ساخت یک خط مستقیم از دو نقطه به صورت آنلاین. معادله کلی یک خط مستقیم در یک صفحه
ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی
شما می توانید بی نهایت خطوط مستقیم را در هر نقطه بکشید.
یک خط مستقیم را می توان از میان هر دو نقطه غیرمتناسب ترسیم کرد.
دو خط مستقیم ناهماهنگ در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند
موازی (از مورد قبلی پیروی می کند).
در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط مستقیم وجود دارد:
- خطوط مستقیم قطع می شوند.
- خطوط مستقیم موازی هستند.
- خطوط مستقیم قطع می شوند
سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: در دستگاه مختصات دکارتی، یک خط مستقیم
در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.
معادله کلی خط مستقیم.
تعریف... هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد
تبر + وو + سی = 0،
با ثابت الف، ببه طور همزمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود مشترک
معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:
. C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0- خط مستقیم از مبدأ عبور می کند
. A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه
. B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU
. B = C = 0، A ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است OU
. A = C = 0، B ≠ 0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه
معادله یک خط مستقیم بسته به هر داده ای می تواند به اشکال مختلف ارائه شود
شرایط اولیه.
معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی.
تعریف... در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B)
عمود بر خط مستقیم داده شده توسط معادله
تبر + وو + سی = 0.
مثال... معادله خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را پیدا کنید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).
راه حل... در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می سازیم: 3x - y + C = 0. برای یافتن ضریب C
مختصات نقطه داده شده A را با عبارت بدست آمده جایگزین می کنیم.
C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.
معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد.
بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1، y 1، z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط مستقیم,
عبور از این نقاط:
اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. در
در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:
اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .
کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.
مثال... معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.
راه حل... با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:
معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب.
اگر معادله کلی خط مستقیم تبر + وو + سی = 0منجر به فرم:
و تعیین کنید 
، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود
معادله یک خط مستقیم با شیب k.
معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت.
با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید وظیفه را وارد کنید.
یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم.
تعریف... هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)که اجزای آن شرایط را برآورده می کند
Aa 1 + Va 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم
تبر + وو + سی = 0.
مثال... معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.
راه حل... معادله خط مستقیم مورد نیاز به شکل زیر جستجو می شود: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،
ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:
1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.
سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.
در x = 1، y = 2ما گرفتیم C / A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:
x + y - 3 = 0
معادله یک خط مستقیم در پاره ها.
اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0، با تقسیم بر -C، به دست می‌آید:
یا کجا
معنی هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.
مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور OU.
مثال... معادله کلی خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره پیدا کنید.
C = 1، a = -1، b = 1.
معادله عادی یک خط مستقیم.
اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد 
که نامیده می شود
عامل عادی، سپس دریافت می کنیم
xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی خط.
علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ * C< 0.
آر- طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم،
آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه
مثال... یک معادله کلی از خط مستقیم داده شده است 12x - 5y - 65 = 0... برای نوشتن انواع مختلف معادلات لازم است
این خط مستقیم
معادله این خط در بخش ها:
معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)
معادله یک خط مستقیم:
cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.
لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،
به موازات محورها یا عبور از مبدا.
زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما.
تعریف... اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس یک زاویه حاد بین این خطوط
به عنوان تعریف خواهد شد
دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2... دو خط مستقیم عمود هستند،
اگر k 1 = -1 / k 2 .
قضیه.
مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0زمانی که ضرایب متناسب باشند موازی هستند
А 1 = λА، В 1 = λВ... اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط مستقیم منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط
به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شوند.
معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.
تعریف... خط از نقطه M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b
با معادله نشان داده می شود:
فاصله از نقطه به خط.
قضیه... اگر امتیاز داده شود M (x 0، y 0)،فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:
اثبات... بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده عمود از نقطه افتاد مبرای یک معین
خط مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:
(1)
مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:
معادله دوم سیستم معادله خط مستقیمی است که از نقطه معینی M 0 عمود بر آن می گذرد.
