Arithmetische Progression eine Zahlenfolge benennen (Mitglieder einer Progression)

Dabei unterscheidet sich jeder nachfolgende Begriff vom vorherigen durch einen Stahlbegriff, der auch genannt wird Schritt- oder Progressionsunterschied.

Wenn Sie also den Schritt der Progression und ihren ersten Term festlegen, können Sie jedes ihrer Elemente mithilfe der Formel finden

Eigenschaften einer arithmetischen Folge

1) Jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit der zweiten Zahl, ist das arithmetische Mittel des vorherigen und nächsten Glieds der Folge

Auch die Umkehrung gilt. Wenn das arithmetische Mittel benachbarter ungerader (gerader) Glieder der Reihe gleich dem dazwischen stehenden Glied ist, dann ist diese Zahlenfolge eine arithmetische Reihe. Durch diese Behauptung ist es sehr einfach, jede Folge zu überprüfen.

Auch durch die Eigenschaft der arithmetischen Progression kann die obige Formel wie folgt verallgemeinert werden

Dies lässt sich leicht überprüfen, wenn wir die Terme rechts vom Gleichheitszeichen schreiben

Es wird in der Praxis oft verwendet, um Berechnungen in Problemen zu vereinfachen.

2) Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge wird durch die Formel berechnet

Merken Sie sich gut die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge, sie ist bei Berechnungen unentbehrlich und in einfachen Lebenssituationen durchaus üblich.

3) Wenn Sie nicht die gesamte Summe finden müssen, sondern einen Teil der Folge, beginnend mit ihrem k-ten Glied, dann wird Ihnen die folgende Summenformel nützlich sein

4) Es ist von praktischem Interesse, die Summe von n Gliedern einer arithmetischen Folge ausgehend von der k-ten Zahl zu finden. Verwenden Sie dazu die Formel

Hier endet der theoretische Stoff und wir gehen zur Lösung von Problemen über, die in der Praxis üblich sind.

Beispiel 1. Finden Sie das vierzigste Glied der arithmetischen Folge 4;7;...

Entscheidung:

Entsprechend der Bedingung haben wir

Definieren Sie den Fortschrittsschritt

Nach der bekannten Formel finden wir das vierzigste Glied der Progression

Beispiel2. Die arithmetische Progression wird durch ihr drittes und siebtes Glied gegeben. Finde den ersten Term der Progression und die Zehnersumme.

Entscheidung:

Wir schreiben die gegebenen Elemente der Progression nach den Formeln

Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten Gleichung, als Ergebnis finden wir den Progressionsschritt

Der gefundene Wert wird in eine der Gleichungen eingesetzt, um den ersten Term der arithmetischen Folge zu finden

Berechnen Sie die Summe der ersten zehn Terme der Progression

Ohne komplexe Berechnungen haben wir alle erforderlichen Werte gefunden.

Beispiel 3. Eine arithmetische Folge wird durch den Nenner und eines seiner Mitglieder gegeben. Ermitteln Sie den ersten Term der Progression, die Summe der 50 Terme ab 50 und die Summe der ersten 100.

Entscheidung:

Lassen Sie uns die Formel für das hundertste Element der Progression schreiben

und finde den ersten

Basierend auf dem ersten finden wir den 50. Term der Progression

Ermitteln der Summe des Teils der Progression

und die Summe der ersten 100

Die Summe der Progression beträgt 250.

Beispiel 4

Finden Sie die Anzahl der Mitglieder einer arithmetischen Folge, wenn:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Entscheidung:

Wir schreiben die Gleichungen in Bezug auf den ersten Term und den Schritt der Progression und definieren sie

Wir setzen die erhaltenen Werte in die Summenformel ein, um die Anzahl der Mitglieder in der Summe zu bestimmen

Vereinfachungen vornehmen

und lösen Sie die quadratische Gleichung

Von den beiden gefundenen Werten ist nur die Zahl 8 für die Problemstellung geeignet. Somit ist die Summe der ersten acht Terme der Progression 111.

Beispiel 5

löse die Gleichung

1+3+5+...+x=307.

Lösung: Diese Gleichung ist die Summe einer arithmetischen Folge. Wir schreiben seinen ersten Term aus und finden den Unterschied der Progression

Oder Arithmetik - das ist eine Art geordnete Zahlenfolge, deren Eigenschaften im Schulkurs Algebra untersucht werden. Dieser Artikel behandelt ausführlich die Frage, wie man die Summe einer arithmetischen Folge findet.

Was ist dieser Fortschritt?

Bevor Sie mit der Betrachtung der Frage fortfahren (wie man die Summe einer arithmetischen Folge findet), sollten Sie verstehen, was besprochen wird.

