، بنابراین وجود ندارد).

در مسائل مربوط به لگاریتم، اولین قدم نوشتن ODZ است. مثالی می زنم:

بیایید معادله را حل کنیم.

تعریف را به یاد بیاورید: لگاریتم قدرتی است که برای بدست آوردن آرگومان، پایه باید به آن افزایش یابد. و به شرط این درجه برابر است با: .

معادله درجه دوم معمولی را بدست می آوریم: . ما آن را با استفاده از قضیه Vieta حل می کنیم: مجموع ریشه ها و حاصل برابر است. برداشتن آسان، اینها اعداد و.

اما اگر بلافاصله هر دوی این اعداد را در پاسخ بگیرید و یادداشت کنید، می توانید 0 امتیاز برای کار دریافت کنید. چرا؟ بیایید فکر کنیم اگر این ریشه ها را در معادله اولیه جایگزین کنیم چه اتفاقی می افتد؟

این به وضوح نادرست است، زیرا پایه نمی تواند منفی باشد، یعنی ریشه "شخص ثالث" است.

برای جلوگیری از چنین ترفندهای ناخوشایندی، باید ODZ را حتی قبل از شروع حل معادله یادداشت کنید:

سپس با دریافت ریشه ها و بلافاصله ریشه را کنار می گذاریم و پاسخ صحیح را می نویسیم.

مثال 1(سعی کن خودت حلش کنی) :

ریشه معادله را پیدا کنید. اگر چندین ریشه وجود دارد، در پاسخ خود ریشه کوچکتر را مشخص کنید.

راه حل:

اول از همه، بیایید ODZ را بنویسیم:

اکنون به یاد می آوریم که لگاریتم چیست: برای به دست آوردن آرگومان به چه قدرتی نیاز دارید که پایه را بالا ببرید؟ در دومی. یعنی:

به نظر می رسد که ریشه کوچکتر برابر است. اما اینطور نیست: طبق ODZ، ریشه شخص ثالث است، یعنی اصلا ریشه این معادله نیست. بنابراین، معادله فقط یک ریشه دارد: .

پاسخ: .

هویت لگاریتمی پایه

تعریف لگاریتم را به صورت کلی به یاد بیاورید:

در برابری دوم به جای لگاریتم جایگزین کنید:

این برابری نامیده می شود هویت لگاریتمی پایه. اگرچه در اصل این برابری فقط متفاوت نوشته شده است تعریف لگاریتم:

این قدرتی است که برای رسیدن به آن باید بالا ببرید.

مثلا:

مثال های زیر را حل کنید:

مثال 2

مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل:

قانون را از بخش: به یاد بیاورید، یعنی هنگام افزایش درجه به توان، شاخص ها ضرب می شوند. بیایید آن را اعمال کنیم:

مثال 3

ثابت کنیم که.

راه حل:

خواص لگاریتم ها

متأسفانه، کارها همیشه به این سادگی نیستند - اغلب ابتدا باید عبارت را ساده کنید، آن را به شکل معمولی برسانید و تنها در این صورت امکان محاسبه مقدار وجود خواهد داشت. انجام این کار با دانستن ساده ترین کار است خواص لگاریتم ها. پس بیایید ویژگی های اصلی لگاریتم ها را بیاموزیم. من هر یک از آنها را ثابت خواهم کرد، زیرا اگر بدانید هر قانون از کجا آمده است، به خاطر سپردن آسان تر است.

همه این ویژگی ها را باید به خاطر بسپارید، بدون آنها، اکثر مشکلات لگاریتم حل نمی شود.

و اکنون در مورد تمام خواص لگاریتم با جزئیات بیشتر.

خاصیت 1:

اثبات:

بگذار پس

ما داریم: , h.t.d.

خاصیت 2: مجموع لگاریتم ها

مجموع لگاریتم هایی با پایه یکسان برابر است با لگاریتم حاصل: .

اثبات:

بگذار پس بگذار پس

مثال:مقدار عبارت را پیدا کنید: .

راه حل: .

