متغیر تصادفی گسسته و ویژگی های عددی آن. قوانین توزیع متغیرهای تصادفی گسسته
یکی از مهمترین مفاهیم نظریه احتمال، مفهوم است متغیر تصادفی.
تصادفینامیده می شوند اندازه، که در نتیجه آزمایش ها مقادیر احتمالی خاصی را می گیرد که از قبل ناشناخته و بسته به دلایل تصادفی است که نمی توان از قبل در نظر گرفت.
متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین مشخص می شوند ایکس, Y, زو غیره یا با حروف بزرگ الفبای لاتین با زیرنویس سمت راست و مقادیری که می توانند مقادیر تصادفی بگیرند - حروف کوچک مربوط به الفبای لاتین ایکس, y, zو غیره.
مفهوم متغیر تصادفی ارتباط نزدیکی با مفهوم رویداد تصادفی دارد. ارتباط با یک رویداد تصادفیدر این واقعیت نهفته است که پذیرش یک مقدار عددی معین توسط یک متغیر تصادفی یک رویداد تصادفی است که با احتمال مشخص می شود 
.
در عمل، دو نوع اصلی از متغیرهای تصادفی وجود دارد:
1. متغیرهای تصادفی گسسته.
2. متغیرهای تصادفی پیوسته.
متغیر تصادفی یک تابع عددی از رویدادهای تصادفی است.
به عنوان مثال، یک متغیر تصادفی تعداد امتیازاتی است که هنگام پرتاب تاس، یا قد دانش آموزی که به طور تصادفی از گروه مطالعه انتخاب شده است، کاهش می یابد.
متغیرهای تصادفی گسستهمتغیرهای تصادفی نامیده می شوند که فقط مقادیری را می گیرند که از یکدیگر دور هستند و می توان آنها را از قبل شمارش کرد.
قانون توزیع(تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از مسائل، دانستن برخی از خصوصیات عددی کمیت مورد بررسی (مثلاً مقدار میانگین آن و انحراف احتمالی از آن) برای پاسخ به سوال مطرح شده کافی است. بیایید ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیریم.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسستههر نسبتی نامیده می شود , ایجاد ارتباط بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه .
قانون توزیع یک متغیر تصادفی را می توان به صورت نمایش داد جداول:
| … | … | ||||
| … | … |
مجموع احتمالات همه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی برابر با یک است، یعنی.
قانون توزیع را می توان به تصویر کشید به صورت گرافیکی: در محور آبسیسا مقادیر احتمالی متغیر تصادفی رسم می شود و در محور ارتین - احتمالات این مقادیر. نقاط به دست آمده توسط بخش هایی به هم متصل می شوند. چند خط ساخته شده نامیده می شود چند ضلعی توزیع.
مثال. یک شکارچی با 4 دور بازی را شلیک می کند تا اولین ضربه یا تمام دورها مصرف شود. احتمال ضربه زدن در اولین شلیک 0.7 است و با هر شلیک بعدی 0.1 کاهش می یابد. یک قانون توزیع برای تعداد فشنگ های مصرف شده توسط شکارچی تهیه کنید.
راه حل.از آنجایی که یک شکارچی با داشتن 4 گلوله، می تواند چهار تیر بزند، سپس یک متغیر تصادفی ایکس- تعداد کارتریج های مصرف شده توسط شکارچی می تواند مقادیر 1، 2، 3، 4 را به خود اختصاص دهد. برای یافتن احتمالات مربوطه، رویدادها را معرفی می کنیم:
- «وقتی بزن من -اهم شات ";
- «از دست دادن در من -شات "، و رویدادها و به صورت جفتی مستقل هستند.
با توجه به شرایط مشکل داریم:
, 
با قضیه ضرب برای رویدادهای مستقل و قضیه جمع برای رویدادهای ناسازگار، متوجه می‌شویم:
(شکارچی با اولین شلیک به هدف زد).
(شکارچی با شلیک دوم به هدف زد).
(شکارچی با شلیک سوم به هدف زد).
(شکارچی با شلیک چهارم به هدف زد یا هر چهار بار را از دست داد).
بررسی کنید: - درست است.
بنابراین، قانون توزیع متغیر تصادفی ایکسبه نظر می رسد:
| 0,7 | 0,18 | 0,06 | 0,06 |
مثال.یک کارگر سه ماشین را اداره می کند. احتمال اینکه دستگاه اول در عرض یک ساعت نیاز به تنظیم نداشته باشد 0.9، دومی 0.8 و سومی 0.7 است. یک قانون توزیع برای تعداد ماشین هایی که در عرض یک ساعت نیاز به تنظیم دارند، تهیه کنید.
