Обратна квадратна матрица. Начини за намиране на обратната матрица

Тази тема е една от най-мразените сред студентите. По-лошо, вероятно, само детерминанти.

Номерът е, че самото понятие за обратния елемент (а сега не говоря само за матрици) ни препраща към операцията на умножение. Дори в училищната програма умножението се счита за сложна операция, а умножението на матрици като цяло е отделна тема, на която имам цял параграф и видео урок, посветен на него.

Днес няма да навлизаме в детайлите на матричните изчисления. Само запомнете: как се обозначават матриците, как се умножават и какво следва от това.

Преглед: Матрично умножение

Първо, нека се споразумеем за нотацията. Матрица $A$ с размер $\left[ m\times n \right]$ е просто таблица с числа с точно $m$ редове и $n$ колони:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

За да не объркате случайно редове и колони на места (повярвайте ми, на изпита можете да объркате един с двойка - какво да кажем за някои редове там), просто погледнете снимката:

Определяне на индекси за матрични клетки

Какво се случва? Ако поставим стандартната координатна система $OXY$ в горния ляв ъгъл и насочим осите така, че да покриват цялата матрица, тогава всяка клетка от тази матрица може да бъде уникално свързана с координатите $\left(x;y \right) $ - това ще бъде номерът на ред и колона.

Защо координатната система е поставена точно в горния ляв ъгъл? Да, защото от там започваме да четем всякакви текстове. Много е лесно да се запомни.

Защо оста $x$ е насочена надолу, а не надясно? Отново е просто: вземете стандартната координатна система (оста $x$ върви надясно, оста $y$ върви нагоре) и я завъртете така, че да обхваща матрицата. Това е завъртане на 90 градуса по посока на часовниковата стрелка - виждаме неговия резултат на снимката.

Като цяло разбрахме как да определим индексите на матричните елементи. Сега нека се заемем с умножението.

Определение. Матриците $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когато броят на колоните в първата съвпада с броя на редовете във втората, са наречен последователен.

В този ред е. Човек може да бъде двусмислен и да каже, че матриците $A$ и $B$ образуват подредена двойка $\left(A;B \right)$: ако те са последователни в този ред, тогава изобщо не е необходимо $B $ и $A$, тези. двойката $\left(B;A \right)$ също е последователна.

Могат да се умножават само последователни матрици.

Определение. Произведението на последователни матрици $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ е новата матрица $C=\left[ m\times k \right ]$ , чиито елементи $((c)_(ij))$ се изчисляват по формулата:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

С други думи: за да получите елемента $((c)_(ij))$ от матрицата $C=A\cdot B$, трябва да вземете $i$-реда на първата матрица, $j$ -та колона на втората матрица и след това умножете по двойки елементи от този ред и колона. Съберете резултатите.

Да, това е грубо определение. От него веднага следват няколко факта:

Най-общо казано, матричното умножение е некомутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
Умножението обаче е асоциативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
И дори разпределителен: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
И отново разпределително: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Дистрибутивността на умножението трябваше да бъде описана отделно за лявата и дясната сума на множителя само поради некомутативността на операцията за умножение.

Ако все пак се окаже, че $A\cdot B=B\cdot A$, такива матрици се наричат пермутируеми.

Сред всички матрици, които се умножават по нещо там, има специални - тези, които, когато се умножат по която и да е матрица $A$, отново дават $A$:

Определение. Матрица $E$ се нарича идентичност, ако $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случай на квадратна матрица $A$ можем да запишем:

Матрицата за идентичност е чест гост при решаването на матрични уравнения. И като цяло чест гост в света на матриците. :)

И заради този $E$ някой измисли цялата игра, която ще бъде написана по-нататък.

Какво е обратна матрица

Тъй като умножението на матрицата е много отнемаща време операция (трябва да умножите куп редове и колони), концепцията за обратна матрица също не е най-тривиалната. И има нужда от известно обяснение.

Ключова дефиниция

Е, време е да разберем истината.

Определение. Матрицата $B$ се нарича обратна на матрицата $A$ if

Обратната матрица се обозначава с $((A)^(-1))$ (да не се бърка със степента!), така че дефиницията може да бъде пренаписана по следния начин:

Изглежда, че всичко е изключително просто и ясно. Но когато анализираме такова определение, веднага възникват няколко въпроса:

Винаги ли съществува обратна матрица? И ако не винаги, тогава как да определим: кога съществува и кога не?
И кой каза, че такава матрица е точно една? Ами ако за някаква оригинална матрица $A$ има цяла тълпа обратни?
Как изглеждат всички тези "обрати"? И как всъщност ги броиш?

Що се отнася до алгоритмите за изчисление - ще говорим за това малко по-късно. Но на останалите въпроси ще отговорим точно сега. Нека ги подредим под формата на отделни твърдения-леми.

Основни свойства

Нека започнем с това как трябва да изглежда матрицата $A$, за да има $((A)^(-1))$. Сега ще се уверим, че и двете матрици трябва да са квадратни и с еднакъв размер: $\left[ n\times n \right]$.

Лема 1. Дадена е матрица $A$ и нейната инверсия $((A)^(-1))$. Тогава и двете матрици са квадратни и имат същия ред $n$.