فرمولی که به تازگی یاد گرفتید به ساده کردن مجموع لگاریتم‌ها کمک می‌کند، نه تفاوت، بنابراین این لگاریتم‌ها را نمی‌توان فوراً با هم ترکیب کرد. اما می توانید برعکس این کار را انجام دهید - لگاریتم اول را به دو قسمت "تقسیم" کنید: و در اینجا ساده سازی وعده داده شده است:
.
چرا این مورد نیاز است؟ خوب مثلا: چه اهمیتی دارد؟

حالا واضح است که

اکنون کار را برای خود آسان کنید:

وظایف:

پاسخ ها:

ویژگی 3: تفاوت لگاریتم ها:

اثبات:

همه چیز دقیقاً مانند بند 2 است:

بگذار پس

بگذار پس ما داریم:

مثال از نقطه آخر اکنون حتی ساده تر است:

مثال پیچیده تر: . خودتان حدس بزنید چگونه تصمیم بگیرید؟

در اینجا لازم به ذکر است که ما یک فرمول واحد در مورد لگاریتم مربع نداریم. این چیزی شبیه به یک عبارت است - این را نمی توان فوراً ساده کرد.

بنابراین، بیایید از فرمول های مربوط به لگاریتم دور شویم و به این فکر کنیم که بیشتر از چه فرمول هایی در ریاضیات استفاده می کنیم؟ از کلاس هفتم!

این - . شما باید به این واقعیت عادت کنید که آنها همه جا هستند! و در مسائل نمایی و مثلثاتی و غیرمنطقی پیدا می شوند. بنابراین، آنها باید به خاطر بسپارند.

اگر به دو اصطلاح اول دقت کنید، مشخص می شود که اینطور است تفاوت مربع ها:

پاسخ برای بررسی:

خودتان را ساده کنید.

مثال ها

پاسخ ها.

خاصیت 4: استخراج توان از آرگومان لگاریتم:

اثبات:و در اینجا از تعریف لگاریتم نیز استفاده می کنیم: let, then. ما داریم: , h.t.d.

شما می توانید این قانون را اینگونه درک کنید:

یعنی درجه استدلال به عنوان یک ضریب از لگاریتم جلوتر گرفته می شود.

مثال:مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل: .

خودتان تصمیم بگیرید:

مثال ها:

پاسخ ها:

خاصیت 5: استخراج توان از پایه لگاریتم:

اثبات:بگذار پس

ما داریم: , h.t.d.
به یاد داشته باشید: از زمینهدرجه به عنوان ارائه می شود معکوسعدد بر خلاف مورد قبلی!

خاصیت 6: استخراج توان از مبنا و آرگومان لگاریتم:

یا اگر درجات یکسان باشد: .

ویژگی 7: انتقال به پایگاه جدید:

اثبات:بگذار پس

ما داریم: , h.t.d.

خاصیت 8: مبادله مبنا و آرگومان لگاریتم:

اثبات:این یک مورد خاص از فرمول 7 است: اگر جایگزین کنیم، به دست می آید: , p.t.d.

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 4

مقدار عبارت را پیدا کنید.

از خاصیت لگاریتم شماره 2 استفاده می کنیم - مجموع لگاریتم های با پایه یکسان برابر است با لگاریتم حاصل:

مثال 5

مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل:

ما از خاصیت لگاریتم شماره 3 و شماره 4 استفاده می کنیم:

مثال 6

مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل:

با استفاده از ملک شماره 7 - به پایه 2 بروید:

مثال 7

مقدار عبارت را پیدا کنید.

راه حل:

مقاله را چگونه دوست دارید؟

اگر در حال خواندن این خطوط هستید، پس کل مقاله را خوانده اید.

و جالب است!

حالا به ما بگویید مقاله را چگونه دوست دارید؟

آیا حل لگاریتم را یاد گرفته اید؟ اگر نه مشکل چیست؟

در نظرات زیر برای ما بنویسید.

و بله، در امتحانات موفق باشید.

در آزمون دولتی واحد و OGE و به طور کلی در زندگی

مسئله B7 عبارتی را به دست می دهد که باید ساده شود. نتیجه باید یک عدد منظم باشد که بتوان آن را در برگه پاسخنامه نوشت. تمام عبارات مشروط به سه نوع تقسیم می شوند:

1. لگاریتمی،
2. تظاهرات،
3. ترکیب شده.

