U ovoj lekciji ćemo pogledati metode za rješavanje sistema linearnih jednačina. U toku više matematike sistemi linearnih jednadžbi moraju se rješavati kako u obliku zasebnih zadataka, na primjer, "Rješiti sistem koristeći Cramerove formule", tako i u toku rješavanja drugih zadataka. Sistemi linearnih jednačina moraju se baviti gotovo svim granama više matematike.

Prvo, malo teorije. Šta u ovom slučaju znači matematička riječ "linearno"? To znači da su jednačine sistema sve varijable su uključene na prvom stepenu: bez ikakvih fensi stvari poput i tako dalje, od čega su oduševljeni samo učesnici matematičkih olimpijada.

U višoj matematici za označavanje varijabli ne koriste se samo slova poznata iz djetinjstva.
Prilično popularna opcija su varijable s indeksima:.
Ili početna slova latinice, mala i velika:
Nije tako rijetko pronaći grčka slova: - mnogima poznata "alfa, beta, gama". I također skup s indeksima, recimo, sa slovom "mu":

Upotreba određenog skupa slova zavisi od grane više matematike u kojoj se suočavamo sa sistemom linearnih jednačina. Tako je, na primjer, u sistemima linearnih jednadžbi koji se javljaju prilikom rješavanja integrala, diferencijalnih jednadžbi, tradicionalno je prihvaćeno korištenje zapisa

Ali bez obzira na to kako su varijable označene, principi, metode i metode rješavanja sistema linearnih jednačina se od ovoga ne mijenjaju. Stoga, ako naiđete na nešto strašno, nemojte žuriti da u strahu zatvorite knjigu, na kraju umjesto ptice možete nacrtati sunce i umjesto lica (učitelja). I, koliko god smiješno izgledalo, sistem linearnih jednačina sa ovim oznakama također se može riješiti.

Nešto imam takav predosjećaj da će članak ispasti dosta dugačak, dakle mali sadržaj. Dakle, sekvencijalni "debrifing" će biti ovakav:

- Rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom supstitucije ("školska metoda");
- Rješenje sistema metodom sabiranja (oduzimanja) jednačina sistema po članu;
- Rješenje sistema prema Cramerovim formulama;
- Rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice;
- Sistemsko rješenje Gaussovom metodom.

Svi su upoznati sa sistemima linearnih jednačina iz školskog predmeta matematike. U osnovi, počinjemo s ponavljanjem.

Rješenje sistema linearnih jednačina metodom zamjene

Ova metoda se može nazvati i "školska metoda" ili metoda isključivanja nepoznatih. Slikovito rečeno, može se nazvati i "nedovršena Gaussova metoda".

Primjer 1

Ovdje imamo sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate. Imajte na umu da se slobodni članovi (brojevi 5 i 7) nalaze na lijevoj strani jednačine. Uopšteno govoreći, nije bitno gdje se nalaze, lijevo ili desno, samo se u zadacima iz više matematike često nalaze baš tako. I takav zapis ne bi trebao biti zbunjujući, ako je potrebno, sistem se uvijek može napisati "kao i obično":. Ne zaboravite da prilikom prijenosa pojma iz dijela u dio, on mora promijeniti svoj znak.

Šta znači riješiti sistem linearnih jednačina? Riješiti sistem jednačina znači pronaći skup njegovih rješenja. Rješenje sistema je skup vrijednosti svih varijabli uključenih u njega, što SVAKU jednačinu u sistemu pretvara u pravu jednakost. Osim toga, sistem može biti nedosledno (nema rješenja) Nemojte se obeshrabriti, ovo je opšta definicija =) Imaćemo samo jednu vrednost za "x" i jednu vrednost za "igrek", koje zadovoljavaju svaku c-we jednačinu.

Postoji grafička metoda za rješavanje sistema, koja se može naći u lekciji. Najjednostavniji zadaci sa ravnom linijom... Takođe sam pričao o tome geometrijskog smisla sisteme dve linearne jednačine u dve nepoznanice. Ali sada je era algebre u dvorištu, i brojevi-brojevi, akcije-akcije.

Rešavamo: iz prve jednačine izražavamo:
Dobijeni izraz zamjenjujemo u drugu jednačinu:

Otvaramo zagrade, dajemo slične pojmove i pronalazimo vrijednost:

Zatim se prisjećamo iz čega smo plesali:
Već znamo vrijednost, ostaje da se pronađe:

Odgovori:

Nakon što na BILO KOJI način riješite BILO KOJI sistem jednačina, toplo preporučujem da provjerite (usmeno, na nacrtu ili na kalkulatoru)... Na sreću, to se radi lako i brzo.

1) Zamijenite pronađeni odgovor u prvu jednačinu:

- dobija se tačna jednakost.

2) Zamijenite pronađeni odgovor u drugu jednačinu:

- dobija se tačna jednakost.

Ili, jednostavnije rečeno, "sve se poklopilo"

Razmatrano rješenje nije jedino, iz prve jednačine se moglo izraziti, ne.
Alternativno, možete izraziti nešto iz druge jednačine i zamijeniti to u prvu jednačinu. Usput, primijetite da je najnepovoljniji od četiri načina izražavanje iz druge jednačine:

Razlomci se dobijaju, ali zašto? Postoji racionalnije rešenje.

Ipak, u nekim slučajevima, razlomci su još uvijek neophodni. S tim u vezi, skrećem vam pažnju na to KAKO sam zapisao izraz. Ne ovako:, a nikako ne ovako: .

Ako se u višoj matematici bavite razlomcima, pokušajte sve proračune izvesti u običnim nepravilnim razlomcima.

Tačno, ne ili!

Zarez se može koristiti samo povremeno, posebno ako je to konačan odgovor na problem i više ne morate obavljati nikakvu radnju s ovim brojem.

Vjerovatno su mnogi čitaoci pomislili "zašto tako detaljno objašnjenje, što se tiče popravnog časa, i sve je jasno". Ništa slično, kao ovako jednostavan školski primjer, ali koliko VEOMA važnih zaključaka! evo još jednog:

Trebate nastojati da bilo koji zadatak završite na najracionalniji način.... Makar samo zato što štedi vrijeme i živce, a također smanjuje vjerovatnoću da napravite grešku.

Ako u zadatku iz više matematike naiđete na sistem od dvije linearne jednadžbe sa dvije nepoznate, onda uvijek možete koristiti metodu zamjene (ako nije naznačeno da sistem treba rješavati drugom metodom) Nijedan nastavnik neće pomisliti da ti si naivčina da sniziš ocjenu za korištenje “školske metode””.
Štaviše, u nekim slučajevima je preporučljivo koristiti metodu zamjene za veći broj varijabli.

Primjer 2

Riješiti sistem linearnih jednačina sa tri nepoznate

Sličan sistem jednačina se često javlja kada se koristi tzv. metoda neodređenih koeficijenata, kada se pronađe integral razlomke racionalne funkcije. Dotični sistem sam preuzeo odatle.

Pronalaženje integrala - cilja brzo pronađite vrijednosti koeficijenata, a ne zabavljajte se s Cramerovim formulama, metodom inverzne matrice itd. Stoga je u ovom slučaju odgovarajuća metoda zamjene.

Kada je dat bilo koji sistem jednačina, poželjno je prije svega saznati, ali da li je moguće to na neki način DIREKTNO pojednostaviti? Analizirajući jednačine sistema, uočavamo da se druga jednačina sistema može podeliti sa 2, što i radimo:

Referenca: matematički znak znači "iz ovoga proizilazi", često se koristi u toku rješavanja problema.

Sada analiziramo jednačine, trebamo izraziti neku varijablu u terminima ostatka. Koju jednačinu odabrati? Verovatno ste već pogodili da je najlakši način za ovu svrhu uzeti prvu jednačinu sistema:

Ovdje je svejedno koju varijablu izraziti, isto tako možete izraziti ili.

Dalje, zamjenjujemo izraz za u drugu i treću jednačinu sistema:

Otvaramo zagrade i dajemo slične pojmove:

Podijelite treću jednačinu sa 2:

Iz druge jednačine izražavamo i zamjenjujemo u treću jednačinu:

Gotovo sve je spremno, iz treće jednačine nalazimo:
Iz druge jednačine:
Iz prve jednadžbe:

Provjera: Zamijenite pronađene vrijednosti varijabli u lijevu stranu svake jednačine sistema:

1)
2)
3)

Dobijene su odgovarajuće desne strane jednadžbi, tako da je rješenje pronađeno ispravno.

Primjer 3

Riješiti sistem linearnih jednačina sa 4 nepoznate

Ovo je primjer za nezavisno rješenje (odgovor na kraju tutorijala).

Rješenje sistema metodom sabiranja (oduzimanja) jednačina sistema po članu

U toku rješavanja sistema linearnih jednačina treba pokušati koristiti ne „školsku metodu“, već metodu sabiranja (oduzimanja) jednačina sistema po članu. Zašto? Ovo štedi vrijeme i pojednostavljuje proračune, međutim, sada će postati razumljivije.

Primjer 4

Riješite sistem linearnih jednačina:

Uzeo sam isti sistem kao u prvom primjeru.
Analizirajući sistem jednačina, uočavamo da su koeficijenti varijable isti po modulu i suprotni po predznaku (–1 i 1). U takvoj situaciji, jednačine se mogu zbrajati pojam po član:

Radnje označene crvenom bojom se provode PROMISLENO.
Kao što vidite, kao rezultat sabiranja pojam po član, varijabla je nestala. Ovo, u stvari, jeste Suština metode je da se riješi jedne od varijabli.

Kao što je jasno iz Cramerove teoreme, pri rješavanju sistema linearnih jednačina mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rješenje

(sistem je konzistentan i određen)

Drugi slučaj: sistem linearnih jednačina ima beskonačan broj rješenja

(sistem je konzistentan i nedefinisan)

** ,

one. koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova su proporcionalni.

Treći slučaj: sistem linearnih jednačina nema rješenja

(sistem nedosljedan)

Dakle sistem m linearne jednačine sa n varijable se pozivaju nedosledno ako ona nema rješenja, i joint ako ima barem jedno rješenje. Zove se zajednički sistem jednačina koji ima samo jedno rješenje određeni, i više od jednog - nedefinisano.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina Cramerovom metodom

Neka sistem bude dat

.

Zasnovano na Cramerovoj teoremi

………….
,

gdje
-

sistemska determinanta. Ostatak determinanti će se dobiti zamjenom stupca sa koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznato) slobodnim terminima:

Primjer 2.

.

Dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Prema Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sistema.

Za provjeru rješenja sistema jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator koji rješava Cramerovu metodu.

Ako u sistemu linearnih jednačina u jednoj ili više jednačina nema varijabli, tada su u determinanti odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3. Reši sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

.

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pažljivo pogledajte sistem jednačina i determinantu sistema i ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednak nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznate

Prema Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, rješenje sistema je (2; -1; 1).

6... Opšti sistem linearnih algebarskih jednačina. Gaussova metoda.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja za bilo koji sistem linearnih jednačina, što je u svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! Algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja. Ako je u Cramer i matričnim metodama potrebno poznavanje determinanti, onda je za primjenu Gaussove metode potrebno poznavanje samo aritmetičkih operacija, što ga čini dostupnim i učenicima osnovnih škola.

Prvo, hajde da malo sistematizujmo znanje o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:

1) Imati jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti nedosledno).

Gaussova metoda je najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. Kao što se sećamo Cramerovo pravilo i matrična metoda neprikladan u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekompatibilan. I metodu sukcesivnog otklanjanja nepoznatih u svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! U ovoj lekciji ćemo ponovo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rešenje sistema), članak je rezervisan za situaciju tačaka br. 2-3. Imajte na umu da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja.

Vratimo se na najjednostavniji sistem iz lekcije Kako riješiti sistem linearnih jednačina?
i riješi ga Gaussovom metodom.

U prvoj fazi, morate pisati proširena sistemska matrica:
... Po kom principu se pišu koeficijenti, mislim da svi vide. Vertikalna traka unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je samo podvlaka radi lakšeg dizajna.

referenca:Preporučujem da zapamtite uslovi linearna algebra. System Matrix Da li je matrica sastavljena samo od koeficijenata sa nepoznanicama, u ovom primjeru matrica sistema:. Proširena sistemska matrica- ovo je ista matrica sistema plus kolona slobodnih članova, u ovom slučaju:. Bilo koja od matrica se može nazvati jednostavno matricom radi kratkoće.

Nakon što je proširena matrica sistema zapisana, potrebno je sa njom izvršiti neke radnje koje se još nazivaju elementarne transformacije.

Postoje sljedeće elementarne transformacije:

1) Strings matrice može se preurediti mjesta. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red:

2) Ako matrica sadrži (ili se pojavljuje) proporcionalne (kao poseban slučaj - iste) redove, onda slijedi izbrisati iz matrice svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu ... U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: .

3) Ako se nulti red pojavio u matrici tokom transformacije, onda i on slijedi izbrisati... Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj samo nule.

4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) bilo kojim brojem, nenula... Razmotrite, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa –3, a drugi red pomnožiti sa 2: ... Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje daljnje transformacije matrice.

5) Ova transformacija je najteža, ali u stvari, ni tu nema ništa komplikovano. Na red matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem nenula. Razmotrimo našu matricu iz praktičnog primjera:. Prvo ću vrlo detaljno opisati konverziju. Pomnožite prvi red sa –2: , i u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2: ... Sada se prvi red može podijeliti "nazad" sa –2:. Kao što vidite, linija koja ADD LEE – nije se promijenilo. Uvijek je mijenja liniju DO KOJE SE POVEĆAVA UT.

U praksi, naravno, ne opisuju tako detaljno, već pišu kraće:

Još jednom: u drugi red dodao prvi red pomnožen sa –2... Niz se obično množi usmeno ili na nacrtu, dok je mentalni tok proračuna otprilike ovako:

“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: »

“Prva prva kolona. Na dnu, moram dobiti nulu. Stoga jedinicu na vrhu pomnožim sa –2:, a prvu dodam u drugi red: 2 + (–2) = 0. Rezultat upišem u drugi red: »

“Sada za drugu kolonu. Iznad –1 pomnoženo sa –2:. Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

“I treća kolona. Iznad –5 pomnoženo sa –2:. Prvo dodajem u drugi red: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

Molimo vas da pažljivo shvatite ovaj primjer i shvatite sekvencijalni algoritam proračuna, ako ovo razumijete, onda vam je Gaussova metoda praktično "u džepu". Ali, naravno, mi ćemo raditi na ovoj transformaciji.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina

! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadate "sama po sebi". Na primjer, sa "klasičnim" akcije sa matricama Ni u kom slučaju ne treba preuređivati ​​nešto unutar matrica!

Vratimo se našem sistemu. Praktično je rastavljena na komade.

Zapisujemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled:

(1) Prvi red pomnožen sa –2 dodat je drugom redu. I opet: zašto se prvi red množi tačno sa –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.

(2) Drugi red podijelite sa 3.

Cilj elementarnih transformacija – dovesti matricu u stepenasti oblik: ... U dizajnu zadatka "merdevine" su označene jednostavnom olovkom, a brojevi koji se nalaze na "stepenicama" su zaokruženi. Sam izraz "tip koraka" nije sasvim teorijski, u naučnoj i obrazovnoj literaturi se često naziva trapezni pogled ili trouglasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentan originalni sistem jednadžbi:

Sada sistem treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove nazadna Gausova metoda.

U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat:.

Razmotrimo prvu jednačinu sistema i u nju zamijenimo već poznatu vrijednost "igre":

Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.

Primjer 1

Riješite sistem jednačina Gaussovom metodom:

Zapišimo proširenu matricu sistema:

Sada ću odmah izvući rezultat do kojeg ćemo doći u toku rješenja:

I opet, naš cilj je da matricu dovedemo u stepenasti oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje započeti akciju?

Prvo, gledamo gornji lijevi broj:

Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica... Uopšteno govoreći, –1 će biti u redu (a ponekad i drugi brojevi), ali nekako se tako tradicionalno dogodilo da se jedinica obično tu postavlja. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Prva transformacija: zamijenite prvi i treći red:

Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja.... Sada dobro.

Jedinica u gornjem lijevom kutu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima:

Nule dobijamo samo uz pomoć "teške" transformacije. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Šta treba učiniti da dobijete nulu na prvoj poziciji? Neophodno u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2... Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –2: (–2, –4, 2, –18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrt) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa –2:

Rezultat zapisujemo u drugi red:

Na isti način radimo i sa trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3... Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –3: (–3, –6, 3, –27). I u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3:

Rezultat pišemo u trećem redu:

U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i bilježe u jednom koraku:

Ne morate sve brojati odjednom i istovremeno... Redoslijed izračunavanja i "pisanja" rezultata dosljedan i obično ovako: prvo prepišemo prvi red, pa se naduvamo potajno - SEKVENCIJALNO i PAŽLJIVO:


I već sam ispitao mentalni tok samih proračuna iznad.

U ovom primjeru, to je lako učiniti, drugi red je podijeljen sa –5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa –2, jer što su brojevi manji, rješenje je lakše:

U završnoj fazi elementarnih transformacija, ovdje morate dobiti još jednu nulu:

Za ovo u treći red dodajte drugi red pomnožen sa –2:


Pokušajte sami raščlaniti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa –2 i dodajte.

Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan početni sistem linearnih jednačina:

Cool.

Obrnuto od Gaussove metode sada dolazi u obzir. Jednačine se "odmotaju" odozdo prema gore.

U trećoj jednačini već imamo gotov rezultat:

Gledamo drugu jednačinu:. Značenje "z" je već poznato, dakle:

I na kraju, prva jednadžba:. "Y" i "z" su poznati, stvar je mala:

Odgovori:

Kao što je već više puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, lako je i brzo.

Primjer 2

Ovo je uzorak uradi sam, završni uzorak i odgovor na kraju tutorijala.

Treba napomenuti da vaš kurs odluke možda se ne poklapa sa mojim tokom odluke, a ovo je karakteristika Gaussove metode... Ali odgovori moraju biti isti!

Primjer 3

Rešiti sistem linearnih jednačina Gausovom metodom

Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Gledamo gornji levi "stupak". Trebalo bi da imamo jedinicu tamo. Problem je u tome što ih u prvoj koloni uopće nema, pa preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica treba biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. uradio sam ovo:
(1) Prvom redu dodajte drugi red pomnožen sa -1... To jest, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i sabrali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.

Sada je gore lijevo "minus jedan", što je za nas u redu. Svako ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret tela: pomnoži prvi red sa –1 (promeni njegov predznak).

(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodaje se drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodaje se trećem redu.

(3) Prvi red je pomnožen sa -1, u principu, ovo je za ljepotu. Promenili smo i predznak trećeg reda i pomerili ga na drugo mesto, tako da na drugom „koraku“ imamo potrebnu jedinicu.

(4) Drugi red, pomnožen sa 2, dodat je trećem redu.

(5) Treći red je podijeljen sa 3.

Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunima (rjeđe - greška u kucanju) je "loš" krajnji rezultat. Odnosno, ako na dnu imamo nešto poput, i, shodno tome, , onda se sa velikim stepenom verovatnoće može tvrditi da je u toku elementarnih transformacija napravljena greška.

Naplaćujemo obrnuti hod, u dizajnu primjera sam sistem se često ne prepisuje, a jednačine se „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona se ispostavilo:

Odgovori: .

Primjer 4

Rešiti sistem linearnih jednačina Gausovom metodom

Ovo je primjer za samostalno rješenje, nešto je složenije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i uzorak dizajna na kraju tutorijala. Vaše rješenje se može razlikovati od mog.

U zadnjem dijelu ćemo razmotriti neke od karakteristika Gaussovog algoritma.
Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u jednadžbama sistema, na primjer:

Kako ispravno napisati proširenu sistemsku matricu? Već sam govorio o ovom trenutku u lekciji. Cramerovo pravilo. Matrična metoda... U proširenu matricu sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju:

Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, jer već postoji jedna nula u prvom stupcu, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija.

Druga karakteristika je kako slijedi. U svim razmatranim primjerima na “stepenice” smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li biti tu i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: .

Ovdje na lijevoj gornjoj "stepenici" imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvoj koloni djeljivi sa 2 bez ostatka - a druga dva i šest. I dvojka u gornjem lijevom kutu će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa –1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Ovo će nam dati željene nule u prvoj koloni.

Ili još jedan uslovni primjer: ... Ovdje nam odgovara i trojka na drugom "koraku", jer je 12 (mjesto gdje treba da dobijemo nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: u treći red dodati drugi red pomnožen sa –4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.

Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Možete sa sigurnošću naučiti kako rješavati sisteme drugim metodama (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno prvi put - postoji vrlo krut algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste “napuniti ruku” i riješiti barem 5-10 sistema. Stoga je u početku moguća konfuzija, greške u proračunima i u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.

Kišno jesenje vrijeme izvan prozora ... Stoga, za sve, složeniji primjer za samostalno rješenje:

Primjer 5

Rešiti sistem od četiri linearne jednačine sa četiri nepoznate Gaussovom metodom.

Takav zadatak u praksi nije tako rijedak. Mislim da je čak i čajniku koji je dobro proučio ovu stranicu algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno jasan. U suštini, sve je isto - samo ima više akcija.

Slučajevi kada sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa zajedničkim rešenjem... Tu se takođe može fiksirati razmatrani algoritam Gaussove metode.

Želim vam uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u stepenasti oblik.


Izvršene osnovne transformacije:
(1) Prvi red pomnožen sa –2 dodat je drugom redu. Prvi red pomnožen sa -1 dodan je trećem redu. Pažnja! Ovdje bi moglo biti primamljivo oduzeti prvi od trećeg reda, jako ne preporučujem oduzimanje - rizik od greške je znatno povećan. Samo zbrojite!
(2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo jednim, već i –1, što je još zgodnije.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 5.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Treći red je podijeljen sa 14.

Revers:

Odgovori: .

Primjer 4: Rješenje: Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Izvršene konverzije:
(1) Drugi je dodan prvom redu. Tako je željena jedinica organizirana na gornjoj lijevoj "prečagi".
(2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 6 dodan je trećem redu.

Drugi korak se pogoršava, "Kandidati" za to su brojevi 17 i 23, a trebamo ili jedan ili -1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice

(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
(4) Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –3.
Neophodna stvar na drugom koraku je primljena .
(5) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 6.

U okviru časova Gaussova metoda i Nekompatibilni sistemi / sistemi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo nehomogeni sistemi linearnih jednačina, gdje besplatni član(koji je obično na desnoj strani) najmanje jedan jednačina je bila različita od nule.
A sada, nakon dobrog zagrevanja sa rang matrice, nastavićemo da brusimo tehniku elementarne transformacije on homogeni sistem linearnih jednačina.
U prvim pasusima materijal može izgledati dosadno i obično, ali ovaj utisak je varljiv. Bit će puno novih informacija pored daljnjeg razvoja tehnika, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.

Gaussova metoda ima brojne nedostatke: nemoguće je znati da li je sistem kompatibilan ili ne dok se ne izvrše sve transformacije potrebne u Gauss metodi; Gaussova metoda nije prikladna za sisteme sa slovnim koeficijentima.

Razmotrite druge metode za rješavanje sistema linearnih jednačina. Ove metode koriste koncept ranga matrice i svode rješenje bilo kojeg zajedničkog sistema na rješenje sistema na koji se primjenjuje Cramerovo pravilo.

Primjer 1. Naći opšte rešenje sledećeg sistema linearnih jednačina koristeći osnovni sistem rešenja redukovanog homogenog sistema i određeno rešenje nehomogenog sistema.

1. Sastavljanje matrice A i proširena sistemska matrica (1)

2. Ispitajte sistem (1) za kompatibilnost. Da bismo to učinili, nalazimo rangove matrica A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). Ako se ispostavi da je to onda sistem (1) nedosledno. Ako to dobijemo , onda je ovaj sistem kompatibilan i mi ćemo to riješiti. (Studija kompatibilnosti je zasnovana na Kronecker-Capelli teoremi.)

a. Mi nalazimo rA.

Naći rA, razmotrićemo sekvencijalno minore koji nisu nula prvog, drugog, itd., redova matrice A i maloljetnici koji se graniče s njima.

M1= 1 ≠ 0 (1 se uzima iz gornjeg lijevog ugla matrice A).

Granica M1 drugi red i drugi stupac ove matrice. ... Nastavljamo do granice M1 drugi red i treća kolona..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Sada obrubite manji od nule M2 ′ drugi red.

Imamo: (pošto su prve dvije kolone iste)

(pošto su drugi i treći red proporcionalni).

Vidimo to rA = 2, a je osnovni minor matrice A.

b. Mi nalazimo.

Dovoljno osnovni mol M2 ′ matrice A granica sa kolonom slobodnih članova i svim redovima (imamo samo zadnji red).

... Otuda to slijedi M3 ′ ′ ostaje osnovni minor matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 visina = 75 "height =" 75 "> (2)

Jer M2 ′- bazni mol matrice A sistemi (2) , onda je ovaj sistem ekvivalentan sistemu (3) koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (2) (za M2 ′ nalazi se u prva dva reda matrice A).

(3)

Od osnovnog mola https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

U ovom sistemu, dvije slobodne nepoznate ( x2 i x4 ). Zbog toga FSR sistemi (4) sastoji se od dva rješenja. Da bismo ih pronašli, dodajmo slobodne nepoznate (4) vrijednosti na prvom mjestu x2 = 1 , x4 = 0 , i onda - x2 = 0 , x4 = 1 .

At x2 = 1 , x4 = 0 dobijamo:

.

Ovaj sistem već ima jedina stvar rješenje (može se naći po Cramerovom pravilu ili na bilo koji drugi način). Oduzimanjem prve od druge jednačine dobijamo:

Njeno rešenje će biti x1 = -1 , x3 = 0 ... S obzirom na vrijednosti x2 i x4 koje smo dali, dobijamo prvo fundamentalno rešenje sistema (2) : .

Sada stavljamo (4) x2 = 0 , x4 = 1 ... Dobijamo:

.

Ovaj sistem rješavamo Cramerovom teoremom:

.

Dobijamo drugo fundamentalno rješenje sistema (2) : .

Rješenja β1 , β2 i make up FSR sistemi (2) ... Tada bi njegovo generalno rješenje bilo

γ= C1 β1 + C2β2 = C1 (‑1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)

Evo C1 , C2 - proizvoljne konstante.

4. Pronađite jedan privatni rješenje heterogeni sistem(1) ... Kao u paragrafu 3 , umjesto sistema (1) razmotrite ekvivalentni sistem (5) koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (1) .

(5)

Premjestite slobodne nepoznanice na desnu stranu x2 i x4.

(6)

Dajmo besplatne nepoznate x2 i x4 proizvoljne vrijednosti, na primjer x2 = 2 , x4 = 1 i zamijenite ih (6) ... Dobijamo sistem

Ovaj sistem ima jedinstveno rješenje (pošto je njegova determinanta M2′0). Rješavajući ga (Kramerovom teoremom ili Gaussovom metodom), dobijamo x1 = 3 , x3 = 3 ... S obzirom na vrijednosti slobodnih nepoznanica x2 i x4 , dobijamo posebno rješenje heterogenog sistema(1)α1 = (3,2,3,1).

5. Sada ostaje napisati opšte rešenje α nehomogenog sistema(1) : jednako je zbiru privatno rešenje ovaj sistem i opšte rešenje njegovog redukovanog homogenog sistema (2) :

α = α1 + γ = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2).

Ovo znači: (7)

6. Ispitivanje. Da provjerite da li ste ispravno riješili sistem (1) , potrebno nam je generalno rješenje (7) zamena u (1) ... Ako svaka jednadžba postane identitet ( C1 i C2 mora biti uništeno), tada je rješenje pronađeno ispravno.

Zamenićemo (7) na primjer, samo posljednja jednačina sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Dobijamo: (3 – S1 + 5S2) + (2 + S1) + (3 + 4S2) –9 (1 + S2) = - 1

(C1 – C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

Otuda –1 = –1. Imamo identitet. To radimo sa svim ostalim jednačinama sistema (1) .

Komentar. Provjera je obično prilično glomazna. Može se preporučiti sljedeća "djelimična provjera": u cjelokupnom rješenju sistema (1) dodijeliti neke vrijednosti proizvoljnim konstantama i zamijeniti dobiveno određeno rješenje samo u odbačene jednačine (tj. u one jednačine iz (1) koji nisu uključeni u (5) ). Ako dobijete identitete, onda, najvjerovatnije, sistemsko rješenje (1) pronađeno ispravno (ali takva provjera ne daje potpunu garanciju ispravnosti!). Na primjer, ako u (7) staviti C2 =- 1 , C1 = 1, tada dobijamo: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. Zamjenom u posljednju jednačinu sistema (1) imamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , odnosno –1 = –1. Imamo identitet.

Primjer 2. Naći opšte rešenje sistema linearnih jednačina (1) , izražavajući osnovne nepoznanice u terminima slobodnih.

Rješenje. Kao u primjer 1, sastaviti matrice A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> ovih matrica. Sada ostavljamo samo one jednadžbe sistema (1) , čiji su koeficijenti uključeni u ovaj osnovni minor (tj. imamo prve dvije jednačine) i razmatramo sistem koji se sastoji od njih koji je ekvivalentan sistemu (1).

Prenosimo slobodne nepoznanice na desnu stranu ovih jednačina.

Sistem (9) rješavamo Gaussovom metodom, smatrajući da su desne strane slobodni članovi.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "width =" 202 visina = 106 "height =" 106 ">

Opcija 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

Opcija 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

Opcija 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "width =" 179 visina = 106 "height =" 106 ">

Opcija 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

Pomoću ovog matematičkog programa možete riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe sa dvije varijable metodom zamjene i metodom sabiranja.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već daje i detaljno rješenje sa objašnjenjima koraka rješenja na dva načina: metodom zamjene i metodom sabiranja.

Ovaj program može biti od koristi učenicima viših razreda srednjih škola u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami izvoditi svoju nastavu i/ili podučavati svoju mlađu braću ili sestre, dok se nivo obrazovanja u oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Pravila za unos jednačine

Bilo koje latinično slovo se može koristiti kao varijabla.
Na primjer: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Prilikom unosa jednačina mogu se koristiti zagrade... U ovom slučaju, jednačine se prvo pojednostavljuju. Jednačine nakon pojednostavljenja moraju biti linearne, tj. oblika ax + by + c = 0 sa tačnošću reda elemenata.
Na primjer: 6x + 1 = 5 (x + y) +2

U jednadžbama možete koristiti ne samo cijele brojeve, već i razlomke u obliku decimalnih i običnih razlomaka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cijeli i razlomak u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer: 2.1n + 3.5m = 55

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo se cijeli broj može koristiti kao brojnik, nazivnik i cijeli dio razlomka.
Imenilac ne može biti negativan.
Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka ampersandom: &

Primjeri.
-1 & 2 / 3y + 5 / 3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2 & 1 / 8q)

Riješiti sistem jednačina

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima dosta ljudi koji žele da reše problem, vaš zahtev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sec ...

Ako ti uočio grešku u odluci, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odlučuješ i šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Rješavanje sistema linearnih jednačina. Metoda zamjene

Redoslijed radnji pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi metodom zamjene:
1) izraziti jednu varijablu iz neke jednačine sistema kroz drugu;
2) umesto ove varijable dobijeni izraz zameniti drugom jednačinom sistema;

$$ \ lijevo \ (\ početak (niz) (l) 3x + y = 7 \\ -5x + 2y = 3 \ kraj (niz) \ desno. $$

Izrazimo y iz prve jednačine u terminima x: y = 7-3x. Zamjenom izraza 7-Zx u drugu jednačinu umjesto y, dobijamo sistem:
$$ \ lijevo \ (\ početak (niz) (l) y = 7-3x \\ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ kraj (niz) \ desno. $$

Lako je pokazati da prvi i drugi sistem imaju ista rješenja. U drugom sistemu, druga jednačina sadrži samo jednu varijablu. Hajde da riješimo ovu jednačinu:
$$ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ Desna strelica -5x + 14-6x = 3 \ Strelica desno -11x = -11 \ Strelica desno x = 1 $$

Zamjenom broja 1 u jednakost y = 7-3x umjesto x, nalazimo odgovarajuću vrijednost y:
$$ y = 7-3 \ cdot 1 \ Strelica desno y = 4 $$

Par (1; 4) - sistemsko rješenje

Zovu se sistemi jednačina u dvije varijable koje imaju ista rješenja jednako... Sistemi bez rješenja također se smatraju ekvivalentnim.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja

Razmotrimo još jedan način rješavanja sistema linearnih jednačina - način sabiranja. Prilikom rješavanja sistema ovom metodom, kao i pri rješavanju metodom zamjene, prelazimo sa ovog sistema na drugi njemu ekvivalentan sistem, u kojem jedna od jednačina sadrži samo jednu varijablu.

Redoslijed radnji pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi metodom sabiranja:
1) pomnožiti jednačine sistemskog člana po članu, birajući faktore tako da koeficijenti za jednu od varijabli postanu suprotni brojevi;
2) sabirati član po član levu i desnu stranu jednačine sistema;
3) rešiti dobijenu jednačinu sa jednom promenljivom;
4) pronaći odgovarajuću vrijednost druge varijable.

Primjer. Rešimo sistem jednačina:
$$ \ lijevo \ (\ početak (niz) (l) 2x + 3y = -5 \\ x-3y = 38 \ kraj (niz) \ desno. $$

U jednačinama ovog sistema, koeficijenti na y su suprotni brojevi. Sabiranjem leve i desne strane jednačine član po član, dobijamo jednačinu sa jednom promenljivom 3x = 33. Zamijenite jednu od jednačina u sistemu, na primjer prvu, jednačinom 3x = 33. Dobijamo sistem
$$ \ lijevo \ (\ početak (niz) (l) 3x = 33 \\ x-3y = 38 \ kraj (niz) \ desno. $$

Iz jednačine 3x = 33 nalazimo da je x = 11. Zamjenom ove vrijednosti x u jednačinu \ (x-3y = 38 \) dobijamo jednačinu sa varijablom y: \ (11-3y = 38 \). Hajde da riješimo ovu jednačinu:
\ (- 3y = 27 \ Strelica desno y = -9 \)

Tako smo pronašli rješenje sistema jednadžbi metodom sabiranja: \ (x = 11; y = -9 \) ili \ ((11; -9) \)

Koristeći činjenicu da su u jednačinama sistema koeficijenti na y suprotni brojevi, njegovo rješenje smo sveli na rješenje ekvivalentnog sistema (sumiranjem obje strane svake od jednadžbi izvorne simetrije), u kojem je jedna jednačina sadrži samo jednu varijablu.

Knjige (udžbenici) Sažeci USE i OGE testovi online Igre, zagonetke Funkcije crtanja Grafički rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog ruskih srednjih škola Katalog ruskih univerziteta Spisak zadataka

Sistemi jednačina se široko koriste u ekonomskoj industriji u matematičkom modeliranju različitih procesa. Na primjer, prilikom rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili smještaja opreme.

Sistemi jednačina se koriste ne samo u oblasti matematike, već iu fizici, hemiji i biologiji, u rešavanju problema određivanja veličine populacije.

Sistemom linearnih jednadžbi nazivaju se dvije ili više jednadžbi sa više varijabli, za koje je potrebno pronaći opšte rješenje. Takav niz brojeva za koji sve jednačine postaju istinite jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednačina

Jednačine oblika ax + by = c nazivaju se linearne. Oznaka x, y je nepoznata, čija se vrijednost mora naći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednačine.
Rješenje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafa imat će oblik prave linije, čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavnijim primjerima smatraju se sistemi linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1 (x, y) = 0 i F2 (x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) funkcionalne varijable.

Riješiti sistem jednačina - to znači pronalaženje takvih vrijednosti (x, y) pri kojima se sistem pretvara u pravu jednakost, ili utvrđivanje da ne postoje odgovarajuće vrijednosti za x i y.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinate tačke, naziva se rješenjem sistema linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili rješenje ne postoji, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednačina su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav sistem je heterogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada treba govoriti o primjeru sistema linearnih jednačina sa tri ili više varijabli.

Kada se suoče sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem nepoznanica, ali to nije slučaj. Broj jednačina u sistemu ne zavisi od varijabli, može ih biti koliko god želite.

Jednostavne i složene metode za rješavanje sistema jednačina

Ne postoji opći analitički način rješavanja takvih sistema, sve metode su zasnovane na numeričkim rješenjima. Školski predmet matematike detaljno opisuje metode kao što su permutacija, algebarsko sabiranje, supstitucija, kao i grafička i matrična metoda, rješenje Gaussovom metodom.

Glavni zadatak u nastavi metoda rješenja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode

Rješenje primjera sistema linearnih jednačina za 7. razred opšteškolskog programa je prilično jednostavno i detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku matematike, ovom dijelu se posvećuje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sistema linearnih jednačina Gauss-ovom i Cramerovom metodom detaljnije se proučava na prvim godinama visokoškolskih ustanova.

Rješenje sistema metodom supstitucije

Radnje metode zamjene imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable kroz drugu. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednačinu, a zatim se svodi na oblik s jednom promjenljivom. Akcija se ponavlja u zavisnosti od broja nepoznatih u sistemu

Dajemo rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi 7. klase metodom zamjene:

Kao što možete vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F (X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednačinu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednačini . Rješenje ovog primjera ne izaziva nikakve poteškoće i omogućava vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.

Nije uvijek moguće riješiti primjer sistema linearnih jednačina zamjenom. Jednačine mogu biti komplikovane i izraz varijable u terminima druge nepoznate biće previše glomazan za dalje proračune. Kada u sistemu ima više od 3 nepoznate, rješenje zamjenom je također nepraktično.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Algebarsko rješenje sabiranja

Prilikom traženja rješenja sistema metodom sabiranja vrši se sabiranje član po član i množenje jednačina različitim brojevima. Krajnji cilj matematičkih operacija je jednačina u jednoj varijabli.

Ova metoda zahtijeva praksu i promatranje. Nije lako riješiti sistem linearnih jednačina metodom sabiranja sa 3 ili više varijabli. Pogodno je koristiti algebarsko sabiranje kada su u jednadžbama prisutni razlomci i decimalni brojevi.

Algoritam akcije rješenja:

1. Pomnožite obje strane jednačine nekim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
2. Dodajte rezultirajući izraz pojam po član i pronađite jednu od nepoznatih.
3. Zamijenite dobijenu vrijednost u 2. jednačinu sistema da biste pronašli preostalu varijablu.

Rješenje uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem treba da pronađe rješenje za najviše dvije jednačine, broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi uvođenjem nove varijable. Nova jednačina se rješava s obzirom na unesenu nepoznatu, a rezultirajuća vrijednost se koristi za određivanje originalne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće svesti 1. jednadžbu sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminanta.

Potrebno je pronaći vrijednost diskriminanta prema poznatoj formuli: D = b2 - 4 * a * c, gdje je D traženi diskriminant, b, a, c su faktori polinoma. U datom primjeru, a = 1, b = 16, c = 39, dakle D = 100. Ako je diskriminanta veća od nule, postoje dva rješenja: t = -b ± √D / 2 * a, ako je diskriminanta manja od nule, postoji jedno rješenje: x = -b / 2 * a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom sabiranja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za sisteme sa 3 jednačine. Metoda se sastoji u crtanju na koordinatnoj osi grafika svake jednačine uključene u sistem. Koordinate presečnih tačaka krivih biće opšte rešenje sistema.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednačina na vizuelni način.

Kao što možete vidjeti iz primjera, za svaku pravu liniju izgrađene su dvije tačke, vrijednosti varijable x su odabrane proizvoljno: 0 i 3. Na osnovu vrijednosti x pronađene su vrijednosti za y : 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) su označene na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednačinu. Tačka preseka linija je rešenje sistema.

U sljedećem primjeru morate pronaći grafičko rješenje za sistem linearnih jednačina: 0,5x-y + 2 = 0 i 0,5x-y-1 = 0.

Kao što možete vidjeti iz primjera, sistem nema rješenja, jer su grafovi paralelni i ne seku se cijelom dužinom.

Sistemi iz primjera 2 i 3 su slični, ali pri izgradnji postaje očigledno da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći da li sistem ima rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi graf.

Matrica i njene varijante

Matrice se koriste za koncizno pisanje sistema linearnih jednačina. Matrica je tablica posebne vrste ispunjena brojevima. n * m ima n - redova i m - kolona.

Matrica je kvadratna kada je broj kolona i redova jednak jedni drugima. Vektorska matrica je matrica sa jednim stupcem sa beskonačnim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se matrica identiteta.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s kojom se originalna matrica pretvara u matricu identiteta, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.

Pravila za transformaciju sistema jednačina u matricu

U primjeni na sisteme jednačina, koeficijenti i slobodni članovi jednadžbi su zapisani kao brojevi matrice, jedna jednačina je jedan red matrice.

Red matrice naziva se nenula ako je barem jedan element reda različit od nule. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi razlikuje broj varijabli, tada je potrebno upisati nulu umjesto nepoznate koja nedostaje.

Kolone matrice moraju se striktno podudarati sa varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu upisati samo u jedan stupac, na primjer, prvi, koeficijent nepoznatog y - samo u drugi.

Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se sekvencijalno množe brojem.

Varijante pronalaženja inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / | K |, gdje je K -1 inverzna matrica, a | K | je determinanta matrice. K | ne bi trebalo biti nula, tada sistem ima rješenje.

Determinanta se lako izračunava za matricu dva po dva; potrebno je samo pomnožiti elemente na dijagonali jedan s drugim. Za opciju "tri po tri" postoji formula | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Možete koristiti formulu, ili se možete sjetiti da trebate uzeti po jedan element iz svakog reda i svake kolone kako se brojevi stupaca i redova elemenata ne bi ponavljali u proizvodu.

Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava smanjenje glomaznih zapisa pri rješavanju sistema sa velikim brojem varijabli i jednačina.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n su slobodni termini.

Gausovo rješenje sistema

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno sa Cramer metodom, a proces pronalaženja rješenja za sisteme naziva se Gauss - Cramer metoda. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabilnih sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.

Gaussova metoda je vrlo slična rješenjima zamjene i algebarskog sabiranja, ali je sistematičnija. U školskom predmetu se koristi Gausovo rješenje za sisteme od 3 i 4 jednačine. Cilj metode je da sistem izgleda kao obrnuti trapez. Algebarskim transformacijama i supstitucijama, vrijednost jedne varijable se nalazi u jednoj od jednačina sistema. Druga jednačina je izraz sa 2 nepoznate, ali 3 i 4 - sa 3 i 4 varijable.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, dalje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednačine sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:

Kao što možete vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobijene dvije jednačine: 3x 3 -2x 4 = 11 i 3x 3 + 2x 4 = 7. Rješenje bilo koje od jednadžbi će vam omogućiti da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, spomenuta u tekstu, kaže da ako se jedna od jednačina sistema zamijeni ekvivalentnom, onda će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Gaussovu metodu teško je razumjeti srednjoškolcima, ali je jedan od najzanimljivijih načina za razvoj inteligencije djece na naprednim časovima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja proračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbi i slobodnih termina zapisani su u obliku matrice, gdje je svaki red matrice vezan za jednu od jednačina sistema. odvaja lijevu stranu jednačine od desne. Rimski brojevi označavaju brojeve jednačina u sistemu.

Prvo zapisuju matricu s kojom će raditi, a zatim sve radnje koje se izvode jednom od linija. Rezultirajuća matrica se upisuje nakon znaka strelice i nastavljaju se potrebne algebarske radnje dok se ne postigne rezultat.

Kao rezultat, trebala bi se dobiti matrica u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se dovodi u jedan oblik. Ne zaboravite napraviti proračune s brojevima na obje strane jednačine.

Ovaj način snimanja je manje glomazan i omogućava vam da vas ne ometa nabrajanje brojnih nepoznanica.

Besplatna primjena bilo kojeg rješenja zahtijevat će brigu i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neki načini pronalaženja rješenja su poželjniji u ovoj drugoj oblasti ljudske djelatnosti, dok drugi postoje u obrazovne svrhe.