Keturmačio kubo piešimo programa. Kas yra Tesseract? 4 matmenų kubas kaip pasigaminti patiems
Pradėkime nuo paaiškinimo, kas yra keturmatė erdvė.
Tai yra vienmatė erdvė, tai yra tiesiog OX ašis. Bet kuris jo taškas apibūdinamas viena koordinate.
Dabar nubrėžkime OY ašį statmenai OX ašiai. Taigi gauname dvimatę erdvę, tai yra XOY plokštumą. Bet kuris jo taškas apibūdinamas dviem koordinatėmis - abscisėmis ir ordinatėmis.
Nubrėžkime OZ ašį statmenai OX ir OY ašims. Rezultatas yra trimatė erdvė, kurioje bet kuris taškas turi abscisę, ordinatę ir aplikaciją.
Logiška, kad ketvirtoji ašis OQ turi būti statmena OX, OY ir OZ ašims tuo pačiu metu. Bet mes negalime tiksliai sukonstruoti tokios ašies, todėl galime tik pabandyti ją įsivaizduoti. Kiekvienas keturmatės erdvės taškas turi keturias koordinates: x, y, z ir q.
Dabar pažiūrėkime, kaip pasirodė keturmatis kubas.
Paveikslėlyje pavaizduota figūra vienmatėje erdvėje – linija.
Jei lygiagrečiai išversite šią liniją išilgai OY ašies ir tada sujungsite atitinkamus dviejų gautų linijų galus, gausite kvadratą.
Panašiai, jei lygiagrečiai išversite kvadratą išilgai OZ ašies ir sujungsite atitinkamas viršūnes, gausite kubą.
O jei lygiagrečiai išversime kubą išilgai OQ ašies ir sujungsime šių dviejų kubų viršūnes, gausime keturmatį kubą. Beje, vadinasi tesseraktas.
Norint nupiešti kubą plokštumoje, jo reikia projektą. Vizualiai tai atrodo taip: 
Įsivaizduokime, kad jis kabo ore virš paviršiaus vielinio rėmo modelis kubas, tai yra tarsi "iš vielos", o virš jo yra lemputė. Jei įjungsite lemputę, pieštuku atsekite kubo šešėlį, o tada išjungsite lemputę, paviršiuje bus pavaizduota kubo projekcija.
Pereikime prie kažko šiek tiek sudėtingesnio. Dar kartą pažiūrėkite į piešinį su lempute: kaip matote, visi spinduliai susilieja viename taške. Tai vadinama išnykimo taškas ir naudojamas statyti perspektyvinė projekcija(o taip pat gali būti lygiagretus, kai visi spinduliai lygiagretūs vienas kitam. Rezultatas toks, kad tūrio pojūtis nesusidaro, bet yra lengvesnis, be to, jei išnykimo taškas yra gana toli nuo projektuojamo objekto , tada skirtumas tarp šių dviejų projekcijų yra mažai pastebimas). Norėdami projektuoti nurodytą tašką į nurodytą plokštumą naudodami nykstamą tašką, turite nubrėžti tiesią liniją per išnykimo tašką ir nurodytą tašką, tada rasti gautos tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką. O norint suprojektuoti sudėtingesnę figūrą, tarkime, kubą, reikia suprojektuoti kiekvieną jos viršūnę, o tada sujungti atitinkamus taškus. Reikėtų pažymėti, kad Erdvės projektavimo į poerdvę algoritmas galima apibendrinti 4D->3D atveju, o ne tik 3D->2D.
Kaip sakiau, mes negalime tiksliai įsivaizduoti, kaip atrodo OQ ašis, kaip ir tesseraktas. Tačiau mes galime gauti ribotą supratimą apie tai, jei projektuojame jį į tūrį ir tada nupiešime jį kompiuterio ekrane!
Dabar pakalbėkime apie tesserakto projekciją.
Kairėje yra kubo projekcija į plokštumą, o dešinėje - tesraktas į tūrį. Jie yra gana panašūs: kubo projekcija atrodo kaip du kvadratai, maži ir dideli, vienas kito viduje ir kurių atitinkamos viršūnės sujungtos linijomis. O tesserakto projekcija atrodo kaip du kubai, maži ir dideli, vienas kito viduje ir kurių atitinkamos viršūnės yra sujungtos. Bet mes visi matėme kubą ir galime drąsiai teigti, kad tiek mažas kvadratas, tiek didelis kvadratas, tiek keturios trapecijos viršuje, apačioje, dešinėje ir kairėje nuo mažojo kvadrato iš tikrųjų yra kvadratai ir yra lygūs. . Ir tesseraktas turi tą patį. Ir didelis kubas, ir mažas kubas, ir šešios nupjautos piramidės mažo kubo šonuose - tai visi kubai, ir jie yra lygūs.
Mano programa gali ne tik nupiešti tesserakto projekciją ant tūrio, bet ir ją pasukti. Pažiūrėkime, kaip tai daroma.
Pirmiausia aš jums pasakysiu, kas tai yra sukimasis lygiagrečiai plokštumai.
