Modulinių lygčių sprendimas internete. Lygtys internete

Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant pastatus ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis ir nuo tada jų taikymas tik išaugo. Galios arba eksponentinės lygtys yra lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais, o pagrindas yra skaičius. Pavyzdžiui:

Eksponentinės lygties sprendimas susideda iš 2 gana paprastų žingsnių:

1. Reikia patikrinti, ar lygties pagrindai dešinėje ir kairėje yra vienodi. Jei priežastys nėra vienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.

2. Po to, kai bazės tampa vienodos, sulyginame laipsnius ir išsprendžiame gautą naują lygtį.

Tarkime, kad pateikiama tokios formos eksponentinė lygtis:

Šios lygties sprendimą verta pradėti nuo bazės analizės. Bazės yra skirtingos - 2 ir 4, bet sprendiniui turime būti vienodi, todėl 4 transformuojame pagal tokią formulę - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Pridėkite prie pradinės lygties:

Išimkite skliaustus \

mes išreiškiame \

Kadangi laipsniai yra vienodi, juos atmetame:

Atsakymas: \

Kur galite išspręsti eksponentinę lygtį naudodami internetinį sprendiklį?

Galite išspręsti lygtį mūsų svetainėje https: //. Nemokamas internetinis sprendimas leis jums per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo lygtį. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei vis dar turite klausimų, galite juos užduoti mūsų „Vkontakte“ grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.