راه حل.مقدار تصادفی ایکس- تعداد ماشین هایی که در عرض یک ساعت نیاز به تنظیم دارند می توانند مقادیر 0،1، 2، 3 را دریافت کنند. برای یافتن احتمالات مربوطه، رویدادها را معرفی می کنیم:
- “من- ماشین در عرض یک ساعت نیاز به تنظیم دارد.
- “من- ماشین ابزار در عرض یک ساعت نیازی به تنظیم ندارد.
با شرط مشکل، داریم:
, 
.
تعریف 1
یک متغیر تصادفی $ X $ در صورتی گسسته (ناپیوسته) نامیده می شود که مجموعه مقادیر آن بی نهایت یا متناهی باشد، اما قابل شمارش باشد.
به عبارت دیگر، مقداری گسسته نامیده می شود که بتوان مقادیر آن را شماره گذاری کرد.
شما می توانید یک متغیر تصادفی را با استفاده از قانون توزیع توصیف کنید.
قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته $ X $ را می توان به صورت جدولی مشخص کرد که خط اول آن شامل تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی به ترتیب صعودی است و خط دوم شامل احتمالات مربوط به این موارد است. ارزش های:
تصویر 1.
که در آن $ р1 + р2 + ... + рn = 1 $.
این جدول است توزیع یک متغیر تصادفی گسسته.
اگر مجموعه مقادیر ممکن متغیر تصادفی بی نهایت باشد، سری $ р1 + р2 + ... + рn + ... $ همگرا شده و مجموع آن برابر با 1 دلار خواهد بود.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته $ X $ را می توان به صورت گرافیکی نشان داد، که برای آن یک چند خط در یک سیستم مختصات (مستطیل شکل) ساخته شده است، که به طور متوالی نقاط را با مختصات $ (xi; pi)، i = 1،2، . .. n $. خطی که زنگ زد چند ضلعی توزیع.
شکل 2.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته $ X $ نیز می تواند به صورت تحلیلی نمایش داده شود (با استفاده از فرمول):
$ P (X = xi) = \ varphi (xi)، i = 1،2،3 ... n $.
اقدامات بر روی احتمالات گسسته
هنگام حل بسیاری از مسائل تئوری احتمال، لازم است عملیات ضرب یک متغیر تصادفی گسسته در یک ثابت، اضافه کردن دو متغیر تصادفی، ضرب آنها و تفریق آنها به یک درجه انجام شود. در این موارد، رعایت قوانین زیر در مورد متغیرهای گسسته تصادفی ضروری است:
تعریف 3
با ضربیک متغیر تصادفی گسسته $ X $ روی یک ثابت $ K $ یک متغیر تصادفی گسسته $ Y = KX نامیده می شود، $ که با برابری ها تعیین می شود: $ y_i = Kx_i، \ \ p \ چپ (y_i \ راست) = p \ چپ (x_i \ راست) = p_i، \ \ i = \ خط (1، \ n). $
تعریف 4
دو متغیر تصادفی $ x $ و $ y $ فراخوانی می شوند مستقل، اگر قانون توزیع یکی از آنها به مقادیر احتمالی کمیت دوم بستگی ندارد.
تعریف 5
مجموعدو متغیر تصادفی گسسته مستقل $ X $ و $ Y $ متغیر تصادفی $ Z = X + Y نامیده می شوند، $ با برابری تعیین می شود: $ z_ (ij) = x_i + y_j $, $ P \ چپ (z_ (ij ) \ راست) = P \ چپ (x_i \ راست) P \ چپ (y_j \ راست) = p_ip "_j $, $ i = \ خط (1, n) $, $ j = \ روی خط (1, m) $ , $ P \ چپ (x_i \ راست) = p_i $, $ P \ چپ (y_j \ راست) = p "_j $.
تعریف 6
با ضربدو متغیر تصادفی گسسته مستقل $ X $ و $ Y $ متغیر تصادفی $ Z = XY نامیده می شوند، $ توسط برابری تعیین می شود: $ z_ (ij) = x_iy_j $، $ P \ چپ (z_ (ij) \ راست) = P \ چپ ( x_i \ راست) P \ چپ (y_j \ راست) = p_ip "_j $, $ i = \ خط (1, n) $, $ j = \ خط (1, m) $, $ P \ چپ (x_i \ راست) = p_i $, $ P \ چپ (y_j \ راست) = p "_j $.
بیایید در نظر بگیریم که برخی از محصولات $ x_ (i \ \ \ \ \) y_j $ می توانند با یکدیگر برابر باشند. در این حالت، احتمال جمع حاصل برابر با مجموع احتمالات مربوطه است.
