Gaussova metoda je univerzalna formula. Obrnite Gaussovu metodu

Danas se bavimo Gaussovom metodom za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina. O kakvim se sistemima radi možete pročitati u prethodnom članku posvećenom rješavanju istih SLAE-ova Cramerovom metodom. Gaussova metoda ne zahtijeva nikakvo specifično znanje, potrebna je samo pažnja i dosljednost. Uprkos činjenici da je sa stanovišta matematike za njenu primenu dovoljna školska priprema, učenicima savladavanje ove metode često izaziva poteškoće. U ovom članku pokušat ćemo ih poništiti!

Gaussova metoda

M Gaussova metoda- najsvestraniji metod za rešavanje SLAE (osim za veoma velike sisteme). Za razliku od prethodnog razmatranog, pogodan je ne samo za sisteme koji imaju jedno rešenje, već i za sisteme koji imaju beskonačan broj rešenja. Ovdje postoje tri mogućnosti.

1. Sistem ima jedinstveno rješenje (determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli);
2. Sistem ima beskonačan broj rješenja;
3. Rešenja nema, sistem je nekompatibilan.

Dakle, imamo sistem (neka ima jedno rješenje) i riješit ćemo ga Gausovom metodom. Kako radi?

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze - naprijed i nazad.

Prelaz prema naprijed Gaussove metode

Prvo zapisujemo proširenu matricu sistema. Da biste to učinili, dodajte kolonu slobodnih članova u glavnu matricu.

Čitava suština Gaussove metode je dovođenje date matrice u stepenasti (ili, kako kažu, trokutasti) oblik pomoću elementarnih transformacija. U ovom obliku, treba da postoji samo jedna nula ispod (ili iznad) glavne dijagonale matrice.

Šta možete učiniti:

1. Možete preurediti redove matrice na mjestima;
2. Ako matrica sadrži iste (ili proporcionalne) redove, možete izbrisati sve osim jednog od njih;
3. Možete pomnožiti ili podijeliti niz bilo kojim brojem (osim nule);
4. Nulte linije su uklonjene;
5. Nizu možete dodati niz pomnožen brojem koji nije nula.

Obrnite Gaussovu metodu

Nakon što transformišemo sistem na ovaj način, jedna nepoznata Xn postaje poznato, a sve preostale nepoznanice možete pronaći obrnutim redoslijedom, zamjenjujući već poznate x-ove u jednadžbi sistema, do prve.

Kada je internet uvijek pri ruci, možete riješiti sistem jednačina Gaussovom metodom online. Samo treba da unesete koeficijente u online kalkulator. Ali morate priznati da je mnogo ugodnije shvatiti da primjer nije riješio kompjuterski program, već vaš vlastiti mozak.

Primjer rješavanja sistema jednačina Gaussovom metodom

A sada - primjer da sve bude jasno i razumljivo. Neka je dat sistem linearnih jednadžbi, a vi ga trebate riješiti Gaussovom metodom:

Prvo, napišimo proširenu matricu:

Sada napravimo neke transformacije. Zapamtite da moramo postići trokutasti izgled matrice. Pomnožite 1. red sa (3). Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajte 2. red u 1. i dobijete:

Zatim pomnožite treći red sa (-1). Dodajmo 3. red u 2.:

Pomnožite 1. red sa (6). Pomnožite 2. red sa (13). Dodajmo 2. red na 1.:

Voila - sistem je doveden u odgovarajuću formu. Ostaje da se pronađu nepoznanice:

Sistem u ovom primjeru ima jedno rješenje. Rješenje sistema sa beskonačnim brojem rješenja razmotrit ćemo u posebnom članku. Možda u početku nećete znati odakle početi transformaciju matrice, ali nakon odgovarajuće vježbe uhvatit ćete se u ruke i kliknuti na SLAE koristeći Gaussovu metodu poput oraha. A ako iznenada naiđete na SLAE koji se pokaže preteškim, kontaktirajte naše autore! možete ostaviti prijavu na dopisnom kursu. Zajedno ćemo riješiti svaki problem!

Od početka 16.-18. stoljeća matematičari su počeli intenzivno proučavati funkcije, zahvaljujući kojima se toliko toga promijenilo u našem životu. Kompjuterska tehnologija ne bi postojala bez ovog znanja. Za rješavanje složenih problema, linearnih jednadžbi i funkcija, kreirani su različiti koncepti, teoreme i tehnike rješavanja. Jedna od takvih univerzalnih i racionalnih metoda i tehnika za rješavanje linearnih jednačina i njihovih sistema bila je Gaussova metoda. Matrice, njihov rang, determinante - sve se može izračunati bez upotrebe složenih operacija.

Šta je SLAE

U matematici postoji koncept SLAE - sistema linearnih algebarskih jednačina. Kakva je ona? Ovo je skup m jednačina sa potrebnim n nepoznatih veličina, koje se obično označavaju kao x, y, z, ili x 1, x 2 ... x n, ili drugim simbolima. Rešiti ovaj sistem Gaussovom metodom znači pronaći sve nepoznate nepoznanice. Ako sistem ima isti broj nepoznanica i jednačina, onda se zove sistem n-reda.

Najpopularnije metode za rješavanje SLAE

U obrazovnim ustanovama srednjeg obrazovanja izučavaju se različite metode rješavanja ovakvih sistema. Najčešće su to jednostavne jednadžbe koje se sastoje od dvije nepoznanice, tako da bilo koja postojeća metoda za pronalaženje odgovora na njih neće oduzeti mnogo vremena. To može biti kao metoda zamjene, kada se iz jedne jednačine izvede druga i zamjenjuje u originalu. Ili metodom oduzimanja i sabiranja pojam. Ali Gaussova metoda se smatra najlakšom i najuniverzalnijom. Omogućava rješavanje jednačina sa bilo kojim brojem nepoznanica. Zašto se ova posebna tehnika smatra racionalnom? To je jednostavno. Dobra stvar kod matrične metode je to što nema potrebe za prepisivanjem nepotrebnih simbola u obliku nepoznatih nekoliko puta, dovoljno je izvršiti aritmetičke operacije nad koeficijentima - i dobićete pouzdan rezultat.

Gdje se SLAE koriste u praksi

Rješenje SLAE su točke presjeka linija na grafovima funkcija. U našem kompjuterskom dobu visoke tehnologije, ljudi koji su usko povezani sa razvojem igara i drugih programa moraju znati kako riješiti takve sisteme, šta oni predstavljaju i kako provjeriti ispravnost rezultata. Programeri najčešće razvijaju posebne programe za izračunavanje linearne algebre, što uključuje sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda vam omogućava da izračunate sva postojeća rješenja. Koriste se i druge pojednostavljene formule i tehnike.

Kriterijum kompatibilnosti za SLAE

Takav sistem se može riješiti samo ako je kompatibilan. Radi jasnoće, predstavljamo SLAE u obliku Ax = b. Ima rješenje ako je rang (A) jednak rangu (A, b). U ovom slučaju, (A, b) je proširena matrica, koja se može dobiti iz matrice A prepisivanjem sa slobodnim terminima. Ispostavilo se da je rješavanje linearnih jednadžbi Gaussovom metodom prilično jednostavno.

Možda neke oznake nisu sasvim jasne, pa je potrebno sve razmotriti na primjeru. Recimo da postoji sistem: x + y = 1; 2x-3y = 6. Sastoji se od samo dvije jednačine, u kojima su 2 nepoznate. Sistem će imati rješenje samo ako je rang njegove matrice jednak rangu proširene matrice. Šta je rang? Ovo je broj nezavisnih linija u sistemu. U našem slučaju, rang matrice je 2. Matrica A će se sastojati od koeficijenata koji se nalaze u blizini nepoznatih, a koeficijenti iza znaka “=” su također uključeni u proširenu matricu.

Zašto se SLAE može predstaviti u matričnom obliku

Na osnovu kriterijuma kompatibilnosti prema dokazanoj Kronecker-Capelli teoremi, sistem linearnih algebarskih jednačina može se predstaviti u matričnom obliku. Koristeći kaskadni Gaussov metod, možete riješiti matricu i dobiti jedan pouzdan odgovor za cijeli sistem. Ako je rang obične matrice jednak rangu njene proširene matrice, ali manji od broja nepoznatih, tada sistem ima beskonačan broj odgovora.

Matrične transformacije

Prije nego što pređete na rješavanje matrica, morate znati koje se radnje mogu izvršiti na njihovim elementima. Postoji nekoliko osnovnih transformacija:

• Prepisivanjem sistema u matrični oblik i implementacijom njegovog rješenja moguće je sve elemente niza pomnožiti istim koeficijentom.
• Da bi se matrica pretvorila u kanonski oblik, dva paralelna reda se mogu zamijeniti. Kanonski oblik podrazumijeva da svi elementi matrice koji se nalaze na glavnoj dijagonali postaju jedinice, a ostali nule.
• Odgovarajući elementi paralelnih redova matrice mogu se dodati jedan drugom.

Jordan-Gaussova metoda

Suština rješavanja sistema linearnih homogenih i nehomogenih jednačina Gaussovom metodom je postepeno isključivanje nepoznanica. Recimo da imamo sistem od dve jednačine, u kojima su dve nepoznanice. Da biste ih pronašli, morate provjeriti kompatibilnost sistema. Gausovu jednačinu je vrlo jednostavno riješiti. Potrebno je u matričnom obliku zapisati koeficijente koji se nalaze u blizini svake nepoznate. Da biste riješili sistem, morate napisati proširenu matricu. Ako jedna od jednadžbi sadrži manje nepoznanica, onda se "0" mora staviti na mjesto elementa koji nedostaje. Na matricu se primjenjuju sve poznate metode transformacije: množenje, dijeljenje brojem, zbrajanje odgovarajućih elemenata niza jedni drugima i drugo. Ispada da je u svakom redu potrebno ostaviti jednu varijablu sa vrijednošću "1", ostatak treba dovesti u nulti oblik. Za preciznije razumijevanje, potrebno je razmotriti Gaussovu metodu na primjerima.

Jednostavan primjer rješenja sistema 2x2

Za početak, uzmimo jednostavan sistem algebarskih jednadžbi, u kojem će biti 2 nepoznanice.

Prepišimo to u proširenu matricu.

Za rješavanje ovog sistema linearnih jednačina potrebne su samo dvije operacije. Moramo dovesti matricu u kanonski oblik tako da ih ima na glavnoj dijagonali. Dakle, prelazeći iz matrične forme nazad u sistem, dobijamo jednačine: 1x + 0y = b1 i 0x + 1y = b2, gde su b1 i b2 odgovori dobijeni tokom procesa rešavanja.

