Tiesios linijos tiesimas iš dviejų taškų internete. Bendroji tiesės plokštumoje lygtis
Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.
Yra be galo daug linijų, kurias galima nubrėžti per bet kurį tašką.
Per bet kuriuos du nesutampančius taškus yra tik viena tiesi linija.
Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje arba susikerta viename taške, arba yra
lygiagretus (seka nuo ankstesnio).
Trimatėje erdvėje yra trys dviejų linijų santykinės padėties parinktys:
- linijos susikerta;
- tiesios linijos yra lygiagrečios;
- susikerta tiesios linijos.
Tiesiai linija- pirmos eilės algebrinė kreivė: Dekarto koordinačių sistemoje tiesė
plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).
Bendroji tiesės lygtis.
Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi
Ah + Wu + C = 0,
ir pastovus A, B nelygu nuliui tuo pačiu metu. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras
tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B Ir NUO Galimi šie ypatingi atvejai:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija eina per pradžią
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU
. B = C = 0, A ≠ 0- linija sutampa su ašimi OU
. A = C = 0, B ≠ 0- linija sutampa su ašimi Oi
Tiesios linijos lygtis gali būti pavaizduota įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją
pradines sąlygas.
Taško ir normaliojo vektoriaus tiesės lygtis.
Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)
statmena lygties nurodytai tiesei
Ah + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A(1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).
Sprendimas. Sudarykime ties A \u003d 3 ir B \u003d -1 tiesės lygtį: 3x - y + C \u003d 0. Norėdami rasti koeficientą C
gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates. Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl
C = -1. Iš viso: norima lygtis: 3x - y - 1 \u003d 0.
Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.
Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) Ir M2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesios linijos lygtis,
einantis per šiuos taškus:
Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Ant
plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:
jeigu x 1 ≠ x 2 Ir x = x 1, jei x 1 = x 2 .
Frakcija = k paskambino nuolydžio koeficientas tiesiai.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.
Sprendimas. Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:
Tiesės lygtis su tašku ir nuolydžiu.
Jei bendroji tiesės lygtis Ah + Wu + C = 0 atnešti į formą:
ir paskirti 
, tada gauta lygtis vadinama
tiesės su nuolydžiu k lygtis.
Taško tiesės ir krypties vektoriaus lygtis.
Pagal analogiją su tašku, kuriame atsižvelgiama į tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti užduotį
tiesi linija per tašką ir tiesės krypties vektorius.
Apibrėžimas. Kiekvienas nulinis vektorius (α 1 , α 2), kurio komponentai atitinka sąlygą
Aα 1 + Bα 2 = 0 paskambino tiesės krypties vektorius.
Ah + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.
Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,
koeficientai turi atitikti sąlygas:
1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.
Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.
adresu x = 1, y = 2 mes gauname C/ A = -3, t.y. norima lygtis:
x + y - 3 = 0
Tiesios linijos atkarpose lygtis.
Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ah + Wu + C = 0 C≠0, tada dalijant iš -C gauname:
arba kur
Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė
tiesiai su ašimi Oi, bet b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.
Pavyzdys. Pateikta bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.
C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.
Normali tiesės lygtis.
Jei abi lygties pusės Ah + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus 
, kuris vadinamas
normalizuojantis veiksnys, tada gauname
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.
Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip μ * C< 0.
R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki linijos,
bet φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.
Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis 12x - 5m - 65 = 0. Reikalingas įvairių tipų lygtims parašyti
ši tiesi linija.
Šios tiesės lygtis atkarpomis:
Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)
Tiesios linijos lygtis:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,
lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.
Kampas tarp linijų plokštumoje.
Apibrėžimas. Jei pateiktos dvi eilutės y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų
bus apibrėžtas kaip
Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2. Dvi linijos yra statmenos
jeigu k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Tiesioginis Ah + Wu + C = 0 Ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai yra proporcingi
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jei taip pat С 1 \u003d λС, tada linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės
randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, lygtis yra statmena nurodytai tiesei.
Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b
pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos.