به عنوان مثال، اگر $ x_2 \ \ y_3 = x_5 \ \ y_7، \ $، احتمال x_2y_3 $ (یا همان x_5y_7 $) $ p_2 \ cdot p "_3 + p_5 \ cdot p" _7 خواهد بود. $
موارد فوق در مورد مبلغ نیز صدق می کند. اگر $ x_1 + \ y_2 = x_4 + \ \ y_6، $، آنگاه احتمال $ x_1 + \ y_2 $ (یا همان $ x_4 + \ y_6 $) برابر است $ p_1 \ cdot p "_2 + p_4 \ cdot p" _6 $
متغیرهای تصادفی Letnm $ X $ و $ Y $ توسط قوانین توزیع داده می شوند:
شکل 3.
جایی که $ p_1 + p_2 + p_3 = 1، \ \ \ p "_1 + p" _2 = 1. $ سپس قانون توزیع مجموع $ X + Y $ شکل خواهد داشت.
شکل 4.
و قانون توزیع محصول $ XY $ شکل خواهد داشت
شکل 5.
تابع توزیع
تابع توزیع نیز توضیح کاملی از متغیر تصادفی می دهد.
از نظر هندسی، تابع توزیع به صورت احتمالی توضیح داده می‌شود که متغیر تصادفی $ X $ مقداری را به خود می‌گیرد که در خط عددی با نقطه‌ای در سمت چپ نقطه $ x $ نشان داده می‌شود.
رایج ترین قوانین توزیع متغیرهای تصادفی گسسته را می توان متمایز کرد:
- قانون توزیع دوجمله ای
- قانون توزیع پواسون
- قانون توزیع هندسی
- قانون توزیع فراهندسی
برای توزیع های داده شده از متغیرهای تصادفی گسسته، محاسبه احتمالات مقادیر آنها، و همچنین ویژگی های عددی (انتظار ریاضی، واریانس، و غیره) بر اساس "فرمول" خاصی انجام می شود. بنابراین شناخت این نوع توزیع ها و خواص اساسی آنها بسیار مهم است.
1. قانون توزیع دوجمله ای.
یک متغیر تصادفی گسسته $ X $ از قانون دوجمله ای توزیع احتمال تبعیت می کند اگر مقادیر $ 0, \ 1, \ 2, \\ dots, \ n $ با احتمالات $ P \ چپ (X = k \ راست) = را بگیرد. C ^ k_n \ cdot p ^ k \ cdot (\ چپ (1-p \ راست)) ^ (nk) $. در واقع، متغیر تصادفی $ X $ تعداد وقوع رویداد $ A $ در $ n $ آزمایش مستقل است. قانون توزیع احتمال متغیر تصادفی $ X $:
$ \ شروع (آرایه) (| c | c |)
\ hline
X_i و 0 و 1 و \ نقطه و n \\
\ hline
p_i & P_n \ چپ (0 \ راست) & P_n \ چپ (1 \ راست) & \ نقطه & P_n \ چپ (n \ راست) \\
\ hline
\ پایان (آرایه) $
برای چنین متغیر تصادفی، انتظار ریاضی $ M \ چپ (X \ راست) = np $ است، واریانس $ D \ چپ (X \ راست) = np \ چپ (1-p \ راست) $ است.
مثال ... خانواده دو فرزند دارند. با در نظر گرفتن احتمال تولد یک پسر و یک دختر برابر با $ 0.5، قانون توزیع متغیر تصادفی $ \ xi $ - تعداد پسران خانواده را پیدا کنید.
اجازه دهید متغیر تصادفی $ \ xi $ تعداد پسران خانواده باشد. مقادیری که $ \ xi می تواند بگیرد: \ 0, \ 1, \ 2 $. احتمالات این مقادیر را می توان با فرمول $ P \ چپ (\ xi = k \ راست) = C ^ k_n \ cdot p ^ k \ cdot (\ چپ (1-p \ راست)) ^ (nk ) $، که در آن $ n = 2 $ - تعداد آزمایشات مستقل، $ p = 0.5 $ - احتمال وقوع یک رویداد در یک سری $ n $ آزمایش. ما گرفتیم:
$ P \ چپ (\ xi = 0 \ راست) = C ^ 0_2 \ cdot (0.5) ^ 0 \ cdot (\ چپ (1-0.5 \ راست)) ^ (2-0) = (0، 5) ^ 2 = 0.25؛ دلار
$ P \ چپ (\ xi = 1 \ راست) = C ^ 1_2 \ cdot 0.5 \ cdot (\ چپ (1-0.5 \ راست)) ^ (2-1) = 2 \ cdot 0.5 \ cdot 0.5 = 0.5؛ $
$ P \ چپ (\ xi = 2 \ راست) = C ^ 2_2 \ cdot (0.5) ^ 2 \ cdot (\ چپ (1-0.5 \ راست)) ^ (2-2) = (0، 5) ^ 2 = 0.25 دلار
سپس قانون توزیع متغیر تصادفی $ \ xi $ مطابقت بین مقادیر $ 0 ، \ 1 ، \ 2 $ و احتمالات آنها است ، یعنی:
$ \ شروع (آرایه) (| c | c |)
\ hline
\ xi & 0 و 1 و 2 \\
\ hline
P (\ xi) و 0.25 و 0.5 و 0.25 \\
\ hline
\ پایان (آرایه) $
مجموع احتمالات در قانون توزیع باید برابر با 1 $ باشد، یعنی $ \ جمع _ (i = 1) ^ (n) P (\ xi _ ((\ rm i))) = 0.25 + 0.5 + 0، 25 = 1 دلار.
