Ինտեգրում մաս առ մաս- որոշակի և անորոշ ինտեգրալների լուծման մեթոդ, երբ ինտեգրենդներից մեկը հեշտությամբ ինտեգրալելի է, իսկ մյուսը ՝ տարբերակելի: Ինտեգրալներ գտնելու բավականին տարածված մեթոդ ՝ ինչպես անորոշ, այնպես էլ որոշակի: Հիմնական նշանը, երբ անհրաժեշտ է այն օգտագործել, որոշակի գործառույթ է, որը բաղկացած է երկու գործառույթի արտադրանքից, որոնք չեն կարող ինտեգրվել կետ-դատարկ:

Բանաձեւ

Այս մեթոդը հաջողությամբ օգտագործելու համար հարկավոր է վերլուծել և սովորել բանաձևերը:

Անորոշ ինտեգրալում մասերով ինտեգրման բանաձևը.

$$ \ int udv = uv - \ int vdu $ $

Որոշակի ինտեգրալում մասերով ինտեգրման բանաձևը.

$$ \ int \ limit_ (a) ^ (b) udv = uv \ bigg | _ (a) ^ (b) - \ int \ limit_ (a) ^ (b) vdu $$

Լուծումների օրինակներ

Եկեք գործնականում դիտարկենք մասերի ինտեգրման լուծումների օրինակներ, որոնք ուսուցիչները հաճախ առաջարկում են թեստային թերթերի վրա: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ անբաժանելի խորհրդանիշի տակ երկու գործառույթի արդյունք է: Սա նշան է, որ տվյալ մեթոդը հարմար է լուծման համար:

Օրինակ 1

Գտեք Integral $ \ int xe ^ xdx $

Լուծում

Մենք տեսնում ենք, որ ինտեգրանը բաղկացած է երկու գործառույթից, որոնցից մեկը տարբերակման ժամանակ ակնթարթորեն վերածվում է միավորի, իսկ մյուսը հեշտությամբ ինտեգրվում է: Ինտեգրալը լուծելու համար մենք կօգտագործենք ինտեգրման մեթոդը ըստ մասերի: Տեղադրեք $ u = x \ rightarrow du = dx $ և $ dv = e ^ x dx \ rightarrow v = e ^ x $ Փոխարինեք գտնված արժեքները առաջին ինտեգրման բանաձևի մեջ և ստացեք. $$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - \ int e ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $$ Եթե ​​չեք կարողանում լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկեք այն մեզ: Մենք կտրամադրենք մանրամասն լուծում: Դուք կկարողանաք ծանոթանալ հաշվարկման ընթացքին և տեղեկատվություն ստանալ: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին վարկ ստանալ ձեր ուսուցչից:

Պատասխանեք

$$ \ int xe ^ x dx = xe ^ x - e ^ x + C $ $

Օրինակ 4

Գնահատեք ինտեգրալ $ \ int \ սահմաններ_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx $

Լուծում

Նախորդ լուծված օրինակների հետ նմանությամբ մենք պարզելու ենք, թե որ գործառույթն է ինտեգրվել առանց խնդիրների, որոնք ՝ տարբերակելու: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ եթե մենք տարբերակենք $ (x + 5) $, ապա այս արտահայտությունը ինքնաբերաբար կվերածվի մեկի, ինչը լավ կլինի մեզ համար: Հետևաբար, մենք դա անում ենք. $$ u = x + 5 \ rightarrow du = dx, dv = 3 ^ x dx \ rightarrow v = \ frac (3 ^ x) (ln3) $$ Այժմ բոլոր անհայտ գործառույթները գտնվել են և կարող են դրվել երկրորդ ինտեգրման բանաձևի մեջ `որոշակի ինտեգրալի մասերով: $$ \ int \ limit_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = (x + 5) \ frac (3 ^ x) (\ ln 3) \ bigg | _0 ^ 1 - \ int \ limit_0 ^ 1 \ frac (3 ^ x օր) (\ ln 3) = $ $ $$ = \ frac (18) (\ ln 3) - \ frac (5) (\ ln 3) - \ frac (3 ^ x) (\ ln ^ 2 3) \ bigg | _0 ^ 1 = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (3) (\ ln ^ 2 3) + \ frac (1) (\ ln ^ 2 3) = \ frac (13) (\ ln 3 ) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$

Պատասխանեք

$$ \ int \ limit_0 ^ 1 (x + 5) 3 ^ x dx = \ frac (13) (\ ln 3) - \ frac (4) (\ ln ^ 2 3) $$

Բարդ ինտեգրալներ

Այս հոդվածը լրացնում է անորոշ ինտեգրալների թեման և ներառում է այն ինտեգրալները, որոնք ես բավականին դժվարանում եմ: Դասը ստեղծվեց այցելուների կրկնվող խնդրանքներով, ովքեր հայտնեցին իրենց ցանկությունները, որ ավելի բարդ օրինակներ նույնպես վերլուծվեին կայքում:

Ենթադրվում է, որ այս տեքստի ընթերցողը լավ պատրաստված է և գիտի, թե ինչպես կիրառել ինտեգրման հիմնական տեխնիկան: Մարդիկ և մարդիկ, ովքեր այնքան էլ վստահ չեն ինտեգրալների մասին, պետք է անդրադառնան առաջին դասին ՝ Անորոշ ինտեգրալ: Լուծումների օրինակներ, որտեղ կարող եք գործնականում զրոյից տիրապետել թեմային: Ավելի փորձառու ուսանողները կարող են ծանոթանալ ինտեգրման տեխնիկային և մեթոդներին, որոնք դեռ չեն հանդիպել իմ հոդվածներում:

Ի՞նչ ինտեգրալներ են դիտարկվելու:

Նախ, մենք կդիտարկենք արմատներով ինտեգրալներ, որոնց լուծման համար մենք հաջորդաբար օգտագործում ենք փոփոխական փոխարինումեւ մասերի համակցում... Այսինքն, մեկ օրինակում միանգամից երկու տեխնիկա է համակցված: Եվ նույնիսկ ավելին:

Հետո կծանոթանանք մի հետաքրքիր ու օրիգինալ ինտեգրալն իր համար նվազեցնելու մեթոդը... Ոչ այնքան ինտեգրալներ են լուծվում այս կերպ:

Thirdրագրի երրորդ համարը կտրվի բարդ կոտորակների ինտեգրալներին, որոնք նախորդ հոդվածներում անցել են տոմսարկղերի կողքով:

Չորրորդ, կվերլուծվեն եռանկյունաչափական գործառույթների լրացուցիչ ինտեգրալներ: Մասնավորապես, կան մեթոդներ, որոնք խուսափում են ժամանակատար եռանկյունաչափական համընդհանուր փոխարինումից:

(2) Ինտեգրանում մենք համարիչը բաժանում ենք հայտարարի տերմինով տերմինի վրա:

(3) Մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծային հատկությունը: Վերջին ինտեգրալում ՝ անմիջապես գործառույթը բերում ենք դիֆերենցիալ նշանի տակ.

(4) Վերցրեք մնացած ինտեգրալները: Նկատի ունեցեք, որ փակագծերը կարող են օգտագործվել լոգարիթմում, այլ ոչ թե մոդուլում, քանի որ:

(5) Մենք իրականացնում ենք հակադարձ փոխարինում ՝ արտահայտելով «te» ուղղակի փոխարինումից.