Доказателство. Всичко е просто. Нека матрицата $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Тъй като продуктът $A\cdot ((A)^(-1))=E$ съществува по дефиниция, матриците $A$ и $((A)^(-1))$ са последователни в този ред:

\[\begin(подравняване) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( подравняване)\]

Това е пряко следствие от алгоритъма за умножение на матрицата: коефициентите $n$ и $a$ са "транзитни" и трябва да са равни.

В същото време е дефинирано и обратното умножение: $((A)^(-1))\cdot A=E$, така че матриците $((A)^(-1))$ и $A$ са също последователно в този ред:

\[\begin(подравняване) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( подравняване)\]

По този начин, без да губим общността, можем да приемем, че $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Въпреки това, според дефиницията на $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, така че размерите на матриците са абсолютно еднакви:

\[\begin(подравняване) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(подравняване)\]

Така се оказва, че и трите матрици - $A$, $((A)^(-1))$ и $E$ - са квадратни по размер $\left[ n\times n \right]$. Лемата е доказана.

Е, това вече е добре. Виждаме, че само квадратните матрици са обратими. Сега нека се уверим, че обратната матрица е винаги една и съща.

Лема 2. Дадена е матрица $A$ и нейната инверсия $((A)^(-1))$. Тогава тази обратна матрица е уникална.

Доказателство. Нека започнем от обратното: нека матрицата $A$ има поне две инверсни инстанции — $B$ и $C$. Тогава, според дефиницията, следните равенства са верни:

\[\begin(подравняване) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(подравняване)\]

От лема 1 заключаваме, че всичките четири матрици $A$, $B$, $C$ и $E$ са квадратни от същия ред: $\left[ n\times n \right]$. Следователно продуктът се определя:

Тъй като умножението на матрицата е асоциативно (но не и комутативно!), можем да запишем:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Надясно B=C. \\ \end(подравняване)\]

Получихме единствената възможна опция: две копия на обратната матрица са равни. Лемата е доказана.

Горните разсъждения почти дословно повтарят доказателството за уникалността на обратния елемент за всички реални числа $b\ne 0$. Единственото съществено допълнение е да се вземе предвид размерността на матриците.

Все още обаче не знаем нищо за това дали някоя квадратна матрица е обратима. Тук на помощ ни идва детерминантата – това е ключова характеристика за всички квадратни матрици.

Лема 3 . Дадена е матрица $A$. Ако матрицата $((A)^(-1))$, обратна на нея, съществува, тогава детерминантата на оригиналната матрица е различна от нула:

\[\вляво| A \right|\ne 0\]

Доказателство. Вече знаем, че $A$ и $((A)^(-1))$ са квадратни матрици с размер $\left[ n\times n \right]$. Следователно за всеки от тях е възможно да се изчисли детерминантата: $\left| A \right|$ и $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Въпреки това, детерминантата на продукта е равна на произведението на детерминантите:

\[\вляво| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \вдясно|\Стрелка надясно \вляво| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \вдясно|\]

Но според дефиницията на $A\cdot ((A)^(-1))=E$ и детерминантът на $E$ винаги е равен на 1, така че

\[\begin(подравняване) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \вляво| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\вдясно|; \\ & \вляво| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \вдясно|=1. \\ \end(подравняване)\]

Произведението на две числа е равно на едно само ако всяко от тези числа е различно от нула:

\[\вляво| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \вдясно|\ne 0.\]

Така се оказва, че $\left| A \right|\ne 0$. Лемата е доказана.

Всъщност това изискване е съвсем логично. Сега ще анализираме алгоритъма за намиране на обратната матрица - и ще стане напълно ясно защо по принцип не може да съществува обратна матрица с нулева детерминанта.

Но първо, нека формулираме "спомагателна" дефиниция:

Определение. Дегенерираната матрица е квадратна матрица с размер $\left[ n\times n \right]$, чиято детерминанта е нула.

По този начин можем да твърдим, че всяка обратима матрица е неизродена.

Как да намерим обратната матрица

Сега ще разгледаме универсален алгоритъм за намиране на обратни матрици. Като цяло има два общоприети алгоритма и днес ще разгледаме втория.

Този, който ще бъде разгледан сега, е много ефективен за матрици с размер $\left[ 2\times 2 \right]$ и - отчасти - с размер $\left[ 3\times 3 \right]$. Но като се започне от размера $\left[ 4\times 4 \right]$ е по-добре да не се използва. Защо - сега ще разберете всичко.

Алгебрични допълнения

Приготви се. Сега ще има болка. Не, не се притеснявайте: красива медицинска сестра с пола, чорапи с дантела не ви идва и няма да ви инжектира в дупето. Всичко е много по-прозаично: алгебричните допълнения и Нейно Величество „Матрицата на Съюза“ идват при вас.

Да започнем с основния. Нека има квадратна матрица с размер $A=\left[ n\times n \right]$, чиито елементи са наречени $((a)_(ij))$. След това за всеки такъв елемент може да се дефинира алгебрично допълнение:

Определение. Алгебрично допълнение $((A)_(ij))$ към елемента $((a)_(ij))$ в $i$-тия ред и $j$-тата колона на матрицата $A=\left [ n \times n \right]$ е конструкция на формата

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Където $M_(ij)^(*)$ е детерминантата на матрицата, получена от оригиналния $A$ чрез изтриване на същия $i$-ти ред и $j$-та колона.

Отново. Алгебричното допълнение към матричния елемент с координати $\left(i;j \right)$ се обозначава като $((A)_(ij))$ и се изчислява по схемата:

Първо, изтриваме $i$-реда и $j$-тата колона от оригиналната матрица. Получаваме нова квадратна матрица и обозначаваме нейния детерминант като $M_(ij)^(*)$.
След това умножаваме този детерминант по $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - в началото този израз може да изглежда умопомрачителен, но всъщност просто откриваме знака пред $ M_(ij)^(*) $.
Броим - получаваме точно число. Тези. алгебричното събиране е просто число, а не някаква нова матрица и т.н.

Самата матрица $M_(ij)^(*)$ се нарича допълнителен минор към елемента $((a)_(ij))$. И в този смисъл горното определение за алгебрично допълнение е частен случай на по-сложно определение – това, което разгледахме в урока за детерминанта.

Важна забележка. Всъщност в математиката за "възрастни" алгебричните допълнения се дефинират, както следва:

Взимаме $k$ редове и $k$ колони в квадратна матрица. В пресечната им точка получаваме матрица с размер $\left[ k\times k \right]$ — нейната детерминанта се нарича минор от ред $k$ и се означава с $((M)_(k))$.

След това зачертаваме тези "избрани" $k$ редове и $k$ колони. Отново получаваме квадратна матрица - нейната детерминанта се нарича допълнителен минор и се означава с $M_(k)^(*)$.

Умножете $M_(k)^(*)$ по $((\left(-1 \right))^(t))$, където $t$ е (внимание сега!) сумата от числата на всички избрани редове и колони. Това ще бъде алгебричното събиране.

Обърнете внимание на третата стъпка: всъщност има сума от $2k$ условия! Друго нещо е, че за $k=1$ получаваме само 2 члена - това ще са едни и същи $i+j$ - "координатите" на елемента $((a)_(ij))$, за който сме търси алгебрично допълнение.

Така че днес използваме леко опростена дефиниция. Но както ще видим по-късно, това ще бъде повече от достатъчно. Много по-важно е следното:

Определение. Обединителната матрица $S$ към квадратната матрица $A=\left[ n\times n \right]$ е нова матрица с размер $\left[ n\times n \right]$, която се получава от $A$ като замените $((a)_(ij))$ с алгебрични допълнения $((A)_(ij))$:

\\Стрелка надясно S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

Първата мисъл, която възниква в момента на осъзнаване на тази дефиниция е „това е колко трябва да преброите общо!” Спокойно: трябва да броиш, но не толкова. :)

Е, всичко това е много хубаво, но защо е необходимо? Но защо.

Основна теорема

Да се върнем малко назад. Не забравяйте, че в лема 3 се казва, че една обратима матрица $A$ винаги е неособена (тоест нейната детерминанта е различна от нула: $\left| A \right|\ne 0$).

Така че, обратното също е вярно: ако матрицата $A$ не е изродена, тогава тя винаги е обратима. И дори има схема за търсене $((A)^(-1))$. Виж това:

Теорема за обратната матрица. Нека е дадена квадратна матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и нейният детерминант е различен от нула: $\left| A \right|\ne 0$. Тогава обратната матрица $((A)^(-1))$ съществува и се изчислява по формулата:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

И сега - все същото, но с четлив почерк. За да намерите обратната матрица, трябва:

Изчислете детерминанта $\left| A \right|$ и се уверете, че е различен от нула.
Компилирайте обединителната матрица $S$, т.е. пребройте 100500 алгебрични допълнения $((A)_(ij))$ и ги поставете на място $((a)_(ij))$.
Транспонирайте тази матрица $S$ и след това я умножете по някакво число $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

И това е! Намерена е обратната матрица $((A)^(-1))$. Нека разгледаме примери:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Решение. Нека проверим обратимостта. Нека изчислим детерминанта:

\[\вляво| A \вдясно|=\ляво| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Детерминантата е различна от нула. Така че матрицата е обратима. Нека създадем матрица на съюза:

Нека изчислим алгебричните допълнения:

\[\begin(подравняване) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\вдясно|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\вдясно|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \вдясно|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\вдясно|=3. \\ \end(подравняване)\]

Обърнете внимание: детерминанти |2|, |5|, |1| и |3| са детерминантите на матрици с размер $\left[ 1\times 1 \right]$, а не модули. Тези. ако в детерминантите имаше отрицателни числа, не е необходимо да премахвате "минус".

Като цяло нашата матрица на съюза изглежда така:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (масив)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(масив) \вдясно]\]

Добре, всичко свърши сега. Проблема решен.

Отговор. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Задача. Намерете обратната матрица:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Решение. Отново разглеждаме детерминанта:

\[\begin(подравняване) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Детерминантата е различна от нула - матрицата е обратима. Но сега ще бъде най-малкият: трябва да преброите до 9 (девет, по дяволите!) Алгебрични допълнения. И всеки от тях ще съдържа квалификатора $\left[ 2\times 2 \right]$. летя:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(матрица)\]

Накратко, матрицата на съюза ще изглежда така:

Следователно обратната матрица ще бъде:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\ край(масив) \вдясно]\]

Е, това е всичко. Ето отговора.