انتظار $ M \ چپ (\ xi \ راست) = np = 2 \ cdot 0.5 = 1 $، واریانس $ D \ چپ (\ xi \ راست) = np \ چپ (1-p \ راست) = 2 \ cdot 0.5 \ cdot 0.5 = 0.5 $، انحراف استاندارد $ \ sigma \ چپ (\ xi \ راست) = \ sqrt (D \ چپ (\ xi \ راست)) = \ sqrt (0.5 ) \ تقریباً 0.707 دلار.
2. قانون توزیع پواسون.
اگر یک متغیر تصادفی گسسته $ X $ بتواند فقط مقادیر صحیح غیر منفی را بگیرد $ 0, \ 1, \ 2, \\ dots, \ n $ با احتمالات $ P \ چپ (X = k \ راست) = (( (\ lambda) ^ k ) \ over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
اظهار نظر... ویژگی این توزیع این است که، بر اساس داده‌های تجربی، تخمین‌هایی را برای $ M \ چپ (X \ راست)، \ D \ چپ (X \ راست) $ پیدا می‌کنیم، اگر تخمین‌های به‌دست‌آمده نزدیک به یکدیگر باشند، پس دلیلی داریم که ادعا کنیم متغیر تصادفی تابع قانون توزیع پواسون است.
مثال ... نمونه‌هایی از متغیرهای تصادفی، مشمول قانون توزیع پواسون، می‌توانند عبارتند از: تعداد خودروهایی که فردا توسط پمپ بنزین سرویس می‌شوند. تعداد محصولات معیوب در محصولات تولیدی.
مثال ... این کارخانه 500 دلار از محصولات خود را به پایگاه ارسال کرد. احتمال آسیب محصول در حمل و نقل 0.002 دلار است. قانون توزیع متغیر تصادفی $ X $ برابر با تعداد محصولات آسیب دیده را بیابید. که برابر است با $ M \ چپ (X \ راست)، \ D \ چپ (X \ راست) $.
اجازه دهید متغیر تصادفی گسسته $ X $ تعداد محصولات آسیب دیده باشد. چنین متغیر تصادفی از قانون توزیع پواسون با پارامتر $ \ lambda = np = 500 \ cdot 0.002 = 1 $ پیروی می کند. احتمالات مقادیر $ P \ چپ (X = k \ راست) = (((\ lambda) ^ k) \ بیش از (k) است}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$ P \ چپ (X = 0 \ راست) = ((1 ^ 0) \ بیش از (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$ P \ چپ (X = 1 \ راست) = ((1 ^ 1) \ بیش از (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$ P \ چپ (X = 2 \ راست) = ((1 ^ 2) \ بیش از (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$ P \ چپ (X = 3 \ راست) = ((1 ^ 3) \ بیش از (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$ P \ چپ (X = 4 \ راست) = ((1 ^ 4) \ بیش از (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$ P \ چپ (X = 5 \ راست) = ((1 ^ 5) \ بیش از (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$ P \ چپ (X = 6 \ راست) = ((1 ^ 6) \ بیش از (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$ P \ چپ (X = k \ راست) = (((\ lambda) ^ k) \ بیش از (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
قانون توزیع متغیر تصادفی $ X $:
$ \ شروع (آرایه) (| c | c |)
\ hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & K \\
\ hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\ lambda) ^ k) \ بیش از (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\ hline
\ پایان (آرایه) $
برای چنین متغیر تصادفی، انتظار ریاضی و واریانس با یکدیگر برابر است و برابر با پارامتر $ \ lambda $ است، یعنی $ M \ چپ (X \ راست) = D \ چپ (X \ راست) = \ لامبدا = 1 دلار.
3. قانون توزیع هندسی.
