Матрица по гауссов метод на четири уравнения. Гаусов метод за решаване на матрици. Решение на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Две системи от линейни уравнения се считат за еквивалентни, ако множеството от всички техни решения съвпада.

Елементарни трансформации на системата от уравнения са:

Елиминиране на тривиални уравнения от системата, т.е. тези, при които всички коефициенти са равни на нула;

Умножение на всяко уравнение с число, различно от нула;

Добавяне към всяко i -то уравнение на всяко j -то уравнение, умножено по произволно число.

Променлива x i се нарича свободна, ако тази променлива не е разрешена и цялата система от уравнения е разрешена.

Теорема. Елементарните трансформации трансформират системата от уравнения в еквивалентна.

Смисълът на метода на Гаус е да трансформира оригиналната система от уравнения и да получи еквивалентна разрешена или еквивалентна непоследователна система.

Така че методът на Гаус се състои от следните стъпки:

Помислете за първото уравнение. Нека изберем първия ненулев коефициент и разделим цялото уравнение на него. Нека вземем уравнение, в което влиза променлива x i с коефициент 1;
Нека извадим това уравнение от всички останали, като го умножим по такива числа, че коефициентите на променливата x i в останалите уравнения са нула. Получаваме система, която е разрешена по отношение на променливата x i и е еквивалентна на първоначалната;
Ако възникнат тривиални уравнения (рядко, но се случва; например 0 = 0), ние ги изтриваме от системата. В резултат на това уравненията стават с едно по -малко;
Повтаряме предишните стъпки не повече от n пъти, където n е броят на уравненията в системата. Всеки път избираме нова променлива за "обработка". Ако възникнат противоречиви уравнения (например 0 = 8), системата е непоследователна.

В резултат на това след няколко стъпки получаваме или разрешена система (вероятно с безплатни променливи), или несъвместима. Разрешените системи попадат в два случая:

Броят на променливите е равен на броя на уравненията. Това означава, че системата е дефинирана;
Броят на променливите е по -голям от броя на уравненията. Събираме всички безплатни променливи вдясно - получаваме формули за разрешените променливи. Тези формули са написани в отговора.

Това е всичко! Системата от линейни уравнения е решена! Това е доста прост алгоритъм и за да го овладеете, не е нужно да се свързвате с учител по математика в гимназията. Нека разгледаме един пример:

Задача. Решете системата от уравнения:

Описание на стъпките:

Извадете първото уравнение от второто и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
Умножавайки второто уравнение с (−1), и разделяйки третото уравнение на (−3) - получаваме две уравнения, в които променливата x 2 се среща с коефициент 1;
Добавяме второто уравнение към първото и изваждаме от третото. Нека вземем разрешената променлива x 2;
Накрая изваждаме третото уравнение от първото - получаваме разрешената променлива x 3;
Получихме оторизирана система, записваме отговора.

Общото решение на съвместна система от линейни уравнения е нова система, еквивалентна на първоначалната, в която всички разрешени променливи се изразяват като свободни.

Кога може да е необходимо общо решение? Ако трябва да направите по -малко стъпки от k (k е колко уравнения има). Причините, поради които процесът завършва на някаква стъпка l< k , может быть две:

След l -тата стъпка получихме система, която не съдържа уравнението с числото (l + 1). Това всъщност е добре, защото разрешената система е получена така или иначе - дори няколко стъпки по -рано.
След l -тия етап беше получено уравнение, при което всички коефициенти за променливите са равни на нула, а свободният коефициент е ненулев. Това е противоречиво уравнение и следователно системата е непоследователна.

Важно е да се разбере, че появата на противоречиво уравнение на Гаус е достатъчна причина за несъответствие. В същото време отбелязваме, че в резултат на l -тата стъпка не може да останат тривиални уравнения - всички те се изтриват точно в процеса.

Описание на стъпките:

Извадете първото уравнение, умножено по 4 от второто. И също така добавяме първото уравнение към третото - получаваме разрешената променлива x 1;
Изваждаме третото уравнение, умножено по 2, от второто, получаваме противоречивото уравнение 0 = −5.

Така че системата е непоследователна, защото се намира противоречиво уравнение.

Задача. Проучете съвместимостта и намерете общо решение на системата:

Описание на стъпките:

Извадете първото уравнение от второто (предварително умножено по две) и третото - получаваме разрешената променлива x 1;
Извадете второто уравнение от третото. Тъй като всички коефициенти в тези уравнения са еднакви, третото уравнение става тривиално. В същото време умножаваме второто уравнение с (−1);
Извадете второто от първото уравнение - получаваме разрешената променлива x 2. Цялата система от уравнения също е решена;
Тъй като променливите x 3 и x 4 са свободни, ние ги преместваме надясно, за да изразим разрешените променливи. Това е отговорът.