Jede Folge reeller Zahlen, die durch Addieren (Subtrahieren) eines Wertes von jeder vorherigen Zahl erhalten wird, wird als algebraische (arithmetische) Progression bezeichnet. Diese Definition, übersetzt in die Sprache der Mathematik, hat die Form:

Dabei ist i die Ordnungszahl des Elements der Reihe a i . Wenn Sie also nur eine Anfangsnummer kennen, können Sie die gesamte Serie problemlos wiederherstellen. Der Parameter d in der Formel wird als Progressionsdifferenz bezeichnet.

Es lässt sich leicht zeigen, dass für die betrachtete Zahlenreihe folgende Gleichheit gilt:

ein n \u003d ein 1 + d * (n - 1).

Das heißt, um den Wert des n-ten Elements in der Reihenfolge zu finden, addieren Sie die Differenz d zum ersten Element a 1 n-1 Mal.

Was ist die Summe einer arithmetischen Folge: Formel

Bevor die Formel für die angegebene Menge angegeben wird, lohnt es sich, einen einfachen Sonderfall zu betrachten. Bei einer Folge natürlicher Zahlen von 1 bis 10 müssen Sie ihre Summe finden. Da die Progression (10) nur wenige Terme enthält, ist es möglich, das Problem frontal zu lösen, dh alle Elemente der Reihe nach zu summieren.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Es lohnt sich, eine interessante Sache zu berücksichtigen: Da sich jeder Term vom nächsten um denselben Wert d \u003d 1 unterscheidet, ergibt die paarweise Summierung des ersten mit dem zehnten, des zweiten mit dem neunten usw. dasselbe Ergebnis . Wirklich:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Wie Sie sehen können, gibt es nur 5 dieser Summen, also genau zweimal weniger als die Anzahl der Elemente in der Reihe. Wenn Sie dann die Anzahl der Summen (5) mit dem Ergebnis jeder Summe (11) multiplizieren, erhalten Sie das im ersten Beispiel erhaltene Ergebnis.

Wenn wir diese Argumente verallgemeinern, können wir den folgenden Ausdruck schreiben:

Sn \u003d n * (ein 1 + ein n) / 2.

Dieser Ausdruck zeigt, dass es nicht notwendig ist, alle Elemente in einer Reihe zu summieren, es reicht aus, den Wert des ersten a 1 und des letzten a n sowie die Gesamtzahl der Terme n zu kennen.

Es wird angenommen, dass Gauß zum ersten Mal an diese Gleichheit dachte, als er nach einer Lösung für das von seinem Schullehrer gestellte Problem suchte: die ersten 100 ganzen Zahlen zu summieren.

Summe der Elemente von m bis n: Formel

Die im vorigen Absatz angegebene Formel beantwortet die Frage, wie man die Summe einer arithmetischen Folge (der ersten Elemente) findet, aber oft ist es bei Aufgaben erforderlich, eine Reihe von Zahlen in der Mitte der Folge zu summieren. Wie kann man es machen?

Am einfachsten lässt sich diese Frage anhand des folgenden Beispiels beantworten: Es sei notwendig, die Summe der Terme vom m-ten bis zum n-ten zu finden. Zur Lösung des Problems soll ein gegebenes Segment von m bis n der Progression als neue Zahlenreihe dargestellt werden. In dieser Darstellung ist das m-te Mitglied a m das erste und a n wird mit n-(m-1) nummeriert. In diesem Fall wird bei Anwendung der Standardformel für die Summe der folgende Ausdruck erhalten:

S m n \u003d (n - m + 1) * (am + ein n) / 2.

Beispiel für die Verwendung von Formeln

Da Sie wissen, wie Sie die Summe einer arithmetischen Folge finden, sollten Sie ein einfaches Beispiel für die Verwendung der obigen Formeln betrachten.

Unten ist eine Zahlenfolge, Sie sollten die Summe ihrer Mitglieder finden, beginnend mit dem 5. und endend mit dem 12.:

Die angegebenen Zahlen geben an, dass die Differenz d gleich 3 ist. Mit dem Ausdruck für das n-te Element können Sie die Werte des 5. und 12. Glieds der Progression finden. Es stellt sich heraus:

ein 5 \u003d ein 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Wenn Sie die Werte der Zahlen an den Enden der betrachteten algebraischen Folge kennen und auch wissen, welche Zahlen in der Reihe sie besetzen, können Sie die Formel für die im vorherigen Absatz erhaltene Summe verwenden. Werden:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Es ist erwähnenswert, dass dieser Wert auch anders erhalten werden kann: Finden Sie zuerst die Summe der ersten 12 Elemente mit der Standardformel, berechnen Sie dann die Summe der ersten 4 Elemente mit derselben Formel und subtrahieren Sie dann die zweite von der ersten Summe .