اگر یک متغیر تصادفی گسسته $ X $ بتواند فقط مقادیر طبیعی $ 1، \ 2، \ \ نقطه، \ n $ با احتمالات $ P \ چپ (X = k \ راست) = p (\ چپ (1-p) داشته باشد. \ راست)) ^ (k-1)، \ k = 1، \ 2، \ 3، \\ dots $، سپس آنها می گویند که چنین متغیر تصادفی $ X $ از قانون هندسی توزیع احتمال تبعیت می کند. در واقع، به نظر می رسد توزیع هندسی آزمایش های برنولی قبل از اولین موفقیت باشد.
مثال ... نمونه هایی از متغیرهای تصادفی با توزیع هندسی می توانند عبارتند از: تعداد شلیک قبل از اولین ضربه به هدف. تعداد تست های دستگاه قبل از اولین شکست؛ تعداد پرتاب سکه قبل از ضربه زدن به اولین سر و غیره
انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی با توجه به توزیع هندسی به ترتیب عبارتند از: $ M \ چپ (X \ راست) = 1 / p $, $ D \ چپ (X \ راست) = \ چپ (1-p \ راست). ) / p ^ $ 2.
مثال ... در راه ماهی تا محل تخم ریزی یک بند 4 دلاری وجود دارد. احتمال عبور ماهی از هر دروازه $ p = 3/5 $ است. یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی $ X $ بسازید - تعداد دریچه هایی که ماهی قبل از اولین دستگیری در شکاف رد شده است. $ M \ چپ (X \ راست)، \ D \ چپ (X \ راست)، \ \ سیگما \ چپ (X \ راست) $ را پیدا کنید.
اجازه دهید متغیر تصادفی $ X $ تعداد دریچه‌هایی باشد که ماهی قبل از اولین توقف در شکاف رد شده است. چنین متغیر تصادفی تابع قانون هندسی توزیع احتمال است. مقادیری که متغیر تصادفی $ X می تواند بگیرد عبارتند از: $ 1، 2، 3، 4. احتمالات این مقادیر با فرمول محاسبه می شود: $ P \ چپ (X = k \ راست) = pq ^ (k-1) $، که در آن: $ p = 2/5 $ احتمال صید ماهی از طریق قفل است، $ q = 1-p = 3/5 $ احتمال عبور ماهی از قفل است، k $ = 1، \ 2، \ 3، \ 4 $.
$ P \ چپ (X = 1 \ راست) = ((2) \ بیش از (5)) \ cdot (\ چپ (((3) \ روی (5)) \ راست)) ^ 0 = ((2) \ بیش از (5)) = 0.4؛ $
$ P \ چپ (X = 2 \ راست) = ((2) \ بیش از (5)) \ cdot ((3) \ بیش از (5)) = ((6) \ بیش از (25)) = 0.24؛ $
$ P \ چپ (X = 3 \ راست) = ((2) \ بیش از (5)) \ cdot (\ چپ (((3) \ روی (5)) \ راست)) ^ 2 = ((2) \ بیش از (5)) \ cdot ((9) \ بیش از (25)) = ((18) \ بیش از (125)) = 0.144؛ $
$ P \ چپ (X = 4 \ راست) = ((2) \ بیش از (5)) \ cdot (\ چپ ((3) \ روی (5)) \ راست)) ^ 3 + (\ چپ (( (3) \ بیش از (5)) \ راست)) ^ 4 = ((27) \ بیش از (125)) = 0.216. $
$ \ شروع (آرایه) (| c | c |)
\ hline
X_i و 1 و 2 و 3 و 4 \\
\ hline
P \ چپ (X_i \ راست) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\ hline
\ پایان (آرایه) $
ارزش مورد انتظار:
$ M \ چپ (X \ راست) = \ جمع ^ n_ (i = 1) (x_ip_i) = 1 \ cdot 0.4 + 2 \ cdot 0.24 + 3 \ cdot 0.144 + 4 \ cdot 0.216 = 2.176. $
پراکندگی:
$ D \ چپ (X \ راست) = \ جمع ^ n_ (i = 1) (p_i (\ چپ (x_i-M \ چپ (X \ راست) \ راست)) ^ 2 =) 0,4 \ cdot (\ چپ (1-2,176 \ راست)) ^ 2 + 0.24 \ cdot (\ چپ (2-2,176 \ راست)) ^ 2 + 0.144 \ cdot (\ چپ (3-2,176 \ راست)) ^ 2 + $
$ + \ 0.216 \ cdot (\ چپ (4-2.176 \ راست)) ^ 2 \ تقریباً 1.377. $
انحراف معیار:
$ \ sigma \ چپ (X \ راست) = \ sqrt (D \ چپ (X \ راست)) = \ sqrt (1,377) \ تقریباً 1,173. $
4. قانون توزیع هایپرهندسی.
