Kompleksni brojevi

Imaginarno i kompleksni brojevi. Apscisa i ordinata

kompleksni broj. Konjugirajte kompleksne brojeve.

Operacije sa kompleksnim brojevima. Geometrijski

predstavljanje kompleksnih brojeva. složena ravan.

Modul i argument kompleksnog broja. trigonometrijski

oblik kompleksnog broja. Operacije sa kompleksom

brojevi u trigonometrijskom obliku. Moivre formula.

Osnovne informacije o imaginarni i kompleksni brojevi dati su u dijelu "Zamišljeni i kompleksni brojevi". Potreba za ovim brojevima novog tipa pojavila se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi za slučajD< 0 (здесь Dje diskriminanta kvadratne jednačine). Dugo vremena ovi brojevi nisu našli fizičku upotrebu, zbog čega su nazvani "imaginarni" brojevi. Međutim, sada se vrlo široko koriste u različitim poljima fizike.

i tehnologija: elektrotehnika, hidro- i aerodinamika, teorija elastičnosti itd.

Kompleksni brojevi su napisani kao:a+bi. Evo a i b – realni brojevi , a i – imaginarna jedinica. e. i 2 = –1. Broj a pozvao apscisa, a b - ordinatakompleksni broja + b .Dva kompleksna brojaa+bi i a-bi pozvao konjugirati kompleksni brojevi.

Glavni dogovori:

1. Realni brojatakođe može biti napisan u formikompleksni broj:a + 0 i ili a - 0 i. Na primjer, unosi 5 + 0i i 5 - 0 iznači isti broj 5 .

2. Kompleksni broj 0 + bipozvao čisto imaginarno broj. Snimanjebiznači isto što i 0 + bi.

3. Dva kompleksna brojaa+bi ic + dismatraju se jednakim akoa = c i b = d. Inače kompleksni brojevi nisu jednaki.

Dodatak. Zbir kompleksnih brojevaa+bi i c + dinaziva se kompleksnim brojem (a+c ) + (b+d ) i .dakle, kada se doda kompleksni brojevi, njihove apscise i ordinate se dodaju posebno.

Ova definicija prati pravila za rad sa običnim polinomima.

Oduzimanje. Razlika između dva kompleksna brojaa+bi(smanjeno) i c + di(oduzeto) se naziva kompleksnim brojem (a-c ) + (b-d ) i .

dakle, pri oduzimanju dva kompleksna broja, njihove apscise i ordinate se oduzimaju odvojeno.

Množenje. Proizvod kompleksnih brojevaa+bi i c + di naziva se kompleksnim brojem.

(ac-bd ) + (ad+bc ) i .Ova definicija proizilazi iz dva zahtjeva:

1) brojevi a+bi i c + ditreba da se množi kao algebarski binomi,

2) broj iima glavnu imovinu:i 2 = – 1.

PRIMJER ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . dakle, rad

dva konjugirana kompleksna broja jednaka je realnom

pozitivan broj.

divizija. Podijelite kompleksan broja+bi (djeljivo) na druguc + di(razdjelnik) - znači pronaći treći broje + fi(chat), koji, kada se pomnoži sa djeliteljemc + di, što rezultira dividendoma + b .

Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.

PRIMJER Pronađite (8+i ) : (2 – 3 i) .

Rješenje. Prepišimo ovaj omjer kao razlomak:

Množenjem brojioca i imenioca sa 2 + 3i

I nakon izvođenja svih transformacija dobijamo:

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:

Ovdje je poenta Aznači broj -3, tačkaB je broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. Za to biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate sa istim razmjerima na obje ose. Zatim kompleksni broja+bi će biti predstavljena tačkom P sa apscisom a i ordinata b (vidi sl.). Ovaj koordinatni sistem se zove složena ravan .

modul kompleksni broj naziva se dužina vektoraOP, koji prikazuje kompleksan broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Kompleksni broj modulaa+bi označeno sa | a+bi| ili pismo r

Kompleksni brojevi su minimalno proširenje skupa nama poznatih realnih brojeva. Njihova fundamentalna razlika je u tome što se pojavljuje element koji na kvadrat daje -1, tj. i, ili .

Svaki kompleksni broj ima dva dijela: stvarne i imaginarne:

Dakle, jasno je da se skup realnih brojeva poklapa sa skupom kompleksnih brojeva sa nultim imaginarnim dijelom.

Najpopularniji model za skup kompleksnih brojeva je obična ravan. Prva koordinata svake tačke bit će njen stvarni dio, a druga - imaginarni. Tada će uloga samih kompleksnih brojeva biti vektori sa početkom u tački (0,0).

Operacije nad kompleksnim brojevima.

Zapravo, ako uzmemo u obzir model skupa kompleksnih brojeva, intuitivno je jasno da se sabiranje (oduzimanje) i množenje dva kompleksna broja izvode na isti način kao i odgovarajuće operacije nad vektorima. Štaviše, mislimo na unakrsni proizvod vektora, jer je rezultat ove operacije opet vektor.

1.1 Dodatak.

(Kao što vidite, ova operacija tačno odgovara )

1.2 Oduzimanje, slično se izvodi prema sljedećem pravilu:

2. Množenje.

3. Divizija.

Definira se jednostavno kao inverzna operacija množenja.

trigonometrijski oblik.

Modul kompleksnog broja z je sljedeća veličina:

,

Očigledno je da je ovo, opet, jednostavno modul (dužina) vektora (a,b).

Najčešće se modul kompleksnog broja označava kao ρ.

Ispostavilo se da

z = ρ(cosφ+isinφ).

Sljedeće slijedi direktno iz trigonometrijskog oblika pisanja kompleksnog broja. formule :

Posljednja formula se zove Formula De Moivre. Formula je izvedena direktno iz nje. n-ti korijen kompleksnog broja:

dakle, postoji n-ti korijen kompleksnog broja z.

Plan lekcije.

1. Organizacioni momenat.

2. Prezentacija materijala.

3. Domaći.

4. Sumiranje lekcije.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

II. Prezentacija materijala.

Motivacija.

Proširenje skupa realnih brojeva sastoji se u činjenici da se realnim brojevima dodaju novi brojevi (imaginarni). Uvođenje ovih brojeva povezano je s nemogućnošću izdvajanja korijena iz negativnog broja u skupu realnih brojeva.

Uvođenje pojma kompleksnog broja.

Imaginarni brojevi kojima dopunjavamo realne brojeve zapisuju se kao bi, gdje i je imaginarna jedinica, i i 2 = - 1.

Na osnovu ovoga dobijamo sljedeću definiciju kompleksnog broja.

Definicija. Kompleksni broj je izraz oblika a+bi, gdje a i b su realni brojevi. U ovom slučaju su ispunjeni sljedeći uslovi:

a) Dva kompleksna broja a 1 + b 1 i i a 2 + b 2 i jednako ako i samo ako a 1 = a 2, b1=b2.

b) Sabiranje kompleksnih brojeva određuje se pravilom:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

c) Množenje kompleksnih brojeva određuje se pravilom:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

Algebarski oblik kompleksnog broja.

Zapisivanje kompleksnog broja u obrazac a+bi se naziva algebarski oblik kompleksnog broja, gdje a- pravi deo bi je imaginarni dio, i b je pravi broj.

Kompleksni broj a+bi smatra se jednakim nuli ako su njegovi stvarni i imaginarni dijelovi jednaki nuli: a=b=0

Kompleksni broj a+bi at b = 0 smatra se realnim brojem a: a + 0i = a.

Kompleksni broj a+bi at a = 0 naziva se čisto imaginarnim i označava se bi: 0 + bi = bi.

Dva kompleksna broja z = a + bi i = a – bi, koji se razlikuju samo u predznaku imaginarnog dijela, nazivaju se konjugati.

Radnje na kompleksne brojeve u algebarskom obliku.

Sljedeće operacije se mogu izvesti nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.

1) Dodatak.

Definicija. Zbir kompleksnih brojeva z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i naziva kompleksnim brojem z, čiji je realni dio jednak zbiru realnih dijelova z1 i z2, a imaginarni dio je zbir imaginarnih dijelova brojeva z1 i z2, tj z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

Brojevi z1 i z2 nazivaju terminima.

Sabiranje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:

1º. komutativnost: z1 + z2 = z2 + z1.

2º. asocijativnost: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Kompleksni broj -a -bi naziva se suprotnost kompleksnom broju z = a + bi. Kompleksni broj suprotan kompleksnom broju z, označeno -z. Zbir kompleksnih brojeva z i -z jednako nuli: z + (-z) = 0

Primjer 1: Dodaj (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) Oduzimanje.

Definicija. Oduzmite od kompleksnog broja z1 kompleksni broj z2 z,šta z + z 2 = z 1.

Teorema. Razlika kompleksnih brojeva postoji i, štaviše, jedinstvena je.

Primjer 2: Oduzimanje (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.

3) Množenje.

Definicija. Proizvod kompleksnih brojeva z 1 =a 1 +b 1 i i z 2 \u003d a 2 + b 2 i naziva kompleksnim brojem z, definisana jednakošću: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

Brojevi z1 i z2 nazivaju faktori.

Množenje kompleksnih brojeva ima sljedeća svojstva:

1º. komutativnost: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. asocijativnost: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje:

(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 je pravi broj.

U praksi se množenje kompleksnih brojeva provodi po pravilu množenja zbira sa zbrojem i razdvajanja realnog i imaginarnog dijela.

U sljedećem primjeru razmotrite množenje kompleksnih brojeva na dva načina: po pravilu i množenjem zbira sa zbrojem.

Primjer 3: Pomnožite (2 + 3i) (5 – 7i).

1 način. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

2 way. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) divizija.

Definicija. Podijelite kompleksan broj z1 na kompleksan broj z2, znači pronaći tako kompleksan broj z, šta z z 2 = z 1.

Teorema. Kvocijent kompleksnih brojeva postoji i jedinstven je ako z2 ≠ 0 + 0i.

U praksi, količnik kompleksnih brojeva se nalazi množenjem brojnika i nazivnika konjugatom nazivnika.

Neka bude z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, onda

.

U sljedećem primjeru izvodimo dijeljenje po formuli i pravilo množenja konjugatom nazivnika.

Primjer 4. Pronađite količnik .

5) Povećanje na pozitivan cijeli broj.

a) Moći imaginarnog jedinstva.

Iskorištavanje jednakosti i 2 \u003d -1, lako je definirati bilo koji pozitivan cijeli broj imaginarne jedinice. Imamo:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 \u003d -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 itd.

Ovo pokazuje da su vrijednosti stepena i n, gdje n- pozitivan cijeli broj, koji se periodično ponavlja kada se indikator povećava za 4 .

Dakle, da se poveća broj i na pozitivan cijeli broj, podijelite eksponent sa 4 i uspravno i na stepen čiji je eksponent ostatak dijeljenja.

Primjer 5 Izračunajte: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 \u003d 1 - i.

b) Dizanje kompleksnog broja na pozitivan cijeli broj vrši se prema pravilu dizanja binoma na odgovarajući stepen, jer je to poseban slučaj množenja identičnih kompleksnih faktora.

Primjer 6 Izračunajte: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.