Įsivaizduokite, kad kubas sukasi aplink OZ ašį. Tada kiekviena jo viršūnė apibūdina apskritimą aplink OZ ašį. 
Apskritimas yra plokščia figūra. Ir kiekvieno iš šių apskritimų plokštumos yra lygiagrečios viena kitai, o šiuo atveju lygiagrečios XOY plokštumai. Tai yra, galima kalbėti ne tik apie sukimąsi aplink OZ ašį, bet ir apie sukimąsi lygiagrečiai XOY plokštumai.Kaip matome, taškams, kurie sukasi lygiagrečiai XOY ašiai, keičiasi tik abscisė ir ordinatė, o aplikacija išlieka. Ir, tiesą sakant, apie sukimąsi aplink tiesiąją liniją galime kalbėti tik tada, kai kalbame apie trimatę erdvę. Dvimatėje erdvėje viskas sukasi aplink tašką, keturmatėje erdvėje viskas sukasi apie plokštumą, penkiamatėje erdvėje kalbame apie sukimąsi aplink tūrį. Ir jei galime įsivaizduoti sukimąsi aplink tašką, tai sukimasis aplink plokštumą ir tūrį yra neįsivaizduojamas dalykas. O jei kalbėsime apie sukimąsi lygiagrečiai plokštumai, tai bet kurioje n-mačioje erdvėje taškas gali suktis lygiagrečiai plokštumai.
Daugelis iš jūsų tikriausiai girdėjote apie sukimosi matricą. Padauginę iš jo tašką, gauname kampu phi lygiagrečiai plokštumai pasuktą tašką. Dvimatėje erdvėje tai atrodo taip: 
Kaip padauginti: x taško, pasukto kampu phi = pradinio taško kampo phi*ix kosinusas atėmus pradinio taško kampo phi*ig sinusus;
taško, pasukto kampu phi, ig = pradinio taško kampo phi * ix sinusas plius kampo phi * ig pradinio taško kosinusas.
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, kur Xa ir Ya yra pasukamo taško abscisė ir ordinatė, Xa` ir Ya` yra jau pasukto taško abscisė ir ordinatė
Trimatėje erdvėje ši matrica apibendrinta taip: 
Sukimas lygiagretus XOY plokštumai. Kaip matote, Z koordinatė nesikeičia, o keičiasi tik X ir Y
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (iš esmės Za`=Za)
Sukimas lygiagretus XOZ plokštumai. Nieko naujo,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 – sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (iš esmės Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za
Ir trečioji matrica.
Xa = Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (iš esmės Xa = Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya – sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za
O ketvirtajam matmeniui jie atrodo taip: 
Manau, jūs jau suprantate, iš ko daugintis, todėl daugiau nekalbėsiu. Tačiau atkreipiu dėmesį, kad ji daro tą patį, kaip ir matrica, skirta sukimui lygiagrečiai plokštumai trimatėje erdvėje! Abi jos keičia tik ordinatę ir aplikaciją, o kitų koordinačių neliečia, todėl galima naudoti trimačiu atveju, tiesiog nekreipiant dėmesio į ketvirtą koordinatę.
Tačiau su projekcijos formule ne viskas taip paprasta. Kad ir kiek forumų skaičiau, nė vienas projekcijos metodas man nepasiteisino. Lygiagretusis man netiko, nes projekcija neatrodytų trimatė. Vienose projekcijų formulėse norint rasti tašką reikia išspręsti lygčių sistemą (o aš nežinau, kaip išmokyti kompiuterį jas spręsti), kitose aš tiesiog nesupratau... Apskritai nusprendžiau sugalvok savo būdą. Šiuo tikslu apsvarstykite 2D->1D projekciją.
pov reiškia "Point of view", ptp reiškia "Point to project" (taškas, kurį reikia projektuoti), o ptp` yra norimas taškas OX ašyje.
Kampai povptpB ir ptpptp`A yra lygūs kaip atitinkantys (punktyrinė linija lygiagreti OX ašiai, tiesi linija povptp yra sekantas).
Taško ptp` x yra lygus taško ptp x atėmus atkarpos ptp`A ilgį. Šį segmentą galima rasti iš trikampio ptpptp`A: ptp`A = ptpA/kampo ptpptp`A liestinė. Šią liestinę galime rasti iš trikampio povptpB: liestinė ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Atsakymas: Xptp`=Xptp-Yptp/kampo liestinė ptpptp`A.
Detaliau šio algoritmo neaprašiau, nes yra daug ypatingų atvejų, kai formulė šiek tiek pasikeičia. Jei kam įdomu, pažiūrėkit programos išeities kodą, ten viskas aprašyta komentaruose.
Norėdami suprojektuoti tašką trimatėje erdvėje į plokštumą, mes tiesiog atsižvelgiame į dvi plokštumas - XOZ ir YOZ ir išsprendžiame šią problemą kiekvienai iš jų. Keturių matmenų erdvės atveju būtina atsižvelgti į tris plokštumas: XOQ, YOQ ir ZOQ.
