Параллелограммын талбай нь. Параллелограмм ба түүний шинж чанарууд. Параллелограммын талбай. Параллелограмм өнцгийн биссектриса

Анхаарна уу... Энэ бол геометрийн асуудлуудтай хичээлийн нэг хэсэг юм (параллелограмм хэсэг). Хэрэв та энд байхгүй геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Асуудлын шийдэлд квадрат язгуур гаргаж авах үйлдлийг тэмдэглэхийн тулд √ эсвэл sqrt () тэмдэгтийг ашиглаж, радикал илэрхийллийг хаалтанд зааж өгсөн болно.

Онолын материал

Параллелограммын талбайг олох томъёоны тайлбар:

Параллелограммын талбай нь түүний аль нэг талын уртыг энэ тал руу буулгасан өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.
Параллелограммын талбай нь түүний зэргэлдээ хоёр талын өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.
Параллелограммын талбай нь диагональуудын хоорондох өнцгийн синусын үржвэрийн хагас юм

Параллелограммын талбайг олох даалгавар

Даалгавар.
Параллелограммын жижиг өндөр, жижиг тал нь 9 см, үндэс нь 82, том диагональ нь 15 см, параллелограммын талбайг ол.

Шийдэл.
В цэгээс том AD суурь хүртэл буулгасан ABCD параллелограммын доод өндрийг BK гэж тэмдэглэе.
Бага өндөр, жижиг тал, том суурийн хэсгээс үүссэн ABK тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийн утгыг ол. Пифагорын теоремоор:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + АК 2
AK 2 = 82 - 81
АК = 1

МЭӨ параллелограммын дээд суурийг сунгаж, доод сууриас нь AN өндрийг доошлуулъя. ANBK тэгш өнцөгтийн талууд болох AN = BK. Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжны NC хөлийг ол.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC = 12

Одоо ABCD параллелограммын BC том суурийг ол.
BC = NC - NB
Тэгш өнцөгтийн талууд нь NB = AK гэдгийг бид харгалзан үзнэ
BC = 12 - 1 = 11

Параллелограммын талбай нь суурийн үржвэр ба энэ суурийн өндөртэй тэнцүү байна.
S = аа
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Хариулах: 99 см 2.

Даалгавар

AVSD-ийн параллелограмм дээр перпендикуляр VO нь хувьсах гүйдлийн диагональ руу доошилдог. AO = 8, OC = 6, BO = 4 бол параллелограммын талбайг ол.

Шийдэл.
АС диагональ дээр дахин нэг перпендикуляр DK буулгая.
Үүний дагуу AOB ба DKC, COB ба AKD гурвалжин нь хосоороо тэнцүү байна. Талуудын нэг нь параллелограммын эсрэг тал, нэг өнцөг нь шулуун, учир нь энэ нь диагональтай перпендикуляр, үлдсэн өнцгүүдийн нэг нь параллелограммын параллелограммын зэрэгцээ талууд ба хөндлөн диагональд байрлах дотоод хөндлөн огтлол юм.

Тиймээс параллелограммын талбай нь заасан гурвалжны талбайтай тэнцүү байна. Тэр бол
Зэрэгцээ = 2S AOB + 2S BOC

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь хөлний бүтээгдэхүүний тал хувь юм. Хаана
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Хариулах: 56 см 2.

Геометрийн дүрсийн талбай- энэ зургийн хэмжээг харуулсан геометрийн дүрсийн тоон шинж чанар (энэ зургийн хаалттай контураар хязгаарлагдсан гадаргуугийн хэсэг). Талбайн хэмжээг түүнд агуулагдах квадрат нэгжийн тоогоор илэрхийлнэ.