Մազոխիստ ուսանողները կարող են տարբերակել պատասխանը և ստանալ սկզբնական ինտեգրանը, ինչպես ես պարզապես արեցի: Ոչ, ոչ, ես ստուգումն արել եմ ճիշտ իմաստով =)

Ինչպես տեսնում եք, լուծման ընթացքում անհրաժեշտ էր օգտագործել լուծման նույնիսկ ավելի քան երկու մեթոդ, ուստի նման ինտեգրալների հետ գործ ունենալու համար անհրաժեշտ են վստահ ինտեգրման հմտություններ և ոչ թե ամենափոքր փորձը:

Գործնականում, իհարկե, քառակուսի արմատն ավելի տարածված է, ահա անկախ լուծման երեք օրինակ.

Օրինակ 2

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 3

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 4

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Այս օրինակները նույն տիպի են, ուստի հոդվածի վերջում ամբողջական լուծումը կլինի միայն Օրինակ 2 -ի համար, 3-4 -րդ օրինակներում `մեկ պատասխան: Կարծում եմ, լուծումների սկզբում ինչ փոխարինում օգտագործել, ակնհայտ է: Ինչու՞ վերցրի նույն տիպի օրինակներ: Նրանք հաճախ հանդիպում են իրենց դերում: Ավելի հաճախ, գուցե, պարզապես նման բան .

Բայց ոչ միշտ, երբ գծային ֆունկցիայի արմատը գտնվում է եռանկյունաձև, սինուս, կոսինուս, ցուցիչ և այլ գործառույթների տակ, միանգամից մի քանի մեթոդ պետք է կիրառվի: Մի շարք դեպքերում հնարավոր է «հեշտությամբ իջնել», այսինքն ՝ փոխարինումից անմիջապես հետո ստացվում է պարզ ինտեգրալ, որը կարելի է տարրական եղանակով վերցնել: Վերոնշյալ առաջադրանքներից ամենահեշտը 4 -րդ օրինակն է, որում փոխարինելուց հետո ստացվում է համեմատաբար պարզ ինտեգրալ:

Ինտեգրալն իր մեջ նվազեցնելով

Հնարամիտ և գեղեցիկ մեթոդ: Եկեք անմիջապես նայենք ժանրի դասականներին.

Օրինակ 5

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Արմատի տակ կա քառակուսի երկհամանիշ, և երբ փորձում են ինտեգրել այս օրինակը, թեյնիկը կարող է ժամերով տառապել: Նման ինտեգրալը վերցվում է կտոր առ մաս և կրճատվում ինքն իրեն: Սկզբունքորեն, դժվար չէ: Եթե ​​գիտեք, թե ինչպես:

Եկեք լատինատառ նշենք քննարկվող ինտեգրալը և սկսենք լուծումը.

Մենք մաս առ մաս ինտեգրվում ենք.

(1) Պատրաստել ամբողջական բաժանման գործառույթ տերմինի բաժանման համար:

(2) Մենք ինտեգրանդը բաժանում ենք տերմինով: Թերևս բոլորը չեն հասկանում, ես ավելի մանրամասն կգրեմ.

(3) Մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծային հատկությունը:

(4) Վերցրեք վերջին ինտեգրալը («երկար» լոգարիթմ):

Այժմ մենք նայում ենք լուծման հենց սկզբին.

Եվ վերջում.

Ինչ է պատահել? Մեր մանիպուլյացիաների արդյունքում ինտեգրալը կրճատվեց ինքն իրեն:

Եկեք հավասարեցնենք սկիզբն ու վերջը.

Տեղափոխվեք ձախ ՝ նշանի փոփոխությամբ.

Եվ մենք տանում ենք աջ կողմը: Որպես արդյունք:

Անընդհատ, խստորեն ասած, պետք է ավելացվեր ավելի վաղ, բայց ավելացվեր վերջում: Ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս կարդալ այստեղ խիստը.

Նշում: Ավելի խիստ ՝ լուծման վերջին փուլն ունի հետևյալ տեսքը.

Այսպես.

Հաստատուն կարող է վերափոխվել որպես. Ինչու՞ կարող եք նորից նշանակել: Որովհետեւ դեռ ընդունում է ցանկացածարժեքները, և այս իմաստով տարբերություն չկա հաստատունների և.
Որպես արդյունք:

Նմանատիպ մշտական ​​վերափոխման հնարքը լայնորեն կիրառվում է դիֆերենցիալ հավասարումներ... Եվ այնտեղ ես խիստ կլինեմ: Եվ այստեղ այդպիսի ազատությունը թույլատրվում է իմ կողմից միայն ձեզ ավելորդ բաների հետ չշփոթեցնելու և ինտեգրման հենց մեթոդի վրա կենտրոնանալու համար:

Օրինակ 6

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Անկախ լուծման մեկ այլ բնորոշ ինտեգրալ: Ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում: Պատասխանի տարբերությունը նախորդ օրինակից կլինի!

Եթե ​​քառակուսի արմատի տակ կա քառակուսի եռանուն, ապա լուծումը ամեն դեպքում կրճատվում է երկու վերլուծված օրինակների:

Օրինակ, հաշվի առեք ինտեգրալը ... Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է անել, նախօրոք է ընտրել ամբողջական քառակուսին:
.
Հաջորդը, իրականացվում է գծային փոխարինում, որը բաժանվում է «առանց որևէ հետևանքի».
, որի արդյունքում կազմվում է ինտեգրալ: Ինչ -որ ծանոթ բան, այնպես չէ՞:

Կամ նման օրինակ ՝ քառակուսի երկհամարով.
Ընտրեք ամբողջական քառակուսին.
Եվ, գծային փոխարինումից հետո, մենք ստանում ենք ինտեգրալ, որը նույնպես լուծվում է արդեն դիտարկված ալգորիթմի համաձայն:

Մտածեք ևս երկու բնորոշ օրինակ, թե ինչպես կարելի է ինտեգրալն իր համար նվազեցնել.
- ցուցիչի ինտեգրալ ՝ սինուսով բազմապատկված.
- ցուցիչի ինտեգրալը բազմապատկած կոսինուսով:

Թվարկված ինտեգրալներում ըստ մասերի, մենք ստիպված կլինենք արդեն երկու անգամ ինտեգրվել.

Օրինակ 7

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Ինտեգրանդը սինուսի ժամանակներն են

Մենք երկու անգամ ինտեգրվում ենք մասերով և ինտեգրալը կրճատում ենք ինքն իրեն.

Մասերի կողմից կրկնակի ինտեգրման արդյունքում ինտեգրալը կրճատվեց ինքն իրեն: Եկեք լուծման սկիզբն ու վերջը հավասարեցնենք.

Տեղափոխվեք ձախ նշանի փոփոխությամբ և արտահայտեք մեր ինտեգրալը.

Պատրաստ է: Theանապարհին նպատակահարմար է սանրել աջ կողմը, այսինքն. դրեք ցուցիչը փակագծերից դուրս, իսկ փակագծերում դասավորեք սինուսն ու կոսինուսը «գեղեցիկ» կարգով:

Հիմա վերադառնանք օրինակի սկզբին, ավելի ճիշտ `մասերի ինտեգրմանը.