Zum Beispiel die Sequenz \(2\); \(5\); \(acht\); \(elf\); \(14\)… ist eine arithmetische Folge, weil sich jedes nächste Element vom vorherigen um drei unterscheidet (kann vom vorherigen durch Hinzufügen von drei erhalten werden):

In dieser Progression ist die Differenz \(d\) positiv (gleich \(3\)), und daher ist jeder nächste Term größer als der vorherige. Solche Progressionen werden aufgerufen zunehmend.

\(d\) kann aber auch eine negative Zahl sein. zum Beispiel, in arithmetischer Folge \(16\); \(zehn\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… die Progressionsdifferenz \(d\) ist gleich minus sechs.

Und in diesem Fall ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Diese Progressionen werden aufgerufen abnehmend.

Arithmetische Progressionsnotation

Die Progression wird durch einen kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet.

Die Zahlen, die eine Progression bilden, werden sie genannt Mitglieder(oder Elemente).

Sie werden mit demselben Buchstaben wie die arithmetische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht die arithmetische Folge \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aus den Elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) und so weiter.

Mit anderen Worten, für die Progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Lösen von Problemen auf einer arithmetischen Folge

Im Prinzip reichen die obigen Informationen bereits aus, um fast alle Probleme auf einer arithmetischen Progression (einschließlich der an der OGE angebotenen) zu lösen.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen \(b_1=7; d=4\) gegeben. Finden Sie \(b_5\).
Entscheidung:

Antworten: \(b_5=23\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Glieder einer arithmetischen Folge sind gegeben: \(62; 49; 36…\) Finde den Wert des ersten negativen Glieds dieser Folge..
Entscheidung:

	Wir erhalten die ersten Elemente der Folge und wissen, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt. Das heißt, jedes Element unterscheidet sich vom benachbarten um die gleiche Zahl. Finden Sie heraus, welches, indem Sie das vorherige vom nächsten Element subtrahieren: \(d=49-62=-13\).
	Jetzt können wir unsere Progression zum gewünschten (ersten negativen) Element wiederherstellen.
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: \(-3\)

Beispiel (OGE). Mehrere aufeinanderfolgende Elemente einer arithmetischen Folge sind gegeben: \(...5; x; 10; 12.5...\) Finden Sie den Wert des Elements, das mit dem Buchstaben \(x\) bezeichnet wird.
Entscheidung:

	Um \(x\) zu finden, müssen wir wissen, wie stark sich das nächste Element vom vorherigen unterscheidet, mit anderen Worten, die Progressionsdifferenz. Finden wir es aus zwei bekannten benachbarten Elementen: \(d=12.5-10=2.5\).
	Und jetzt finden wir ohne Probleme, was wir suchen: \(x=5+2.5=7.5\).
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch folgende Bedingungen gegeben: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Progression.
Entscheidung:

Wir müssen die Summe der ersten sechs Terme der Progression finden. Aber wir kennen ihre Bedeutung nicht, wir bekommen nur das erste Element. Daher berechnen wir zunächst die Werte der Reihe nach anhand der uns gegebenen: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Und nachdem wir die sechs Elemente berechnet haben, die wir brauchen, finden wir ihre Summe.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Der angeforderte Betrag wurde gefunden.

Antworten: \(S_6=9\).

Beispiel (OGE). In arithmetischer Folge \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finde den Unterschied dieser Progression.
Entscheidung:

Antworten: \(d=7\).

Wichtige arithmetische Progressionsformeln

Wie Sie sehen, können viele arithmetische Progressionsprobleme gelöst werden, indem Sie einfach die Hauptsache verstehen - dass eine arithmetische Progression eine Kette von Zahlen ist und jedes nächste Element in dieser Kette durch Hinzufügen derselben Zahl zur vorherigen erhalten wird (die Differenz des Verlaufs).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen es sehr unpraktisch ist, "auf der Stirn" zu lösen. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir im allerersten Beispiel nicht das fünfte Element \(b_5\), sondern das dreihundertsechsundachtzigste \(b_(386)\) finden müssen. Was ist es, wir \ (385 \) mal vier zu addieren? Oder stellen Sie sich vor, dass Sie im vorletzten Beispiel die Summe der ersten 73 Elemente finden müssen. Zählen ist verwirrend...

Daher lösen sie in solchen Fällen nicht „auf der Stirn“, sondern verwenden spezielle Formeln, die für die arithmetische Progression abgeleitet wurden. Und die wichtigsten sind die Formel für den n-ten Term der Progression und die Formel für die Summe \(n\) der ersten Terme.

Formel für das \(n\)-te Mitglied: \(a_n=a_1+(n-1)d\), wobei \(a_1\) das erste Mitglied der Progression ist;
\(n\) – Nummer des gewünschten Elements;
\(a_n\) ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer \(n\).

Diese Formel ermöglicht es uns, schnell mindestens das dreihundertste, sogar das millionste Element zu finden, wenn wir nur den ersten und den Fortschrittsunterschied kennen.