عبارات نمایی و لگاریتمی در شکل خالص آنها تقریباً هرگز یافت نمی شوند. با این حال، دانستن نحوه محاسبه آنها ضروری است.

به طور کلی، مشکل B7 کاملاً ساده حل می شود و کاملاً در توان یک فارغ التحصیل متوسط ​​است. عدم وجود الگوریتم های واضح با استاندارد و یکنواختی آن جبران می شود. شما می توانید به سادگی از طریق آموزش زیاد یاد بگیرید که چگونه چنین مشکلاتی را حل کنید.

عبارات لگاریتمی

اکثریت قریب به اتفاق مسائل B7 شامل لگاریتم در یک شکل یا شکل دیگر هستند. این موضوع به طور سنتی دشوار در نظر گرفته می شود، زیرا مطالعه آن، به عنوان یک قاعده، در کلاس یازدهم - عصر آمادگی انبوه برای امتحانات نهایی است. در نتیجه، بسیاری از فارغ التحصیلان تصور بسیار مبهمی در مورد لگاریتم دارند.

اما در این کار، هیچ کس به دانش نظری عمیق نیاز ندارد. ما فقط ساده ترین عباراتی را خواهیم دید که نیاز به استدلال مستقیم دارند و ممکن است مستقلاً به آنها مسلط شوند. در زیر فرمول های اساسی وجود دارد که برای مقابله با لگاریتم ها باید بدانید:

علاوه بر این، باید بتوان ریشه ها و کسرها را با توانی با توان گویا جایگزین کرد، در غیر این صورت در برخی عبارات به سادگی چیزی برای بیرون آوردن از زیر علامت لگاریتم وجود نخواهد داشت. فرمول های جایگزین:

یک وظیفه. مقادیر عبارت را پیدا کنید:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

دو عبارت اول به عنوان تفاضل لگاریتم تبدیل می شوند:
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

برای محاسبه عبارت سوم، باید درجه ها را انتخاب کنید - هم در پایه و هم در آرگومان. ابتدا بیایید لگاریتم داخلی را پیدا کنیم:

سپس - خارجی:

ساختارهایی مانند log a log b x برای بسیاری پیچیده و اشتباه به نظر می رسد. در ضمن، این فقط لگاریتم لگاریتم است، یعنی. log a (log b x ). ابتدا لگاریتم داخلی محاسبه می شود (log b x = c ) و سپس لگاریتم بیرونی: log a c .

عبارات نمایی

ما یک عبارت نمایی را به هر ساختاری از شکل a k می‌گوییم، که در آن اعداد a و k ثابت دلخواه هستند و a > 0. روش‌های کار با چنین عباراتی بسیار ساده هستند و در درس‌های جبر کلاس هشتم در نظر گرفته می‌شوند.

در زیر فرمول های اساسی که باید بدانید آورده شده است. استفاده از این فرمول ها در عمل، به عنوان یک قاعده، مشکلی ایجاد نمی کند.

1. a n a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n ) m = a n m ;
4. (a ب) n = a n b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

اگر با یک عبارت پیچیده با قدرت مواجه شد و نحوه برخورد با آن مشخص نیست، از یک تکنیک جهانی استفاده می شود - تجزیه به عوامل اصلی. در نتیجه اعداد بزرگ در پایه درجه ها با عناصر ساده و قابل فهم جایگزین می شوند. سپس فقط اعمال فرمول های فوق باقی می ماند - و مشکل حل خواهد شد.

یک وظیفه. مقادیر عبارت را پیدا کنید: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

راه حل. ما همه پایه های قدرت ها را به عوامل اصلی تجزیه می کنیم:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

وظایف ترکیبی

اگر فرمول ها را بدانید، تمام عبارات نمایی و لگاریتمی به معنای واقعی کلمه در یک خط حل می شوند. با این حال، در مسئله B7، توان ها و لگاریتم ها را می توان با هم ترکیب کرد تا ترکیب های نسبتاً قوی ایجاد کند.

