مساحت متوازی الاضلاع است. متوازی الاضلاع و خواص آن مساحت متوازی الاضلاع نیمساز زوایای متوازی الاضلاع

توجه داشته باشید... این بخشی از درس با مسائل هندسه (متوازی الاضلاع مقطع) است. اگر نیاز به حل یک مشکل هندسه دارید که اینجا نیست، در مورد آن در انجمن بنویسید. برای نشان دادن عمل استخراج ریشه مربع در راه حل های مسئله، از نماد √ یا sqrt () استفاده می شود و عبارت رادیکال در پرانتز نشان داده می شود.

مطالب نظری

توضیح فرمول های یافتن مساحت متوازی الاضلاع:

1. مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب طول یکی از اضلاع آن در ارتفاع پایین آمده به این سمت.
2. مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب دو ضلع مجاور آن در سینوس زاویه بین آنها.
3. مساحت متوازی الاضلاع نصف حاصلضرب قطرهای آن در سینوس زاویه بین آنهاست

وظایف برای یافتن مساحت متوازی الاضلاع

وظیفه.
در متوازی الاضلاع ارتفاع کوچکتر و ضلع کوچکتر به ترتیب برابر با 9 سانتی متر و ریشه 82 است و قطر بزرگ آن 15 سانتی متر است مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنید.

راه حل.
اجازه دهید ارتفاع پایین تر متوازی الاضلاع ABCD را که از نقطه B به پایه بزرگتر AD کاهش یافته است، به عنوان BK نشان دهیم.
مقدار ساق یک مثلث قائم الزاویه ABK را که از ارتفاع کوچکتر، یک ضلع کوچکتر و بخشی از یک پایه بزرگتر تشکیل شده است، بیابید. با قضیه فیثاغورث:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1

اجازه دهید قاعده بالایی متوازی الاضلاع BC را گسترش دهیم و ارتفاع AN را از قاعده پایینی آن به آن کاهش دهیم. AN = BK به عنوان اضلاع مستطیل ANBK. پایه NC مثلث قائم الزاویه ANC حاصل را پیدا کنید.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC = 12

اکنون قاعده بزرگتر BC متوازی الاضلاع ABCD را پیدا کنید.
BC = NC - NB
ما در نظر می گیریم که NB = AK به عنوان اضلاع مستطیل، سپس
قبل از میلاد = 12 - 1 = 11

مساحت متوازی الاضلاع برابر با حاصل ضرب قاعده و ارتفاع این قاعده است.
S = آه
S = قبل از میلاد * BK
S = 11 * 9 = 99

پاسخ: 99 سانتی متر 2.

وظیفه

در متوازی الاضلاع AVSD، VO عمود بر مورب AC پایین می آید. اگر AO = 8، OC = 6 و BO = 4 باشد، مساحت متوازی الاضلاع را بیابید.

راه حل.
اجازه دهید یک DK عمود بر قطر قطری АС رها کنیم.
بر این اساس، مثلث های AOB و DKC، COB و AKD دو به دو برابر هستند. یکی از اضلاع طرف مقابل متوازی الاضلاع است، یکی از گوشه ها مستقیم است، زیرا بر مورب عمود است، و یکی از زوایای باقیمانده یک صلیب داخلی است که برای اضلاع موازی متوازی الاضلاع و مورب مقطع قرار دارد.

بنابراین، مساحت متوازی الاضلاع برابر با مساحت مثلث های مشخص شده است. به این معنا که
موازی = 2S AOB + 2S BOC

مساحت مثلث قائم الزاویه نصف حاصلضرب پاها است. جایی که
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 سانتی متر مربع
پاسخ: 56 سانتی متر 2.

مساحت یک شکل هندسی- یک مشخصه عددی یک شکل هندسی که اندازه این شکل را نشان می دهد (قسمتی از سطح که توسط کانتور بسته این شکل محدود شده است). اندازه مساحت با تعداد واحدهای مربع موجود در آن بیان می شود.

فرمول های مساحت مثلث

1. فرمول مساحت یک مثلث در کنار و ارتفاع
   مساحت یک مثلثبرابر با نصف حاصلضرب طول ضلع مثلث در طول ارتفاع کشیده شده به این ضلع
   
2. فرمول مساحت مثلث در سه ضلع و شعاع دایره محدود شده
   
3. فرمول مساحت مثلث در سه ضلع و شعاع دایره محاط شده
   مساحت یک مثلثبرابر است با حاصلضرب نیم محیط مثلث و شعاع دایره محاطی.
   