Teorema. Jei duodamas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki linijos Ah + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- statmeno pagrindas nukrito nuo taško M už duotą
tiesioginis. Tada atstumas tarp taškų M Ir M 1:
(1)
Koordinatės x 1 Ir 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0 statmenai lygtis
duota linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
Tiesė, einanti per tašką K(x 0; y 0) ir lygiagreti tiesei y = kx + a, randama pagal formulę:
y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)
Kur k yra tiesės nuolydis.
Alternatyvi formulė:
Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1 ; y 1) ir lygiagreti tiesei Ax+By+C=0, pavaizduota lygtimi
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
1 pavyzdys. Sudarykite tiesės, einančios per tašką M 0 (-2.1), lygtį ir tuo pačiu:a) lygiagreti tiesei 2x+3y -7 = 0;
b) statmena tiesei 2x+3y -7 = 0.
Sprendimas . Pavaizduokime nuolydžio lygtį y = kx + a . Norėdami tai padaryti, visas reikšmes, išskyrus y, perkelsime į dešinę pusę: 3y = -2x + 7 . Tada dešinę pusę padaliname iš koeficiento 3 . Gauname: y = -2/3x + 7/3
Raskite lygtį NK, einančią per tašką K(-2;1), lygiagrečiai tiesei y = -2 / 3 x + 7 / 3
Pakeitę x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1, gauname:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
arba
y = -2 / 3 x - 1 / 3 arba 3 m + 2x +1 = 0
2 pavyzdys. Parašykite tiesės, lygiagrečios tiesei 2x + 5y = 0, lygtį ir kartu su koordinačių ašimis sudaro trikampį, kurio plotas lygus 5.
Sprendimas
. Kadangi tiesės lygiagrečios, norimos tiesės lygtis yra 2x + 5y + C = 0. Stačiojo trikampio plotas, kur a ir b yra jo kojos. Raskite norimos linijos susikirtimo taškus su koordinačių ašimis: 
;
.
Taigi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Pakeiskite sritį formulėje: 
. Gauname du sprendinius: 2x + 5y + 10 = 0 ir 2x + 5y - 10 = 0 .
3 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką (-2; 5) ir lygiagrečios tiesės 5x-7y-4=0 lygtį.
Sprendimas. Šią tiesią liniją galima pavaizduoti lygtimi y = 5/7 x – 4/7 (čia a = 5/7). Norimos tiesės lygtis yra y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), t.y. 7(y-5)=5(x+2) arba 5x-7y+45=0 .
4 pavyzdys. Išspręsdami 3 pavyzdį (A=5, B=-7) naudodami formulę (2), randame 5(x+2)-7(y-5)=0.
5 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką (-2;5), ir lygiagrečios tiesės 7x+10=0 lygtį.
Sprendimas. Čia A = 7, B = 0. (2) formulė duoda 7(x+2)=0, t.y. x+2=0. Formulė (1) netaikoma, nes šios lygties negalima išspręsti y atžvilgiu (ši tiesė lygiagreti y ašiai).
Tiesės, einančios per du taškus, lygtis. Straipsnyje" " Pažadėjau išanalizuoti antrąjį pateiktų išvestinės paieškos uždavinių sprendimo būdą su duotu funkcijos grafiku ir šio grafiko liestine. Išnagrinėsime šį metodą , Nepraleisk! Kodėl Kitas?
Faktas yra tas, kad ten bus naudojama tiesės lygties formulė. Žinoma, galima tiesiog parodyti šią formulę ir patarti jos išmokti. Bet geriau paaiškinti, iš kur jis kilęs (kaip jis gaunamas). Tai būtina! Jei pamiršite, greitai atkurkitenebus sunku. Viskas išsamiai aprašyta žemiau. Taigi koordinačių plokštumoje turime du taškus A(x 1; y 1) ir B (x 2; y 2), per nurodytus taškus nubrėžiama tiesi linija: 
Čia yra tiesioginė formulė:
*Tai yra, pakeitę konkrečias taškų koordinates, gauname y=kx+b formos lygtį.
** Jei ši formulė tiesiog „įsiminta“, yra didelė tikimybė susipainioti su indeksais, kai X. Be to, indeksai gali būti žymimi įvairiais būdais, pavyzdžiui:
Štai kodėl svarbu suprasti prasmę.
Dabar šios formulės išvedimas. Viskas labai paprasta!