Така че системата е съвместима и неопределена, тъй като има две разрешени променливи (x 1 и x 2) и две свободни (x 3 и x 4).

Нека бъде дадена система от линейни алгебрични уравнения, която трябва да бъде решена (намерете такива стойности на неизвестните xi, които превръщат всяко уравнение на системата в равенство).

Знаем, че система от линейни алгебрични уравнения може:

1) Нямате решения (бъдете непоследователни).
2) Имайте безкрайно много решения.
3) Имайте уникално решение.

Както си спомняме, правилото на Cramer и матричният метод са неприложими в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е несъвместима. Метод на Гаус – най -мощният и универсален инструмент за намиране на решения за всяка система от линейни уравнения, който във всеки случайще ни доведе до отговора! Алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая. Ако познаването на детерминанти се изисква в методите на Cramer и matrix, тогава за прилагане на метода на Gauss са необходими само познания за аритметични операции, което го прави достъпен дори за учениците от началното училище.

Разширени матрични трансформации ( това е матрицата на системата - матрица, съставена само от коефициентите на неизвестните, плюс колона от свободни членове)системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Гаус:

1) с струниматрици мога пренаредетеместа.

2) ако матрицата съдържа (или е) пропорционални (като специален случай - същите) редове, тогава следва Изтрийот матрицата всички тези редове с изключение на един.

3) ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, това също следва Изтрий.

4) редът на матрицата може да бъде умножавам (разделям)до произволно число, различно от нула.

5) редът на матрицата може да бъде добавете друг низ, умножен по числоненулева.

В метода на Гаус елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения.

Гаусовият метод се състои от два етапа:

„Директно движение“ - използване на елементарни трансформации за редуциране на разширената матрица от системата от линейни алгебрични уравнения до „триъгълна“ поетапна форма: елементите на разширената матрица, разположени под основния диагонал, са равни на нула („отгоре -надолу“ ход ). Например към тази форма:

За да направим това, ще извършим следните действия:

1) Да предположим, че разглеждаме първото уравнение на система от линейни алгебрични уравнения и коефициентът при x 1 е K. Второто, третото и т.н. уравненията се трансформират, както следва: всяко уравнение (коефициенти за неизвестни, включително свободни термини) се разделя на коефициента за неизвестното x 1, стоящо във всяко уравнение, и се умножава по K. След това изваждаме първото от второто уравнение (коефициенти за неизвестни и свободни термини). Получаваме коефициента 0 за x 1 във второто уравнение Извадете първото уравнение от третото преобразувано уравнение, докато всички уравнения, с изключение на първото, за неизвестни x 1 имат коефициент 0.

2) Отидете на следващото уравнение. Нека това е второто уравнение и коефициентът при x 2 е равен на M. С всички "по -ниски" уравнения, продължаваме, както е описано по -горе. По този начин "под" неизвестното x 2 във всички уравнения ще бъде нула.

3) Отидете на следващото уравнение и така нататък, докато има последна неизвестна и трансформираният свободен термин.

"Обратно" на метода на Гаус - получаване на решение на система от линейни алгебрични уравнения (ход "отдолу нагоре"). От последното "долно" уравнение получаваме едно първо решение - неизвестното x n. За да направим това, решаваме елементарното уравнение A * x n = B. В горния пример x 3 = 4. Заменете намерената стойност в "горното" следващо уравнение и го разрешете по отношение на следващото неизвестно. Например, x 2 - 4 = 1, т.е. x 2 = 5. И така, докато открием всички неизвестни.

Пример.

Нека решим системата от линейни уравнения по метода на Гаус, както съветват някои автори:

Нека запишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, да я доведем до поетапна форма:

Разглеждаме горната лява "стъпка". Трябва да имаме единица там. Проблемът е, че изобщо няма такива в първата колона, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана с помощта на елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Да го направим:
Етап 1 ... Към първия ред добавете втория ред, умножен по –1. Тоест, умствено умножихме втория ред с –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво „минус едно“, което ни подхожда идеално. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително действие: умножете първия ред с –1 (променете знака му).

Стъпка 2 ... Към втория ред се добавя първият ред, умножен по 5. Първият ред, умножен по 3, се добавя към третия ред.

Стъпка 3 ... Първият ред беше умножен по -1, по принцип това е за красота. Променихме и знака на третия ред и го преместихме на второ място, като по този начин на втората „стъпка имаме необходимата единица.

Стъпка 4 ... Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 2.

Стъпка 5 ... Третият ред беше разделен на 3.

Знак, който показва грешка в изчисленията (по -рядко - печатна грешка) е "лошият" резултат. Тоест, ако в долната част имаме нещо като (0 0 11 | 23) и съответно 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, тогава с голяма степен на вероятност може да се твърди, че грешка е била направени по време на елементарни трансформации.