حال از دیدگاه کلی به تبدیل عبارات حاوی لگاریتم می پردازیم. در اینجا ما نه تنها تبدیل عبارات را با استفاده از خواص لگاریتم تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، بلکه تبدیل عبارات را با لگاریتم های عمومی در نظر خواهیم گرفت که نه تنها شامل لگاریتم ها، بلکه توان ها، کسرها، ریشه ها و غیره هستند. طبق معمول، ما تمام مطالب را با مثال های مشخص با توضیحات دقیق راه حل ها ارائه خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

عبارات با لگاریتم و عبارات لگاریتمی

انجام اعمال با کسر

در پاراگراف قبلی، تبدیل های اصلی را که با کسرهای منفرد حاوی لگاریتم انجام می شود، بررسی کردیم. البته این تبدیل‌ها را می‌توان با هر کسر مجزا که بخشی از یک عبارت پیچیده‌تر است انجام داد، برای مثال، مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب کسرهای مشابه را نشان می‌دهد. اما علاوه بر کار با کسرهای منفرد، تبدیل عبارات از این نوع اغلب شامل انجام اقدامات مناسب با کسری است. در مرحله بعد، ما قوانینی را که توسط آنها این اقدامات انجام می شود در نظر خواهیم گرفت.

از کلاس های 5-6، ما قوانینی را می دانیم که بر اساس آن . در مقاله نمای کلی عملیات با کسریما این قواعد را از کسرهای معمولی به کسری‌هایی با شکل کلی A/B گسترش داده‌ایم، که در آن A و B برخی عددی، تحت اللفظی یا عبارت‌های دارای متغیر هستند و B به طور یکسان غیر صفر است. واضح است که کسرهای دارای لگاریتم موارد خاصی از کسرهای عمومی هستند. و در این راستا مشخص است که اعمال با کسری که دارای لگاریتم در رکوردهای آنهاست، طبق همین قوانین انجام می شود. برای مثال:

• برای جمع یا تفریق دو کسر با مخرج یکسان، اعداد را بر اساس آن جمع یا تفریق کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.
• برای جمع یا تفریق دو کسر با مخرج های مختلف، باید آنها را به یک مخرج مشترک برسانید و طبق قانون قبلی اعمال مناسب را انجام دهید.
• برای ضرب دو کسر، باید کسری بنویسید که صورت آن حاصل ضرب کسرهای اصلی و مخرج حاصل ضرب مخرج ها باشد.
• برای تقسیم کسری بر کسری، باید کسری قابل تقسیم را در متقابل مقسوم علیه ضرب کرد، یعنی در کسری که صورت و مخرج آن مرتب شده است.

در اینجا چند مثال برای انجام عملیات با کسرهای حاوی لگاریتم آورده شده است.

مثال.

انجام اعمال با کسرهای حاوی لگاریتم: الف)، ب) ، که در) ، G) .

راه حل.

الف) مخرج کسرهای جمع شده آشکارا یکسان است. بنابراین طبق قانون جمع کسری با مخرج یکسان، اعداد را جمع می کنیم و مخرج را ثابت می گذاریم: .

ب) در اینجا مخرج ها متفاوت است. بنابراین، ابتدا شما نیاز دارید کسری را به مخرج یکسان بیاورید. در مورد ما، مخرج ها قبلاً به عنوان فرآورده ارائه شده اند و باقی مانده است که مخرج کسر اول را بگیریم و عوامل گمشده از مخرج کسر دوم را به آن اضافه کنیم. بنابراین ما یک مخرج مشترک از فرم به دست می آوریم . در این حالت، کسرهای تفریق شده به ترتیب با استفاده از عوامل اضافی به شکل لگاریتم و عبارت x 2 ·(x+1) به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند. پس از آن، کم کردن کسری با مخرج یکسان باقی می ماند که کار دشواری نیست.

پس راه حل این است:

ج) معلوم است که حاصل ضرب کسرها کسری است که صورت آن حاصلضرب اعراض و مخرج حاصلضرب مخرج است، پس

به راحتی می توان فهمید که امکان پذیر است کاهش کسریبا دو و با لگاریتم اعشاری، در نتیجه داریم .