Որովհետև մենք նշանակել ենք ցուցադրողին: Հարց է ծագում ՝ ճի՞շտ է, որ ցուցիչը միշտ պետք է նշվի: Ոչ անհրաժեշտ. Փաստորեն, համարվող ինտեգրալում հիմնովին նշանակություն չունիԻնչի համար նշանակել, հնարավոր էր գնալ այլ ճանապարհով.

Ինչու՞ է դա հնարավոր: Քանի որ ցուցիչը վերածվում է իր (ինչպես տարբերակման, այնպես էլ ինտեգրման), սինուսն ու կոսինուսը փոխադարձաբար փոխակերպվում են միմյանց (կրկին ՝ թե՛ տարբերակման, թե՛ ինտեգրման):

Այսինքն, կարող եք նաև նշանակել եռանկյունաչափական գործառույթ: Բայց դիտարկված օրինակում սա ավելի քիչ ռացիոնալ է, քանի որ կոտորակներ կհայտնվեն: Wishանկության դեպքում կարող եք փորձել լուծել այս օրինակը երկրորդ եղանակով, պատասխանները պետք է լինեն նույնը:

Օրինակ 8

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար: Որոշում կայացնելուց առաջ մտածեք այն մասին, թե այս դեպքում ո՞րն է ավելի շահավետ նշանակել `ցուցիչ կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիա: Ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում:

Եվ, իհարկե, մի մոռացեք, որ այս դասի պատասխանների մեծ մասը բավականին հեշտ է տարբերակել:

Օրինակները համարվում էին ոչ թե ամենադժվարը: Գործնականում ինտեգրալներն ավելի տարածված են, երբ հաստատունը գտնվում է ինչպես եռանկյունաչափական ֆունկցիայի ցուցիչի, այնպես էլ փաստարկի մեջ, օրինակ. Շատերը ստիպված կլինեն մոլորվել նման ինտեգրալի մեջ, իսկ ես ինքս հաճախ շփոթվում եմ: Փաստն այն է, որ լուծման մեջ կոտորակների առաջացման մեծ հավանականություն կա, և աննկատությամբ ինչ -որ բան կորցնելը շատ հեշտ է: Բացի այդ, նշանների մեջ սխալի մեծ հավանականություն կա, նշեք, որ ցուցիչն ունի մինուս նշան, և դա լրացուցիչ դժվարություն է բերում:

Վերջնական փուլում հաճախ ստացվում է հետևյալը.

Նույնիսկ լուծման վերջում դուք պետք է չափազանց զգույշ լինեք և գրագետ զբաղվեք կոտորակների հետ.

Բարդ կոտորակների ինտեգրում

Մենք կամաց -կամաց մոտենում ենք դասի հասարակածին և սկսում կոտորակների ինտեգրալներ համարել: Կրկին, ոչ բոլորն են չափազանց բարդ, պարզապես այս կամ այն ​​պատճառով օրինակները մի փոքր «թեմայից դուրս» էին այլ հոդվածներում:

Շարունակելով արմատների թեման

Օրինակ 9

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Արմատի տակ հայտարարի մեջ քառակուսի եռանուն գումարած է ՝ «հավելում» արմատից դուրս ՝ «x» տեսքով: Այս տեսակի ինտեգրալը լուծվում է ստանդարտ փոխարինման միջոցով:

Մենք որոշում ենք.

Փոխարինումը պարզ է.

Մենք կյանքին նայում ենք փոխարինումից հետո.

(1) Փոխարինումից հետո մենք արմատների տակ գտնվող պայմանները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի:
(2) Մենք հանում ենք արմատի տակից:
(3) Համարը և հայտարարը նվազեցրեք ըստ: Միևնույն ժամանակ, արմատից ներքև, ես պայմանները վերադասավորեցի հարմար հերթականությամբ: Որոշ փորձի դեպքում (1), (2) քայլերը կարող են բաց թողնվել ՝ մեկնաբանված գործողությունները բանավոր կատարելով:
(4) Ստացված ինտեգրալը, ինչպես հիշում եք դասից Որոշ կոտորակների ինտեգրում, լուծված լրիվ քառակուսի ընտրության մեթոդը... Ընտրեք ամբողջական քառակուսի:
(5) Ինտեգրմամբ մենք ստանում ենք սովորական «երկար» լոգարիթմ:
(6) Մենք իրականացնում ենք հակառակ փոխարինում: Եթե ​​սկզբում, ապա հետ.
(7) Վերջնական գործողությունն ուղղված է արդյունքի սանրվածքին. Արմատի տակ մենք կրկին բերում ենք պայմանները ընդհանուր հայտարարի և հանում դրանք արմատից:

Օրինակ 10

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար: Այստեղ հաստատուն է ավելացվել միայնակ X- ին, և փոխարինումը գրեթե նույնն է.

Միակ բանը, որ պետք է լրացուցիչ անել, փոխարինումից «x» արտահայտելն է.

Ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում:

Երբեմն նման ինտեգրալում կարող է արմատի տակ լինել քառակուսի երկվանի, սա չի փոխում լուծումը, այն նույնիսկ ավելի պարզ կլինի: Feգացեք տարբերությունը.

Օրինակ 11

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 12

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Հակիրճ լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում: Պետք է նշել, որ օրինակ 11 -ը հենց այդպես է երկակի ինտեգրալ, որի լուծման մեթոդը դիտարկվեց դասում Իռացիոնալ գործառույթների ինտեգրալներ.

Աստիճան 2 -ի անբաժանելի բազմանդամի ինտեգրալ

(բազմանդամը հայտարարի մեջ)

Ավելի հազվագյուտ, բայց, այնուամենայնիվ, գործնական օրինակներում հանդիպում ենք ինտեգրալի ձևին:

Օրինակ 13

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Բայց վերադառնանք բախտավոր 13 թվով օրինակին (անկեղծ ասած, ճիշտ չէի կռահում): Այս ինտեգրալը նաև այն կատեգորիայի մեջ է, որի հետ դուք կարող եք բավականին տանջել ինքներդ ձեզ, եթե չգիտեք, թե ինչպես լուծել այն:

Լուծումը սկսվում է արհեստական ​​վերափոխումից.

Կարծում եմ, բոլորն արդեն հասկանում են, թե ինչպես կարելի է համարիչը բաժանել հայտարարի տերմինի վրա տերմինի:

Ստացված ինտեգրալը վերցվում է մաս առ մաս.

Ձևի անբաժանելի մասի համար (բնական թիվ է), մենք ստացել ենք կրկնվողԱստիճանի նվազեցման բանաձև.
, որտեղ - ցածր աստիճանի ինտեգրալ:

Եկեք ստուգենք լուծված ինտեգրալի այս բանաձևի վավերականությունը:
Այս դեպքում մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ինչպես տեսնում եք, պատասխանները նույնն են:

Օրինակ 14

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար: Նմուշի լուծույթը երկու անգամ անընդմեջ օգտագործում է վերը նշված բանաձևը:

Եթե ​​աստիճանի տակ կա անլուծելիքառակուսի եռյակ, ապա լուծումը կրճատվում է երկակի անվանման ՝ ընտրելով ամբողջական քառակուսին, օրինակ.