Извършваме обратния ход, при проектирането на примери самата система често не се пренаписва и уравненията „се вземат директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи "отдолу нагоре". В този пример получихме подарък:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, следователно x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 = –1

Отговор: x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Нека решим същата система според предложения алгоритъм. Получаваме

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Разделете второто уравнение на 5, а третото на 3. Получаваме:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Умножавайки второто и третото уравнение по 4, получаваме:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Изваждайки първото уравнение от второто и третото уравнение, имаме:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Разделете третото уравнение на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Умножете третото уравнение с 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Изваждайки второто от третото уравнение, получаваме „поетапна“ разширена матрица:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

По този начин, тъй като грешката, натрупана по време на изчисленията, получаваме x 3 = 0,96 или приблизително 1.

x 2 = 3 и x 1 = –1.

Решавайки по този начин, никога няма да се объркате в изчисленията и въпреки грешките в изчислението, ще получите резултата.

Този метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения е лесно програмируем и не взема предвид специфичните особености на коефициентите за неизвестни, тъй като на практика (при икономически и технически изчисления) човек трябва да се занимава с нецелочислени коефициенти.

Пожелавам ти успех! Ще се видим в час! Учител.

blog.сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.

Определение и описание на Гаусовия метод

Методът на Гаусова трансформация (известен също като метод на последователно елиминиране на неизвестни променливи от уравнение или матрица) за решаване на системи от линейни уравнения е класически метод за решаване на система от алгебрични уравнения (SLAE). Също така, този класически метод се използва за решаване на проблеми като получаване на обратни матрици и определяне на ранга на матрица.

Трансформацията по метода на Гаус се състои в извършване на малки (елементарни) последователни промени в системата на линейни алгебрични уравнения, водещи до елиминиране на променливите от нея отгоре надолу с образуването на нова триъгълна система от уравнения, която е еквивалентна на оригиналния.

Определение 1

Тази част от решението се нарича директен ход на решението на Гаус, тъй като целият процес се извършва отгоре надолу.

След свеждане на първоначалната система от уравнения до триъгълна, всички променливи на системата се намират отдолу нагоре (тоест първите намерени променливи се намират точно в последните редове на системата или матрицата). Тази част от решението е известна още като Гаусово обръщане. Неговият алгоритъм се състои в следното: първо се изчисляват променливите, които са най -близо до дъното на системата от уравнения или матрица, след това получените стойности се заместват по -горе и по този начин се намира още една променлива и т.н.

Описание на алгоритъма на гаусовия метод

Последователността от действия за общото решение на системата от уравнения по метода на Гаус се състои в последователно прилагане на движение напред и назад към матрицата въз основа на SLAE. Нека първоначалната система от уравнения има следната форма:

$ \ start (случаи) a_ (11) \ cdot x_1 + ... + a_ (1n) \ cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_ (m1) \ cdot x_1 + a_ (mn) \ cdot x_n = b_m \ end (случаи) $

За да се реши SLAE по метода на Гаус, е необходимо да се напише оригиналната система от уравнения под формата на матрица:

$ A = \ begin (pmatrix) a_ (11) &… & a_ (1n) \\ \ vdots &… & \ vdots \\ a_ (m1) &… & a_ (mn) \ end (pmatrix) $, $ b = \ begin (pmatrix) b_1 \\ \ vdots \\ b_m \ end (pmatrix) $

Матрицата $ A $ се нарича основна матрица и представлява коефициентите на променливите, записани по ред, а $ b $ се нарича колоната на нейните свободни условия. Матрицата $ A $, написана през лента с колона от свободни термини, се нарича разширена матрица:

$ A = \ begin (масив) (ccc | c) a_ (11) &… & a_ (1n) & b_1 \\ \ vdots &… & \ vdots & ... \\ a_ (m1) & ... & a_ ( mn) & b_m \ end (масив) $

Сега е необходимо, използвайки елементарни трансформации над системата от уравнения (или над матрицата, както е по -удобно), да я приведем в следната форма:

$ \ start (случаи) α_ (1j_ (1)) \ cdot x_ (j_ (1)) + α_ (1j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)) ... + α_ (1j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (1j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_1 \\ α_ (2j_ (2)) \ cdot x_ (j_ (2)). .. + α_ (2j_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (2j_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_2 \\ ... \\ α_ ( rj_ (r)) \ cdot x_ (j_ (r)) + ... α_ (rj_ (n)) \ cdot x_ (j_ (n)) = β_r \\ 0 = β_ (r + 1) \\… \ \ 0 = β_m \ end (случаи) $ (1)

Матрицата, получена от коефициентите на трансформираната система от уравнение (1), се нарича стъпаловидна, така обикновено изглеждат стъпаловидните матрици:

$ A = \ begin (масив) (ccc | c) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) & b_1 \\ 0 & a_ (22) & a_ (23) & b_2 \\ 0 & 0 & a_ (33) & b_3 \ end (масив) $

Тези матрици се характеризират със следния набор от свойства:

Всичките му нулеви линии са след ненулеви линии.
Ако някой ред от матрицата, номериран $ k $, е различен от нула, тогава предишният ред на същата матрица съдържа по -малко нули от този ред, номериран $ k $.