Taikymas

Bet kokio tipo lygčių sprendimas internetu į svetainę, siekiant konsoliduoti studentų ir moksleivių studijuotą medžiagą .. Lygčių sprendimas internetu. Lygtys internete. Atskirkite algebrines, parametrines, transcendentalines, funkcines, diferencines ir kitokio tipo lygtis Kai kurios lygčių klasės turi analitinius sprendinius, kurie yra patogūs tuo, kad suteikia ne tik tikslią šaknies reikšmę, bet leidžia įrašyti sprendinį formulės forma, kuri gali apimti parametrus. Analitinės išraiškos leidžia ne tik apskaičiuoti šaknis, bet ir analizuoti jų egzistavimą ir skaičių, priklausomai nuo parametrų reikšmių, o tai praktiniam pritaikymui dažnai yra dar svarbiau nei konkrečios šaknų reikšmės. Lygčių sprendimas internetu .. Lygtys internetu. Lygties sprendimas yra tokių argumentų verčių, dėl kurių pasiekiama ši lygybė, radimo problema. Galimoms argumentų reikšmėms gali būti nustatytos papildomos sąlygos (sveikasis skaičius, tikrasis ir kt.). Lygčių sprendimas internetu .. Lygtys internetu. Internetu išspręsite lygtį akimirksniu ir dideliu rezultato tikslumu. Nurodytų funkcijų argumentai (kartais vadinami „kintamaisiais“) lygties atveju vadinami „nežinomaisiais“. Nežinomųjų reikšmės, kuriomis pasiekiama ši lygybė, vadinamos šios lygties sprendiniais arba šaknimis. Sakoma, kad šaknys tenkina pateiktą lygtį. Spręsti lygtį internete reiškia surasti visų jos sprendinių (šaknų) aibę arba įrodyti, kad šaknų nėra. Lygčių sprendimas internetu .. Lygtys internetu. Lygtys vadinamos lygiavertėmis arba lygiavertėmis, jei jų šakninės aibės sutampa. Lygtys taip pat laikomos lygiavertėmis, jei jos neturi šaknų. Lygčių lygiavertiškumas turi simetrijos savybę: jei viena lygtis yra lygiavertė kitai, tai antroji lygtis yra lygi pirmajai. Lygčių lygiavertiškumas turi tranzityvumo savybę: jei viena lygtis yra lygiavertė kitai, o antroji lygiavertė trečiajai, tai pirmoji lygtis yra lygiavertė trečiajai. Lygčių lygiavertiškumo savybė leidžia su jomis atlikti transformacijas, kuriomis remiasi jų sprendimo metodai. Lygčių sprendimas internetu .. Lygtys internetu. Svetainė leis jums išspręsti lygtį internete. Lygtys, kurių analitiniai sprendimai žinomi, apima algebrines lygtis, ne aukštesnes kaip ketvirto laipsnio: tiesinę lygtį, kvadratinę lygtį, kubinę lygtį ir ketvirto laipsnio lygtį. Aukštesnių laipsnių algebrinės lygtys paprastai neturi analitinio sprendimo, nors kai kurias iš jų galima redukuoti į žemesnio laipsnio lygtis. Lygtys, apimančios transcendentines funkcijas, vadinamos transcendentinėmis. Tarp jų yra žinomi kai kurių trigonometrinių lygčių analitiniai sprendimai, nes trigonometrinių funkcijų nuliai yra gerai žinomi. Bendruoju atveju, kai nepavyksta rasti analitinio sprendimo, naudojami skaitiniai metodai. Skaitiniai metodai neduoda tikslaus sprendimo, o tik leidžia susiaurinti intervalą, kuriame yra šaknis, iki tam tikros iš anksto nustatytos vertės. Lygčių sprendimas internetu .. Lygtys internetu .. Vietoj lygties internete įsivaizduosime, kaip ta pati išraiška formuoja tiesinį ryšį ir ne tik išilgai tiesės, bet ir grafiko vingio taške. Šis metodas yra nepakeičiamas visais dalyko studijų laikais. Dažnai atsitinka taip, kad lygčių sprendimas artėja prie galutinės vertės pasitelkus begalinius skaičius ir rašant vektorius. Būtina patikrinti pradinius duomenis, ir tai yra užduoties esmė. Kitu atveju vietinė sąlyga konvertuojama į formulę. Inversija išilgai tiesės linijos nuo nurodytos funkcijos, kurią lygčių skaičiuotuvas apskaičiuos be didelio vykdymo vėlavimo, erdvės privilegija bus poslinkis. Daugiausia dėmesio bus skiriama studentų akademiniams rezultatams. Tačiau, kaip ir visa tai, kas išdėstyta pirmiau, tai padės mums ieškant ir visiškai išsprendus lygtį, išsaugokite atsakymą linijos segmento galuose. Erdvės tiesės susikerta taške ir šis taškas vadinamas susikertančiomis linijomis. Intervalas tiesėje nurodomas taip, kaip nurodyta anksčiau. Bus paskelbtas geriausias matematikos studijų įrašas. Priskirdami argumento reikšmę iš parametriškai apibrėžto paviršiaus ir išsprendę lygtį internete, galėsite nurodyti produktyvaus funkcijos iškvietimo principus. Mobiuso juosta arba, kaip ji vadinama begalybe, atrodo kaip aštunta figūra. Tai vienpusis paviršius, o ne dvipusis. Pagal visiems gerai žinomą principą mes objektyviai laikome tiesines lygtis kaip pagrindinį pavadinimą, kaip tai yra tyrimų srityje. Tik dvi iš eilės pateiktų argumentų reikšmės gali atskleisti vektoriaus kryptį. Daryti prielaidą, kad kitas lygčių sprendimas internete yra daug daugiau nei tik jo sprendimas, reiškia išvestyje gauti visavertę invarianto versiją. Studentams sunku išmokti šią medžiagą be integruoto požiūrio. Kaip ir anksčiau, kiekvienu ypatingu atveju mūsų patogi ir išmani internetinė lygčių skaičiuoklė padės kiekvienam sunkmečiu, nes tereikia nurodyti įvesties parametrus ir sistema pati paskaičiuos atsakymą. Prieš pradedant įvesti duomenis, mums reikia įvesties įrankio, kurį galima padaryti be didelių sunkumų. Kiekvieno atsako įvertinimo skaičius bus kvadratinė lygtis, leidžianti padaryti išvadas, tačiau tai padaryti nėra taip paprasta, nes nesunku įrodyti priešingai. Teorija dėl savo ypatumų neparemta praktinėmis žiniomis. Pamatyti trupmenų skaičiuotuvą atsakymo paskelbimo etape nėra lengva matematikos užduotis, nes alternatyva įrašyti skaičių rinkinyje prisideda prie funkcijos augimo. Tačiau būtų nekorektiška nesakyti apie mokinių mokymą, todėl kiekvienas išreikšime tiek, kiek reikės padaryti. Anksčiau rasta kubinė lygtis teisėtai priklausys apibrėžimo sričiai, joje bus skaitinių reikšmių erdvė, taip pat simboliniai kintamieji. Išmokę ar išmokę teoremą mūsų mokiniai parodys save tik iš geriausios pusės, o mes už juos džiaugsimės. Skirtingai nuo daugelio lauko susikirtimų, mūsų internetinės lygtys apibūdinamos judesio plokštuma, padauginusia dvi ir tris skaitines sujungtas linijas. Matematikos aibė nėra vienareikšmiškai apibrėžta. Geriausias sprendimas, pasak studentų, yra pilnas išraiškos žymėjimas. Kaip buvo sakoma mokslinėje kalboje, simbolinių posakių abstrakcija nėra įtraukta į reikalų būklę, tačiau lygčių sprendimas visais žinomais atvejais duoda nedviprasmišką rezultatą. Instruktoriaus pamokos trukmė priklauso nuo šio pasiūlymo poreikių. Analizė parodė, kaip visose srityse reikia visų skaičiavimo technikų, ir visiškai aišku, kad lygčių skaičiuotuvas yra nepakeičiamas įrankių rinkinys gabiose studento rankose. Ištikimas požiūris į matematikos studijas lemia skirtingų krypčių požiūrių svarbą. Norite nustatyti vieną iš pagrindinių teoremų ir išspręsti lygtį tokiu būdu, priklausomai nuo atsakymo, kuris bus toliau reikalingas ją taikyti. Analizė šioje srityje įgauna pagreitį. Pradėkime nuo pradžių ir išveskime formulę. Peržengus funkcijos padidėjimo lygį, liestinės linija vingio taške būtinai lems tai, kad lygties sprendimas internetu bus vienas iš pagrindinių aspektų kuriant tą patį grafiką iš funkcijos argumento. Mėgėjiškas požiūris turi teisę būti taikomas, jei ši sąlyga neprieštarauja studentų išvadoms. Antrinė užduotis, kuri matematinių sąlygų, kaip tiesinių lygčių, analizę pateikia esamoje objekto srityje, nukeliama į antrą planą. Poslinkis ortogonalumo kryptimi panaikina vienos absoliučios vertės pranašumą. Modulio atveju lygčių sprendimas internetu suteikia tiek pat sprendinių, jei skliaustus iš pradžių išplečiate pliuso, o tada minuso ženklu. Šiuo atveju sprendimų yra dvigubai daugiau, o rezultatas bus tikslesnis. Stabilus ir teisingas lygčių skaičiuotuvas internete – tai sėkmė siekiant užsibrėžto tikslo mokytojo iškeltoje užduotyje. Atrodo, kad įmanoma pasirinkti reikiamą metodą dėl didelių didžiųjų mokslininkų požiūrių skirtumų. Gauta kvadratinė lygtis apibūdina tiesių kreivę, vadinamąją parabolę, o ženklas nustatys jos išgaubimą kvadratinėje koordinačių sistemoje. Iš lygties pagal Vietos teoremą gauname ir diskriminantą, ir pačias šaknis. Pirmajame etape būtina pateikti išraišką teisingos ar neteisingos trupmenos forma ir naudoti trupmenų skaičiuotuvą. Atsižvelgiant į tai, bus sudarytas tolesnių mūsų skaičiavimų planas. Taikant teorinį požiūrį, matematika pravers kiekviename etape. Rezultatą būtinai pateiksime kaip kubinę lygtį, nes būtent šioje išraiškoje paslėpsime jo šaknis, kad studentui universitete būtų supaprastinta užduotis. Bet koks metodas yra geras, jei jis tinka paviršutiniškai analizei. Pernelyg didelės aritmetinės operacijos nesukels skaičiavimo klaidų. Nurodytu tikslumu nustato atsakymą. Naudodami lygčių sprendimą, sakykime tiesiai šviesiai – nėra taip paprasta rasti nepriklausomą tam tikros funkcijos kintamąjį, ypač tiriant lygiagrečias tieses begalybėje. Atsižvelgiant į išimtį, poreikis yra labai akivaizdus. Poliškumo skirtumas yra nedviprasmiškas. Iš dėstymo institutuose patirties mūsų mokytojas išmoko pagrindinę pamoką, kurios metu lygtys buvo tiriamos internete visa matematine prasme. Čia buvo kalbama apie didžiausias pastangas ir specialius teorijos taikymo įgūdžius. Mūsų išvadų naudai nereikėtų žiūrėti per prizmę. Dar vėliau buvo manoma, kad tokioje srityje, kokia yra, sparčiai daugėja uždaros aibės, o lygčių sprendimą tiesiog reikia ištirti. Pirmajame etape nesvarstėme visų galimų variantų, tačiau toks požiūris yra labiau nei bet kada pateisinamas. Pertekliniai veiksmai su skliaustais pateisina kai kuriuos žingsnius išilgai ordinatės ir abscisių ašių, kurių negalima nepastebėti plika akimi. Didelės proporcingos funkcijos padidėjimo prasme yra vingio taškas. Dar kartą įrodykime, kaip reikiama sąlyga bus taikoma per visą vienos ar kitos vektoriaus mažėjančios padėties mažėjimo intervalą. Uždaroje erdvėje pasirinksime kintamąjį iš pradinio scenarijaus bloko. Už pagrindinio jėgos momento nebuvimą atsakinga sistema, sukurta kaip trijų vektorių pagrindas. Tačiau lygčių skaičiuotuvas jį išvedė ir padėjo rasti visus sudarytos lygties narius tiek virš paviršiaus, tiek išilgai lygiagrečių linijų. Aprašysime tam tikrą ratą aplink pradinį tašką. Taigi, mes pradėsime judėti aukštyn išilgai pjūvio linijų, o liestinė apibūdins apskritimą per visą jo ilgį, todėl gausime kreivę, vadinamą evoliucine. Beje, papasakokime šiek tiek istorijos apie šią kreivę. Faktas yra tas, kad istoriškai matematikoje nebuvo pačios matematikos sąvokos grynąja prasme, kaip yra šiandien. Anksčiau visi mokslininkai užsiėmė vienu bendru verslu, tai yra mokslu. Vėliau, po kelių šimtmečių, kai mokslo pasaulis buvo užpildytas milžinišku kiekiu informacijos, žmonija vis dėlto nustatė daugybę disciplinų. Jos išliko nepakitusios iki šių