Trikampiai ABE ir ACF yra panašūs smailiojo kampo požiūriu (pirmasis stačiųjų trikampių panašumo ženklas). Iš to išplaukia, kad atitinkamų elementų santykiai yra lygūs, tai yra:
Dabar mes tiesiog išreiškiame šiuos segmentus taškų koordinačių skirtumu:
Žinoma, klaidų nebus, jei elementų ryšius parašysite kita tvarka (svarbiausia, kad atitiktų):
Rezultatas yra ta pati tiesės lygtis. Tai viskas!
Tai yra, kad ir kaip būtų pažymėti patys taškai (ir jų koordinatės), suprasdami šią formulę, visada rasite tiesės lygtį.
Formulę galima išvesti naudojant vektorių savybes, tačiau išvedimo principas bus tas pats, nes kalbėsime apie jų koordinačių proporcingumą. Šiuo atveju veikia tas pats stačiųjų trikampių panašumas. Mano nuomone, aukščiau aprašyta išvada yra suprantamesnė)).
Peržiūrėkite išvestį per vektorines koordinates >>>
Koordinačių plokštumoje, einančioje per du duotus taškus A (x 1; y 1) ir B (x 2; y 2), nubrėžkite tiesę. Pažymėkime savavališką tašką C tiesėje koordinatėmis ( x; y). Taip pat žymime du vektorius:
Yra žinoma, kad vektoriams, esantiems lygiagrečiose tiesėse (arba vienoje tiesėje), jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos, tai yra:
- rašome atitinkamų koordinačių santykių lygybę:
Apsvarstykite pavyzdį:
Raskite tiesės, einančios per du taškus, kurių koordinatės (2;5) ir (7:3), lygtį.
Jūs netgi negalite sukurti pačios linijos. Taikome formulę:
Sudarant santykį svarbu, kad gautumėte korespondenciją. Negalite suklysti, jei rašote:
Atsakymas: y=-2/5x+29/5 eiti y=-0,4x+5,8
Norėdami įsitikinti, kad gauta lygtis rasta teisingai, būtinai ją patikrinkite – pakeiskite į ją duomenų koordinates taškų sąlygoje. Turėtumėte gauti teisingas lygybes.
Tai viskas. Tikiuosi, kad medžiaga jums buvo naudinga.
Pagarbiai Aleksandras.
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
Apibrėžimas. Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi
Ah + Wu + C = 0,
o konstantos A, B tuo pačiu metu nėra lygios nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendroji tiesės lygtis. Atsižvelgiant į konstantų A, B ir C vertes, galimi šie specialūs atvejai:
C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linija eina per pradžią
A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (pagal + C \u003d 0) - linija lygiagreti Ox ašiai
B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linija lygiagreti Oy ašiai
B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - tiesi linija sutampa su Oy ašimi
A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - tiesi linija sutampa su Ox ašimi
Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, priklausomai nuo bet kokių pradinių sąlygų.
Taško ir normaliojo vektoriaus tiesės lygtis
Apibrėžimas. Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B) yra statmenas tiesei, kurią suteikia lygtis Ax + By + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per tašką A(1, 2), statmeną (3, -1), lygtį.
Sprendimas. Esant A = 3 ir B = -1, sudarome tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C, gautoje išraiškoje pakeičiame duoto taško A koordinates. 3 - 2 + C = 0, todėl C = -1 . Iš viso: norima lygtis: 3x - y - 1 \u003d 0.
Tiesės, einančios per du taškus, lygtis
Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M 2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtis:
Jei kuris nors iš vardiklių lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti lygus nuliui. Plokštumoje aukščiau parašyta tiesės lygtis supaprastinama:
jei x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2.
vadinama trupmena = k nuolydžio koeficientas tiesiai.
Pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus A(1, 2) ir B(3, 4), lygtį.
Sprendimas. Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:
Tiesios linijos iš taško ir nuolydžio lygtis
Jei bendras Ax + Wu + C = 0 veda į formą:
ir paskirti 
, tada gauta lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu lygtisk.
Tiesės lygtis su tašku ir krypties vektoriumi
Analogiškai su tašku, atsižvelgiant į tiesės per normalųjį vektorių lygtį, galite įvesti tiesės priskyrimą per tašką ir nukreipiamąjį tiesės vektorių.