След получаване на стъпаловидната матрица е необходимо да се заменят получените променливи в останалите уравнения (започвайки от края) и да се получат останалите стойности на променливите.

Основни правила и разрешени трансформации при използване на метода на Гаус

При опростяване на матрица или система от уравнения по този метод трябва да се използват само елементарни трансформации.

Такива трансформации са операции, които могат да бъдат приложени към матрица или система от уравнения, без да се променя значението им:

пермутация на няколко реда на места,
добавяне или изваждане от един ред на матрицата на друг ред от същия,
умножаване или разделяне на линия с константа, която не е равна на нула,
редът, състоящ се само от нули, получен в процеса на изчисляване и опростяване на системата, трябва да бъде изтрит,
Също така трябва да премахнете ненужните пропорционални линии, като изберете за системата единствената с по -подходящи и удобни коефициенти за по -нататъшни изчисления.

Всички елементарни трансформации са обратими.

Анализ на трите основни случая, които възникват при решаване на линейни уравнения, използвайки метода на прости гаусови преобразувания

Има три случая, които възникват при използването на метода на Гаус за решаване на системи:

Когато системата е непоследователна, тоест няма решения
Системата от уравнения има решение и единствено, а броят на ненулевите редове и колони в матрицата е равен помежду си.
Системата има определен брой или много възможни решения, а броят на редовете в нея е по -малък от броя на колоните.

Резултатът от решение с непоследователна система

За тази опция при решаване на матрично уравнение по метода на Гаус е типично да се получи някаква линия с невъзможността да се изпълни равенството. Следователно, ако възникне поне едно неправилно равенство, получените и оригинални системи нямат решения независимо от другите уравнения, които съдържат. Пример за непоследователна матрица:

$ \ begin (масив) (ccc | c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end (масив) $

В последния ред се появи незадоволително равенство: $ 0 \ cdot x_ (31) + 0 \ cdot x_ (32) + 0 \ cdot x_ (33) = 1 $.

Система от уравнения само с едно решение

След редукция до стъпаловидна матрица и премахване на редове с нули, тези системи имат същия брой редове и колони в основната матрица. Ето най -простия пример за такава система:

$ \ begin (случаи) x_1 -x_2 = -5 \\ 2 \ cdot x_1 + x_2 = -7 \ end (случаи) $

Нека го напишем под формата на матрица:

$ \ begin (масив) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \ end (масив) $

За да доведем първата клетка от втория ред до нула, умножаваме горния ред с $ -2 $ и го изваждаме от долния ред на матрицата и оставяме горния ред в първоначалния му вид, в резултат на което имаме следното :

$ \ begin (масив) (cc | c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \ end (масив) $

Този пример може да бъде написан като система:

$ \ begin (случаи) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \ cdot x_2 = 10 \ end (случаи) $

Следната стойност на $ x $ излиза от долното уравнение: $ x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. Заместете тази стойност в горното уравнение: $ x_1 - 3 \ frac (1) (3) $, получаваме $ x_1 = 1 \ frac (2) (3) $.

Система с много възможни решения

Тази система се характеризира с по -малък брой значими редове от броя на колоните в нея (редовете на основната матрица се вземат предвид).

Променливите в такава система са разделени на два типа: основни и безплатни. При трансформиране на такава система основните променливи, съдържащи се в нея, трябва да бъдат оставени в лявата област до знака „=“, а останалите променливи трябва да бъдат преместени в дясната страна на равенството.

Такава система има само някакво общо решение.

Нека анализираме следната система от уравнения:

$ \ begin (случаи) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ end (случаи) $

Нека го напишем под формата на матрица:

$ \ begin (масив) (cccc | c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ end (масив) $

Нашата задача е да намерим общо решение на системата. За тази матрица основните променливи ще бъдат $ y_1 $ и $ y_3 $ (за $ y_1 $ - тъй като е на първо място, а в случай на $ y_3 $ - тя се намира след нулите).

Като основни променливи избираме точно тези, които са първите в реда, които не са равни на нула.

Останалите променливи се наричат свободни, чрез тях трябва да изразим основните.