Ir pabaigai apie programą. Tai veikia taip: inicijuokite šešiolika tesserakto viršūnių -> priklausomai nuo vartotojo įvestų komandų, pasukite jį -> projektuokite į tomą -> priklausomai nuo vartotojo įvestų komandų, pasukite jo projekciją -> projektuokite į lėktuvas -> piešti.
Projekcijas ir sukimus rašiau pats. Jie veikia pagal formules, kurias ką tik aprašiau. OpenGL biblioteka piešia linijas ir taip pat tvarko spalvų maišymą. Ir tesserakto viršūnių koordinatės apskaičiuojamos taip:
Tiesės, kurios centras yra pradžios taške, viršūnių koordinatės ir ilgis 2 - (1) ir (-1);
- " - " - kvadratas - " - " - ir 2 ilgio briauna:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) ir (-1; -1);
- " - " - kubas - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Kaip matote, kvadratas yra viena linija virš OY ašies ir viena linija žemiau OY ašies; kubas yra vienas kvadratas prieš XOY plokštumą ir vienas už jo; Tesraktas yra vienas kubas kitoje XOYZ tūrio pusėje ir vienas šioje pusėje. Bet daug lengviau suvokti šį vienetų ir minusų kaitą, jei jie parašyti stulpelyje
1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1
Pirmajame stulpelyje pakaitomis vienas ir minus vienas. Antrame stulpelyje pirmiausia yra du pliusai, tada du minusai. Trečioje – keturi plius vienetai, o paskui keturi minus vienetai. Tai buvo kubo viršūnės. Teseraktas jų turi dvigubai daugiau, todėl jiems deklaruoti reikėjo parašyti kilpą, kitaip labai lengva susipainioti.
Mano programa taip pat gali piešti anaglifą. Laimingi 3D akinių savininkai gali stebėti stereoskopinį vaizdą. Piešti paveikslėlį nėra nieko sudėtingo; tiesiog nupiešite dvi projekcijas į plokštumą dešinei ir kairei akims. Tačiau programa tampa daug vizualesnė ir įdomesnė, o svarbiausia – leidžia geriau suprasti keturmatį pasaulį.
Mažiau reikšmingos funkcijos yra vienos iš kraštų apšvietimas raudonai, kad posūkiai būtų geriau matomi, taip pat nedideli patogumai - „akių“ taškų koordinačių reguliavimas, posūkio greičio didinimas ir mažinimas.
Archyvas su programa, šaltinio kodu ir naudojimo instrukcijomis.
Jei jums nutiko neįprastas įvykis, pamatėte keistą būtybę ar nesuprantamą reiškinį, galite atsiųsti mums savo istoriją ir ji bus paskelbta mūsų svetainėje ===> .
Daugiamatių erdvių doktrina pradėjo atsirasti XIX amžiaus viduryje. Keturių dimensijų erdvės idėją iš mokslininkų pasiskolino mokslinės fantastikos rašytojai. Savo darbuose jie pasauliui papasakojo apie nuostabius ketvirtosios dimensijos stebuklus.
Savo kūrinių herojai, pasinaudodami keturmatės erdvės savybėmis, nepažeisdami lukšto galėjo suvalgyti kiaušinio turinį, o atsigerti – neatplėšę butelio kamštelio. Vagys iš seifo išnešė lobį per ketvirtą dimensiją. Chirurgai atliko vidaus organų operacijas, nepjaustydami paciento kūno audinių.
Tesseraktas
Geometrijoje hiperkubas yra kvadrato (n = 2) ir kubo (n = 3) n matmenų analogija. Keturių matmenų mūsų įprasto 3 dimensijos kubo analogas yra žinomas kaip tesseraktas. Tesraktas yra prie kubo, kaip kubas yra prie kvadrato. Formaliau tesseraktą galima apibūdinti kaip taisyklingą išgaubtą keturių dimensijų daugiakampį, kurio ribą sudaro aštuonios kubinės ląstelės.
Kiekviena nelygiagrečių 3D veidų pora susikerta ir sudaro 2D veidus (kvadratus) ir pan. Galiausiai, tesseraktas turi 8 3D paviršius, 24 2D veidus, 32 kraštus ir 16 viršūnių.
Beje, pagal Oksfordo žodyną žodį tesseraktas sugalvojo ir 1888 metais pavartojo Charlesas Howardas Hintonas (1853–1907) knygoje „A New Age of Thought“. Vėliau kai kurie žmonės tą pačią figūrą pavadino tetrakubu (gr. tetra – keturi) – keturmačiu kubu.
Konstrukcija ir aprašymas
Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, nepaliekant trimatės erdvės.
Vienmatėje „erdvėje“ - tiesėje - pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Rezultatas yra kvadratinis CDBA. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą CDBAGHFE. O kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) perkėlus atstumu L, gauname hiperkubą CDBAGHFEKLJIOPNM.