Beispiel. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen gegeben: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finden Sie \(b_(246)\).
Entscheidung:

Antworten: \(b_(246)=1850\).

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), wobei

\(a_n\) ist der letzte summierte Term;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen \(a_n=3.4n-0.6\) gegeben. Finde die Summe der ersten \(25\) Terme dieser Progression.
Entscheidung:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Um die Summe der ersten fünfundzwanzig Elemente zu berechnen, müssen wir den Wert des ersten und des fünfundzwanzigsten Terms kennen. Unsere Progression ergibt sich aus der Formel des n-ten Terms in Abhängigkeit von seiner Nummer (siehe Details). Lassen Sie uns das erste Element berechnen, indem wir \(n\) durch eins ersetzen.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Lassen Sie uns nun den fünfundzwanzigsten Term finden, indem wir anstelle von \(n\) fünfundzwanzig einsetzen.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nun, jetzt berechnen wir problemlos die erforderliche Menge.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \(S_(25)=1090\).

Für die Summe \(n\) der ersten Terme können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ersetzen Sie statt \(a_n\) die Formel dafür \(a_n=a_1+(n-1)d\). Wir bekommen:

Die Formel für die Summe der ersten n Terme lautet: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), wobei

\(S_n\) – die erforderliche Summe \(n\) der ersten Elemente;
\(a_1\) ist der erste zu summierende Term;
\(d\) – Progressionsdifferenz;
\(n\) - die Anzahl der Elemente in der Summe.

Beispiel. Finden Sie die Summe der ersten \(33\)-ex-Terme der arithmetischen Folge: \(17\); \(15,5\); \(vierzehn\)…
Entscheidung:

Antworten: \(S_(33)=-231\).

Komplexere arithmetische Progressionsprobleme

Jetzt haben Sie alle Informationen, die Sie benötigen, um fast alle arithmetischen Progressionsaufgaben zu lösen. Lassen Sie uns das Thema beenden, indem wir Probleme betrachten, bei denen Sie nicht nur Formeln anwenden, sondern auch ein wenig nachdenken müssen (in Mathematik kann dies nützlich sein ☺)

Beispiel (OGE). Finde die Summe aller negativen Terme der Progression: \(-19.3\); \(-neunzehn\); \(-18.7\)…
Entscheidung:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Die Aufgabe ist der vorherigen sehr ähnlich. Wir beginnen auf die gleiche Weise zu lösen: Zuerst finden wir \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Jetzt würden wir \(d\) in die Formel für die Summe einsetzen ... und hier taucht eine kleine Nuance auf - wir kennen \(n\) nicht. Mit anderen Worten, wir wissen nicht, wie viele Begriffe hinzugefügt werden müssen. Wie findet man es heraus? Denken wir nach. Wir hören auf, Elemente hinzuzufügen, wenn wir zum ersten positiven Element kommen. Das heißt, Sie müssen die Nummer dieses Elements herausfinden. Wie? Schreiben wir die Formel zur Berechnung eines beliebigen Elements einer arithmetischen Folge auf: \(a_n=a_1+(n-1)d\) für unseren Fall.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Wir müssen \(a_n\) größer als Null sein. Lassen Sie uns herausfinden, für was \(n\) dies passieren wird.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Wir übertragen minus eins und vergessen nicht, die Vorzeichen zu ändern
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Rechnen...
\(n>65.333…\)		…und es stellt sich heraus, dass das erste positive Element die Nummer \(66\) haben wird. Dementsprechend hat das letzte Negativ \(n=65\). Lassen Sie es uns für alle Fälle überprüfen.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Daher müssen wir die ersten \(65\) Elemente hinzufügen.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \(S_(65)=-630,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression ist durch die Bedingungen gegeben: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finden Sie die Summe vom \(26\)-ten bis einschließlich \(42\)-Element.
Entscheidung:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bei dieser Aufgabe müssen Sie auch die Summe der Elemente finden, aber nicht beim ersten, sondern beim \(26\)-ten. Dafür haben wir keine Formel. Wie entscheiden? Einfach - um die Summe von \(26\)th bis \(42\)th zu erhalten, müssen Sie zuerst die Summe von \(1\)th bis \(42\)th finden und dann die Summe von davon subtrahieren die erste bis \ (25 \) th (siehe Bild).
	Für unsere Progression \(a_1=-33\) und die Differenz \(d=4\) (schließlich addieren wir vier zum vorherigen Element, um das nächste zu finden). Mit diesem Wissen finden wir die Summe der ersten \(42\)-uh Elemente.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nun die Summe der ersten \(25\)-ten Elemente.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Und schließlich berechnen wir die Antwort.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Antworten: \(S=1683\).

Für eine arithmetische Progression gibt es noch einige weitere Formeln, die wir in diesem Artikel aufgrund ihres geringen praktischen Nutzens nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.