Ի՞նչ կլինի, եթե համարիչում լինի լրացուցիչ բազմանդամ: Այս դեպքում օգտագործվում է չսահմանված գործակիցների մեթոդը, և ինտեգրանդն ընդլայնվում է կոտորակների գումարի մեջ: Բայց նման օրինակի իմ պրակտիկայում երբեք չի հանդիպել, այնպես որ ես այս գործը շրջանցեցի հոդվածում Կոտորակային ռացիոնալ գործառույթի ինտեգրալներ, Ես հիմա բաց կթողնեմ: Եթե ​​այդպիսի ինտեգրալ դեռ կա, տես դասագիրքը. Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է: Ես տեղին չեմ համարում նյութեր (նույնիսկ պարզ) ներառելը, որոնց հետ հանդիպման հավանականությունը զրոյի է ձգտում:

Բարդ եռանկյունաչափական գործառույթների ինտեգրում

Օրինակների մեծ մասի համար «դժվար» ածականը կրկին հիմնականում պայմանական է: Սկսենք բարձր աստիճանի շոշափողներից և կողակիցներից: Տանգենցի և կոտանգենտի լուծման համար օգտագործվող մեթոդների տեսանկյունից դրանք գրեթե նույնն են, ուստի ես ավելի շատ կխոսեմ տանգենտի մասին ՝ ենթադրելով, որ ինտեգրալի լուծման ցուցադրված մեթոդը գործում է նաև զուգընթաց նյութի համար:

Վերոնշյալ դասում մենք նայեցինք ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինումեռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշակի տեսակի ինտեգրալների լուծման համար: Եռանկյունաչափական ունիվերսալ փոխարինման թերությունն այն է, որ այն օգտագործելիս հաճախ առաջանում են դժվարին հաշվարկներով ծանր ինտեգրալներ: Եվ որոշ դեպքերում կարելի է խուսափել ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինումից:

Քննենք մեկ այլ կանոնական օրինակ ՝ սինուսով բաժանված միասնության ինտեգրալը.

Օրինակ 17

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Այստեղ դուք կարող եք օգտագործել ընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինում և ստանալ պատասխանը, բայց կա ավելի ռացիոնալ միջոց: Ես կտրամադրեմ ամբողջական լուծում ՝ յուրաքանչյուր քայլի համար մեկնաբանություններով.

(1) Մենք օգտագործում ենք երկակի անկյան սինուս եռանկյունաչափական բանաձևը:
(2) Մենք իրականացնում ենք արհեստական ​​կերպարանափոխություն. Հայտարարի մեջ բաժանիր և բազմապատկիր:
(3) Ըստ հայտարարի հայտնի բանաձևի ՝ մենք կոտորակը վերածում ենք շոշափողի:
(4) Մենք ֆունկցիան բերում ենք դիֆերենցիալի նշանի տակ:
(5) Վերցրեք ինտեգրալը:

Անկախ լուծման մի քանի պարզ օրինակ.

Օրինակ 18

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Նշում. Առաջին քայլը ձուլման բանաձևն օգտագործելն է և ուշադիր իրականացնել նախորդ օրինակի նման գործողությունները:

Օրինակ 19

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Դե, սա շատ պարզ օրինակ է:

Լրացրեք լուծումները և պատասխանները դասի ավարտին:

Կարծում եմ, որ այժմ ոչ ոք խնդիրներ չի ունենա ինտեգրալների հետ.
եւ այլն

Ո՞րն է մեթոդի հիմքում ընկած գաղափարը: Գաղափարը կայանում է նրանում, որ ինտեգրանում կազմակերպվում են միայն շոշափուկներն ու տանգենցի ածանցյալը ՝ օգտագործելով փոխակերպումներ, եռանկյունաչափական բանաձևեր: Այսինքն, մենք խոսում ենք փոխարինելու մասին. ... Օրինակներ 17-19 -ում մենք իրականում կիրառում էինք այս փոխարինումը, բայց ինտեգրալներն այնքան պարզ էին, որ հարցը դիտարկվում էր համարժեք գործողությամբ `գործառույթը դիֆերենցիալ նշանի տակ բերելով:

Նմանատիպ պատճառաբանությունը, ինչպես արդեն նշեցի, կարող է իրականացվել կոթանգենտի համար:

Կա նաև վերը նշված փոխարինումը կիրառելու պաշտոնական նախադրյալ.

Կոսինուսի և սինուսի լիազորությունների գումարը բացասական ամբողջ ԱՆԳԱՄ թիվ է, օրինակ:

ինտեգրալի համար `բացասական ամբողջ ԱENԵՎԻ համար:

! Նշում .

Այս կանոնի համար հաշվի առեք մի քանի ավելի իմաստալից առաջադրանքներ.

Օրինակ 20

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սինուսի և կոսինուսի ուժերի գումարը ՝ 2 - 6 = –4 բացասական ամբողջ ԱENԵՎ թիվ է, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրալը կարող է կրճատվել շոշափումների և դրա ածանցյալի.

(1) Փոխակերպի՛ր հայտարարը:
(2) Ըստ հայտնի բանաձևի, մենք ստանում ենք.
(3) Փոխակերպել հայտարարը:
(4) Մենք օգտագործում ենք բանաձևը .
(5) Մենք ֆունկցիան բերում ենք դիֆերենցիալի նշանի տակ:
(6) Մենք իրականացնում ենք փոխարինում: Ավելի փորձառու ուսանողները կարող են չփոխարինել, բայց միևնույն է, ավելի լավ է շոշափողը փոխարինել մեկ տառով `շփոթության ավելի քիչ վտանգ կա:

Օրինակ 21

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար:

Սպասեք, չեմպիոնական փուլերը սկսվում են =)

Հաճախ ինտեգրանում կա «խաբեբա».

Օրինակ 22

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Այս ինտեգրալն ի սկզբանե պարունակում է շոշափող, որն անմիջապես հուշում է արդեն ծանոթ մտքին.

Արհեստական ​​վերափոխում հենց սկզբում, իսկ մնացած քայլերը թողնում եմ առանց մեկնաբանության, քանի որ ամեն ինչ արդեն քննարկվել է վերևում:

Ինքնորոշման մի քանի ստեղծագործական օրինակ.

Օրինակ 23

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 24

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Այո, դրանցում, իհարկե, կարող եք իջեցնել սինուսի, կոսինուսի աստիճանները, օգտագործել ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինումը, սակայն լուծումը շատ ավելի արդյունավետ և կարճ կլինի, եթե այն իրականացվի շոշափումների միջոցով: Ամբողջական լուծում և պատասխաններ դասի վերջում

Ի՞նչ է ինտեգրումը ըստ մասերի: Այս տեսակի ինտեգրմանը տիրապետելու համար եկեք նախ հիշենք արտադրանքի ածանցյալը.

$ ((\ ձախ (f \ cdot g \ աջ)) ^ (\ վարչապետ)) = (f) "\ cdot g + f \ cdot (g)" $

Հարցը հետևյալն է. Լավ, իսկ ինտեգրալներն ի՞նչ կապ ունեն դրա հետ: Այժմ եկեք ինտեգրենք այս հավասարման երկու կողմերը: Այսպիսով, մենք գրում ենք.