یک خط مستقیم داده شده اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:
با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:
قضیه ثابت می شود.
خط مستقیمی که از نقطه K (x 0; y 0) می گذرد و موازی با خط مستقیم y = kx + a است با فرمول پیدا می شود:
y - y 0 = k (x - x 0) (1)
جایی که k شیب خط مستقیم است.
فرمول جایگزین:
خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1; y 1) می گذرد و موازی با خط مستقیم Ax + By + C = 0 با معادله نشان داده می شود.
A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0. (2)
مثال شماره 1. معادله خط مستقیمی را که از نقطه M 0 می گذرد (2،1-) بسازید و همزمان:الف) موازی با خط مستقیم 2x + 3y -7 = 0.
ب) عمود بر خط مستقیم 2x + 3y -7 = 0.
راه حل ... معادله را با شیب به صورت y = kx + a نشان می دهیم. برای انجام این کار، تمام مقادیر به جز y را به سمت راست منتقل کنید: 3y = -2x + 7. سپس سمت راست را بر ضریب 3 تقسیم می کنیم. دریافت می کنیم: y = -2 / 3x + 7/3
معادله NK را پیدا کنید که از نقطه K (-2؛ 1) موازی با خط y = -2 / 3 x + 7/3 عبور می کند.
با جایگزینی x 0 = -2، k = -2 / 3، y 0 = 1 دریافت می کنیم:
y-1 = -2 / 3 (x - (- 2))
یا
y = -2 / 3 x - 1/3 یا 3y + 2x +1 = 0
مثال شماره 2. معادله یک خط مستقیم موازی با خط مستقیم 2x + 5y = 0 را بنویسید و به همراه محورهای مختصات مثلثی را که مساحت آن 5 است تشکیل دهید.
راه حل
... از آنجایی که خطوط مستقیم موازی هستند، معادله خط مستقیم مورد نظر 2x + 5y + C = 0 است. مساحت یک مثلث قائم الزاویه که a و b پاهای آن هستند. نقاط تلاقی خط مستقیم مورد نظر را با محورهای مختصات بیابید: 
;
.
بنابراین A (-C / 2.0)، B (0، -C / 5). جایگزین در فرمول برای مساحت: 
... ما دو راه حل دریافت می کنیم: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y - 10 = 0.
مثال شماره 3. معادله خط مستقیمی را که از نقطه (2-؛ 5) و موازی با خط مستقیم 5x-7y-4 = 0 عبور می کند، ایجاد کنید.
راه حل. این خط مستقیم را می توان با معادله y = 5/7 x - 4/7 (در اینجا a = 5/7) نشان داد. معادله خط مستقیم مورد نیاز y - 5 = 5/7 (x - (-2)) است، یعنی. 7 (y-5) = 5 (x + 2) یا 5x-7y + 45 = 0.
مثال شماره 4. حل مثال 3 (A = 5، B = -7) با استفاده از فرمول (2)، 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0 را پیدا می کنیم.
مثال شماره 5. خط مستقیمی را که از نقطه (2-؛ 5) و موازی با خط مستقیم 7x + 10 = 0 عبور می کند، برابر کنید.
راه حل. در اینجا A = 7، B = 0. فرمول (2) 7 (x + 2) = 0 را می دهد، یعنی. x + 2 = 0. فرمول (1) قابل اجرا نیست، زیرا این معادله را نمی توان با توجه به y حل کرد (این خط موازی با محور ارتین است).
معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد. مقاله" " من به شما قول دادم که روش دوم حل مسائل ارائه شده برای یافتن مشتق را برای یک نمودار مشخص از یک تابع و یک مماس بر این نمودار تجزیه و تحلیل کنید. در ادامه این روش را تحلیل خواهیم کرد ، از دست ندهید! چرادر بعدی؟
واقعیت این است که فرمول معادله یک خط مستقیم در آنجا استفاده خواهد شد. البته، شما فقط می توانید این فرمول را نشان دهید و به شما توصیه کنید که آن را یاد بگیرید. اما بهتر است توضیح دهیم - از کجا آمده است (چگونه مشتق شده است). لازم است! اگر آن را فراموش کردید، به سرعت آن را بازیابی کنیددشوار نخواهد بود. همه چیز در زیر به تفصیل آمده است. بنابراین، ما دو نقطه A در صفحه مختصات داریم(x 1; y 1) و B (x 2; y 2)، یک خط مستقیم از طریق نقاط نشان داده شده ترسیم می شود: 
در اینجا فرمول خط مستقیم است:
* یعنی هنگام جایگزینی مختصات مشخص نقاط، معادله ای به شکل y = kx + b می گیریم.
** اگر این فرمول به سادگی "ناهموار" باشد، احتمال اشتباه گرفتن با شاخص های موجود وجود دارد. ایکس... علاوه بر این، شاخص ها را می توان به روش های مختلفی نشان داد، به عنوان مثال:
به همین دلیل است که درک معنی مهم است.
حالا نتیجه گیری از این فرمول. همه چیز خیلی ساده است!
مثلث های ABE و ACF از نظر زاویه تند مشابه هستند (نخستین نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه). از این نتیجه می شود که روابط عناصر مربوطه برابر است، یعنی:
اکنون به سادگی این بخش ها را بر حسب تفاوت مختصات نقاط بیان می کنیم:
البته اگر روابط عناصر را به ترتیب دیگری بنویسید اشتباهی وجود نخواهد داشت (نکته اصلی حفظ مکاتبات است):
نتیجه همان معادله خط مستقیم خواهد بود. این همه است!
یعنی مهم نیست که خود نقاط (و مختصات آنها) چگونه تعیین شده اند، با درک این فرمول همیشه معادله یک خط مستقیم را خواهید یافت.
فرمول را می توان با استفاده از خواص بردارها به دست آورد، اما اصل استنتاج یکسان خواهد بود، زیرا ما در مورد تناسب مختصات آنها صحبت خواهیم کرد. در این مورد، همان شباهت مثلث های قائم الزاویه کار می کند. به نظر من، خروجی توضیح داده شده در بالا واضح تر است)).
مشاهده خروجی از طریق مختصات برداری >>>
بگذارید یک خط مستقیم بر روی صفحه مختصات ایجاد شود که از دو نقطه داده شده A (x 1; y 1) و B (x 2; y 2) عبور می کند. بگذارید روی خط مستقیم یک نقطه دلخواه C را با مختصات ( ایکس; y). ما همچنین دو بردار را نشان می دهیم:
مشخص است که برای بردارهایی که روی خطوط موازی (یا روی یک خط مستقیم) قرار دارند، مختصات مربوطه آنها متناسب است، یعنی:
- برابری نسبت های مختصات مربوطه را می نویسیم:
بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:
معادله خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات (2؛ 5) و (7: 3) می گذرد را بیابید.
شما حتی مجبور نیستید خود خط مستقیم را بسازید. ما فرمول را اعمال می کنیم:
مهم است که هنگام تنظیم نسبت، مکاتبات را بگیرید. اگر بنویسید نمی توانید اشتباه کنید:
پاسخ: y = -2 / 5x + 29/5 go y = -0.4x + 5.8
برای اینکه مطمئن شوید معادله به‌دست‌آمده به درستی پیدا شده است، حتما بررسی کنید - مختصات داده‌ها را در شرایط نقاط در آن جایگزین کنید. شما باید برابری های صحیح را بدست آورید.
همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.
با احترام، اسکندر.
P.S: اگر در شبکه های اجتماعی در مورد سایت به ما بگویید ممنون می شوم.