Wichtige Notizen!
1. Wenn Sie anstelle von Formeln Abrakadabra sehen, leeren Sie Ihren Cache. Wie es in Ihrem Browser geht, steht hier:
2. Bevor Sie mit dem Lesen des Artikels beginnen, achten Sie auf unseren Navigator für die nützlichste Ressource für

Numerische Folge

Setzen wir uns also hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten (in unserem Fall sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche von ihnen die erste, welche die zweite und so weiter bis zur letzten ist, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Numerische Folge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Folgenummer spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Folge. Die zweite Zahl (wie die -te Zahl) ist immer gleich.
Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Eine solche Zahlenfolge wird als arithmetische Folge bezeichnet.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne als endlose Zahlenfolge verstanden. Der Name "Arithmetik" wurde aus der Theorie der kontinuierlichen Proportionen übernommen, mit der sich die alten Griechen beschäftigten.

Dies ist eine numerische Folge, deren jedes Glied gleich der vorherigen ist, hinzugefügt mit der gleichen Nummer. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

a)
b)
c)
d)

Ich habs? Vergleichen Sie unsere Antworten:
Ist ein arithmetische Progression - b, c.
Ist nicht arithmetische Progression - a, d.

Kehren wir zu der gegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Mitglieds zu finden. Existieren zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können zum vorherigen Wert der Progressionsnummer addieren, bis wir das te Glied der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenzufassen haben – nur drei Werte:

Das -te Glied der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2. Methode

Was wäre, wenn wir den Wert des th-Terms der Progression finden müssten? Die Summierung hätte uns mehr als eine Stunde gekostet, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren der Zahlen keine Fehler gemacht hätten.
Natürlich haben sich Mathematiker einen Weg ausgedacht, bei dem man die Differenz einer arithmetischen Progression nicht zum vorherigen Wert addieren muss. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genau an ... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, was den Wert des -ten Elements dieser arithmetischen Folge ausmacht:


Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbstständig den Wert eines Gliedes dieser arithmetischen Folge zu finden.

Berechnet? Vergleichen Sie Ihre Eingaben mit der Antwort:

Beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl erhalten haben wie bei der vorherigen Methode, als wir die Glieder einer arithmetischen Folge sukzessive zum vorherigen Wert addiert haben.
Versuchen wir diese Formel zu „entpersonalisieren“ – wir bringen sie in eine allgemeine Form und erhalten:

Arithmetische Progressionsgleichung.

Arithmetische Progressionen nehmen entweder zu oder ab.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen sowohl in zunehmenden als auch in abnehmenden Termen einer arithmetischen Progression verwendet.
Schauen wir es uns in der Praxis an.
Wir erhalten eine arithmetische Folge bestehend aus den folgenden Zahlen:

Seit damals:

Daher waren wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl bei abnehmender als auch bei zunehmender arithmetischer Progression funktioniert.
Versuchen Sie selbst, die -ten und -ten Glieder dieser arithmetischen Folge zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Lassen Sie uns die Aufgabe komplizieren – wir leiten die Eigenschaft einer arithmetischen Folge ab.
Angenommen, wir haben die folgende Bedingung:
- Arithmetische Progression, finden Sie den Wert.
Ganz einfach, sagst du und zählst nach der Formel, die du schon kennst:

Sei a, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und bekommen, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist das nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns Zahlen in der Bedingung gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, Fehler in den Berechnungen zu machen.
Überlegen Sie nun, ist es möglich, dieses Problem mit einer Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich, ja, und wir werden versuchen, es jetzt herauszubringen.

Bezeichnen wir den gesuchten Term der arithmetischen Folge so, dass wir die Formel kennen, um ihn zu finden - dies ist die gleiche Formel, die wir am Anfang hergeleitet haben:
, dann:

• Das vorherige Mitglied der Progression ist:
• Das nächste Glied der Progression ist:

Lassen Sie uns die vorherigen und nächsten Mitglieder der Progression zusammenfassen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder der Progression doppelt so groß ist wie der Wert des Mitglieds der Progression, das sich zwischen ihnen befindet. Mit anderen Worten, um den Wert eines Progressionsmitglieds mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu finden, ist es notwendig, sie zu addieren und durch zu dividieren.

Richtig, wir haben die gleiche Nummer. Lassen Sie uns das Material reparieren. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, denn es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut erledigt! Sie wissen fast alles über Progression! Es bleibt nur eine Formel herauszufinden, die der Legende nach einer der größten Mathematiker aller Zeiten, der "König der Mathematiker" - Karl Gauß, leicht für sich selbst herleiten konnte ...

Als Carl Gauß 9 Jahre alt war, stellte der Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeiten von Schülern anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht die folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von bis einschließlich (nach anderen Quellen bis einschließlich). " Was war die Überraschung des Lehrers, als einer seiner Schüler (es war Karl Gauß) nach einer Minute die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langem Rechnen das falsche Ergebnis erhielten ...

Der junge Carl Gauss bemerkte ein Muster, das Sie leicht erkennen können.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ti Mitgliedern besteht: Wir müssen die Summe der gegebenen Mitglieder der arithmetischen Folge finden. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn wir die Summe ihrer Terme in der Aufgabe finden müssen, wie Gauß es gesucht hat?

Lassen Sie uns die uns gegebene Progression darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genau an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen damit durchzuführen.


Versucht? Was haben Sie bemerkt? Korrekt! Ihre Summen sind gleich

Nun antworte, wie viele solcher Paare wird es in der uns gegebenen Progression geben? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen, also.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Terme einer arithmetischen Folge gleich ist, und ähnliche gleiche Paare, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme jeder arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Progressionsunterschied. Versuchen Sie, in der Summenformel die Formel des th-Gliedes einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut erledigt! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauß gegeben wurde: Berechnen Sie selbst, wie hoch die Summe der Zahlen ist, die mit dem -ten beginnen, und wie hoch die Summe der Zahlen ist, die mit dem -ten beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte sich heraus, dass die Summe der Terme gleich ist, und die Summe der Terme. Hast du dich so entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert vom antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen, und während dieser ganzen Zeit nutzten geistreiche Menschen die Eigenschaften einer arithmetischen Folge mit Macht und Kraft.
Stellen Sie sich zum Beispiel das alte Ägypten und die größte Baustelle dieser Zeit vor - den Bau einer Pyramide ... Die Abbildung zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagst du? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.


Warum nicht eine arithmetische Progression? Zählen Sie, wie viele Blöcke benötigt werden, um eine Mauer zu bauen, wenn Blocksteine ​​​​in die Basis gelegt werden. Ich hoffe, Sie werden nicht zählen, indem Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über arithmetische Progression gesagt haben?

In diesem Fall sieht der Verlauf so aus:
Arithmetische Progressionsdifferenz.
Die Anzahl der Mitglieder einer arithmetischen Folge.
Lassen Sie uns unsere Daten in die letzten Formeln einsetzen (wir zählen die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie auch am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Hat es zugestimmt? Gut gemacht, Sie haben die Summe der Terme einer arithmetischen Folge gemeistert.
Natürlich kann man aus den Blöcken an der Basis keine Pyramide bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandziegel benötigt werden, um eine Mauer mit dieser Bedingung zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Trainieren

Aufgaben:

1. Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag steigert sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Masha in Wochen Kniebeugen machen, wenn sie beim ersten Training Kniebeugen gemacht hat?
2. Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
3. Beim Lagern von Stämmen stapeln Holzfäller sie so, dass jede oberste Schicht einen Stamm weniger enthält als die vorherige. Wie viele Baumstämme befinden sich in einem Mauerwerk, wenn die Basis des Mauerwerks Baumstämme sind.

Antworten:

1. Lassen Sie uns die Parameter der arithmetischen Folge definieren. In diesem Fall
   (Wochen = Tage).

   Antworten: In zwei Wochen soll Mascha einmal täglich in die Hocke gehen.

2. Erste ungerade Zahl, letzte Zahl.
   Arithmetische Progressionsdifferenz.
   Die Anzahl der ungeraden Zahlen in - halbieren Sie diese Tatsache jedoch mit der Formel zum Auffinden des -ten Gliedes einer arithmetischen Folge:

   Die Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
   Wir setzen die verfügbaren Daten in die Formel ein:

   Antworten: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.

3. Erinnern Sie sich an das Problem mit den Pyramiden. Da in unserem Fall a jede obere Ebene um einen Balken reduziert wird, gibt es nur eine Reihe von Ebenen.
   Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

   Antworten: Es gibt Baumstämme im Mauerwerk.

Zusammenfassen

1. - eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es nimmt zu und ab.
2. Formel finden Glied einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge ist.
3. Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge- - wo - die Anzahl der Zahlen in der Progression.
4. Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:
   
   , wobei die Anzahl der Werte ist.

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. MITTELSTUFE

Numerische Folge

Setzen wir uns hin und schreiben ein paar Zahlen. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber Sie können immer sagen, welcher von ihnen der erste ist, welcher der zweite ist und so weiter, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Numerische Folge ist eine Reihe von Nummern, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugeordnet werden kann.

Mit anderen Worten, jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar nur einer. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuweisen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das -te Glied der Folge.

Wir nennen die ganze Sequenz normalerweise einen Buchstaben (zum Beispiel) und jedes Mitglied dieser Sequenz - denselben Buchstaben mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

Es ist sehr praktisch, wenn das -te Glied der Sequenz durch irgendeine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Sequenz:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (der erste Term ist hier gleich und die Differenz). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen eine wiederkehrende Formel eine solche Formel, bei der Sie, um den . Term herauszufinden, den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um beispielsweise den ten Term der Progression mit einer solchen Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lassen Sie zum Beispiel. Dann:

Nun, jetzt ist klar, was die Formel ist?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Für was? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Viel bequemer jetzt, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und finden Sie den hundertsten Term.