جایی که S مساحت مثلث است،
- طول اضلاع مثلث،
- ارتفاع مثلث،
- زاویه بین اضلاع و
- شعاع دایره محاط شده،
R شعاع دایره محدود شده است،

فرمول های مساحت مربع

1. فرمول مساحت مربع به طول ضلع
   مساحت مربعبرابر مربع طول ضلع آن است.
2. فرمول مساحت مربع به طول قطر
   مساحت مربعبرابر با نصف مربع طول قطر آن است.
   

   S =	1	2
   	2

جایی که S مساحت مربع است،
- طول ضلع مربع،
- طول مورب مربع.

فرمول مساحت یک مستطیل

مساحت مستطیلبرابر حاصل ضرب طول دو ضلع مجاور آن است

جایی که S مساحت مستطیل است،
- طول اضلاع مستطیل.

فرمول های مساحت متوازی الاضلاع

1. فرمول مساحت متوازی الاضلاع از نظر طول و ارتفاع ضلع
   مساحت متوازی الاضلاع
2. فرمول مساحت متوازی الاضلاع در دو ضلع و زاویه بین آنها
   مساحت متوازی الاضلاعبرابر حاصل ضرب طول اضلاع آن در سینوس زاویه بین آنها.
   

   a b sin α

که در آن S مساحت متوازی الاضلاع است،
- طول اضلاع متوازی الاضلاع،
- طول ارتفاع متوازی الاضلاع،
- زاویه بین اضلاع متوازی الاضلاع.

فرمول های ناحیه لوزی

1. فرمول مساحت لوزی بر حسب طول و ارتفاع ضلع
   ناحیه لوزیبرابر است با حاصلضرب طول ضلع آن و طول ارتفاع پایین آمده به این سمت.
2. فرمول مساحت یک لوزی بر حسب طول و زاویه ضلع
   ناحیه لوزیبرابر است با حاصل ضرب مجذور طول ضلع آن و سینوس زاویه بین اضلاع لوزی.
3. فرمول مساحت یک لوزی بر حسب طول قطرهای آن
   ناحیه لوزیبرابر با نصف حاصلضرب طول قطرهای آن است.
که در آن S مساحت لوزی است،
- طول ضلع لوزی،
- طول ارتفاع لوزی،
- زاویه بین دو طرف لوزی،
1، 2 - طول مورب ها.

فرمول های مساحت ذوزنقه

1. فرمول هرون برای ذوزنقه

   جایی که S مساحت ذوزنقه است،
   - طول پایه های ذوزنقه،
   - طول اضلاع جانبی ذوزنقه،
   

متوازی الاضلاعچهار ضلعی است که اضلاع آن به صورت زوجی موازی هستند.

در این شکل اضلاع و زوایای مقابل با هم برابرند. قطرهای متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و به وسیله آن نصف می شوند. فرمول های ناحیه متوازی الاضلاع به شما امکان می دهد مقدار را بر حسب اضلاع، ارتفاع و مورب ها پیدا کنید. متوازی الاضلاع نیز می تواند در موارد خاص ارائه شود. آنها را مستطیل، مربع و لوزی می دانند.
برای شروع، مثالی از محاسبه مساحت متوازی الاضلاع در ارتفاع و سمتی که به آن پایین آمده است را در نظر بگیرید.

این مورد یک مورد کلاسیک در نظر گرفته می شود و نیازی به بررسی اضافی ندارد. بهتر است فرمول محاسبه مساحت دو ضلع و زاویه بین آنها را در نظر بگیرید. از همین روش در محاسبه استفاده می شود. اگر اضلاع و زاویه بین آنها داده شود، مساحت به صورت زیر محاسبه می شود:

فرض کنید متوازی الاضلاع با اضلاع a = 4 سانتی متر، b = 6 سانتی متر داده شده است، زاویه بین آنها α = 30 درجه است. بیایید منطقه را پیدا کنیم:

مساحت متوازی الاضلاع از طریق قطرها

فرمول مساحت متوازی الاضلاع از نظر مورب به شما امکان می دهد به سرعت یک مقدار را پیدا کنید.
برای محاسبات، به مقدار زاویه بین قطرها نیاز دارید.