1. Prva radnja u rješavanju proširene matrice bit će sljedeća: prvi red se mora pomnožiti sa -7, a odgovarajući elementi moraju se dodati u drugi red, respektivno, kako bismo se riješili jedne nepoznate u drugoj jednačini.
2. Kako rješenje jednadžbi Gaussovom metodom podrazumijeva dovođenje matrice u kanonski oblik, onda je potrebno uraditi iste operacije sa prvom jednačinom i ukloniti drugu varijablu. Da biste to učinili, oduzmite drugi red od prvog i dobijete traženi odgovor - rješenje SLAE. Ili, kao što je prikazano na slici, drugi red pomnožimo sa faktorom -1 i dodamo elemente drugog reda u prvi red. Ovo je isto.

Kao što vidite, naš sistem je riješen Jordan-Gaussovom metodom. Prepisujemo ga u traženom obliku: x = -5, y = 7.

Primjer rješavanja SLAE 3x3

Pretpostavimo da imamo složeniji sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda omogućava izračunavanje odgovora čak i za naizgled najzbunjujući sistem. Stoga, kako biste dublje ušli u metodologiju izračunavanja, možete prijeći na složeniji primjer s tri nepoznate.

Kao iu prethodnom primjeru, prepisujemo sistem u obliku proširene matrice i počinjemo da ga dovodimo u kanonski oblik.

Da biste riješili ovaj sistem, morat ćete izvršiti mnogo više radnji nego u prethodnom primjeru.

1. Prvo, trebate napraviti jedan jedinični element u prvoj koloni i ostale nule. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednačinu sa -1 i dodajte joj drugu jednačinu. Važno je zapamtiti da prvi red prepisujemo u izvornom obliku, a drugi - već izmijenjen.
2. Zatim uklanjamo istu prvu nepoznatu iz treće jednačine. Da biste to učinili, pomnožite elemente prvog reda sa -2 i dodajte ih u treći red. Sada su prvi i drugi red prepisani u izvornom obliku, a treći - s promjenama. Kao što vidite iz rezultata, prvu smo dobili na početku glavne dijagonale matrice i ostale nule. Još nekoliko koraka, i sistem jednačina Gaussovom metodom će biti pouzdano riješen.
3. Sada je potrebno izvršiti operacije na drugim elementima redova. Treća i četvrta radnja se mogu kombinovati u jednu. Morate podijeliti drugi i treći red sa -1 da biste se riješili minus na dijagonali. Treću liniju smo već doveli u traženu formu.
4. Zatim, kanonikaliziramo drugi red. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente trećeg reda sa -3 i dodamo ih drugom redu matrice. Rezultat pokazuje da je i druga linija svedena na formu koja nam je potrebna. Ostaje napraviti još nekoliko operacija i ukloniti koeficijente nepoznanica iz prvog reda.
5. Da biste napravili 0 od drugog elementa reda, trebate treći red pomnožiti sa -3 i dodati ga prvom redu.
6. Sljedeći odlučujući korak bit će dodavanje potrebnih elemenata drugog reda u prvi red. Tako dobijamo kanonski oblik matrice i, shodno tome, odgovor.

Kao što vidite, rješenje jednadžbi Gaussovom metodom je prilično jednostavno.

Primjer rješavanja 4x4 sistema jednadžbi

Neki složeniji sistemi jednačina mogu se riješiti Gaussovom metodom korištenjem kompjuterskih programa. Potrebno je ubaciti koeficijente za nepoznate u postojeće prazne ćelije, a program će sam korak po korak izračunati traženi rezultat, detaljno opisujući svaku radnju.

Ispod je korak po korak upute za rješavanje takvog primjera.

U prvoj radnji slobodni koeficijenti i brojevi za nepoznate unose se u prazne ćelije. Tako dobijamo istu proširenu matricu koju pišemo rukom.

I izvode se sve potrebne aritmetičke operacije kako bi se proširena matrica dovela u kanonski oblik. Mora se shvatiti da odgovor na sistem jednačina nisu uvijek cijeli brojevi. Ponekad rješenje mogu biti razlomci.

Provjera ispravnosti rješenja

Jordan-Gaussova metoda omogućava provjeru ispravnosti rezultata. Da biste saznali da li su koeficijenti ispravno izračunati, potrebno je samo da zamenite rezultat u originalni sistem jednačina. Lijeva strana jednačine mora odgovarati desnoj strani iza znaka jednakosti. Ako se odgovori ne poklapaju, onda je potrebno preračunati sistem ili pokušati na njega primijeniti neku drugu vama poznatu metodu za rješavanje SLAE-ova, kao što je zamjena ili oduzimanje i sabiranje po članu. Uostalom, matematika je nauka koja ima ogroman broj različitih metoda rješenja. Ali zapamtite: rezultat bi uvijek trebao biti isti, bez obzira koji metod rješenja ste koristili.

Gaussova metoda: najčešće greške pri rješavanju SLAE

Prilikom rješavanja linearnih sistema jednačina najčešće se javljaju greške kao što je nepravilan prijenos koeficijenata u matrični oblik. Postoje sistemi u kojima su neke nepoznanice odsutne u jednoj od jednačina, a zatim se, prenoseći podatke u proširenu matricu, mogu izgubiti. Kao rezultat toga, prilikom rješavanja ovog sistema rezultat možda neće odgovarati stvarnom.

Još jedna od glavnih grešaka može biti netačno pisanje konačnog rezultata. Potrebno je jasno shvatiti da će prvi koeficijent odgovarati prvoj nepoznanici iz sistema, drugi drugoj, itd.

Gaussova metoda detaljno opisuje rješenje linearnih jednačina. Zahvaljujući njemu, lako je izvršiti potrebne operacije i pronaći ispravan rezultat. Osim toga, to je univerzalni alat za pronalaženje pouzdanog odgovora na jednadžbe bilo koje složenosti. Možda se zato toliko često koristi pri rješavanju SLAE-ova.

Nastavljamo sa razmatranjem sistema linearnih jednačina. Ova lekcija je treća na ovu temu. Ako imate nejasnu ideju o tome što je sustav linearnih jednadžbi općenito, osjećate se kao čajnik, onda preporučujem da krenete od osnova na stranici. Dalje je korisno proučiti lekciju.

Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Karl Friedrich Gauss za života je bio priznat kao najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak "kralj matematike". A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, za novac se plaćaju ne samo naivčine, već i genijalci - Gausov portret je bio na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gaus se još uvijek misteriozno smiješi Nijemcima sa običnih poštanskih maraka.

Gaussova metoda je jednostavna po tome što je znanje učenika 5. razreda DOVOLJNO da se njime savlada. Morate znati sabirati i množiti! Nije slučajno što nastavnici često razmatraju metodu sukcesivnog otklanjanja nepoznatih na školskim izbornim predmetima iz matematike. Paradoksalno, Gaussova metoda je najteža za studente. Nije ni čudo - cijela stvar je u metodologiji, a ja ću pokušati da vam ispričam o algoritmu metode u pristupačnom obliku.

Prvo, hajde da malo sistematizujmo znanje o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:

1) Imati jedinstveno rješenje. 2) Imati beskonačno mnogo rješenja. 3) Nemati rješenja (biti nedosledno).

Gaussova metoda je najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. Kao što se sećamo Cramerovo pravilo i matrična metoda neprikladan u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekompatibilan. I metodu sukcesivnog otklanjanja nepoznatih u svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! U ovoj lekciji ćemo ponovo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rešenje sistema), članak je rezervisan za situaciju tačaka br. 2-3. Imajte na umu da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja.

Vratimo se na najjednostavniji sistem iz lekcije Kako riješiti sistem linearnih jednačina? i riješi ga Gaussovom metodom.

U prvoj fazi, morate pisati proširena sistemska matrica:. Po kom principu se pišu koeficijenti, mislim da svi vide. Vertikalna traka unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je samo podvlaka radi lakšeg dizajna.

referenca : Preporučujem da zapamtite uslovi linearna algebra. System Matrix Da li je matrica sastavljena samo od koeficijenata sa nepoznanicama, u ovom primjeru matrica sistema: . Proširena sistemska matrica - ovo je ista matrica sistema plus kolona slobodnih članova, u ovom slučaju: ... Bilo koja od matrica se može nazvati jednostavno matricom radi kratkoće.

Nakon što je proširena matrica sistema zapisana, potrebno je sa njom izvršiti neke radnje koje se još nazivaju elementarne transformacije.

Postoje sljedeće elementarne transformacije:

1) Strings matrice mogu preurediti mjesta. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red:

2) Ako matrica sadrži (ili se pojavljuje) proporcionalne (kao poseban slučaj - iste) redove, onda slijedi izbrisati iz matrice svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu ... U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: .

3) Ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacije, onda i on slijedi izbrisati... Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj samo nule.

4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) bilo kojim brojem, nenula... Razmotrite, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa –3, a drugi red pomnožiti sa 2: ... Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje daljnje transformacije matrice.

5) Ova transformacija je najteža, ali u stvari, ni tu nema ništa komplikovano. Na red matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem nenula. Razmotrimo našu matricu iz praktičnog primjera:. Prvo ću vrlo detaljno opisati konverziju. Pomnožite prvi red sa –2: , i u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2: ... Sada se prvi red može podijeliti "nazad" sa –2:. Kao što vidite, linija koja ADD LEE – nije se promijenilo. Uvijek je mijenja liniju DO KOJE SE POVEĆAVA UT.

U praksi, naravno, ne opisuju tako detaljno, već pišu kraće: Još jednom: u drugi red dodao prvi red pomnožen sa –2... Niz se obično množi usmeno ili na nacrtu, dok je mentalni tok proračuna otprilike ovako:

“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: »

“Prva prva kolona. Na dnu, moram dobiti nulu. Stoga jedinicu na vrhu pomnožim sa –2:, a prvu dodam u drugi red: 2 + (–2) = 0. Rezultat upišem u drugi red: »

“Sada za drugu kolonu. Iznad –1 pomnoženo sa –2:. Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

“I treća kolona. Iznad –5 pomnoženo sa –2:. Prvo dodajem u drugi red: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

Molimo vas da pažljivo shvatite ovaj primjer i shvatite sekvencijalni algoritam proračuna, ako ovo razumijete, onda vam je Gaussova metoda praktično "u džepu". Ali, naravno, mi ćemo raditi na ovoj transformaciji.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina

! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadate "sama po sebi". Na primjer, sa "klasičnim" akcije sa matricama Ni u kom slučaju ne treba preuređivati ​​nešto unutar matrica! Vratimo se našem sistemu. Praktično je rastavljena na komade.

Zapisujemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled:

(1) Prvi red pomnožen sa –2 dodat je drugom redu. I opet: zašto se prvi red množi tačno sa –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.

(2) Drugi red podijelite sa 3.

Cilj elementarnih transformacija – dovesti matricu u stepenasti oblik: ... U dizajnu zadatka "merdevine" su označene jednostavnom olovkom, a brojevi koji se nalaze na "stepenicama" su zaokruženi. Sam izraz "tip koraka" nije sasvim teorijski, u naučnoj i obrazovnoj literaturi se često naziva trapezni pogled ili trouglasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentan originalni sistem jednadžbi:

Sada sistem treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove nazadna Gausova metoda.

U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat:.

Razmotrimo prvu jednačinu sistema i u nju zamijenimo već poznatu vrijednost "igre":

Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.

Primjer 1

Riješite sistem jednačina Gaussovom metodom:

Zapišimo proširenu matricu sistema:

Sada ću odmah izvući rezultat do kojeg ćemo doći u toku rješenja: I opet, naš cilj je da matricu dovedemo u stepenasti oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje započeti akciju?

Prvo, gledamo gornji lijevi broj: Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica... Uopšteno govoreći, –1 će biti u redu (a ponekad i drugi brojevi), ali nekako se tako tradicionalno dogodilo da se jedinica obično tu postavlja. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Prva transformacija: zamijenite prvi i treći red:

Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja.... Sada dobro.

Jedinica u gornjem lijevom kutu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima:

Nule dobijamo samo uz pomoć "teške" transformacije. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Šta treba učiniti da dobijete nulu na prvoj poziciji? Neophodno u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2... Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –2: (–2, –4, 2, –18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrt) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa –2:

Rezultat zapisujemo u drugi red:

Na isti način radimo i sa trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3... Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –3: (–3, –6, 3, –27). I u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3:

Rezultat pišemo u trećem redu:

U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i bilježe u jednom koraku:

Ne morate sve brojati odjednom i istovremeno... Redoslijed izračunavanja i "pisanja" rezultata dosljedan i obično ovako: prvo prepišemo prvi red, pa se naduvamo potajno - SEKVENCIJALNO i PAŽLJIVO:
I već sam ispitao mentalni tok samih proračuna iznad.

U ovom primjeru, to je lako učiniti, drugi red je podijeljen sa –5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa –2, jer što su brojevi manji, rješenje je lakše:

U završnoj fazi elementarnih transformacija, ovdje morate dobiti još jednu nulu:

Za ovo u treći red dodajte drugi red pomnožen sa –2:
Pokušajte sami raščlaniti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa –2 i dodajte.

Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan početni sistem linearnih jednačina: Cool.

Obrnuto od Gaussove metode sada dolazi u obzir. Jednačine se "odmotaju" odozdo prema gore.

U trećoj jednačini već imamo gotov rezultat:

Gledamo drugu jednačinu:. Značenje "z" je već poznato, dakle:

I na kraju, prva jednadžba:. "Y" i "z" su poznati, stvar je mala:

Odgovori:

Kao što je već više puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, lako je i brzo.

Primjer 2

Ovo je uzorak uradi sam, završni uzorak i odgovor na kraju tutorijala.

Treba napomenuti da vaš kurs odluke možda se ne poklapa sa mojim tokom odluke, a ovo je karakteristika Gaussove metode... Ali odgovori moraju biti isti!

Primjer 3

Rešiti sistem linearnih jednačina Gausovom metodom

Gledamo gornji levi "stupak". Trebalo bi da imamo jedinicu tamo. Problem je u tome što ih u prvoj koloni uopće nema, pa preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica treba biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: (1) Prvom redu dodajte drugi red pomnožen sa -1... To jest, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i sabrali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.

Sada je gore lijevo "minus jedan", što je za nas u redu. Svako ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret tela: pomnoži prvi red sa –1 (promeni njegov predznak).

(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodaje se drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodaje se trećem redu.

(3) Prvi red je pomnožen sa -1, u principu, ovo je za ljepotu. Promenili smo i predznak trećeg reda i pomerili ga na drugo mesto, tako da na drugom „koraku“ imamo potrebnu jedinicu.

(4) Drugi red, pomnožen sa 2, dodat je trećem redu.

(5) Treći red je podijeljen sa 3.

Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunima (rjeđe - greška u kucanju) je "loš" krajnji rezultat. Odnosno, ako na dnu imamo nešto poput, i, shodno tome, , onda se sa velikim stepenom verovatnoće može tvrditi da je u toku elementarnih transformacija napravljena greška.

Naplaćujemo obrnuti hod, u dizajnu primjera sam sistem se često ne prepisuje, a jednačine se „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona se ispostavilo:

Odgovori: .

Primjer 4

Rešiti sistem linearnih jednačina Gausovom metodom

Ovo je primjer za samostalno rješenje, nešto je složenije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i uzorak dizajna na kraju tutorijala. Vaše rješenje se može razlikovati od mog.

U zadnjem dijelu ćemo razmotriti neke od karakteristika Gaussovog algoritma. Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u jednadžbama sistema, na primjer: Kako ispravno napisati proširenu sistemsku matricu? Već sam govorio o ovom trenutku u lekciji. Cramerovo pravilo. Matrična metoda... U proširenu matricu sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju: Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, jer već postoji jedna nula u prvom stupcu, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija.

Druga karakteristika je kako slijedi. U svim razmatranim primjerima na “stepenice” smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li biti tu i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: .

Ovdje na lijevoj gornjoj "stepenici" imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvoj koloni djeljivi sa 2 bez ostatka - a druga dva i šest. I dvojka u gornjem lijevom kutu će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa –1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Ovo će nam dati željene nule u prvoj koloni.

Ili još jedan uslovni primjer: ... Ovdje nam odgovara i trojka na drugom "koraku", jer je 12 (mjesto gdje treba da dobijemo nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: u treći red dodati drugi red pomnožen sa –4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.

Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Možete sa sigurnošću naučiti kako rješavati sisteme drugim metodama (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno prvi put - postoji vrlo krut algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste "napuniti ruku" i riješiti barem 5-10 deset sistema. Stoga je u početku moguća konfuzija, greške u proračunima i u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.

Kišno jesenje vrijeme izvan prozora ... Stoga, za sve, složeniji primjer za samostalno rješenje:

Primjer 5

Rešiti sistem od 4 linearne jednačine sa četiri nepoznate Gaussovom metodom.

Takav zadatak u praksi nije tako rijedak. Mislim da je čak i čajniku koji je dobro proučio ovu stranicu algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno jasan. U suštini, sve je isto - samo ima više akcija.

Slučajevi kada sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa zajedničkim rešenjem... Tu se takođe može fiksirati razmatrani algoritam Gaussove metode.

Želim vam uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje : Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedimo je u postupni oblik.
Izvršene osnovne transformacije: (1) Prvi red pomnožen sa –2 dodat je drugom redu. Prvi red pomnožen sa -1 dodan je trećem redu. Pažnja! Ovdje bi moglo biti primamljivo oduzeti prvi od trećeg reda, jako ne preporučujem oduzimanje - rizik od greške je znatno povećan. Samo zbrojite! (2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo jednim, već i –1, što je još zgodnije. (3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 5. (4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Treći red je podijeljen sa 14.

Revers:

Odgovori : .

Primjer 4: Rješenje : Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Izvršene konverzije: (1) Drugi je dodan prvom redu. Tako je željena jedinica organizirana na gornjoj lijevoj "prečagi". (2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 6 dodan je trećem redu.

Drugi korak se pogoršava , "Kandidati" za to su brojevi 17 i 23, a trebamo ili jedan ili -1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice (3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1. (4) Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –3. Neophodna stvar na drugom koraku je primljena . (5) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 6. (6) Drugi red je pomnožen sa -1, treći red podijeljen sa -83.

Revers:

Odgovori :

Primjer 5: Rješenje : Zapišimo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik:

Izvršene konverzije: (1) Prvi i drugi red su obrnuti. (2) Prvi red pomnožen sa –2 dodat je drugom redu. Prvi red pomnožen sa –2 dodan je trećem redu. Prvi red pomnožen sa –3 dodan je četvrtom redu. (3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 4. Drugi red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –1. (4) Predznak drugog reda je promijenjen. Četvrti red je podijeljen sa 3 i postavljen na mjesto trećeg reda. (5) Treći red pomnožen sa –5 dodan je četvrtom redu.

Revers:

Odgovori :

Ovdje možete besplatno riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda online velike veličine u kompleksnim brojevima s vrlo detaljnim rješenjem. Naš kalkulator je u stanju da reši na mreži i uobičajeni definitivni i neodređeni sistem linearnih jednačina Gaussovom metodom, koji ima beskonačan broj rešenja. U ovom slučaju, u odgovoru ćete dobiti ovisnost nekih varijabli preko drugih, besplatno. Također možete provjeriti konzistentnost sistema jednačina na mreži koristeći Gaussovo rješenje.

Veličina matrice: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 4 4 4 4 4 4 4 4 4 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3 4 4 4 4 8 3 4 4 4 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

O metodi

Prilikom online rješavanja sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom, izvode se sljedeći koraci.

1. Zapisujemo proširenu matricu.
2. U stvari, rješenje je podijeljeno na naprijed i nazad korake Gaussove metode. Direktan tok Gaussove metode naziva se redukcija matrice na stepenasti oblik. Obrnuto Gaussove metode naziva se redukcija matrice na poseban stepenasti oblik. Ali u praksi je zgodnije odmah nulirati ono što je i iznad i ispod dotičnog elementa. Naš kalkulator koristi upravo ovaj pristup.
3. Važno je napomenuti da kod rješavanja Gaussovom metodom prisustvo u matrici najmanje jednog nultog reda sa desnom stranom različitom od nule (kolona slobodnih pojmova) ukazuje na nekompatibilnost sistema. U ovom slučaju nema rješenja za linearni sistem.

Da biste najbolje razumjeli kako Gauss funkcionira na mreži, unesite bilo koji primjer, odaberite "visoko detaljno rješenje" i pogledajte njegovo rješenje na mreži.