Apibrėžimas. Kiekvienas nenulinis vektorius (α 1, α 2), kurio komponentai tenkina sąlygą A α 1 + B α 2 = 0, vadinamas tiesės nukreipiamuoju vektoriumi.
Ah + Wu + C = 0.
Pavyzdys. Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A(1, 2) lygtį.
Sprendimas. Ieškosime norimos tiesės lygties formoje: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą koeficientai turi atitikti sąlygas:
1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.
Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0. jei x = 1, y = 2 gauname C / A = -3, t.y. norima lygtis:
Tiesios linijos atkarpose lygtis
Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ah + Wu + C = 0 C≠0, tai dalijant iš –C gauname: 
arba
Koeficientų geometrinė reikšmė yra ta, kad koeficientas bet yra tiesės susikirtimo su x ašimi taško koordinatė ir b- tiesės susikirtimo su Oy ašimi taško koordinatė.
Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpose.
C \u003d 1, , a = -1, b \u003d 1.
Normali tiesės lygtis
Jei abi lygties pusės Ax + Vy + C = 0 padauginamos iš skaičiaus 
, kuris vadinamas normalizuojantis veiksnys, tada gauname
xcosφ + ysinφ – p = 0 –
normalioji tiesės lygtis. Normalizuojančio koeficiento ženklas ± turi būti parinktas taip, kad μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Pavyzdys. Duota bendroji tiesės lygtis 12x - 5y - 65 = 0. Šiai eilutei reikia parašyti įvairių tipų lygtis.
šios tiesios linijos atkarpomis lygtis: 
šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės, lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.
Pavyzdys. Tiesi linija nupjauna lygias teigiamas atkarpas koordinačių ašyse. Parašykite tiesės lygtį, jei iš šių atkarpų sudaryto trikampio plotas yra 8 cm 2.
Sprendimas. Tiesios linijos lygtis yra tokia: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką A (-2, -3) ir pradžios lygtį.
Sprendimas.
Tiesios linijos lygtis turi tokią formą: 
, kur x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.
Kampas tarp linijų plokštumoje
Apibrėžimas. Jei dvi tiesės pateiktos y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , smailusis kampas tarp šių linijų bus apibrėžtas kaip
.
Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2 . Dvi tiesės yra statmenos, jei k 1 = -1/ k 2 .
Teorema. Tiesės Ax + Vy + C \u003d 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB yra proporcingi. Jei taip pat С 1 = λС, tai linijos sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės randamos kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.
Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis
Apibrėžimas. Tiesė, einanti per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmena tiesei y \u003d kx + b, pavaizduota lygtimi:
Atstumas nuo taško iki linijos
Teorema. Jei nurodytas taškas M(x 0, y 0), tada atstumas iki linijos Ax + Vy + C \u003d 0 apibrėžiamas kaip
.
Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į duotąją tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:
(1)
Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:
Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną tam tikrai tiesei, lygtis. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,
tada išspręsdami gauname:
Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:
Teorema įrodyta.
Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x - 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y - 3 = 0 yra statmenos.
Sprendimas. Randame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, todėl linijos yra statmenos.
Pavyzdys. Pateikiamos trikampio A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.
Sprendimas. Randame kraštinės AB lygtį: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3m + 3 = 0;
Norima aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b. k = . Tada y = . Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: 
iš kur b = 17. Iš viso: . 
Atsakymas: 3x + 2m - 34 = 0.
Bendroji tiesės lygtis:
Konkretūs bendrosios tiesės lygties atvejai:
ir jeigu C= 0, (2) lygtis turės formą
Ax + Autorius = 0,
o šia lygtimi apibrėžta tiesė eina per pradžios tašką, nes pradžios koordinatės x = 0, y= 0 tenkina šią lygtį.
b) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) B= 0, tada lygtis įgauna formą
Ax + NUO= 0 arba .
Lygtyje nėra kintamojo y, o šia lygtimi apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Oy.
c) Jei bendrojoje tiesės lygtyje (2) A= 0, tada ši lygtis įgauna formą
Autorius + NUO= 0 arba ;
lygtyje nėra kintamojo x, o jo apibrėžta tiesė yra lygiagreti ašiai Jautis.