Отговор. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Както можете да видите, в края на всеки пример направихме проверка. В тази връзка важна забележка:

Не бъдете мързеливи да проверите. Умножете оригиналната матрица по намерената обратна - трябва да получите $E$.

Много по-лесно и по-бързо е да извършите тази проверка, отколкото да търсите грешка при по-нататъшни изчисления, когато, например, решавате матрично уравнение.

Алтернативен начин

Както казах, теоремата за обратната матрица работи добре за размерите $\left[ 2\times 2 \right]$ и $\left[ 3\times 3 \right]$ (в последния случай не е толкова "красиво" вече). ”), но за големите матрици започва тъгата.

Но не се притеснявайте: има алтернативен алгоритъм, който може да се използва за спокойно намиране на обратната дори за матрицата $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, както често се случва, за да разгледаме този алгоритъм, се нуждаем от малко теоретична подготовка.

Елементарни трансформации

Сред различните трансформации на матрицата има няколко специални - те се наричат елементарни. Има точно три такива трансформации:

Умножение. Можете да вземете $i$-тия ред (колона) и да го умножите по произволно число $k\ne 0$;
Добавяне. Добавете към $i$-тия ред (колона) всеки друг $j$-ти ред (колона), умножен по произволно число $k\ne 0$ (разбира се, $k=0$ също е възможно, но какъв е смисълът от това? ?Нищо обаче няма да се промени).
Пермутация. Вземете $i$-тия и $j$-тия ред (колони) и ги разменете.

Защо тези трансформации се наричат елементарни (за големите матрици те не изглеждат толкова елементарни) и защо са само три – тези въпроси са извън обхвата на днешния урок. Затова няма да навлизаме в подробности.

Друго нещо е важно: трябва да извършим всички тези извращения върху свързаната матрица. Да, да, правилно чухте. Сега ще има още едно определение – последното в днешния урок.

Прикачена матрица

Със сигурност в училище сте решавали системи от уравнения, използвайки метода на събиране. Е, там, извадете друг от един ред, умножете един ред по число - това е всичко.

И така: сега всичко ще бъде същото, но вече „по възрастен начин“. Готов?

Определение. Нека са дадени матрицата $A=\left[ n\times n \right]$ и идентичната матрица $E$ със същия размер $n$. Тогава асоциираната матрица $\left[ A\left| д\вдясно. \right]$ е нова $\left[ n\times 2n \right]$ матрица, която изглежда така:

\[\left[ A\left| д\вдясно. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Накратко, вземаме матрицата $A$, вдясно й приписваме матрицата за идентичност $E$ с необходимия размер, разделяме ги с вертикална черта за красота - ето я приложената. :)

Каква е уловката? И ето какво:

Теорема. Нека матрицата $A$ е обратима. Помислете за присъединената матрица $\left[ A\left| д\вдясно. \вдясно]$. Ако използвате елементарни трансформации на низовеприведете го до формата $\left[ E\left| Ярък. \вдясно]$, т.е. чрез умножаване, изваждане и пренареждане на редове, за да се получи от $A$ матрицата $E$ отдясно, тогава матрицата $B$, получена отляво, е обратната на $A$:

\[\left[ A\left| д\вдясно. \вдясно]\до \наляво[E\ляво| Ярък. \надясно]\Стрелка надясно B=((A)^(-1))\]

Толкова е просто! Накратко, алгоритъмът за намиране на обратната матрица изглежда така:

Напишете асоциираната матрица $\left[ A\left| д\вдясно. \вдясно]$;
Извършвайте елементарни преобразувания на низове, докато дясното вместо $A$ се появи $E$;
Разбира се, нещо ще се появи и отляво - определена матрица $B$. Това ще бъде обратното;
ПЕЧАЛБИ! :)

Разбира се, много по-лесно е да се каже, отколкото да се направи. Така че нека разгледаме няколко примера: за размерите $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.

Задача. Намерете обратната матрица:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Решение. Ние съставяме приложената матрица:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 и 1 \\\край(масив) \вдясно]\]

Тъй като последната колона на оригиналната матрица е пълна с единици, извадете първия ред от останалите:

\[\begin(подравняване) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(масив) \вдясно]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(масив) \вдясно] \\ \end(подравняване)\]

Няма повече единици, освен първия ред. Но ние не го докосваме, в противен случай новоотстранените единици ще започнат да се "умножават" в третата колона.

Но можем да извадим втория ред два пъти от последния - получаваме единица в долния ляв ъгъл:

\[\begin(подравняване) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\край(масив) \вдясно]\начало(матрица) \ \\ \стрелка надолу \\ -2 \\\край(матрица)\до \\ & \наляво [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \вдясно] \\ \end(подравняване)\]

Сега можем да извадим последния ред от първия и два пъти от втория - по този начин ще „нулираме“ първата колона:

\[\begin(подравняване) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ към \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \вдясно] \\ \end(подравняване)\]

Умножете втория ред по −1 и след това го извадете 6 пъти от първия и добавете 1 път към последния:

\[\begin(подравняване) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\край(масив) \вдясно]\начало(матрица) \ \\ \ляво| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \вдясно]\begin(matrix) -6 \\ \стрелка надолу \\ +1 \\\end (матрица)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Остава само да размените редове 1 и 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Готов! Вдясно е необходимата обратна матрица.