Panašiai galime tęsti samprotavimus dėl didesnių matmenų hiperkubų, tačiau daug įdomiau pamatyti, kaip keturmatis hiperkubas atrodys mums, trimatės erdvės gyventojams.
Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš krašto. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubrėžti du kvadratus (jos artimą ir tolimąją briauną), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniais kraštais. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus projektuojamos pačios „dėžės“ - trimačiai veidai, o juos jungiančios linijos tęsis ketvirtosios ašies kryptimi. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.
Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs jo veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie perspektyvoje atrodys kaip gana sudėtinga figūra. Pats keturmatis hiperkubas gali būti suskirstytas į begalinį skaičių kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.
Iškirpę šešis trimačio kubo veidus, galite jį suskaidyti į plokščią figūrą – vystymąsi. Jis turės kvadratą kiekvienoje pradinio veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. O trimatį keturmačio hiperkubo plėtojimą sudarys originalus kubas, šeši iš jo „išaugantys“ kubeliai ir dar vienas - galutinis „hiperveidas“.
Hiperkubas mene
Tesseract yra tokia įdomi figūra, kad ji ne kartą patraukė rašytojų ir filmų kūrėjų dėmesį.
Robertas E. Heinleinas kelis kartus minėjo hiperkubus. Knygoje The House That Teal Built (1940) jis apibūdino namą, pastatytą kaip nesupakuotą tesraktą, o vėliau dėl žemės drebėjimo „sulankstytas“ į ketvirtą dimensiją, kad taptų „tikra“ tesraktu. Heinleino romane „Šlovės kelias“ aprašoma itin didelė dėžutė, kurios vidus buvo didesnis nei išorė.
Henrio Kuttnerio apsakyme „Visi Tenali Borogov“ aprašomas lavinamasis žaislas vaikams iš tolimos ateities, savo struktūra panašus į tesseraktą.
„Cube 2“ siužetas: „Hypercube“ centre yra aštuoni nepažįstami žmonės, įstrigę „hiperkube“ arba sujungtų kubų tinkle.
Paralelinis pasaulis
Matematinės abstrakcijos sukėlė idėją apie paralelinių pasaulių egzistavimą. Tai suprantama kaip realybės, egzistuojančios kartu su mūsų, bet nepriklausomai nuo jos. Lygiagretus pasaulis gali būti įvairių dydžių: nuo mažos geografinės zonos iki visos visatos. Paraleliniame pasaulyje įvykiai vyksta savaip, jis gali skirtis nuo mūsų pasaulio tiek atskiromis detalėmis, tiek beveik viskuo. Be to, paralelinio pasaulio fiziniai dėsniai nebūtinai yra panašūs į mūsų Visatos dėsnius.
Ši tema yra palanki dirva mokslinės fantastikos rašytojams.
Salvadoro Dali paveikslas „Nukryžiavimas“ vaizduoja tesseraktą. „Nukryžiavimas arba hiperkubinis kūnas“ – ispanų menininko Salvadoro Dali paveikslas, nutapytas 1954 m. Vaizduojamas nukryžiuotasis Jėzus Kristus ant tesserakto nuskaitymo. Paveikslas saugomas Metropoliteno meno muziejuje Niujorke
Viskas prasidėjo 1895 m., kai H.G. Wellsas su savo istorija „Durys sienoje“ atvėrė mokslinei fantastikai paralelinių pasaulių egzistavimą. 1923 m. Wellsas grįžo prie lygiagrečių pasaulių idėjos ir viename iš jų pastatė utopinę šalį, į kurią keliauja romano „Vyrai kaip dievai“ veikėjai.
Romanas neliko nepastebėtas. 1926 metais pasirodė G. Dento pasakojimas „Šalio imperatorius „Jeigu““ Dento istorijoje pirmą kartą kilo mintis, kad gali būti šalių (pasaulių), kurių istorija gali skirtis nuo tikrų šalių istorijos. Ir pasauliai yra ne mažiau tikri nei mūsų.
1944 m. Jorge Luisas Borgesas savo knygoje „Išgalvotos istorijos“ paskelbė apsakymą „Išsišakojančių takų sodas“. Čia išsišakojusio laiko idėja pagaliau buvo išreikšta itin aiškiai.
Nepaisant aukščiau išvardytų kūrinių pasirodymo, daugelio pasaulių idėja mokslinėje fantastikoje pradėjo rimtai vystytis tik XX amžiaus ketvirtojo dešimtmečio pabaigoje, maždaug tuo pačiu metu, kai panaši idėja kilo fizikoje.
Vienas iš naujos mokslinės fantastikos krypties pradininkų buvo Johnas Bixby, pasakojime „One Way Street“ (1954 m.), siūlęs, kad tarp pasaulių galima judėti tik viena kryptimi – iš savo pasaulio pereidamas į paralelinį, jūs negrįšite atgal, bet pereisite iš vieno pasaulio į kitą. Tačiau grįžimas į savo pasaulį taip pat neatmestas - tam būtina, kad pasaulių sistema būtų uždaryta.