اگر $ N $ اشیاء، که در میان آنها $ m $ اشیاء دارای ویژگی داده شده است. به طور تصادفی، بدون بازگشت، $ n $ اشیاء بازیابی می شوند، که در میان آنها، $ k $ اشیاء دارای ویژگی داده شده هستند. توزیع فراهندسی این امکان را فراهم می کند که این احتمال را که دقیقاً $ k $ اشیاء در نمونه دارای یک خاصیت هستند، تخمین بزنیم. اجازه دهید متغیر تصادفی $ X $ تعداد اشیاء در نمونه با ویژگی معین باشد. سپس احتمالات مقادیر متغیر تصادفی $ X $:
$ P \ چپ (X = k \ راست) = ((C ^ k_mC ^ (n-k) _ (N-m)) \ بیش از (C ^ n_N)) $
اظهار نظر... تابع آماری HYPERGEOMET از $ f_x $ Function Wizard در اکسل امکان تعیین احتمال موفقیت آمیز بودن تعداد معینی از تست ها را فراهم می کند.
$ f_x \ به $ آماری$ \ به $ هایپرژئومت$ \ به $ خوب... یک کادر محاوره ای ظاهر می شود که باید تکمیل شود. در نمودار تعداد_نمونه_نمونهما مقدار $ k $ را مشخص می کنیم. اندازهی نمونهبرابر n $ است. در نمودار #موفقیت_در_جمعیتما مقدار $ m $ را مشخص می کنیم. میزان جمعیتبرابر با N $ است.
انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی گسسته $ X $، با توجه به قانون توزیع هندسی، به ترتیب برابر است با $ M \ چپ (X \ راست) = nm / N $, $ D \ چپ (X \ راست) = ((nm \ چپ (1 - ((m) \ بیش از (N)) \ راست) \ چپ (1 - ((n) \ بیش از (N)) \ راست)) \ بیش از (N-1)) $.
مثال ... واحد اعتبارات بانک 5 نفر متخصص با تحصیلات عالی مالی و 3 نفر متخصص با تحصیلات عالی حقوقی استخدام می کند. مدیریت بانک تصمیم گرفت 3 متخصص را برای ارتقای صلاحیت خود بفرستد و آنها را به صورت تصادفی انتخاب کرد.
الف) یک سری توزیع از تعداد متخصصان دارای تحصیلات مالی عالی که می توانند به سمت توسعه حرفه ای هدایت شوند.
ب) مشخصه های عددی این توزیع را بیابید.
فرض کنید متغیر تصادفی $ X $ تعداد متخصصان دارای تحصیلات مالی بالاتر در بین سه انتخاب شده باشد. مقادیری که $ X می تواند بگیرد عبارتند از: 0, \ 1, \ 2, \ 3 $. این متغیر تصادفی $ X $ بر روی توزیع فوق هندسی با پارامترها توزیع می شود: $ N = 8 $ - اندازه جمعیت، $ m = 5 $ - تعداد موفقیت ها در مجموع، $ n = 3 $ - حجم نمونه، $ k = 0 , \ 1, \ 2, \ 3 $ - تعداد موفقیت در انتخاب. سپس احتمالات $ P \ چپ (X = k \ راست) $ را می توان با فرمول محاسبه کرد: $ P (X = k) = (C_ (m) ^ (k) \ cdot C_ (Nm) ^ (nk) \ بیش از C_ (N) ^ (n)) $. ما داریم:
$ P \ چپ (X = 0 \ راست) = ((C ^ 0_5 \ cdot C ^ 3_3) \ بیش از (C ^ 3_8)) = ((1) \ بیش از (56)) \ تقریباً 0.018 $
$ P \ چپ (X = 1 \ راست) = ((C ^ 1_5 \ cdot C ^ 2_3) \ بیش از (C ^ 3_8)) = ((15) \ بیش از (56)) \ تقریباً 0.268 $
$ P \ چپ (X = 2 \ راست) = ((C ^ 2_5 \ cdot C ^ 1_3) \ بیش از (C ^ 3_8)) = ((15) \ بیش از (28)) \ تقریباً 0.536 $
$ P \ چپ (X = 3 \ راست) = ((C ^ 3_5 \ cdot C ^ 0_3) \ بیش از (C ^ 3_8)) = ((5) \ بیش از (28)) \ تقریباً 0.179 $
سپس سری توزیع متغیر تصادفی $ X $:
$ \ شروع (آرایه) (| c | c |)
\ hline
X_i و 0 و 1 و 2 و 3 \\
\ hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\ hline
\ پایان (آرایه) $
بیایید ویژگی های عددی متغیر تصادفی $ X $ را با فرمول های کلی توزیع ابر هندسی محاسبه کنیم.