dienų. Vis dėlto kiekvienais metais mokslininkai visame pasaulyje bando įrodyti, kad mokslas yra beribis, ir jūs neišspręsite lygties, jei neturite gamtos mokslų žinių. Neįmanoma padaryti tam galo. Mąstyti apie tai taip pat beprasmiška, kaip šildyti orą lauke. Raskime intervalą, kuriame argumentas, turintis teigiamą reikšmę, nustatys vertės modulį smarkiai didėjančia kryptimi. Reakcija padės rasti bent tris sprendimus, tačiau juos reikės patikrinti. Pirmiausia turime išspręsti lygtį internetu, naudodami unikalią paslaugą mūsų svetainėje. Įveskime abi pateiktos lygties puses, paspauskite mygtuką „SPRENDIMAS“ ir vos per kelias sekundes gausime tikslų atsakymą. Ypatingais atvejais paimsime matematikos knygą ir dar kartą patikrinsime savo atsakymą, būtent pamatysime tik atsakymą ir viskas paaiškės. Tas pats projektas ant dirbtinio perteklinio gretasienio išskris. Yra lygiagretainis su lygiagrečiomis kraštinėmis, ir jis paaiškina daug principų ir požiūrių į erdvinio santykio, kylančio tuščiavidurės erdvės kaupimosi natūraliose formulėse, tyrimo. Dviprasmiškos tiesinės lygtys parodo norimo kintamojo priklausomybę nuo mūsų bendro sprendimo tam tikru metu, todėl reikia kažkaip išvesti ir sumažinti neteisingą trupmeną iki nereikšmingo atvejo. Tiesioje linijoje pažymėkite dešimt taškų ir nubrėžkite kreivę per kiekvieną tašką tam tikra kryptimi ir išgaubtą aukštyn. Mūsų lygčių skaičiuoklė be didelių sunkumų pateiks išraišką tokia forma, kad jos taisyklių galiojimo patikrinimas bus akivaizdus net įrašo pradžioje. Specialiųjų stabilumo atvaizdų sistema matematikams yra pirmoje vietoje, nebent formulė numato kitaip. Į tai atsakysime išsamiai pateikdami pranešimą apie plastinės kūnų sistemos izomorfinę būseną ir sprendžiant lygtis internete, apibūdinsime kiekvieno materialaus taško judėjimą šioje sistemoje. Giluminio tyrimo lygmeniu reikės detaliai išsiaiškinti bent apatinio erdvės sluoksnio inversijų klausimą. Kylant funkcijų tarpo atkarpoje taikysime bendrą puikaus tyrėjo, beje, tautiečio, metodą, o apie plokštumos elgesį papasakosime žemiau. Dėl stiprių analitiškai nurodytos funkcijos savybių internetinį lygčių skaičiuotuvą naudojame tik pagal paskirtį, neviršydami išvestinių galių. Ginčydami toliau, sustabdykime pačios lygties homogeniškumo tyrimą, ty jos dešinioji pusė prilyginama nuliui. Dar kartą įsitikinsime savo matematikos sprendimo teisingumu. Kad negautume trivialaus sprendimo, atliksime tam tikrus pradines problemos sąlygų pakoregavimus dėl sąlyginio sistemos stabilumo. Sudarykime kvadratinę lygtį, kuriai pagal gerai žinomą formulę išrašome du įrašus ir randame neigiamas šaknis. Jei viena šaknis yra penkiais vienetais aukštesnė už antrąją ir trečiąją šaknis, tai pakeisdami pagrindinį argumentą, taip iškreipiame pradines subproblemos sąlygas. Iš esmės kažką neįprasto matematikoje visada galima apibūdinti šimtosios teigiamo skaičiaus tikslumu. Trupmenų skaičiuotuvas kelis kartus pranašesnis už analogiškus panašius išteklius geriausiu serverio apkrovos momentu. Išilgai ordinatės augančio greičio vektoriaus paviršiuje nubrėžiame septynias linijas, išlenktas viena kitai priešingomis kryptimis. Priskirtos funkcijos argumento palyginamumas yra pranašesnis už atkūrimo balanso skaitiklį. Matematikoje šį reiškinį galima pavaizduoti per kubinę lygtį su įsivaizduojamais koeficientais, taip pat dvipoliu mažėjančių linijų progresu. Kritiniai temperatūros kritimo taškai, daugeliu jų reikšmių ir eigos, apibūdina sudėtingos trupmeninės funkcijos faktoringo procesą. Jei jums liepta išspręsti lygtį, neskubėkite to daryti šią minutę, vienareikšmiškai pirmiausia įvertinkite visą veiksmų planą ir tik tada imkitės teisingo požiūrio. Nauda tikrai bus. Darbo paprastumas akivaizdus, ​​taip pat ir matematikoje. Išspręskite lygtį internete. Visos internete pateiktos lygtys reiškia tam tikrą skaičių ar parametrų žymėjimą ir kintamąjį, kurį reikia apibrėžti. Apskaičiuokite šį labai kintamąjį, tai yra, suraskite konkrečias verčių rinkinio reikšmes arba intervalus, kuriems esant tapatybė bus patenkinta. Pradinės ir galutinės sąlygos tiesiogiai priklauso. Bendrasis lygčių sprendimas, kaip taisyklė, apima kai kuriuos kintamuosius ir konstantas, kurias nustatę, gauname ištisas sprendinių šeimas tam tikram uždavinio teiginiui. Apskritai tai pateisina pastangas, skirtas erdvinio kubo, kurio kraštinė lygi 100 centimetrų, funkcionalumo didinimo kryptimi. Teoremą ar lemą galite taikyti bet kuriame atsakymo kūrimo etape. Svetainė palaipsniui išleidžia lygčių skaičiuotuvą, jei reikia parodyti mažiausią reikšmę bet kuriuo sandaugų sumavimo intervalu. Pusėje atvejų toks tuščiaviduris rutulys labiau neatitinka tarpinio atsakymo nustatymo reikalavimų. Bent jau ordinačių ašyje vektorinio vaizdavimo mažėjimo kryptimi ši proporcija neabejotinai bus optimalesnė nei ankstesnė išraiška. Tą valandą, kai bus atlikta visa tiesinių funkcijų taškų analizė, mes iš tikrųjų sujungsime visus savo kompleksinius skaičius ir dvipolies plokštumos erdves. Pakeisdami kintamąjį gautoje išraiškoje, žingsnis po žingsnio išspręsite lygtį ir labai tiksliai pateiksite išsamiausią atsakymą. Vėlgi, bus gera mokinio forma pasitikrinti jūsų veiksmus matematikoje. Dalių santykio dalis fiksavo rezultato vientisumą visose svarbiose nulinio vektoriaus veiklos srityse. Trivialumas patvirtinamas atliktų veiksmų pabaigoje. Atlikdami paprastą užduotį, studentai negali turėti jokių sunkumų, jei jie per trumpiausią laiką išsprendžia lygtį internete, tačiau nepamirškite apie visas taisykles. Daugelis poaibių susikerta konverguojančio žymėjimo srityje. Įvairiais atvejais produktas nesuskaidomas į veiksnius per klaidą. Raskite pagalbos sprendžiant lygtį internete mūsų pirmame skyriuje apie pagrindinius matematikos metodus, skirtus prasmingiems studentų skyriams kolegijos ir kolegijos studentuose. Atsakymų pavyzdžiai neprivers mūsų laukti kelių dienų, nes geriausios vektorinės analizės sąveikos su nuosekliu sprendimų paieška procesas buvo patentuotas praėjusio amžiaus pradžioje. Pasirodo, pastangos bendrauti su aplinkiniais kolektyvu nenuėjo bergždžios, visų pirma akivaizdžiai pribrendo kažkas kita. Po kelių kartų viso pasaulio mokslininkai buvo priversti manyti, kad matematika yra mokslų karalienė. Nesvarbu, ar tai kairysis atsakymas, ar teisingas, vis tiek, baigtiniai terminai turi būti parašyti trimis eilutėmis, nes mūsų atveju tai bus vienareikšmiška tik apie matricos savybių vektorinę analizę. Netiesinės ir tiesinės lygtys kartu su bikvadratinėmis lygtimis mūsų knygoje užėmė specialų įrašą apie geriausius metodus, kaip apskaičiuoti visų uždaros sistemos materialių taškų judėjimo erdvėje trajektoriją. Trijų iš eilės vektorių taškinės sandaugos tiesinė analizė padės mums įgyvendinti idėją. Kiekvieno nustatymo pabaigoje užduotis supaprastinama, į atliktas skaičių erdvės perdangas įterpiant optimizuotas skaitines išimtis. Skirtingas sprendimas neprieštaraus rastam atsakymui savavališkai trikampio pavidalu apskritime. Kampas tarp dviejų vektorių apima reikiamą ribos procentą, o lygčių sprendimas internete dažnai atskleidžia tam tikrą bendrą lygties šaknį, o ne pradines sąlygas. Išskyrimas yra viso neišvengiamo teigiamo sprendimo paieškos funkcijos apibrėžimo srityje katalizatorius. Jei nesakoma, kad negalite naudotis kompiuteriu, tuomet internetinis lygčių skaičiuotuvas kaip tik tinka jūsų sudėtingoms užduotims. Jums tereikia įvesti sąlyginius duomenis teisingu formatu ir mūsų serveris per trumpiausią įmanomą laiką pateiks visavertį atsakymą. Eksponentinė funkcija auga daug greičiau nei tiesinė. Tai liudija sumanios bibliotekos literatūros talmudai. Atlieka skaičiavimą bendra prasme, kaip ir ši kvadratinė lygtis su trimis sudėtingais koeficientais. Parabolė viršutinėje pusės plokštumos dalyje apibūdina tiesinį lygiagretų judėjimą išilgai taško ašių. Čia verta paminėti potencialų skirtumą kūno darbo erdvėje. Vietoj neoptimalaus rezultato, mūsų trupmenų skaičiuoklė teisėtai užima pirmąją vietą funkcinių programų apžvalgos serverio pusėje matematiniame reitinge. Naudojimosi šia paslauga patogumą įvertins milijonai interneto vartotojų. Jei nežinote, kaip juo naudotis, mes mielai jums padėsime. Taip pat norime ypač pažymėti ir išryškinti kubinę lygtį iš daugelio pradinių klasių uždavinių, kai reikia greitai surasti jos šaknis ir plokštumoje nubraižyti funkcijų grafiką. Aukščiausi reprodukcijos laipsniai yra viena sunkiausių matematinių uždavinių institute, o jo studijoms skiriama pakankamai valandų. Kaip ir visos tiesinės lygtys, pagal daugelį objektyvių taisyklių ir mūsų nėra išimtis, žiūrėti iš skirtingų požiūrių, ir tai pasirodys paprasta ir pakankama nustatyti pradines sąlygas. Didėjantis intervalas sutampa su funkcijos išgaubtumo intervalu. Lygčių sprendimas internete. Teorijos studijų centre yra lygtys internete iš daugelio pagrindinių disciplinų tyrimo skyrių. Esant tokiam požiūriui į neapibrėžtas problemas, labai lengva pateikti lygčių sprendimą iš anksto nustatyta forma ir ne tik padaryti išvadas, bet ir numatyti tokio teigiamo sprendimo rezultatą. Tarnyba pagal geriausias matematikos tradicijas padės mums išmokti dalykinę sritį, kaip įprasta rytuose. Geriausiais laiko intervalo momentais panašios užduotys buvo padaugintos iš bendro koeficiento dešimteriopai. Kelių kintamųjų daugybų gausa lygčių skaičiuoklėje pradėjo daugintis nuo kokybinių, o ne kiekybinių dydžių, tokių kaip svoris ar kūno svoris. Kad išvengtume materialinės sistemos disbalanso atvejų, mums visiškai akivaizdu, kad trimatį transformatorių galime išvesti remiantis trivialia neišsigimusių matematinių matricų konvergencija. Atlikite užduotį ir išspręskite lygtį nurodytomis koordinatėmis, nes išvestis iš anksto nežinoma, taip pat nežinomi visi kintamieji, įtraukti į posterdvinį laiką. Trumpam išstumkite bendrą koeficientą už skliaustų ir iš anksto padalinkite abi puses iš didžiausio bendro koeficiento. Iš gauto padengto skaičių pogrupio per trumpą laiką detaliai ištraukite trisdešimt tris taškus iš eilės. Kiek kiekvienas studentas gali geriausiu būdu išspręsti lygtį internete, bėgdamas į priekį, tarkime, vienas svarbus, bet esminis dalykas, be kurio mums nebus lengva gyventi. Praėjusiame amžiuje didysis mokslininkas pastebėjo daugybę matematikos teorijos modelių. Praktiškai susidarė ne visai lauktas įvykių įspūdis. Tačiau iš esmės šis lygčių sprendimas internete padeda geriau suprasti ir suvokti holistinį požiūrį į studijas ir praktinį studentų perduotos teorinės medžiagos įtvirtinimą. Pamokos metu tai padaryti daug lengviau.

=

I. kirvis 2 = 0 – Nebaigtas kvadratinė lygtis (b = 0, c = 0 ). Sprendimas: x = 0. Atsakymas: 0.

Išspręskite lygtis.

2x (x + 3) = 6x-x 2.

Sprendimas. Išplėskime skliaustus padaugindami 2x kiekvienam terminui skliausteliuose:

2x 2 + 6x = 6x-x 2; perkeliame sąlygas iš dešinės į kairę:

2x 2 + 6x-6x + x 2 = 0; pateikiame panašias sąlygas:

3x 2 = 0, taigi x = 0.

Atsakymas: 0.

II. ax 2 + bx = 0 –Nebaigtas kvadratinė lygtis (c = 0 ). Sprendimas: x (ax + b) = 0 → x 1 = 0 arba ax + b = 0 → x 2 = -b / a. Atsakymas: 0; -b / a.

5x2 -26x = 0.

Sprendimas. Išimkite bendrą veiksnį NS skliausteliuose:

x (5x-26) = 0; kiekvienas koeficientas gali būti lygus nuliui:

x = 0 arba 5x-26 = 0→ 5x = 26, abi lygybės puses dalijame iš 5 ir gauname: x = 5.2.

Atsakymas: 0; 5,2.

3 pavyzdys. 64x + 4x2 = 0.

Sprendimas. Išimkite bendrą veiksnį 4x skliausteliuose:

4x (16 + x) = 0. Turime tris veiksnius, 4 ≠ 0, todėl arba x = 0 arba 16 + x= 0. Iš paskutinės lygybės gauname x = -16.

Atsakymas: -16; 0.

4 pavyzdys.(x-3) 2 + 5x = 9.

Sprendimas. Naudodami dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulę, atidarome skliaustus:

x 2 -6x + 9 + 5x = 9; transformuoti į formą: x 2 -6x + 9 + 5x-9 = 0; pateikiame panašias sąlygas:

x 2 -x = 0; išimti NS skliausteliuose, gauname: x (x-1) = 0. Taigi arba x = 0 arba x-1 = 0→ x = 1.

Atsakymas: 0; 1.

III. ax 2 + c = 0 –Nebaigtas kvadratinė lygtis (b = 0 ); Sprendimas: ax 2 = -c → x 2 = -c / a.

Jeigu (-c / a)<0 , tada nėra tikrų šaknų. Jeigu (-s / a)> 0

5 pavyzdys. x 2 -49 = 0.

Sprendimas.

x 2 = 49, vadinasi x = ± 7. Atsakymas:-7; 7.

6 pavyzdys. 9x2 -4 = 0.

Sprendimas.

Dažnai reikia rasti kvadratinės lygties šaknų kvadratų (x 1 2 + x 2 2) arba kubelių (x 1 3 + x 2 3) sumą, rečiau - atvirkštinių reikšmių sumą. šaknų kvadratų arba aritmetinių kvadratinių šaknų suma iš kvadratinės lygties šaknų:

Vietos teorema gali padėti:

x 2 + px + q = 0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.

Išreikškime skersai p ir q:

1) lygties šaknų kvadratų suma x 2 + px + q = 0;

2) lygties šaknų kubų suma x 2 + px + q = 0.

Sprendimas.

1) Išraiška x 1 2 + x 2 2 gaunamas padalijus abi lygybės puses kvadratu x 1 + x 2 = -p;

(x 1 + x 2) 2 = (- p) 2; skliaustus išskleisti: x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 = p 2; išreikškite reikiamą sumą: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2x 1 x 2 = p 2 -2q. Gavome naudingą lygybę: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

2) Išraiška x 1 3 + x 2 3 pagal formulę pavaizduojame kubų sumą tokia forma:

(x 1 3 + x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2) = - p (p 2 -2q-q) = - p (p 2 -3 q ).