Entscheidung:

Das erste Mitglied ist gleichberechtigt. Und was ist der Unterschied? Und hier ist was:

(Schließlich wird sie Differenz genannt, weil sie gleich der Differenz aufeinanderfolgender Glieder der Progression ist).

Die Formel lautet also:

Dann ist der hundertste Term:

Was ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach berechnete der große Mathematiker Carl Gauß als 9-jähriger Junge diesen Betrag in wenigen Minuten. Er bemerkte, dass die Summe der ersten und der letzten Zahl gleich ist, die Summe der zweiten und der vorletzten Zahl gleich ist, die Summe der dritten und der 3. vom Ende gleich ist und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es? Richtig, genau die Hälfte aller Zahlen also. So,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finde die Summe aller zweistelligen Vielfachen.

Entscheidung:

Die erste solche Zahl ist diese. Jede nächste wird durch Hinzufügen einer Zahl zur vorherigen erhalten. Die uns interessierenden Zahlen bilden also mit dem ersten Glied und der Differenz eine arithmetische Folge.

Die Formel für das te Glied dieser Progression lautet:

Wie viele Begriffe sind in der Reihe, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Das letzte Glied der Progression ist gleich. Dann die Summe:

Antworten: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Jeden Tag läuft der Athlet 1m mehr als am Vortag. Wie viele Kilometer wird er in Wochen laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
2. Ein Radfahrer fährt jeden Tag mehr Kilometer als der vorherige. Am ersten Tag reiste er km. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer legt er am letzten Reisetag zurück?
3. Der Preis eines Kühlschranks im Geschäft wird jedes Jahr um denselben Betrag reduziert. Bestimmen Sie, um wie viel der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel zum Verkauf angeboten wurde.

Antworten:

1. Das Wichtigste dabei ist, die arithmetische Progression zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
   .
   Antworten:
2. Hier ist es gegeben:, man muss finden.
   Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie in der vorherigen Aufgabe verwenden:
   .
   Ersetzen Sie die Werte:

   Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also die Antwort.
   Berechnen wir die am letzten Tag zurückgelegte Strecke mit der Formel des -ten Terms:
   (km).
   Antworten:

3. Gegeben: . Finden: .
   Einfacher geht es nicht:
   (reiben).
   Antworten:

ARITHMETISCHER FORTSCHRITT. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Die arithmetische Progression nimmt zu () und ab ().

Zum Beispiel:

Die Formel zum Auffinden des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge

wird als Formel geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Progression ist.

Eigenschaft von Gliedern einer arithmetischen Folge

Es macht es einfach, ein Mitglied der Progression zu finden, wenn seine benachbarten Mitglieder bekannt sind - wo ist die Anzahl der Zahlen in der Progression.

Die Summe der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, die Summe zu finden:

Wo ist die Anzahl der Werte.

Wo ist die Anzahl der Werte.

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung, für die Aufnahme ins Institut auf Kosten des Budgets und vor allem auf Lebenszeit.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich werde nur eines sagen ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die sie nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Die Hauptsache ist, dass sie MEHR GLÜCKLICH sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben heller wird? Weiß nicht...

Aber denkt selbst...

Was braucht es, um bei der Prüfung sicher besser zu sein als andere und am Ende … glücklicher?

FÜLLEN SIE IHRE HAND, LÖSEN SIE PROBLEME ZU DIESEM THEMA.

Bei der Prüfung wird dir keine Theorie abverlangt.

Du wirst brauchen Probleme rechtzeitig lösen.

Und wenn Sie sie nicht gelöst haben (VIELE!), werden Sie definitiv irgendwo einen dummen Fehler machen oder es einfach nicht rechtzeitig schaffen.

Es ist wie im Sport – Sie müssen viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.

Finden Sie eine Sammlung, wo immer Sie wollen unbedingt mit Lösungen, detaillierte Analyse und entscheide, entscheide, entscheide!

Sie können unsere Aufgaben verwenden (nicht erforderlich) und wir empfehlen sie auf jeden Fall.

Um bei unseren Aufgaben mitzuhelfen, müssen Sie helfen, die Lebensdauer des YouClever-Lehrbuchs, das Sie gerade lesen, zu verlängern.

Wie? Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Entsperren Sie den Zugriff auf alle versteckten Aufgaben in diesem Artikel -
2. Schalte den Zugriff auf alle versteckten Aufgaben in allen 99 Artikeln des Tutorials frei - Kaufen Sie ein Lehrbuch - 499 Rubel

Ja, wir haben 99 solcher Artikel im Lehrbuch und Zugriff auf alle Aufgaben und alle versteckten Texte darin können sofort geöffnet werden.