بیایید مثالی از محاسبه مساحت متوازی الاضلاع از طریق قطرها را در نظر بگیریم. اجازه دهید متوازی الاضلاع با قطرهای D = 7 سانتی متر، d = 5 سانتی متر داده شود. زاویه بین آنها α = 30 درجه است. بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

نمونه ای از محاسبه مساحت متوازی الاضلاع از طریق یک مورب نتیجه عالی را به ما داد - 8.75.

با دانستن فرمول مساحت متوازی الاضلاع از طریق قطر، می توانید بسیاری از مسائل جالب را حل کنید. بیایید نگاهی به یکی از آنها بیندازیم.

وظیفه:متوازی الاضلاع به مساحت 92 متر مربع به شما داده می شود. نقطه F در وسط ضلع آن قبل از میلاد قرار دارد. بیایید مساحت ذوزنقه ADFB را که در متوازی الاضلاع ما قرار دارد، پیدا کنیم. برای شروع، بیایید همه چیزهایی را که دریافت کردیم با توجه به شرایط ترسیم کنیم.
بیایید شروع به حل کنیم:

با توجه به شرایط ما ah = 92 و بر این اساس مساحت ذوزنقه ما برابر خواهد بود.

مساحت متوازی الاضلاع در بسیاری از مسائل هندسه مربوط به محاسبه مساحت ها، از جمله وظایف امتحان، از فرمول های مساحت متوازی الاضلاع و مثلث استفاده می شود. چندین مورد از آنها وجود دارد، در اینجا ما آنها را در نظر خواهیم گرفت.

شمارش این فرمول ها بسیار آسان است؛ این نوع مطالب در کتاب های مرجع و سایت های مختلف کافی است. من می خواهم ماهیت را منتقل کنم - به طوری که شما آنها را درهم نریزید، اما درک کنید و هر لحظه بتوانید به راحتی به خاطر بسپارید. پس از مطالعه مطالب مقاله متوجه خواهید شد که اصلا نیازی به یادگیری این فرمول ها ندارید. از نظر عینی، آنها در تصمیم گیری ها آنقدر رایج هستند که برای مدت طولانی حفظ می شوند.

1. پس بیایید نگاهی به متوازی الاضلاع بیندازیم. در تعریف آمده است:

چرا اینطور است؟ ساده است! برای اینکه معنی فرمول را به وضوح نشان دهیم، چند ساختار اضافی انجام می دهیم، یعنی ارتفاعات را رسم می کنیم:

مساحت مثلث (2) برابر با مساحت مثلث (1) است - دومین علامت برابری مثلث های قائم الزاویه "در امتداد ساق و هیپوتنوز". اکنون دومی را به صورت ذهنی "قطع" می کنیم و با قرار دادن آن بر روی اولی آن را منتقل می کنیم - یک مستطیل به دست می آوریم که مساحت آن برابر با مساحت متوازی الاضلاع اصلی خواهد بود:

مساحت یک مستطیل برابر با حاصل ضرب اضلاع مجاور آن شناخته می شود. همانطور که از طرح می بینید، یک ضلع مستطیل به دست آمده برابر با ضلع متوازی الاضلاع و دیگری برابر با ارتفاع متوازی الاضلاع است. بنابراین، فرمول مساحت متوازی الاضلاع S = a ∙ h را به دست می آوریمآ

2. بیایید ادامه دهیم، یک فرمول دیگر برای مساحت آن. ما داریم:

مساحت فرمول متوازی الاضلاع

بیایید اضلاع را به صورت a و b تعیین کنیم، زاویه بین آنها γ "گاما" است، ارتفاع h a است. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید:

به طور دقیق تر، با توجه به پلان سنجی و مثلثات، گاهی اوقات لازم است که ارتفاع متوازی الاضلاع را بر اساس مقادیر مشخص شده اضلاع، زوایا، مورب ها و غیره پیدا کنیم.

برای یافتن ارتفاع متوازی الاضلاع، با دانستن مساحت و طول قاعده آن، باید از قانون مساحت متوازی الاضلاع استفاده کنید. همانطور که می دانید مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب ارتفاع و طول قاعده:

S - ناحیه متوازی الاضلاع،

الف - طول قاعده متوازی الاضلاع،

h طول ارتفاعی است که به سمت a، (یا به ادامه آن) پایین آمده است.