Dar viena naudinga lygybė: x 1 3 + x 2 3 = -p · (p 2 -3q).

Pavyzdžiai.

3) x 2 -3x-4 = 0. Neišsprendę lygties, apskaičiuokite išraiškos reikšmę x 1 2 + x 2 2.

Sprendimas.

x 1 + x 2 = -p = 3, ir darbas x 1 ∙ x 2 = q =1 pavyzdyje) lygybė:

x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q. Mes turime -p= x 1 + x 2 = 3 → p 2 = 3 2 = 9; q = x 1 x 2 = -4. Tada x 1 2 + x 2 2 = 9 - 2 (-4) = 9 + 8 = 17.

Atsakymas: x 1 2 + x 2 2 = 17.

4) x 2 -2x-4 = 0. Apskaičiuokite: x 1 3 + x 2 3.

Sprendimas.

Pagal Vietos teoremą, šios sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 1 + x 2 = -p = 2, ir darbas x 1 ∙ x 2 = q =-4. Taikykime mūsų gautus ( 2 pavyzdyje) lygybė: x 1 3 + x 2 3 = -p (p 2 -3q) = 2 (2 2 -3 (-4)) = 2 (4 + 12) = 2 16 = 32.

Atsakymas: x 1 3 + x 2 3 = 32.

Klausimas: o kas, jei mums būtų pateikta neredukuota kvadratinė lygtis? Atsakymas: jį visada galima „sumažinti“ padalijus iš pirmojo koeficiento.

5) 2x 2 -5x-7 = 0. Neapsisprendę apskaičiuokite: x 1 2 + x 2 2.

Sprendimas. Mums duota visa kvadratinė lygtis. Abi lygybės puses padalinkite iš 2 (pirmasis koeficientas) ir gaukite sumažintą kvadratinę lygtį: x 2 -2,5x-3,5 = 0.

Pagal Vietos teoremą šaknų suma yra 2,5 ; šaknų produktas yra -3,5 .

Mes sprendžiame taip pat, kaip pavyzdys 3) naudojant lygybę: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q = 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Atsakymas: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2 = 0. Rasti:

Šią lygybę transformuojame ir, pagal Vietos teoremą, pakeičiame šaknų sumą -p, o šaknų produktas per q, gauname dar vieną naudingą formulę. Išvedant formulę buvo panaudota lygybė 1): x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

Mūsų pavyzdyje x 1 + x 2 = -p = 5; x 1 ∙ x 2 = q =-2. Mes pakeičiame šias reikšmes į gautą formulę:

7) x 2 -13x + 36 = 0. Rasti:

Šią sumą transformuojame ir gauname formulę, pagal kurią iš kvadratinės lygties šaknų bus galima rasti aritmetinių kvadratinių šaknų sumą.

Mes turime x 1 + x 2 = -p = 13; x 1 ∙ x 2 = q = 36. Pakeiskite šias reikšmes į gautą formulę:

Patarimas : visada patikrinkite galimybę tinkamu būdu rasti kvadratinės lygties šaknis, nes 4 peržiūrėta naudingos formulės leidžia greitai atlikti užduotį, ypač tais atvejais, kai diskriminantas yra „nepatogus“ skaičius. Visais paprastais atvejais suraskite šaknis ir jas operuokite. Pavyzdžiui, paskutiniame pavyzdyje šaknis pasirenkame pagal Vietos teoremą: šaknų suma turi būti lygi 13 , ir šaknų produktas 36 ... Kokie tai skaičiai? Žinoma, 4 ir 9. Dabar apskaičiuokite šių skaičių kvadratinių šaknų sumą: 2+3=5. Viskas!

I. Vietos teorema sumažintai kvadratinei lygčiai.

Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 2 + px + q = 0 yra lygus antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q.

Raskite redukuotos kvadratinės lygties šaknis naudodami Vietos teoremą.

1 pavyzdys) x 2 -x-30 = 0. Tai yra sumažinta kvadratinė lygtis ( x 2 + pikseliai + q = 0), antrasis koeficientas p = -1 ir laisvas terminas q = -30. Pirmiausia įsitikinkite, kad pateikta lygtis turi šaknis ir kad šaknys (jei yra) bus išreikštos sveikaisiais skaičiais. Tam pakanka, kad diskriminantas būtų tobulas sveikojo skaičiaus kvadratas.

Raskite diskriminantą D= b 2 - 4ac = (- 1) 2 -4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .

Dabar pagal Vietos teoremą šaknų suma turėtų būti lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, t.y. ( -p), o prekė lygi laisvam terminui, t.y. ( q). Tada:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30. Turime pasirinkti du skaičius, kad jų sandauga būtų lygi -30 , o suma yra vienetas... Tai yra skaičiai -5 ir 6 . Atsakymas: -5; 6.

2 pavyzdys) x 2 + 6x + 8 = 0. Turime sumažintą kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu p = 6 ir laisvas narys q = 8... Įsitikinkite, kad yra sveikųjų skaičių šaknų. Raskite diskriminantą D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... Diskriminantas D 1 yra tobulas skaičiaus kvadratas 1 , o tai reiškia, kad šios lygties šaknys yra sveikieji skaičiai. Šaknis parinksime pagal Vietos teoremą: šaknų suma lygi –P = –6, o šaknų produktas yra q = 8... Tai yra skaičiai -4 ir -2 .

Iš tikrųjų: -4-2 = -6 = -p; -4 ∙ (-2) = 8 = q. Atsakymas: -4; -2.

3 pavyzdys) x 2 + 2x-4 = 0... Šioje sumažintoje kvadratinėje lygtyje antrasis koeficientas p = 2 ir laisvas terminas q = -4... Raskite diskriminantą D 1 kadangi antrasis koeficientas yra lyginis skaičius. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminantas nėra tobulas skaičiaus kvadratas, todėl tai darome išvestis: šios lygties šaknys nėra sveikieji skaičiai ir jų negalima rasti pagal Vietos teoremą. Tai reiškia, kad šią lygtį, kaip įprasta, išspręsime naudodami formules (šiuo atveju naudodami formules). Mes gauname:

4 pavyzdys). Sudarykite kvadratinę jos šaknų lygtį, jei x 1 = -7, x 2 = 4.

Sprendimas. Reikalinga lygtis bus parašyta tokia forma: x 2 + px + q = 0, ir, remiantis Vietos teorema –P = x 1 + x 2=-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 ... Tada lygtis bus tokia: x 2 + 3x-28 = 0.

5 pavyzdys). Parašykite kvadratinę jos šaknų lygtį, jei:

II. Vietos teorema pilnajai kvadratinei lygčiai ax 2 + bx + c = 0.

Šaknų suma yra minusas b padalytą a, šaknų produktas yra su padalytą a:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙ x 2 = c / a.

6 pavyzdys). Raskite kvadratinės lygties šaknų sumą 2x 2 -7x-11 = 0.

Sprendimas.

Užtikriname, kad ši lygtis turės šaknis. Norėdami tai padaryti, pakanka sudaryti diskriminanto išraišką ir, jos neskaičiuojant, tiesiog įsitikinkite, kad diskriminantas yra didesnis už nulį. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 ... Dabar naudokimės teorema Vieta pilnosioms kvadratinėms lygtims.

x 1 + x 2 = -b: a=- (-7):2=3,5.

7 pavyzdys)... Raskite kvadratinės lygties šaknų sandaugą 3x 2 + 8x-21 = 0.

Sprendimas.

Raskite diskriminantą D 1, nuo antrojo koeficiento ( 8 ) yra lyginis skaičius. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 ... Kvadratinė lygtis turi 2 šaknis, pagal Vietos teoremą šaknų sandauga x 1 ∙ x 2 = c: a=-21:3=-7.

