Nustatykite 1 dispersiją. Dispersija ir standartinis nuokrypis
Mes apskaičiuojameMSEXCELimties dispersija ir standartinis nuokrypis. Taip pat apskaičiuojame atsitiktinio dydžio dispersiją, jei žinomas jo pasiskirstymas.
Pirmiausia apsvarstykite dispersija, tada standartinis nuokrypis.
Imties dispersija
Imties dispersija (imties dispersija,mėginysdispersija) apibūdina verčių sklaidą masyve, palyginti su.
Visos 3 formulės yra matematiškai lygiavertės.
Iš pirmosios formulės matyti, kad imties dispersija yra kiekvienos masyvo reikšmės kvadratinių nuokrypių suma nuo vidurkio padalytas iš imties dydžio atėmus 1.
dispersija mėginių ėmimas naudojama funkcija DISP (). VAR pavadinimas, t.y. VARiance. Nuo MS EXCEL 2010 versijos rekomenduojama naudoti jos analogą DISP.B (), eng. pavadinimas VARS, t.y. Pavyzdžio dispersija. Be to, nuo MS EXCEL 2010 versijos yra DISP.G (), angliška funkcija. VARP pavadinimas, t.y. Populiacijos dispersija, kuri apskaičiuoja dispersija dėl gyventojų... Visas skirtumas priklauso nuo vardiklio: vietoj n-1, kaip DISP.B (), DISP.G () vardiklyje yra tik n. Prieš MS EXCEL 2010, funkcija VARP () buvo naudojama bendrosios populiacijos dispersijai apskaičiuoti.
Imties dispersija
= Kvadratas (pavyzdys) / (SKAIČIUS (pavyzdys) -1)
= (SUM (Sample) -COUNT (Sample) * AVERAGE (Sample) ^ 2) / (COUNT (Sample) -1)- įprasta formulė
= SUM ((Sample -VALUE (Sample)) ^ 2) / (COUNT (Sample) -1) –
Imties dispersija yra lygus 0, tik jei visos reikšmės yra lygios viena kitai ir atitinkamai yra lygios vidutinis... Paprastai tuo didesnė vertė dispersija, tuo didesnis masyvo reikšmių plitimas.
Imties dispersija yra taškinis įvertinimas dispersija atsitiktinio dydžio pasiskirstymas, iš kurio mėginys... Apie pastatą pasikliautinieji intervalai vertinant dispersija galima perskaityti straipsnyje.
Atsitiktinio dydžio dispersija
Suskaičiuoti dispersija atsitiktinis kintamasis, jūs turite jį žinoti.
Dėl dispersija Atsitiktinis kintamasis X dažnai naudojamas žymėjimas Var (X). Sklaida lygus nuokrypio nuo vidurkio E (X) kvadratui: Var (X) = E [(X-E (X)) 2]
dispersija apskaičiuojamas pagal formulę:
čia x i yra atsitiktinio dydžio reikšmė, o μ yra vidutinė reikšmė (), p (x) yra tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis x reikšmę.
Jei atsitiktinis kintamasis turi, tada dispersija apskaičiuojamas pagal formulę:
Matmenys dispersija atitinka pradinių reikšmių matavimo vieneto kvadratą. Pavyzdžiui, jei imtyje pateiktos vertės yra detalės svorio (kg) matavimai, tada dispersijos matmuo bus kg 2. Tai gali būti sunku interpretuoti, todėl apibūdinti verčių sklaidą, vertę, lygią kvadratinei šaknims dispersija – standartinis nuokrypis.
Kai kurios savybės dispersija:
Var (X + a) = Var (X), kur X yra atsitiktinis dydis, o a yra konstanta.
Var (aX) = a 2 Var (X)
Var (X) = E [(XE (X)) 2] = E = E (X 2) -E (2 * X * E (X)) + (E (X)) 2 = E (X 2) - 2 * E (X) * E (X) + (E (X)) 2 = E (X 2) - (E (X)) 2
Ši dispersijos savybė naudojama Straipsnis apie tiesinę regresiją.
Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 * Cov (X; Y), kur X ir Y yra atsitiktiniai dydžiai, Cov (X; Y) yra šių atsitiktinių dydžių kovariacija.
Jei atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, tada jų kovariacija yra lygus 0, todėl Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y). Ši dispersijos savybė naudojama išvestyje.
Parodykime, kad nepriklausomiems dydžiams Var (X-Y) = Var (X + Y). Iš tiesų, Var (X-Y) = Var (X-Y) = Var (X + (- Y)) = kinta (X) + var (-Y) = kinta (X) + var (-Y) = kinta (X) + ( - 1) 2 Var (Y) = Kinta (X) + Var (Y) = Kinta (X + Y). Ši dispersijos savybė naudojama braižant.
Mėginio standartinis nuokrypis
Mėginio standartinis nuokrypis yra matas, nurodantis, kaip plačiai imtyje esančios reikšmės yra išsklaidytos, palyginti su jų vertėmis.
A prioritetas, standartinis nuokrypis lygus kvadratinei šaknis iš dispersija:
Standartinis nuokrypis neatsižvelgiama į verčių dydį mėginys, bet tik vertybių sklaidos aplink juos laipsnį vidurio... Tai iliustruojantis pavyzdys.
Apskaičiuokime standartinį nuokrypį 2 imtims: (1; 5; 9) ir (1001; 1005; 1009). Abiem atvejais s = 4. Akivaizdu, kad mėginių standartinio nuokrypio ir masyvo verčių santykis labai skiriasi. Tokiais atvejais naudokite Variacijos koeficientas(Variacijos koeficientas, CV) – santykis Standartinis nuokrypis iki vidurio aritmetika išreikštas procentais.
MS EXCEL 2007 ir senesnėse versijose, skaičiuojant Mėginio standartinis nuokrypis funkcija naudojama = STDEV (), angl. pavadinimas STDEV, t.y. Standartinis nukrypimas. Nuo MS EXCEL 2010 versijos rekomenduojama naudoti jos analogą = STDEV.V (), eng. pavadinimas STDEV.S, t.y. Standartinio nukrypimo pavyzdys.