د) از تقسیم کسرها به ضرب می رویم و کسر - مقسوم علیه آن را جایگزین می کنیم. بنابراین

شمارنده کسر حاصل را می توان به صورت نمایش داد ، که از آن ضریب مشترک صورت و مخرج به وضوح قابل مشاهده است - ضریب x، می توانید کسری را با آن کاهش دهید:

پاسخ:

الف) ب) ، که در) ، G) .

لازم به یادآوری است که اقدامات با کسری با در نظر گرفتن ترتیب انجام اعمال انجام می شود: ابتدا ضرب و تقسیم، سپس جمع و تفریق، و اگر براکت وجود داشته باشد، ابتدا اقدامات در پرانتز انجام می شود.

مثال.

اعمال را با کسر انجام دهید .

راه حل.

ابتدا جمع کسری را در پرانتز انجام می دهیم و پس از آن ضرب را انجام می دهیم:

پاسخ:

در این مرحله، باید سه نکته نسبتاً واضح، اما در عین حال مهم را با صدای بلند بیان کنیم:

تبدیل عبارات با استفاده از خواص لگاریتم

اغلب، تبدیل عبارات با لگاریتم شامل استفاده از هویت هایی است که تعریف لگاریتم و . برای مثال، با اشاره به هویت لگاریتمی پایه a log ab =b , a>0 , a≠1 , b>0 , می توانیم عبارت x−5 log 5 7 را به صورت x−7 و فرمول انتقال به پایه جدید ورود به سیستم ، جایی که a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 امکان عبور از عبارت به تفاوت 1−lnx را فراهم می کند.

کاربرد خواص ریشه ها، توان ها، هویت های مثلثاتی و غیره.

عبارات با لگاریتم، علاوه بر خود لگاریتم، تقریباً همیشه دارای قدرت، ریشه، توابع مثلثاتی و غیره هستند. واضح است که برای تبدیل این گونه عبارات در کنار ویژگی های لگاریتم، ممکن است به خواص توان ها، ریشه ها و ... نیاز باشد. ما به طور جداگانه کاربرد هر بلوک از ویژگی ها را برای تبدیل عبارات تجزیه و تحلیل کردیم، پیوندهای مقالات مربوطه را می توان در بخش سایت www.site عبارت ها و تبدیل آنها یافت. در اینجا ما حل چند مثال را در مورد استفاده از خواص در ارتباط با لگاریتم نشان خواهیم داد.

مثال.

ساده سازی بیان .

راه حل.

ابتدا اجازه دهید عبارات را با ریشه تبدیل کنیم. در متغیر ODZ x برای عبارت اصلی (که در مورد ما مجموعه‌ای از اعداد حقیقی مثبت است)، می‌توانید از ریشه به توان‌هایی با توان‌های کسری بروید و سپس از خاصیت ضرب توان با پایه‌های مشابه استفاده کنید: . به این ترتیب،

حالا صورت حساب را به شکل نمایش می دهیم (که به ما اجازه می دهد تا خاصیت درجه را در یک درجه انجام دهیم، در صورت لزوم، تبدیل عبارات را با استفاده از ویژگی های درجه و همچنین نمایش یک عدد را مشاهده کنید، که به شما امکان می دهد مجموع مربع های سینوس و جایگزین کنید. کسینوس همان آرگومان با یک.پس واحد زیر علامت لگاریتم را بدست می آوریم.الف همانطور که می دانید لگاریتم وحدت برابر با صفر است.

بیایید تبدیل های انجام شده را بنویسیم:

صفر در مکعب صفر است، بنابراین به عبارت می رویم .

کسری که صورت آن صفر و مخرج آن غیر صفر است (در مورد ما این درست است، زیرا به راحتی می توان توجیه کرد که مقدار عبارت زیر علامت لگاریتم طبیعی با یک متفاوت است) برابر با صفر است. . به این ترتیب،

تبدیل های بعدی بر اساس تعیین ریشه یک درجه فرد از یک عدد منفی انجام می شود: .

از آنجایی که 2 15 یک عدد مثبت است، پس می‌توانیم خواص ریشه‌ها را اعمال کنیم که منجر به نتیجه نهایی می‌شود: .

پاسخ: