Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen

Zerlegung einer Funktion in eine Reihe von Taylor, Maclaurin und Laurent auf der Website zum Trainieren praktischer Fähigkeiten. Diese Reihenentwicklung einer Funktion gibt Mathematikern eine Vorstellung davon, wie man den ungefähren Wert einer Funktion irgendwann in ihrem Definitionsbereich abschätzen kann. Es ist viel einfacher, einen solchen Funktionswert zu berechnen, als die Bredis-Tabelle zu verwenden, die im Computerzeitalter so veraltet ist. Eine Funktion zu einer Taylor-Reihe zu entwickeln bedeutet, die Koeffizienten vor den linearen Funktionen dieser Reihe zu berechnen und in der richtigen Form zu schreiben. Die Schüler verwechseln diese beiden Reihen und verstehen nicht, was ein allgemeiner Fall und was ein Sonderfall der zweiten ist. Wir erinnern Sie ein für alle Mal daran, dass die Maclaurin-Reihe ein Sonderfall der Taylor-Reihe ist, das heißt, es ist die Taylor-Reihe, aber an der Stelle x = 0. Alle kurzen Aufzeichnungen über die Entwicklung bekannter Funktionen, wie z ^x, Sin(x), Cos(x) und andere, das sind Erweiterungen in einer Taylor-Reihe, aber am Punkt 0 für das Argument. Für Funktionen eines komplexen Arguments ist die Laurent-Reihe das häufigste Problem in der TFKT, da sie eine zweiseitige unendliche Reihe darstellt. Es ist die Summe zweier Zeilen. Wir schlagen vor, dass Sie sich ein Beispiel für die Zerlegung direkt auf der Website ansehen. Dies ist sehr einfach, indem Sie auf „Beispiel“ mit einer beliebigen Nummer und dann auf die Schaltfläche „Lösung“ klicken. Dieser Erweiterung einer Funktion zu einer Reihe ist die Majorisierungsreihe zugeordnet, die die ursprüngliche Funktion in einem bestimmten Bereich entlang der Ordinatenachse begrenzt, wenn die Variable zum Abszissenbereich gehört. Die Vektoranalyse wird mit einer anderen interessanten Disziplin in der Mathematik verglichen. Da jeder Begriff untersucht werden muss, wird viel Zeit für den Prozess benötigt. Jede Taylor-Reihe kann einer Maclaurin-Reihe zugeordnet werden, indem x0 durch Null ersetzt wird, aber für die Maclaurin-Reihe ist die umgekehrte Darstellung der Taylor-Reihe manchmal nicht offensichtlich. Auch wenn es in seiner reinen Form nicht erforderlich ist, ist es für die allgemeine Selbstentwicklung interessant. Jede Laurent-Reihe entspricht einer zweiseitigen unendlichen Potenzreihe in ganzzahligen Potenzen von z-a, also einer Reihe vom gleichen Taylor-Typ, aber etwas unterschiedlich in der Berechnung der Koeffizienten. Auf den Konvergenzbereich der Laurent-Reihe werden wir etwas später, nach mehreren theoretischen Berechnungen, eingehen. Wie im vorigen Jahrhundert ist eine stufenweise Erweiterung einer Funktion zu einer Reihe nur durch das Zurückführen der Terme auf einen gemeinsamen Nenner kaum zu erreichen, da die Funktionen in den Nennern nichtlinear sind. Die ungefähre Berechnung des Funktionswerts erfordert die Formulierung von Problemen. Denken Sie daran, dass, wenn das Argument der Taylorreihe eine lineare Variable ist, die Entwicklung in mehreren Schritten erfolgt, aber ein völlig anderes Bild, wenn eine komplexe oder nichtlineare Funktion als Argument der zu entwickelnden Funktion fungiert, dann Der Prozess, eine solche Funktion in einer Potenzreihe darzustellen, liegt auf der Hand, denn auf diese Weise ist es einfach, wenn auch ungefähr, aber den Wert an jedem Punkt des Definitionsbereichs mit einem minimalen Fehler zu berechnen, der wenig hat Auswirkung auf weitere Berechnungen. Das gilt auch für die Maclaurin-Reihe. wenn es notwendig