Отговор. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Задача. Намерете обратната матрица:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\край (матрица) \вдясно]\]

Решение. Отново съставяме приложеното:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Да вземем малко назаем, да се погрижим колко трябва да броим сега... и да започнем да броим. За начало ние „зануляваме“ първата колона, като изваждаме ред 1 от редове 2 и 3:

\[\begin(подравняване) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(масив) \вдясно]\начало(матрица) \стрелка надолу \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(матрица)\до \\ & \to \left[ \begin(масив)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Наблюдаваме твърде много "минуси" в редове 2-4. Умножете всичките три реда по −1 и след това изгорете третата колона, като извадите ред 3 от останалите:

\[\begin(подравняване) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(масив) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \вляво| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \вляво| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (масив) \вдясно]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \стрелка нагоре \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Сега е време да "изпържите" последната колона на оригиналната матрица: извадете ред 4 от останалата част:

\[\begin(подравняване) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(масив ) \вдясно]\начало(матрица) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \нагоре \\\end(матрица)\до \\ & \to \left[ \begin(масив)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Окончателно хвърляне: "изгарете" втората колона, като извадите ред 2 от ред 1 и 3:

\[\begin(подравняване) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( масив) \вдясно]\начало(матрица) 6 \\ \стрелка нагоре \\ -5 \\ \\\end(матрица)\до \\ & \to \left[ \begin(масив)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

И отново, идентичната матрица отляво, така че обратната отдясно. :)

Отговор. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(матрица) \вдясно]$

Обратна матрица за дадена е такава матрица, умножение на оригиналната, по която дава матрица за идентичност: Задължително и достатъчно условие за наличието на обратна матрица е неравенството на детерминанта на оригиналната (което от своя страна означава, че матрицата трябва да е квадратна). Ако детерминантата на матрица е равна на нула, тогава тя се нарича изродена и такава матрица няма обратна. Във висшата математика обратните матрици са важни и се използват за решаване на редица проблеми. Например, на намиране на обратната матрицаконструиран е матричен метод за решаване на системи от уравнения. Нашият сервизен сайт позволява изчислете обратната матрица онлайндва метода: методът на Гаус-Йордан и използване на матрицата на алгебричните събирания. Първият предполага голям брой елементарни трансформации в рамките на матрицата, вторият - изчисляване на детерминанта и алгебрични добавки към всички елементи. За да изчислите детерминанта на матрица онлайн, можете да използвате другата ни услуга - Изчисляване на детерминанта на матрица онлайн

Намерете обратната матрица на сайта

сайтви позволява да намерите обратна матрица онлайнбързо и безплатно. На сайта се правят изчисления от нашия сервиз и се показва резултат с подробно решение за намиране обратна матрица. Сървърът винаги дава само точния и правилен отговор. В задачите по дефиниция обратна матрица онлайн, е необходимо детерминантата матрицибеше различно от нула, иначе сайтще докладва невъзможността за намиране на обратната матрица поради факта, че детерминантът на оригиналната матрица е равен на нула. Намиране на задача обратна матрицанамира се в много клонове на математиката, като е едно от най-основните понятия на алгебрата и математически инструмент в приложните задачи. Независим дефиниция на обратната матрицаизисква значителни усилия, много време, изчисления и много внимание, за да не се допусне пропуск или малка грешка в изчисленията. Следователно нашата услуга намиране на обратната матрица онлайнще улесни значително вашата задача и ще се превърне в незаменим инструмент за решаване на математически задачи. Дори ако ти намерете обратна матрицасами, препоръчваме да проверите вашето решение на нашия сървър. Въведете оригиналната си матрица в нашата онлайн изчислителна обратна матрица и проверете отговора си. Нашата система никога не греши и намира обратна матрицададено измерение в режима онлайннезабавно! На сайта сайтВ елементите са разрешени знаци матрици, в такъв случай обратна матрица онлайнще бъдат представени в общ символичен вид.

Матрицата $A^(-1)$ се нарича обратна на квадратната матрица $A$, ако $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, където $E $ е идентичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $A$.

Несингулярна матрица е матрица, чиято детерминанта не е равна на нула. Съответно, изродена матрица е тази, чиято детерминанта е равна на нула.

Обратната матрица $A^(-1)$ съществува, ако и само ако матрицата $A$ е неособена. Ако обратната матрица $A^(-1)$ съществува, тогава тя е уникална.

Има няколко начина да намерите обратното на матрица и ще разгледаме два от тях. Тази страница ще обсъди метода на съчетаната матрица, който се счита за стандартен в повечето курсове по висша математика. Вторият начин за намиране на обратната матрица (метод на елементарните трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордън, е разгледан във втората част.