Използвайки така наречения обратен ход, анализираме системата отдолу нагоре, за това първо изразяваме $ y_3 $ от долния ред на системата:

$ 5y_3 - 4y_4 = 1 $

$ 5y_3 = 4y_4 + 1 $

$ y_3 = \ frac (4/5) y_4 + \ frac (1) (5) $.

Сега в горното уравнение на системата $ 2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1 $ заместваме изразеното $ y_3 $: $ 2y_1 + 3y_2 - (\ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5)) + y_4 = 1 $

Ние изразяваме $ y_1 $ като безплатни променливи $ y_2 $ и $ y_4 $:

$ 2y_1 + 3y_2 - \ frac (4) (5) y_4 - \ frac (1) (5) + y_4 = 1 $

$ 2y_1 = 1 - 3y_2 + \ frac (4) (5) y_4 + \ frac (1) (5) - y_4 $

$ 2y_1 = -3y_2 - \ frac (1) (5) y_4 + \ frac (6) (5) $

$ y_1 = -1,5x_2 - 0,1y_4 + 0,6 $

Разтворът е готов.

Пример 1

Разрешете помия по гаусов метод. Примери. Пример за решаване на система от линейни уравнения, дадена от матрица 3 на 3, използвайки метода на Gauss

$ \ begin (случаи) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x ^ 3 = 2 \\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \ end (случаи) $

Нека напишем нашата система под формата на разширена матрица:

$ \ begin (масив) (ccc | c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (масив) $

Сега, за удобство и практичност, трябва да трансформирате матрицата, така че $ 1 $ да е в горния ъгъл на крайната колона.

За да направите това, добавете реда от средата, умножен по $ -1 $ към първия ред, и напишете средния ред такъв, какъвто е, се оказва:

$ \ begin (масив) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ \ end (масив) $

$ \ begin (масив) (ccc | c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ \ end (масив) $

Умножете горния и последния ред с $ -1 $, а също така разменете последните и средните редове:

$ \ begin (масив) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ \ end (масив) $

$ \ begin (масив) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \ end (масив) $

И разделете последния ред на $ 3 $:

$ \ begin (масив) (ccc | c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \ end (масив) $

Получаваме следната система от уравнения, която е еквивалентна на оригиналната:

$ \ begin (случаи) x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ end (случаи) $

От горното уравнение изразяваме $ x_1 $:

$ x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Пример 2

Пример за решаване на система, дефинирана с помощта на матрица 4 на 4 по метода на Гаус

$ \ begin (масив) (cccc | c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end (масив) $.

В началото променяме местата на горните изследователски линии зад него, за да получим $ 1 $ в горния ляв ъгъл:

$ \ begin (масив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40 \\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end (масив) $.

Сега умножете горния ред с $ -2 $ и добавете към 2 -ри и 3 -ти. Към четвъртия добавяме първия ред, умножен по $ -3 $:

$ \ begin (масив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18 \\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \ end (масив) $

Сега към ред 3 добавяме ред 2, умножен по $ 4 $, а към ред 4 добавяме ред 2, умножен по $ -1 $.

$ \ begin (масив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ end (масив) $

Умножете ред 2 по $ -1 $ и разделете ред 4 по $ 3 $ и заменете ред 3.

$ \ begin (масив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \ end (масив) $

Сега добавете към последния ред предпоследната, умножена по $ -5 $.

$ \ begin (масив) (cccc | c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ end (масив) $

Решаваме получената система от уравнения:

$ \ begin (случаи) m = 0 \\ g = 2 \\ y + m = 2 \ \ x + 3y + 2g + m = 11 \ end (случаи) $

От началото на 16-18 век математиците започват интензивно да изучават функциите, благодарение на които толкова много се е променило в живота ни. Компютърните технологии не биха съществували без тези знания. За решаване на сложни задачи, линейни уравнения и функции са създадени различни концепции, теореми и техники за решение. Един от тези универсални и рационални методи и техники за решаване на линейни уравнения и техните системи беше методът на Гаус. Матрици, техният ранг, детерминанти - всичко може да се изчисли, без да се използват сложни операции.

Какво е SLAE

В математиката съществува концепцията за SLAE - система от линейни алгебрични уравнения. Какво е това? Това е набор от m уравнения с необходимите n неизвестни величини, обикновено обозначавани като x, y, z или x 1, x 2 ... x n, или други символи. Да се реши тази система по метода на Гаус означава да се намерят всички неизвестни неизвестни. Ако една система има същия брой неизвестни и уравнения, тогава тя се нарича система от n-ред.

