Презентация на тема: Производна. Историята на появата на термина "производно" "Който иска да се ограничи до настоящето, без да знае миналото, никога няма да го разбере" Лайбниц Готфрид Фридрих. Производна в електротехниката

Историята на понятието производно

Функции, граници, производна и интеграл са основните понятия на математическия анализ, изучавани в хода на гимназията. А понятието производна е неразривно свързано с понятието функция.

Терминът "функция" е предложен за първи път от немски философ и математик за характеризиране на различни сегменти, свързващи точките на определена крива през 1692 г. Първата дефиниция на функция, която вече не се свързва с геометрични изображения, е формулирана през 1718 г. Ученик на Йохан Бернули

през 1748 г. изяснява определението на функцията. На Ойлер се приписва въвеждането на символа f(x) за обозначаване на функция.

Строго определение на границата и непрекъснатостта на функция е формулирано през 1823 г. от френския математик Огюстин Луи Коши . Определението за непрекъснатост на функция е формулирано още по-рано от чешкия математик Бернар Болцано. Съгласно тези определения, въз основа на теорията на реалните числа, беше извършено строго обосноваване на основните положения на математическия анализ.

Откриването на подходите и основите на диференциалното смятане е предшествано от работата на френски математик и юрист, който през 1629 г. предлага методи за намиране на най-големите и най-малките стойности на функциите, чертайки допирателни към произволни криви и всъщност разчита на използване на деривати. Това беше улеснено и от работата, която разработи метода на координатите и основите на аналитичната геометрия. Едва през 1666 г. и малко по-късно, независимо един от друг, те изграждат теорията на диференциалното смятане. Нютон стигна до концепцията за производна чрез решаване на задачи за мигновена скорост и , - като разгледа геометричната задача за теглене на допирателна към крива. и изследва проблема за максимумите и минимумите на функциите.

Интегралното смятане и самата концепция за интеграла произлизат от необходимостта да се изчислят площите на плоските фигури и обемите на произволни тела. Идеите за интегралното смятане произлизат от трудовете на древните математици. Това обаче свидетелства за „метода на изчерпване“ на Евдокс, който той по-късно използва през 3 век. пр.н.е e Същността на този метод беше, че за да се изчисли площта на плоска фигура и чрез увеличаване на броя на страните на многоъгълника се намери границата, в която са насочени областите на стъпаловидни фигури. За всяка фигура обаче изчисляването на лимита зависи от избора на специална техника. И проблемът с общия метод за изчисляване на площите и обемите на фигурите остана нерешен. Архимед все още не прилага изрично общата концепция за граница и интеграл, въпреки че тези понятия са използвани имплицитно.

През 17 век , който открива законите на движението на планетите, първият опит за развитие на идеи е успешно осъществен. Кеплер изчислява площите на плоските фигури и обемите на телата, въз основа на идеята за разлагане на фигура и тяло на безкраен брой безкрайно малки части. В резултат на добавянето тези части се състоят от фигура, чиято площ е известна и която ни позволява да изчислим площта на желаната. Така нареченият „принцип на Кавалиери“ влезе в историята на математиката, с помощта на който се изчисляват площи и обеми. Този принцип е теоретично обоснован по-късно с помощта на интегрално смятане.
Идеите на други учени станаха основата, върху която Нютон и Лайбниц откриха интегралното смятане. Развитието на интегралното смятане продължи много по-късно Пафнути Лвович Чебишев разработени начини за интегриране на някои класове ирационални функции.

Съвременната дефиниция на интеграла като граница на интегралните суми се дължи на Коши. символ

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт (акаунт) в Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

История на производното

„Този ​​свят беше обвит в дълбок мрак. Нека бъде светлина! И тук идва Нютон. Епитафия на поета А. Поуп:

Историята на появата на производната В края на 12-ти век великият английски учен Исак Нютон доказа, че пътят и скоростта са свързани помежду си с формулата: V (t) = S '(t) и такава връзка съществува между количествените характеристики на най-разнообразните изучавани процеси: физика, химия, биология и технически науки. Това откритие на Нютон е повратна точка в историята на естествените науки.

Честта да открие основните закони на математическия анализ, заедно с Нютон, принадлежи на немския математик Готфрид Вилхелм Лайбниц. Историята на появата на производната Лайбниц стигна до тези закони чрез решаване на проблема за тегленето на допирателна към произволна крива, т.е. формулира геометричния смисъл на производната, че стойността на производната в точката на контакт е наклонът на допирателната или tg на наклона на допирателната с положителната посока на оста О X .