تعریف.هر خط مستقیم روی یک صفحه را می توان با یک معادله مرتبه اول به دست آورد
تبر + وو + سی = 0،
و ثابت های A، B در همان زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت های A، B و C، موارد خاص زیر ممکن است:
C = 0، A ≠ 0، B ≠ 0 - خط از مبدأ عبور می کند
A = 0، B ≠ 0، C ≠ 0 (By + C = 0) - خط مستقیم با محور Ox موازی است.
B = 0، A ≠ 0، C ≠ 0 (Ax + C = 0) - خط مستقیم با محور Oy موازی است.
B = C = 0، A ≠ 0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است
A = C = 0، B ≠ 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است.
معادله یک خط مستقیم بسته به شرایط اولیه می تواند به اشکال مختلف ارائه شود.
معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی
تعریف.در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با مولفه های (A, B) عمود بر خط مستقیم داده شده با معادله Ax + Vy + C = 0 است.
مثال... معادله خط مستقیمی را که از نقطه A (1، 2) عمود بر (3، -1) می گذرد، بیابید.
راه حل... در A = 3 و B = -1، معادله خط مستقیم را می سازیم: 3x - y + C = 0. برای یافتن ضریب C، مختصات یک نقطه A را در عبارت حاصل جایگزین می کنیم. 3 - 2 + C = 0، بنابراین، C = -1 ... مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.
معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد
بگذارید دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) در فضا داده شود، سپس معادله خط مستقیمی که از این نقاط می گذرد:
اگر هر یک از مخرج ها برابر با صفر باشد، عدد مربوطه باید برابر با صفر باشد. در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:
اگر x 1 ≠ x 2 و x = x 1، اگر x 1 = x 2.
کسر = k نامیده می شود شیبسر راست.
مثال... معادله خط مستقیمی که از نقاط A (1، 2) و B (3، 4) می گذرد را بیابید.
راه حل.با استفاده از فرمول بالا، دریافت می کنیم:
معادله یک خط مستقیم به نقطه و شیب
اگر مجموع Ax + Vu + C = 0 به شکل زیر در بیاید:
و تعیین کنید 
، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود معادله یک خط مستقیم با شیبک.
معادله یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت
با قیاس با پاراگراف با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید مشخصات یک خط مستقیم را از طریق یک نقطه و یک بردار جهت یک خط مستقیم را وارد کنید.
تعریف.هر بردار غیر صفر (α 1، α 2) که اجزای آن شرط A α 1 + В α 2 = 0 را برآورده می کند، بردار هدایت کننده خط نامیده می شود.
تبر + وو + سی = 0.
مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.
راه حل.معادله خط مستقیم مورد نظر به این صورت جستجو می شود: Ax + By + C = 0. طبق تعریف، ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:
1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.
سپس معادله خط مستقیم به این شکل است: Ax + Ay + C = 0، یا x + y + C / A = 0. برای x = 1، y = 2 ما C / A = -3 را به دست می آوریم، یعنی. معادله مورد نیاز:
معادله یک خط مستقیم در پاره ها
اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0، با تقسیم بر –C، به دست می‌آید: 
یا
معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Ox است و ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.
مثال.معادله کلی خط راست x - y + 1 = 0 داده شده است معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره بیابید.
C = 1، a = -1، b = 1.
معادله عادی یک خط مستقیم
اگر هر دو طرف معادله Ax + Vy + C = 0 در عدد ضرب شوند 
که نامیده می شود عامل عادی، سپس دریافت می کنیم
xcosφ + ysinφ - p = 0 -
معادله عادی یک خط مستقیم علامت ± عامل نرمال کننده باید به گونه ای انتخاب شود که μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
مثال... یک معادله کلی از خط مستقیم 12x - 5y - 65 = 0 داده شده است که نیاز به نوشتن انواع معادلات این خط مستقیم است.
معادله این خط مستقیم در قطعات: 
معادله این خط مستقیم با شیب: (تقسیم بر 5)
; cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.
لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم موازی با محورها یا عبور از مبدا.