$ M \ چپ (X \ راست) = ((nm) \ بیش از (N)) = ((3 \ cdot 5) \ بیش از (8)) = ((15) \ بیش از (8)) = 1875. $
$ D \ چپ (X \ راست) = ((nm \ چپ (1 - ((m) \ بیش از (N)) \ راست) \ چپ (1 - ((n) \ روی (N)) \ راست)) \ بیش از (N-1)) = ((3 \ cdot 5 \ cdot \ چپ (1 - ((5) \ بیش از (8)) \ راست) \ cdot \ چپ (1 - ((3) \ بیش از (8) )) \ راست)) \ بیش از (8-1)) = ((225) \ بیش از (448)) \ تقریباً 0.502. $
$ \ sigma \ چپ (X \ راست) = \ sqrt (D \ چپ (X \ راست)) = \ sqrt (0.502) \ تقریباً 0.7085. $
هدف خدمات... یک ماشین حساب آنلاین برای ایجاد یک جدول توزیع برای متغیر تصادفی X - تعداد آزمایش های انجام شده و محاسبه تمام ویژگی های سری استفاده می شود: انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف استاندارد. گزارش با راه حل در قالب Word تهیه شده است. مثال شماره 1. سه سکه پرتاب می شود. احتمال افتادن نشان با یک پرتاب 0.5 است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی X - تعداد نمادهای حذف شده را ترسیم کنید.راه حل.
احتمال اینکه حتی یک نشان نخورد: P (0) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125
P (1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P (2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
احتمال افتادن سه نشان: P (3) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125
قانون توزیع یک متغیر تصادفی X:
| ایکس | 0 | 1 | 2 | 3 |
| پ | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
مثال شماره 2. احتمال اصابت به هدف توسط یک تیرانداز با یک شلیک برای تیرانداز اول 0.8 است، برای تیرانداز دوم - 0.85. تیراندازان یک گلوله به سمت هدف شلیک کردند. با در نظر گرفتن ضربه زدن به هدف برای تیراندازان فردی به عنوان رویدادی مستقل، احتمال رویداد A را پیدا کنید - دقیقاً یک ضربه به هدف.
راه حل.
رویداد A - یک ضربه به هدف را در نظر بگیرید. گزینه های احتمالی برای وقوع این رویداد به شرح زیر است:
- تیرانداز اول ضربه می زند، تیرانداز دوم از دست می دهد: P (A / H1) = p 1 * (1-p 2) = 0.8 * (1-0.85) = 0.12
- تیرانداز اول از دست داد، تیرانداز دوم به هدف برخورد کرد: P (A / H2) = (1-p 1) * p 2 = (1-0.8) * 0.85 = 0.17
- تیرهای اول و دوم به طور مستقل از یکدیگر به هدف برخورد می کنند: P (A / H1H2) = p 1 * p 2 = 0.8 * 0.85 = 0.68
نمونه هایی از حل مسائل در مبحث "متغیرهای تصادفی".
وظیفه 1 ... 100 بلیط در قرعه کشی صادر شده است. یک برد 50 دلاری بازی شد. و ده برد هر کدام 10 دلار. قانون توزیع مقدار X - هزینه سود ممکن را پیدا کنید.
راه حل. مقادیر احتمالی X: x 1 = 0; ایکس 2 = 10 و x 3 = 50. از آنجایی که 89 بلیط «خالی» وجود دارد، پس ص 1 = 0.89، احتمال برنده شدن 10 دلار است. (10 بلیط) - ص 2 = 0.10 و برای برنده شدن 50 دلار. - پ 3 = 0.01. بدین ترتیب:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
کنترل آسان:.
وظیفه 2. احتمال اینکه خریدار آگهی محصول را از قبل خوانده باشد 0.6 است (p = 0.6). کنترل انتخابی کیفیت تبلیغات با مصاحبه با خریداران قبل از اولین کسی که آگهی را از قبل مطالعه کرده است انجام می شود. یک سری توزیع از تعداد خریداران مورد بررسی را ترسیم کنید.
راه حل. با توجه به شرط مسئله، p = 0.6. کجا: q = 1 -p = 0.4. با جایگزینی این مقادیر، دریافت می کنیم:و یک سری توزیع بسازید:
|
p i |
0,24 |
وظیفه 3. یک کامپیوتر از سه عنصر مستقل تشکیل شده است: یک واحد سیستم، یک مانیتور و یک صفحه کلید. با یک افزایش شدید ولتاژ، احتمال خرابی هر عنصر 0.1 است. بر اساس توزیع برنولی، قانون توزیع را برای تعداد عناصر خراب در هنگام افزایش ولتاژ در شبکه ترسیم کنید.