Be to, nuo MS EXCEL 2010 versijos yra funkcija STDEV.G (), eng. pavadinimas STDEV.P, t.y. Gyventojų Standartinis NUkrypimas, kuris apskaičiuoja standartinis nuokrypis dėl gyventojų... Visas skirtumas priklauso nuo vardiklio: vietoj n-1, kaip STDEV.V (), STDEV.G () vardiklyje yra tik n.
Standartinis nuokrypis Taip pat galima tiesiogiai apskaičiuoti pagal šias formules (žr. failo pavyzdį)
= ŠAKNĖ (Kvadratas (pavyzdys) / (SKAIČIUS (pavyzdys) -1))
= ROOT ((SUM (Sample) -COUNT (Sample) * AVERAGE (Sample) ^ 2) / (COUNT (Sample) -1))
Kitos plitimo priemonės
Funkcija Kvadratas () apskaičiuoja su umma kvadratiniai verčių nukrypimai nuo jų vidurio... Ši funkcija grąžins tą patį rezultatą kaip ir formulė = DISP.G ( Pavyzdys)*PATIKRINTI( Pavyzdys), kur Pavyzdys- nuoroda į diapazoną, kuriame yra imties verčių masyvas (). Skaičiavimai funkcijoje Kvadratas () atliekami pagal formulę:
Funkcija AVEDEV () taip pat yra duomenų rinkinio sklaidos matas. Funkcija AVEDV () apskaičiuoja reikšmių nuokrypių nuo absoliučių verčių vidurkį vidurio... Ši funkcija pateiks tą patį rezultatą kaip ir formulė = SUMPRODUCT (ABS (Sample-AVERAGE (Sample)))) / COUNT (Sample), kur Pavyzdys- nuoroda į diapazoną, kuriame yra imties verčių masyvas.
Funkcijos AVEDV () skaičiavimai atliekami pagal formulę:
Matematinės lūkesčiai ir dispersija yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Jie apibūdina svarbiausius skirstinio požymius: jo padėtį ir sklaidos laipsnį. Daugelyje praktinių problemų pilna, išsami atsitiktinio dydžio charakteristika – pasiskirstymo dėsnis – arba išvis negali būti gauta, arba išvis nereikalinga. Tokiais atvejais jie apsiriboja apytiksliu atsitiktinio dydžio aprašymu, naudojant skaitines charakteristikas.
Matematinis lūkestis dažnai vadinamas tiesiog atsitiktinio dydžio vidurkiu. Atsitiktinio dydžio sklaida yra dispersijos charakteristika, atsitiktinio dydžio sklaida apie jo matematinį tikėjimą.
Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis
Priartėkime prie matematinio lūkesčio sampratos, pirmiausia remdamiesi mechaniniu diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo aiškinimu. Tegul masės vienetas pasiskirsto tarp abscisių ašies taškų x1 , x 2 , ..., x n, ir kiekvienas materialus taškas turi atitinkamą masę nuo p1 , p 2 , ..., p n... Abscisių ašyje reikia pasirinkti vieną tašką, kuris apibūdina visos materialių taškų sistemos padėtį, atsižvelgiant į jų mases. Natūralu tokiu tašku laikyti materialių taškų sistemos masės centrą. Tai yra atsitiktinio dydžio svertinis vidurkis X, kurioje kiekvieno taško abscisė xiįeina su „svoriu“, lygiu atitinkamai tikimybei. Tokiu būdu gauta vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė X vadinamas jo matematiniu lūkesčiu.
Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkesčiai yra visų jo galimų reikšmių sandaugų suma pagal šių verčių tikimybes:
1 pavyzdys. Buvo organizuota loterija, kurioje laimi. Yra 1000 laimėjimų, iš kurių 400 yra po 10 rublių. 300-20 rublių kiekvienas 200-100 rublių kiekvienas ir po 100-200 rublių. Koks yra vidutinis vieno bilieto pirkėjo laimėjimas?
Sprendimas. Vidutinį laimėjimą rasime, jei bendrą laimėjimų sumą, kuri yra 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 rublių, padalinsime iš 1000 (bendra laimėjimų suma). Tada gauname 50 000/1000 = 50 rublių. Tačiau vidutinio atlyginimo apskaičiavimo išraiška gali būti pateikta tokia forma:
Kita vertus, tokiomis sąlygomis prizo dydis yra atsitiktinis dydis, kuris gali būti 10, 20, 100 ir 200 rublių. su tikimybėmis, atitinkamai lygiomis 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Vadinasi, numatomas vidutinis atlygis yra lygus išmokų dydžio sandaugų sumai pagal jų gavimo tikimybę.
2 pavyzdys. Leidykla nusprendė išleisti naują knygą. Knygą jis ketina parduoti už 280 rublių, iš kurių 200 atiteks, 50 – knygynui ir 30 – autoriui. Lentelėje pateikiama informacija apie knygos išleidimo kainą ir tikimybę parduoti tam tikrą knygos egzempliorių skaičių.
Raskite numatomą leidėjo pelną.
Sprendimas. Atsitiktinė vertė „pelnas“ yra lygi skirtumui tarp pardavimo pajamų ir išlaidų sąnaudų. Pavyzdžiui, jei parduodama 500 knygos egzempliorių, tada pardavimo pajamos yra 200 * 500 = 100 000, o leidybos kaina yra 225 000 rublių. Taigi leidėjui gresia 125 000 rublių nuostolis. Šioje lentelėje apibendrinamos tikėtinos atsitiktinio dydžio – pelno – reikšmės:
| Skaičius | Pelnas xi | Tikimybė pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Iš viso: | 1,00 | 25000 |
Taigi gauname matematinius leidėjo pelno lūkesčius:
.
3 pavyzdys. Pataikymo tikimybė vienam šūviui p= 0,2. Nustatykite sviedinių suvartojimą, matematinį tikėjimą, kad smūgių skaičius lygus 5.
Sprendimas. Išreiškiame iš tos pačios matematinės lūkesčių formulės, kurią naudojome iki šiol x- sviedinio suvartojimas:
.
4 pavyzdys. Nustatykite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą x smūgių skaičius trims šūviams, jei kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė p = 0,4 .
Užuomina: atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybė nustatoma pagal Bernulio formulė .
Matematinės lūkesčių savybės
Apsvarstykite matematinio lūkesčio savybes.