I. ax 2 + bx + c = 0- bendroji kvadratinė lygtis

Diskriminuojantis D = b 2 - 4ac.

Jeigu D> 0, tada turime dvi tikras šaknis:

Jeigu D = 0, tada turime vieną šaknį (arba dvi lygias šaknis) x = -b / (2a).

Jeigu D<0, то действительных корней нет.

Pavyzdys 1) 2x 2 + 5x-3 = 0.

Sprendimas. a=2; b=5; c=-3.

D = b 2 - 4ac= 5 2 -4 ∙ 2 ∙ (-3) = 25 + 24 = 49 = 7 2> 0; 2 tikros šaknys.

4x 2 + 21x + 5 = 0.

Sprendimas. a=4; b=21; c=5.

D = b 2 - 4ac= 21 2 - 4 ∙ 4 ∙ 5 = 441-80 = 361 = 19 2> 0; 2 tikros šaknys.

II. ax 2 + bx + c = 0 – dalinė kvadratinė lygtis su lygia sekunde

koeficientas b

Pavyzdys 3) 3x 2 -10x + 3 = 0.

Sprendimas. a=3; b= -10 (lyginis skaičius); c=3.

4 pavyzdys) 5x2 -14x-3 = 0.

Sprendimas. a=5; b= -14 (lyginis skaičius); c=-3.

5 pavyzdys) 71x 2 + 144x + 4 = 0.

Sprendimas. a=71; b= 144 (lyginis skaičius); c=4.

6 pavyzdys) 9x 2 -30x + 25 = 0.

Sprendimas. a=9; b= -30 (lyginis skaičius); c=25.

III. ax 2 + bx + c = 0 – kvadratinė lygtis suteikiamas privatus vaizdas: a-b + c = 0.

Pirmoji šaknis visada yra minusas, o antroji šaknis visada yra minusas su padalytą a:

x 1 = -1, x 2 = -c / a.

7 pavyzdys) 2x 2 + 9x + 7 = 0.

Sprendimas. a=2; b=9; c= 7. Patikrinkime lygybę: a-b + c = 0. Mes gauname: 2-9+7=0 .

Tada x 1 = -1, x 2 = -c / a = -7 / 2 = -3,5. Atsakymas: -1; -3,5.

IV. ax 2 + bx + c = 0 – pateiktos tam tikros formos kvadratinė lygtis : a + b + c = 0.

Pirmoji šaknis visada yra viena, o antroji šaknis yra su padalytą a:

x 1 = 1, x 2 = c / a.

8 pavyzdys) 2x 2 -9x + 7 = 0.

Sprendimas. a=2; b=-9; c= 7. Patikrinkime lygybę: a + b + c = 0. Mes gauname: 2-9+7=0 .

Tada x 1 = 1, x 2 = c / a = 7/2 = 3,5. Atsakymas: 1; 3,5.

1 puslapis iš 1 1

Šiame vaizdo įraše išanalizuosime visą aibę tiesinių lygčių, kurios sprendžiamos naudojant tą patį algoritmą – todėl jos ir vadinamos paprasčiausiomis.

Pirmiausia apibrėžkime: kas yra tiesinė lygtis ir kuri iš jų yra paprasčiausia?

Tiesinė lygtis yra ta, kurioje yra tik vienas kintamasis ir tik pirmojo laipsnio.

Paprasčiausia lygtis reiškia konstrukciją:

Visos kitos tiesinės lygtys sumažinamos iki paprasčiausių, naudojant algoritmą:

1. Išskleiskite skliaustus, jei tokių yra;
2. Perkelkite terminus su kintamuoju į vieną lygybės ženklo pusę, o terminus be kintamojo į kitą;
3. Panašius terminus perkelkite į kairę ir dešinę nuo lygybės ženklo;
4. Gautą lygtį padalinkite iš kintamojo $ x $ koeficiento.

Žinoma, šis algoritmas ne visada padeda. Faktas yra tas, kad kartais po visų šių manipuliacijų koeficientas prie kintamojo $ x $ pasirodo lygus nuliui. Šiuo atveju galimi du variantai:

1. Lygtis apskritai neturi sprendinių. Pavyzdžiui, kai gaunate kažką panašaus į $ 0 \ cdot x = 8 $, t.y. kairėje yra nulis, o dešinėje - skaičius, kuris nėra nulis. Žemiau esančiame vaizdo įraše apžvelgsime iš karto kelias priežastis, kodėl tokia situacija galima.
2. Sprendimas yra visi skaičiai. Vienintelis atvejis, kai tai įmanoma – lygtis sumažinta iki konstrukcijos $ 0 \ cdot x = 0 $. Visai logiška, kad ir kokius $ x $ pakeistume, vis tiek išeis "nulis lygus nuliui", t.y. teisinga skaitinė lygybė.

Dabar pažiūrėkime, kaip visa tai veikia realių problemų pavyzdžiu.

Lygčių sprendimo pavyzdžiai

Šiandien mes susiduriame su tiesinėmis lygtimis ir tik pačiomis paprasčiausiomis. Paprastai tiesinė lygtis reiškia bet kokią lygybę, kurioje yra tiksliai vienas kintamasis, ir ji eina tik iki pirmojo laipsnio.

Tokios konstrukcijos sprendžiamos maždaug tokiu pačiu būdu:

1. Visų pirma, turite išplėsti skliaustus, jei tokių yra (kaip mūsų paskutiniame pavyzdyje);
2. Tada atnešk panašų
3. Galiausiai paimkite kintamąjį, t.y. viskas, kas siejama su kintamuoju – terminai, kuriuose jis yra – turi būti perkeliami į vieną pusę, o viskas, kas liko be jo – į kitą pusę.

Tada, kaip taisyklė, reikia atnešti panašius iš kiekvienos gautos lygybės pusės, o po to lieka tik padalyti iš koeficiento ties „x“, ir mes gausime galutinį atsakymą.

Teoriškai tai atrodo gražiai ir paprastai, tačiau praktiškai net patyrę aukštųjų mokyklų studentai gali padaryti įžeidžiančių klaidų gana paprastose tiesinėse lygtyse. Dažniausiai klaidos daromos arba plečiant skliaustus, arba skaičiuojant „pliusus“ ir „minusus“.

Be to, pasitaiko, kad tiesinė lygtis apskritai neturi sprendinių arba taip, kad sprendinys yra visa skaičių tiesė, t.y. bet koks skaičius. Šios subtilybės išanalizuosime šios dienos pamokoje. Bet mes pradėsime, kaip jau supratote, nuo paprasčiausių užduočių.

Paprasčiausių tiesinių lygčių sprendimo schema

Pirmiausia leiskite man dar kartą parašyti visą paprasčiausių tiesinių lygčių sprendimo schemą:

1. Išplėskite skliaustus, jei tokių yra.
2. Išskiriame kintamuosius, t.y. viskas, kas turi "x", perkeliama į vieną pusę, o be "x" - į kitą.
3. Pateikiame panašias sąlygas.
4. Viską padalijame į koeficientą ties „x“.

Žinoma, ši schema ne visada pasiteisina, joje yra tam tikrų subtilybių ir gudrybių, ir dabar mes su jais susipažinsime.

Realių paprastų tiesinių lygčių pavyzdžių sprendimas

Problema numeris 1

Pirmajame etape turime išplėsti skliaustus. Tačiau šiame pavyzdyje jų nėra, todėl šį etapą praleidžiame. Antrame žingsnyje turime pasinaudoti kintamaisiais. Atkreipkite dėmesį: mes kalbame tik apie atskiras sąlygas. Parašykime:

Kairėje ir dešinėje pateikiame panašius terminus, tačiau tai jau buvo padaryta. Todėl pereiname prie ketvirto žingsnio: padalinkite iš koeficiento:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Taigi mes gavome atsakymą.