Терминът производно и съвременните обозначения y’ , f’ са въведени от Ж. Лагранж през 1797г. Историята на появата на производното

Имате ли нужда от производно в бъдещата си професия? Представители на различни специалности трябва да се справят с такива задачи в наше време: технологичните инженери се опитват да организират производството по такъв начин, че да се произвеждат възможно най-много продукти; Дизайнерите се опитват да разработят инструмент за космическия кораб, така че масата на инструмента да е възможно най-малка; Икономистите се опитват да планират връзките между завода и източниците на суровини по такъв начин, че транспортните разходи да са минимални.

Работата е извършена от: Лисенко Анастасия Посохова Марика Шълнов Денис Струченков Никита Ръководител: Новикова Любов Анатолиевна Използвани материали: FileLand.RU

Благодаря за вниманието!

По темата: методически разработки, презентации и бележки

Презентация "Историческа информация за квадратни уравнения"

Презентацията предоставя интересна историческа информация за квадратни уравнения, както и нестандартни начини за решаване на квадратни уравнения....

Историческа информация за изкуството на витражите, техните видове. Използването на витражи в интериорния дизайн

В момента витражите намериха нов живот: украсяват обществени сгради (прозорци, врати, вътрешни прегради), променяйки външния им вид. Витражите в Русия стават все по-модерни. Декоративни характеристики...

Това извънкласно събитие допринася за развитието на кръгозора на учениците, възпитава интерес към математиката....

Производната на функция в точка е основното понятие на диференциалното смятане. Той характеризира скоростта на промяна на функцията в определената точка. Производната се използва широко при решаване на редица задачи по математика, физика и други науки, особено при изследване на скоростта на различни видове процеси.

Основни определения

Производната е равна на границата на съотношението на увеличението на функцията към инкремента на аргумента, при условие че последният клони към нула:

$y^(\prime)\left(x_(0)\right)=\lim _(\Delta x \rightarrow 0) \frac(\Delta y)(\Delta x)$

Определение

Извиква се функция, която има крайна производна в даден момент диференцируеми в дадена точка. Процесът на изчисляване на производната се нарича функционална диференциация.

Справка по история

Руският термин "производна на функция" е използван за първи път от руския математик V.I. Висковатов (1780 - 1812).

Обозначаването на приращение (аргумент/функция) с гръцката буква $\Delta$ (делта) е използвано за първи път от швейцарския математик и механик Йохан Бернули (1667 - 1748). Означението за диференциала, производната $d x$ принадлежи на немския математик G.V. Лайбниц (1646 - 1716). Начинът за обозначаване на производната на времето с точка над буквата - $\dot(x)$ - идва от английския математик, механик и физик Исак Нютон (1642 - 1727). Краткото обозначение на производната със щрих - $f^(\prime)(x)$ - принадлежи на френския математик, астроном и механик Дж.Л. Лагранж (1736 - 1813), който той въвежда през 1797г. Символът за частична производна $\frac(\partial)(\partial x)$ е активно използван в своите трудове от немския математик Карл Г.Я. Якоби (1805 - 1051), а след това и изключителният немски математик Карл Т.В. Weierstrass (1815 - 1897), въпреки че това обозначение вече е срещано по-рано в една от трудовете на френския математик A.M. Лежандър (1752 - 1833). Символът на диференциалния оператор $\nabla$ е изобретен от изключителния ирландски математик, механик и физик W.R. Хамилтън (1805 - 1865) през 1853 г., а името "набла" е предложено от английския самоук учен, инженер, математик и физик Оливър Хевисайд (1850 - 1925) през 1892 г.

Https://ppt4web.ru/images/1345/36341/310/img0.jpg" alt="(!LANG: Презентация на тема: Производна. Изпълнено от ученици от 11 "а" клас: Челобитчикова Мар" title="Презентация на тема: Производна. Изпълнено от ученици от 11 "а" клас: Челобитчикова Мар">!}

Описание на слайда:

слайд номер 2

Описание на слайда:

слайд номер 3

Описание на слайда:

От историята: В историята на математиката традиционно се разграничават няколко етапа в развитието на математическото познание: Формиране на понятието геометрична фигура и число като идеализиране на реални обекти и множества от еднородни обекти. Появата на броене и измерване, което направи възможно сравняването на различни числа, дължини, площи и обеми. Изобретението на аритметичните операции. Натрупване емпирично (чрез опити и грешки) на знания за свойствата на аритметичните операции, за методите за измерване на площи и обеми на прости фигури и тела. Шумеро-вавилонските, китайските и индийските математици от древността са напреднали далеч в тази посока. Появата в древна Гърция на дедуктивна математическа система, която показва как да се получат нови математически истини на базата на съществуващи. Върховното постижение на древногръцката математика са Елементите на Евклид, които играят ролята на еталон за математическа строгост в продължение на две хилядолетия. Математиците от страните на исляма не само са запазили древните постижения, но и са успели да ги синтезират с откритията на индийските математици, които са напреднали по-далеч от гърците в теорията на числата. През XVI-XVIII век европейската математика се възражда и отива далеч напред. Неговата концептуална основа в този период е вярата, че математическите модели са един вид идеален скелет на Вселената и затова откриването на математическите истини е едновременно откриване на нови свойства на реалния свят. Основният успех по този път беше разработването на математически модели на зависимост (функция) и ускорено движение (анализ на безкрайно малки). Всички природни науки са възстановени на базата на новооткрити математически модели и това довежда до колосалния им напредък. През 19-20 век става ясно, че връзката между математиката и реалността далеч не е толкова проста, колкото изглеждаше преди. Няма общоприет отговор на вида „основен въпрос на философията на математиката“: да се намери причината за „неразбираемата ефективност на математиката в природните науки“. В това, а и не само в това отношение, математиците са се разделили на много дискутиращи школи. Очертаха се няколко опасни тенденции: прекомерно тясна специализация, изолация от практически проблеми и др. В същото време силата на математиката и нейният престиж, подкрепени от ефективността на нейното приложение, са по-високи от всякога.

слайд номер 4

Описание на слайда:

слайд номер 5

Описание на слайда:

Диференцируемост Производната f "(x0) на функцията f в точка x0, като граница, може да не съществува или да съществува и да бъде крайна или безкрайна. Функцията f е диференцируема в точка x0, ако и само ако нейната производна в тази точка съществува и е крайна: За функция f, диференцируема в x0 в околност U(x0) удовлетворява представянето f(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0)

слайд номер 6

Описание на слайда:

Забележки Нека наречем Δx = x − x0 нарастването на аргумента на функцията, а Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) нарастването на стойността на функцията в точката x0. Тогава Нека функцията има крайна производна във всяка точка. Тогава производната функция е дефинирана. Функцията, която има крайна производна в дадена точка, е непрекъсната в нея. Обратното не винаги е вярно. Ако самата производна функция е непрекъсната, тогава функцията f се нарича непрекъснато диференцируема и се записва:

слайд номер 7

Описание на слайда:

Геометричното и физическото значение на производната Геометричното значение на производната. На графиката на функцията се избира абсцисата x0 и се изчислява съответната ордината f(x0). Избира се произволна точка x в околността на точка x0. През съответните точки на графиката на функцията F (първата светлосива линия C5) се чертае секанс. Разстоянието Δx = x - x0 клони към нула, в резултат на това секансът става допирателен (постепенно потъмняване на линиите C5 - C1). Тангенсът на ъгъла на наклона α на тази допирателна е производната в точката x0.

слайд номер 8

Описание на слайда:

Производни на по-висок ред Концепцията за производна на произволен ред е дадена рекурсивно. Поставяме Ако функцията f е диференцируема в x0, тогава производната от първи ред се дава от релацията. Нека сега производната от n-ти ред f(n) е дефинирана в някаква околност на точката x0 и е диференцируема. Тогава

слайд номер 9

Описание на слайда:

Начини на изписване на производни В зависимост от целите, обхвата и използвания математически апарат се използват различни начини за записване на производни. И така, производната от n-ти ред може да бъде записана в обозначенията: Lagrange f (n) (x0), докато за малки n прости числа и римски числа често се използват: f (1) (x0) \u003d f "(x0) \u003d fI ( x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f( 4)(x0 ) = fIV(x0) и т. н. Лагранж). Редът на производната се обозначава с броя на точките над функцията, например: - производната от първи ред на x спрямо t при t = t0, или - втората производна на f по отношение на x в точката x0 и т.н. Ойлер използва диференциален оператор (строго погледнато диференциален израз, докато съответното функционално пространство не е въведено) и следователно удобен по въпроси, свързани с функционалния анализ: Разбира се, не трябва да се забравя, че всички те служат за обозначаване същите обекти:

слайд номер 10

Описание на слайда:

Примери: Нека f(x) = x2. Тогава нека f(x) = | х | . Тогава, ако тогава f "(x0) = sgnx0, където sgn означава знаковата функция. Ако x0 = 0, тогава f" (x0) не съществува

слайд номер 11

Описание на слайда:

Правила за диференциране Операцията за намиране на производна се нарича диференциране. Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и с "функции на функции", тоест сложни функции. Въз основа на дефиницията на производната можем да изведем правила за диференциране, които улесняват тази работа. (производната на сумата е равна на сумата от производните) (оттук, по-специално, следва, че производната на произведението на функция и константа е равна на произведението на производната на тази функция чрез константа) Ако функцията е зададена параметрично: тогава,