Метод на комбинирана (обединена) матрица

Нека е дадена матрицата $A_(n\times n)$. За да се намери обратната матрица $A^(-1)$, са необходими три стъпки:

Намерете детерминанта на матрицата $A$ и се уверете, че $\Delta A\neq 0$, т.е. че матрицата A е неизродена.
Съставете алгебрични допълнения $A_(ij)$ на всеки елемент от матрицата $A$ и запишете матрицата $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ от намереното алгебрични допълнения.
Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицата $(A^(*))^T$ често се нарича присъединена (взаимна, свързана) матрица на $A$.

Ако решението се взема ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки порядки: втори (), трети (), четвърти (). За намиране на обратната матрица за матрица от по-висок порядък се използват други методи. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.

Пример №1

Намерете матрица, обратна на матрицата $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(масив) \вдясно)$.

Тъй като всички елементи на четвъртата колона са равни на нула, тогава $\Delta A=0$ (т.е. матрицата $A$ е изродена). Тъй като $\Delta A=0$, няма матрица, обратна на $A$.

Пример №2

Намерете матрицата, обратна на матрицата $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Използваме метода на съчетаната матрица. Първо, нека намерим детерминанта на дадената матрица $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Тъй като $\Delta A \neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че продължаваме с решението. Намиране на алгебрични допълнения

\begin(подравнен) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(подравнен)

Съставете матрица от алгебрични допълнения: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонирайте получената матрица: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (резултантният матрицата често се нарича присъединена или обединена матрица към матрицата $A$). Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, имаме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Така че е намерена обратната матрица: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A^(-1)\cdot A=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заменим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ но като $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ край(масив)\вдясно)$:

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Пример №3

Намерете обратното на матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Нека започнем с изчисляване на детерминанта на матрицата $A$. И така, детерминантата на матрицата $A$ е:

$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Тъй като $\Delta A\neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че продължаваме с решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадената матрица:

Ние съставяме матрица от алгебрични допълнения и я транспонираме:

$$ A^*=\left(\begin(масив) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, получаваме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Така че $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A\cdot A^(-1)=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заменим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, но като $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Проверката е премината успешно, обратната матрица $A^(-1)$ е намерена правилно.

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Пример №4

Намерете матрица, обратна на $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(масив) \вдясно)$.

За матрица от четвърти порядък намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични събирания е малко трудно. Такива примери обаче се срещат в контролните работи.

За да намерите обратната матрица, първо трябва да изчислите детерминанта на матрицата $A$. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминанта в ред (колона). Избираме произволен ред или колона и намираме алгебричното допълнение на всеки елемент от избрания ред или колона.

Продължаваме да говорим за действия с матрици. А именно, в хода на изучаването на тази лекция ще научите как да намерите обратната матрица. Уча. Дори ако математиката е тясна.

Какво е обратна матрица? Тук можем да направим аналогия с реципрочните числа: помислете например за оптимистичното число 5 и неговото реципрочно число. Произведението на тези числа е равно на едно: . Същото е и с матриците! Произведението на матрица и нейната инверсия е - матрица за идентичност, което е матричният аналог на числовата единица. Въпреки това, първо, ние ще решим един важен практически въпрос, а именно, ще се научим как да намерим тази обратна матрица.

Какво трябва да знаете и да можете да намерите обратната матрица? Трябва да можете да решите детерминанти. Трябва да разберете какво е матрицаи да можете да извършвате някои действия с тях.

Има два основни метода за намиране на обратната матрица:
чрез алгебрични допълненияи използвайки елементарни трансформации.

Днес ще проучим първия, по-лесен начин.

Нека започнем с най-ужасното и неразбираемо. Обмисли квадратматрица . Обратната матрица може да бъде намерена с помощта на следната формула:

Където е детерминантата на матрицата , е транспонираната матрица на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата .

Концепцията за обратна матрица съществува само за квадратни матрици, матрици "две по две", "три по три" и т.н.

Нотация: Както вероятно вече сте забелязали, обратното на матрица се обозначава с горен индекс

Нека започнем с най-простия случай - матрица две по две. Най-често, разбира се, се изисква "три по три", но въпреки това силно препоръчвам да изучавате по-проста задача, за да научите общия принцип на решението.

пример:

Намерете обратното на матрица

Ние решаваме. Последователността от действия е удобно разложена на точки.

1) Първо намираме детерминанта на матрицата.

Ако разбирането на това действие не е добро, прочетете материала Как да изчислим детерминанта?

Важно!Ако детерминантата на матрицата е НУЛА– обратна матрица НЕ СЪЩЕСТВУВА.

В разглеждания пример, както се оказа, , което означава, че всичко е наред.

2) Намерете матрицата на непълнолетните.

За да решим нашия проблем, не е необходимо да знаем какво е непълнолетен, но е препоръчително да прочетете статията Как да изчислим детерминанта.

Матрицата на минорите има същите размери като матрицата , тоест в този случай .
Случаят е малък, остава да намерите четири числа и да ги поставите вместо звездички.

Обратно към нашата матрица
Нека първо да разгледаме горния ляв елемент:

Как да го намеря незначителен?
И това се прави по следния начин: МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалото число е минор на дадения елемент, което записваме в нашата матрица на минорите:

Помислете за следния матричен елемент:

Мислено зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Това, което остава, е минорът на този елемент, който записваме в нашата матрица:

По същия начин разглеждаме елементите на втория ред и намираме техните второстепенни:

Готов.

Просто е. В матрицата на непълнолетните, имате нужда ПРОМЕНЯТЕ ЗНАКИТЕза две числа:

Точно тези числа съм оградил!

е матрицата на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата .

И просто нещо…

4) Намерете транспонираната матрица на алгебричните събирания.

е транспонираната матрица на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата .

5) Отговор.

Запомнете нашата формула
Всички намерени!

Така че обратната матрица е:

Най-добре е да оставите отговора такъв, какъвто е. НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на 2, тъй като ще се получат дробни числа. Този нюанс е разгледан по-подробно в същата статия. Действия с матрици.

Как да проверите решението?

Трябва да се извърши и умножение на матрицата

Преглед:

вече споменато матрица за идентичносте матрица с включени единици основен диагонали нули другаде.

Така обратната матрица е намерена правилно.

Ако извършите действие, резултатът също ще бъде матрица за идентичност. Това е един от малкото случаи, когато умножението на матрицата е променливо, повече информация можете да намерите в статията Свойства на операциите върху матрици. Матрични изрази. Също така имайте предвид, че по време на проверката константата (фракцията) се пренася напред и се обработва в самия край - след умножението на матрицата. Това е стандартен прием.

Нека да преминем към по-често срещан случай на практика - матрицата три по три:

пример:

Намерете обратното на матрица

Алгоритъмът е абсолютно същият като за случая две по две.

Обратната матрица намираме по формулата: , където е транспонираната матрица на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата .

1) Намерете детерминанта на матрицата.

Тук се разкрива детерминантата на първия ред.

Също така, не забравяйте това, което означава, че всичко е наред - съществува обратна матрица.

2) Намерете матрицата на непълнолетните.

Матрицата на непълнолетните има измерението "три по три" , и трябва да намерим девет числа.

Ще разгледам подробно няколко непълнолетни:

Помислете за следния матричен елемент:

МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалите четири числа се записват в детерминанта "две по две"

Тази детерминанта две по две и е минор на дадения елемент. Необходимо е да се изчисли:

Всичко, минорът е намерен, ние го записваме в нашата матрица на минорите:

Както може би се досещате, има девет детерминанта две по две за изчисляване. Процесът, разбира се, е скучен, но случаят не е най-трудният, може да бъде и по-лош.

Е, за консолидация - намиране на още един непълнолетен на снимките:

Опитайте се сами да изчислите останалите непълнолетни.

Краен резултат:
е матрицата на минорите на съответните елементи на матрицата .

Това, че всички непълнолетни се оказаха отрицателни, е чиста случайност.

3) Намерете матрицата на алгебричните събирания.

В матрицата на непълнолетните е необходимо ПРОМЕНЯТЕ ЗНАКИТЕстрого за следните елементи:

В такъв случай:

Намирането на обратната матрица за матрицата „четири по четири“ не се разглежда, тъй като само учител-садист може да даде такава задача (за ученика да изчисли една детерминанта „четири по четири“ и 16 детерминанта „три по три“) . В моята практика имаше само един такъв случай и клиентът на теста плати доста скъпо за моите мъки =).

В редица учебници, ръководства можете да намерите малко по-различен подход за намиране на обратната матрица, но аз препоръчвам да използвате горния алгоритъм за решение. Защо? Тъй като вероятността да се объркате в изчисленията и знаците е много по-малка.

Намиране на обратната матрица.

В тази статия ще се занимаваме с концепцията за обратна матрица, нейните свойства и начини за намирането й. Нека се спрем подробно на решаването на примери, в които се изисква да се построи обратна матрица за дадена.

Навигация в страницата.

Обратна матрица - дефиниция.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични събирания.

Свойства на обратната матрица.

Намиране на обратната матрица по метода на Гаус-Джордан.

Намиране на елементи от обратната матрица чрез решаване на съответните системи от линейни алгебрични уравнения.

Обратна матрица - дефиниция.

Концепцията за обратна матрица се въвежда само за квадратни матрици, чиято детерминанта е различна от нула, тоест за несингулярни квадратни матрици.

Определение.

Матрицасе нарича обратна на матрицата, чийто детерминант е различен от нула, ако равенствата са верни , където Ее идентичната матрица на реда нна н.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични събирания.

Как да намеря обратната матрица за дадена?

Първо, имаме нужда от концепциите транспонирана матрица, минорната матрица и алгебричното допълнение на матричния елемент.

Определение.

Незначителенk-тия поръчкаматрици Апоръчка мна не детерминантата на матрицата на реда кна к, което се получава от елементите на матрицата Анамира в избраното клинии и кколони. ( кне надвишава най-малкото число мили н).

Незначителен (n-1)-торед, който се състои от елементите на всички редове, освен i-тои всички колони освен j-ти, квадратна матрица Апоръчка нна ннека го означим като .

С други думи, минорът се получава от квадратната матрица Апоръчка нна нзачеркване на елементи i-толинии и j-тиколона.

Например, нека напишем, второстепенен 2-роред, който се получава от матрицата избор на елементи от неговите втори, трети ред и първа, трета колона . Показваме и минора, който се получава от матрицата изтриване на втория ред и третата колона . Нека илюстрираме конструкцията на тези непълнолетни: и .