$ \ int (((\ \ ձախ (f \ cdot g \ աջ)) ^ (\ վարչապետ)) \ տեքստ (դ) x =) \ int ((զ) "\ cdot g \, \ տեքստ (դ) x + \ int (f \ cdot (g) "\, \ text (d) x)) $

Բայց ո՞րն է ինսուլտի պրիմիտիվը: Դա պարզապես ինքնին գործառույթն է, որը գտնվում է ինսուլտի ներսում: Այսպիսով, մենք գրում ենք.

$ f \ cdot g = \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x + \ int (f \ cdot (g)" \, \ text (d) x)) $

Այս հավասարման մեջ ես առաջարկում եմ արտահայտել տերմինը: Մենք ունենք:

$ \ int ((f) "\ cdot g \, \ text (d) x = f \ cdot g- \ int (f \ cdot (g)" \, \ text (d) x)) $

Ահա թե ինչ է դա ինտեգրում ըստ մասերի բանաձևի... Այսպիսով, մենք էապես փոխում ենք ածանցյալը և գործառույթը: Եթե ​​սկզբում մենք ունեինք նախնականի ինտեգրալը բազմապատկված ինչ -որ բանով, ապա ստանում ենք նոր բանի ինտեգրալը ՝ բազմապատկած պարզով: Դա ամբողջ կանոնն է: Առաջին հայացքից այս բանաձևը կարող է բարդ և անիմաստ թվալ, բայց, ըստ էության, այն կարող է մեծապես պարզեցնել հաշվարկները: Տեսնենք:

Ինտեգրալների հաշվարկման օրինակներ

Խնդիր 1. Հաշվիր.

\ [\ int (\ ln x \, \ text (d) x) \] \ [\]

Եկեք վերաշարադրենք արտահայտությունը ՝ լոգարիթմ 1 -ից առաջ ավելացնելով.

\ [\ int (\ ln x \, \ text (d) x) = \ int (1 \ cdot \ ln x \, \ text (d) x) \]

Մենք իրավունք ունենք դա անել, քանի որ ոչ թիվը, ոչ գործառույթը չեն փոխվի: Հիմա այս արտահայտությունը համեմատենք բանաձևով գրվածի հետ: $ (F) "$ -ի դերը 1 է, ուստի գրում ենք.

$ \ begin (align) & (f) "= 1 \ Rightarrow f = x \\ & g = \ ln x \ Rightarrow (g)" = \ frac (1) (x) \\\ վերջ (հավասարեցնել) $

Այս բոլոր գործառույթները ներկայացված են աղյուսակներում: Այժմ, երբ մենք նկարագրել ենք բոլոր այն տարրերը, որոնք ներառված են մեր արտահայտության մեջ, մենք կգրենք այս ինտեգրալը ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևի.

\ [\ սկսել (հավասարեցնել) & \ int (1 \ cdot \ ln x \, \ տեքստ (դ) x) = x \ ln x- \ int (x \ cdot \ frac (1) (x) \ տեքստ (դ ) x) = x \ ln x- \ int (\ տեքստ (d) x) = \\ & = x \ ln xx + C = x \ ձախ (\ ln x-1 \ աջ) + C \\\ վերջ ( շարել) \]

Ամեն ինչ, ինտեգրալը գտնված է:

Խնդիր 2. Հաշվիր.

$ \ int (x ((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \, \ տեքստ (դ) x = \ int (x \ cdot ((ե) ^ (- x)) \, \ տեքստ (դ ) x)) $

Եթե ​​ածանցյալի դերում, որից մենք պետք է գտնենք հակաարտադրողը, վերցնում ենք $ x $, ապա ստանում ենք $ ((x) ^ (2)) $, իսկ վերջնական արտահայտությունը կպարունակի $ ((x) ^ (2)) ((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) $:

Ակնհայտ է, որ խնդիրը պարզեցված չէ, ուստի մենք գործոնները փոխանակելու ենք անբաժանելի նշանի տակ.

$ \ int (x \ cdot ((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \, \ տեքստ (դ) x) = \ int (((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \ cdot x \, \ տեքստ (դ) x) $

Եվ հիմա մենք ներկայացնում ենք նշումը.

$ (f) "= ((\ \ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \ Rightarrow f = \ int (((\ \ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \, \ տեքստ (դ) x) = - ((\ տեքստ (ե)) ^ ( - x)) $

Տարբերակել $ ((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) $:

$ ((\ ձախ (((\ (տեքստ (ե)) ^ ^ (- x)) \ աջ)) ^ (\ հիմնական)) = ((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \ cdot ((\ ձախ (-x \ աջ)) ^ (\ հիմնական)) =- ((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) $

Այլ կերպ ասած, սկզբում ավելացվում է մինուս, իսկ հետո երկու կողմերն էլ ինտեգրվում են.

\ [\ սկսել (հավասարեցնել) & ((\ ձախ ((\ (տեքստ (ե)) ^ (- x)) \ աջ)) ^ (\ հիմնական)) =- ((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \ Rightarrow ((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) =- ((\ \ ձախ ((\ (տեքստ (ե)) ^ (- x)) \ աջ)) ^ (\ հիմնական)) \\ & \ int (((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \, \ տեքստ (դ) x) =- \ int (((\ \ ձախ ((\ \ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \ աջ)) ^ (\ վարչապետ)) \ տեքստ (դ) x) = - ((\ \ տեքստ (ե)) ^ ( - x)) + C \\\ վերջ (հավասարեցնել) \]

Այժմ եկեք զբաղվենք $ g $ գործառույթով.

$ g = x \ Rightarrow (g) "= 1 $

Մենք համարում ենք ինտեգրալը.

$ \ begin (align) & \ int (((\ \ text (e)) ^ (- x)) \ cdot x \, \ text (d) x) = x \ cdot \ left (- ((\ տեքստ (ե )) ^ (- x)) \ աջ)- \ int (\ ձախ (- ((\ (տեքստ (ե)) ^ ^ (- x)) \ աջ) \ cdot 1 \ cdot \ տեքստ (դ) x) = \ \ & = -x ((\ տեքստ (ե)) ^ ( - x)) + \ int (((\ \ տեքստ (ե)) ^ ( - x)) \, \ տեքստ (դ) x) = - x ( (\ տեքստ (ե)) ^ (- x))- ((\ տեքստ (ե)) ^ (- x)) + C =- ((\ \ տեքստ (ե)) ^ (- x)) \ ձախ (x +1 \ աջ) + C \\\ վերջ (հավասարեցնել) $

Այսպիսով, մենք կատարել ենք երկրորդ ինտեգրումը մասերով:

Խնդիր 3. Հաշվիր.

$ \ int (x \ cos 3x \, \ տեքստ (դ) x) $

Ի՞նչ է այս դեպքում վերցվում $ (f) "$ - ով, իսկ ինչը $ g $ - ով: Եթե $ x $ - ը ածանցյալ է, ապա $ \ frac (((x) ^ (2))) (2) $, և առաջին գործոնը ոչ մի տեղ չի վերանա. դա կլինի $ \ frac (((x) ^ (2))) (2) \ cdot \ cos 3x $: Հետևաբար, մենք նորից կփոխենք բազմապատկիչները.