Reikėtų prisiminti: jei tiesė yra lygiagreti bet kuriai koordinačių ašiai, tada jos lygtyje nėra termino, kuriame yra to paties pavadinimo koordinatė su šia ašimi.
d) Kada C= 0 ir A= 0 (2) lygtis įgauna formą Autorius= 0 arba y = 0.
Tai yra ašies lygtis Jautis.
e) Kada C= 0 ir B= 0 lygtis (2) gali būti įrašyta forma Ax= 0 arba x = 0.
Tai yra ašies lygtis Oy.
Abipusis tiesių išdėstymas plokštumoje. Kampas tarp linijų plokštumoje. Lygiagrečių linijų būklė. Linijų statmenumo sąlyga.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Vektoriai S 1 ir S 2 vadinami jų linijų kreiptuvais.
Kampas tarp tiesių l 1 ir l 2 nustatomas pagal kampą tarp krypties vektorių.
1 teorema: cos kampas tarp l 1 ir l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d
2 teorema: Kad 2 eilutės būtų lygios, būtina ir pakanka:
3 teorema: kad 2 linijos būtų statmenos, būtina ir pakanka:
L 1 l 2 – A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Bendroji plokštumos lygtis ir jos konkretūs atvejai. Plokštumos atkarpomis lygtis.
Bendroji plokštumos lygtis:
Ax + By + Cz + D = 0
Ypatingi atvejai:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - plokštuma eina per pradžią
2. С=0 Ax+By+D = 0 – plokštuma || oz
3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – plokštuma || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – plokštuma || JAUTIS
5. A=0 ir D=0 By+Cz = 0 - plokštuma eina per OX
6. B=0 ir D=0 Ax+Cz = 0 - plokštuma eina per OY
7. C=0 ir D=0 Ax+By = 0 - plokštuma eina per OZ
Abipusis plokštumų ir tiesių išdėstymas erdvėje:
1. Kampas tarp tiesių erdvėje yra kampas tarp jų krypties vektorių.
Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = = 
2. Kampas tarp plokštumų nustatomas per kampą tarp jų normaliųjų vektorių.
Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = = 
3. Kampo tarp tiesės ir plokštumos kosinusą galima rasti per kampo tarp tiesės krypties vektoriaus ir plokštumos normaliojo vektoriaus sin.
4. 2 eilutės || erdvėje, kai jų || vektoriniai kreiptuvai
5. 2 lėktuvai || kada || normalūs vektoriai
6. Panašiai įvedamos tiesių ir plokštumų statmenumo sąvokos.
14 klausimas
Įvairių tipų tiesės lygtis plokštumoje (tiesės lygtis atkarpose, su nuolydžiu ir kt.)
Tiesios linijos atkarpomis lygtis:
Tarkime, kad bendrojoje tiesės lygtyje:
1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - tiesi linija eina per pradžią.
2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d
3. in \u003d 0 Ax + C \u003d 0 x \u003d
4. v \u003d C \u003d 0 Ax \u003d 0 x \u003d 0
5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0
Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis:
Bet kuri tiesi linija, kuri nėra lygi y ašiai (B ne = 0), gali būti parašyta toliau. forma:
k = tgα α yra kampas tarp tiesės ir teigiamai nukreiptos linijos ОХ
b - tiesės susikirtimo taškas su OS ašimi
Doc-in:
Ax+By+C = 0
Wu \u003d -Ax-C |: B
Dviejų taškų tiesės lygtis:
16 klausimas
Baigtinė funkcijos riba taške ir x→∞
Pabaigos riba taške x 0:
Skaičius A vadinamas funkcijos y \u003d f (x) riba, kai x → x 0, jei bet kurio E > 0 atveju yra b > 0, kad esant x ≠ x 0, tenkinama nelygybė |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Riba žymima: = A
Pabaigos riba taške +∞:
Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) riba x → + ∞ , jei bet kuriam E > 0 egzistuoja C > 0, kad x > C nelygybė |f(x) - A|< Е
Riba žymima: = A
Pabaigos riba taške -∞:
Skaičius A vadinamas funkcijos y = f(x) for riba x→-∞, jei dėl kokių nors E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