Der Zugriff auf alle versteckten Aufgaben wird für die gesamte Lebensdauer der Website gewährt.

Abschließend...

Wenn Ihnen unsere Aufgaben nicht gefallen, suchen Sie sich andere. Bloß nicht bei der Theorie aufhören.

„Verstanden“ und „Ich weiß, wie ich es lösen kann“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

Probleme finden und lösen!

Arithmetische und geometrische Progressionen

Theoretische Informationen

Theoretische Informationen

	Arithmetische Progression	Geometrischer Verlauf
Definition	Arithmetische Progression ein Es wird eine Sequenz aufgerufen, bei der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Mitglied ist, das mit derselben Nummer hinzugefügt wird d (d- Progressionsdifferenz)	geometrischer Verlauf b n Es wird eine Folge von Nicht-Null-Zahlen aufgerufen, von denen jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Term ist, multipliziert mit derselben Zahl q (q- Nenner der Progression)
Wiederkehrende Formel	Für alle natürlichen n ein n + 1 = ein n + d	Für alle natürlichen n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-te Termformel	ein n = ein 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
charakteristische Eigenschaft
Summe der ersten n Terme

Beispiele für Aufgaben mit Kommentaren

Übung 1

In arithmetischer Folge ( ein) eine 1 = -6, eine 2

Nach der Formel des n-ten Terms:

eine 22 = eine 1+ d (22 - 1) = eine 1+ 21d

Nach Bedingung:

eine 1= -6, also eine 22= -6 + 21d.

Es ist notwendig, den Unterschied der Progressionen zu finden:

d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2

eine 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Antworten : eine 22 = -48.

Aufgabe 2

Finden Sie den fünften Term der geometrischen Folge: -3; 6; ....

1. Weg (unter Verwendung der n-Term-Formel)

Nach der Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Als b 1 = -3,

2. Weg (mit rekursiver Formel)

Da der Nenner der Progression -2 ist (q = -2), dann:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Antworten : b 5 = -48.

Aufgabe 3

In arithmetischer Folge ( ein n) ein 74 = 34; eine 76= 156. Finde den fünfundsiebzigsten Term dieser Progression.

Für eine arithmetische Folge hat die charakteristische Eigenschaft die Form .

Deshalb:

.

Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

Antwort: 95.

Aufgabe 4

In arithmetischer Folge ( ein n) ein n= 3n - 4. Finde die Summe der ersten siebzehn Terme.

Um die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge zu finden, werden zwei Formeln verwendet:

.

Welche von ihnen ist in diesem Fall bequemer anzuwenden?

Durch die Bedingung ist die Formel des n-ten Mitglieds der ursprünglichen Progression bekannt ( ein) ein= 3n - 4. Kann sofort gefunden werden und eine 1, und eine 16 ohne d zu finden. Daher verwenden wir die erste Formel.

Antwort: 368.

Aufgabe 5

In arithmetischer Progression ein) eine 1 = -6; eine 2= -8. Finden Sie den zweiundzwanzigsten Term der Progression.

Nach der Formel des n-ten Terms:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = eine 1+ 21d.

Nach Bedingung, wenn eine 1= -6, dann eine 22= -6 + 21d. Es ist notwendig, den Unterschied der Progressionen zu finden:

d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2

eine 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Antworten : eine 22 = -48.

Aufgabe 6

Mehrere aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Progression werden aufgezeichnet:

Finden Sie den Term der Progression, gekennzeichnet durch den Buchstaben x .

Beim Lösen verwenden wir die Formel für den n-ten Term b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 für geometrische Verläufe. Das erste Mitglied der Progression. Um den Nenner der Progression q zu finden, müssen Sie einen dieser Terme der Progression nehmen und durch den vorherigen dividieren. In unserem Beispiel kannst du nehmen und durch dividieren. Wir erhalten das q \u003d 3. Anstelle von n ersetzen wir 3 in der Formel, da der dritte Term einer bestimmten geometrischen Folge gefunden werden muss.

Setzen wir die gefundenen Werte in die Formel ein, erhalten wir:

.

Antworten : .

Aufgabe 7

Wählen Sie aus den arithmetischen Progressionen, die durch die Formel des n-ten Terms gegeben sind, diejenige aus, für die die Bedingung erfüllt ist eine 27 > 9:

Da die angegebene Bedingung für den 27. Term der Progression erfüllt sein muss, setzen wir in jeder der vier Progressionen 27 anstelle von n ein. In der 4. Progression erhalten wir:

.

Antwort: 4.

Aufgabe 8

In arithmetischer Progression eine 1= 3, d = -1,5. Geben Sie den größten Wert von n an, für den die Ungleichung gilt ein > -6.