Cliffordo Simako romane „Žiedas aplink saulę“ (1982) aprašoma daugybė planetų Žemė, kurių kiekviena egzistuoja savo pasaulyje, bet yra toje pačioje orbitoje, ir šie pasauliai bei šios planetos skiriasi tik nežymiu (mikrosekundės) laiko poslinkiu. Daugybė Žemių, kurias aplanko romano herojus, sudaro vieną pasaulių sistemą.
Alfredas Besteris apsakyme „Žmogus, kuris nužudė Mahometą“ (1958) išsakė įdomų požiūrį į pasaulių išsišakojimą. „Keisdamas praeitį, – tvirtino istorijos herojus, – tu ją pakeisi tik dėl savęs. Kitaip tariant, po pasikeitimo praeityje atsiranda istorijos atšaka, kurioje šis pasikeitimas egzistuoja tik veikėjui, kuris padarė pasikeitimą.
Brolių Strugatskių apsakyme „Pirmadienis prasideda šeštadienį“ (1962) aprašomos veikėjų kelionės į skirtingas mokslinės fantastikos rašytojų aprašytas ateities versijas – priešingai nei kelionės į skirtingas praeities versijas, kurios jau egzistavo mokslinėje fantastikoje.
Tačiau net paprastas visų kūrinių, paliečiančių paralelinių pasaulių temą, išvardijimas užtruktų per daug laiko. Ir nors mokslinės fantastikos rašytojai, kaip taisyklė, moksliškai nepagrindžia daugiamatiškumo postulato, jie yra teisūs dėl vieno dalyko – tai hipotezė, kuri turi teisę egzistuoti.
Ketvirtoji tesserakto dimensija vis dar laukia mūsų apsilankymo.
Viktoras Savinovas
Jei esate filmų „Keršytojai“ gerbėjas, pirmas dalykas, kuris gali ateiti į galvą išgirdus žodį „Tesseract“, yra permatomas kubo formos begalybės akmens indas, turintis neribotą galią.
„Marvel“ visatos gerbėjams „Tesseract“ yra švytintis mėlynas kubas, dėl kurio žmonės ne tik iš Žemės, bet ir iš kitų planetų eina iš proto. Štai kodėl visi Keršytojai susibūrė, kad apsaugotų žemiečius nuo itin destruktyvių Tesseract galių.
Tačiau tai reikia pasakyti: „Tesseract“ yra tikroji geometrinė koncepcija arba, tiksliau, forma, egzistuojanti 4D. Tai ne tik mėlynas kubas iš „Avengers“... tai tikra koncepcija.
Tesseract yra 4 matmenų objektas. Tačiau prieš tai išsamiai paaiškindami, pradėkime nuo pradžių.
Kas yra "matavimas"?
Kiekvienas žmogus yra girdėjęs terminus 2D ir 3D, kurie reiškia atitinkamai dvimačius arba trimačius objektus erdvėje. Bet kas yra šie matavimai?
Matmenys yra tiesiog kryptis, kuria galite eiti. Pavyzdžiui, jei piešiate liniją ant popieriaus lapo, galite eiti į kairę/dešinę (x ašis) arba aukštyn/žemyn (y ašis). Taigi sakome, kad popierius yra dvimatis, nes galite eiti tik dviem kryptimis.
Yra 3D gylio pojūtis.
Dabar realiame pasaulyje, be dviejų aukščiau paminėtų krypčių (kairėn/dešinėn ir aukštyn/žemyn), taip pat galite eiti „į/iš“. Todėl 3D erdvėje pridedamas gylio pojūtis. Štai kodėl mes sakome, kad tikrasis gyvenimas yra 3 dimensijos.
Taškas gali reikšti 0 matmenų (nes nejuda jokia kryptimi), linija reiškia 1 matmenį (ilgį), kvadratas – 2 matmenis (ilgį ir plotį), o kubas – 3 matmenis (ilgį, plotį ir aukštį). ).
Paimkite 3D kubą ir kiekvieną jo paviršių (kurie šiuo metu yra kvadratai) pakeiskite kubu. Ir taip! Gaunama forma yra tesseraktas.
Kas yra tesseraktas?
Paprasčiau tariant, tesseraktas yra kubas 4 matmenų erdvėje. Taip pat galite pasakyti, kad tai yra 4D kubo analogas. Tai 4D forma, kurioje kiekvienas veidas yra kubas.
3D projekcija tesserakto, atliekančio dvigubą sukimąsi aplink dvi statmenas plokštumas. Nuotrauka: Jasonas Hise
Štai paprastas būdas konceptualizuoti matmenis: kvadratas yra dvimatis; todėl kiekvienas jo kampas turi po 2 linijas, besitęsiančias nuo jos 90 laipsnių kampu viena kitos atžvilgiu. Kubas yra 3D, todėl kiekvienas jo kampas turi 3 eilutes, išeinančias iš jo. Taip pat tesseraktas yra 4D formos, todėl kiekviename kampe yra 4 linijos, besitęsiančios iš jo.