Най -популярните методи за решаване на SLAEs

В образователните институции на средното образование се изучават различни методи за решаване на такива системи. Най -често това са прости уравнения, състоящи се от две неизвестни, така че всеки съществуващ метод за намиране на отговор на тях няма да отнеме много време. Това може да бъде като метод на заместване, когато друг се извлича от едно уравнение и се замества в оригинала. Или методът на изваждане и добавяне на термин по термин. Но методът на Гаус се счита за най -лесния и най -универсалният. Тя дава възможност за решаване на уравнения с произволен брой неизвестни. Защо тази конкретна техника се счита за рационална? Просто е. Хубавото на матричния метод е, че няма нужда да пренаписвате няколко пъти ненужни символи под формата на неизвестни, достатъчно е да извършите аритметични операции върху коефициентите - и ще получите надежден резултат.

Къде се използват SLAE на практика

Решението на SLAE е пресечните точки на линиите на графиките на функциите. В нашата високотехнологична компютърна ера хората, които са тясно свързани с разработването на игри и други програми, трябва да знаят как да решават такива системи, какво представляват и как да проверяват правилността на резултата. Най -често програмистите разработват специални програми за изчисляване на линейна алгебра, това включва система от линейни уравнения. Методът на Gauss ви позволява да изчислите всички съществуващи решения. Използват се и други опростени формули и техники.

Критерий за съвместимост за SLAE

Такава система може да бъде разрешена само ако е съвместима. За по -голяма яснота представяме SLAE под формата Ax = b. Той има решение, ако rang (A) е равно на rang (A, b). В този случай (A, b) е разширена матрица, която може да бъде получена от матрицата A чрез пренаписването й със свободни членове. Оказва се, че решаването на линейни уравнения по метода на Гаус е доста лесно.

Може би някои от нотациите не са напълно ясни, затова е необходимо да разгледаме всичко с пример. Да кажем, че има система: x + y = 1; 2x-3y = 6. Състои се само от две уравнения, в които две са неизвестни. Системата ще има решение само ако рангът на нейната матрица е равен на ранга на разширената матрица. Какво е ранг? Това е броят на независимите редове в системата. В нашия случай рангът на матрицата е 2. Матрица А ще се състои от коефициентите, които са близо до неизвестните, а коефициентите зад знака „=“ също са включени в разширената матрица.

Защо SLAE може да бъде представен в матрична форма

Въз основа на критерия за съвместимост съгласно доказаната теорема на Кронекер-Капели, системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде представена в матрична форма. Използвайки каскадния метод на Гаус, можете да разрешите матрицата и да получите един надежден отговор за цялата система. Ако рангът на обикновена матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица, но по -малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен брой отговори.

Матрични трансформации

Преди да преминете към решаване на матрици, трябва да знаете какви действия могат да се извършват върху техните елементи. Има няколко елементарни трансформации:

Чрез пренаписване на системата в матрична форма и прилагане на нейното решение е възможно да се умножат всички елементи от поредицата със същия коефициент.
За да преобразувате матрицата в канонична форма, два паралелни реда могат да бъдат разменени. Каноничната форма предполага, че всички елементи на матрицата, които са разположени на главния диагонал, стават единици, а останалите стават нули.
Съответните елементи от паралелните редове на матрицата могат да се добавят един към друг.

Метод на Джордан-Гаус

Същността на решението на системи от линейни хомогенни и нехомогенни уравнения по метода на Гаус е постепенно изключване на неизвестни. Да кажем, че имаме система от две уравнения, в които две неизвестни. За да ги намерите, трябва да проверите системата за съвместимост. Уравнението на Гаус е много лесно за решаване. Необходимо е да се запишат коефициентите, разположени близо до всяка неизвестна, в матрична форма. За да разрешите системата, трябва да напишете разширена матрица. Ако едно от уравненията съдържа по -малко неизвестни, тогава трябва да се постави „0“ вместо липсващия елемент. Всички известни методи за трансформация се прилагат към матрицата: умножение, разделяне на число, добавяне на съответните елементи от поредицата един към друг и други. Оказва се, че във всеки ред е необходимо да се остави една променлива със стойност "1", останалата част трябва да бъде доведена до нулева форма. За по -точно разбиране е необходимо да разгледаме метода на Gauss чрез примери.

Прост пример за системно решение 2x2

За начало нека вземем проста система от алгебрични уравнения, в която ще има 2 неизвестни.

Нека го пренапишем в разширена матрица.

За да се реши тази система от линейни уравнения, са необходими само две операции. Трябва да приведем матрицата в каноничната форма, така че да има единици по главния диагонал. Така че, прехвърляйки се от матричната форма обратно в системата, получаваме уравненията: 1x + 0y = b1 и 0x + 1y = b2, където b1 и b2 са отговорите, получени по време на процеса на решение.

