همانطور که از برنامه درسی هندسه مدرسه می توانید به یاد داشته باشید، مثلث شکلی است که از سه بخش خط به هم متصل شده توسط سه نقطه که روی یک خط مستقیم قرار ندارند تشکیل شده است. مثلث سه گوشه را تشکیل می دهد، از این رو نام این شکل است. ممکن است تعریف متفاوت باشد. مثلث را می توان چند ضلعی با سه گوشه نیز نامید، پاسخ نیز صحیح است. مثلث ها بر تعداد اضلاع مساوی و بر زوایای شکل ها تقسیم می شوند. بنابراین، این مثلث ها به ترتیب به عنوان متساوی الساقین، متساوی الاضلاع و چند منظوره، و همچنین مستطیل، زاویه تند و منفرد متمایز می شوند.

فرمول های زیادی برای محاسبه مساحت مثلث وجود دارد. نحوه یافتن مساحت مثلث را انتخاب کنید، یعنی. از کدام فرمول استفاده کنید، فقط شما. اما شایان ذکر است که فقط برخی از نمادهایی که در بسیاری از فرمول ها برای محاسبه مساحت یک مثلث استفاده می شود، مورد توجه قرار گیرد. پس به یاد داشته باشید:

S مساحت مثلث است،

a، b، c اضلاع مثلث هستند،

h ارتفاع مثلث است،

R شعاع دایره محدود شده است،

p یک نیم محیط است.

در اینجا برخی از نمادهای اولیه وجود دارد که اگر درس هندسه خود را به طور کامل فراموش کرده باشید، ممکن است مفید باشد. در زیر قابل فهم ترین و پیچیده ترین گزینه ها برای محاسبه مساحت ناشناخته و مرموز یک مثلث ارائه می شود. کار سختی نیست و هم برای شما در خانه و هم برای کمک به فرزندانتان مفید خواهد بود. بیایید به یاد بیاوریم که چگونه می توان مساحت یک مثلث را به آسانی پوست انداختن گلابی محاسبه کرد:

در مورد ما، مساحت مثلث است: S = ½ * 2.2 سانتی متر * 2.5 سانتی متر = 2.75 سانتی متر مربع. به یاد داشته باشید که مساحت در سانتی متر مربع (cm2) اندازه گیری می شود.

مثلث مستطیلی و مساحت آن

مثلث قائم الزاویه به مثلثی گفته می شود که یک زاویه آن برابر 90 درجه باشد (بنابراین به آن زاویه قائمه می گویند). یک زاویه قائمه توسط دو خط عمود بر هم تشکیل می شود (در مورد مثلث، دو بخش عمود بر هم). در یک مثلث قائم الزاویه، فقط یک زاویه قائمه می تواند وجود داشته باشد، زیرا مجموع تمام زوایای هر مثلث 180 درجه است. معلوم می شود که 2 زاویه دیگر باید 90 درجه باقی مانده را به اشتراک بگذارند، مثلاً 70 و 20، 45 و 45 و غیره. بنابراین، شما نکته اصلی را به خاطر آوردید، باید دریابید که چگونه مساحت یک مثلث قائم الزاویه را پیدا کنید. تصور کنید که ما یک مثلث قائم الزاویه در مقابل خود داریم و باید مساحت آن را S پیدا کنیم.

1. ساده ترین راه برای تعیین مساحت مثلث قائم الزاویه با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

در مورد ما، مساحت یک مثلث قائم الزاویه است: S = 2.5 سانتی متر * 3 سانتی متر / 2 = 3.75 سانتی متر مربع.

در اصل، دیگر نیازی به تطبیق مساحت مثلث به روش های دیگر نیست، زیرا فقط این یکی در زندگی روزمره مفید خواهد بود و کمک خواهد کرد. اما گزینه هایی برای اندازه گیری مساحت یک مثلث از طریق زوایای حاد نیز وجود دارد.