$ \ begin (align) & \ int (x \ cos 3x \, \ text (d) x) = \ int (\ cos 3x \ cdot x \, \ text (d) x) \\ & (f) "= \ cos 3x \ Rightarrow f = \ int (\ cos 3x \, \ text (d) x) = \ frac (\ sin 3x) (3) \\ & g = x \ Rightarrow (g) "= 1 \\\ վերջ (հավասարեցնել) $

Մենք վերաշարադրում ենք մեր սկզբնական արտահայտությունը և ընդլայնում այն ​​ըստ ինտեգրման բանաձևի ՝ ըստ մասերի.

\ [\ սկսել (հավասարեցնել) & \ int (\ cos 3x \ cdot x \ \ text (d) x) = \ frac (\ sin 3x) (3) \ cdot x- \ int (\ frac (\ sin 3x) (3) \ text (d) x) = \\ & = \ frac (x \ sin 3x) (3) - \ frac (1) (3) \ int (\ sin 3x \, \ text (d) x) = \ frac (x \ sin 3x) (3) + \ frac (\ cos 3x) (9) + C \\\ վերջ (հավասարեցնել) \]

Վերջ, երրորդ խնդիրը լուծված է:

Եզրափակելով, նորից նայեք ինտեգրում ըստ մասերի բանաձևի... Ինչպե՞ս ենք ընտրում, թե որ գործոնը կլինի ածանցյալը և որն է իրական գործառույթը: Այստեղ կա միայն մեկ չափանիշ. Այն տարրը, որը մենք կտարբերենք, կամ պետք է տա ​​«գեղեցիկ» արտահայտություն, որն այնուհետև կնվազի, կամ ընդհանրապես անհետանա տարբերակման ընթացքում: Սա ավարտում է դասը:

Ինտեգրում ըստ մասերի: Լուծումների օրինակներ

Կրկին ողջույն. Այսօր դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես ինտեգրվել մասերի: Ըստ մասերի ինտեգրումը ինտեգրալ հաշվարկի հիմնաքարերից մեկն է: Թեստի, քննության ժամանակ ուսանողին գրեթե միշտ խնդրում են լուծել հետևյալ տեսակների ինտեգրալները. Ամենապարզ ինտեգրալը (տես հոդվածը)կամ փոփոխականի փոփոխության ինտեգրալը (տես հոդվածը)կամ ինտեգրալը պարզապես միացված է մասերի ինտեգրման մեթոդը.

Ինչպես միշտ, դուք պետք է ձեռքի տակ ունենաք. Ինտեգրալ սեղանեւ Ածանցյալների աղյուսակ... Եթե ​​դրանք դեռ չունեք, ապա այցելեք իմ կայքի պահեստ ՝ Մաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներ... Ես չեմ հոգնի կրկնելուց, ավելի լավ է տպել ամեն ինչ: Ես կփորձեմ ամբողջ նյութը ներկայացնել հետևողականորեն, պարզ և հեշտ, մասերի ինտեգրման մեջ հատուկ դժվարություններ չկան:

Ի՞նչ խնդիր է լուծում մասերի ինտեգրման մեթոդը: Մասերի կողմից ինտեգրման մեթոդը լուծում է շատ կարևոր խնդիր, այն թույլ է տալիս ինտեգրվել աղյուսակում բացակայող որոշ գործառույթներ, աշխատանքգործառույթները, իսկ որոշ դեպքերում `և գործակիցը: Ինչպես հիշում ենք, չկա հարմար բանաձև. ... Բայց կա սա. - անձամբ մասերի ինտեգրման բանաձևը: Գիտեմ, գիտեմ, դու միակն ես. Մենք նրա հետ կաշխատենք ամբողջ դասի ընթացքում (դա արդեն ավելի հեշտ է):

Եվ անմիջապես ցուցակը ստուդիայում: Հետևյալ տեսակների ինտեգրալները վերցված են ըստ մասերի.

1) , , - լոգարիթմ, լոգարիթմ, բազմապատկված որոշ բազմանդամներով:

2) ,- ցուցիչ ֆունկցիա, որը բազմապատկվում է որոշ բազմանդամներով: Սա կարող է ներառել նաև այնպիսի ինտեգրալներ, ինչպիսիք են `ցուցիչ ֆունկցիան բազմապատկված բազմանդամով, բայց գործնականում տոկոսը նման է 97 -ի, ինտեգրալի տակ կա գեղեցիկ« է »տառը: ... հոդվածը լիրիկական բան է ստացվում, այո ... գարունը եկել է:

3) , , - եռանկյունաչափական ֆունկցիաները բազմապատկած որոշ բազմանդամներով:

4), - հակադարձ եռանկյունաչափական գործառույթներ («կամարներ»), «կամարներ» ՝ բազմապատկված որոշ բազմանդամներով:

Բացի այդ, որոշ կոտորակներ վերցված են մաս -մաս, մենք նաև մանրամասն կքննարկենք համապատասխան օրինակները:

Լոգարիթմների ինտեգրալներ

Օրինակ 1

Դասական: Integամանակ առ ժամանակ այս ինտեգրալը կարելի է գտնել աղյուսակներում, բայց անցանկալի է օգտագործել պատրաստի պատասխանը, քանի որ ուսուցիչն ունի գարնանային վիտամինի անբավարարություն, և նա կտրականապես երդվում է: Քանի որ քննարկվող ինտեգրալը ոչ մի դեպքում աղյուսակային չէ. Այն վերցվում է մաս առ մաս: Մենք որոշում ենք.

Մենք ընդհատում ենք լուծումը միջանկյալ բացատրությունների համար:

Մենք օգտագործում ենք ինտեգրման բանաձևը ըստ մասերի.

Բանաձևը կիրառվում է ձախից աջ

Մենք նայում ենք ձախ կողմին. Ակնհայտ է, որ մեր օրինակում (և մյուս բոլորում, որոնք մենք կքննարկենք), ինչ -որ բան պետք է նշվի և ինչ -որ մեկի համար:

Քննարկվող տեսակի ինտեգրալներում for- ը միշտ նշվում է որպես լոգարիթմ:

Տեխնիկապես լուծման ձևավորումն իրականացվում է հետևյալ կերպ, սյունակում մենք գրում ենք.

Այսինքն, քանի որ մենք նշեցինք լոգարիթմը, իսկ - մնացած մասըինտեգրանդ արտահայտություն:

Հաջորդ քայլը ՝ գտեք դիֆերենցիալը.

Դիֆերենցիալը գրեթե նույնն է, ինչ ածանցյալը, ինչպես գտնել այն, մենք արդեն վերլուծել ենք նախորդ դասերում:

Այժմ մենք գտնում ենք գործառույթը: Ֆունկցիան գտնելու համար անհրաժեշտ է ինտեգրվել աջ կողմավելի ցածր հավասարություն.

Այժմ մենք բացում ենք մեր լուծումը և կառուցում ենք բանաձևի աջ կողմը.
Ի դեպ, ահա մաքուր լուծույթի նմուշ ՝ մի քանի նշումով.