Definicija i opis Gaussove metode

Metoda Gaussove transformacije (poznata i kao metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih varijabli iz jednačine ili matrice) za rješavanje sistema linearnih jednačina je klasična metoda za rješavanje sistema algebarskih jednačina (SLAE). Takođe, ova klasična metoda se koristi za rešavanje problema kao što su dobijanje inverznih matrica i određivanje ranga matrice.

Transformacija Gaussovom metodom sastoji se od malih (elementarnih) sekvencijalnih promjena u sistemu linearnih algebarskih jednačina, što dovodi do eliminacije varijabli iz njega od vrha do dna uz formiranje novog trokutastog sistema jednačina, koji je ekvivalentan originalni.

Definicija 1

Ovaj dio rješenja naziva se direktnim hodom Gaussovog rješenja, jer se cijeli proces odvija od vrha do dna.

Nakon svođenja originalnog sistema jednačina na trouglasti, sve varijable sistema se nalaze odozdo prema gore (odnosno, prve pronađene varijable nalaze se tačno na zadnjim redovima sistema ili matrice). Ovaj dio rješenja je također poznat kao Gausov preokret. Njegov algoritam je sledeći: prvo se izračunaju varijable koje su najbliže dnu sistema jednačina ili matrice, zatim se dobijene vrednosti zamenjuju iznad i tako se pronađe još jedna varijabla i tako dalje.

Opis algoritma Gausove metode

Slijed radnji za opće rješenje sistema jednačina Gaussovom metodom sastoji se u naizmjeničnom primjeni kretanja naprijed i nazad na matricu zasnovanu na SLAE. Neka originalni sistem jednačina ima sljedeći oblik:

$ \ započeti (slučajevi) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ end (slučajevi) $

Za rješavanje SLAE Gaussovom metodom potrebno je originalni sistem jednadžbi napisati u obliku matrice:

$ A = \ begin (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ end (pmatrix) $, $ b = \ begin (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ end (pmatrix) $

Matrica $ A $ naziva se glavna matrica i predstavlja koeficijente varijabli zapisanih redom, a $ b $ naziva se stupac njegovih slobodnih članova. $ A $ matrica ispisana kroz traku sa stupcem slobodnih pojmova naziva se proširena matrica:

$ A = \ begin (niz) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) &… & a_ ( mn) & b_m \ end (niz) $

Sada je potrebno, koristeći elementarne transformacije nad sistemom jednačina (ili nad matricom, kako je zgodnije), dovesti ga u sljedeći oblik:

$ \ početak (slučajevi) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\… \ \ 0 = β_m \ kraj (slučajevi) $ (1)

Matrica dobijena iz koeficijenata transformisanog sistema jednadžbe (1) naziva se stepenasto, ovako obično izgledaju stepenaste matrice:

$ A = \ begin (niz) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \ end (niz) $

Ove matrice karakterizira sljedeći skup svojstava:

1. Sve njegove nulte linije su iza nenultih linija.
2. Ako je neki red matrice s brojem $ k $ različit od nule, tada prethodni red iste matrice sadrži manje nula od ovog reda s brojem $ k $.

Nakon dobijanja stepenaste matrice, potrebno je dobijene varijable zamijeniti u preostale jednadžbe (počevši od kraja) i dobiti preostale vrijednosti varijabli.

Osnovna pravila i dozvoljene transformacije pri korištenju Gaussove metode

Prilikom pojednostavljivanja matrice ili sistema jednačina ovom metodom treba koristiti samo elementarne transformacije.

Takve transformacije se smatraju operacijama koje se mogu primijeniti na matricu ili sistem jednačina bez promjene njegovog značenja:

• preuređivanje više redova na mjestima,
• dodavanje ili oduzimanje od jednog reda matrice drugog reda od istog,
• množenje ili dijeljenje prave konstantom koja nije jednaka nuli,
• linija koja se sastoji samo od nula, dobijenih u procesu izračunavanja i pojednostavljenja sistema, mora biti obrisana,
• Takođe morate ukloniti nepotrebne proporcionalne linije, birajući za sistem jedini sa prikladnijim i pogodnijim koeficijentima za dalje proračune.

Sve elementarne transformacije su reverzibilne.

Analiza tri glavna slučaja koji se javljaju pri rješavanju linearnih jednadžbi metodom jednostavnih Gaussovih transformacija

Postoje tri slučaja koji se javljaju kada se koristi Gaussova metoda za rješavanje sistema:

1. Kada je sistem nekonzistentan, odnosno nema rješenja
2. Sistem jednačina ima rješenje, i to jedino, a broj redova i stupaca koji nisu nula u matrici je jednak jedni drugima.
3. Sistem ima određeni broj ili mnogo mogućih rješenja, a broj redova u njemu je manji od broja kolona.

Ishod odluke sa nekonzistentnim sistemom

Za ovu opciju, prilikom rješavanja matrične jednadžbe Gaussovom metodom, tipično je dobiti neku liniju uz nemogućnost ispunjenja jednakosti. Stoga, ako se pojavi barem jedna netačna jednakost, rezultirajući i originalni sistemi nemaju rješenja bez obzira na druge jednačine koje sadrže. Primjer nekonzistentne matrice:

$ \ početak (niz) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ kraj (niz) $

U posljednjem redu pojavila se nezadovoljiva jednakost: $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $.

Sistem jednačina sa samo jednim rješenjem

Nakon svođenja na stepenastu matricu i uklanjanja redova sa nulama, ovi sistemi imaju isti broj redova i kolona u glavnoj matrici. Evo najjednostavnijeg primjera takvog sistema:

$ \ početak (slučajevi) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ kraj (slučajevi) $

Zapišimo to u obliku matrice:

$ \ početak (niz) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ kraj (niz) $

Da bismo prvu ćeliju drugog reda doveli na nulu, pomnožimo gornji red sa $ -2 $ i oduzmemo ga od donjeg reda matrice, a gornji red ostavimo u originalnom obliku, kao rezultat imamo sljedeće :

$ \ početak (niz) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ kraj (niz) $

Ovaj primjer se može napisati kao sistem:

$ \ početak (slučajevi) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ kraj (slučajevi) $

Sljedeća vrijednost $ x $ proizlazi iz niže jednačine: $ x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. Zamjenom ove vrijednosti u gornju jednačinu: $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $, dobijamo $ x_1 = 1 \ frac (2) (3) $.

Sistem sa mnogo mogućih rješenja

Ovaj sistem karakteriše manji broj značajnih redova od broja kolona u njemu (uzimaju se u obzir redovi glavne matrice).

Varijable u takvom sistemu se dijele na dvije vrste: osnovne i slobodne. Prilikom transformacije takvog sistema glavne varijable koje se nalaze u njemu moraju se ostaviti u lijevom području do znaka “=”, a preostale varijable se moraju pomjeriti na desnu stranu jednakosti.

Takav sistem ima samo neko opšte rešenje.

Hajde da analiziramo sledeći sistem jednačina:

$ \ početak (slučajevi) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ kraj (slučajevi) $

Zapišimo to u obliku matrice:

$ \ početak (niz) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ kraj (niz) $

Naš zadatak je pronaći opće rješenje za sistem. Za ovu matricu osnovne varijable će biti $ y_1 $ i $ y_3 $ (za $ y_1 $ - pošto je na prvom mjestu, a u slučaju $ y_3 $ - nalazi se iza nula).

Kao osnovne varijable biramo upravo one koje su prve u redu koje nisu jednake nuli.

Preostale varijable se nazivaju slobodnim, preko njih trebamo izraziti osnovne.

Koristeći takozvani obrnuti potez, analiziramo sistem odozdo prema gore, za to prvo izražavamo $ y_3 $ iz donjeg reda sistema:

$ 5y_3 - 4y_4 = 1 $

$ 5y_3 = 4y_4 + 1 $

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $.

Sada u gornjoj jednadžbi sistema $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $ zamjenjujemo izraženo $ y_3 $: $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 $

Izražavamo $ y_1 $ u terminima slobodnih varijabli $ y_2 $ i $ y_4 $:

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

$ 2y_1 = 1 - 3y_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1,5x_2 - 0,1y_4 + 0,6 $

Rešenje je spremno.

Primjer 1

Riješite slough Gaussovom metodom. Primjeri. Primjer rješavanja sistema linearnih jednadžbi datih matricom 3 sa 3 korištenjem Gaussove metode

$ \ početak (slučajevi) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ kraj (slučajevi) $

Zapišimo naš sistem u obliku proširene matrice:

$ \ početak (niz) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ kraj (niz) $

Sada, radi praktičnosti i praktičnosti, trebate transformirati matricu tako da $1 $ bude u gornjem kutu ekstremne kolone.

Da biste to učinili, dodajte red iz sredine, pomnožen sa $ -1 $ u 1. red, i napišite srednju liniju kakva jeste, ispada:

$ \ početak (niz) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ kraj (niz) $

$ \ početak (niz) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ kraj (niz) $

Pomnožite gornji i zadnji red sa $ -1 $, a također zamijenite zadnji i srednji red:

$ \ početak (niz) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ kraj (niz) $

$ \ početak (niz) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ kraj (niz) $

I podijelite zadnji red sa 3 $:

$ \ početak (niz) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ kraj (niz) $

Dobijamo sledeći sistem jednačina, koji je ekvivalentan originalnom:

$ \ početak (slučajevi) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ kraj (slučajevi) $

Iz gornje jednadžbe izražavamo $ x_1 $:

$ x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Primjer 2

Primjer rješavanja sistema definiranog korištenjem 4-by-4 matrice Gaussovom metodom

$ \ begin (niz) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ kraj (niz) $.

Na početku mijenjamo mjesta gornjih linija istraživanja iza njega da dobijemo 1 $ u gornjem lijevom uglu:

$ \ početak (niz) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ kraj (niz) $.

Sada pomnožite gornju liniju sa $ -2 $ i dodajte 2. i 3.. Četvrtom dodajemo 1. red pomnožen sa $ -3 $:

$ \ početak (niz) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \ kraj (niz) $

Sada na red 3 dodajemo red 2 pomnožen sa $4 $, a na red 4 dodajemo red 2 pomnožen sa $ -1 $.

$ \ početak (niz) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ kraj (niz) $

Pomnožite red 2 sa $ -1 $, a red 4 podijelite sa $ 3 $ i zamijenite red 3.

$ \ početak (niz) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \ kraj (niz) $

Sada dodajte u zadnji red pretposljednju pomnoženu sa -5 $.

$ \ početak (niz) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ kraj (niz) $

Rezultujući sistem jednačina rešavamo:

$ \ početak (slučajevi) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ \ x + 3y + 2g + m = 11 \ kraj (slučajevi) $