2. برای سایر روش های محاسبه باید جدول کسینوس، سینوس و مماس داشته باشید. خودتان قضاوت کنید، در اینجا چند گزینه برای محاسبه مساحت یک مثلث قائم الزاویه وجود دارد که هنوز می توانید از آنها استفاده کنید:

ما تصمیم گرفتیم از فرمول اول و با لکه های کوچک استفاده کنیم (در یک دفترچه رسم کردیم و از خط کش و نقاله قدیمی استفاده کردیم) اما محاسبه درستی داشتیم:

S = (2.5 * 2.5) / (2 * 0.9) = (3 * 3) / (2 * 1.2). ما نتایج زیر را به دست آوردیم 3.6 = 3.7، اما با در نظر گرفتن تغییر سلول ها، می توانیم این تفاوت های ظریف را ببخشیم.

مثلث متساوی الساقین و مساحت آن.

اگر با وظیفه محاسبه فرمول یک مثلث متساوی الساقین روبرو هستید، ساده ترین راه استفاده از فرمول اصلی و همانطور که در نظر گرفته می شود، فرمول کلاسیک برای مساحت مثلث است.

اما ابتدا قبل از اینکه مساحت یک مثلث متساوی الساقین را پیدا کنیم، متوجه خواهیم شد که چه شکلی است. مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع آن به یک اندازه باشد. این دو ضلع را ضلع جانبی می نامند و ضلع سوم را پایه می نامند. مثلث متساوی الساقین را با متساوی الاضلاع اشتباه نگیرید، یعنی. یک مثلث منتظم که هر سه ضلع آن برابر است. در چنین مثلثی، هیچ گرایش خاصی برای زاویه ها، به طور دقیق تر، برای اندازه آنها وجود ندارد. با این حال، زوایای قاعده در یک مثلث متساوی الساقین برابر است، اما با زاویه بین اضلاع مساوی متفاوت است. بنابراین، شما قبلاً فرمول اول و اصلی را می دانید، باید دریابید که چه فرمول های دیگری برای تعیین مساحت مثلث متساوی الساقین شناخته شده است:

مثلث ساده ترین شکل هندسی است که سه ضلع و سه رأس دارد. مثلث به دلیل سادگی از زمان های قدیم برای انجام اندازه گیری های مختلف مورد استفاده قرار می گرفته است و امروزه این شکل می تواند برای حل مسائل کاربردی و روزمره مفید باشد.

ویژگی های مثلث

این رقم از زمان های قدیم برای محاسبات استفاده می شده است، به عنوان مثال نقشه برداران و ستاره شناسان بر روی خواص مثلث ها برای محاسبه مساحت ها و فواصل عمل می کنند. بیان مساحت هر n-گونی از طریق مساحت این شکل آسان است و دانشمندان باستانی از این ویژگی برای استخراج فرمول های مساحت چندضلعی ها استفاده می کردند. کار مداوم با مثلث ها، به ویژه با مثلث قائم الزاویه، پایه و اساس یک شاخه کامل از ریاضیات - مثلثات شد.

هندسه مثلث

خواص شکل هندسی از زمان های قدیم مورد مطالعه قرار گرفته است: قدیمی ترین اطلاعات در مورد مثلث در پاپیروس های مصری 4000 سال پیش یافت شد. سپس این شکل در یونان باستان مورد مطالعه قرار گرفت و بیشترین سهم را در هندسه مثلث اقلیدس، فیثاغورث و هرون داشتند. مطالعه مثلث هرگز متوقف نشد و در قرن 18 لئونارد اویلر مفهوم مرکز عمود یک شکل و دایره اویلر را معرفی کرد. در آغاز قرن 19 و 20، زمانی که به نظر می رسید که کاملاً همه چیز در مورد مثلث شناخته شده است، فرانک مورلی قضیه سه گانه یک زاویه را فرموله کرد و واسلاو سیرپینسکی یک مثلث فراکتال را پیشنهاد کرد.