Արտադրանքի միակ պահը ես անմիջապես վերադասավորեցի տեղերում և, քանի որ ընդունված է բազմապատկիչը գրել լոգարիթմից առաջ:

Ինչպես տեսնում եք, ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևի կիրառումը, ըստ էության, մեր լուծումը հասցրեց երկու պարզ ինտեգրալների:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ որոշ դեպքերում անմիջապես հետոբանաձևի կիրառումը, մնացած ինտեգրալի ներքո, անպայման կատարվում է պարզեցում. դիտարկվող օրինակում մենք ինտեգրանը կրճատել ենք «x» - ով:

Եկեք ստուգենք: Դա անելու համար հարկավոր է վերցնել պատասխանի ածանցյալը.

Ստացվում է սկզբնական ինտերգրենդ, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրալը ճիշտ է լուծված:

Ստուգման ընթացքում մենք օգտագործեցինք արտադրանքի տարբերակման կանոնը. ... Եվ սա պատահական չէ:

Ինտեգրում ըստ մասերի բանաձևի և բանաձևը Երկու փոխադարձ հակադարձ կանոններ են:

Օրինակ 2

Գտեք անորոշ ինտեգրալը:

Ինտեգրանը լոգարիթմի արտադրյալն է բազմանդամի կողմից:
Մենք ենք որոշում.

Մեկ անգամ ևս մանրամասն կներկայացնեմ կանոնը կիրառելու կարգը, հետագայում օրինակները ավելի հակիրճ կներկայացվեն, և եթե ինքներդ լուծելու դժվարություններ ունեք, ապա պետք է վերադառնաք առաջին երկու օրինակներին: դաս.

Ինչպես արդեն նշվեց, անհրաժեշտ է լոգարիթմ նշանակել դրա համար (կարևոր չէ այն, որ այն իշխանության մեջ է): Նշանակման համար մնացած մասըինտեգրանդ արտահայտություն:

Սյունակում գրում ենք.

Նախ, մենք գտնում ենք դիֆերենցիալը.

Այստեղ օգտագործվում է բարդ գործառույթի տարբերակման կանոնը ... Պատահական չէ, թեմայի հենց առաջին դասին Անորոշ ինտեգրալ: Լուծումների օրինակներԵս ուշադրություն հրավիրեցի այն փաստի վրա, որ ինտեգրալներին տիրապետելու համար անհրաժեշտ է ածանցյալների վրա «բռնակ ստանալ»: Ածանցյալներով պետք է զբաղվել մեկից ավելի անգամ:

Այժմ մենք գտնում ենք գործառույթը, դրա համար մենք ինտեգրվում ենք աջ կողմավելի ցածր հավասարություն.

Ինտեգրման համար մենք կիրառեցինք ամենապարզ աղյուսակային բանաձևը

Այժմ ամեն ինչ պատրաստ է բանաձևը կիրառելու համար: ... Բացեք այն աստղանիշով և «կառուցեք» լուծումը ՝ աջ կողմին համապատասխան.

Ինտեգրալի տակ մենք կրկին ունենք լոգարիթմ բազմանդամ: Հետեւաբար, լուծումը կրկին ընդհատվում է, եւ մասերի միջոցով ինտեգրման կանոնը կիրառվում է երկրորդ անգամ: Մի մոռացեք, որ նմանատիպ իրավիճակներում լոգարիթմը միշտ նշվում է:

Լավ կլիներ, եթե այս պահին բանավոր կերպով գտնեիք ամենապարզ ինտեգրալներն ու ածանցյալները:

(1) Մի շփոթվեք նշանների մեջ: Շատ հաճախ նրանք այստեղ կորցնում են մինուսը, նշեք նաև, որ մինուսը վերաբերում է բոլորինփակագծեր , և այդ փակագծերը պետք է ճիշտ ընդլայնել:

(2) Ընդլայնել փակագծերը: Մենք պարզեցնում ենք վերջին ինտեգրալը:

(3) Մենք վերցնում ենք վերջին ինտեգրալը:

(4) Պատասխանը «սանրել»:

Մասերի (կամ նույնիսկ երեք անգամ) ինտեգրման կանոնը կիրառելու անհրաժեշտությունը այնքան էլ հազվադեպ չէ:

Եվ հիմա մի քանի օրինակ ՝ անկախ լուծման համար.

Օրինակ 3

Գտեք անորոշ ինտեգրալը:

Այս օրինակը լուծվում է փոփոխականը փոխելով (կամ ամփոփելով դիֆերենցիալ նշանի տակ): Եվ ինչու ոչ, կարող եք փորձել մաս -մաս վերցնել, զվարճալի բան եք ստանում:

Օրինակ 4

Գտեք անորոշ ինտեգրալը:

Բայց այս ինտեգրալն ինտեգրված է մասերով (խոստացված կոտորակը):

Սրանք ինքնօգնության օրինակներ են, լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում:

Թվում է, թե 3,4 օրինակներում ինտեգրանդները նման են, բայց լուծման մեթոդները տարբեր են: Սա ինտեգրալներին տիրապետելու հիմնական դժվարությունն է. Եթե դուք ընտրում եք ինտեգրալը լուծելու սխալ մեթոդը, ապա կարող եք ժամերով շոշափել այն, ինչպես իսկական գլուխկոտրուկի հետ: Հետևաբար, որքան շատ լուծես տարբեր ինտեգրալներ, այնքան լավ, այնքան ավելի հեշտ կհանձնվեն թեստերն ու քննությունները: Բացի այդ, երկրորդ տարում կլինեն դիֆերենցիալ հավասարումներ, և այնտեղ անելիք չկա ՝ առանց ինտեգրալների և ածանցյալների լուծման փորձի:

Լոգարիթմների առումով, թերևս, ավելի քան բավարար: Խորտիկի համար ես կարող եմ նաև հիշել, որ տեխնիկայի ուսանողները կանացի կրծքեր են անվանում =): Ի դեպ, օգտակար է անգիր իմանալ հիմնական տարրական գործառույթների գրաֆիկները `սինուս, կոսինուս, արկտանգենտ, ցուցիչ, երրորդ, չորրորդ աստիճանի բազմանդամներ և այլն: Ոչ, իհարկե, պահպանակ աշխարհում
Չեմ ձգվի, բայց հիմա շատ բան կհիշես հատվածից Գրաֆիկներ և գործառույթներ =).

Expուցանիշի ինտեգրալներ բազմապատկած բազմանդամով

Ընդհանուր կանոն.

Օրինակ 5

Գտեք անորոշ ինտեգրալը:

Օգտագործելով ծանոթ ալգորիթմ, մենք ինտեգրվում ենք ըստ մասերի.

Եթե ​​ինտեգրալի հետ կապված որևէ դժվարություն ունեք, ապա պետք է վերադառնաք հոդվածին Փոփոխական փոփոխման եղանակ անորոշ ինտեգրալում.

Միակ բանը, որ կարող ես անել, պատասխանը «սանրելն է».