Първото действие при решаването на разширената матрица ще бъде както следва: първият ред трябва да се умножи по -7 и съответно елементите да се добавят съответно към втория ред, за да се отървем от един неизвестен във второто уравнение.
Тъй като решението на уравнения по метода на Гаус предполага привеждане на матрицата в канонична форма, тогава е необходимо да се направят същите операции с първото уравнение и да се премахне втората променлива. За да направите това, извадете втория ред от първия и получете необходимия отговор - решението на SLAE. Или, както е показано на фигурата, умножаваме втория ред с коефициент -1 и добавяме елементите от втория ред към първия ред. Това е същото.

Както можете да видите, нашата система беше решена по метода на Джордан-Гаус. Преписваме го в необходимата форма: x = -5, y = 7.

Пример за решаване на SLAE 3x3

Да предположим, че имаме по -сложна система от линейни уравнения. Методът на Гаус дава възможност да се изчисли отговорът дори за най -объркващата система. Следователно, за да се задълбочим в методологията на изчисление, може да се пристъпи към по -сложен пример с три неизвестни.

Както в предишния пример, пренаписваме системата под формата на разширена матрица и започваме да я довеждаме до каноничната форма.

За да разрешите тази система, ще трябва да извършите много повече действия, отколкото в предишния пример.

Първо, трябва да направите един единичен елемент в първата колона и останалите нули. За да направите това, умножете първото уравнение с -1 и добавете второто уравнение към него. Важно е да запомните, че преписваме първия ред в оригиналния му вид, а втория в променения.
След това премахваме същата първа неизвестна от третото уравнение. За да направите това, умножете елементите на първия ред по -2 и ги добавете към третия ред. Сега първият и вторият ред се пренаписват в първоначалния си вид, а третият - с промени. Както можете да видите от резултата, получихме първия в началото на основния диагонал на матрицата и останалите нули. Още няколко стъпки и системата от уравнения по метода на Гаус ще бъде надеждно решена.
Сега е необходимо да се извършват операции върху други елементи от редовете. Третото и четвъртото действие могат да бъдат комбинирани в едно. Трябва да разделите втория и третия ред на -1, за да се отървете от минусите по диагонала. Вече приведохме третия ред в необходимата форма.
След това ще пренесем втория ред в каноничната форма. За да направим това, умножаваме елементите на третия ред с -3 и ги добавяме към втория ред на матрицата. Резултатът показва, че вторият ред също е редуциран до необходимата ни форма. Остава да направим още няколко операции и да премахнем коефициентите на неизвестните от първия ред.
За да направите 0 от втория елемент на реда, трябва да умножите третия ред по -3 и да го добавите към първия ред.
Следващата решителна стъпка ще бъде добавяне на необходимите елементи от втория ред към първия ред. Така получаваме каноничната форма на матрицата и съответно отговора.

Както можете да видите, решението на уравненията по метода на Гаус е съвсем просто.

Пример за решаване на система от уравнения 4х4

Някои по -сложни системи от уравнения могат да бъдат решени чрез метода на Гаус с помощта на компютърни програми. Необходимо е да се вкарат коефициентите за неизвестни в съществуващите празни клетки, а самата програма стъпка по стъпка ще изчисли необходимия резултат, описвайки подробно всяко действие.

По-долу е стъпка по стъпка инструкция за решаване на такъв пример.

В първото действие свободните коефициенти и числа за неизвестни се въвеждат в празни клетки. По този начин получаваме същата разширена матрица, която пишем на ръка.

И всички необходими аритметични операции се извършват, за да се доведе разширената матрица до каноничната форма. Трябва да се разбере, че отговорът на система от уравнения не винаги са цели числа. Понякога решението може да бъде дробни числа.

Проверка на правилността на решението

Методът Джордан-Гаус предвижда проверка на правилността на резултата. За да разберете дали коефициентите са изчислени правилно, просто трябва да замените резултата в оригиналната система от уравнения. Лявата страна на уравнението трябва да съвпада с дясната страна зад знака за равенство. Ако отговорите не съвпадат, тогава е необходимо да се преизчисли системата или да се опита да се приложи към нея друг познат ви метод за решаване на SLAEs, като заместване или изваждане и събиране на термин по термин. В края на краищата математиката е наука, която има огромен брой различни методи за решение. Но помнете: резултатът трябва винаги да е един и същ, без значение кой метод на решение сте използвали.

Метод на Гаус: най -често срещаните грешки при решаване на SLAE

При решаване на линейни системи от уравнения най -често възникват грешки като неправилно прехвърляне на коефициенти в матрична форма. Има системи, в които някои неизвестни липсват в едно от уравненията, след което, прехвърляйки данни в разширена матрица, те могат да бъдат загубени. В резултат на това при решаване на тази система резултатът може да не съответства на реалния.

Друга от основните грешки може да бъде неправилното изписване на крайния резултат. Необходимо е ясно да се разбере, че първият коефициент ще съответства на първия неизвестен от системата, вторият на втория и т.н.