چندین نوع مثلث مسطح وجود دارد که از درس هندسه مدرسه برای ما آشنا هستند:

• زاویه حاد - تمام گوشه های شکل تیز هستند.
• مبهم - شکل دارای یک زاویه مبهم (بیش از 90 درجه) است.
• مستطیل - شکل شامل یک زاویه راست برابر با 90 درجه است.
• متساوی الساقین - مثلثی با دو ضلع مساوی؛
• متساوی الاضلاع - مثلثی با همه اضلاع مساوی.
• در زندگی واقعی، انواع مثلث وجود دارد، و در برخی موارد ممکن است لازم باشد مساحت یک شکل هندسی را محاسبه کنیم.

مساحت یک مثلث

مساحت تخمینی است از اینکه این شکل چقدر از صفحه را محدود می کند. مساحت یک مثلث را می توان به شش صورت یافت، که با اضلاع، ارتفاع، زوایا، شعاع محاطی یا دایره ای کار می کند، همچنین با استفاده از فرمول هرون یا محاسبه انتگرال دوگانه در امتداد خطوطی که صفحه را محدود می کند. ساده ترین فرمول برای محاسبه مساحت یک مثلث به صورت زیر است:

در جایی که a ضلع مثلث است، h ارتفاع آن است.

با این حال، در عمل، همیشه برای ما راحت نیست که ارتفاع یک شکل هندسی را پیدا کنیم. الگوریتم ماشین حساب ما به شما امکان می دهد مساحت را با دانستن زیر محاسبه کنید:

• سه طرف؛
• دو ضلع و زاویه بین آنها.
• یک طرف و دو گوشه

برای تعیین مساحت سه ضلع، از فرمول هرون استفاده می کنیم:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))،

که p نیم محیط مثلث است.

محاسبه مساحت در هر دو طرف و گوشه طبق فرمول کلاسیک انجام می شود:

S = a × b × sin (آلفا)،

که در آن آلفا زاویه بین ضلع a و b است.

برای تعیین مساحت یک طرف و دو گوشه، از نسبتی استفاده می کنیم که:

a / sin (alfa) = b / sin (بتا) = c / sin (گاما)

با نسبت ساده طول ضلع دوم را تعیین می کنیم و سپس با استفاده از فرمول S = a × b × sin (آلفا) مساحت را محاسبه می کنیم. این الگوریتم کاملاً خودکار است و فقط باید متغیرهای مشخص شده را وارد کرده و نتیجه را بگیرید. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

نمونه هایی از زندگی

کفسازی پیاده رو

فرض کنید می خواهید کف را با کاشی های مثلثی سنگ فرش کنید و برای تعیین میزان مصالح مورد نیاز، باید مساحت یک کاشی و مساحت کف را بدانید. فرض کنید باید 6 متر مربع از سطح را با استفاده از کاشی پردازش کنید که ابعاد آن a = 20 سانتی متر، b = 21 سانتی متر، c = 29 سانتی متر است. بدیهی است که برای محاسبه مساحت یک مثلث، ماشین حساب از فرمول هرون استفاده می کند. و نتیجه را خواهد داد:

بنابراین، مساحت یک عنصر کاشی 0.021 متر مربع است و برای بهبود کف به 6 / 0.021 = 285 مثلث نیاز دارید. اعداد 20، 21 و 29 سه فیثاغورثی را تشکیل می دهند - اعدادی که راضی کننده هستند. و به درستی، ماشین حساب ما تمام زوایای مثلث را نیز محاسبه کرده است و زاویه گاما دقیقاً 90 درجه است.