Kodėl sunku įsivaizduoti tesseraktą?
Kadangi mes, kaip žmonės, evoliucionavome, kad galėtume vizualizuoti objektus trimis dimensijomis, viskas, kas patenka į papildomus matmenis, pvz., 4D, 5D, 6D ir tt, mums nėra labai prasminga, nes negalime jų visiškai pristatyti. Mūsų smegenys negali suprasti 4-osios erdvės dimensijos. Mes tiesiog negalime apie tai galvoti.
Tačiau vien todėl, kad negalime įsivaizduoti daugiamačių erdvių koncepcijos, dar nereiškia, kad ji negali egzistuoti.
Matematiškai tesseraktas yra visiškai tikslios formos. Taip pat visos formos aukštesniuose matmenyse, ty 5D ir 6D, taip pat yra matematiškai tikėtinos.
Kaip kubą galima išplėsti į 6 kvadratus 2D erdvėje, tesseraktą galima išplėsti į 8 kubus 3D erdvėje.
Stebina ir nesuprantama, ar ne?
Taigi tesseraktas yra „tikra koncepcija“, kuri yra visiškai matematiškai tikėtina, o ne tik blizgantis mėlynas kubas, dėl kurio kovojama „Keršytojų“ filmuose.
Tesseract yra keturmatis hiperkubas – kubas keturmatėje erdvėje.
Remiantis Oksfordo žodynu, žodį tesseraktas 1888 m. sukūrė ir pavartojo Charlesas Howardas Hintonas (1853–1907) savo knygoje „A New Age of Thought“. Vėliau kai kurie žmonės tą pačią figūrą pavadino tetrakubu (gr. τετρα – keturi) – keturmačiu kubu.
Įprastas tesraktas Euklido keturmatėje erdvėje apibrėžiamas kaip išgaubtas taškų korpusas (±1, ±1, ±1, ±1). Kitaip tariant, jis gali būti pavaizduotas kaip toks rinkinys:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Tesraktą riboja aštuonios hiperplokštumos x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , kurių sankirta tesraktas pats apibrėžia jį 3D paviršius (kurie yra įprasti kubai) Kiekviena nelygiagrečių 3D veidų pora susikerta ir sudaro 2D paviršius (kvadratus) ir tt Galiausiai, tesseraktas turi 8 3D paviršius, 24 2D paviršius, 32 briaunas ir 16 viršūnių.
Populiarus aprašymas
Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, nepaliekant trimatės erdvės.
Vienmatėje „erdvėje“ - tiesėje - pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Rezultatas yra kvadratinis CDBA. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą CDBAGHFE. O kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) perkėlus atstumu L, gauname hiperkubą CDBAGHFEKLJIOPNM.
Vienmatis segmentas AB tarnauja kaip dvimačio kvadrato CDBA kraštinė, kvadratas - kaip kubo CDBAGHFE kraštinė, kuri, savo ruožtu, bus keturmačio hiperkubo pusė. Tiesios linijos atkarpa turi du ribinius taškus, kvadratas – keturias viršūnes, kubas – aštuonias. Taigi keturių dimensijų hiperkube bus 16 viršūnių: 8 pradinio kubo viršūnės ir 8 tos, kurios buvo paslinktos ketvirtajame matmenyje. Jis turi 32 briaunas – po 12 nurodo pradinę ir galutinę pradinio kubo padėtį, o dar 8 briaunos „nubrėžia“ aštuonias jo viršūnes, kurios perėjo į ketvirtą dimensiją. Tą patį galima pasakyti ir apie hiperkubo veidus. Dvimatėje erdvėje yra tik vienas (pats kvadratas), kubas turi 6 iš jų (du veideliai nuo perkelto kvadrato ir dar keturi, apibūdinantys jo puses). Keturmatis hiperkubas turi 24 kvadratinius paviršius – 12 pradinio kubo kvadratų dviejose padėtyse ir 12 kvadratų nuo dvylikos kraštų.
Kaip kvadrato kraštinės yra 4 vienmačiai segmentai, o kubo kraštinės (pusės) yra 6 dvimačiai kvadratai, taip ir „keturmačio kubo“ (tesserakto) kraštinės yra 8 trimačiai kubai. . Priešingų tesseraktų kubelių porų erdvės (tai yra trimatės erdvės, kurioms priklauso šie kubai) yra lygiagrečios. Paveiksle tai yra kubeliai: CDBAGHFE ir KLJIOPNM, CDBAKLJI ir GHFEOPNM, EFBAMNJI ir GHDCOPLK, CKIAGOME ir DLJBHPNF.
Panašiai galime tęsti samprotavimus dėl didesnių matmenų hiperkubų, tačiau daug įdomiau pamatyti, kaip keturmatis hiperkubas atrodys mums, trimatės erdvės gyventojams. Tam naudosime jau žinomą analogijų metodą.
Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš krašto. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubrėžti du kvadratus (jos artimą ir tolimąją briauną), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniais kraštais. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus projektuojamos pačios „dėžės“ - trimačiai veidai, o juos jungiančios linijos tęsis ketvirtosios ašies kryptimi. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.
Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs jo veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie perspektyvoje atrodys kaip gana sudėtinga figūra. Pats keturmatis hiperkubas susideda iš begalinio skaičiaus kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.
Iškirpę šešis trimačio kubo veidus, galite jį suskaidyti į plokščią figūrą – vystymąsi. Jis turės kvadratą kiekvienoje pradinio veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. O trimatį keturmačio hiperkubo plėtojimą sudarys originalus kubas, šeši iš jo „išaugantys“ kubeliai ir dar vienas - galutinis „hiperveidas“.
Tesrakto savybės yra mažesnio matmens geometrinių figūrų savybių tęsinys į keturių matmenų erdvę.
Kai tik po operacijos galėjau skaityti paskaitas, pirmasis studentų klausimas buvo toks:
Kada nupiešite mums 4 dimensijų kubą? Iljas Abdulkhajevičius mums pažadėjo!
Prisimenu, kad mano brangiems draugams kartais patinka akimirka matematinio edukacinio užsiėmimo. Todėl dalį savo paskaitos matematikams parašysiu čia. Ir aš stengsiuosi nenuobodžiai. Kai kuriais momentais, žinoma, paskaitą skaitau griežčiau.
Pirmiausia susitarkime. 4 dimensijos, o juo labiau 5-6-7 ir apskritai k-dimensinė erdvė mums nėra duota jusliniais pojūčiais.
„Mes apgailėtini, nes esame tik trimačiai“, – sakė mano sekmadieninės mokyklos mokytoja, kuri pirmą kartą man pasakė, kas yra 4 dimensijos kubas. Sekmadieninė mokykla, žinoma, buvo itin religinga – matematinė. Tuo metu mes studijavome hiperkubus. Savaitę prieš tai matematinė indukcija, savaitę po to Hamiltono ciklai grafikais - atitinkamai tai yra 7 klasė.
Negalime liesti, užuosti, girdėti ar matyti 4 dimensijos kubo. Ką mes galime su juo padaryti? Galime įsivaizduoti! Nes mūsų smegenys yra daug sudėtingesnės nei akys ir rankos.
Taigi, norėdami suprasti, kas yra 4 matmenų kubas, pirmiausia išsiaiškinkime, kas mums prieinama. Kas yra 3 dimensijos kubas?
GERAI GERAI! Aš neprašau jūsų aiškaus matematinio apibrėžimo. Įsivaizduokite paprasčiausią ir įprasčiausią trimatį kubą. Pristatė?
gerai.
Norėdami suprasti, kaip apibendrinti 3-matį kubą į 4-matę erdvę, išsiaiškinkime, kas yra dvimatis kubas. Tai taip paprasta – tai kvadratas! 
Kvadratas turi 2 koordinates. Kubas turi tris. Kvadratiniai taškai yra taškai su dviem koordinatėmis. Pirmasis yra nuo 0 iki 1. O antrasis yra nuo 0 iki 1. Kubo taškai turi tris koordinates. Ir kiekvienas yra bet koks skaičius nuo 0 iki 1.
Logiška įsivaizduoti, kad 4 matmenų kubas yra daiktas, turintis 4 koordinates ir viskas yra nuo 0 iki 1.
/* Iš karto logiška įsivaizduoti 1 matmens kubą, kuris yra ne kas kita, kaip paprastas segmentas nuo 0 iki 1. */
Taigi, palaukite, kaip nupiešti 4 matmenų kubą? Juk negalime plokštumoje nupiešti 4 dimensijos erdvės!
Bet plokštumoje mes taip pat nebraižome 3 matmenų erdvės, o piešiame ją projekcija ant 2 dimensijos piešimo plokštumos. Trečiąją koordinatę (z) pastatome kampu, įsivaizduodami, kad ašis nuo piešimo plokštumos eina „į mus“. 
Dabar visiškai aišku, kaip nupiešti 4 matmenų kubą. Lygiai taip pat, kaip mes pastatėme trečiąją ašį tam tikru kampu, imkime ketvirtąją ašį ir taip pat nustatykime ją tam tikru kampu.
Ir - voila! -- 4 matmenų kubo projekcija į plokštumą. 
Ką? Kas tai vis dėlto? Visada girdžiu šnabždesius iš galinių stalų. Leiskite man išsamiau paaiškinti, kas yra šis linijų kratinys.
Pirmiausia pažiūrėkite į trimatį kubą. Ką mes padarėme? Paėmėme kvadratą ir tempėme jį išilgai trečiosios ašies (z). Tai tarsi daugybė popierinių kvadratų, suklijuotų krūvoje.
Tas pats ir su 4 matmenų kubu. Ketvirtąją ašį patogumo ir mokslinės fantastikos dėlei pavadinkime „laiko ašimi“. Turime paimti įprastą trimatį kubą ir nutempti jį per laiką nuo laiko „dabar“ iki laiko „po valandos“.