1 nuosavybė. Matematinis konstantos lūkestis yra lygus šiai konstantai:
2 nuosavybė. Pastovus koeficientas gali būti paimtas už matematinio lūkesčio ženklo:
3 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai (skirtumui):
4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
5 nuosavybė. Jei visos atsitiktinio dydžio reikšmės X sumažinti (padidėti) tuo pačiu skaičiumi SU, tada jo matematinis lūkestis sumažės (padidės) tokiu pat skaičiumi:
Kai tavęs negali apriboti tik matematiniai lūkesčiai
Daugeliu atvejų vien matematiniai lūkesčiai negali tinkamai apibūdinti atsitiktinio kintamojo.
Tegul atsitiktiniai dydžiai X ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:
| Reikšmė X | Tikimybė |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Reikšmė Y | Tikimybė |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Šių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi – lygūs nuliui:
Tačiau jų pasiskirstymo pobūdis skiriasi. Atsitiktinė vertė X gali imti tik reikšmes, kurios mažai skiriasi nuo matematinio lūkesčio, ir atsitiktinį kintamąjį Y gali įgyti vertes, kurios labai skiriasi nuo matematinio lūkesčio. Panašus pavyzdys: dėl vidutinio darbo užmokesčio neįmanoma spręsti apie daug ir mažai apmokamų darbuotojų proporciją. Kitaip tariant, iš matematinio lūkesčio neįmanoma spręsti, kokie nukrypimai nuo jo, bent jau vidutiniškai, galimi. Norėdami tai padaryti, turite rasti atsitiktinio dydžio dispersiją.
Diskretinio atsitiktinio dydžio sklaida
Sklaida diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X yra jo nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadrato matematinė lūkestis:
Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis X jo dispersijos kvadratinės šaknies aritmetinė reikšmė vadinama:
.
5 pavyzdys. Apskaičiuokite atsitiktinių dydžių dispersijas ir standartinius nuokrypius X ir Y, kurių paskirstymo dėsniai pateikti aukščiau esančiose lentelėse.
Sprendimas. Atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai X ir Y, kaip nurodyta aukščiau, yra lygūs nuliui. Pagal dispersijos formulę at E(NS)=E(y) = 0 gauname:
Tada atsitiktinių dydžių standartiniai nuokrypiai X ir Y makiažas
.
Taigi su tais pačiais matematiniais lūkesčiais atsitiktinio dydžio dispersija X yra labai mažas, bet atsitiktinis dydis Y- reikšmingas. Tai yra jų pasiskirstymo skirtumo pasekmė.
6 pavyzdys. Investuotojas turi 4 alternatyvius investicinius projektus. Lentelėje su atitinkama tikimybe apibendrinamas šių projektų numatomas pelnas.
| 1 projektas | 2 projektas | 3 projektas | 4 projektas |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Raskite kiekvienos alternatyvos matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
Sprendimas. Parodykime, kaip šios vertės apskaičiuojamos trečiajai alternatyvai:
Lentelėje apibendrinamos visų alternatyvų reikšmės.
Visos alternatyvos turi tuos pačius matematinius lūkesčius. Tai reiškia, kad ilgainiui visi turi vienodas pajamas. Standartinis nuokrypis gali būti interpretuojamas kaip rizikos matavimo vienetas – kuo jis didesnis, tuo didesnė investicijos rizika. Investuotojas, nenorintis daug rizikuoti, rinksis 1 projektą, nes jo standartinis nuokrypis yra mažiausias (0). Jei investuotojas pirmenybę teikia rizikai ir didelei grąžai per trumpą laikotarpį, jis pasirinks projektą su didžiausiu standartiniu nuokrypiu – 4 projektą.
Dispersijos savybės
Čia pateikiamos dispersijos savybės.
1 nuosavybė. Konstantos dispersija lygi nuliui:
2 nuosavybė. Pastovųjį koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo padalijus jį kvadratu:
.
3 nuosavybė. Atsitiktinio dydžio dispersija yra lygi šio dydžio kvadrato matematiniam lūkesčiui, iš kurio atimamas paties dydžio matematinio lūkesčio kvadratas:
,
kur 
.
4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) dispersija yra lygi jų dispersijų sumai (skirtumui):
7 pavyzdys. Yra žinoma, kad diskretinis atsitiktinis dydis X ima tik dvi reikšmes: −3 ir 7. Be to, žinomas matematinis lūkestis: E(X) = 4. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.
Sprendimas. Pažymėkime pagal p tikimybė, su kuria atsitiktinis dydis įgauna reikšmę x1 = −3 ... Tada vertės tikimybė x2 = 7 bus 1- p... Išveskime matematinio lūkesčio lygtį:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
iš kur gauname tikimybes: p= 0,3 ir 1 - p = 0,7 .
Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Šio atsitiktinio dydžio dispersiją apskaičiuojame pagal formulę iš 3 dispersijos savybės:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Pats raskite matematinį atsitiktinio kintamojo lūkestį ir pažiūrėkite į sprendimą
8 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis dydis X ima tik dvi vertes. Ji priima didesnę iš reikšmių 3 su 0,4 tikimybe. Be to, žinoma atsitiktinio dydžio dispersija D(X) = 6. Raskite atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius.
9 pavyzdys. Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš urnos išimami 3 rutuliukai. Baltų rutulių skaičius tarp išimtų rutulių yra diskretusis atsitiktinis dydis X... Raskite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją.
Sprendimas. Atsitiktinė vertė X gali gauti reikšmes 0, 1, 2, 3. Atitinkamas tikimybes galima apskaičiuoti iš tikimybių daugybos taisyklė... Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Taigi matematinė tam tikro atsitiktinio dydžio lūkesčius:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Duoto atsitiktinio dydžio dispersija:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Tolydinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija
Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui mechaninis matematinio lūkesčio aiškinimas išliks ta pati reikšmė: masės centras vieneto masės, nuolat paskirstytos ant abscisių ašies su tankiu. f(x). Skirtingai nuo diskrečiojo atsitiktinio dydžio, kuriame funkcijos argumentas xi staigiai keičiasi, nuolatinio atsitiktinio dydžio argumentas kinta nuolat. Tačiau matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis taip pat yra susijęs su jo vidutine verte.