Гурвалжны талбайн томьёо

Гурвалжны талбайн хажуу ба өндрийн томъёо
Гурвалжны талбайгурвалжны хажуугийн уртыг энэ тал руу татсан өндрийн уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна
Гурван тал дахь гурвалжны талбай ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиусын томъёо
Гурван тал дахь гурвалжны талбайн томьёо ба бичээстэй тойргийн радиус
Гурвалжны талбайгурвалжны хагас периметр ба бичээстэй тойргийн радиусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Квадрат томьёоны талбай

Талбайн урттай дөрвөлжин талбайн томъёо
Дөрвөлжин талбайтүүний талын уртын квадраттай тэнцүү байна.
Диагональ уртаар квадратын талбайн томъёо
Дөрвөлжин талбайтүүний диагональ уртын квадратын хагастай тэнцүү байна.
S = 1 2
2

Тэгш өнцөгтийн талбайн томъёо

Тэгш өнцөгт талбай

Параллелограммын талбайн томьёо

Хажуугийн урт ба өндрийн хувьд параллелограммын талбайн томъёо
Параллелограммын талбай
Хоёр талын параллелограммын талбай ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн томъёо
Параллелограммын талбайталуудын уртын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү.
a b sin α

Ромбын бүсийн томъёо

Хажуугийн урт ба өндрөөр ромбын талбайн томъёо
Ромбын талбайтүүний хажуугийн урт ба энэ тал руу буулгасан өндрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
Хажуугийн урт ба өнцгийн дагуу ромбын талбайн томъёо
Ромбын талбайнь түүний хажуугийн уртын квадрат ба ромбын талуудын хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.
Ромбын талбайг диагональуудын уртаар тодорхойлох томъёо
Ромбын талбайтүүний диагональуудын уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.

Трапецын талбайн томьёо

Трапецын Хэроны томъёо
Энд S нь трапецын талбай,
- трапецын суурийн урт;
- трапецын хажуугийн урт,

ПараллелограммХажуу тал нь хос зэрэгцэн орших дөрвөлжин юм.

Энэ зураг дээр эсрэг талууд ба өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна. Параллелограммын диагональууд нэг цэгт огтлолцдог ба түүгээр хоёр дахин багасдаг. Параллелограммын талбайн томьёо нь талууд, өндөр, диагональуудын утгыг олох боломжийг танд олгоно. Параллелограммыг мөн онцгой тохиолдолд үзүүлж болно. Тэдгээрийг тэгш өнцөгт, дөрвөлжин, ромбус гэж үздэг.
Эхлэхийн тулд параллелограммын талбайг өндрөөр нь тооцоолох жишээг авч үзье.

Энэ хэргийг сонгодог гэж үздэг бөгөөд нэмэлт мөрдөн байцаалт шаарддаггүй. Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тооцоолох томъёог авч үзэх нь дээр. Тооцоололд ижил аргыг ашигладаг. Хэрэв талууд ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөгдсөн бол талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

a = 4 см, b = 6 см талуудтай параллелограмм өгөгдсөн гэж үзье.Тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь α = 30 ° байна. Талбайг олцгооё:

Диагональуудаар дамжин параллелограммын талбай

Диагональуудын хувьд параллелограммын талбайн томъёо нь утгыг хурдан олох боломжийг танд олгоно.
Тооцооллын хувьд диагональ хоорондын өнцгийн утга хэрэгтэй.

Диагональуудаар параллелограммын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. D = 7 см, d = 5 см диагональтай параллелограмм өгье.Тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь α = 30 ° байна. Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

Диагональаар параллелограммын талбайг тооцоолох жишээ бидэнд маш сайн үр дүнг өгсөн - 8.75.

Диагональ дундуур параллелограммын талбайн томьёог мэдсэнээр та олон сонирхолтой асуудлыг шийдэж чадна. Тэдний нэгийг харцгаая.

Даалгавар:Танд 92 кв талбайтай параллелограммыг өгсөн. F цэг нь түүний BC талын дунд байрладаг. Манай параллелограмм дээр байрлах ADFB трапецын талбайг олцгооё. Эхлэхийн тулд хүлээн авсан бүх зүйлээ нөхцөл байдлын дагуу зурцгаая.
Шийдэж эхэлцгээе:

Бидний нөхцлийн дагуу ah = 92, үүний дагуу манай трапецын талбай тэнцүү байх болно.

Параллелограммын талбай. Талбайн тооцоололтой холбоотой геометрийн маш олон асуудал, түүний дотор шалгалтын даалгавар, параллелограмм ба гурвалжны талбайн томъёог ашигладаг. Тэдгээрийн хэд хэдэн нь байдаг, бид энд авч үзэх болно.

Эдгээр томьёог тоолох нь дэндүү хялбар байх болно, лавлах номууд болон янз бүрийн сайтуудад ийм зүйл хангалттай байдаг. Би мөн чанарыг нь дамжуулахыг хүсч байна - ингэснээр та тэднийг шахахгүй, харин ойлгож, ямар ч үед амархан санаж байх болно. Өгүүллийн материалыг судалсны дараа та эдгээр томъёог сурах шаардлагагүй гэдгийг ойлгох болно. Объектив байдлаар хэлэхэд тэд шийдвэр гаргахдаа маш түгээмэл байдаг тул тэдгээрийг удаан хугацаанд цээжилдэг.

1. Ингээд параллелограммыг харцгаая. Тодорхойлолт нь:

Яагаад тэр вэ? Энэ маш энгийн! Томъёоны утга учир юу болохыг тодорхой харуулахын тулд бид хэд хэдэн нэмэлт бүтээн байгуулалтыг хийх болно, тухайлбал бид өндрийг зурах болно.

Гурвалжны талбай (2) нь гурвалжны талбайтай (1) тэнцүү байна - "хөл ба гипотенузын дагуу" тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь тэмдэг. Одоо бид хоёр дахь хэсгийг нь оюун ухаанаараа "тасалж", эхнийх нь дээр байрлуулж шилжүүлэв - бид тэгш өнцөгтийг олж авах бөгөөд түүний талбай нь анхны параллелограммын талбайтай тэнцүү байна.

Тэгш өнцөгтийн талбай нь түүний зэргэлдээ талуудын үржвэртэй тэнцүү байна. Зургаас харахад үүссэн тэгш өнцөгтийн нэг тал нь параллелограммын талтай, нөгөө тал нь параллелограммын өндөртэй тэнцүү байна. Тиймээс бид параллелограммын талбайн томъёог олж авна S = a ∙ hа

2. Үргэлжлүүлье, түүний талбайн өөр нэг томьёо. Бидэнд байгаа:

Параллелограммын томьёоны талбай

Талуудыг a ба b гэж тэмдэглэе, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь γ "гамма", өндөр нь h a. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье:

Илүү нарийвчлалтай, планиметр ба тригонометрийн дагуу заримдаа талууд, өнцөг, диагональ гэх мэт заасан утгууд дээр үндэслэн параллелограммын өндрийг олох шаардлагатай болдог.

Параллелограммын өндрийг олохын тулд түүний талбай ба суурийн уртыг мэдэхийн тулд параллелограммын талбайн дүрмийг ашиглах ёстой. Параллелограммын талбай нь суурийн өндөр ба уртын үржвэртэй тэнцүү байна.

S - параллелограммын талбай,

a - параллелограммын суурийн урт,

h - а тал руу буулгасан өндрийн урт (эсвэл түүний үргэлжлэл).

Эндээс бид параллелограммын өндөр нь суурийн уртад хуваагдсан талбайг авна.

Жишээлбэл,

өгөгдсөн: параллелограммын талбай нь 50 кв. см, суурь нь 10 см;

ол: параллелограммын өндрийг.

h = 50/10 = 5 (см).

Параллелограммын өндөр, суурийн хэсэг ба суурийн зэргэлдээ тал нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг тул параллелограммын өндөрт тэгш өнцөгтийн зарим харьцаа, өнцгийг ашиглаж болно.