راه حل. در نظر گرفتن توزیع برنولی(یا دو جمله ای): احتمال اینکه در n رویداد آزمایشی A دقیقاً ظاهر می شودک یک بار: 
، یا:
|
q n |
پ n |
V بیایید به مشکل برگردیم.
مقادیر احتمالی X (تعداد خرابی):
x 0 = 0 - هیچ یک از عناصر شکست خورد.
x 1 = 1 - شکست یک عنصر.
x 2 = 2 - شکست دو عنصر.
x 3 = 3 - خرابی همه عناصر.
از آنجایی که، با شرط، p = 0.1، سپس q = 1 - p = 0.9. با استفاده از فرمول برنولی به دست می آوریم
, ,
, .
کنترل: .
بنابراین، قانون توزیع مورد نظر:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
مشکل 4... تولید 5000 گلوله احتمال اینکه یک کارتریج معیوب باشد 
... احتمال اینکه دقیقاً 3 کارتریج معیوب در کل دسته وجود داشته باشد چقدر است؟
راه حل. مناسب توزیع پواسون: این توزیع برای تعیین احتمال بسیار بزرگ استفاده می شود
تعداد آزمایش‌ها (آزمایش‌های انبوه)، که در هر یک از آنها احتمال رویداد A بسیار کم است، رویداد A k بار رخ می‌دهد: 
، جایی که .
در اینجا n = 5000، p = 0.0002، k = 3. سپس احتمال لازم را پیدا می کنیم: 
.
مشکل 5... هنگام تیراندازی تا اولین ضربه با احتمال ضربه p = 0.6 هنگام شلیک، باید احتمال وقوع ضربه در شلیک سوم را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید یک توزیع هندسی را اعمال کنیم: اجازه دهید آزمایش‌های مستقلی انجام شود که در هر یک از آنها رویداد A احتمال وقوع p را دارد (و عدم وقوع q = 1 - p). آزمایشات به محض اینکه رویداد A پایان می یابد.
در چنین شرایطی، احتمال وقوع رویداد A در آزمون k با فرمول: تعیین می شود. در اینجا p = 0.6; q = 1 - 0.6 = 0.4؛ k = 3. بنابراین،.
مشکل 6... اجازه دهید قانون توزیع یک متغیر تصادفی X داده شود:
مقدار مورد انتظار را پیدا کنید.
راه حل. ...
توجه داشته باشید که معنای احتمالی انتظار ریاضی، مقدار متوسط یک متغیر تصادفی است.
مسئله 7... واریانس یک متغیر تصادفی X را با قانون توزیع زیر بیابید:
راه حل. اینجا .
قانون توزیع مربع کمیت X 2 :
|
ایکس 2 |
|||
واریانس مورد نظر:.
پراکندگی اندازه گیری انحراف (پراکندگی) یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن را مشخص می کند.
مسئله 8... اجازه دهید یک متغیر تصادفی با توزیع داده شود:
|
10 متر |
|||
مشخصه های عددی آن را بیابید.
راه حل: m, m 2 ,
م 2 ، م.
در مورد یک متغیر تصادفی X می توان گفت - انتظار ریاضی آن 6.4 متر با واریانس 13.04 متر است. 2 ، یا - انتظار ریاضی آن 6.4 متر با انحراف m است. فرمول دوم واضح تر است.
وظیفه 9.
مقدار تصادفیایکس توسط تابع توزیع داده شده است: 
.
این احتمال را پیدا کنید که در نتیجه آزمایش، مقدار X مقدار محصور در بازه را بگیرد. 
.
راه حل. احتمال اینکه X از یک بازه معین مقداری بگیرد برابر است با افزایش تابع انتگرال در این بازه، یعنی. ... در مورد ما و بنابراین
.
وظیفه 10. متغیر تصادفی گسستهایکس توسط قانون توزیع ارائه شده است:
تابع توزیع را پیدا کنید F (x ) و نمودار آن را بسازید.
راه حل. از آنجایی که تابع توزیع،
برای 
، سپس
در ;
در ;
در ;
در ;
نمودار مربوطه:
مسئله 11.متغیر تصادفی پیوستهایکس توسط تابع توزیع دیفرانسیل ارائه شده است: 
.
احتمال ضربه را پیدا کنید X در بازه
راه حل. توجه داشته باشید که این یک مورد خاص از قانون توزیع نمایی است.
بیایید از فرمول استفاده کنیم: 
.
وظیفه 12. مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی گسسته X را که توسط قانون توزیع ارائه شده است، بیابید:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2:
|
تابع لاپلاس است.