تکلیف مدرسه

در مسئله مدرسه باید مساحت مثلث را با دانستن اینکه ضلع آن a=5 سانتی متر است و زوایای آلفا و بتا زخم به ترتیب 30 و 50 درجه است، پیدا کرد. برای حل این مشکل به صورت دستی، ابتدا مقدار ضلع b را با استفاده از نسبت نسبت ابعاد و سینوس های زوایای مقابل پیدا می کنیم و سپس با استفاده از فرمول ساده S = a × b × sin (آلفا) مساحت را تعیین می کنیم. بیایید در زمان صرفه جویی کنیم، داده ها را در فرم ماشین حساب وارد کنیم و پاسخ فوری دریافت کنیم.

هنگام استفاده از ماشین حساب، مهم است که زوایا و اضلاع را به درستی مشخص کنید، در غیر این صورت نتیجه نادرست خواهد بود.

نتیجه

مثلث یک شکل منحصر به فرد است که هم در زندگی واقعی و هم در محاسبات انتزاعی یافت می شود. از ماشین حساب آنلاین ما برای پیدا کردن مساحت انواع مثلث ها استفاده کنید.

برای تعیین مساحت مثلث می توان از فرمول های مختلفی استفاده کرد. از بین همه روش ها، ساده ترین و پرکاربردترین روش ضرب ارتفاع در طول پایه و سپس تقسیم نتیجه بر دو است. با این حال، این روش با تنها روش فاصله دارد. در زیر می توانید نحوه پیدا کردن مساحت مثلث را با استفاده از فرمول های مختلف بخوانید.

به طور جداگانه، روش هایی را برای محاسبه مساحت انواع خاص مثلث - مستطیل، متساوی الساقین و متساوی الاضلاع در نظر خواهیم گرفت. ما هر فرمول را با توضیح کوتاهی همراهی می کنیم که به شما در درک ماهیت آن کمک می کند.

روش های جهانی برای یافتن مساحت مثلث

فرمول های زیر از قراردادهای خاص استفاده می کنند. ما هر یک از آنها را رمزگشایی می کنیم:

• a، b، c - طول سه ضلع شکل مورد نظر ما.
• r شعاع دایره ای است که می تواند در مثلث ما حک شود.
• R شعاع دایره ای است که می توان در اطراف آن توصیف کرد.
• α - مقدار زاویه تشکیل شده توسط اضلاع b و c.
• β زاویه بین a و c است.
• γ - مقدار زاویه تشکیل شده توسط اضلاع a و b.
• h - ارتفاع مثلث ما، از زاویه α به سمت a پایین آمده است.
• p - نصف مجموع اضلاع a، b و c.

منطقی است که چرا می توان مساحت یک مثلث را از این طریق پیدا کرد. مثلث را می توان به راحتی به یک متوازی الاضلاع کامل کرد، که در آن یک ضلع مثلث به عنوان یک مورب عمل می کند. مساحت متوازی الاضلاع با ضرب طول یکی از اضلاع آن در مقدار ارتفاع کشیده شده به سمت آن به دست می آید. قطر این متوازی الاضلاع معمولی را به 2 مثلث یکسان تقسیم می کند. بنابراین، کاملاً واضح است که مساحت مثلث اصلی ما باید برابر با نصف مساحت این متوازی الاضلاع کمکی باشد.

S = ½ a b sin γ

طبق این فرمول، مساحت یک مثلث با ضرب طول دو ضلع آن یعنی a و b در سینوس زاویه تشکیل شده توسط آنها به دست می آید. این فرمول به طور منطقی از فرمول قبلی گرفته شده است. اگر ارتفاع را از زاویه β به ضلع b کاهش دهیم، با توجه به ویژگی های مثلث قائم الزاویه، هنگام ضرب طول ضلع a در سینوس زاویه γ، ارتفاع مثلث را به دست می آوریم، یعنی: ساعت

مساحت شکل مورد نظر با ضرب نصف شعاع دایره ای که می توان در آن حک کرد در محیط آن به دست می آید. به عبارت دیگر حاصل ضرب نیم محیط و شعاع دایره مذکور را می یابیم.

S = a b s / 4R

طبق این فرمول، مقدار مورد نیاز ما را می توان با تقسیم حاصلضرب اضلاع شکل بر 4 شعاع دایره ای که در اطراف آن شرح داده شده است، پیدا کرد.

این فرمول ها جهانی هستند، زیرا تعیین مساحت هر مثلث (همه کاره، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع، مستطیل) را ممکن می سازند. این را می توان با کمک محاسبات پیچیده تر انجام داد، که در مورد آنها به جزئیات نمی پردازیم.

مساحت مثلث ها با ویژگی های خاص

چگونه مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنم؟ ویژگی این شکل این است که دو ضلع آن به طور همزمان ارتفاعات آن است. اگر a و b پاها باشند و c تبدیل به هیپوتونوس شود، آنگاه ناحیه به صورت زیر پیدا می شود:

چگونه مساحت مثلث متساوی الساقین را پیدا می کنید؟ دارای دو ضلع به طول a و یک ضلع به طول b است. بنابراین، مساحت آن را می توان با تقسیم بر 2 حاصل ضرب مجذور ضلع a بر سینوس زاویه γ تعیین کرد.

چگونه مساحت مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنید؟ در آن طول همه اضلاع برابر با a و قدر همه زوایا α است. ارتفاع آن برابر است با نصف حاصلضرب طول ضلع a در جذر 3. برای پیدا کردن مساحت یک مثلث منظم باید مربع ضلع a را در ریشه 3 ضرب کنید و تقسیم بر آن کنید. 4.

مفهوم مربع

مفهوم مساحت هر شکل هندسی، به ویژه یک مثلث، با شکلی به عنوان مربع همراه خواهد بود. برای واحد مساحت هر شکل هندسی، مساحت مربعی را می گیریم که ضلع آن برابر با یک است. به منظور کامل بودن، اجازه دهید دو ویژگی اساسی را برای مفهوم مساحت اشکال هندسی یادآوری کنیم.

خاصیت 1:اگر اشکال هندسی مساوی باشند، مقادیر مساحت آنها نیز برابر است.

خاصیت 2:هر شکلی را می توان به چند شکل تقسیم کرد. علاوه بر این، مساحت شکل اصلی برابر است با مجموع مقادیر مساحت تمام ارقام تشکیل دهنده آن.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1

بدیهی است که یکی از اضلاع مثلث مورب مستطیلی است که طول یک ضلع آن 5 دلار (از سلول های 5 دلار) و دیگری 6 دلار (از سلول های 6 دلار) است. در نتیجه مساحت این مثلث برابر با نصف چنین مستطیلی خواهد بود. مساحت مستطیل است

سپس مساحت مثلث است

پاسخ: 15 دلار

در ادامه چندین روش برای یافتن مساحت مثلث ها در نظر می گیریم، یعنی با استفاده از ارتفاع و قاعده، با استفاده از فرمول هرون و مساحت مثلث متساوی الاضلاع.

نحوه پیدا کردن مساحت مثلث از نظر ارتفاع و قاعده

قضیه 1

مساحت یک مثلث را می توان نصف حاصلضرب طول یک ضلع با ارتفاع کشیده شده به آن ضلع یافت.

از نظر ریاضی به این شکل است

$ S = \ فراک (1) (2) αh $

که در آن $ a $ طول ضلع است، $ h $ ارتفاع کشیده شده به آن است.

اثبات

یک مثلث $ ABC $ با $ AC = α $ را در نظر بگیرید. ارتفاع $ BH $ به این سمت کشیده شده است که برابر است با $ h $. بیایید آن را تا مربع $ AXYC $ مانند شکل 2 بسازیم.

مساحت مستطیل $ AXBH $ $ h \ cdot AH $ است و مساحت مستطیل $ HBYC $ $ h \ cdot HC $ است. سپس

$ S_ABH = \ فراک (1) (2) h \ cdot AH $, $ S_CBH = \ فراک (1) (2) h \ cdot HC $

بنابراین مساحت مورد نیاز مثلث با خاصیت 2 برابر است با

$ S = S_ABH + S_CBH = \ فراک (1) (2) h \ cdot AH + \ فرک (1) (2) h \ cdot HC = \ فرک (1) (2) h \ cdot (AH + HC) = \ فراک (1) (2) αh $

قضیه ثابت می شود.

مثال 2

اگر مساحت سلول یک است در شکل زیر مساحت مثلث را پیدا کنید

پایه این مثلث 9 دلار است (چون 9 دلار سلول 9 دلار است). ارتفاع آن نیز 9 دلار است. سپس با قضیه 1 به دست می آوریم

$ S = \ فراک (1) (2) \ cdot 9 \ cdot 9 = 40.5 $

پاسخ: 40.5 دلار.

فرمول هرون

قضیه 2

با توجه به سه ضلع یک مثلث $ α $، $ β $ و $ γ $، سپس مساحت آن را می توان به صورت زیر یافت

$ S = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

در اینجا $ ρ $ به معنای نیم محیط این مثلث است.

اثبات

شکل زیر را در نظر بگیرید:

با قضیه فیثاغورث از مثلث $ ABH $ بدست می آوریم

از مثلث $ CBH $، با قضیه فیثاغورث، داریم

$ h ^ 2 = α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

از این دو رابطه برابری را بدست می آوریم

$ γ ^ 2-x ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x = \ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 = γ ^ 2 - (\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 = \ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

از آنجایی که $ ρ = \ فراک (α + β + γ) (2) $، پس $ α + β + γ = 2ρ $، بنابراین

$ h ^ 2 = \ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h = \ sqrt (\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h = \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

با قضیه 1 به دست می آوریم

$ S = \ frac (1) (2) βh = \ frac (β) (2) \ cdot \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

مساحت مثلث - فرمول ها و نمونه هایی از حل مسائل

در زیر می باشد فرمول هایی برای یافتن مساحت یک مثلث دلخواهکه برای یافتن مساحت هر مثلث، صرف نظر از خواص، زوایا و ابعاد آن مناسب هستند. فرمول ها به صورت تصویر ارائه شده اند، در اینجا توضیحاتی برای استفاده یا توجیه درستی آنها ارائه شده است. همچنین یک شکل جداگانه مطابقت بین حروف در فرمول ها و علامت های گرافیکی در نقاشی را نشان می دهد.

توجه داشته باشید ... اگر یک مثلث دارای ویژگی های خاصی است (متساوی الساقین، مستطیلی، متساوی الاضلاع)، می توانید از فرمول های زیر و همچنین فرمول های ویژه اضافی که فقط برای مثلث هایی با این ویژگی ها معتبر هستند استفاده کنید:

• "فرمول های مساحت مثلث متساوی الاضلاع"

فرمول های مساحت مثلث

توضیحات فرمول ها:
الف، ب، ج- طول اضلاع مثلث، مساحتی که می خواهیم پیدا کنیم
r- شعاع دایره محاط شده در یک مثلث
آر- شعاع دایره ای که دور یک مثلث محصور شده است
ساعت- ارتفاع مثلث به سمت پایین آمده است
پ- نیم محیط مثلث، 1/2 مجموع اضلاع آن (محیط)
α - زاویه مقابل ضلع a مثلث
β - زاویه مقابل ضلع b مثلث
γ - زاویه مخالف ضلع c مثلث
ساعت آ, ساعت ب , ساعت ج- ارتفاع مثلث، به ضلع a، b، c کاهش یافته است

لطفاً توجه داشته باشید که عناوین داده شده با شکل بالا مطابقت دارند، به طوری که هنگام حل یک مسئله واقعی در هندسه، جایگزین کردن مقادیر صحیح در مکان های مناسب در فرمول از نظر بصری آسان تر است.