مثال... خط مستقیم بخش های مثبت مساوی را در محورهای مختصات قطع می کند. اگر مساحت مثلث تشکیل شده توسط این قطعات 8 سانتی متر مربع باشد، یک معادله خط مستقیم ایجاد کنید.
راه حل.معادله خط مستقیم به شکل زیر است:, ab / 2 = 8; ab = 16; a = 4، a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
مثال... معادله خط مستقیمی که از نقطه A (2-، -3) و مبدا می گذرد را رسم کنید.
راه حل.
معادله خط مستقیم به شکل زیر است: 
، که در آن x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.
زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه
تعریف.اگر دو خط مستقیم y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شود، آنگاه زاویه تند بین این خطوط مستقیم به صورت تعریف می شود.
.
اگر k 1 = k 2 دو خط مستقیم موازی باشند. اگر k 1 = -1 / k 2 باشد، دو خط مستقیم عمود هستند.
قضیه.خطوط مستقیم Ax + By + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 زمانی که ضرایب متناسب A 1 = λA، B 1 = λB موازی هستند. اگر همچنین С 1 = λС، خطوط بر هم منطبق هستند. مختصات نقطه تقاطع دو خط مستقیم به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شود.
معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد
تعریف.خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد و عمود بر خط مستقیم y = kx + b با معادله نشان داده می شود:
فاصله از نقطه به خط
قضیه.اگر یک نقطه M (x 0، y 0) داده شود، فاصله تا خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به عنوان تعیین می شود.
.
اثباتبگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M روی یک خط مستقیم داده شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:
(1)
مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:
معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از یک نقطه معین M 0 عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:
با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:
قضیه ثابت می شود.
مثال... زاویه بین خطوط مستقیم را تعیین کنید: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ = π / 4.
مثال... نشان دهید که خطوط مستقیم 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عمود هستند.
راه حل... ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 * k 2 = -1، بنابراین، خطوط مستقیم عمود هستند.
مثال... رئوس مثلث A (0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1) داده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.
راه حل... معادله ضلع AB را پیدا می کنیم: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
معادله ارتفاع مورد نیاز عبارت است از: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b. k =. سپس y =. زیرا ارتفاع از نقطه C عبور می کند، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: 
از آنجا b = 17. مجموع:. 
پاسخ: 3 x + 2 y - 34 = 0.
معادله کلی خط مستقیم:
موارد خاص از معادله عمومی خط مستقیم:
و اگر سی= 0، معادله (2) شکل خواهد داشت
تبر + توسط = 0,
و خط مستقیم تعریف شده توسط این معادله از مبدا می گذرد، زیرا مختصات مبدا هستند ایکس = 0, y= 0 این معادله را برآورده می کند.
ب) اگر در معادله کلی خط مستقیم (2) ب= 0، سپس معادله شکل می گیرد
تبر + با= 0، یا.
معادله دارای متغیر نیست y، و خط مستقیم تعریف شده توسط این معادله موازی با محور است اوه.
ج) اگر در معادله کلی خط مستقیم (2) آ= 0، سپس این معادله شکل می گیرد
توسط + با= 0، یا
معادله دارای متغیر نیست ایکس، و خط مستقیمی که تعریف می کند موازی با محور است گاو نر.
باید به خاطر داشت: اگر یک خط مستقیم موازی با هر محور مختصاتی باشد، در معادله آن هیچ عبارتی حاوی مختصات همنام با این محور وجود ندارد.
د) چه زمانی سی= 0 و آ= 0، معادله (2) شکل می گیرد توسط= 0، یا y = 0.
این معادله محور است گاو نر.
ه) چه زمانی سی= 0 و ب= 0 معادله (2) را می توان به صورت نوشتاری نوشت تبر= 0 یا ایکس = 0.
این معادله محور است اوه.
ترتیب متقابل خطوط مستقیم در یک صفحه. زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما. شرط موازی بودن خطوط. شرط عمود برای خطوط مستقیم.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 بردارهای S 1 و S 2 برای خطوط خود راهنما نامیده می شوند.