Определение.

Алгебрично събиранеелемент от квадратна матрица се нарича минор (n-1)-торед, който се получава от матрицата А, изтриване на елементи от него i-толинии и j-тиколона, умножена по .

Алгебричното допълнение на елемент се обозначава като . По този начин, .

Например за матрица алгебричното допълнение на елемента е .

Второ, ще ни трябват две свойства на детерминанта, които обсъдихме в раздела изчисление на детерминанта на матрицата:

Въз основа на тези свойства на детерминанта, дефинициите операции за умножение на матрица по числои концепцията за обратна матрица, имаме равенството , където е транспонирана матрица, чиито елементи са алгебрични допълнения.

Матрица е наистина обратен на матрицата А, тъй като равенствата . Нека го покажем

Да композираме обратен матричен алгоритъмизползвайки равенството .

Нека анализираме алгоритъма за намиране на обратната матрица с помощта на пример.

Пример.

Дадена матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Изчислете детерминанта на матрицата А, разширявайки го с елементите на третата колона:

Детерминантата е различна от нула, така че матрицата Аобратимо.

Нека намерим матрица от алгебрични събирания:

Така

Нека извършим транспонирането на матрицата от алгебрични допълнения:

Сега намираме обратната матрица като :

Нека проверим резултата:

Равенство се изпълняват, следователно, обратната матрица е намерена правилно.

Свойства на обратната матрица.

Понятие за обратна матрица, равенство , дефинициите на операции с матрици и свойствата на детерминанта на матрица дават възможност да се обоснове следното свойства на обратната матрица:

Помислете за друг начин за намиране на обратната матрица за квадратна матрица Апоръчка нна н.

Този метод се основава на решението нсистеми от линейни нехомогенни алгебрични уравнения с ннеизвестен. Неизвестните променливи в тези системи от уравнения са елементите на обратната матрица.

Идеята е много проста. Обозначете обратната матрица като х, това е, . Тъй като по дефиниция на обратната матрица , тогава

Приравнявайки съответните елементи по колони, получаваме нсистеми от линейни уравнения

Решаваме ги по всякакъв начин и образуваме обратна матрица от намерените стойности.

Нека анализираме този метод с пример.

Пример.

Дадена матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Приемам . Равенството ни дава три системи от линейни нехомогенни алгебрични уравнения:

Няма да описваме решението на тези системи; ако е необходимо, вижте раздела решение на системи от линейни алгебрични уравнения.

От първата система от уравнения имаме , от втората - , от третата - . Следователно желаната обратна матрица има формата . Препоръчваме да проверите дали резултатът е правилен.

Обобщавайте.

Разгледахме концепцията за обратна матрица, нейните свойства и три метода за намирането й.

Пример за решения с обратна матрица

Упражнение 1.Решете SLAE, като използвате метода на обратната матрица. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Начало на формуляра

Край на формата

Решение. Нека запишем матрицата като: Вектор B: BT = (1,2,3,4) Главна детерминанта Минор за (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 ( 3 2-6 2) = -3 Минор за (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Минор за ( 3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Минор за (4,1): = 3 (3 2-6 2 ) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Малък детерминант ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Транспонирана матрицаАлгебрични допълнения ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1-2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 = -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Обратна матрица Резултатен вектор X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

Вижте също SLAE решения по метода на обратната матрицаонлайн. За да направите това, въведете вашите данни и вземете решение с подробни коментари.

Задача 2. Напишете системата от уравнения в матричен вид и я реши с помощта на обратната матрица. Проверете получения разтвор. Решение:xml:xls

Пример 2. Запишете системата от уравнения в матричен вид и решете с помощта на обратната матрица. Решение:xml:xls

Пример. Дадена е система от три линейни уравнения с три неизвестни. Задължително: 1) намерете неговото решение с помощта на Формулите на Крамер; 2) напишете системата в матрична форма и я реши с помощта на матрично смятане. Насоки. След решаване по метода на Крамер намерете бутона "Обратно матрично решение за изходни данни". Ще получите подходящо решение. По този начин данните няма да се налага да се попълват отново. Решение. Означаваме с A - матрицата на коефициентите за неизвестни; X - колонна матрица от неизвестни; B - матрица-колона от свободни членове:

Вектор B: BT =(4,-3,-3) Като се имат предвид тези обозначения, тази система от уравнения приема следната матрична форма: A*X = B. Ако матрицата A е несингулярна (детерминантата й е различна от нула, тогава тя има обратна матрица A -1 Умножавайки двете страни на уравнението по A -1, получаваме: A -1 * A * X = A -1 * B, A -1 * A = E. Това равенство се нарича матрично записване на решението на системата от линейни уравнения. За да се намери решение на системата от уравнения, е необходимо да се изчисли обратната матрица A -1 . Системата ще има решение, ако детерминантата на матрицата A е различна от нула. Да намерим главния детерминант. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Значи детерминантата е 14 ≠ 0, така че продължаваме с решението. За да направим това, намираме обратната матрица чрез алгебрични събирания. Нека имаме несингулярна матрица A:

Изчисляваме алгебрични събирания.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Преглед. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 док:xml:xls Отговор: -1,1,2.