• مساحت مثلث است نصف حاصلضرب ارتفاع مثلث با طول ضلعی که این ارتفاع به آن پایین آمده است(فرمول 1). درستی این فرمول را می توان منطقی فهمید. ارتفاع کاهش یافته به پایه یک مثلث دلخواه را به دو مثلث مستطیلی تقسیم می کند. اگر هر یک از آنها را به یک مستطیل با ابعاد b و h کامل کنیم، واضح است که مساحت این مثلث ها دقیقاً برابر با نصف مساحت مستطیل خواهد بود (Spr = bh)
• مساحت مثلث است نصف حاصلضرب دو ضلع آن توسط سینوس زاویه بین آنها(فرمول 2) (نمونه ای از حل مسئله با استفاده از این فرمول را در زیر ببینید). با وجود این واقعیت که به نظر می رسد برخلاف قبلی است، به راحتی می توان آن را به آن تبدیل کرد. اگر ارتفاع را از زاویه B به ضلع b کم کنیم، حاصل ضرب ضلع a به سینوس زاویه γ با توجه به خصوصیات سینوس در یک مثلث قائم الزاویه برابر با ارتفاع مثلثی است که رسم کرده ایم. که فرمول قبلی را به ما می دهد
• مساحت یک مثلث دلخواه را می توان یافت در سراسر کارنصف شعاع دایره محاط شده با مجموع طول تمام اضلاع آن(فرمول 3)، به عبارت دیگر، شما باید نیم محیط مثلث را در شعاع دایره محاطی ضرب کنید (به خاطر سپردن این آسان تر است)
• مساحت یک مثلث دلخواه را می توان با تقسیم حاصلضرب تمام اضلاع آن بر 4 شعاع دایره محصور در اطراف آن یافت (فرمول 4)
• فرمول 5 نشان دهنده یافتن مساحت یک مثلث در طول اضلاع و نیم محیط آن (نصف مجموع اضلاع آن) است.
• فرمول هرون(6) نمایشی از همان فرمول بدون استفاده از مفهوم نیم محیط، تنها از طریق طول اضلاع است.
• مساحت یک مثلث دلخواه برابر است با حاصل ضرب مربع ضلع مثلث و سینوس های زوایای مجاور این ضلع تقسیم بر سینوس دوگانه زاویه مقابل این ضلع (فرمول 7)
• مساحت یک مثلث دلخواه را می‌توان حاصل ضرب دو مربع دایره‌ای که اطراف آن را با سینوس‌های هر یک از گوشه‌های آن احاطه کرده‌اند، یافت. (فرمول 8)
• اگر طول یک ضلع و بزرگی دو زاویه مجاور مشخص باشد، مساحت یک مثلث را می توان به عنوان مربع این ضلع، تقسیم بر مجموع مضاعف کتانژانت های این زاویه ها یافت (فرمول 9).
• اگر فقط طول هر یک از ارتفاعات مثلث مشخص باشد (فرمول 10)، مساحت چنین مثلثی با طول این ارتفاعات، مطابق با فرمول هرون، نسبت معکوس دارد.
• فرمول 11 به شما امکان محاسبه را می دهد مساحت یک مثلث با مختصات رئوس آن، که به عنوان مقادیر (x; y) برای هر یک از رئوس آورده شده است. لطفاً توجه داشته باشید که مقدار حاصل باید به صورت مدول گرفته شود، زیرا مختصات رئوس منفرد (یا حتی همه) می تواند در محدوده مقادیر منفی باشد.