از این نتیجه می گیریم که ارتفاع متوازی الاضلاع مساحت تقسیم بر طول قاعده خواهد بود:

مثلا،

داده شده: مساحت متوازی الاضلاع 50 سانتی متر مربع، پایه 10 سانتی متر است.

پیدا کردن: ارتفاع متوازی الاضلاع.

h = 50/10 = 5 (سانتی متر).

از آنجایی که ارتفاع متوازی الاضلاع، قسمت قاعده و ضلع مجاور قاعده یک مستطیل شکل می دهند، می توان از برخی نسبت ها و زوایای مستطیل برای ارتفاع متوازی الاضلاع استفاده کرد.

اگر ضلع متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع h (DE) d (AD) و زاویه A (BAD) مخالف ارتفاع شناخته شود، محاسبه ارتفاع متوازی الاضلاع باید در طول متوازی الاضلاع ضرب شود. کنار سینوس زاویه مقابل:

به عنوان مثال، اگر d = 10 سانتی متر، و زاویه A = 30 درجه، پس

H = 10 * sin (30º) = 10 * 1/2 = 5 (cm).

اگر مسئله طول متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع h (DE) d (AD) و طول ارتفاع برش پایه (AE) را مشخص کند، در این صورت می توان ارتفاع متوازی الاضلاع را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد. :

| AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2، از آنجا تعریف می کنیم:

h = | ED | = √ (| AD | ^ 2- | AE | ^ 2)،

آن ها ارتفاع متوازی الاضلاع برابر است با جذر اختلاف مربع های طول ضلع مجاور و قسمتی از قاعده که بر اساس ارتفاع قطع شده است.

به عنوان مثال، اگر طول ضلع مجاور 5 سانتی متر و طول قسمت برش پایه 3 سانتی متر باشد، طول ارتفاع خواهد بود:

h = √ (5 ^ 2-3 ^ 2) = 4 (سانتی متر).

اگر طول مورب (DВ) متوازی الاضلاع مجاور ارتفاع و طول قسمتی از قاعده قطع شده توسط ارتفاع (BE) مشخص باشد، می توان ارتفاع متوازی الاضلاع را نیز با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کرد. :

| ВE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | ВD | ^ 2، از آنجا تعریف می کنیم:

h = | ED | = √ (| ВD | ^ 2- | BE | ^ 2)،

آن ها ارتفاع متوازی الاضلاع برابر است با ریشه دوم اختلاف بین مربع های طول قطر مجاور و ارتفاع برش (های) قسمت قاعده.

به عنوان مثال، اگر طول ضلع مجاور 5 سانتی متر و طول قسمت برش پایه 4 سانتی متر باشد، طول ارتفاع خواهد بود:

h = √ (5 ^ 2-4 ^ 2) = 3 (سانتی متر).

ویدیو های مرتبط

منابع:

• ارتفاع متوازی الاضلاع چیست

ارتفاع چند ضلعی یک پاره خط مستقیم عمود بر یکی از اضلاع شکل است که آن را به راس گوشه مقابل متصل می کند. چندین قطعه از این قبیل در یک شکل محدب مسطح وجود دارد و اگر حداقل یکی از اضلاع چند ضلعی اندازه متفاوتی داشته باشد، طول آنها یکسان نیست. بنابراین، در مسائل مربوط به درس هندسه، گاهی اوقات لازم است که طول یک ارتفاع بیشتر، به عنوان مثال، یک مثلث یا متوازی الاضلاع تعیین شود.

دستورالعمل ها

اگر علاوه بر طول کوتاه ترین اضلاع مثلث (a)، در شرایط (S) شکل نیز داده شود، ارتفاع بزرگتر (Hₐ) کاملاً ساده خواهد بود. مساحت را دو برابر کنید و مقدار حاصل را به طول کوتاه تقسیم کنید - این ارتفاع مورد نظر خواهد بود: Hₐ = 2 * S / a.

بدون دانستن مساحت، اما با داشتن طول های مثلث (a، b و c)، می توانید طولانی ترین ارتفاع آن را نیز بیابید، اما عملیات ریاضی بسیار بیشتری وجود خواهد داشت. با محاسبه یک کمیت کمکی - نیم محیط (p) شروع کنید. برای انجام این کار، طول تمام ضلع ها را جمع کرده و نتیجه را تقسیم کنید.