Mes turime „dabar“ kubą. Nuotraukoje rožinė. 
O dabar tempiame išilgai ketvirtos ašies – išilgai laiko ašies (aš parodžiau žaliai). Ir gauname ateities kubą – mėlyną. 
Kiekviena „kubo dabar“ viršūnė palieka laike pėdsaką – atkarpą. Susieja dabartį su ateitimi.
Trumpai tariant, be jokių dainų žodžių: nubraižėme du vienodus 3 dimensijos kubus ir sujungėme atitinkamas viršūnes.
Lygiai taip pat, kaip jie padarė su 3 dimensijų kubu (nubrėžkite 2 vienodus 2 dimensijos kubus ir sujunkite viršūnes).
Norėdami nupiešti 5 matmenų kubą, turėsite nubraižyti dvi 4 dimensijos kubo kopijas (keturmatį kubą su penkta koordinate 0 ir 4 dimensijų kubą su penkta koordinate 1) ir sujungti atitinkamas viršūnes su briaunomis. Tiesa, lėktuve bus toks kraštų kratinys, kad beveik neįmanoma nieko suprasti.
Įsivaizdavę 4 dimensijų kubą ir net sugebėję jį nupiešti, galime jį tyrinėti įvairiais būdais. Prisimenant jį tyrinėti tiek mintyse, tiek iš nuotraukos.
Pavyzdžiui. Dviejų matmenų kubas iš 4 pusių apribotas 1 dimensijos kubeliais. Tai logiška: kiekviena iš 2 koordinačių turi ir pradžią, ir pabaigą.
3 dimensijų kubas iš 6 pusių apribotas 2 dimensijų kubeliais. Kiekvienai iš trijų koordinačių ji turi pradžią ir pabaigą.
Tai reiškia, kad 4 matmenų kubas turi būti apribotas aštuoniais 3 dimensijų kubeliais. Kiekvienai iš 4 koordinačių – iš abiejų pusių. Aukščiau esančiame paveikslėlyje aiškiai matome 2 veidus, kurie riboja jį išilgai „laiko“ koordinatės.
Čia yra du kubai (jie yra šiek tiek pasvirę, nes turi 2 matmenis, projektuojamus į plokštumą kampu), ribojančius mūsų hiperkubą kairėje ir dešinėje. 
Taip pat lengva pastebėti „viršutinį“ ir „apatinį“. 
Sunkiausia vizualiai suprasti, kur yra „priekis“ ir „galis“. Priekinis prasideda nuo priekinio „kubo dabar“ krašto ir iki „ateities kubo“ priekinio krašto - jis yra raudonas. Galinė yra violetinė. 
Juos sunkiausia pastebėti, nes po kojomis susipainioję kiti kubai, kurie riboja hiperkubą esant kitokiai projektuojamai koordinatei. Tačiau atkreipkite dėmesį, kad kubeliai vis tiek skiriasi! Čia vėl paveikslėlis, kuriame paryškintas „dabar kubas“ ir „ateities kubas“.
Žinoma, galima suprojektuoti 4 dimensijų kubą į 3 dimensiją.
Pirmas galimas erdvinis modelis aišku, kaip jis atrodo: reikia paimti 2 kubo rėmelius ir atitinkamas jų viršūnes sujungti nauja briauna.
Šiuo metu šio modelio sandėlyje neturiu. Paskaitoje studentams rodau kiek kitokį 3 dimensijų 4 dimensijos kubo modelį.
Jūs žinote, kaip kubas projektuojamas į tokią plokštumą.
Tarsi žiūrėtume į kubą iš viršaus. 
Artimiausias kraštas, žinoma, yra didelis. O tolimasis kraštas atrodo mažesnis, matome per artimąjį.
Taip galite suprojektuoti 4 matmenų kubą. Kubas dabar didesnis, ateities kubą matome tolumoje, todėl jis atrodo mažesnis. 
Kitoje pusėje. Iš viršutinės pusės. 
Tiesiai tiksliai iš krašto pusės: 
Iš šonkaulių pusės: 
Ir paskutinis kampas, asimetriškas. Iš skilties „pasakyk, kad žiūrėjau tarp jo šonkaulių“. 
Na, tada gali sugalvoti bet ką. Pavyzdžiui, lygiai taip pat, kaip 3 dimensijos kubas sukuriamas ant plokštumos (tai panašu į popieriaus lapo iškirpimą, kad sulankstytas būtų kubas), tas pats atsitinka ir su 4 matmenų kubu. erdvė. Tai tarsi iškirpti medžio gabalą, kad sulankstydami jį 4-matėje erdvėje gautume tesseraktą.
Galite tyrinėti ne tik 4 dimensijų kubą, bet ir n matmenų kubus apskritai. Pavyzdžiui, ar tiesa, kad sferos, apribotos aplink n matmenų kubą, spindulys yra mažesnis už šio kubo krašto ilgį? Arba čia paprastesnis klausimas: kiek viršūnių turi n matmenų kubas? Kiek kraštinių (vienamatis paviršius)?