Norėdami rasti ištisinio atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį ir dispersiją, turite rasti tam tikrus integralus ... Jei pateikiama nuolatinio atsitiktinio dydžio tankio funkcija, ji tiesiogiai patenka į integrandą. Jei pateikiama tikimybių pasiskirstymo funkcija, tada ją diferencijuojant reikia rasti tankio funkciją.
Visų galimų nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių aritmetinis vidurkis vadinamas jo matematinis lūkestis, žymimas arba.
Tikimybių teorija yra speciali matematikos šaka, kurią studijuoja tik universiteto studentai. Ar jums patinka skaičiavimai ir formulės? Ar nebijote galimybės susipažinti su normaliuoju skirstiniu, ansamblio entropija, matematiniais lūkesčiais ir diskretiškojo atsitiktinio dydžio dispersija? Tada ši tema jums bus labai įdomi. Susipažinkime su kai kuriomis svarbiausiomis pagrindinėmis šios mokslo šakos sąvokomis.
Prisiminkime pagrindus
Net jei prisimenate paprasčiausias tikimybių teorijos sąvokas, nepamirškite pirmųjų straipsnio pastraipų. Faktas yra tas, kad be aiškaus pagrindinių dalykų supratimo negalėsite dirbti su toliau aptartomis formulėmis.
Taigi, atsitinka koks nors atsitiktinis įvykis, eksperimentas. Dėl atliktų veiksmų galime sulaukti kelių baigčių – vieni dažnesni, kiti rečiau. Įvykio tikimybė – tai faktiškai gautų vieno tipo baigčių skaičiaus ir bendro galimų baigčių skaičiaus santykis. Tik žinodami klasikinį šios sąvokos apibrėžimą, galite pradėti tyrinėti nuolatinių atsitiktinių dydžių matematinius lūkesčius ir dispersiją.
Vidutinis
Dar mokykloje, matematikos pamokose, pradėjai dirbti su aritmetiniu vidurkiu. Ši sąvoka yra plačiai naudojama tikimybių teorijoje, todėl jos negalima ignoruoti. Šiuo metu mums svarbiausia, kad su tuo susidursime atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio ir dispersijos formulėse.
Turime skaičių seką ir norime rasti aritmetinį vidurkį. Viskas, ko iš mūsų reikalaujama, yra susumuoti viską, kas turima, ir padalyti iš sekos elementų skaičiaus. Tarkime, kad turime skaičius nuo 1 iki 9. Elementų suma bus 45, o šią reikšmę padalinsime iš 9. Atsakymas: - 5.
Sklaida
Moksliniu požiūriu dispersija yra gautų požymio verčių nuokrypių nuo aritmetinio vidurkio vidutinis kvadratas. Vienas žymimas didžiąja lotyniška raide D. Ko reikia norint ją apskaičiuoti? Kiekvienam sekos elementui apskaičiuokite skirtumą tarp turimo skaičiaus ir aritmetinio vidurkio ir jį kvadratu. Bus lygiai tiek daug vertybių, kiek gali būti renginio, kurį svarstome, rezultatų. Toliau apibendriname viską, ką gavome, ir padaliname iš sekos elementų skaičiaus. Jei turime penkis galimus rezultatus, dalijame iš penkių.
Dispersija taip pat turi savybių, kurias reikia atsiminti, kad būtų galima pritaikyti sprendžiant problemas. Pavyzdžiui, kai atsitiktinis dydis padidinamas X kartų, dispersija padidinama X kartų kvadratu (t. y. X * X). Jis niekada nėra mažesnis už nulį ir nepriklauso nuo reikšmių poslinkio vienoda reikšme aukštyn ar žemyn. Be to, nepriklausomiems testams sumos dispersija yra lygi dispersijų sumai.
Dabar neabejotinai turime apsvarstyti diskrečiųjų atsitiktinių dydžių ir matematinių lūkesčių dispersijos pavyzdžius.
Tarkime, kad atlikome 21 eksperimentą ir gavome 7 skirtingus rezultatus. Kiekvieną iš jų stebėjome atitinkamai 1,2,2,3,4,4 ir 5 kartus. Kas yra dispersija?
Pirmiausia apskaičiuokime aritmetinį vidurkį: elementų suma, žinoma, lygi 21. Padalinkite ją iš 7 ir gaukite 3. Dabar iš kiekvieno pradinės sekos skaičiaus atimkite 3, padėkite kiekvieną reikšmę kvadratu ir pridėkite rezultatus kartu. Išeis 12. Dabar mums belieka skaičių padalyti iš elementų skaičiaus, ir, atrodytų, viskas. Bet yra laimikis! Tai aptarkime.
Priklausomybė nuo eksperimentų skaičiaus
Pasirodo, skaičiuojant dispersiją, vardiklis gali būti vienas iš dviejų skaičių: arba N, arba N-1. Čia N yra atliktų eksperimentų skaičius arba sekos elementų skaičius (kurie iš esmės yra vienodi). nuo ko tai priklauso?
Jei testų skaičius matuojamas šimtais, tai turėtume įvesti vardiklį N. Jei vienetais, tai N-1. Mokslininkai nusprendė nubrėžti ribą gana simboliškai: šiandien ji eina ties skaičiumi 30. Jei atlikome mažiau nei 30 eksperimentų, tada sumą padalinsime iš N-1, o jei daugiau, tai iš N.
Užduotis
Grįžkime prie mūsų dispersijos ir lūkesčių problemos sprendimo pavyzdžio. Gavome tarpinį skaičių 12, kurį reikėjo padalyti iš N arba N-1. Kadangi atlikome 21 eksperimentą, tai yra mažiau nei 30, pasirinksime antrąjį variantą. Taigi atsakymas yra toks: dispersija yra 12/2 = 2.
Tikėtina vertė
Pereikime prie antrosios koncepcijos, kurią būtinai turime apsvarstyti šiame straipsnyje. Tikėtina vertė yra visų galimų rezultatų suma, padauginta iš atitinkamų tikimybių. Svarbu suprasti, kad gauta reikšmė, kaip ir dispersijos apskaičiavimo rezultatas, visai problemai gaunamas tik vieną kartą, nesvarbu, kiek rezultatų joje atsižvelgiama.