زاویه بین خطوط مستقیم l 1 و l 2 با زاویه بین بردارهای جهت تعیین می شود.
قضیه 1:زاویه cos بین l 1 و l 2 = cos (l 1؛ l 2) =
قضیه 2:برای مساوی بودن 2 خط مستقیم لازم و کافی است:
قضیه 3:به طوری که 2 خط مستقیم عمود بر هم باشند لازم و کافی است:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
معادله کلی هواپیما و موارد خاص آن. معادله صفحه در قطعات.
معادله کلی هواپیما:
Ax + By + Cz + D = 0
موارد خاص:
1.D = 0 Ax + By + Cz = 0 - هواپیما از مبدأ عبور می کند
2.C = 0 Ax + By + D = 0 - صفحه || OZ
3. В = 0 Ax + Cz + d = 0 - صفحه || OY
4. A = 0 By + Cz + D = 0 - صفحه || گاو نر
5.A = 0 و D = 0 By + Cz = 0 - هواپیما از OX عبور می کند
6.B = 0 و D = 0 Ax + Cz = 0 - هواپیما از OY عبور می کند
7.C = 0 و D = 0 Ax + By = 0 - هواپیما از OZ عبور می کند
آرایش متقابل صفحات و خطوط مستقیم در فضا:
1. زاویه بین خطوط مستقیم در فضا، زاویه بین بردارهای جهت آنها است.
Cos (l 1؛ l 2) = cos (S 1؛ S 2) = = 
2. زاویه بین صفحات از طریق زاویه بین بردارهای عادی آنها تعریف می شود.
Cos (l 1؛ l 2) = cos (N 1؛ N 2) = = 
3. کسینوس زاویه بین خط و صفحه را می توان از طریق سینوسی زاویه بین بردار جهت خط و بردار عادی صفحه پیدا کرد.
4. 2 خط مستقیم || در فضا زمانی که || راهنمای بردار
5. 2 هواپیما || وقتی || بردارهای معمولی
6. مفاهيم عمود بر خطوط راست و صفحه نيز به همين صورت معرفي شده است.
سوال شماره 14
انواع معادله یک خط مستقیم در یک صفحه (معادله یک خط مستقیم در پاره ها، با شیب و غیره)
معادله یک خط مستقیم در پاره ها:
فرض کنید در معادله کلی خط مستقیم:
1.C = 0 Ax + Vy = 0 - خط مستقیم از مبدا می گذرد.
2.a = 0 Vy + C = 0 y =
3.b = 0 Ax + C = 0 x =
4.b = C = 0 Ax = 0 x = 0
5.a = C = 0 Vy = 0 y = 0
معادله یک خط مستقیم با شیب:
هر خط مستقیمی که با محور OU برابر نباشد (B not = 0) را می توان در خط بعدی نوشت. فرم:
k = tgα α زاویه بین یک خط مستقیم و یک خط مثبت OX است
ب - نقطه تلاقی خط مستقیم با محور OY
سند:
تبر + وو + سی = 0
Wu = -Ah-C |: B
معادله یک خط مستقیم در دو نقطه:
سوال شماره 16
حد متناهی تابع در نقطه و به صورت x → ∞
حد نهایی در نقطه x 0:
عدد A حد تابع y = f (x) به صورت x → x 0 نامیده می شود اگر برای هر E> 0 b> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای x ≠ x 0 نابرابری را ارضا کند | x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
حد نشان داده شده است: = A
حد نهایی در نقطه + ∞:
عدد A حد تابع y = f (x) در x نامیده می شود → + ∞ اگر برای هر E> 0 C> 0 وجود داشته باشد به طوری که برای x> C نابرابری | f (x) - A |< Е
حد نشان داده شده است: = A
پایان محدودیت در -∞:
عدد A حد تابع y = f (x) نامیده می شود x → -∞،اگر برای هر E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