Хэрэв параллелограммын өндөртэй зэргэлдээх тал нь h (DE) нь мэдэгдэж байгаа бол d (AD) ба өндрийн эсрэг талын өнцөг нь A (BAD) байвал параллелограммын өндрийн тооцоог зэргэлдээх хэсгийн уртаар үржүүлэх шаардлагатай. эсрэг өнцгийн синусын хажууд:

жишээ нь d = 10 см, өнцөг А = 30 градус байвал

H = 10 * нүгэл (30º) = 10 * 1/2 = 5 (см).

Хэрэв асуудалд h (DE) d (AD) өндөртэй зэргэлдээх параллелограммын урт ба суурийн огтлолын өндрийн уртыг (AE) зааж өгсөн бол параллелограммын өндрийг Пифагорын теоремыг ашиглан олж болно. :

| AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, эндээс бид тодорхойлж байна:

h = | ED | = √ (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2),

тэдгээр. параллелограммын өндөр нь зэргэлдээ талын урт ба суурийн өндрөөр таслагдсан хэсгийн квадратуудын хоорондох зөрүүний квадрат язгууртай тэнцүү байна.

Жишээлбэл, зэргэлдээ талын урт нь 5 см, суурийн таслагдсан хэсгийн урт нь 3 см байвал өндрийн урт нь:

h = √ (5 ^ 2-3 ^ 2) = 4 (см).

Хэрэв параллелограммын өндөртэй зэргэлдээх диагональ (DВ) урт ба суурийн өндрөөр таслагдсан хэсгийн урт (BE) нь мэдэгдэж байгаа бол параллелограммын өндрийг Пифагорын теоремыг ашиглан мөн олж болно. :

| ВE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | ВD | ^ 2, эндээс бид тодорхойлж байна:

h = | ED | = √ (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2),

тэдгээр. параллелограммын өндөр нь зэргэлдээх диагональ ба суурийн хэсгийн огтлолын өндөр (s)-ийн квадратуудын хоорондох зөрүүний квадрат язгууртай тэнцүү байна.

Жишээлбэл, зэргэлдээ талын урт нь 5 см, суурийн таслагдсан хэсгийн урт нь 4 см байвал өндрийн урт нь:

h = √ (5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (см).

Холбоотой видеонууд

Эх сурвалжууд:

параллелограммын өндөр гэж юу вэ

Олон өнцөгтийн өндөр нь зургийн аль нэг талд перпендикуляр шулуун шугамын сегмент бөгөөд түүнийг эсрэг талын булангийн оройтой холбодог. Хавтгай гүдгэр дүрст хэд хэдэн ийм сегмент байдаг бөгөөд хэрэв олон өнцөгтийн ядаж нэг тал нь бусдаас өөр хэмжээтэй байвал тэдгээрийн урт нь ижил биш юм. Тиймээс геометрийн хичээлийн асуудлуудад заримдаа илүү өндөр, жишээлбэл, гурвалжин эсвэл параллелограммын уртыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг.

Зааварчилгаа

Хэрэв гурвалжны талуудын хамгийн богино уртаас гадна (a) зургийн нөхцөлд (S) өгөгдсөн бол өндөр (Hₐ) нь маш энгийн байх болно. Талбайг хоёр дахин нэмэгдүүлж, үүссэн утгыг богино хэмжээтэй уртаар хуваана - энэ нь хүссэн өндөр байх болно: Hₐ = 2 * S / a.

Талбайг мэдэхгүй ч гурвалжны уртыг (a, b, c) авах боломжтой бол та түүний өндрөөс хамгийн уртыг нь олох боломжтой, гэхдээ илүү олон математик үйлдлүүд байх болно. Туслах хэмжигдэхүүнийг тооцоолж эхэл - хагас периметр (p). Үүнийг хийхийн тулд бүх талын уртыг нэмж, үр дүнг хуваана.