Problema numeris 2

Šioje užduotyje galime stebėti skliaustus, todėl išplėskime juos:

Ir kairėje, ir dešinėje matome maždaug vienodą konstrukciją, bet eikime pagal algoritmą, t.y. mes išskiriame kintamuosius:

Čia yra panašūs:

Kokiomis šaknimis tai atliekama. Atsakymas: bet kokiam. Todėl galime parašyti, kad $ x $ yra bet koks skaičius.

Problema numeris 3

Trečioji tiesinė lygtis jau įdomesnė:

\ [\ kairė (6-x \ dešinė) + \ kairė (12 + x \ dešinė) - \ kairė (3-2x \ dešinė) = 15 \]

Čia yra keli skliaustai, bet jie iš nieko nepadauginti, tik prieš juos yra skirtingi ženklai. Atidarykime juos:

Atliekame antrą mums jau žinomą žingsnį:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Suskaičiuokime:

Mes atliekame paskutinį žingsnį - viską padaliname iš koeficiento "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Ką reikia atsiminti sprendžiant tiesines lygtis

Be pernelyg paprastų užduočių, norėčiau pasakyti:

• Kaip sakiau aukščiau, ne kiekviena tiesinė lygtis turi sprendimą – kartais tiesiog nėra šaknų;
• Net jei yra šaknų, tarp jų gali būti nulis – nieko blogo.

Nulis yra toks pat skaičius kaip ir kiti, jokiu būdu neturėtumėte jo diskriminuoti arba manyti, kad jei gavote nulį, vadinasi, padarėte kažką ne taip.

Kitas bruožas yra susijęs su skliaustų išplėtimu. Atkreipkite dėmesį: kai prieš juos yra "minusas", mes jį pašaliname, bet skliausteliuose keičiame ženklus į priešingas... Ir tada mes galime jį atidaryti naudodami standartinius algoritmus: gauname tai, ką matėme atlikdami aukščiau pateiktus skaičiavimus.

Šio paprasto fakto supratimas leis išvengti kvailų ir skaudžių klaidų vidurinėje mokykloje, kai tokie veiksmai laikomi savaime suprantamais dalykais.

Sudėtingų tiesinių lygčių sprendimas

Pereikime prie sudėtingesnių lygčių. Dabar konstrukcijos taps sudėtingesnės, o atliekant įvairias transformacijas atsiras kvadratinė funkcija. Tačiau neturėtumėte to bijoti, nes jei pagal autoriaus ketinimą mes sprendžiame tiesinę lygtį, tada transformacijos procese visi monomai, turintys kvadratinę funkciją, būtinai bus atšaukti.

1 pavyzdys

Akivaizdu, kad pirmiausia reikia išplėsti skliaustus. Darykime tai labai atsargiai:

Dabar dėl privatumo:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Čia yra panašūs:

Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendinių, todėl atsakyme parašysime taip:

\ [\ varnothing \]

arba be šaknų.

2 pavyzdys

Mes atliekame tuos pačius veiksmus. Pirmas žingsnis:

Perkelkite viską su kintamuoju į kairę, o be jo į dešinę:

Čia yra panašūs:

Akivaizdu, kad ši tiesinė lygtis neturi sprendimo, todėl ją parašysime taip:

\ [\ varnothing \],

arba nėra šaknų.

Sprendimo niuansai

Abi lygtys yra visiškai išspręstos. Panaudodami šias dvi išraiškas kaip pavyzdį, dar kartą įsitikinome, kad net paprasčiausiose tiesinėse lygtyse viskas gali būti ne taip paprasta: gali būti arba viena šaknis, arba jų nėra, arba be galo daug. Mūsų atveju mes svarstėme dvi lygtis, abiejose tiesiog nėra šaknų.

Tačiau norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į kitą faktą: kaip dirbti su skliaustais ir kaip juos atidaryti, jei prieš juos yra minuso ženklas. Apsvarstykite šią išraišką:

Prieš atskleisdami, turite viską padauginti iš „X“. Pastaba: daugina kiekvienas atskiras terminas... Viduje yra du terminai - atitinkamai du terminai ir padauginti.

Ir tik atlikus šias iš pažiūros elementarias, bet labai svarbias ir pavojingas transformacijas, skliaustą galima išplėsti tuo požiūriu, kad po jo yra minuso ženklas. Taip, taip: tik dabar, kai baigiamos transformacijos, prisimename, kad prieš skliaustus yra minuso ženklas, o tai reiškia, kad viskas, kas nusileidžia, tiesiog keičia ženklus. Tuo pačiu metu dingsta patys laikikliai ir, svarbiausia, dingsta ir priekinis „minusas“.

Tą patį darome su antrąja lygtimi:

Neatsitiktinai atkreipiu dėmesį į šiuos mažus, atrodytų, nereikšmingus faktus. Nes lygčių sprendimas visada yra elementarių transformacijų seka, kai nesugebėjimas aiškiai ir kompetentingai atlikti nesudėtingų veiksmų lemia tai, kad pas mane ateina gimnazistai ir vėl mokosi spręsti tokias paprastas lygtis.

Žinoma, ateis diena, kai šiuos įgūdžius patobulinsite iki automatizmo. Jums nebereikės kaskart atlikti tiek daug transformacijų, viską surašysite į vieną eilutę. Tačiau kol jūs tik mokotės, kiekvieną veiksmą turite parašyti atskirai.

Dar sudėtingesnių tiesinių lygčių sprendimas

Tai, ką dabar spręsime, jau sunku pavadinti paprasčiausia užduotimi, bet prasmė išlieka ta pati.

Problema numeris 1

\ [\ kairė (7x + 1 \ dešinė) \ kairė (3x-1 \ dešinė) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Padauginkime visus pirmosios dalies elementus:

Atlikime atskirtį:

Čia yra panašūs:

Mes atliekame paskutinį žingsnį:

\ [\ Frac (-4x) (4) = \ Frac (4) (- 4) \]

Štai mūsų galutinis atsakymas. Ir, nepaisant to, kad sprendžiant koeficientus su kvadratine funkcija jie vienas kitą sunaikino, todėl lygtis yra tiksliai tiesinė, o ne kvadratinė.

Problema numeris 2

\ [\ kairė (1-4x \ dešinė) \ kairė (1-3x \ dešinė) = 6x \ kairė (2x-1 \ dešinė) \]

Pirmąjį veiksmą atlikime tvarkingai: padauginkite kiekvieną elementą pirmame skliaustelyje iš kiekvieno antrojo elemento. Iš viso po pakeitimų turėtų būti keturi nauji terminai:

Dabar atidžiai padauginkime kiekvieną terminą:

Perkelkime terminus su „x“ į kairę, o be – į dešinę:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Čia yra panašūs terminai:

Dar kartą gavome galutinį atsakymą.

Sprendimo niuansai

Svarbiausia pastaba apie šias dvi lygtis yra tokia: kai tik pradedame dauginti skliaustelius, kuriuose yra daugiau nei terminas, tai daroma pagal tokią taisyklę: pirmą narį paimame iš pirmojo ir padauginkite su kiekvienu elementu iš antrojo; tada paimame antrą elementą iš pirmojo ir panašiai dauginame su kiekvienu elementu iš antrojo. Dėl to gauname keturis terminus.

Algebrinė suma

Paskutiniu pavyzdžiu norėčiau priminti mokiniams, kas yra algebrinė suma. Klasikinėje matematikoje 1–7 USD reiškia paprastą konstrukciją: iš vieno atimkite septynis. Algebroje turime omenyje tai: prie skaičiaus „vienas“ pridedame kitą skaičių, būtent „minus septyni“. Taip algebrinė suma skiriasi nuo įprastos aritmetinės.

Kai atliksite visas transformacijas, kiekvieną sudėtį ir daugybą, pradėsite matyti konstrukcijas, panašias į aukščiau aprašytas, tiesiog neturėsite problemų algebroje dirbdami su daugianariais ir lygtimis.