Matematinės lūkesčių formulė gana paprasta: paimame rezultatą, padauginame iš jo tikimybės, pridedame tą patį antrą, trečią rezultatą ir tt Viskas, kas susiję su šia sąvoka, yra nesunkiai apskaičiuojama. Pavyzdžiui, lūkesčių suma yra lygi sumos lūkesčiai. Tas pats pasakytina ir apie kūrinį. Ne kiekviena tikimybės teorijos reikšmė leidžia atlikti tokias paprastas operacijas su savimi. Paimkime problemą ir apskaičiuokime dviejų sąvokų, kurias iš karto nagrinėjome, reikšmę. Be to, mus blaškė teorija – laikas praktikuotis.
Dar vienas pavyzdys
Atlikome 50 bandymų ir gavome 10 skirtingų rezultatų – skaičių nuo 0 iki 9 – skirtingu procentais. Tai yra atitinkamai: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Prisiminkite, kad norint gauti tikimybes, reikia padalyti reikšmes procentais iš 100. Taigi gauname 0,02; 0,1 ir kt. Pateiksime atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio uždavinio sprendimo pavyzdį.
Aritmetinį vidurkį apskaičiuojame pagal formulę, kurią prisimename iš pradinės mokyklos: 50/10 = 5.
Dabar paverskime tikimybes į rezultatų skaičių „gabalais“, kad būtų lengviau skaičiuoti. Gauname 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ir 9. Iš kiekvienos gautos reikšmės atimkite aritmetinį vidurkį, po kurio kiekvieną gautą rezultatą padėkite kvadratu. Pažiūrėkite, kaip tai padaryti naudojant pirmąjį elementą kaip pavyzdį: 1 - 5 = (-4). Kitas: (-4) * (-4) = 16. Su likusiomis reikšmėmis šias operacijas atlikite patys. Jei viską padarėte teisingai, tada viską sudėjus gausite 90.
Tęskime dispersijos ir vidurkio skaičiavimą, 90 padalydami iš N. Kodėl pasirenkame N, o ne N-1? Teisingai, nes atliktų eksperimentų skaičius viršija 30. Taigi: 90/10 = 9. Gavome dispersiją. Jei gausite kitą numerį, nenusiminkite. Greičiausiai padarėte dažną klaidą skaičiavimuose. Dar kartą patikrinkite, ką parašėte, ir tikrai viskas atsistos į savo vietas.
Galiausiai prisiminkime matematinio lūkesčio formulę. Visų skaičiavimų nepateiksime, parašysime tik atsakymą, su kuriuo galėsite pasitikrinti atlikę visas reikalingas procedūras. Tikimasi 5.48 val. Prisiminkime tik, kaip atlikti operacijas, naudodamiesi pirmųjų elementų pavyzdžiu: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... ir pan. Kaip matote, mes tiesiog padauginame rezultato vertę iš jo tikimybės.
Nukrypimas
Kita sąvoka, glaudžiai susijusi su dispersija ir matematiniais lūkesčiais, yra standartinis nuokrypis. Jis žymimas arba lotyniškomis raidėmis sd, arba graikiškomis mažosiomis raidėmis „sigma“. Ši koncepcija parodo, kiek vidutiniškai reikšmės nukrypsta nuo pagrindinės funkcijos. Norėdami sužinoti jo reikšmę, turite apskaičiuoti dispersijos kvadratinę šaknį.
Jei nubraižote normalųjį skirstinį ir norite tiesiogiai jame matyti standartinį nuokrypį, tai galima padaryti keliais etapais. Paimkite pusę vaizdo į kairę arba į dešinę nuo režimo (centrinė reikšmė), nubrėžkite statmeną horizontaliai ašiai, kad gautų formų plotai būtų lygūs. Atkarpos tarp skirstinio vidurio ir gautos projekcijos į horizontaliąją ašį reikšmė parodys standartinį nuokrypį.
Programinė įranga
Kaip matyti iš formulių aprašymų ir pateiktų pavyzdžių, dispersijos ir matematinės lūkesčių skaičiavimas aritmetiniu požiūriu nėra pati paprasčiausia procedūra. Kad nebūtų gaištas laikas, prasminga naudoti aukštosiose mokyklose naudojamą programą – ji vadinasi „R“. Jame yra funkcijų, leidžiančių apskaičiuoti daugelio sąvokų reikšmes iš statistikos ir tikimybių teorijos.
Pavyzdžiui, jūs apibrėžiate reikšmių vektorių. Tai daroma taip: vektorius<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Pagaliau
Sklaida ir matematinis lūkestis – be kurių sunku ką nors apskaičiuoti ateityje. Pagrindiniame paskaitų kurse universitetuose jos svarstomos jau pirmaisiais dalyko studijų mėnesiais. Būtent dėl šių paprastų sąvokų nesuvokimo ir nesugebėjimo jų apskaičiuoti daugelis studentų iš karto pradeda atsilikti nuo programos, o vėliau sesijoje gauna prastus pažymius, o tai atima stipendijas.
Praktikuokite bent vieną savaitę, pusvalandį per dieną, spręsdami užduotis, panašias į pateiktas šiame straipsnyje. Tada atlikdami bet kurį tikimybių teorijos testą, susidorosite su pavyzdžiais be pašalinių patarimų ir sukčiavimo lapų.
Tačiau vien šios charakteristikos vis dar nepakanka atsitiktiniam dydžiui ištirti. Įsivaizduokite, kad du šauliai šaudo į taikinį. Vienas šaudo taikliai ir pataiko arti centro, o kitas... tiesiog linksminasi ir net nesitaiko. Bet juokinga yra jo vidutinis rezultatas bus lygiai toks pat kaip ir pirmojo šaulio! Šią situaciją paprastai iliustruoja šie atsitiktiniai dydžiai:
„Snaiperio“ matematinis lūkestis yra lygus, tačiau „įdomiai asmenybei“: – irgi lygus nuliui!
Taigi reikia kiekybiškai įvertinti, kiek išsibarstę kulkos (atsitiktinio dydžio reikšmės), palyginti su taikinio centru (matematinis lūkestis). gerai ir išsibarstymas iš lotynų kalbos verčiama tik kaip dispersija .