توجه داشته باشید... در زیر نمونه هایی از حل مسائل هندسه برای یافتن مساحت مثلث آورده شده است. اگر نیاز به حل مشکلی در هندسه دارید که مشابه آن نیست، در انجمن در مورد آن بنویسید. در راه حل ها به جای نماد "ریشه مربع" می توان از تابع sqrt () استفاده کرد که در آن sqrt نماد ریشه مربع است و عبارت رادیکال در داخل پرانتز نشان داده شده است..گاهی اوقات برای عبارات رادیکال ساده نماد √

وظیفه. مساحت دو ضلع و زاویه بین آنها را پیدا کنید

اضلاع مثلث 5 و 6 سانتی متر است که زاویه بین آنها 60 درجه است. مساحت یک مثلث را پیدا کنید.

راه حل.

برای حل این مشکل از فرمول شماره دو از قسمت تئوری درس استفاده می کنیم.
مساحت مثلث را می توان از طول دو ضلع و سینوس زاویه بین آنها پیدا کرد و برابر است با
S = 1/2 ab sin γ

از آنجایی که ما تمام داده های لازم برای حل (طبق فرمول) را داریم، فقط باید مقادیر را از شرایط مسئله به فرمول جایگزین کنیم:
S = 1/2 * 5 * 6 * گناه 60

در جدول مقادیر توابع مثلثاتی، مقدار سینوس 60 درجه را پیدا کرده و در عبارت جایگزین می کنیم. برابر با ریشه سه در دو خواهد بود.
S = 15 √3 / 2

پاسخ: 7.5 √3 (بسته به نیاز معلم، احتمالاً می توانید 15 √3 / 2 را ترک کنید)

وظیفه. مساحت مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنید

مساحت مثلث متساوی الاضلاع با ضلع 3 سانتی متر را پیدا کنید.

راه حل .

مساحت یک مثلث را می توان با استفاده از فرمول هرون پیدا کرد:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

از آنجایی که a = b = c فرمول مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع به شکل زیر خواهد بود:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

پاسخ: 9 √3 / 4.

وظیفه. تغییر ناحیه هنگام تغییر طول اضلاع

اگر اضلاع 4 برابر شوند، مساحت مثلث چند برابر می شود؟

راه حل.

از آنجایی که اندازه اضلاع مثلث برای ما ناشناخته است، برای حل مسئله فرض می کنیم که طول اضلاع به ترتیب برابر با اعداد دلخواه a، b، c است. سپس برای پاسخ به سؤال، مساحت این مثلث را می یابیم و سپس مساحت مثلثی را می یابیم که اضلاع آن چهار برابر بزرگتر است. نسبت مساحت این مثلث ها پاسخ مسئله را به ما می دهد.

در زیر توضیح متنی راه حل مسئله به صورت مرحله ای آورده شده است. با این حال، در پایان، همین راه حل به شکل گرافیکی خواناتری ارائه شده است. علاقه مندان می توانند بلافاصله راه حل را پایین بیاورند.

برای حل این مشکل از فرمول هرون استفاده می کنیم (به قسمت تئوری درس مراجعه کنید). به نظر می رسد این است:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(خط اول شکل زیر را ببینید)

طول اضلاع یک مثلث دلخواه توسط متغیرهای a,b,c به دست می آید.
اگر اضلاع 4 برابر شوند، مساحت مثلث جدید c خواهد بود:

S 2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(خط دوم را در تصویر زیر ببینید)

همانطور که می بینید، 4 یک عامل مشترک است که می توان آن را از داخل پرانتز از هر چهار عبارت با توجه به قوانین کلی ریاضی خارج کرد.
سپس

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - در خط سوم شکل
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - خط چهارم

ریشه مربع کاملاً از عدد 256 استخراج می شود، بنابراین آن را از زیر ریشه خارج می کنیم
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(خط پنجم شکل زیر را ببینید)

برای پاسخ به سؤال مطرح شده در مسئله، فقط باید مساحت مثلث حاصل را بر مساحت اصلی تقسیم کنیم.
نسبت مساحت ها را با تقسیم عبارات بر یکدیگر و کاهش کسر به دست آمده تعیین کنید.