Pabaigoje pažvelkime į dar keletą pavyzdžių, kurie bus dar sudėtingesni nei tie, kuriuos ką tik pažvelgėme, ir norėdami juos išspręsti, turėsime šiek tiek išplėsti standartinį algoritmą.

Spręsti lygtis su trupmena

Norėdami išspręsti tokias problemas, turėsime pridėti dar vieną žingsnį prie savo algoritmo. Bet pirmiausia priminsiu mūsų algoritmą:

1. Išskleiskite skliaustus.
2. Atskiri kintamieji.
3. Atsineškite panašių.
4. Padalinkite iš koeficiento.

Deja, šis puikus algoritmas, nepaisant viso savo efektyvumo, pasirodo, nėra visiškai tinkamas, kai susiduriame su trupmenomis. Ir tai, ką matysime toliau, abiejose lygtyse turime trupmeną kairėje ir dešinėje.

Kaip tokiu atveju dirbti? Viskas labai paprasta! Norėdami tai padaryti, prie algoritmo turite pridėti dar vieną veiksmą, kurį galima atlikti tiek prieš pirmąjį veiksmą, tiek po jo, būtent, atsikratyti trupmenų. Taigi, algoritmas bus toks:

1. Atsikratykite frakcijų.
2. Išskleiskite skliaustus.
3. Atskiri kintamieji.
4. Atsineškite panašių.
5. Padalinkite iš koeficiento.

Ką reiškia „atsikratyti trupmenų“? Ir kodėl tai galima padaryti ir po pirmojo standartinio žingsnio, ir prieš jį? Tiesą sakant, mūsų atveju visos trupmenos yra skaitinės pagal vardiklį, t.y. visur vardiklyje yra tik skaičius. Todėl, jei padauginsime abi lygties puses iš šio skaičiaus, tada atsikratysime trupmenų.

1 pavyzdys

\ [\ frac (\ kairė (2x + 1 \ dešinė) \ kairė (2x-3 \ dešinė)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Atsikratykime šios lygties trupmenų:

\ [\ frac (\ kairė (2x + 1 \ dešinė) \ kairė (2x-3 \ dešinė) \ cdot 4) (4) = \ kairė (((x) ^ (2)) - 1 \ dešinė) \ cdot 4\]

Atkreipkite dėmesį: viskas padauginama iš „keturių“ vieną kartą, t. vien todėl, kad turite du skliaustus, nereiškia, kad turite padauginti kiekvieną iš keturių. Užsirašykime:

\ [\ kairė (2x + 1 \ dešinė) \ kairė (2x-3 \ dešinė) = \ kairė (((x) ^ (2)) - 1 \ dešinė) \ cdot 4 \]

Dabar atidarykime:

Atliekame kintamojo išskyrimą:

Atliekame panašių terminų sumažinimą:

\ [- 4x = -1 \ liko | : \ kairė (-4 \ dešinė) \ dešinė. \]

\ [\ Frac (-4x) (- 4) = \ Frac (-1) (- 4) \]

Gavome galutinį sprendimą, pereikite prie antrosios lygties.

2 pavyzdys

\ [\ frac (\ kairė (1-x \ dešinė) \ kairė (1 + 5x \ dešinė)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Čia atliekame visus tuos pačius veiksmus:

\ [\ frac (\ kairė (1-x \ dešinė) \ kairė (1 + 5x \ dešinė) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Problema išspręsta.

Tiesą sakant, tai yra viskas, ką šiandien norėjau pasakyti.

Pagrindiniai klausimai

Pagrindinės išvados yra šios:

• Žinoti tiesinių lygčių sprendimo algoritmą.
• Galimybė atidaryti skliaustus.
• Nesijaudinkite, jei kažkur turite kvadratinių funkcijų, greičiausiai jos susitrauks tolesnių transformacijų procese.
• Šaknys tiesinėse lygtyse, net ir paprasčiausiose, yra trijų tipų: viena šaknis, visa skaičių eilutė yra šaknis, o šaknų iš viso nėra.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės jums įsisavinti paprastą, bet labai svarbią temą, kad galėtumėte geriau suprasti visą matematiką. Jei kažkas neaišku, eikite į svetainę, išspręskite ten pateiktus pavyzdžius. Sekite naujienas, jūsų laukia dar daug įdomių dalykų!

Panagrinėkime dviejų tipų lygčių sistemų sprendimus:

1. Sistemos sprendimas pakeitimo metodu.
2. Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis.

Siekiant išspręsti lygčių sistemą pakeitimo metodas turite laikytis paprasto algoritmo:
1. Išreiškiame. Išreikškite vieną kintamąjį iš bet kurios lygties.
2. Pakaitalas. Gautą reikšmę vietoj išreikšto kintamojo pakeičiame kita lygtimi.
3. Gautą lygtį išsprendžiame vienu kintamuoju. Mes randame sistemos sprendimą.

Išspręsti sistema po termino pridėjimo (atėmimo) būtina:
1.Pasirinkite kintamąjį, kuriam darysime tuos pačius koeficientus.
2. Sudedame arba atimame lygtis, galų gale gauname lygtį su vienu kintamuoju.
3. Išspręskite gautą tiesinę lygtį. Mes randame sistemos sprendimą.

Sistemos sprendimas – funkcijos grafikų susikirtimo taškai.

Išsamiai apsvarstykime sistemų sprendimą naudodami pavyzdžius.

1 pavyzdys:

Išspręskime pakeitimo metodu

Lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu

2x + 5y = 1 (1 lygtis)
x-10y = 3 (2 lygtis)

1. Išreiškiame
Matyti, kad antroje lygtyje yra kintamasis x, kurio koeficientas yra 1, iš kurio paaiškėja, kad kintamąjį x lengviausia išreikšti iš antrosios lygties.
x = 3 + 10m

2. Išreiškę, pirmoje lygtyje vietoj kintamojo x pakeičiame 3 + 10y.
2 (3 + 10 m.) + 5 m = 1

3. Išspręskite gautą lygtį vienu kintamuoju.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (išplėskite skliaustus)
6 + 20m + 5m = 1
25m = 1-6
25 m = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Lygčių sistemos sprendimas yra grafikų susikirtimo taškai, todėl reikia rasti x ir y, nes susikirtimo taškas susideda iš x ir y. Raskite x, pirmoje pastraipoje, kur išreiškėme ten, pakeičiame y.
x = 3 + 10m
x = 3 + 10 * (- 0,2) = 1

Įprasta rašyti taškus pirmoje vietoje rašome kintamąjį x, o antroje kintamąjį y.
Atsakymas: (1; -0,2)

2 pavyzdys:

Išspręskime termino sudėties (atimties) metodu.

Lygčių sistemos sprendimas sudėjimo metodu

3x-2y = 1 (1 lygtis)
2x-3y = -10 (2 lygtis)

1. Pasirinkite kintamąjį, tarkime, pasirinkite x. Pirmoje lygtyje kintamasis x turi koeficientą 3, antroje 2. Būtina, kad koeficientai būtų vienodi, tam turime teisę lygtis padauginti arba padalyti iš bet kurio skaičiaus. Pirmoji lygtis padauginama iš 2, o antroji iš 3 ir gauname bendrą koeficientą 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30

2. Iš pirmosios lygties atimkite antrąją, kad atsikratytumėte kintamojo x. Išspręskite tiesinę lygtį.
__6x-4y = 2

5m = 32 | :5
y = 6,4

3. Raskite x. Pakeiskite rastą y į bet kurią iš lygčių, tarkime, pirmoje lygtyje.
3x-2y = 1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Susikirtimo taškas bus x = 4,6; y = 6,4
Atsakymas: (4.6; 6.4)

Ar norite studijuoti egzaminams nemokamai? Internetinis dėstytojas nemokamai... Nejuokauju.