Методът на Гаус описва подробно решението на линейни уравнения. Благодарение на него е лесно да се извършат необходимите операции и да се намери правилния резултат. В допълнение, това е универсален инструмент за намиране на надежден отговор на уравнения с всякаква сложност. Може би затова толкова често се използва при решаване на SLAE.

Образователна институция „Беларуска държава

Селскостопанска академия "

Катедра „Висша математика“

Методически указания

по изучаване на темата „Метод на Гаус за решаване на линейни системи

уравнения "от студенти от счетоводния отдел задочно обучение (NISPO)

Горки, 2013

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения

Еквивалентни системи от уравнения

Казват, че две системи от линейни уравнения са еквивалентни, ако всяко решение на едно от тях е решение на другото. Процесът на решаване на система от линейни уравнения се състои в последователното й преобразуване в еквивалентна система с помощта на т.нар елементарни трансформации , които са:

1) пермутация на всякакви две уравнения на системата;

2) умножение на двете страни на всяко уравнение на системата с ненулево число;

3) добавяне към всяко уравнение друго уравнение, умножено по произволно число;

4) заличаване на уравнение, състоящо се от нули, т.е. уравнения на формата.

Гаусови изключения

Помислете за системата млинейни уравнения с ннеизвестно:

Същността на метода на Гаус или метода на последователно премахване на неизвестни е следната.

Първо, с помощта на елементарни трансформации неизвестното се елиминира от всички уравнения на системата, с изключение на първото. Такива системни трансформации се наричат Етап на елиминиране по Гаус ... Непознато се нарича разрешаваща променлива на първата стъпка от трансформацията. Коефициентът се нарича коефициент на разделителна способност , се нарича първото уравнение разрешаване на уравнение , и колоната с коефициенти при разрешителна колона .

Когато извършвате една стъпка от елиминирането по Гаус, трябва да използвате следните правила:

1) коефициентите и свободният срок на разрешаващото уравнение остават непроменени;

2) коефициентите на колоната за разделителна способност, разположени под коефициента на разделителна способност, изчезват;

3) всички други коефициенти и свободни условия по време на първата стъпка се изчисляват съгласно правилото на правоъгълника:

, където i=2,3,…,м; й=2,3,…,н.

Извършваме подобни трансформации на второто уравнение на системата. Това ще доведе до система, в която неизвестното ще бъде елиминирано във всички уравнения, с изключение на първите две. В резултат на такива трансформации над всяко от уравненията на системата (директен ход на метода на Гаус), оригиналната система се редуцира до еквивалентна стъпкова система от един от следните типове.

Обратен метод на Гаус

Стъпкова система

има триъгълна форма и всичко (i=1,2,…,н). Такава система има само едно решение. Неизвестните се определят, като се започне от последното уравнение (обратно на метода на Гаус).

Стъпковата система има формата

където, т.е. броят на уравненията в системата е по -малък или равен на броя на неизвестните. Тази система няма решения, тъй като последното уравнение няма да важи за никакви стойности на променливата.

Система тип стъпало

има безброй решения. От последното уравнение неизвестното се изразява чрез неизвестни ... След това, в предпоследното уравнение, вместо неизвестното, неговият израз се замества чрез неизвестните ... Продължавайки обратния ход на метода на Гаус, неизвестните може да се изрази като неизвестни ... В този случай неизвестните са наречени Безплатно и може да приема всякакви стойности и неизвестни основен.

В практическото решение на системите е удобно всички трансформации да се извършват не със система от уравнения, а с разширена матрица на системата, състояща се от коефициенти при неизвестни и колона от свободни членове.

Пример 1... Решете система от уравнения

Решение... Нека съставим разширена матрица на системата и да извършим елементарни трансформации:

В разширената матрица на системата номер 3 (той е маркиран) е разрешаващият фактор, първият ред е разрешаващият ред, а първата колона е разрешаващата колона. При преминаване към следващата матрица разрешаващият ред не се променя, всички елементи на разрешаващата колона под разрешаващия елемент се заменят с нули. Всички останали елементи на матрицата се преизчисляват съгласно правилото за четириъгълника. Вместо елемент 4 във втория ред, ние пишем , вместо елемент -3, вторият ред ще съдържа и т.н. Така ще се получи втората матрица. В тази матрица разрешаващият елемент ще бъде номер 18 във втория ред. За да формираме следващата (трета матрица), оставяме втория ред непроменен, записваме нула в колоната под разрешаващия елемент и преизчисляваме останалите два елемента: вместо числото 1, пише , и вместо числото 16 пишем.

В резултат на това първоначалната система беше намалена до еквивалентна система

От третото уравнение намираме ... Заместете тази стойност във второто уравнение: y= 3. Заместваме намерените стойности в първото уравнение yи z: , х=2.