ist, die Funktion am Nullpunkt zu berechnen. Die Laurent-Reihe selbst wird hier jedoch durch eine Ebenenentwicklung mit imaginären Einheiten dargestellt. Nicht ohne Erfolg wird auch die richtige Lösung des Problems im Laufe des Gesamtprozesses sein. In der Mathematik ist dieser Ansatz nicht bekannt, aber objektiv vorhanden. Als Ergebnis kann man auf sogenannte punktweise Teilmengen schließen, und bei der Entwicklung einer Funktion in einer Reihe muss man dafür bekannte Methoden anwenden, wie zum Beispiel die Anwendung der Ableitungstheorie. Wieder einmal sind wir von der Richtigkeit des Lehrers überzeugt, der seine Annahmen über die Ergebnisse der Nachrechnungen gemacht hat. Beachten Sie, dass die nach allen Regeln der Mathematik erhaltene Taylor-Reihe existiert und auf der gesamten numerischen Achse definiert ist. Vergessen Sie jedoch, liebe Benutzer des Website-Dienstes, nicht die Form der ursprünglichen Funktion, da sich dies herausstellen kann dass es zunächst notwendig ist, den Definitionsbereich der Funktion festzulegen, also diejenigen Punkte auszuschreiben und von weiteren Betrachtungen auszuschließen, an denen die Funktion nicht im Definitionsbereich der reellen Zahlen definiert ist. Dies zeigt sozusagen Ihre Schnelligkeit bei der Lösung des Problems. Die Konstruktion der Maclaurin-Reihe mit einem Nullwert des Arguments wird keine Ausnahme von dem sein, was gesagt wurde. Gleichzeitig hat niemand den Prozess der Ermittlung des Definitionsbereichs einer Funktion abgebrochen, und Sie müssen diese mathematische Aktion mit aller Ernsthaftigkeit angehen. Wenn die Laurent-Reihe den Hauptteil enthält, wird der Parameter "a" als isolierter singulärer Punkt bezeichnet, und die Laurent-Reihe wird im Ring erweitert - dies ist der Schnittpunkt der Konvergenzbereiche ihrer Teile, aus denen die entsprechenden Satz folgt. Aber nicht alles ist so schwierig, wie es einem unerfahrenen Schüler auf den ersten Blick erscheinen mag. Nachdem man nur die Taylor-Reihe studiert hat, kann man die Laurent-Reihe leicht verstehen – ein verallgemeinerter Fall für die Erweiterung des Zahlenraums. Jede Entwicklung einer Funktion in eine Reihe kann nur an einem Punkt im Definitionsbereich der Funktion erfolgen. Man sollte die Eigenschaften solcher Funktionen berücksichtigen, zum Beispiel Periodizität oder unendliche Differenzierbarkeit. Wir empfehlen Ihnen auch, die Tabelle der vorgefertigten Erweiterungen in der Taylor-Reihe der Elementarfunktionen zu verwenden, da eine Funktion durch bis zu Dutzende Potenzreihen dargestellt werden kann, die sich voneinander unterscheiden, was aus der Verwendung unserer Online ersichtlich ist Taschenrechner. Die Online-Serie von Maclaurin ist einfacher als je zuvor zu bestimmen, wenn Sie den einzigartigen Website-Service verwenden, müssen Sie nur die richtige schriftliche Funktion eingeben und Sie erhalten die präsentierte Antwort in Sekundenschnelle, sie wird garantiert genau und in einer standardisierten schriftlichen Form sein . Sie können das Ergebnis sofort in einer sauberen Kopie zur Abgabe an den Lehrer umschreiben. Es wäre richtig, zuerst die Analytizität der betrachteten Funktion in Ringen zu bestimmen und dann eindeutig zu sagen, dass sie in allen solchen Ringen in einer Laurent-Reihe entwickelt werden kann. Ein wichtiger Moment ist, die Mitglieder der Laurent-Reihe mit negativen Abschlüssen nicht aus den Augen zu verlieren. Konzentrieren Sie sich so weit wie möglich darauf. Nutzen Sie den Satz von Laurent über die Entwicklung einer Funktion in eine Reihe ganzzahliger Potenzen.

Wie füge ich mathematische Formeln auf der Website ein?

Wenn Sie einmal eine oder zwei mathematische Formeln zu einer Webseite hinzufügen müssen, dann geht das am einfachsten wie im Artikel beschrieben: Mathematische Formeln werden einfach in Form von Bildern in die Seite eingefügt, die Wolfram Alpha automatisch generiert. Neben der Einfachheit trägt diese universelle Methode dazu bei, die Sichtbarkeit der Website in Suchmaschinen zu verbessern. Es funktioniert schon lange (und ich denke, es wird ewig funktionieren), aber es ist moralisch überholt.

Wenn Sie andererseits auf Ihrer Website ständig mathematische Formeln verwenden, empfehle ich Ihnen, MathJax zu verwenden, eine spezielle JavaScript-Bibliothek, die mathematische Notationen in Webbrowsern mit MathML-, LaTeX- oder ASCIIMathML-Markup anzeigt.

Es gibt zwei Möglichkeiten, mit der Verwendung von MathJax zu beginnen: (1) Mit einem einfachen Code können Sie schnell ein MathJax-Skript mit Ihrer Site verbinden, das automatisch zum richtigen Zeitpunkt von einem Remote-Server geladen wird (Liste der Server); (2) Laden Sie das MathJax-Skript von einem Remote-Server auf Ihren Server hoch und verbinden Sie es mit allen Seiten Ihrer Website. Die zweite Methode ist komplizierter und zeitaufwändiger und ermöglicht es Ihnen, das Laden der Seiten Ihrer Website zu beschleunigen, und wenn der übergeordnete MathJax-Server aus irgendeinem Grund vorübergehend nicht verfügbar ist, hat dies keine Auswirkungen auf Ihre eigene Website. Trotz dieser Vorteile habe ich mich für die erste Methode entschieden, da sie einfacher und schneller ist und keine technischen Fähigkeiten erfordert. Folgen Sie meinem Beispiel und innerhalb von 5 Minuten können Sie alle Funktionen von MathJax auf Ihrer Website nutzen.

Sie können das MathJax-Bibliotheksskript von einem Remote-Server mit zwei Codeoptionen verbinden, die von der Haupt-MathJax-Website oder von der Dokumentationsseite stammen:

Eine dieser Codeoptionen muss kopiert und in den Code Ihrer Webseite eingefügt werden, vorzugsweise zwischen den Tags Und oder direkt nach dem Tag . Gemäß der ersten Option lädt MathJax schneller und verlangsamt die Seite weniger. Die zweite Option verfolgt und lädt jedoch automatisch die neuesten Versionen von MathJax. Wenn Sie den ersten Code einfügen, muss dieser regelmäßig aktualisiert werden. Wenn Sie den zweiten Code einfügen, werden die Seiten langsamer geladen, aber Sie müssen MathJax-Updates nicht ständig überwachen.

Der einfachste Weg, MathJax zu verbinden, ist in Blogger oder WordPress: Fügen Sie im Site Control Panel ein Widget hinzu, das zum Einfügen von JavaScript-Code von Drittanbietern entwickelt wurde, kopieren Sie die erste oder zweite Version des oben dargestellten Ladecodes hinein und platzieren Sie das Widget näher an den Anfang des Templates (das ist übrigens überhaupt nicht nötig, da das MathJax-Skript asynchron geladen wird). Das ist alles. Lernen Sie jetzt die MathML-, LaTeX- und ASCIIMathML-Markup-Syntax und Sie können mathematische Formeln in Ihre Webseiten einbetten.

Jedes Fraktal wird nach einer bestimmten Regel aufgebaut, die konsequent und unbegrenzt oft angewendet wird. Jede solche Zeit wird als Iteration bezeichnet.

Der iterative Algorithmus zur Konstruktion eines Menger-Schwamms ist recht einfach: Der ursprüngliche Würfel mit der Seite 1 wird durch Ebenen parallel zu seinen Flächen in 27 gleiche Würfel geteilt. Ein zentraler Würfel und 6 benachbarte Würfel entlang der Flächen werden davon entfernt. Es stellt sich ein Satz heraus, der aus 20 verbleibenden kleineren Würfeln besteht. Machen wir dasselbe mit jedem dieser Würfel, erhalten wir ein Set bestehend aus 400 kleineren Würfeln. Wenn wir diesen Prozess unbegrenzt fortsetzen, erhalten wir den Menger-Schwamm.

Studenten der höheren Mathematik sollten sich darüber im Klaren sein, dass die Summe einiger Potenzreihen, die zum Konvergenzintervall der uns gegebenen Reihe gehören, eine stetige und unbegrenzt oft differenzierte Funktion ist. Es stellt sich die Frage: Kann man behaupten, dass eine gegebene beliebige Funktion f(x) die Summe einiger Potenzreihen ist? Das heißt, unter welchen Bedingungen kann die Funktion f(x) durch eine Potenzreihe dargestellt werden? Die Bedeutung dieser Frage liegt darin, dass es möglich ist, die Funktion f(x) näherungsweise durch die Summe der ersten Terme der Potenzreihe, also durch ein Polynom, zu ersetzen. Ein solches Ersetzen einer Funktion durch einen ziemlich einfachen Ausdruck - ein Polynom - ist auch beim Lösen einiger Probleme praktisch, nämlich: beim Lösen von Integralen, beim Rechnen usw.

Es ist bewiesen, dass für einige Funktionen f(x), in denen Ableitungen bis zur (n + 1)-ten Ordnung, einschließlich der letzten, berechnet werden können, in der Nachbarschaft (α - R; x 0 + R) von einigen liegt Punkt x = α Formel:

Diese Formel ist nach dem berühmten Wissenschaftler Brook Taylor benannt. Die Reihe, die aus der vorherigen erhalten wird, heißt Maclaurin-Reihe:

Die Regel, die es ermöglicht, in einer Maclaurin-Reihe zu expandieren:

1. Bestimmen Sie die Ableitungen der ersten, zweiten, dritten ... Ordnung.
2. Berechnen Sie die Ableitungen bei x=0.
3. Schreiben Sie die Maclaurin-Reihe für diese Funktion und bestimmen Sie dann das Intervall ihrer Konvergenz.
4. Bestimmen Sie das Intervall (-R;R), wobei der Rest der Maclaurin-Formel ist

R n (x) -> 0 für n -> unendlich. Wenn eine existiert, muss die darin enthaltene Funktion f(x) mit der Summe der Maclaurin-Reihe übereinstimmen.

Betrachten Sie nun die Maclaurin-Serie für einzelne Funktionen.

1. Das erste ist also f(x) = e x. Natürlich hat eine solche Funktion je nach ihren Merkmalen Ableitungen sehr unterschiedlicher Ordnungen und f (k) (x) \u003d e x, wobei k alles ist Lassen Sie uns x \u003d 0 ersetzen. Wir erhalten f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1,2 ... Basierend auf dem Vorstehenden sieht die Reihe e x so aus:

2. Die Maclaurin-Reihe für die Funktion f(x) = sin x. Stellen Sie sofort klar, dass die Funktion für alle Unbekannten neben f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), wobei k gleich einer beliebigen natürlichen Zahl ist. Das heißt, durch einfache Berechnungen können wir darauf schließen die Reihe für f(x) = sin x sieht dann so aus:

3. Versuchen wir nun, die Funktion f(x) = cos x zu betrachten. Es hat Ableitungen beliebiger Ordnung für alle Unbekannten und |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Wir haben also die wichtigsten Funktionen aufgelistet, die in der Maclaurin-Reihe erweitert werden können, aber sie werden für einige Funktionen durch Taylor-Reihen ergänzt. Jetzt werden wir sie auflisten. Es ist auch erwähnenswert, dass Taylor- und Maclaurin-Reihen ein wichtiger Teil der Praxis des Lösens von Reihen in der höheren Mathematik sind. Also, Taylor-Reihe.

1. Die erste wird eine Reihe für f-ii f (x) = ln (1 + x) sein. Wie in den vorherigen Beispielen können wir bei f (x) = ln (1 + x) eine Reihe hinzufügen, indem wir die allgemeine Form der Maclaurin-Reihe verwenden. für diese Funktion ist die Maclaurin-Serie jedoch viel einfacher erhältlich. Nach Integration einer bestimmten geometrischen Reihe erhalten wir eine Reihe für f (x) = ln (1 + x) einer solchen Stichprobe:

2. Und die zweite, die in unserem Artikel endgültig sein wird, wird eine Serie für f (x) \u003d arctg x sein. Für x im Intervall [-1;1] gilt die Entwicklung:

Das ist alles. Dieser Artikel untersuchte die am häufigsten verwendeten Taylor- und Maclaurin-Reihen in der höheren Mathematik, insbesondere an wirtschaftlichen und technischen Universitäten.

„Finde die Maclaurin-Erweiterung von f(x)“- genau so klingt die Aufgabe in der höheren Mathematik, die manche Schüler können, während andere mit Beispielen nicht zurechtkommen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Potenzreihe zu erweitern, hier geben wir eine Methode zum Erweitern von Funktionen in einer Maclaurin-Reihe. Wenn Sie eine Funktion in einer Reihe entwickeln, müssen Sie gut im Berechnen von Ableitungen sein.

Beispiel 4.7 Erweitern Sie eine Funktion zu einer Reihe von Potenzen von x

Berechnungen: Wir führen die Entwicklung der Funktion nach der Maclaurin-Formel durch. Zuerst erweitern wir den Nenner der Funktion zu einer Reihe

Schließlich multiplizieren wir die Erweiterung mit dem Zähler.
Der erste Term ist der Wert der Funktion bei Null f (0) = 1/3.
Finde die Ableitungen der Funktionen erster und höherer Ordnung f (x) und den Wert dieser Ableitungen am Punkt x=0




Außerdem schreiben wir mit dem Muster, den Wert von Ableitungen auf 0 zu ändern, die Formel für die n-te Ableitung

Wir stellen also den Nenner als Erweiterung in der Maclaurin-Reihe dar

Wir multiplizieren mit dem Zähler und erhalten die gewünschte Erweiterung der Funktion in einer Potenzreihe von x

Wie Sie sehen können, ist hier nichts kompliziert.
Alle Schlüsselpunkte basieren auf der Fähigkeit, Ableitungen zu berechnen und den Wert der Ableitung höherer Ordnungen schnell auf Null zu verallgemeinern. Die folgenden Beispiele helfen Ihnen zu lernen, wie Sie eine Funktion schnell zu einer Reihe erweitern können.

Beispiel 4.10 Finden Sie die Maclaurin-Entwicklung einer Funktion

Berechnungen: Wie Sie vielleicht schon erraten haben, entwickeln wir den Kosinus im Zähler in einer Reihe. Dazu können Sie Formeln für infinitesimale Werte verwenden oder die Kosinusentwicklung in Form von Ableitungen herleiten. Als Ergebnis gelangen wir zur nächsten Reihe in Potenzen von x

Wie Sie sehen, haben wir ein Minimum an Berechnungen und eine kompakte Darstellung der Serienerweiterung.

Beispiel 4.16 Erweitern einer Funktion zu einer Reihe von Potenzen von x:
7/(12-x-x^2)
Berechnungen: Bei dieser Art von Beispielen ist es notwendig, den Bruch durch die Summe einfacher Brüche zu erweitern.
Wie das geht, werden wir jetzt nicht zeigen, aber mit Hilfe unbestimmter Koeffizienten werden wir zur Summe der Ex-Brüche gelangen.
Als nächstes schreiben wir die Nenner in Exponentialform

Es bleibt, die Terme mit der Maclaurin-Formel zu erweitern. Indem wir die Terme mit denselben Potenzen von "x" zusammenfassen, stellen wir die Formel für den allgemeinen Term der Erweiterung der Funktion in einer Reihe zusammen



Der letzte Teil des Übergangs zur Reihe am Anfang ist schwierig umzusetzen, da es schwierig ist, die Formeln für gepaarte und ungepaarte Indizes (Potenzen) zu kombinieren, aber mit Übung werden Sie darin besser.

Beispiel 4.18 Finden Sie die Maclaurin-Entwicklung einer Funktion

Berechnungen: Finden Sie die Ableitung dieser Funktion:

Wir entwickeln die Funktion mit einer der McLaren-Formeln zu einer Reihe:

Wir fassen die Reihe Begriff für Begriff auf der Grundlage zusammen, dass beide absolut übereinstimmen. Indem wir die gesamte Reihe Term für Term integrieren, erhalten wir die Entwicklung der Funktion zu einer Reihe in Potenzen von x

Zwischen den letzten beiden Zerlegungszeilen gibt es einen Übergang, der Sie am Anfang viel Zeit in Anspruch nehmen wird. Die Verallgemeinerung der Reihenformel ist nicht für jeden einfach, machen Sie sich also keine Sorgen, dass Sie keine schöne und kompakte Formel erhalten.

Beispiel 4.28 Finden Sie die Maclaurin-Erweiterung der Funktion:

Wir schreiben den Logarithmus wie folgt

Unter Verwendung der Maclaurin-Formel entwickeln wir den Logarithmus der Funktion in einer Reihe in Potenzen von x

Das endgültige Falten ist auf den ersten Blick kompliziert, aber beim Wechseln von Zeichen erhalten Sie immer etwas Ähnliches. Einführungslektion zum Thema Funktionsplanung in Folge ist abgeschlossen. Andere, nicht weniger interessante Zerlegungsschemata werden in den folgenden Materialien ausführlich diskutiert.

Wenn die Funktion f(x) hat ein Intervall, das einen Punkt enthält aber, Ableitungen aller Ordnungen, dann lässt sich darauf die Taylor-Formel anwenden:

wo rn- der sogenannte Residualterm oder der Rest der Reihe, er kann mit der Lagrange-Formel geschätzt werden:

, wobei die Zahl x dazwischen eingeschlossen ist x Und aber.

Wenn für einen gewissen Wert xr n®0 bei n®¥, dann geht die Taylor-Formel für diesen Wert im Grenzfall in eine konvergente Formel über Taylor-Reihe:

Also die Funktion f(x) kann an der betrachteten Stelle zu einer Taylorreihe entwickelt werden x, wenn:

1) es hat Ableitungen aller Aufträge;

2) die konstruierte Reihe konvergiert an diesem Punkt.

Bei aber=0 erhalten wir eine Reihe namens in der Nähe von Maclaurin:

Beispiel 1 f(x)= 2x.

Lösung. Finden wir die Werte der Funktion und ihrer Ableitungen bei x=0

f(x) = 2x, F( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x In2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x In 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 Protokoll 2 2 = Protokoll 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die Formel der Taylor-Reihe einsetzen, erhalten wir:

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist gleich unendlich, also gilt diese Erweiterung für -¥<x<+¥.

Beispiel 2 x+4) für die Funktion f(x)= e x.

Lösung. Bestimmung der Ableitungen der Funktion e x und ihre Werte an der Stelle x=-4.

f(x)= z x, F(-4) = z -4 ;

f¢(x)= z x, f¢(-4) = z -4 ;

f¢¢(x)= z x, f¢¢(-4) = z -4 ;

f(n)(x)= z x, f(n)( -4) = z -4 .

Daher hat die gesuchte Taylorreihe der Funktion die Form:

Diese Zerlegung gilt auch für -¥<x<+¥.

Beispiel 3 . Funktion erweitern f(x)=ln x in einer Reihe nach Grad ( X- 1),

(also in einer Taylorreihe in der Nähe des Punktes x=1).

Lösung. Wir finden die Ableitungen dieser Funktion.

Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir die gewünschte Taylor-Reihe:

Mit Hilfe des d'Alembert-Tests kann man überprüfen, ob die Reihe wann konvergiert

½ X- 1½<1. Действительно,

Die Reihe konvergiert, falls ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При x=2 erhalten wir eine alternierende Reihe, die die Bedingungen des Leibniz-Tests erfüllt. Bei x=0 Funktion ist nicht definiert. Somit ist der Konvergenzbereich der Taylor-Reihe das halboffene Intervall (0;2).

Stellen wir uns die so erhaltenen Entwicklungen in der Maclaurin-Reihe vor (also in einer Umgebung des Punktes x=0) für einige elementare Funktionen:

(2) ,

(3) ,

( die letzte Erweiterung wird aufgerufen Binomialreihe)

Beispiel 4 . Erweitern Sie die Funktion zu einer Potenzreihe

Lösung. In Zerlegung (1) ersetzen wir x auf der - x 2 erhalten wir:

Beispiel 5 . Erweitern Sie die Funktion in einer Maclaurin-Reihe

Lösung. Wir haben

Mit Formel (4) können wir schreiben:

ersetzen statt x in die Formel -X, wir bekommen:

Von hier aus finden wir:

Wenn wir die Klammern erweitern, die Terme der Reihe neu anordnen und ähnliche Terme kürzen, erhalten wir

Diese Reihe konvergiert im Intervall

(-1;1), da sie aus zwei Reihen abgeleitet ist, die jeweils in diesem Intervall konvergieren.

Kommentar .

Die Formeln (1)-(5) können auch verwendet werden, um die entsprechenden Funktionen in einer Taylor-Reihe zu entwickeln, d.h. zur Entwicklung von Funktionen in positive ganzzahlige Potenzen ( Ha). Dazu müssen solche identischen Transformationen an einer gegebenen Funktion durchgeführt werden, um eine der Funktionen (1) - (5) zu erhalten, in denen statt x kostet k( Ha) m , wobei k eine konstante Zahl ist, m eine positive ganze Zahl ist. Es ist oft bequem, die Variable zu ändern T=Ha und erweitern Sie die resultierende Funktion in Bezug auf t in der Maclaurin-Reihe.

Diese Methode veranschaulicht den Satz über die Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funktion in einer Potenzreihe. Der Kern dieses Satzes besteht darin, dass in der Nähe desselben Punktes keine zwei verschiedenen Potenzreihen erhalten werden können, die zu derselben Funktion konvergieren würden, egal wie ihre Entwicklung durchgeführt wird.

Beispiel 6 . Erweitern Sie die Funktion in einer Taylor-Reihe in der Umgebung eines Punktes x=3.

Lösung. Dieses Problem kann nach wie vor mit der Definition der Taylor-Reihe gelöst werden, für die es notwendig ist, die Ableitungen der Funktionen und ihre Werte bei zu finden x=3. Es ist jedoch einfacher, die vorhandene Zerlegung (5) zu verwenden:

Die resultierende Reihe konvergiert bei oder -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Beispiel 7 . Schreiben Sie eine Taylorreihe in Potenzen ( x-1) Funktionen .

Lösung.

Die Reihe konvergiert bei , oder 2< x£5.