Pažiūrėkime, kaip ši skaitinė charakteristika nustatoma viename iš 1-osios pamokos dalies pavyzdžių: 
Ten radome nuviliančius matematinius šio žaidimo lūkesčius, o dabar turime apskaičiuoti jo dispersiją, kuri yra žymimas skersai .
Išsiaiškinkime, kiek pergalės/pralaimėjimai yra „išsibarstę“ vidurkio atžvilgiu. Akivaizdu, kad tam reikia apskaičiuoti skirtumai tarp atsitiktinio dydžio reikšmės ir ji matematinis lūkestis:
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
Dabar, regis, reikia apibendrinti rezultatus, bet šis kelias netinka – dėl to, kad svyravimai į kairę atsitrauks su svyravimais į dešinę. Taigi, pavyzdžiui, „mėgėjiškas“ šaulys (pavyzdys aukščiau) skirtumas yra 
, o pridėjus duos nulį, todėl negausime jokio jo šaudymo sklaidos įvertinimo.
Norėdami išvengti šio nepatogumo, galite apsvarstyti moduliai skirtumai, tačiau dėl techninių priežasčių požiūris įsitvirtino, kai jie yra kvadratiniai. Patogiau sprendimą sudaryti lentele: 
Ir čia reikia skaičiuoti svertinis vidurkis nuokrypių kvadratų reikšmė. Kas tai? Tai jų tikėtina vertė, kuris yra sklaidos matas:
– apibrėžimas dispersija. Iš apibrėžimo iš karto aišku, kad dispersija negali būti neigiama- atkreipkite dėmesį į praktiką!
Prisiminkime, kaip rasti lūkesčius. Skirtumų kvadratus padauginame iš atitinkamų tikimybių (Lentelės tęsinys):
- vaizdžiai tariant, tai yra „traukianti jėga“,
ir apibendrinkite rezultatus:
Ar nemanote, kad laimėjimų fone rezultatas pasirodė per didelis? Teisingai – mes kvadratavome, o norėdami grįžti į savo žaidimo dimensiją, turime išgauti kvadratinę šaknį. Šis kiekis vadinamas standartinis nuokrypis
ir žymimas graikiška raide „sigma“:
Ši vertė kartais vadinama standartinis nuokrypis .
Kokia jo prasmė? Jei nuo matematinio lūkesčio nukrypstame į kairę ir į dešinę standartiniu nuokrypiu: 
- tada labiausiai tikėtinos atsitiktinio dydžio reikšmės bus „koncentruotos“ šiame intervale. Ką mes iš tikrųjų stebime:
Tačiau atsitiko taip, kad analizuojant sklaidą beveik visada operuojama su dispersijos sąvoka. Pažiūrėkime, ką tai reiškia žaidimų atžvilgiu. Jei rodyklių atveju kalbame apie smūgių „tikslumą“ taikinio centro atžvilgiu, tai čia dispersija apibūdina du dalykus:
Pirma, akivaizdu, kad didėjant rodikliams didėja ir dispersija. Taigi, pavyzdžiui, jei padidinsime 10 kartų, tada matematinis lūkestis padidės 10 kartų, o dispersija - 100 kartų (jei tai yra kvadratinis dydis)... Tačiau atkreipkite dėmesį, kad pačios žaidimo taisyklės nepasikeitė! Pasikeitė tik įkainiai, grubiai tariant, statydavome 10 rublių, dabar 100.
Antras, įdomesnis dalykas, yra tas, kad žaidimo stiliui būdinga dispersija. Protiškai sureguliuokime žaidimo įkainius tam tikrame lygyje, ir pažiūrėkite, kas čia:
Mažos dispersijos žaidimas yra atsargus žaidimas. Žaidėjas yra linkęs rinktis patikimiausias schemas, kuriose vienu metu nepraranda/laimi per daug. Pavyzdžiui, raudona / juoda sistema ruletėje (žr. 4 straipsnio pavyzdį Atsitiktiniai kintamieji) .
Didelės dispersijos žaidimas. Ji dažnai vadinama dispersinisžaidimas. Tai nuotykių kupinas arba agresyvus žaidimo stilius, kai žaidėjas pasirenka adrenalino siurbimo schemas. Prisiminkime bent Martingale, kuriame rizikuojamos sumos, kurios yra daug didesnės nei ankstesnėje pastraipoje nurodytas „tylus“ žaidimas.
Situacija pokeryje yra orientacinė: yra vadinamųjų ankštusžaidėjai, kurie linkę būti atsargūs ir „nerimti“ dėl savo žaidimų turto (pagal bankrotą)... Nenuostabu, kad jų bankrotas mažai svyruoja (maža dispersija). Priešingai, jei žaidėjas turi didelę dispersiją, tai yra agresorius. Jis dažnai rizikuoja, daro didelius statymus ir gali sugriauti didžiulį banką ir sugriauti.
Tas pats vyksta Forex ir panašiai – pavyzdžių yra daug.
Be to, visais atvejais nesvarbu – ar žaidimas kainuoja centą, ar tūkstančius dolerių. Kiekvienas lygis turi savo mažos ir didelės dispersijos žaidėjus. Na, o vidutinis atlyginimas, kaip prisimename, yra „atsakingas“ tikėtina vertė.
Tikriausiai pastebėjote, kad dispersijos nustatymas yra ilgas ir kruopštus procesas. Tačiau matematika yra dosni:
Sklaidos nustatymo formulė
Ši formulė yra tiesiogiai išvesta iš dispersijos apibrėžimo, ir mes iš karto pateikiame ją į apyvartą. Nukopijuosiu lėkštės viršų su mūsų žaidimu: 
ir rastą lūkestį.
Apskaičiuokime dispersiją antruoju būdu. Pirmiausia randame matematinį lūkestį – atsitiktinio dydžio kvadratą. Autorius lūkesčių apibrėžimas:
Tokiu atveju:
Taigi, pagal formulę:
Pajuskite skirtumą, kaip sakoma. Ir praktiškai, žinoma, geriau taikyti formulę (nebent sąlyga reikalauja kitaip).
Įvaldome sprendimo ir dizaino techniką:
6 pavyzdys
Raskite jo matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
Ši užduotis randama visur ir, kaip taisyklė, neturi prasmės.
Galite įsivaizduoti kelias lemputes su skaičiais, kurios su tam tikra tikimybe užsidega beprotnamyje :)
Sprendimas: Pagrindiniai skaičiavimai patogiai apibendrinti lentelėje. Pirma, pirminius duomenis įrašome į dvi viršutines eilutes. Tada apskaičiuojame produktus, tada ir galiausiai sumas dešiniajame stulpelyje: 
Tiesą sakant, beveik viskas yra paruošta. Trečioje eilutėje yra paruoštas matematinis lūkestis: 
.
Dispersiją apskaičiuojame pagal formulę:
Ir galiausiai standartinis nuokrypis:
– asmeniškai aš dažniausiai apvalinu iki 2 skaitmenų po kablelio.
Visus skaičiavimus galima atlikti skaičiuotuvu, o dar geriau - Excel:
čia sunku suklysti :)
Atsakymas:
Norintys gali dar labiau supaprastinti savo gyvenimą ir naudotis mano skaičiuotuvas (demo versija), kuris ne tik akimirksniu išspręs šią problemą, bet ir pastatys teminės diagramos (greitai atvyksime)... Programa gali parsisiųsti bibliotekoje- jei įkėlėte bent vieną mokomąją medžiagą arba gaukite Kitas būdas... Ačiū už paramą projektui!
Pora užduočių savarankiškam sprendimui:
7 pavyzdys
Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio dispersiją iš ankstesnio pavyzdžio pagal apibrėžimą.
Ir panašus pavyzdys:
8 pavyzdys
Diskretus atsitiktinis kintamasis nurodomas jo paskirstymo dėsniu:
Taip, atsitiktinio dydžio reikšmės gali būti gana didelės (pavyzdys iš tikro darbo), o čia, jei įmanoma, naudokite Excel. Kaip, beje, 7 pavyzdyje - greičiau, patikimiau ir maloniau.
Sprendimai ir atsakymai puslapio apačioje.
2-osios pamokos dalies pabaigoje panagrinėsime dar vieną tipišką problemą, galima sakyti, net nedidelį rebusą:
9 pavyzdys
Diskretus atsitiktinis dydis gali turėti tik dvi reikšmes: ir, be to. Yra žinomos tikimybės, matematinės lūkesčiai ir dispersija.
Sprendimas: Pradėkime nuo nežinomos tikimybės. Kadangi atsitiktinis dydis gali turėti tik dvi reikšmes, atitinkamų įvykių tikimybių suma:
ir nuo tada.
Belieka rasti... lengva pasakyti :) Bet va, važiuojam. Pagal matematinio lūkesčio apibrėžimą: 
- pakeičiame žinomas reikšmes:
- ir nieko daugiau iš šios lygties negalima išspausti, išskyrus tai, kad galite ją perrašyti įprasta kryptimi: 
arba: 
Manau, galite spėti apie tolesnius veiksmus. Sudarykime ir išspręskime sistemą: 
Dešimtainės trupmenos, žinoma, yra visiška gėda; padauginkite abi lygtis iš 10: 
ir padalinti iš 2: 
Tai daug geriau. Iš 1 lygties išreiškiame: 
(tai paprastesnis būdas)- 2-oje lygtyje pakeičiame:
Mes statome kvadratu ir padaryti supaprastinimus: 
Padauginti iš: 
Rezultatas yra kvadratinė lygtis, randame jo diskriminaciją:
- puikus!
ir gauname du sprendimus:
1) jei 
, tada 
;
2) jei 
, tada.
Pirmoji verčių pora atitinka sąlygą. Su didele tikimybe viskas teisinga, bet vis dėlto rašome paskirstymo dėsnį: 
ir mes patikrinsime, o būtent, rasime lūkesčius:
Dispersijos tipai:
Bendra dispersija apibūdina visos populiacijos bruožo kitimą veikiant visiems veiksniams, kurie sukėlė šį kitimą. Ši vertė nustatoma pagal formulę
kur yra visos tiriamosios populiacijos suminis aritmetinis vidurkis.
Vidutinė dispersija grupės viduje nurodo atsitiktinį pokytį, kuris gali atsirasti veikiant bet kokiems neatsižvelgtiems veiksniams ir kuris nepriklauso nuo atributo faktoriaus, kuriuo grindžiama grupė. Ši dispersija apskaičiuojama taip: pirmiausia apskaičiuojami atskirų grupių () dispersijos, tada apskaičiuojama vidutinė dispersija grupės viduje:
kur n i yra vienetų skaičius grupėje
Tarpgrupinė dispersija(grupinių vidurkių dispersija) apibūdina sistemingą variaciją, t.y. tiriamo požymio dydžio skirtumai, atsirandantys veikiant bruožui-veiksniui, kuris yra grupavimo pagrindas.
kur yra atskiros grupės vidutinė vertė.
Visi trys dispersijos tipai yra susiję vienas su kitu: bendra dispersija yra lygi vidutinės grupės vidaus ir tarpgrupinės dispersijos sumai:
Savybės:
25 Santykiniai kitimo laipsniai
|
Virpesių koeficientas |
|
|
Santykinis tiesinis nuokrypis |
|
|
Variacijos koeficientas |
|
Koef. Osc. O atspindi santykinius kraštutinių atributo verčių svyravimus aplink vidurkį. Rel. lin. išjungti... apibūdina absoliučių nuokrypių nuo vidutinės reikšmės ženklo vidutinės reikšmės dalį. Koef. Variacija yra labiausiai paplitęs kintamumo matas, naudojamas vidurkių tipiškumui įvertinti.
Statistikoje populiacijos, kurių variacijos koeficientas didesnis nei 30–35%, laikomos nevienalytėmis.
Paskirstymo eilučių reguliarumas. Paskirstymo akimirkos. Paskirstymo formos rodikliai
Variacijų serijoje yra ryšys tarp dažnių ir kintančios savybės reikšmių: didėjant funkcijai, dažnio reikšmė pirmiausia padidėja iki tam tikros ribos, o tada mažėja. Tokie pokyčiai vadinami paskirstymo modelius.
Pasiskirstymo forma tiriama naudojant asimetrijos ir kurtozės rodiklius. Skaičiuojant šiuos rodiklius, naudojami pasiskirstymo momentai.
K-osios eilės momentas yra atributo reikšmių variantų k-ųjų nuokrypių nuo kokios nors pastovios vertės vidurkis. Momento eiliškumą lemia k reikšmė. Analizuojant variacines eilutes, jos apsiriboja pirmųjų keturių užsakymų momentų apskaičiavimu. Skaičiuojant momentus, dažniai arba dažniai gali būti naudojami kaip svoriai. Priklausomai nuo konstantos pasirinkimo, yra pradiniai, sąlyginiai ir centriniai momentai.
Paskirstymo formos rodikliai:
Asimetrija(As) rodiklis, apibūdinantis skirstinio asimetrijos laipsnį .
Todėl su (kairiosios pusės) neigiama asimetrija 
... Su (dešinės pusės) teigiama asimetrija 
.
Centriniai momentai gali būti naudojami asimetrijai apskaičiuoti. Tada:
,
kur μ 3 Ar trečiosios eilės centrinis momentas.
- kurtosis (E Į ) apibūdina funkcijos grafiko nuolydį, palyginti su normaliuoju pasiskirstymu, esant tokiam pat stiprumui:
,
čia μ 4 yra 4 eilės centrinis momentas.
Normalaus paskirstymo dėsnis
Normalaus skirstinio (Gauso skirstinio) pasiskirstymo funkcija yra tokia:
Numatoma vertė – standartinis nuokrypis
Normalusis skirstinys yra simetriškas ir jam būdingas toks ryšys: Xav = Me = Mo
Normaliojo skirstinio kurtozė yra 3, o pasvirimo koeficientas yra 0.
Varpo kreivė yra daugiakampis (simetriška varpo formos tiesi linija)
Dispersijų rūšys. Nuokrypių pridėjimo taisyklė. Empirinio determinacijos koeficiento esmė.
Jei pradinė populiacija yra suskirstyta į grupes pagal kokį nors esminį požymį, tada apskaičiuojami šie dispersijų tipai:
Bendra pradinės populiacijos dispersija:
kur yra bendra pradinės visumos vidutinė vertė; f yra pradinės visumos dažniai. Bendra dispersija apibūdina atskirų bruožo verčių nuokrypį nuo bendros pradinės populiacijos vidutinės vertės.
Skirtumai grupės viduje:
čia j yra grupės skaičius, vidutinė vertė kiekvienoje j-oje grupėje, - j-osios grupės dažniai. Vidinės grupės dispersijos apibūdina kiekvienos grupės požymio individualios vertės nuokrypį nuo grupės vidurkio. Visų vidinės grupės dispersijų vidurkis apskaičiuojamas pagal formulę:, kur yra kiekvienos j-osios grupės vienetų skaičius.
Tarpgrupinis dispersija:
Tarpgrupinė dispersija apibūdina grupės vidurkių nuokrypį nuo bendro pradinės populiacijos vidurkio.
Nuokrypių pridėjimo taisyklė slypi tame, kad bendra pradinės populiacijos dispersija turėtų būti lygi tarpgrupių sumai ir grupės viduje esančių dispersijų vidurkiui:
Empirinis determinacijos koeficientas parodo tiriamo požymio kitimo proporciją dėl grupavimo požymio kitimo ir apskaičiuojamas pagal formulę:
Skaičiavimo nuo sąlyginio nulio metodas (momentų metodas) vidurkiui ir dispersijai apskaičiuoti
Dispersijos apskaičiavimas momentų metodu pagrįstas formulių ir 3 bei 4 dispersinių savybių naudojimu.
(3.Jei visos atributo (parinkčių) reikšmės padidės (sumažės) kokiu nors pastoviu skaičiumi A, tai naujos populiacijos dispersija nepasikeis.
4. Jei visos atributo (parinkčių) reikšmės padidinamos (padauginamos) iš K kartų, kur K yra pastovus skaičius, tai naujos populiacijos dispersija padidės (sumažės) K 2 kartus.
Momentų metodu gauname formulę variacijų eilučių su vienodais intervalais dispersijai apskaičiuoti:
A - sąlyginis nulis, lygus pasirinkimui su didžiausiu dažniu (intervalo su didžiausiu dažniu vidurys)
Vidurkio apskaičiavimas momentų metodu taip pat pagrįstas vidurkio savybių panaudojimu.
Atrankinio stebėjimo samprata. Ekonominių reiškinių tyrimo atrankos metodu etapai
Atrankiniu stebėjimu vadinamas stebėjimas, kurio metu tiriami ir tiriami ne visi pradinės populiacijos vienetai, o tik dalis vienetų, o dalies populiacijos tyrimo rezultatas taikomas visai pradinei populiacijai. Vadinamas aibė, iš kurios atrenkami vienetai tolesniam tyrimui ir studijoms bendras ir vadinami visi šią aibę apibūdinantys rodikliai bendras.
Vadinamos galimos imties vidurkio nukrypimų nuo bendrojo vidurkio ribos atrankos klaida.
Pasirinktų vienetų rinkinys vadinamas atrankinis ir vadinami visi šią aibę apibūdinantys rodikliai atrankinis.
Pavyzdinis tyrimas apima šiuos etapus:
Tyrimo objekto (masių ekonomikos reiškinių) charakteristika. Jei bendra populiacija nedidelė, tada imti nerekomenduojama, būtina nuolatinė apklausa;
Mėginio dydžio apskaičiavimas. Svarbu nustatyti optimalų tūrį, kuris leistų gauti atrankos paklaidą priimtinose srityse mažiausiomis sąnaudomis;
Stebėjimo vienetų parinkimas, atsižvelgiant į atsitiktinumo, proporcingumo reikalavimus.
Reprezentatyvumo įrodymas, pagrįstas imties paklaidos įvertinimu. Atsitiktinės imties atveju paklaida apskaičiuojama naudojant formules. Tikslinei imčiai reprezentatyvumas vertinamas kokybiniais metodais (lyginimas, eksperimentas);
Mėginio analizė. Jeigu suformuota imtis atitinka reprezentatyvumo reikalavimus, tuomet ji analizuojama naudojant analitinius rodiklius (vidutinį, santykinį ir kt.)