Բայց եթե ձեր հաշվողական տեխնիկան այնքան էլ լավը չէ, ապա ամենաեկամտաբեր տարբերակը պատասխանը թողնելն է կամ նույնիսկ

Այսինքն, օրինակը համարվում է լուծված, երբ վերցվում է վերջին ինտեգրալը: Դա սխալ չի լինի, այլ հարց է, որ ուսուցիչը կարող է խնդրել պարզեցնել պատասխանը:

Օրինակ 6

Գտեք անորոշ ինտեգրալը:

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար: Այս ինտեգրալը երկու անգամ ինտեգրված է մասերով: Հատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել նշաններին. Այստեղ նրանց մեջ հեշտ է շփոթվել, մենք նաև հիշում ենք, որ դա բարդ գործառույթ է:

Moreուցադրողի մասին ավելին ասելու բան չկա: Կարող եմ միայն ավելացնել, որ ցուցիչն ու բնական լոգարիթմը փոխադարձ հակադարձ գործառույթներ են, սա ինձ համար բարձրագույն մաթեմատիկայի զվարճալի գրաֆիկների թեմայի համար =) Stop-stop, անհանգստացեք, դասախոսը սթափ է:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալները բազմապատկած բազմանդամով

Ընդհանուր կանոն. քանզի միշտ նշանակում է բազմանդամը

Օրինակ 7

Գտեք անորոշ ինտեգրալը:

Մենք մաս առ մաս ինտեգրվում ենք.

Հմմմ ... և մեկնաբանելու բան չկա:

Օրինակ 8

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար

Օրինակ 9

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Մեկ այլ օրինակ ՝ կոտորակով: Ինչպես և նախորդ երկու օրինակներում, բազմանդամը նշվում է.

Մենք մաս առ մաս ինտեգրվում ենք.

Եթե ​​դուք ունեք որևէ դժվարություն կամ թյուրըմբռնում ինտեգրալ գտնելու հարցում, ապա խորհուրդ եմ տալիս այցելել դասին Եռանկյունաչափական գործառույթների ինտեգրալներ.

Օրինակ 10

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար:

Հուշում. Մասերի մեթոդով ինտեգրումն օգտագործելուց առաջ դուք պետք է կիրառեք մի եռանկյունաչափական բանաձև, որը երկու եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալը վերածում է մեկ գործառույթի: Բանաձևը կարող է օգտագործվել նաև մասերի միջոցով ինտեգրման մեթոդի կիրառման ընթացքում, քանի որ այն ավելի հարմար է յուրաքանչյուրի համար:

Դա, թերևս, այս պարբերության մեջ է: Չգիտես ինչու, ես հիշեցի ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի օրհներգի տողը «Ալիքը ալիքի հետևից անցնում է սինուսային գրաֆիկի աբսցիսայի երկայնքով» ...

Հակադարձ եռանկյունաչափական գործառույթների ինտեգրալներ:
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալներ բազմապատկած բազմանդամով

Ընդհանուր կանոն. քանզի միշտ նշանակում է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիա.

Հիշեցնեմ, որ հակադարձ եռանկյունաչափական գործառույթները ներառում են աղին, հակադարձ կոսինուս, արկտանգենտ և հակադարձ զուգահեռ: Համառոտության համար ես դրանք կկոչեմ «կամարներ»

Ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևը հետևյալն է.
.

Ըստ մասերի ինտեգրման մեթոդը բաղկացած է այս բանաձևի կիրառումից: Գործնականում հարկ է նշել, որ u և v ինտեգրման փոփոխականի գործառույթներն են: Թող ինտեգրման փոփոխականը նշվի որպես x (ինտեգրալ նշման վերջում d դիֆերենցիալի նշանից հետո նշանը): Այնուհետև u և v- ն x- ի գործառույթներն են ՝ u (x) և v (x):
Հետո
, .
Եվ ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևը ձև է ունենում.
.

Այսինքն, ինտեգրանը պետք է բաղկացած լինի երկու գործառույթի արտադրանքից.
,
որոնցից մեկը մենք նշում ենք որպես u: g (x) = u, իսկ մյուսը պետք է հաշվարկի ինտեգրալը (ավելի ճիշտ, հակածերատիվը պետք է գտնվի).
, ապա dv = f (x) dx.

Որոշ դեպքերում f (x) = 1 ... Այսինքն ՝ ինտեգրալում
,
կարող ենք դնել g (x) = u, x = v:

Ամփոփում

Այսպիսով, այս մեթոդում մասերի ինտեգրման բանաձևը պետք է հիշել և կիրառել երկու ձևով.
;
.

Ինտեգրալ հաշվարկված ինտեգրման միջոցով մասերի

Լոգարիթմ և հակադարձ եռանկյունաչափական (հիպերբոլիկ) գործառույթներ պարունակող ինտեգրալներ

Լոգարիթմ և հակադարձ եռանկյունաչափական կամ հիպերբոլիկ գործառույթներ պարունակող ինտեգրալները հաճախ ինտեգրվում են մասերի միջոցով: Այս դեպքում լոգարիթմ կամ հակադարձ եռանկյունաչափական (հիպերբոլիկ) գործառույթներ պարունակող մասը նշվում է u- ով, մնացած մասը նշվում է dv- ով:

Ահա այդպիսի ինտեգրալների օրինակներ, որոնք հաշվարկվում են ինտեգրման մեթոդով ՝ ըստ մասերի.
, , , , , , .

Բազմանդամի և sin x- ի, cos x- ի կամ e x- ի արտադրյալ պարունակող ինտեգրալներ

Ըստ ինտեգրման բանաձևի ՝ մասերը ձևի անբաժանելի մասն են.
, , ,
որտեղ P (x) բազմիմաստ է x- ում: Ինտեգրման դեպքում P (x) բազմանդամը նշվում է u- ով, իսկ e ax dx- ով, cos ax dxկամ sin ax dx- dv- ի միջոցով

Ահա այդպիսի ինտեգրալների օրինակներ.
, , .

Ըստ մասերի ինտեգրման մեթոդով ինտեգրալների հաշվարկման օրինակներ

Լոգարիթմ և հակադարձ եռանկյունաչափական գործառույթներ պարունակող ինտեգրալների օրինակներ

Օրինակ

Հաշվիր ինտեգրալը.

Մանրամասն լուծում

Այստեղ ինտեգրանը պարունակում է լոգարիթմ: Փոխարինումներ կատարելը
u = = ln x,
dv = x 2 օրական.
Հետո
,
.

Մենք հաշվարկում ենք մնացած ինտեգրալը.
.
Հետո
.
Հաշվարկների վերջում դուք անպայման պետք է ավելացնեք C հաստատականը, քանի որ անորոշ ինտեգրալը բոլոր հակաարտադրողականների բազմությունն է: Այն կարող է ավելացվել նաև միջանկյալ հաշվարկներում, բայց դա միայն կխճճի հաշվարկները:

Ավելի կարճ լուծում

Հնարավոր է լուծումը ներկայացնել ավելի կարճ տարբերակով: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր չէ u և v- ով փոխարինումներ կատարել, այլ կարող եք խմբավորել գործոնները և կիրառել ինտեգրման բանաձևը ըստ մասերի ՝ երկրորդ ձևով:

.

Պատասխանեք

Բազմանդամի և sin x- ի, cos x- ի կամ ex- ի արտադրյալ պարունակող ինտեգրալների օրինակներ

Օրինակ

Հաշվիր ինտեգրալը.
.

Լուծում

Եկեք դիֆերենցիալ նշանի ներքո ներկայացնենք ցուցիչ.
e - x dx = - e - x d (-x) = - d (e - x).

Մենք ինտեգրվում ենք մասերով:
.
Մենք նաև կիրառում ենք ինտեգրման մեթոդը ըստ մասերի:
.
.
.
Ի վերջո, մենք ունենք: